Geomeria Analítica Conicas_e_Superficies

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Cap´ıtulo 4
Coˆnicas, superf´ıcies qua´dricas e
coordenadas polares
4.1 Coˆnicas
Introduc¸a˜o
Voceˆ sabia que durante va´rios se´culos, pensava-se que as o´rbitas descritas pelos
planetas eram circunfereˆncias e que a Terra era o centro?
Johannes Kepler, (1571-1630) matema´tico e astroˆnomo, estudou as o´rbitas planeta´rias
e observou que a o´rbita de Marte em volta do Sol era uma elipse e na˜o um c´ırculo,
assim como os demais, embora sejam elipses menos esticadas. Estudos que levaram
as leis do movimento planeta´rio.
Algumas aplicac¸o˜es relacionadas:
❼ As elipses sa˜o usadas na fabricac¸a˜o de engrenagens de ma´quinas.
❼ Os arcos de pontes ou tetos tem muitas vezes formas el´ıpticas ou parabo´licas.
❼ As para´bolas sa˜o usadas em espelhos refletores e faro´is de automo´veis.
❼ Os refletores de dentistas usam refletores el´ıpticos que tem como objetivo
concentrar o ma´ximo de luz onde se esta´ trabalhando.
❼ Alguns telesco´pios denominados refletores usam um espelho hiperbo´lico secunda´rio,
ale´m do refletor parabo´lico principal, para redirecionar a luz do foco principal
para um ponto mais conveniente.
126
Foi Apoloˆnio, um matema´tico e astroˆnomo, (➧ 262-190 a.C.), quem pela primeira
vez mostrou que a partir de um cone e´ poss´ıvel obter as treˆs espe´cies de sec¸o˜es coˆnicas,
apenas variando a inclinac¸a˜o do plano de sec¸a˜o.
Uma sec¸a˜o coˆnica e´ uma curva obtida cortando-se qualquer cone de duas folhas
por um plano que na˜o passa pelo ve´rtice, chamado de plano secante.
❼ Origem: Corte por um plano.
❼ Plano horizontal:
– ponto (pelo ve´rtice V);
– circunfereˆncia (na˜o pelo ve´rtice).
❼ Plano inclinado:
- pouco inclinado – elipse;
- muito inclinado - para´bola.
❼ Plano vertical:
127
- hipe´rbole.
❼ Foi Apoloˆnio tambe´m quem introduziu os nomes para´bola, elipse e hipe´rbole,
utilizados ate´ hoje.
Figura 4.1: http://fisicamoderna.blog.uol.com.br/
4.2 Para´bola
E´ o lugar geome´trico dos pontos que esta˜o equidistantes de um ponto fixo,
denominado foco(F ) e de uma reta fixa (diretriz) nesse plano. Toda para´bola e´
sime´trica em relac¸a˜o a reta focal. O ve´rtice da para´bola e´ o ponto V da reta focal
que equidista de F e da reta diretriz.
128
Elementos:
Foco: e´ o ponto F
Diretriz: e´ a reta d
Eixo: e´ a reta que passa por F e e´ perpendicular a d.
Ve´rtice: e´ o ponto V de intersecc¸a˜o da para´bola com seu eixo.
p: paraˆmetro que representa a distaˆncia do foco a` diretriz.
Reta V F : eixo de simetria da Para´bola.
Latus Rectum: e´ a corda PP1 que passa pelo foco e e´ perpendicular ao eixo de
simetria.
Observe que um ponto P qualquer pertence a` para´bola se, e somente se,
|
−→
FP | = |
−→
P ′P | (4.1)
Equac¸o˜es reduzidas: Seja a para´bola de ve´rtice V (0,0), vamos considerar dois
casos:
1➦ O eixo da para´bola e´ o eixo Oy: Seja P (x,y) um ponto qualquer da para´bola
de foco F (0,p
2
) e diretriz de equac¸a˜o y = −p
2
.
Pela definic¸a˜o de para´bola expressa pela equac¸a˜o (4.1),sendo P ′(x, − p
2
) ∈ d,
temos:
129
|
(
x− 0,y − p
2
)
| = |
(
x− x,y + p
2
)
|√
(x− 0)2 +
(
y − p
2
)2
=
√
(x− x)2 +
(
y +
p
2
)2
(x− 0)2 +
(
y − p
2
)2
= (x− x)2 +
(
y +
p
2
)2
x2 + y2 − py + p
2
4
= y2 + py +
p2
4
x2 = 2py (4.2)
A equac¸a˜o (4.2) e´ a Equac¸a˜o Reduzida da para´bola de ve´rtice na origem com
eixo no eixo y.
Representac¸a˜o: Abertura da para´bola: voltada para cima.
Figura 4.2: y > 0, p > 0
2➦ O eixo da para´bola e´ o eixo Ox: Seja P (x,y) um ponto qualquer da para´bola
de foco F (p
2
,0) e diretriz de equac¸a˜o x = −p
2
.
Equac¸a˜o Reduzida da para´bola: y2 = 2px.
Representac¸a˜o Abertura da para´bola: voltada para direita.
130
Exemplo 78 Dada a para´bola, encontrar: as coordenadas do foco e a equac¸a˜o
diretriz.
Soluc¸a˜o:
y2 = 7x⇒ equac¸a˜o do tipo: y2 = 2px
Foco: F (p
2
,0)→ y2 = 7x e y2 = 2px⇒ p = 7
2
⇒ F (7
4
,0)
Equac¸a˜o da diretriz: x = −7
4
.
4.2.1 Translac¸a˜o de eixos
Uma curva na˜o e´ afetada pela posic¸a˜o de seus eixos coordenados, mas, no entanto
suas respectivas equac¸o˜es sa˜o afetadas.
Introduc¸a˜o: Analisamos agora o caso em que o ve´rtice e´ um ponto (h,k), isto e´,
obtemos um novo sistema x′O′y′ cuja origem e´ O′(h,k). Esse novo sistema tem a
mesma unidade de medida, mesma direc¸a˜o e mesmo sentido dos eixos Ox e Oy.
