Aula - 2 - Operações e Classificação de Sinais e Sistemas

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Sinais e Sistemas
Engenharia de Controle e Automação
Universidade Federal de Lavras
Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa
Notas de Aula 2 – Operações e Classificação de Sinais e Sistemas
Sumário
• Classificação de sinais
• Operações com sinais
• Modelos úteis de sinais
• Classificação de sistemas
• Exemplos de sistemas
Sinais
• Da aula anterior...
• O que podemos dizer sobre os Sinais?
▫ Veicula informações sobre a natureza de um 
determinado fenômeno físico
▫ Uma função de uma ou mais variáveis
▫ Trabalharemos aqui com sinais que são funções da 
variável independente tempo
• Classificação:
▫ Contínuos e discretos no tempo 
▫ Analógicos e digitais
▫ Periódicos e Não-periódicos
▫ Determinísticos e Aleatórios
▫ Sinais Pares e Ímpares
▫ Sinais de Energia e de Potência
Sinais
• Contínuos e discretos no tempo:
▫ Sinal de tempo contínuo: definido para todo o 
tempo t (notação x(t) ). Analógico?
▫ Sinal de tempo discreto: definido apenas em 
instantes isolados no tempo (notação x[n] )
Classificação de Sinais
• Contínuos e discretos no tempo:
Classificação de Sinais
• Contínuos e discretos no tempo:
Classificação de Sinais
• Analógicos e Digitais:
▫ Analógico: variação contínua da amplitude, número 
infinito de símbolos
▫ Digital: variação discreta da amplitude, número finito de 
símbolos, maior imunidade ao ruído
Classificação de Sinais
• Contínuos, Discretos, Analógicos e Digitais:
Classificação de Sinais
• Periódicos e Não-Periódicos:
▫ Periódico: Um sinal é periódico se existe uma constante 
positiva T0 ou N0, tal que:
o menor valor de T0 e N0 que satisfaz as equações acima é
chamado de período fundamental.
Classificação de Sinais
frequência fundamental de x(t) em hertz 
frequência fundamental de x(t) em radianos por segundo 
frequência fundamental de x[n] em radianos por segundo 
• Periódicos e Não-Periódicos:
▫ Periódico: 
Classificação de Sinais
• Periódicos e Não-Periódicos:
▫ Não-periódico: Um sinal é não-periódico se não existe 
uma constante positiva T0 ou N0, tal que:
Classificação de Sinais
• Determinísticos e Aleatórios:
▫ Determinístico: Pode ser representado por uma função 
analítica
� É possível determinar precisamente o valor do sinal em um dado 
instante de tempo
f(t)=A cos(wot), onde A e wo são constantes
▫ Aleatório: Sinal sobre o qual há incerteza antes de sua 
ocorrência.
� Só podem ser representados por suas características estocásticas 
(média, variância, autocorrelação, etc) e não podem ser representados 
por uma função analítica (não é possível determinar precisamente o 
valor do sinal em um dado instante de tempo)
f(t)=A cos(wot), onde A é uma V.A. contínua Gaussiana
Classificação de Sinais
• Determinísticos e Aleatórios:
Classificação de Sinais
• Pares e Ímpares:
▫ Par: um sinal é par se e somente se, 
▫ Ímpar: um sinal é impar se e somente se,
Classificação de Sinais
• Pares e Ímpares:
▫ Exemplo Par: (simetria no eixo vertical)
Classificação de Sinais
• Pares e Ímpares:
▫ Exemplo Ímpar: (antissimétrico no eixo do tempo)
Classificação de Sinais
• Pares e Ímpares:
▫ Sinal par x sinal par = sinal par
▫ Sinal ímpar x sinal ímpar = sinal par
▫ Sinal ímpar x sinal par = sinal ímpar
▫ Todo sinal pode ser decomposto em uma soma de parte par 
e de uma parte ímpar:
Classificação de Sinais
par ímpar
• Pares e Ímpares:
▫ Exemplo de decomposição em partes par e ímpar:
� Sinal:
Classificação de Sinais
par ímpar
Classificação de Sinais
Classificação de Sinais
• Tamanho do Sinal
▫ Como medir o tamanho de um ser humano? 
Altura, peso?
▫ Qual o tamanho de um sinal?
� Energia do sinal
� Potência do Sinal
Classificação de Sinais
• Energia do Sinal
▫ A área debaixo do sinal x(t) pode ser considerada 
como uma medida de seu tamanho:
▫ Alguns inconvenientes:
� Cancelamento de áreas positivas e negativas.
