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exercícios EPCAR   RAZÕES, PROPORÇÕES, PORCENTAGEM, DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS, TORNEIRA E REGRA DE TRÊS

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produzem x 
artigos, então, o número de dias necessário para que y homens, trabalhando y horas por 
dia produzam um número y de artigos é 
a) 2y
x
 b) 2x
y
 c) 3
2
y
x
 d) 2
3
x
y
 
 
RESOLUÇÃO: b 
Vamos montar uma tabela com as grandezas da regra de três composta e analisar se 
cada uma dessas grandezas é diretamente proporcional (DIR.) ou inversamente 
proporcional (INV.) ao “número de dias”. 
 
n° de homens 
nº de horas por 
dia 
nº de dias 
n° de artigos 
produzidos 
x x x x 
y y k y 
INV. INV. DIR. 
 
Escrevendo a relação que expressa a proporcionalidade entre as grandezas, temos: 
 
 
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira 
 
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2x y y x x y x
k
k x x y k x y
      
 
 
Portanto, o número de dias necessário é 2x
.
y
 
 
 
22) (EPCAr 2006) Um tear eletrônico, trabalhando 5 horas por dia, produz 1200 peças 
em 3 dias. O número de horas que deverá trabalhar no 8
o
 dia para produzir 1840 peças, 
se o regime de trabalho fosse 3 horas diárias, seria um número do intervalo 
a) 
 2,3
 b) 
 3,4
 c) 
 4,6
 d) 
 1,2
 
 
RESOLUÇÃO: a 
Um tear eletrônico, trabalhando 5 horas por dia, produz 1200 peças em 3 dias, então 
esse tear produz 
1200
80
5 3


 peças por hora. 
Para produzir 1840 peças são necessárias 
1840
23 h.
80

 
Se o regime de trabalho é de 3 horas diárias, então ele deve trabalhar 7 dias completos 
(totalizando 21 horas) e mais 2 horas no 8° dia. 
Note, agora, que 
 2 2,3 .
 
 
 
23) (EPCAr 2006) Uma torneira com funcionamento normal e sem interrupção gasta 
12 horas e 30 minutos para encher um tanque em forma de paralelepípedo, cuja base 
mede 45 dm por 500 cm e cuja altura mede x metros. Após jorrar 
3600 da
 de água, 
que correspondem a 
1
5
 da capacidade do tanque, a torneira apresenta um defeito que 
reduz a sua vazão em 
1
.
3
 Considerando constante a vazão da torneira após o defeito, 
pode-se afirmar que o tempo gasto a mais para encher o tanque sem que a água entorne 
é 
a) 12 horas e 30 minutos. b) 15 horas. 
c) 10 horas e 30 minutos. d) 5 horas. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Se a torneira, em funcionamento normal, enche o tanque em 
12h30min 12,5h,
 então 
ela enche 
1
5
 do tanque em 
1
12,5 2,5h.
5
 
 
Como vazão é a razão entre o volume e o tempo, então o tempo é a razão entre volume e 
vazão. 
Se a vazão fica reduzida em 
1
,
3
 então a nova vazão é 
1 2
1
3 3
 
 da vazão original. 
 
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Para encher os 
4
5
 restantes do tanque, com a vazão reduzida em 
1
,
3
 o tempo 
originalmente gasto para encher o tanque fica multiplicado por 
4
5
 (parcela do volume 
do tanque que será enchida) e dividido por 
2
3
 (razão entre a nova vazão e a vazão 
original). Assim, o tempo gasto nessa parcela será 
4
12,5 35 10 15 h.
2 2
3

  
 
Portanto, o tempo total gasto para encher o tanque foi 
2,5h 15h 17,5h, 
 ou seja, 
foram gastas 5 horas a mais para encher o tanque. 
Observe que as dimensões e volumes fornecidos são desnecessários para a resolução do 
problema. 
 