Considerando x = x′ + h e y = y′ + k ou x′ = x − h e y′ = y − k que sa˜o as
fo´rmulas de translac¸a˜o e que permitem transformar coordenadas de um sistema para
outro, que tem como finalidade modificar a forma das equac¸o˜es.
131
4.2.2 Equac¸a˜o Canoˆnica da Para´bola com centro gene´rico
Eixo da para´bola paralelo ao eixo y: A equac¸a˜o da para´bola no novo sistema
x′O′y′, e´ x′2 = 2py′2 e usando as fo´rmulas de translac¸a˜o, temos
(x− h)2 = 2p(y − k) (4.3)
Ve´rtice: V (h,k)
Foco: F
(
h,k +
p
2
)
Diretriz: y = k − p
2
A equac¸a˜o (4.3) e´ a equac¸a˜o da para´bola de ve´rtice V (h,k). Desenvolvendo a
equac¸a˜o (4.3) e isolando a varia´vel y, obtemos:
x2 − 2xh+ h2 = 2py − 2pk
y =
1
2p
x2 − h
p
x+
h2 + 2pk
2p
y = ax2 + bx+ c, com a 6= 0
132
Observe que: a =
1
2p
e b = −h
p
Equac¸a˜o geral: ax2 + bx+ cy + d = 0, a 6= 0
Eixo da para´bola paralelo ao eixo Ox: (y − k)2 = 2p(x− h)
Ve´rtice: V (h,k)
Foco: F
(
h+
p
2
,k
)
Diretriz: x = h− p
2
Equac¸a˜o geral: by2 + cx+ dy + f = 0, b 6= 0
Exemplo 79 Obter a equac¸a˜o geral da para´bola com ve´rtice V (3,3) e foco F (5,3).
Soluc¸a˜o:
(y − k)2 = 2p(x− h)
Distaˆncia V F :
p
2
→ p
2
= 2→ p = 4
(y − 3)2 = 2 · 4(x− 3)→ y2 − 6y + 9 = 8x− 24→ y2 − 6y − 8x+ 33 = 0
Equac¸a˜o da diretirz: x = −p
2
∴ p = −7
4
133
4.2.3 Equac¸o˜es Parame´tricas da para´bola
Considerando a equac¸a˜o x2 = 2py, isolamos y e temos: y =
1
2p
x2.
Se fizermos x = t, logo teremos as parame´tricas, dadas por


x = t
y =
1
2p
t2
(4.4)
De forma ana´loga, se tivermos a para´bola ao longo do eixo x, sua equac¸a˜o e´ dada
por y2 = 2px, e suas parame´tricas ficara˜o da seguinte forma


x =
1
2p
t2
y = t, onde t ∈ R
(4.5)
Exemplo 80 Obter a parame´trica da para´bola x2 =
1
2
y.
Soluc¸a˜o:
Se fizermos x = t, enta˜o y = 2t2 e teremos{
x = t
y = 2t2
Como as equac¸o˜es parame´tricas da para´bola x2 =
1
2
y.
4.2.4 Agora tente resolver!
1. Qual e´ a equac¸a˜o da diretriz da para´bola y2 = 8x?
2. Associe cada representac¸a˜o geome´trica das para´bolas com as equac¸o˜es dadas:
( ) x2 = 2y ( ) y2 = 2x ( ) x2 = −2y ( ) y2 = −2x
134
3. Determine o foco e a diretriz de cada para´bola. Esboce cada uma das para´bolas.
Inclua o Foco e a diretriz em seu desenho:
(a) y2 = 12x
(b) y = 4x2
(c) x2 = −8y
(d) x2 + 6y = 0
4. Represente geometricamente e obtenha uma equac¸a˜o da para´bola que satisfac¸a
a seguinte condic¸a˜o: V (0,0) , passa pelo ponto P (−2,5) e a concavidade esta´
voltada para cima.
5. Uma para´bola tem ve´rtice na origem e passa no ponto P (8,− 4) determinar a
equac¸a˜o e seu foco se:
(a) O eixo focal e´ 0x
(b) O eixo focal e´ Oy
6. As para´bolas dadas pelas equac¸o˜es y = x2 e x = y2
(a) nunca se encontram.
(b) se encontram apenas na origem.
(c) se encontram exatamente em dois pontos.
(d) se encontram em treˆs pontos.
(e) se encontram em quatro pontos.
7. Determinar a equac¸a˜o, o foco, a equac¸a˜o da diretriz e construir a para´bola de
ve´rtice na origem nos seguintes casos:
(a) Foco: F (0,4)
(b) Diretriz: x = 5
8. Obter a parame´trica da para´bola (y − 2)2 = 2(x+ 3).
135
4.3 Elipse
E´ o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distaˆncias a dois
pontos fixos desse plano e´ constante.Por exemplo, pela figura temos dois pontos
distintos F1 e F2, um ponto P pertence a elipse se, e somente se
A1
F1
a
A2
F2
a
c cO
B2
B1
|PF1|+ |PF2| = 2a (4.6)
A elipse e´ sime´trica em relac¸a˜o a` reta focal, a reta na˜o focal e ao centro. Elementos:
Focos: os pontos F1 e F2;
Centro: o ponto O, e´ ponto me´dio entre F1 e F2;
Semi-eixo maior: a
Semi-eixo menor: b
Eixo-maior: |A1A2| = 2a
Eixo-menor: |B1B2| = 2b
Distaˆncia-focal: |F1F2| = 2c
Ve´rtices: A1, A2, B1, B2
136
Relac¸a˜o Fundamental: Aplicando o teorema de Pita´goras no triaˆngulo OF2B2
temos a seguinte relac¸a˜o fundamental: a2 = b2 + c2. Essa igualdade mostra que
b < a e c < a.
Excentricidade: Chamamos de excentricidade o nu´mero real: e =
c
a
, 0 < e < 1.