� Solução?
Classificação de Sinais
• Energia do Sinal
▫ Generalizando para um sinal x(t) complexo:
Caso discreto:
Classificação de Sinais
• Energia do Sinal
▫ Calcular a energia do seguinte sinal:
Classificação de Sinais
• Energia do Sinal
▫ Calcular a energia do seguinte sinal:
Classificação de Sinais
• Energia do Sinal
▫ O que acontece ao calcular a energia dos seguintes 
sinais?
x(t)
Classificação de Sinais
• Energia do Sinal
▫ O que acontece ao calcular a energia dos seguintes 
sinais?
x(t)
A energia do sinal deve ser finita para ser uma medida efetiva do seu tamanho.
Quando é infinita, deve-se utilizar a 
energia média, quando existir, 
chamada de POTÊNCIA DO SINAL.
Classificação de Sinais
• Potência do Sinal
▫ Definição:
▫ Para um sinal periódico:
▫ Trata-se do valor médio quadrático do sinal
▫ A raiz quadrada da potência é chamada de valor 
RMS (raiz média quadrática)
Classificação de Sinais
• Potência do Sinal
▫ Exemplos:
� Sinal em rampa:
� Sinal constante:
� Sinal periódico: 
Classificação de Sinais
• Sinais de Energia e de Potência:
▫ Sinal de Energia:
� Sinal de energia finita (potência nula)
▫ Sinal de Potência:
� Sinal de potência não nula e finita (energia infinita)
Classificação de Sinais
• Sinais de Energia e de Potência
▫ Exemplos:
� x[n] = n para 0≤n≤5
x[n] = 0 para outro valor de n
� x[n] = x[n+N0] onde N0=6
Sinais
• Operações com Sinais 
▫ Deslocamento temporal
▫ Mudança de escala no tempo
▫ Reversão temporal
Operações com Sinais
• Deslocamento Temporal:
▫ Atraso
▫ Avanço
Análogo discreto
Operações com Sinais
• Mudança de escala no tempo:
▫ Compressão (fator 2)
▫ Expansão (fator 2)
Análogo discreto
• Decimação: 
▫ Reduz o número de amostras pelo fator de 
compressão do sinal (perda de informação)
Operações com Sinais
• Interpolação: 
▫ Primeiro uma 
expansão é realizada
▫ As amostras ímpares 
são então obtidas 
pelos valores das 
outras amostras (não 
há ganho de 
informação)
Operações com Sinais
Operações com Sinais
• Reversão temporal:
Análogo discreto
Operações com Sinais
• Reversão temporal:
Operações com Sinais
• Operações Combinadas:
▫ Atrasar x(t) por 6 e obter x(t-6) e fazer uma 
compressão no tempo por um fator de 2 
(substituir t por 2t)
▫ Comprimir x(t) por um fator de 2 e obter x(2t) e 
atrasar este sinal por três (t por t-3)
Análogo discreto
Operações com Sinais
• Exemplo:
▫ Encontrar o sinal: 
• Exemplo: 
▫ Fazendo o deslocamento primeiro...
▫ Considere a transformação:
▫ Troque t por τ
▫ Encontre o valor de t considerando 
▫ Esboce o eixo t transformado logo abaixo do eixo τ
▫ Esboce
Operações com Sinais
• Exemplo: 
Operações com Sinais
• Degrau contínuo e discreto
• Impulso contínuo e discreto
• Rampa contínua e discreta
Modelos Úteis de Sinais
• Função Degrau Unitário u(t)
▫ Contínuo:
Modelos Úteis de Sinais
Se quisermos um sinal que comece em t = 0, basta multiplicá-lo por u(t).
