AULA 04 PROBABILIDADE BÁSICA Copia

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Probabilidade básica
Prof. D.Sc. Igor Lima
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Química – Depto. de Química Analítica
Objetivos de aprendizagem
Ao final do capítulo, o aluno deverá ser capaz de:
 Entender conceitos de probabilidade básica;
 Entender probabilidade condicional;
 Entender o teorema de Bayes e utilizá-lo para 
analisar probabilidades.
2
Introdução
3
 Histórico:
 1654: Blaise Pascal e Pierre de Fermat: iniciaram o
tratamento científico da incerteza de ocorrência
através da descrição matemática do conceito de
probabilidade.
 Indissociável do conceito de experiência aleatória e
espaço de resultados.
 Experiência aleatória: todo processo cujo resultado não é
conhecido antecipadamente, embora sejam conhecidos
seus resultados possíveis.
 Espaço de resultados: conjunto de todos os resultados
possíveis para uma determinada experiência aleatória.
Eventos aleatórios
4
 Experimento aleatório:
 Pode-se repetir indefinidamente, sempre nas
mesmas condições;
 Antes de realizá-lo, não se pode predizer o resultado
que será obtido;
 O resultado obtido pertence a um conjunto de
possíveis resultados (ou espaço amostral).
 Os elementos do espaço amostral são os eventos
elementares.
Eventos aleatórios
5
 Operações básicas:
 União:
 Dados dois eventos A e B, a união é o evento formado
por todos os eventos elementares que pertencem a
ambos:
 A ∩ B = Ø
p(A U B) = p(A) + p(B)
A ∩ B ≠ Ø
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) 
Exemplo
6
 No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o 
número obtido ser múltiplo de 2 ou de 3?
 Múltiplos de 2: A = {2, 4, 6}
 Múltiplos de 3: B = {3, 6}
 Podemos notar que A∩B≠Ø, então: 
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
 p(A) = 3/6
 p(B) = 2/6
 p(A) ∩ p(B) = 1/6
 p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)=
Eventos aleatórios
7
 Operações básicas:
 Intersecção:
 Dados dois eventos aleatórios, A e B, intersecção é o evento
formado por todos os elementos que pertencem a A e a B
simultaneamente:
xAB, se e somente se, x A e xB
Eventos aleatórios
8
 Operações básicas:
 Complementar:
 O evento complementar ao evento A é o conjunto dos
elementos do espaço amostral que não pertencem a A
Exemplo
9
 Consideremos os seguinte eventos, associados ao lançamento de 
um dado: 
 A = {sair número par} = {2, 4, 6}, 
 B = {sair número ímpar} = {1, 3, 5} e 
 C = {sair número maior que 3} = {4, 5, 6}. 
 Com isso temos que
 a) A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 b) AB = Ø
 c) A U C = {2, 4, 5, 6} e AC = {4, 6}
 d) Cc = {1, 2, 3}
Eventos aleatórios
10
 Operações básicas:
 Diferença:
 Dados dois eventos aleatórios, A e B, diferença é o
evento formado por todos os eventos elementares que
pertencem a A, mas não a B:
A\B=A – B = ABc
Eventos aleatórios
11
 Operações básicas:
 Diferença simétrica:
 Evento aleatório formado por todos os eventos
elementares que pertencem a A e não a B, e os que
estão em B e não estão em A:
AB=(A\B)(B\A)=(AB)\(AB)
O conjunto em vermelho representa a diferença simétrica (A B ).
Definições
12
 Definição Clássica (ou de Laplace):
 Théorie analytique des probabilités, 1812.
 “A probabilidade de um acontecimento é o quociente entre
o número de casos favoráveis a este e o número de casos
possíveis, quando nada nos leva a esperar que algum dos
casos ocorrerá mais vezes do que os restantes, o que os
torna, para nós, igualmente provável”.
Probabilidade de ocorrência:
onde 
nA: número de casos favoráveis a A
#: número de casos possíveis
Definições
13
 Definição Frequencista:
 A probabilidade de um dado ocorrer é o valor para o
qual tende a frequência relativa deste à medida que
o número de vezes que a experiência aleatória é
repetida.