Quando os focos sa˜o muito pro´ximos, isto e´, c e´ muito pequeno, a elipse aproxima-se
de uma circunfereˆncia.
Equac¸o˜es Reduzidas: Seja a elipse de centro (0,0). Consideramos dois casos:
1➦ O eixo maior esta´ sobre o eixo Ox : Seja P (x,y) um ponto qualquer na elipse
de focos F1(−c,0), F (c,0)
Por definic¸a˜o:
|F1P |+ |F2P | = 2a√
(x+ c)2 + (y − 0)2 +
√
(x− c)2 + (y − 0)2 = 2a√
x2 + y2 + 2cx+ c2 = 2a−
√
x2 + y2 − 2cx+ c2
(
√
x2 + y2 + 2cx+ c2)2 = (2a−
√
x2 + y2 − 2cx+ c2)2
desenvolvendo os quadrados de ambos os lados da igualdade, temos
4a
√
x2 + y2 − 2cx+ c2 = 4a2 − 4cx
a
√
x2 + y2 − 2cx+ c2 = a2 − cx
a2(x2 + y2 − 2cx+ c2) = a4 − 2a2cx+ c2x2
a2x2 − c2x2 + a2y2 = a4 − a2c2
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)
sendo,
a2 − c2 = b2
b2x2 + a2y2 = a2b2
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (4.7)
137
A equac¸a˜o (4.7) e´ a Equac¸a˜o Reduzida da Elipse de centro na origem e eixo maior
sobre o eixo Ox.
Exemplo 81
2➦ O eixo maior esta´ sobre o eixo Oy: Seja P (x,y) um ponto qualquer na elipse
de focos F (0,− c), F2(0,c) . A equac¸a˜o reduzida e´ dada pela equac¸a˜o
x2
b2
+
y2
a2
= 1 (4.8)
Exemplo 82 Determine o centro, os focos e ve´rtices da elipse:
x2
25
+
y2
9
= 1.
Soluc¸a˜o: a2 e´ o maior denominador: a2 = 25 ∴ a = ±5.
b2 e´ o menor denominador: b2 = 9 ∴ b = ±3.
Pela relac¸a˜o fundamental: a2 = b2 + c2 → c = ±4.
Ve´rtices: A1 = (−5,0), A2(5,0), B1(0,− 3), B2(0,3)
Focos: F1(−4,0), F2(4,0). O centro e´ a Origem.
138
4.3.1 Agora tente resolver!
1. Escreva cada equac¸a˜o na forma padra˜o, represente geometricamente enta˜o cada
uma das elipses. Inclua os focos no desenho:
(a) 16x2 + 25y2 = 400
(b) 2x2 + y2 = 2
(c) 3x2 + 2y2 = 6
2. Determinar os ve´rtices, os focos, as extremidades do eixo maior e menor e
construir a elipse:
x2
16
+
y2
25
= 1.
3. Determinar a elipse de centro na origem e
(a) Eixo maior igual a 8, semi eixo menor igual a 2 e eixo focal y = 0.
(b) Distaˆncia focal igual a 8, eixo maior igual a 12 e eixo focal x = 0.
4. Esboc¸ar o gra´fico e determinar todos os elementos da elipse: x2 + 25y2 = 25.
5. Calcule a distaˆncia focal e a excentricidade da elipse de equac¸a˜o
x2
4
+
y2
9
= 1.
4.3.2 Equac¸a˜o Canoˆnica da Elipse com centro gene´rico
Seja uma elipse de centro C(h,k).
1➦ O eixo maior e´ paralelo ao eixo dos x: Utilizando uma translac¸a˜o de eixos,
obtemos um novo sistema x′O′y′.
139
Enta˜o, a equac¸a˜o reduzida
x′2
a2
+
y′2
b2
= 1→ x′ = x− h e y′ = y − k → (x− h)
2
b2
+
(y − k)2
a2
= 1.
Equac¸a˜o Geral: ax2 + by2 + cx+ dy + f = 0 com a e b de mesmo sinal.
Centro: C(h,k)
Focos: F1(h+ c,k), F2(h− c,k)
Ve´rtices: A1(h+ a,k) e A2(h− a,k)
Exemplo 83 Identifique a coˆnica de equac¸a˜o 4x2 + 9y2 − 16x+ 18y − 11 = 0, seus
elementos e construa o gra´fico.
Soluc¸a˜o:
4x2 + 9y2 − 16x+ 18y − 11 = 0
4x2 + 9y2 − 16x+ 18y = 11
4(x2 − 4x) + 9(y2 + 2y) = 11
4(x2 − 4x+ 4) + 9(y2 + 2y + 1) = 11 + 16 + 9
4(x− 2)2 + 9(y + 1)2 = 36
(x− 2)2
9
+
(y + 1)2
4
= 1
Centro: C(2,− 1)
Foco: F (2±√5,− 1)
Ve´rtices: A1(5,− 1), A2(−1,− 1), B1(2,− 3), B2(2,1)
Excentricidade: e =
√
5
3
140
4.3.3 Circunfereˆncia
E´ o lugar geome´trico dos pontos que esta˜o equidistantes de um ponto fixo. Tal
ponto fixo chama-se centro da circunfereˆncia e a medida da distaˆncia e´ o raio.
y
x
P (x,y)
a
b
Elementos:
O ponto C(a,b) e´ o centro da circunfereˆncia;
r (raio) - distaˆncia do ponto C ate´ a circunfereˆncia.