• Uma aplicação da função degrau unitário
▫ Fazer com que um sinal comece no tempo t=0
Modelos Úteis de Sinais
• Função Degrau Unitário u(t)
▫ Discreto:
Modelos Úteis de Sinais
• A Função Pulso Retangular
▫ Pode ser obtida em termos da função degrau:
Modelos Úteis de Sinais
• Função Impulso Unitário 
▫ Contínuo:
Modelos Úteis de Sinais
• Função Impulso Unitário 
▫ Contínuo:
� Aproximação
Modelos Úteis de Sinais
• Função Impulso Unitário Contínuo
▫ Como o impulso é não-zero apenas em t=0, e 
em t=0 é
▫ generalizando
Modelos Úteis de Sinais
• Função Impulso Unitário Contínuo 
▫ Assim,
Modelos Úteis de Sinais
propriedade da amostragem• Função Impulso Unitário Contínuo 
▫ Relação com o degrau contínuo:
Modelos Úteis de Sinais
• Função Impulso Unitário 
▫ Discreto:
Modelos Úteis de Sinais
propriedade da amostragem
• Função Impulso Unitário 
▫ Discreto:
� Relação entre o impulso e degrau unitário discretos
Modelos Úteis de Sinais
• Função Rampa Unitária 
▫ Contínua:
Modelos Úteis de Sinais
• Função Rampa Unitária 
▫ Discreta:
Modelos Úteis de Sinais
• Relações Degrau, Impulso e Rampa
Modelos Úteis de Sinais
Deriva
Integra
• Função Exponencial
▫ Revisão:
� Conjunto de números:
Modelos Úteis de Sinais
Números Complexos
• Segundo Gauss, se os números 
complexos/imaginários tivessem sido chamados 
de números perpendiculares, os entraves teriam 
sido evitados para sua aceitação.
Números Complexos
• Relação de Euler:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais:
▫ Casos a serem considerados:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais:
O Sinal é periódico?
Condição de periodicidade
Período fundamental?
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais:
Relação de Euler?
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – o caso discreto:
Os casos 2 e 3 são análogos aos equivalentes 
contínuos
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – o caso discreto:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – o caso discreto:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – o caso discreto:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – o caso discreto:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – o caso discreto:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – o caso discreto:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – o caso discreto:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – o caso discreto:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – o caso discreto:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais - caso contínuo:
▫ Quadro resumo:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – caso contínuo:
▫ Quadro resumo:
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – caso discreto:
▫ Quadro resumo :
Modelos Úteis de Sinais
• Sinais exponenciais – caso discreto:
▫ Quadro resumo :
como
Plano β Plano α
Sistemas
• Da primeira aula...
• O que podemos dizer sobre os Sistemas?
▫ Manipula sinais para realizar uma função
▫ Produz novos sinais
Sistemas
• Exemplo de Sistema
Sistemas
• Exemplo de Sistema
• Exemplo de Sistema
▫ Propriedade da decomposição:
� y(t) = condições iniciais + resposta natural forçada
� y(t) = resposta entrada nula+ resposta estado nulo
Sistemas
Sistemas
• Classificação:
▫ Lineares e Não-Lineares
▫ Variantes ou Invariantes no tempo
▫ Com Memória e Sem Memória
▫ Causais e Não-Causais
▫ Contínuos e Discretos
▫ Analógicos e Digitais
▫ Inversíveis ou Não-Inversíveis
▫ Estáveis e Instáveis
Sistemas
• Lineares e Não-Lineares
▫ Um sistema é dito linear se satisfaz a propriedade 
de aditividade e de homegeneidade:
� Aditividade:
� Homogeneidade 
� Combinando as duas propriedades em uma única, 
chamada de propriedade da superposição, tem-se
Sistemas
• Lineares e Não-Lineares
▫ Princípio da Superposição:
▫ Sistemas reais são normalmente não-lineares, que 
muitas vezes podem ser aproximados por sistemas 
lineares
Sistema Sistema
Sistema
Sistemas
• Lineares e Não-Lineares
▫ Princípio da Superposição:
▫ Sinais de entrada podem ser reconstruídos por sinais 
mais simples (impulso, degrau, exponenciais, 
senóides...)
Sistemas
• Lineares e Não-Lineares
▫ Como a propriedade da superposição aplica-se a 
sistemas lineares e, assim, a propriedade da 
decomposição pode ser aplicada
▫ Podemos analisar o sistema pela decomposição em 
suas componentes de entrada nula e estado nulo, ou 
qualquer componente da entrada desejada 
▫ Como a entrada pode ser reconstruída com funções 
mais simples, ao conhecer o sistema por entradas mais 
simples, conseguimos suas resposta para qualquer 
entrada arbitrária (e.g. resposta ao impulso)!