 
24) (EPCAr 2006) Dois sócios x e y que montaram uma firma e que têm retirada mensal 
de acordo com o capital inicial de cada um, combinaram que a soma das retiradas 
totalizaria R$ 5.000,00. Após 6 meses, y passou a receber por mês mais 15% por ter 
adquirido algumas cotas de x que, consequentemente, passou a receber 
1
10
 a menos. 
Sabendo-se que, mesmo após a mudança, o total da retirada mensal permaneceu e que x 
sempre economizou 
1
12
 do que recebia, enquanto y sempre economizou 12,5%, é 
INCORRETO afirmar que 
a) a economia mensal de ambos era a mesma nos primeiros 6 meses. 
b) x passou a receber menos de R$ 2.800,00 após 6 meses. 
c) a diferença entre as duas retiradas caiu para 40% com a mudança. 
d) a economia mensal de x diminuiu R$ 30,00 com a alteração das retiradas. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Sejam 
k
 e 
5000 k
 os valores iniciais das retiras mensais de x e y, respectivamente, no 
início da sociedade. 
Como o valor da retirada mensal não mudou, então os 15% que y passou a receber a 
mais devem ser iguais ao 
1
10
 que x passou a receber a menos, então 
   
1
15% 5000 k k 15 5000 k 10k 25k 15 5000 k 3000
10
            
 
Assim, x recebia R$ 3.000,00 e passou a receber R$ 2.700,00, e y recebia R$ 2.000,00 e 
passou a receber R$ 2.300,00. 
Além disso, x economizava 
1
3000 250
12
 
 reais nos primeiros 6 meses, e passou a 
economizar 
1
2700 225
12
 
 reais nos meses seguintes. 
Já y economizava 
12,5% 2000 250 
 reais nos primeiros 6 meses, e passou a 
economizar 
12,5% 2300 287,50 
 reais nos meses seguintes. 
Vamos agora analisar as alternativas. 
 
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a) Correto, pois ambos economizavam 250 reais por mês. 
b) Correto, pois x passou a receber R$ 2.700,00 após 6 meses. 
c) Correto 
A diferença entre as duas retiradas era 
3000 2000 1000 
 reais e passou a ser 
2700 2300 400, 
 ou seja, 40% do valor original. 
d) Incorreto, pois a economia mensal de x diminuiu apenas R$ 25,00 com a alteração. 
 
 
25) (EPCAr 2006) Um caminhão-tanque com capacidade para transportar V litros faz a 
distribuição de óleo em três fábricas: 
,
 

 e 
.
 Partindo com o tanque cheio, deixou 
3
20
 do total em 
.
 Se em 

 deixou 
5
17
 do que restou e em 
,
 os últimos 12.600 litros, 
então, pode-se afirmar que 
a) V é tal que 
16000 V 20000. 
 
b) a fábrica 

 recebeu, em litros, um valor divisível por 9. 
c) a fábrica 

 recebeu, em litros, um valor maior que 
6000.
 
d) a soma das quantidades recebidas pelas fábricas 

 e 

 é, em litros, um valor V’ tal 
que 
9000 V' 15000. 
 
 
RESOLUÇÃO: b 
A quantidade deixada em 

 é 
3
V
20

 e restou no caminhão 
3 17
V V V.
20 20
 
 
A quantidade deixada em 

 é 
5 17 1
V V
17 20 4
 
 e restou 
17 1 12 3
V V V V.
20 4 20 5
  
 
A quantidade deixada em 

 foi 
3
V 12600 V 21000 .
5
  
 
A fábrica 

 recebeu 
3
21000 3150
20
 
 e a fábrica 

 recebeu 
1
21000 5250 .
4
 
 
a) Incorreta, pois 
V 20000.
 
b) Correta, pois 
3150 9 350. 
 
c) Incorreta, pois 
5250 6000.
 
d) Incorreta, pois 
V' 3150 5250 8400 9000.   
 
 
 
26) (EPCAr 2007) Um trem percorre certa distância, com velocidade constante. Se a 
velocidade aumentasse 20 km por hora, ele levaria 3 horas a menos, e, se diminuísse 20 
km por hora, ele precisaria de 5 horas a mais. A distância percorrida é um número cuja 
soma dos algarismos é 
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 
 
RESOLUÇÃO: a 
Sabemos que a distância percorrida é o produto da velocidade pelo tempo. 
Sejam d, v e t, respectivamente, a distância, a velocidade e o tempo citados 
inicialmente, então 
d v t. 
 
Se a velocidade aumentasse 20 km por hora, o trem levaria 3 horas a menos, e, se 
diminuísse 20 km por hora, ele precisaria de 5 horas a mais. Assim, temos: 
   v t v 20 t 3 vt vt 3v 20t 60 20t 3v 60            
 
 
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   v t v 20 t 5 vt vt 5v 20t 100 5v 20t 100   