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Sinais e Sistemas Engenharia de Controle e Automação Universidade Federal de Lavras Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa Notas de Aula 2 – Operações e Classificação de Sinais e Sistemas Sumário • Classificação de sinais • Operações com sinais • Modelos úteis de sinais • Classificação de sistemas • Exemplos de sistemas Sinais • Da aula anterior... • O que podemos dizer sobre os Sinais? ▫ Veicula informações sobre a natureza de um determinado fenômeno físico ▫ Uma função de uma ou mais variáveis ▫ Trabalharemos aqui com sinais que são funções da variável independente tempo • Classificação: ▫ Contínuos e discretos no tempo ▫ Analógicos e digitais ▫ Periódicos e Não-periódicos ▫ Determinísticos e Aleatórios ▫ Sinais Pares e Ímpares ▫ Sinais de Energia e de Potência Sinais • Contínuos e discretos no tempo: ▫ Sinal de tempo contínuo: definido para todo o tempo t (notação x(t) ). Analógico? ▫ Sinal de tempo discreto: definido apenas em instantes isolados no tempo (notação x[n] ) Classificação de Sinais • Contínuos e discretos no tempo: Classificação de Sinais • Contínuos e discretos no tempo: Classificação de Sinais • Analógicos e Digitais: ▫ Analógico: variação contínua da amplitude, número infinito de símbolos ▫ Digital: variação discreta da amplitude, número finito de símbolos, maior imunidade ao ruído Classificação de Sinais • Contínuos, Discretos, Analógicos e Digitais: Classificação de Sinais • Periódicos e Não-Periódicos: ▫ Periódico: Um sinal é periódico se existe uma constante positiva T0 ou N0, tal que: o menor valor de T0 e N0 que satisfaz as equações acima é chamado de período fundamental. Classificação de Sinais frequência fundamental de x(t) em hertz frequência fundamental de x(t) em radianos por segundo frequência fundamental de x[n] em radianos por segundo • Periódicos e Não-Periódicos: ▫ Periódico: Classificação de Sinais • Periódicos e Não-Periódicos: ▫ Não-periódico: Um sinal é não-periódico se não existe uma constante positiva T0 ou N0, tal que: Classificação de Sinais • Determinísticos e Aleatórios: ▫ Determinístico: Pode ser representado por uma função analítica � É possível determinar precisamente o valor do sinal em um dado instante de tempo f(t)=A cos(wot), onde A e wo são constantes ▫ Aleatório: Sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência. � Só podem ser representados por suas características estocásticas (média, variância, autocorrelação, etc) e não podem ser representados por uma função analítica (não é possível determinar precisamente o valor do sinal em um dado instante de tempo) f(t)=A cos(wot), onde A é uma V.A. contínua Gaussiana Classificação de Sinais • Determinísticos e Aleatórios: Classificação de Sinais • Pares e Ímpares: ▫ Par: um sinal é par se e somente se, ▫ Ímpar: um sinal é impar se e somente se, Classificação de Sinais • Pares e Ímpares: ▫ Exemplo Par: (simetria no eixo vertical) Classificação de Sinais • Pares e Ímpares: ▫ Exemplo Ímpar: (antissimétrico no eixo do tempo) Classificação de Sinais • Pares e Ímpares: ▫ Sinal par x sinal par = sinal par ▫ Sinal ímpar x sinal ímpar = sinal par ▫ Sinal ímpar x sinal par = sinal ímpar ▫ Todo sinal pode ser decomposto em uma soma de parte par e de uma parte ímpar: Classificação de Sinais par ímpar • Pares e Ímpares: ▫ Exemplo de decomposição em partes par e ímpar: � Sinal: Classificação de Sinais par ímpar Classificação de Sinais Classificação de Sinais • Tamanho do Sinal ▫ Como medir o tamanho de um ser humano? Altura, peso? ▫ Qual o tamanho de um sinal? � Energia do sinal � Potência do Sinal Classificação de Sinais • Energia do Sinal ▫ A área debaixo do sinal x(t) pode ser considerada como uma medida de seu tamanho: ▫ Alguns inconvenientes: � Cancelamento de áreas positivas e