Probabilidade de ocorrência:
onde
nA: número de vezes que se verificou o acontecimento A
n: número de vezes que a experiência aleatória foi repetida.
OBS.: Requer a realização de um experimento um infinito número
de vezes e não permite obter valores exatos de probabilidade.
Definições
14
 Definição Axiomática (ou de Kolmogorov):
 Foundations of the theory of probability, (1933).
 Estabelecimento de axiomas.
 Probabilidade: a função P que, a cada acontecimento A
do espaço de resultados de uma experiência aleatória, faz
corresponder um número real P(A) que verifica os
seguintes axiomas:
Axiomas são verdades inquestionáveis universalmente válidas, muitas vezes 
utilizadas como princípios na construção de uma teoria ou como base para uma 
argumentação.
Definição Axiomática
15
 1º axioma:
 A probabilidade de qualquer acontecimento A é um
número real não negativo.
P(A) > 0, A
 2º axioma:
 A probabilidade do acontecimento certo é 1.
P() = 1
 3º axioma:
 Se A e B são acontecimentos incompatíveis (AB=), a
probabilidade de ocorrer A ou B é a soma das
probabilidades de A e de B.
Se AB= P(AB)=P(A)+P(B)
Probabilidade
16
 Probabilidade:
 A chance de um evento incerto que irá ocorrer (sempre
entre 0 – evento impossível, e 1 – evento certo):
 Evento
 Cada tipo possível de ocorrência ou resultado.
 0 ≤ P(A) ≤ 1, para qualquer evento A.
 Evento simples
 Um evento que pode ser descrito por uma única
característica.
 Espaço amostral
 A coletânea de todos os eventos possíveis.
 No caso do lançamento de uma moeda: S={cara, coroa}
Probabilidade
17
Existem três tipos de abordagens para se avaliar a
probabilidade de um evento incerto:
 Probabilidade clássica a priori:
 A probabilidade de um evento é baseado no conhecimento
prévio do processo envolvido.
 Probabilidade clássica empírica:
 A probabilidade de um evento é baseado em dados
observados.
 Probabilidade subjetiva:
 A probabilidade de um evento é determinada por um
analista, com base na experiência do passado deste, opinião
pessoal e/ou análise de uma situação particular.
Probabilidade clássica a priori: exemplo
18
Determine a probabilidade de selecionar uma carta
com figura (Valete, Dama ou Rei) a partir de um
baralho de 52 cartas.
cartas de total número
figura com cartas de número
 
 
T
X
 Figura com Carta de adeProbabilid
=
=
13
3
cartas de total 52
figura com cartas 12
 
T
X
==
Probabilidade clássica empírica: exemplo
19
Determine a probabilidade de selecionar homem que
estuda estatística a partir da população descrita na tabela
abaixo:
Estudam
Estatística
Não
estudam
Estatística
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Tabela 01) Dados da pesquisa.
191,0
439
84
pesquisada população da total número
aestatístic estudam que homens de número
aEstatístic Estudam que Homens de Probab.
==
=
Espaço amostral: exemplo
20
 É a coleção de todos os eventos possíveis.
 Dado (6 faces):
 52 cartas de um baralho
 Todos os resultados possíveis quando se tem uma 
criança (menino ou menina).
Espaço amostral: eventos
21
 Evento simples:
 Um resultado de um espaço amostral com uma
característica. Ex.: uma carta vermelha do baralho.
 Complemento (A′) de um evento A
 Todos os resultados que não fazem parte do evento
A. Ex: todos os cartões que não são diamante.
 Evento Combinado
 Envolve duas ou mais características
simultaneamente. Ex.: Um ás que é ao mesmo
tempo uma carta vermelho do baralho.
Probabilidade
22
 Tabelas de contingência
 Apresentao resultado de duas variáveis categóricas.
Espaço amostral: visualização de eventos
23
 Tabela de contingência
 Diagrama de Árvore:
Baralho
com
52 Cartas
Espaço
Amostral
2
24
2
24
Ás ≠ do Ás Total
Preto 2 24 26
Vermelho 2 24 26
Total 4 48 52
Probabilidade: Simples x Combinada
24
 Probabilidade Simples (Marginal)
 Refere-se a probabilidade de um evento simples. 
Ex.: P(Rei).
