Teoria_de_Jogos

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Teoria de Jogos
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Objetivo: Descrever relações individuais onde a utilidade/benefício de um indivíduo 
dependa não apenas da sua ação, mas também da ação dos outros
Jogo na forma Normal (ou estratégica)
Por exemplo, no modelo de coalizão, as firmas podem agir de maneira cooperativa 
(formando a coalizão) ou de maneira não cooperativa (respondendo com a função 
de reação)
Assim, cada firma tem duas estratégias (ou ações) e o lucro de cada uma
depende, não apenas da estratégia adotada por ela, mas também da estratégia adotada 
pela concorrente
Definição: Um jogo na forma normal ou estratégica é definido por:
1) “I” indivíduos, também chamados de jogadores
2) Para cada indivíduo i ∈ I: a) um conjunto de estratégias S
i
; b) uma função de 
utilidade, tal que
),...,,,...,( sestratégia as executam demais os e estratégia a
 executa ele se indivíduo do pagamento o representa ),...,,,...,( onde
 ;...: 
111
11
21
Iiiii
Iiii
Ii
ssssss
issssu
RSSSu
+−−
+
=
→×××
Assim, um jogo na forma normal ou estratégica é denotado por (S
i
, u
i
)
i = 1,…,I
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Quando temos um jogo com dois indivíduos e poucas estratégias para cada um deles, 
podemos representar um jogo de forma matricial, como mostram os próximos 
exemplos
 R2). e (R1 esrestaurant dois de um em não)(ou encontrar se podem indivíduos Dois
 e.restaurant num Encontro 1) Exemplo
Encontrando-se em R1 ambos terão utilidade 10.
Encontrando-se em R2 ambos terão utilidade 5
Caso não se encontrem terão utilidade zero
R1 R2
R1 10, 10 0, 0
R2 0, 0 5, 5
Jogador 2
Jogador 1
Obs: Neste caso, se os jogadores são racionais, a forma que esperariamos para o 
desenvolvimento deste jogo, seria cada um jogar R1. 
Mas se a utilidade de ir ao R2 for igual à utilidade de ir ao R1, essa forma de jogar 
não mais é evidente 
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Exemplo 2) Par ou Impar
Cada jogador escolhe um número. Se a soma for Par, o J2 paga 1 u.m. ao J1. 
Se a soma for Impar, o J1 paga 1 u.m. ao J2
Par Impar
Par 1, -1 -1, 1
Impar -1, 1 1, -1
Jogador 2 
Jogador 1
Exemplo 3) O dilema dos prisioneiros 
Se os prisioneiros Confessam o crime, eles vão 6 anos para a cadeia
Se eles Não Confessam, vão apenas 4 ano
Se um deles Confessa e o outro Não Confessa, o que confesa vai 2 anos e o que não 
confessa vai 10 anos (Delação Premiada)
Não Confessa Confessa
Não Confessa -4, -4 -10, -2
Confessa -2, -10 -6, -6
Prisioneiro 2
Prisioneiro 1
Aqui também não há uma 
forma evidente de jogar
Dois indivíduos são pegos na cena de um crime, mas não há evidências suficientes 
para incriminá-los. Eles são separados en salas separadas para interrogação.
Há forma evidente 
de jogar?
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Exemplo 4) (Numêrico) Jogador 2
L l r R
Jogador 1
U -11, -19.4 5.2, 4 35, -23.4 41.2, 0
D 0, 44.4 0, 48 0, -3.6 0, 0
Conceitos de solução de um jogo
Definição: Sejam s1 e s2 duas estratégias do indivíduo i. Diremos que s1 domina s2 se: 
iiiiii
Ssssussu −−−− ∈∀≥ ),,2(),1(
Obs: 1) Se s1 domina s2, podemos eliminar s2 do conjunto Si
2) Eventualmente, podemos fazer eliminações sucessivas de estratégias dominadas 
e ficar apenas com um perfil de estratégias. Este perfil será a solução do jogo por 
eliminação de estratégias dominadas
Exemplo: 5) Resolver o jogo do exemplo 4 anterior e o seguinte jogo usando 
Eliminação de estratégias dominadas
L M R
U 4, 3 2, 7 0, 4
D 5, 5 5, -1 -4, -2
Há forma evidente 
de jogar?
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Definição: Um equilíbrio de Nash (em estratégias puras) é um perfil de estratégias 
s* = (s1
*,…, sI
* )∈ S tal que:
iiiiiiii
SsssussuIi ∈∀≤∈∀ −− ),,(),( ,
***
Exemplos: Achar o equilíbrio de Nash em estratégias puras para todos os jogos dados 
Obs: Se s* ∈ S é solução por eliminação de estratégias dominadas, então s* é EN
Estratégias Mistas 
Definição: Uma estratégia mista de um jogador é uma associação de probabilidades 
a cada uma das estratégias que o jogador pode executar
Exemplo: No jogo do exemplo 1, se o J1 joga R1 com probabilidade 30% e R2 com 
probabilidade 70% e o J2 joga R1 com probabilidade 40% e R2 com probabilidade 
60%, achar as utilidades que cada um dos jogadores consegue
Teorema: Todo jogo tem pelo menos um equilibrio de Nash em estratégias mistas
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Exemplos: 
Achar os equilíbrios de Nash em estratégias mistas dos jogos apresentados 
Cálculo de Equilíbrios de Nash com estratégias Mistas
Considere o seguinte jogo:
L R
U a1 , b1 a2 , b2
D a3 , b3 a4 , b4
J1
J2 Queremos calcular o EN com estratégias mistas:
)-(1 prob. com R e prob. com L joga J2
)-(1 prob. com D e prob com Ujoga J1
ββ
αα
Notemos que:
Se J1 joga somente U, ele terá utilidade: βa1 + (1- β)a2
Se J1 joga somente D, ele terá utilidade: βa1 + (1- β)a2
Portanto, para que o J1 jogue em estratégias mistas, algumas vezes deverá jogar U e 
outras vezes deverá jogar D. Portanto, essas duas utilidades devem ser iguais:
4321 a)1(aa)1(a ββββ −+=−+
Dessa forma calculamos o valor de β.
De maneira análoga, calculamos o valor de α.
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Jogos sequenciais e jogos na forma Extensiva
Se no jogo do Par e Impar o J1 jogar primeiro e o J2 observa a estratégia que J1 
executou, qual será o resultado do jogo?
Podemos representar esse jogo da seguinte maneira:
J1
J2
J2
P
P
P
I
I
I
(1, -1)
(-1, 1)
(1, -1)
(-1, 1)
Obviamente, neste caso o J2 sempre ganha. 
Para resolver este tipo de jogos, utilizamos 
“indução reversa”, que consiste em resolver 
o jogo dos nodos finais até o nodo inicial, 
adotando as estratégias mais adequadas 
para cada jogador
Exemplo: resolver o seguinte jogo por indução reversa
J1
U
D
L
R
L
R
J2
J2
(5, 7)
(4, 3)
(2, 6)
(1,8)