negativas. � Solução? Classificação de Sinais • Energia do Sinal ▫ Generalizando para um sinal x(t) complexo: Caso discreto: Classificação de Sinais • Energia do Sinal ▫ Calcular a energia do seguinte sinal: Classificação de Sinais • Energia do Sinal ▫ Calcular a energia do seguinte sinal: Classificação de Sinais • Energia do Sinal ▫ O que acontece ao calcular a energia dos seguintes sinais? x(t) Classificação de Sinais • Energia do Sinal ▫ O que acontece ao calcular a energia dos seguintes sinais? x(t) A energia do sinal deve ser finita para ser uma medida efetiva do seu tamanho. Quando é infinita, deve-se utilizar a energia média, quando existir, chamada de POTÊNCIA DO SINAL. Classificação de Sinais • Potência do Sinal ▫ Definição: ▫ Para um sinal periódico: ▫ Trata-se do valor médio quadrático do sinal ▫ A raiz quadrada da potência é chamada de valor RMS (raiz média quadrática) Classificação de Sinais • Potência do Sinal ▫ Exemplos: � Sinal em rampa: � Sinal constante: � Sinal periódico: Classificação de Sinais • Sinais de Energia e de Potência: ▫ Sinal de Energia: � Sinal de energia finita (potência nula) ▫ Sinal de Potência: � Sinal de potência não nula e finita (energia infinita) Classificação de Sinais • Sinais de Energia e de Potência ▫ Exemplos: � x[n] = n para 0≤n≤5 x[n] = 0 para outro valor de n � x[n] = x[n+N0] onde N0=6 Sinais • Operações com Sinais ▫ Deslocamento temporal ▫ Mudança de escala no tempo ▫ Reversão temporal Operações com Sinais • Deslocamento Temporal: ▫ Atraso ▫ Avanço Análogo discreto Operações com Sinais • Mudança de escala no tempo: ▫ Compressão (fator 2) ▫ Expansão (fator 2) Análogo discreto • Decimação: ▫ Reduz o número de amostras pelo fator de compressão do sinal (perda de informação) Operações com Sinais • Interpolação: ▫ Primeiro uma expansão é realizada ▫ As amostras ímpares são então obtidas pelos valores das outras amostras (não há ganho de informação) Operações com Sinais Operações com Sinais • Reversão temporal: Análogo discreto Operações com Sinais • Reversão temporal: Operações com Sinais • Operações Combinadas: ▫ Atrasar x(t) por 6 e obter x(t-6) e fazer uma compressão no tempo por um fator de 2 (substituir t por 2t) ▫ Comprimir x(t) por um fator de 2 e obter x(2t) e atrasar este sinal por três (t por t-3) Análogo discreto Operações com Sinais • Exemplo: ▫ Encontrar o sinal: • Exemplo: ▫ Fazendo o deslocamento primeiro... ▫ Considere a transformação: ▫ Troque t por τ ▫ Encontre o valor de t considerando ▫ Esboce o eixo t transformado logo abaixo do eixo τ ▫ Esboce Operações com Sinais • Exemplo: Operações com Sinais • Degrau contínuo e discreto • Impulso contínuo e discreto • Rampa contínua e discreta Modelos Úteis de Sinais • Função Degrau Unitário u(t) ▫ Contínuo: Modelos Úteis de Sinais Se quisermos um sinal que comece em t = 0, basta multiplicá-lo por u(t). • Uma aplicação da função degrau unitário ▫ Fazer com que um sinal comece no tempo t=0 Modelos Úteis de Sinais • Função Degrau Unitário u(t) ▫ Discreto: Modelos Úteis de Sinais • A Função Pulso Retangular ▫ Pode ser obtida em termos da função degrau: Modelos Úteis de Sinais • Função Impulso Unitário ▫ Contínuo: Modelos Úteis de Sinais • Função Impulso Unitário ▫ Contínuo: � Aproximação Modelos Úteis de Sinais • Função Impulso Unitário Contínuo ▫ Como o impulso é não-zero apenas em t=0, e em t=0 é ▫ generalizando Modelos Úteis de Sinais • Função Impulso Unitário Contínuo ▫ Assim, Modelos Úteis de Sinais propriedade da amostragem• Função Impulso Unitário Contínuo ▫ Relação com o degrau contínuo: Modelos Úteis de Sinais • Função Impulso Unitário ▫ Discreto: Modelos Úteis de Sinais propriedade da amostragem • Função Impulso Unitário ▫ Discreto: � Relação entre o impulso e degrau unitário discretos Modelos Úteis de Sinais • Função Rampa Unitária ▫ Contínua: Modelos