 Probabilidade Combinada
 Refere-se a probabilidade da ocorrência de dois ou 
mais eventos. Ex.: P(Rei e Espada).
Eventos mutuamente excludentes
25
 São eventos que não podem ocorrer
simultaneamente.
 Dados os eventos A (dama de ouro) e B (dama de
paus), os eventos A e B são mutuamente
excludentes se somente uma carta for retirada do
baralho.
 Dados os eventos Y (menino) e X (menina), os
eventos Y e X são mutuamente excludentes se
nascer somente uma criança.
Eventos coletivamente exaustivos
26
 Um dos eventos deve obrigatoriamente ocorrer.
 O conjunto de eventos abrange o espaço
amostral inteiro.
 Exemplo
 Dados os eventos A (ás), B (cartas pretas), C (ouro) e
D (copas):
 Eventos A, B, C e D são coletivamente exaustivos (mas,
não mutuamente exclusivos, pois um ás selecionado pode
ser de copas).
 Eventos B, C e D são coletivamente exaustivos e também
podem ser mutuamente excludentes.
Cálculo de probabilidades
27
 Probabilidade marginal (ou simples):
 Onde B1, B2, ..., Bn são n eventos mutuamente
excludentes e coletivamente exaustivos.
 Probabilidade combinada:
)BeP(A)BeP(A)BeP(AP(A) n21 +++= 
resultadosdetotalnúmero
BeAsatisfazemqueresultadosdenúmero
B)eP(A =
Probabilidade marginal
28
 P(ás)
52
4
52
2
52
2
Preta)eP(ÁsVermelha)eP(Ás =+=+=
Ás ≠ do Ás Total
Preto 2 24 26
Vermelho 2 24 26
Total 4 48 52
Exemplo
29
 Um experimento foi conduzido visando estudar as 
escolhas feitas na seleção de fundos mútuos. 
 Foram apresentados a alunos de graduação e alunos de 
MBA diferentes fundos constantes do Índice S&P 500 que 
eram idênticos, exceto em função das tarifas cobradas. 
Suponha que 100 alunos da graduação e 100 alunos de 
MBA tenham sido selecionados. 
 Resultados parciais são mostrados na tabela a seguir:
Exemplo
30
Fundo
Grupo de alunos
Total
Graduação MBA
Fundos com custo mais elevado 27 18 45
Fundos com custo menos elevado 73 82 155
Total 100 100 200
Caso um aluno seja selecionado ao acaso, qual é a probabilidade de que esse 
aluno
a) Tenha selecionado o fundo com o custo mais elevado
b) Tenha selecionado o fundo com o custo mais elevado e seja um aluno da 
graduação
c) Tenha selecionado o fundo com o custo mais elevado ou seja um aluno da 
graduação
Resolução
a) P = 45/200 = 0,225 b) P = 27/200 = 0,135 c) P = (45 + 100 – 73)/200 = 0,59
Probabilidade combinada
31
 Exemplo
 Dado um baralho com 52 cartas, qual é P(vermelho e ás)?
52
2
cartas de total número 
ás e vermelha são que cartas de número
ás) e P(vermelho ==
Ás ≠ do Ás Total
Preto 2 24 26
Vermelho 2 24 26
Total 4 48 52
Probabilidade Combinada: 
Tabela de contingência.
32
Evento
Evento
Total
B1 B2
A1 P(A1 e B1) P(A1 e B2) P(A1)
A2 P(A2 e B1) P(A2 e B2) P(A2)
Total P(B1) P(B2) 1
Probabilidade 
Combinada
Probabilidade 
Marginal
Probabilidade: Regra geral de adição
33
 A soma das probabilidades de todos os eventos 
mutuamente excludentes e coletivamente 
exaustivos é 1.
 P(A) + P(B) + P(C) = 1
 A, B, e C são eventos mutuamente excludentes e 
coletivamente exaustivo. 
Probabilidade: Regra geral de adição
34
 Regra geral de adição:
 P(A ou B) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(A e B)
 Se A e B são eventos mutuamente excludentes, 
então P(A e B) = 0, portanto a regra pode ser 
simplificada.
 P(A ou B) = P(A) + P(B)
 para os eventos A e B mutuamente excludentes.