Sistemas
• Lineares e Não-Lineares
▫ Exemplo: 
� A equação da reta y = 5x
Este sistema estático é linear pois satisfaz o princípio da 
superposição:
Se x1 = 2, então y1 = 10
Se x2 = -3, então y2 = -15 
O princípio da superposição estabelece que 
Se x3 = 4x1 + 5x2 = -7, então 
y3 = 4y1 + 5y2 = -35
Por outro lado, y3 = 5x3 = -35
� Um outro exemplo é y = 2 + 5x
Sistemas
• Lineares e Não-Lineares
▫ Exemplo: 
� A equação y = 2 + 5x
Pelo princípio da superposição:
Se x1 = 2, então y1 = 12
Se x2 = -3, então y2 = -13 
O princípio da superposição estabelece que 
Se x3 = 4x1 + 5x2 = -7, então 
y3 = 4y1 + 5y2 = 48-65 = -17
Por outro lado, y3 = 2 + 5x3 = -33
Sistemas
• Lineares e Não-Lineares
▫ Exemplo:
� O sistema a seguir é linear?
esta equação é igual a equação do sistema com
Sistemas
• Variantes e Invariantes no Tempo
▫ deslocamento no sinal de entrada resulta num deslocamento 
idêntico no sinal de saída
Sistemas
• Variantes e Invariantes no Tempo
▫ Sistemas descritos por equações diferenciais com 
parâmetros constantes são exemplos de sistemas 
invariantes no tempo
▫ O curso será desenvolvido considerando 
principalmente sistemas LIT (Linear e Invariante 
no Tempo)
Sistemas
• Variantes e Invariantes no Tempo
▫ Exemplos:
� Seja y(t) = sen(u(t)). Para a entrada u1(t) a saída será y1 = sen(u1(t)). 
Deslocando u1(t) no tempo, tem-se 
u2(t) = u1(t - t0) 
y2(t) = sen(u2(t)) = sen(u1(t - t0))
y1(t - t0) = sen(u1(t - t0))
Como y2(t) = y1(t - t0) o sistema é invariante no tempo.
� Seja y(t) = tu(t) e as mesmas entradas acima. Nesse caso,
y1(t) = tu1(t)
y2(t) = tu2(t) = tu1(t - t0)
Como y1(t - t0) = (t - t0)u1(t - t0) ≠ y2(t), o sistema y(t) = tu(t) é variante no tempo.
Sistemas
• Com Memória (Dinâmico) e Sem Memória 
(Instantâneo)
▫ Sem memória se a saída num instante de tempo 
depende apenas da entrada no mesmo instante
� Exemplos:
� Circuito Resistivo
� Circuito RC (resistor, capacitor)
Sistemas
• Causal e Não-causal
▫ Causal se a saída depende somente de valores 
presentes e ou dos valores passados da entrada
▫ Exemplos (média móvel):
� Causal
� Não-causal
não é aplicado em tempo real
Sistemas
• Contínuos e Discretos
▫ Contínuos: sinais x(t) e y(t)
▫ Discretos: sinais x[n] e y[n]
Sistemas
• Analógicos e Digitais
▫ Diferenciar tempo e amplitude...
▫ Aqui estamos falando de amplitude, no slide 
anterior de tempo!
Sistemas
• Inversível e Não-Inversível
▫ Inversível se é possível determinar um sistema 
inverso
▫ Mapeamento um para um
S S-1
Sistemas
• Estável e Instável
▫ Um sistema é dito estável se uma entrada limitada 
resulta em uma saída limitada.
▫ BIBO (bounded input – bounded output)
� Ponte sobre o desfiladeiro de Tacoma:
� Em 7 de novembro de 1940, aproximadamente às 11 horas, a ponte sobre o 
desfiladeiro de Tacoma começa a entrar em colapso, em função de vibrações 
geradas por ventos, que não eram fortes. A ponte havia sido aberta para o 
tráfego há apenas alguns meses.
� Tacoma
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Os sistemas podem ser: elétricos, mecânicos, 
hidráulicos, acústicos, químicos, sociais, 
econômicos, etc...
▫ Todos necessitam de um modelo, expressão 
matemáticaque aproxime seu comportamento 
dinâmicos
▫ SISO, linear, dinâmico, invariante no tempo, 
causal
▫ Equações diferenciais...
▫ Descrição externa do sistema.
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Exemplo:
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Exemplo:
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída (Externa)
▫ Usar o operador diferencial (evitar o uso de 
integrais)
▫ Substituir todos os sinais intermediários até restar 
somente os sinais de entrada e saída
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Exemplo:
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Exemplo (i(t) como saída):
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Exemplo (vc(t) como saída):
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5):
� Em um semestre n, x[n] estudantes se inscreveram 
em um curso que precisa de um certo livro-texto. 