Úteis de Sinais • Função Rampa Unitária ▫ Discreta: Modelos Úteis de Sinais • Relações Degrau, Impulso e Rampa Modelos Úteis de Sinais Deriva Integra • Função Exponencial ▫ Revisão: � Conjunto de números: Modelos Úteis de Sinais Números Complexos • Segundo Gauss, se os números complexos/imaginários tivessem sido chamados de números perpendiculares, os entraves teriam sido evitados para sua aceitação. Números Complexos • Relação de Euler: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais: ▫ Casos a serem considerados: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais: O Sinal é periódico? Condição de periodicidade Período fundamental? Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais: Relação de Euler? Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – o caso discreto: Os casos 2 e 3 são análogos aos equivalentes contínuos Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – o caso discreto: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – o caso discreto: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – o caso discreto: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – o caso discreto: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – o caso discreto: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – o caso discreto: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – o caso discreto: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – o caso discreto: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – o caso discreto: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais - caso contínuo: ▫ Quadro resumo: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – caso contínuo: ▫ Quadro resumo: Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – caso discreto: ▫ Quadro resumo : Modelos Úteis de Sinais • Sinais exponenciais – caso discreto: ▫ Quadro resumo : como Plano β Plano α Sistemas • Da primeira aula... • O que podemos dizer sobre os Sistemas? ▫ Manipula sinais para realizar uma função ▫ Produz novos sinais Sistemas • Exemplo de Sistema Sistemas • Exemplo de Sistema • Exemplo de Sistema ▫ Propriedade da decomposição: � y(t) = condições iniciais + resposta natural forçada � y(t) = resposta entrada nula+ resposta estado nulo Sistemas Sistemas • Classificação: ▫ Lineares e Não-Lineares ▫ Variantes ou Invariantes no tempo ▫ Com Memória e Sem Memória ▫ Causais e Não-Causais ▫ Contínuos e Discretos ▫ Analógicos e Digitais ▫ Inversíveis ou Não-Inversíveis ▫ Estáveis e Instáveis Sistemas • Lineares e Não-Lineares ▫ Um sistema é dito linear se satisfaz a propriedade de aditividade e de homegeneidade: � Aditividade: � Homogeneidade � Combinando as duas propriedades em uma única, chamada de propriedade da superposição, tem-se Sistemas • Lineares e Não-Lineares ▫ Princípio da Superposição: ▫ Sistemas reais são normalmente não-lineares, que muitas vezes podem ser aproximados por sistemas lineares Sistema Sistema Sistema Sistemas • Lineares e Não-Lineares ▫ Princípio da Superposição: ▫ Sinais de entrada podem ser reconstruídos por sinais mais simples (impulso, degrau, exponenciais, senóides...) Sistemas • Lineares e Não-Lineares ▫ Como a propriedade da superposição aplica-se a sistemas lineares e, assim, a propriedade da decomposição pode ser aplicada ▫ Podemos analisar o sistema pela decomposição em suas componentes de entrada nula e estado nulo, ou qualquer componente da entrada desejada ▫ Como a entrada pode ser reconstruída com funções mais simples, ao conhecer o sistema por entradas mais simples, conseguimos suas resposta para qualquer entrada arbitrária (e.g. resposta ao impulso)! Sistemas • Lineares e Não-Lineares ▫ Exemplo: � A equação da reta y = 5x Este sistema estático é linear pois satisfaz o princípio da superposição: Se x1 = 2, então y1 = 10 Se x2 = -3, então y2 = -15 O princípio da superposição