Equac¸a˜o: A equac¸a˜o da circunfereˆncia com centro em C e raio r e´ dada por:
(x− a)2 + (y − b)2 = r2 (4.9)
a equac¸a˜o (4.9) e´ a forma centro-raio. Um ponto P pertence a` circunfereˆncia se,
e somente se |
−→
PC | = r , isto e´, pela fo´rmula da distaˆncia, temos
√
(x− a)2 + (y − b)2 = r (4.10)
141
A equac¸a˜o (4.9) e´ satisfeita apenas para as coordenadas dos pontos que esta˜o na
circunfereˆncia. Se o centro C estiver localizado na origem, isto e´, C(0,0) , enta˜o a
equac¸a˜o (4.9) fica reduzida a
x2 + y2 = r2 (4.11)
Forma geral de uma equac¸a˜o de circunfereˆncia: Efetuando os ca´lculos da equac¸a˜o
(4.9), teremos:
x2 − 2ax+ a2 + y2 − 2by + b2 − r2 = 0
x2 + y2 − 2ax− 2by + a2 + b2 − r2 = 0 (4.12)
A equac¸a˜o (4.12) e´ a forma geral e pode ser escrita como:
x2 + y2 + Ax+By + C = 0 (4.13)
Com A = −2a, B = −2b, C = a2 + b2 − r2.
Exemplo 84 Encontre a equac¸a˜o da circunfereˆncia com centro C(2,3) e raio r = 2.
Soluc¸a˜o:
(x− 2)2 + (y − 3)2 = 22
x2 + y2 − 4x− 6y + 9 = 0
4.3.4 Equac¸o˜es Parame´tricas da elipse
Tendo a equac¸a˜o da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 consideramos uma circunfereˆncia de
mesmo centro da elipse e de raio igual ao semi-eixo maior desta, de valor a.
Da trigonometria, a projec¸a˜o do raio da circunfereˆncia no eixo dos x e´ dada por
x = a cos(θ) onde θ e´ o aˆngulo que o raio faz com este eixo, enta˜o, teremos
(a cos(θ))2
a2
+
y2
b2
= 1 (4.14)
resolvendo a equac¸a˜o (4.14), chegamos a y = b sin(θ). Logo, as equac¸o˜es parame´tricas
da elipse sa˜o
142
{
x = a cos(θ)
y = b sin(θ), onde 0 ≤ θ ≤ 2π
Exemplo 85 Obter a parame´trica da elipse
x2
36
+
y2
25
= 1
Soluc¸a˜o:
No caso desta elipse, temos que a2 = 36→ a = 6 e b2 = 25→ b = 5, enta˜o
{
x = 6 cos(θ)
y = 5 sin(θ)
sa˜o as parame´tricas da elipse.
Exerc´ıcio 3 Obter a parame´trica da elipse 0x2 + 4y2 − 54x+ 6y + 61 = 0.
Quando o eixo maior esta´ sobre o eixo Oy as equac¸o˜es parame´tricas sa˜o:
{
x = b cos(θ)
y = a sin(θ)
Quando o centro da elipse for C(h,k), temos:
Para o eixo maior paralelo ao eixo Ox:
{
x = h+ a cos(θ)
y = k + b sin(θ)
Para o eixo maior paralelo ao eixo Oy :
{
x = h+ b cos(θ)
y = k + a sin(θ)
4.3.5 Parametrizac¸a˜o do C´ırculo
Dada a equac¸a˜o: x2 + y2 = r2. Se fizermos θ percorrer os valores do intervalo
[0,2π), temos a seguinte equac¸a˜o:
{
x = rcosθ
y = rsenθ
Se o centro do circulo for V (h,k), enta˜o (x − h)2 + (y − k)2 = r2, e a forma
parametrizada e´
{
x = h+ rcosθ
y = k + rsenθ
143
4.3.6 Agora tente resolver!
1. Identifique cada uma das coˆnicas abaixo e determine todos os seus elementos:
(a) 4x2 + 9y2 − 24x− 36y − 252 = 0
(b) x2 + 4x+ y2 = 12
2. Dadas as equac¸o˜es parame´tricas da elipse, determine as equac¸o˜es reduzidas:
(a) x = 5cosθ, y = 5senθ
(b) x = cosθ, y = 3senθ
(c) x = 2 + 4cosθ, y = 3 + 2senθ.
4.4 Hipe´rbole
E´ o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferenc¸a das distaˆncias, em
valor absoluto, a dois pontos fixos desse e´ constante.
||
−→
PF1 | − |
−→
PF2 || = 2a (4.15)
Elementos:
Focos: os pontos F1 e F2.
Distaˆncia focal: |F1F2| = 2c
Centro e´ o ponto O, e corresponde ao ponto me´dio entre A1 e A2.
Eixo real: |A1A2| = 2a
Eixo imagina´rio: |B1B2| = 2b.
Ve´rtices: A1, A2
Relac¸a˜o Fundamental: Pelo triaˆngulo OA1B1 : c
2 = a2 + b2.
Excentricidade: e =
c
a
, esta´ relacionada com a abertura da hipe´rbole.
144
OA1
B1
c
a
b
Equac¸o˜esReduzidas: Pela definic¸a˜o, considere no plano dois pontos distintos F1
e F2 tal que a distaˆncia d(F1,F2) = 2c. Seja um nu´mero real a a tal que 2a < 2c.
Da´-se o nome de hipe´rbole ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que
||PF1| − |PF2|| = 2a
|
√
(x+ c)2 + (y − 0)2 −
√
(x− c)2 + (y − 0)2| = 2a
A deduc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´ ana´loga a equac¸a˜o da elipse.
1➦ O eixo real esta´ sobre o eixo dos x:
x2
a2
− y
2
b2
= 1
2➦ O eixo real esta´ sobre o eixo dos y:
y2
a2
− x
2
b2
= 1
Ass´ıntotas da Hipe´rbole: As ass´ıntotas fornecem uma orientac¸a˜o de que precisamos
para desenhar as hipe´rboles. Para determinar as equac¸o˜es das ass´ıntotas, quando eixo
real esta´ sobre o eixo dos x, devemos substituir o um por zero e resolver y na nova
equac¸a˜o:
145
x2
a2
− y
2
b2
= 1→ x
2
a2
− y
2
b2
= 0→ y = ± b
a
x
De forma ana´loga, quando eixo real esta´ sobre o eixo y: y = ±a
b
x
Exemplo 86 Escreva a equac¸a˜o na forma padra˜o e determine o centro, os ve´rtices
e focos da hipe´rbole: 16x2 − 9y2 + 144 = 0.
