03 Deformacoes

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EET438 – Transformação Mecânica dos Materiais 2015/1 
 
2-Estado de Deformações Tridimensional 
 
As deformações de um corpo sólido são obtidas a partir da análise dos deslocamentos dos seus 
pontos. 
Um dado ponto Q, com coordenadas (x,y,z), é deslocado para o ponto Q', com coordenadas 
(x+u,y+v,z+w). 
As deformações são compostas por dilatação e distorção, e podem ser visualizadas na figura 
abaixo, para um estado de deformação bidimensional. Com o auxílio desta figura, tente obter as 
deformações utilizando os métodos do livro texto. 
 
As deformações por dilatação afetam as dimensões lineares do sólido: 
z
w
e,
y
v
e,
x
u
e zzyyxx ∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= 
As deformações por distorção afetam as direções do sólido: 
.... ,,
x
v
e
z
u
e
y
u
e yxxzxy ∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= 
O conjunto das deformações é representado pelo tensor deslocamento: 


















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=










=
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
eee
eee
eee
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
E 
Se os deslocamentos u, v e w forem funções lineares (ou do 1° grau) de x, y e z, (deslocamentos 
homogêneos), o que se verifica para pequenos deslocamentos, como ocorre nos sólidos no regime 
elástico, tem-se as relações abaixo dadas na seção 2.0 do Dieter. Note que o ponto situado na 
origem dos eixos tem deslocamento nulo, o que significa que a translação foi desconsiderada. 
zeyexew
zeyexev
zeyexeu
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
++=
++=
++=
 
cuja representação em forma matricial é 
rEu ⋅=




















=










ou ,
z
y
x
eee
eee
eee
w
v
u
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
 
onde u é o vetor dos deslocamentos, E é o tensor deslocamento e r é o vetor posição do ponto 
considerado. Note que, diferentemente do tensor tensões, as componentes eij e eji não são 
necessariamente iguais. 
Para exemplificar os resultados que são obtidos pela 
relação apresentada, a figura 1 mostra os vetores 
deslocamento de pontos no plano x-y calculados com o 
tensor 
310
22
43
−
⋅





−
=E 
Os vetores estão representados em escala ampliada, para 
permitir a visualização. Figura 1 – Mapa dos vetores deslocamento 
Alguns aspectos importantes podem ser evidenciados analisando como são os deslocamentos dos 
pontos situados sobre uma reta que passa pela origem. 
Se tˆ é o vetor unitário de uma direção, os pontos situados sobre a reta com essa direção e que passa 
pela origem podem ser representados pelo vetor tq ˆk= , onde k é um escalar. O deslocamento do 
ponto correspondente ao vetor unitário tˆ será tEs ˆ⋅= . Um outro ponto q, situado sobre a mesma 
reta, apresentará um deslocamento tEqEp ˆk⋅=⋅= . Então, resulta que sp k= . Conclui-se que os 
vetores deslocamentos dos pontos situados sobre uma reta que passa pela origem são paralelos e seu 
módulo é proporcional à distancia do ponto à origem, como representado na figura 2. 
 
 
 
 
 
Figura 2 Figura 3 
 
A figura 3 mostra que um vetor deslocamento pode ser decomposto segundo a soma de dois 
vetores. O vetor //p , paralelo a q, indica o quanto o ponto se deslocou sobre a linha a. Esse 
deslocamento está relacionado com a variação de um comprimento e é definido pelas componentes 
eii do tensor E. Já o vetor ⊥p , perpendicular a q, indica a rotação da reta a para a'. Esse 
deslocamento pode ser resultante de um cisalhamento e/ou de uma rotação e está associado às 
componentes eij do tensor E. 
Portanto é necessário separar os efeitos de cisalhamento e de rotação produzidos pelas componentes 
eij, já que o interesse da análise da deformação está na determinação da modificação da forma. 
Isto é feito decompondo-se o tensor deslocamento em dois tensores, aplicando a expressão: 
( ) ( )jiijjiijij eeeee −++= 2
1
2
1
 
A primeira parcela fornece o tensor deformação ε , cujas componentes serão ( )jiijij eeε += 2
1
 : 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 








=










++
++
++
=
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
zzyzzyxzzx
zyyzyyxyyx
zxxzyxxyxx
eeeee
eeeee
eeeee
εεε
εεε
εεε
22
22
22
ε 
note que este tensor é simétrico ( jiij εε = ). 
A outra parcela fornece o tensor rotação ω , com componentes ( )jiijij eeω −= 2
1
: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 








−−
−=










−−
−−
−−
=
0
0
0
022
202
220
yzxz
yzxy
xzxy
yzzyxzzx
zyyzxyyx
zxxzyxxy
eeee
eeee
eeee
ωω
ωω
ωω
ω 
note que este tensor é anti-simétrico ( jiij ωω −= ) 
A soma destes tensores é o tensor deslocamento: 
ωεE += 
Esta decomposição pode ser visualizada na figura abaixo, onde são mostrados os mapas dos 
deslocamentos produzidos pelo tensor E (já mostrado na figura 1) e pelos tensores εεεε e ωωωω 
correspondentes. 
 
E 
 
εεεε 
 
ωωωω 
Figura 4a: Mapas dos vetores deslocamentos produzidos pelos tensores E, εεεε e ωωωω. (escalas ampliadas e diferentes) 
 
Uma medida utilizada para o cisalhamento é a deformação cisalhante de engenharia:, definida por 
ijjiijij εεεγ 2=+= . Esta deformação corresponde à variação angular do angulo reto. 
 
O tensor deformação apresenta propriedades análogas ao tensor tensão. É também possível 
determinar as direções ao longo das quais não há deformações cisalhantes: os eixos das 
deformações principais. Num sólido isotrópico, as direções das deformações principais coincidem 
com as direções das tensões principais. Você pode explicar por que? 
As três deformações principais são as raízes da equação cúbica: 
 
032
2
1
3
=−+− IεIεIε 
onde o primeiro invariante é 
3211 εεεεεεI zyx ++=++= 
 
Algumas propriedades importantes: 
• as deformações cisalhantes máximas (principais) são dadas por 
213
max312
321
εεγ
γεεγ
εεγ
−=
=−=
−=
 
• a deformação volumétrica ∆ 
( ) ( )( )( )
1
1111
Iεεε
εεε
dV
dVδ
zyx
zyx
=++≈
−+++==∆
 
• a deformação média mε ou componente hidrostática da deformação: 
33
∆εεε
ε
zyx
m =
++
= 
• podemos escrever o tensor deformação como a soma do tensor dilatacional e do tensor 
deformação-desvio: 










−
−
−
+










=










=
mzzzyzx
yzmyyyx
xzxymxx
m
m
m
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
εεεε
εεεε
εεεε
ε
ε
ε
εεε
εεε
εεε
00
00
00
ε 
A interpretação destes tensores é a mesma que foi vista no caso do tensor das tensões. O tensor 
deformação-desvio representa a distorção do sólido.