Uma editora vendeu y[n] cópias do livro no n-ésimo 
semestre. Na média, um quarto dos estudantes com 
o livro em boas condições revendem os livros no 
final do semestre, sendo a vida média do livro de três 
semestres. Escreva a equação que relaciona y[n], os 
novos livros vendidos pela editora, com x[n], o 
número de estudantes inscritos no n-ésimo 
semestre, considerando que todos os estudantes 
compram livros.
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5):
� x[n] = y[n] + livros reutilizados pelos alunos até dois 
semestres anteriores
� No semestre anterior, (n-1), foram vendidos y[n-1] 
livros novos e um quarto deles foram revendidos no 
semestre n, logo: (1/4)y[n-1]
� No semestre anterior a esse, (n-2), foram vendidos 
y[n-2] livros novos e um quarto desses livros foram 
vendidos no semestre (n-1), (1/4)y[n-2] e um quarto 
desses livros serão revendidos no semestre n, logo, 
no semestre n, teremos (1/16)y[n-2] dos livros que 
foram vendidos dois semestres atrás
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5):
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5):
� Representação gráfica
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5):
� Representação gráfica
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Diferenciador Digital (E.3.6)
� Projete um sistema em tempo discreto para 
diferenciar sinais contínuos no tempo. Esse 
diferenciador é utilizado em sistemas de áudio com 
uma largura de faixa do sinal de entrada inferior a 
20kHz.
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Diferenciador Digital
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Diferenciador Digital
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Diferenciador Digital
� Forma atrasada: 
� Forma adiantada:
Sistemas
• Descrição Entrada-Saída
▫ Integrador Digital
� Forma acumulativa: 
� Forma recursiva:
• Equação de Diferença:
▫ Princípio da causalidade: a saída em um instante 
n, não pode depender de valores da entrada em 
instantes n+1
▫ O número de atrasos (avanços) do sinal de entrada 
não pode ser maior que o considerado no sinal de 
saída
▫ A ordem da equação de diferença é o número de 
atrasos (avanços) considerados do sinal de saída
Sistemas
• Equação de Diferença:
▫ Resolva iterativamente (Ex. 3.8)
com condição inicial
e sinal de entrada
Sistemas
• Equação de Diferença:
▫ Resolva iterativamente (Ex. 3.8)
Sistemas
Sistemas
• Descrição em Espaço de Estados
▫ Descrição interna
▫ Usa um conjunto de variáveis internas chamadas 
variáveis de estado
▫ Todos os sinais presentes no sistema podem ser 
descritos como uma combinação linear das 
variáveis de estado e dos sinais de entrada
▫ Usa apenas equações diferenciais de primeira 
ordem
Sistemas
• Descrição em Espaço de Estados
▫ Apresenta-se, normalmente, no formato matricial:
Equação de Estado
Equação de Saída
Sistemas
• Descrição em Espaço de Estados
▫ Vantagens:
� Pode descrever sistemas não-lineares, sistemas 
MIMO (multiple input, multiple output) e sistemas 
com parâmetros variantes no tempo
� Utilização de técnicas de álgebra linear por utilizar 
notação matricial
� Uso em sistemas mais complexos
Sistemas
• Descrição em Espaço de Estados
▫ Descrição interna do Circuito Elétrico
� Mudança do sinal de saída (altera apenas a equação 
de saída)
Equação de Estado:
Equação de Saída:
ou
Exercícios:
• 1.1-1 a 1.1-9: energia e potência
• 1.2-1 a 1.2-6: operações de sinais
• 1.3-1 a 1.3-6: classificação de sinais
• 1.4-1 a 1.4-10: montagem de sinais
• 1.5-1 a 1.5-12: sinal par e ímpar
• 1.7-1 a 1.7-4: classificação de sistemas 
• 1.7-6 a 1.7-13: classificação de sistemas 
• 1.8-1 a 1.8-6: modelagem e descrição entrada e 
saída 
Exercícios:
• 3.1-1 a 3.1-5: energia e potência, sinal par e 
ímpar 
• 3.2-1 a 3.2-4: operações com sinal 
• 3.3-1 a 3.3-7: gráficos de sinal 
• 3.4-1 a 3.4-6: montagem 
• 3.4-7 a 3.4-11: classificação de sistemas 
• 3.5-1 a 3.5-5: solução recursiva