Soluc¸a˜o:
16x2 − 9y2 = −144
x2
−9 −
y2
−16 = 1
y2
16
− x
2
9
= 1


a2 = 16→ a = 4; b2 = 9→ b = 3
146
4.4.1 Agora tente resolver!
1. Uma hipe´rbole tem centro na origem e eixo imagina´rio igual a 8. Sabendo-se
que um foco e´ (0,-5), determinar sua equac¸a˜o, as equac¸o˜es das ass´ıntotas e sua
excentricidade.
2. Achar a equac¸a˜o de uma hipe´rbole de centro na origem e:
(a) Eixo focal sobre o eixo x, eixo real 2a = 10, eixo imagina´rio 2b = 8. E,
encontre as equac¸o˜es das ass´ıntotas.
(b) Eixo focal sobre Oy, 2a = 16 e excentricidade igual a
5
4
. E, encontre as
equac¸o˜es das ass´ıntotas.
3. Encontrar a equac¸a˜o da hipe´rbole com focos nos ve´rtices da elipse
x2
25
+
y2
9
= 1
e ve´rtices nos focos dessa elipse.
4. Obter a excentricidade da hipe´rbole equ¨ila´tera cuja distaˆncia focal e´ igual a 6
unidades de comprimento
5. A equac¸a˜o de uma das ass´ıntotas da hipe´rbole x2 − y2 = 16
(a) y = 2x− 1
147
(b) y = 4x
(c) y = x
(d) y = 2x
4.4.2 Equac¸a˜o Canoˆnica da Hipe´rbole com centro gene´rico
1➦ O eixo real e´ paralelo ao eixo dos x:
x′2
a2
− y
′2
b2
= 1→ x′ = x− h e y′ = y − k → (x− h)
2
a2
− (y − k)
2
b2
= 1
2➦ O eixo real e´ paralelo ao eixo dos y:
y′2
a2
− x
′2
b2
= 1→ x′ = x− h e y′ = y − k → (y − h)
2
a2
− (x− k)
2
b2
= 1
Equac¸a˜o Geral: ax2 + by2 + cx+ dy + f = 0 com a e b de sinais contra´rios.
Exemplo 87 Identifique a coˆnica de equac¸a˜o 25x2 − 36y2 − 100x− 73y − 836 = 0,
seus elementos e fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
Soluc¸a˜o
25x2 − 36y2 − 100x− 73y − 836 = 0
25(x2 − 4x)− 36(y2 − 2y) = 836
25(x2 − 4x+ 4)− 36(y2 − 2y + 1) = 836 + 100− 36
25(x2 − 4x+ 4)− 36(y2 − 2y + 1) = 900
(x− 2)2
36
− (y + 1)
2
25
= 1
Centro: C(2,− 1)
Foco: F (2±√61,1)
Ve´rtices: A1(8,− 1), A2(−4,− 1)
Excentricidade: e =
√
61
6
148
Ass´ıntotas: y = ±5
6
(x− 2)− 1
Representac¸a˜o geome´trica:
4.4.3 Equac¸o˜es Parame´tricas da Hipe´rbole
A equac¸a˜o da hipe´rbole e´
x2
a2
− y
2
b2
= 1 ou deixando o quadrado em evideˆncia,(x
a
)2
−
(y
b
)2
= 1.
Uma relac¸a˜o auxiliar da trigonometria e´ sec2(x) = 1+tg2(x) ou sec2(x)−tg2(x) =
1, comparando este resultado com a equac¸a˜o da hipe´rbole, podemos dizer que suas
para´metricas sa˜o


x
a
= sec(θ)→ x = asec(θ)
y
b
= tg(θ)→ y = btg(θ)
(4.16)
onde 0 ≤ θ ≤ 2π e θ 6= {π/2,3π/2}.
Quando o eixo real esta´ sobre o eixo Oy as equac¸o˜es parame´tricas sa˜o:
{
x = btg(θ)
y = a sec(θ)
Quando o centro da elipse for C(h,k), temos:
Para o eixo real paralelo ao eixo Ox:
149
{
x = h+ a sec(θ)
y = k + btg(θ)
Para o eixo real paralelo ao eixo Oy :
{
x = h+ btg(θ)
y = k + a sec(θ)
4.4.4 Agora tente resolver!
1. Determinar a equac¸a˜o geral da hipe´rbole de centro (3,5), eixo real igual a 10,
paralelo ao eixo x e eixo imagina´rio igual a 6.
2. Determinar a equac¸a˜o da para´bola cujo foco e´ F (1,2) e cuja diretriz e´ a reta
x− 5 = 0.
3. Determine o ve´rtice, o foco, a equac¸a˜o da diretriz da para´bola x2− 2x− 20y−
39 = 0.
4. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole de centro C(3, − 2) e eixo real paralelo ao
eixo x, sabendo que o eixo real mede 12 e o eixo imagina´rio mede 6.
5. Obter uma equac¸a˜o geral da elipse dada as seguintes parame´tricas:
(a)
{
x = 4 cos(θ)
y = 4 sin(θ)
(b)
{
x = cos(θ)
y = 5 sin(θ)
(c)
{
x = 2 + cos(θ)
y = 3 + 2 sin(θ)
Obter uma equac¸a˜o geral da hipe´rbole dada as seguintes equac¸o˜es parame´tricas:
(a) x = 4secθ, y = 2tgθ
(b) x = tgθ, y = 3secθ
(c) x = 2 + 3tgθ, y = 1 + 4secθ.
