01 Tensores, vetores, matrizes etc

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EET-438 Transformação Mecânica dos Materiais 2015/1 
 
Tensores, vetores, matrizes etc. 
 
 
1) Vetor (é um tensor de primeira ordem) 
 










=
3
2
1
v
v
v
v ou kjiv ˆˆˆ 321 vvv ++= 
 
e também: 
( )321 vvv=v 
 
 
2) Unitários dos eixos: 
 










=
0
0
1
ˆi , 










=
0
1
0
ˆj e 










=
1
0
0
ˆk 
 
3) Unitário de uma direção (paralela a v): 
 










=










++
==
n
m
l
v
v
v
vvv
3
2
1
2
3
2
2
2
1
1
ˆ
v
v
u 
 
l, m e n são chamados cossenos diretores da direção û 
 
4) Produto escalar: 
 
com ( )321 vvv=v e 










=
3
2
1
w
w
w
w , o produto escalar é 332211 wvwvwv ++=⋅ wv 
 
a "regra" é: 
[ ]332211321
3
2
1
 wvwvwvvvv
w
w
w
++
 
 
 
No produto, costuma-se usar o vetor da esquerda em linha e o da direita em coluna. 
5) O produto escalar também é definido por: 
∧
=⋅ )(cos vwwvwv 
onde 
∧
vw é o angulo entre v e w. 
 
6) O produto escalar de um vetor pelo unitário de uma direção é a projeção do vetor sobre essa 
direção: 
 
∧
⋅⋅=
∧
=⋅ )ˆ(cos1)ˆ(cosˆˆ uvvuvuvuv 
 
7) Veja o porque do nome cossenos diretores: 
 
... ,)ˆˆ(cosˆˆ l=
∧
=⋅ iuiu 
 
8) Uma matriz é um tensor de 2ª ordem: 
 










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
 
9) O produto de uma matriz por um vetor segue a mesma "regra" do produto escalar: 
 










++
++
++
=










⋅










333322311
233222211
133122111
3
2
1
333231
232221
131211
asasas
asasas
asasas
s
s
s
aaa
aaa
aaa
 
 
10) O produto de uma matriz por um vetor equivale a uma transformação do vetor. 
 










⋅










=










′
′
′
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
s
s
s
aaa
aaa
aaa
s
s
s
 
 
ou SAS ⋅=′ 
 
onde S' é o resultado da aplicação da matriz de transformação A ao vetor S. 
 
11) O resultado da aplicação da matriz identidade I a um vetor é o próprio vetor: 
 










⋅










=










3
2
1
3
2
1
100
010
001
s
s
s
s
s
s
 
 
ou SIS ⋅= 
12) Um conceito importante é o de autovalores e autovetores de uma transformação (também 
chamados valores e vetores próprios). Se o resultado do produto de um tensor T por um vetor v é 
um vetor paralelo a v, então v é um autovetor de T. Ou seja, vale a relação 
 
vvT λ=⋅ 
 
onde λ é um escalar, chamado autovalor. Mas, para um determinado tensor T, quais são os valores 
λ e vetores v que satisfazem esta relação? 
 
13) Determinação dos autovalores de T 
Primeiramente, note que vale a relação vvI =⋅ , onde I é a matriz identidade (3x3). Assim, pode-se 
escrever a relação acima como 
 
0)( =⋅− vIT λ 
 
Esta relação é satisfeita para qualquer v se o determinante IT λ− é nulo: 
 
0
333231
232221
131211
=
−
−
−
λ
λ
λ
ttt
ttt
ttt
 
 
Isto fornece uma equação do 3º grau, que não vale a pena reproduzir aqui. Então, temos três 
autovalores, que são as raízes λ1, λ2 e λ3. 
 
14) Determinação dos autovetores de T 
Os autovetores podem ser considerados unitários, pois o que importa são as suas direções. Sua 
determinação é feita resolvendo-se o sistema de equações correspondente à relação do item 10, para 
cada autovalor λi. Como este sistema é indeterminado, é necessária uma equação adicional, 
indicando que o autovetor é unitário: 
 
0
333231
232221
131211
=










⋅










−
−
−
i
i
i
i
i
i
n
m
l
ttt
ttt
ttt
λ
λ
λ
 
 
com 1222 =++ iii nml 
 
onde li, mi e ni são os cossenos diretores do autovetor correspondente ao autovalor λi.