estabelece que Se x3 = 4x1 + 5x2 = -7, então y3 = 4y1 + 5y2 = -35 Por outro lado, y3 = 5x3 = -35 � Um outro exemplo é y = 2 + 5x Sistemas • Lineares e Não-Lineares ▫ Exemplo: � A equação y = 2 + 5x Pelo princípio da superposição: Se x1 = 2, então y1 = 12 Se x2 = -3, então y2 = -13 O princípio da superposição estabelece que Se x3 = 4x1 + 5x2 = -7, então y3 = 4y1 + 5y2 = 48-65 = -17 Por outro lado, y3 = 2 + 5x3 = -33 Sistemas • Lineares e Não-Lineares ▫ Exemplo: � O sistema a seguir é linear? esta equação é igual a equação do sistema com Sistemas • Variantes e Invariantes no Tempo ▫ deslocamento no sinal de entrada resulta num deslocamento idêntico no sinal de saída Sistemas • Variantes e Invariantes no Tempo ▫ Sistemas descritos por equações diferenciais com parâmetros constantes são exemplos de sistemas invariantes no tempo ▫ O curso será desenvolvido considerando principalmente sistemas LIT (Linear e Invariante no Tempo) Sistemas • Variantes e Invariantes no Tempo ▫ Exemplos: � Seja y(t) = sen(u(t)). Para a entrada u1(t) a saída será y1 = sen(u1(t)). Deslocando u1(t) no tempo, tem-se u2(t) = u1(t - t0) y2(t) = sen(u2(t)) = sen(u1(t - t0)) y1(t - t0) = sen(u1(t - t0)) Como y2(t) = y1(t - t0) o sistema é invariante no tempo. � Seja y(t) = tu(t) e as mesmas entradas acima. Nesse caso, y1(t) = tu1(t) y2(t) = tu2(t) = tu1(t - t0) Como y1(t - t0) = (t - t0)u1(t - t0) ≠ y2(t), o sistema y(t) = tu(t) é variante no tempo. Sistemas • Com Memória (Dinâmico) e Sem Memória (Instantâneo) ▫ Sem memória se a saída num instante de tempo depende apenas da entrada no mesmo instante � Exemplos: � Circuito Resistivo � Circuito RC (resistor, capacitor) Sistemas • Causal e Não-causal ▫ Causal se a saída depende somente de valores presentes e ou dos valores passados da entrada ▫ Exemplos (média móvel): � Causal � Não-causal não é aplicado em tempo real Sistemas • Contínuos e Discretos ▫ Contínuos: sinais x(t) e y(t) ▫ Discretos: sinais x[n] e y[n] Sistemas • Analógicos e Digitais ▫ Diferenciar tempo e amplitude... ▫ Aqui estamos falando de amplitude, no slide anterior de tempo! Sistemas • Inversível e Não-Inversível ▫ Inversível se é possível determinar um sistema inverso ▫ Mapeamento um para um S S-1 Sistemas • Estável e Instável ▫ Um sistema é dito estável se uma entrada limitada resulta em uma saída limitada. ▫ BIBO (bounded input – bounded output) � Ponte sobre o desfiladeiro de Tacoma: � Em 7 de novembro de 1940, aproximadamente às 11 horas, a ponte sobre o desfiladeiro de Tacoma começa a entrar em colapso, em função de vibrações geradas por ventos, que não eram fortes. A ponte havia sido aberta para o tráfego há apenas alguns meses. � Tacoma Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Os sistemas podem ser: elétricos, mecânicos, hidráulicos, acústicos, químicos, sociais, econômicos, etc... ▫ Todos necessitam de um modelo, expressão matemáticaque aproxime seu comportamento dinâmicos ▫ SISO, linear, dinâmico, invariante no tempo, causal ▫ Equações diferenciais... ▫ Descrição externa do sistema. Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Exemplo: Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Exemplo: Sistemas • Descrição Entrada-Saída (Externa) ▫ Usar o operador diferencial (evitar o uso de integrais) ▫ Substituir todos os sinais intermediários até restar somente os sinais de entrada e saída Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Exemplo: Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Exemplo (i(t) como saída): Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Exemplo (vc(t) como saída): Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5): � Em um semestre n, x[n] estudantes se inscreveram em um curso que precisa de um certo livro-texto. Uma editora vendeu y[n] cópias do livro no n-ésimo semestre. Na média, um quarto dos estudantes com o livro em boas condições revendem os livros no final do semestre, sendo a vida média do livro de três semestres. Escreva a equação que relaciona y[n], os novos livros vendidos pela editora, com x[n], o número de estudantes inscritos no n-ésimo semestre, considerando que todos os estudantes compram livros. Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5): � x[n] = y[n] + livros reutilizados pelos alunos até dois semestres anteriores � No semestre anterior, (n-1), foram vendidos y[n-1] livros novos e um quarto deles foram revendidos no semestre n, logo: (1/4)y[n-1] � No semestre anterior a esse, (n-2), foram vendidos y[n-2] livros novos e um quarto desses livros foram vendidos no semestre (n-1), (1/4)y[n-2] e um quarto desses livros serão revendidos no semestre n, logo, no semestre n, teremos (1/16)y[n-2] dos livros que foram vendidos dois semestres atrás Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5): Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5): � Representação gráfica Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5): � Representação gráfica Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Diferenciador Digital (E.3.6) � Projete um sistema em tempo discreto para diferenciar sinais contínuos no tempo. Esse diferenciador é utilizado em sistemas de áudio com uma largura de faixa do sinal de entrada inferior a 20kHz. Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Diferenciador Digital Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Diferenciador Digital Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Diferenciador Digital � Forma atrasada: � Forma adiantada: Sistemas • Descrição Entrada-Saída ▫ Integrador Digital � Forma acumulativa: � Forma recursiva: • Equação de Diferença: ▫ Princípio da causalidade: a saída em um instante n, não pode depender de valores da entrada em instantes n+1 ▫ O número de atrasos (avanços) do sinal de entrada não pode ser maior que o considerado no sinal de saída ▫ A ordem da equação de diferença é o número de atrasos (avanços) considerados do sinal de saída Sistemas • Equação de Diferença: ▫ Resolva iterativamente (Ex. 3.8) com condição inicial e sinal de entrada Sistemas • Equação de Diferença: ▫ Resolva iterativamente (Ex. 3.8) Sistemas Sistemas • Descrição em Espaço de Estados ▫ Descrição interna ▫ Usa um conjunto de variáveis internas chamadas variáveis de estado ▫ Todos os sinais presentes no sistema podem ser descritos como uma combinação linear das variáveis de estado e dos sinais de entrada ▫ Usa apenas equações diferenciais de primeira ordem Sistemas • Descrição em Espaço de Estados ▫ Apresenta-se, normalmente, no formato matricial: Equação de Estado Equação de Saída Sistemas • Descrição em Espaço de Estados ▫ Vantagens: � Pode descrever sistemas não-lineares, sistemas MIMO (multiple input, multiple output) e sistemas com parâmetros variantes no tempo � Utilização de técnicas de álgebra linear por utilizar notação matricial � Uso em sistemas mais complexos Sistemas • Descrição em Espaço de Estados ▫ Descrição interna do Circuito Elétrico � Mudança do sinal de saída (altera apenas a equação de saída) Equação de Estado: Equação de Saída: ou Exercícios: • 1.1-1 a 1.1-9: energia e potência • 1.2-1 a 1.2-6: operações de sinais • 1.3-1 a 1.3-6: classificação de sinais • 1.4-1 a 1.4-10: montagem de sinais • 1.5-1 a 1.5-12: sinal par e ímpar • 1.7-1 a 1.7-4: classificação de sistemas • 1.7-6 a 1.7-13: classificação de sistemas • 1.8-1 a 1.8-6: modelagem e descrição entrada e saída Exercícios: • 3.1-1 a 3.1-5: energia e potência, sinal par e ímpar • 3.2-1 a 3.2-4: operações com sinal • 3.3-1 a 3.3-7: gráficos de sinal • 3.4-1 a 3.4-6: montagem • 3.4-7 a 3.4-11: classificação de sistemas • 3.5-1 a 3.5-5: solução recursiva
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