150
4.4.5 Tabela de fo´rmulas
Principais fo´rmulas: Para´bola, Elipse e Hipe´rbole
Para´bola Elipse Hipe´rbole
Equac¸a˜o canoˆnica x2 = 2py x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 x
2
a2
− y2
b2
= 1
Foco F (0,p
2
) F (±c,0) F (±c,0)
Execentricidade e = 1 0 < e < 1 e > 1
Centro fora da origem
(paralelo ao eixo y) (x− h)2 = 2p(y − k) (x−h)2
b2
+ (y−k)
2
a2
= 1 (y−k)
2
a2
− (x−h)2
b2
= 1
Ass´ıntotas y = ±a
b
x
4.5 Superf´ıcies Qua´dricas
A equac¸a˜o geral do 2➦ grau nas treˆs varia´veis x, y e z:
ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz +mx+ ny + pz + q = 0 (4.17)
onde pelo menos um dos coeficientes a , b, c, d, e ou f e´ diferente de zero, representa
uma superf´ıcie qua´drica. Se a superf´ıcie representada pela equac¸a˜o acima for cortada
pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de intersecc¸a˜o sera´
uma coˆnica. A intersecc¸a˜o de uma superf´ıcie com um plano e´ chamada trac¸o da
superf´ıcie no plano. Atrave´s de mudanc¸as de coordenadas (rotac¸a˜o e / ou translac¸a˜o)
a equac¸a˜o do 2➦ grau nas treˆs varia´veis pode ser transformada em uma das formas:
Ax2 +By2 + cz2 = D (4.18)
Que representa uma qua´drica centrada. Ou
Ax2 +By2 +Rz = 0 (4.19)
Ax2 +Ry + Cz2 = 0 (4.20)
Rx+By2 + Cz2 = 0 (4.21)
que representam qua´dricas na˜o centradas.
Superf´ıcies Qua´dricas Centradas: Caso nenhum dos coeficientes da equac¸a˜o (4.18)
for nulo, ela pode ser escrita sob uma das formas
±x
2
a2
± y
2
b2
± z
2
c2
= 1 (4.22)
151
Jessica
Realce
Jessica
Realce
denominadas como forma canoˆnica de uma superf´ıcie qua´drica centrada.
Elipso´ide: Representada pela equac¸a˜o:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
x
y
z
Trac¸o:
No plano xOy x
2
a2
+ y
2
b2
= 1, z = 0
No plano xOz x
2
a2
+ z
2
c2
= 1, y = 0
No plano yOz y
2
b2
+ z
2
c2
, x = 0
Se pelo menos dois valores a, b, c sa˜o iguais, o elipso´ide e´ de revoluc¸a˜o. No caso
em que a = b = c , a equac¸a˜o toma a seguinte forma: x2 + y2 + z2 = a2, e representa
uma superf´ıcie esfe´rica de centro (0,0,0) e raio a.
Pela translac¸a˜o de eixos com C(h,k,l) sendo o centro do elipso´ide, e seus eixos
paralelos aos eixos coordenados temos:
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
+
(z − l)2
c2
= 1 (4.23)
e na equac¸a˜o da superf´ıcie esfe´rica, temos
(x− h)2 + (y − k)2 + (z − l)2 = a2 (4.24)
Hiperbolo´ide de uma folha: Dada pela equac¸a˜o:
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1 (eixo Oz)
152
Jessica
Realce
Jessica
Realce
Jessica
Realce
Jessica
Realce
x y
z
As outras formas sa˜o:
Eixo Oy x
2
a2
− y2
b2
+ z
2
c2
= 1
Eixo Ox −x2
a2
+ y
2
b2
+ z
2
c2
= 1
O Trac¸o:
No plano xOy x
2
a2
+ y
2
b2
= 1, z = 0
No plano xOz x
2
a2
− z2
c2
= 1, y = 0
No plano yOz y
2
b2
− z2
c2
, x = 0
Hiperbolo´ide de Duas Folhas: A equac¸a˜o que representa um hiperbolo´ide de duas
folhas e´ dada por: −x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 (ao longo do eixo y).As outras formas sa˜o:
Eixo Oy x
2
a2
− y2
b2
− z2
c2
= 1
Eixo Ox −x2
a2
− y2
b2
+ z
2
c2
= 1
O Trac¸o:
153
Jessica
Realce
Jessica
Realce
Jessica
Realce
Jessica
Realce
x
y
z
No plano xOy x
2
a2
− y2
b2
= 1, z = 0
No plano yOz y
2
b2
− z2
c2
, x = 0
Superf´ıcies Qua´dricas na˜o Centradas: Se nenhum dos coeficientes dos termos do
1➦ membro das equac¸o˜es (4.19) for nulo elas podem ser escritas sob uma das formas
±x
2
a2
± y
2
b2
= cz; ± x
2
a2
± z
2
c2
= by; ± y
2
b2
± z
2
c2
= ax (4.25)
Parabolo´ide El´ıptico:
Equac¸o˜es:
Eixo Oz x
2
a2
+ y
2
b2
= cz
Eixo Oy x
2
a2
+ z
2
c2
= by
Eixo Ox y
2
b2
± z2
c2
= ax
O Trac¸o:
No plano xOy (0, 0, 0)
No plano xOz x
2
a2
= cz, y = 0
No plano yOz y
2
b2
= cz, x = 0
154
Jessica
Realce
x y
z
Parabolo´ide Hiperbo´lico: Se nas equac¸o˜es (4.25) os coeficientes dos termos de 2➦
grau tiverem sinais contra´rios,a equac¸a˜o representa um parabolo´ide hiperbo´lico:
Eixo Oz y
2
b2
− x2
a2
= cz
Eixo Oy z
2
c2
− x2
a2
= by
Eixo Ox z
2
c2
− y2
b2
= ax
O Trac¸o:
No plano xOy y
2
b2
− x2
a2
= 0, z = 0
No plano xOz −x2
a2
= cz, y = 0
No plano yOz y
2
b2
= cz, x = 0
4.6 Superf´ıcie Cil´ındrica
E´ uma superf´ıcie gerada por uma reta que se move paralelamente a uma reta fixa
e passando por uma curva fixa dada. Pela figura 4.3, observamos que r e´ a reta fixa,
g e´ a reta que se move paralelamente a reta r - geratriz da superf´ıcie e d e´ a curva
fixa - diretriz da superf´ıcie.
155
x
y
z
Figura 4.3: Definic¸a˜o.
Considere a seguinte equac¸a˜o: x2 − 2y, e´ uma equac¸a˜o cuja diretriz e´ uma curva
que se encontra em um dos planos coordenados e a geratriz e´ uma reta paralela ao
eixo coordenado na˜o contido no plano. Assim, a equac¸a˜o dada acima e´ uma para´bola,
e a equac¸a˜o da superf´ıcie cil´ındrica tambe´m sera´.
Portanto, quanto a diretriz: a superf´ıcie cil´ındrica sera´ circular, parabo´lica, el´ıptica
ou hiperbo´lica se a diretriz for uma circunfereˆncia, uma para´bola, uma elipse ou uma
hipe´rbole.
Pelo gra´fico abaixo observamos que a superf´ıcie cil´ındrica com geratrizes paralelas
ao eixo z , sendo sua diretriz uma elipse no plano xOy.
156
x
y
z
x
y
z
Exemplo 88 Construir o gra´fico das seguintes equac¸o˜es de superf´ıcies cil´ındricas:
1. z = 4− x2
2.
y2
9
− x
2
4
= 1
Soluc¸a˜o:
Para a equac¸a˜o z = 4− x2, temos que sua diretriz e´ paralela ao eixo y,
Para a equac¸a˜o
y2
9
− x
2
4
= 1, temos que sua diretriz e´ paralela ao eixo z, enta˜o,
teremos
157
x
y
z
x
y
z
Equac¸a˜o: Seja S uma superf´ıcie cil´ındrica cuja diretriz e´ a curva d :
{
f(x,y,z) = 0
g(x,y,z) = 0
e a sua geratriz tem paraˆmetros diretores a, b e c.
Se Q(x′,y′,z′) e´ um ponto da diretriz d, um ponto P (x,y,z) ∈ S (superf´ıcie) se
−→
PQ ||~g enta˜o
−→
PQ= ~gt, ou em coordenadas
(x′ − x,y′ − y,z′ − z) = (a,b,c)t (4.26)
portanto,
g :


x′ = x+ at
y′ = y + bt
z′ = z + ct
(4.27)
mas, Q(x′,y′,z′) ∈ d logo d :
{
f(x′,y′,z′) = 0
g(x′,y′,z′) = 0
158
Eliminando-se x′, y′, z′ e t nas equac¸o˜es acima, obtemos F (x,y,z) = 0 que
representa a equac¸a˜o de uma Superf´ıcie Cil´ındrica.
Exemplo 89
Determinar a equac¸a˜o da superf´ıcie cil´ındrica cuja diretriz e´ a curva d :
{
x2 = 4y
z = 0
e a geratriz e´ paralela a` reta r : {x− 1 = y + 2 = z/2.
Soluc¸a˜o:
~g = ~vr = (1,1,3)
Q(x′,y′,z′) ∈ deP (x,y,z) ∈ S
Enta˜o:
−→
PQ= ~gt =⇒
g :


x′ = x+ t
y′ = y + t
z′ = z + 3t
(4.28)
Se Q(x′,y′,z′) ∈ d enta˜o:
g :
{
x′2 = 4y′
z′ = 0
(4.29)
Substituindo 4.28 em 4.29 temos:
g :
{
(x+ t)2 = 4(y + t)
z + 3t = 0 =⇒ t = −z
3
(4.30)
Reescrevendo a equac¸a˜o temos: (x− z
3
)2 = 4(y− z
3
) - Superf´ıcie Cil´ındrica Parabo´lica
4.6.1 Agora tente resolver!
1. Encontrar a equac¸a˜o da superf´ıcie cil´ındrica cuja diretriz e´ a curva d :
{
x2 + y2 = 4
z = 5
e a geratriz e´ paralela a` reta r :


x = −3 + t
y = 1 + t
z = 2t
2. Determinar a equac¸a˜o da superf´ıcie cil´ındrica cuja diretriz e´ a curva d :
{
z2 − x2 = 4
y = 5
e a geratriz e´ paralela a` reta ~g = (−1,4,3).
159
3. Determinar a equac¸a˜o da superf´ıcie cil´ındrica cuja diretriz e´ a curva d :
{
x2 − y2 = 4
z = 2
e a geratriz e´ ~g = (2,1,3).
4. Determine a equac¸a˜o do cilindro de geratrizes paralelas a` reta r : {x − 1 =
(y + 1)/3 = z − 3 e cuja diretriz e´ a curva de intersec¸a˜o da superf´ıcie esfe´rica
x2 + y2 + z2 = 4 com o plano π : x− y + z = 0.
5. Determine a equac¸a˜o das superf´ıcies cil´ındricas, dadas a diretriz e a geratriz:
(a) d :
{
x2 + 4z2 = 16
y = 3
e ~g = (2,− 1,3)
(b) d :
{
y2 = 4z
x = 0
e ~g = (2,3,0)
(c) d :
{
x2 − y2 = 1
z = 2
e ~g = (0,2,1)
(d) d :
{ −4x2 + y2 = 16
z = 0
e ~g = (1,2,− 2)
(e) d :
{
x2 + 9y2 = 36
z = 0
e ~g = (1,− 2,5)
(f) d :
{
x2 = 4y
z = 2
e ~g = (2,2,2)
4.7 Superf´ıcie coˆnica
Considerando a reta z = ky no plano x = 0, se a rotacionarmos em torno do eixo
Oz, resulta-se numa superf´ıcie coˆnica circular.
Para obtermos a equac¸a˜o da superf´ıcie, substituimos na y na equac¸a˜o por±
√
x2 + y2,
no qual resulta:
z2 = k2(x2 + y2) (4.31)
Um superf´ıcie mais geral, e´ a de equac¸a˜o z2 =
x2
a2
+
y2
b2
, denominada de superf´ıcie
coˆnica el´ıptica ao longo do eixo Oz.
No eixo Ox temos: x2 =
y2
b2
+
z2
c2
160
No eixo Oy temos: y2 =
x2
a2
+
z2
c2
Da equac¸a˜o da superf´ıcie ao longo do eixo Oz, mostra-se que o trac¸o da superficie
no plano xOy, e´ o ponto O(0,0,0) e em z = k sa˜o elipses. Os trac¸os nos planos x = k
ou y = k sa˜o hipe´rboles que se degeneram em duas retas no caso de x = 0 ou y = 0.
Exemplo 90 Qual a equac¸a˜o da superf´ıcie coˆnica gerada de uma reta de equac¸a˜o
z = 4y, x = 0, no plano yOz que gira em torno do eixo Oz.
Soluc¸a˜o: Substituindo na equac¸a˜o equac¸a˜o da reta, y por ±
√
x2 + y2, temos
z = ±4
√
x2 + y2 → z2 = 16(x2 + y2)
4.8 Coordenadas Polares
No sistema de coordenadas cartesianas, as coordenadas sa˜o nu´meros, chamados
abscissas e ordenadas que sa˜o distaˆncias orientadas a duas retas fixas.
No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distaˆncia e
da medida de um aˆngulo em relac¸a˜o a um ponto fixo e com raio fixo (reta orientada).
θ
r
Po´lo
Eixo polar
Escolhemos o ponto fixo como O (usualmente a origem do sistema) chamado po´lo
e uma reta orientada ou eixo polar (usualmente tomamos o pro´prio eixo x do sistema
cartesiano).
Um ponto P no plano (sistema de coordenadas polares) e´ localizado da seguinte
forma:
Sejam r a distaˆncia de O a P (r = |OP | ) e θ a medida em radianos do aˆngulo
entre os vetores OP e um vetor na direc¸a˜o e sentido do eixo polar, com a mesma
161
convenc¸a˜o da trigonometria, ou seja, ele e´ positivo se medido no sentido anti-hora´rio
a partir do eixo polar e negativo se medido no sentido hora´rio a partir do eixo polar.
Enta˜o, as coordenadas polares de um ponto P do plano sa˜o escritas na forma
(r,θ).
Ponto Coord. Cartesianas Cood. Polares
A (2,0) (2,0)
B (0,2) (2,π/2)
C (-3,0) (3,π)
D (0,-3) (3,3π/2)
Observac¸o˜es:
- θ e´ positivo quando medido no sentido anti-hora´rio e negativo no sentido hora´rio;
- O po´lo e´ representado por (0,θ), para qualquer valor de θ.
Conjunto Principal:
Todo par (r,θ) representa um u´nico ponto, pore´m um ponto tem infinitos pares
que o representa. O conjunto principal e´ aquele em que r ≥ 0 e 0 ≤ θ < 360.
Exemplo 91 Se r = 2 (2 unidades medida)
162
Na semi-reta θ = pi
6
→ P (2,pi
6
).r e´ positivo quando medido do po´lo ao ponto sobre o lado terminal do aˆngulo θ.
Mas, se r = 2 e θ = (−11pi
6
)→ P (2,−11pi
6
), tambe´m representa o mesmo ponto.
Coordenadas polares podem ter valores negativos para r.
Exemplo 92 P (2,7pi
6
)
Rodando 7pi
6
rad no sentido anti-hora´rio a partir do raio inicial e indo duas
unidades em frente. Mas, tambe´m pode ser alcanc¸ado rodando pi
6
rad no sentido
anti-hora´rio e voltando duas unidades enta˜o P (−2,7pi
6
).
r < 0 e´ medido no prolongamento do lado terminal do aˆngulo θ.
Exemplo 93 Q(−1,− π/6)
Rodando π/6 no sentido hora´rio, pelo fato do aˆngulo ser negativo, a partir do
raio inicial e indo uma unidade no sentido oposto ao raio original.
4.8.1 Agora tente resolver!
1. Representar em um sistema de coordenadas polares:
a. P1(2,
pi
4
)
b. P2(−2,pi4 )
c. P3(−2,− pi4 )
d. P4(2,− pi4 )
4.9 Mudanc¸as de Coordenadas
Suponha que P seja um ponto cuja representac¸a˜o em coordenadas cartesianas
retangulares e´ (x,y) e em coordenadas polares (r,θ) e suponha ainda para facilidade
de compreensa˜o que o po´lo e o eixo polar do Sistema de coordenada polar coincidem
163
com a origem e o eixo x do sistema de coordenada cartesiana, respectivamente.
Consideremos o caso em que r > 0 , enta˜o o ponto P esta´ no lado terminal do aˆngulo
θ radianos. Assim,
r = |OP |
Enta˜o: cos(θ) =
x
|OP | =
x
r
e sin(θ) =
y
|OP | =
y
r
.
Portanto,
x = r cos(θ)
y = r sin(θ) (4.32)
A partir das equac¸o˜es (4.32) e´ poss´ıvel obter a transformac¸a˜o de Coordenadas
Polares (se forem conhecidas) para Coordenadas Cartesianas.
Para obtermos fo´rmulas que da˜o o conjunto de coordenadas polares de um ponto
quando suas coordenadas cartesianas retangulares sa˜o conhecidas, elevamos ao quadrado
ambos os lados das equac¸o˜es (4.32) e obtemos:
x2 = r2 cos2(θ)
y2 = r2 sin2(θ)
Igualando a soma dos membros esquerdos com a soma dos membros direitos
acima,
x2 + y2 = r2 cos2(θ) + r2 sin2(θ)→ x2 + y2 = r2(cos2(θ) + sin2(θ)
x2 + y2 = r2
r = ±
√
x2 + y2
Assim, cos(θ) =
x√
x2 + y2
e sin(θ) =
y√
x2 + y2
, se x2 + y2 6= 0.
4.9.1 Agora tente resolver!
1. Determine as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos:
a. A(7,π)
164