Regra geral de adição
35
 Determine a probabilidade de selecionar um
homem ou um estudante de estatística da
população descrita na tabela seguinte:
Estudam Estatística (S) Não estudam Estatística (ÑS) Total
Homem (H) 84 145 229
Mulher (M) 76 134 210
Total 160 279 439
P(Homem ou Estudam Estatística) = P(H) + P(S) – P(M ou S) 
= 229/439 + 160/439 – 84/439 
= 305/439
Probabilidade Condicional
36
 Refere-se à probabilidade do evento B, sendo
conhecido informações sobre a ocorrência de
um outro evento A.
( )
( )
P(A|B) P BP(A e B)
P(B|A)
P(A) P A
= =
Onde: P(A e B) = probabilidade combinada de A e B
P(A) = probabilidade marginal de A
P(B) = probabilidade marginal de B
Probabilidade condicional: Exemplo
37
 Considere um lote de carros usados, 70% têm
ar condicionado (AC) e 40% têm leitor de CD
(CD), mas 20% dos carros têm ambos.
 Qual é a probabilidade de achar um carro que
tem um leitor de CD, e ar condicionado AC?
 Deseja-se encontrar a P(CD | AC).
Probabilidade condicional: Exemplo
38
Leitor de CD Sem leitor de CD Total
AC 0,2 0,5 0,7
Sem AC 0,2 0,1 0,3
Total 0,4 0,6 1,0
2857,0
0,7
0,2
P(AC)
AC)eP(CD
AC)|P(CD ===
Logo:
Considere AC, ou seja somente a linha superior (70% dos carros).
Destes 20% têm leitor de CD. Logo, 20% de 70% equivale a 28,57% do
total.
Probabilidade Condicional: 
árvore de decisão – exemplo.
39
P(CD e AC) = 0,2
P(CD e AC/) = 0,2
P(CD/ e AC/) = 0,1
P(CD/ e AC) = 0,5
4,0
2,0
6,0
5,0
6,0
1,0
Todos os
Carros
4,0
2,0
Dado CD ou
sem CD:
Probabilidade Condicional: 
árvore de decisão – exemplo
40
P(AC e CD) = 0,2
P(AC e CD/) = 0,5
P(AC/ e CD/) = 0,1
P(AC/ e CD) = 0,2
7,0
5,0
3,0
2,0
3,0
1,0
Todos
os
Carros
7,0
2,0
Dado AC ou
sem AC:
Exemplo
41
 Uma amostra de 500 respondentes foi selecionada em uma 
grande área metropolitana para estudo do comportamento do 
consumidor. Entre as questões indagadas estava: “Você gosta de 
comprar roupas?” De 240 homens, 136 responderam que sim. 
De 260 mulheres, 224 responderam que sim. Construa uma 
tabela de contingência para avaliar as probabilidades. Qual é a 
probabilidade de que um respondente escolhido de modo 
aleatório
 a) Goste de comprar roupas?
 b) Seja uma mulher e goste de comprar roupas?
 c) Seja uma mulher ou goste de comprar roupas?
 d) Seja um homem ou uma mulher?
Exemplo: resolução
42
Gênero
Gosta de roupa
Total
Sim Não
Homem 136 104 240
Mulher 224 36 260
Total 360 140 500
a) P = 360/500 = 0,72
b) P = 224/500 = 0,448
c) P = (260+360-224)/500 = 396/500 = 0,792
d) P = 500/500 = 1,00
Independência Estatística
43
 Dois eventos são independentes se e somente se:
P(A|B) = P(A)
 Eventos A e B são independentes quando a
probabilidade de um evento não é afetada pela
probabilidade do outro evento.
Exemplo
44
 Um levantamento feito junto aos 300 domicílios que efetivamente 
compraram aparelhos de TV de tela grande, foi perguntado se estavam 
satisfeitos com a compra.
 Determine se estar satisfeito com a compra e o tipo de aparelho de TV 
comprado são estatisticamente independentes.
 𝑃 𝑆𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜|𝑇𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎 =
Τ64 300
Τ80 300
=
64
80
= 0,80
 𝑃 𝑆𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 =
240
300
= 0,80
Tipo de aparelho de TV
Satisfeito com a compra?
Sim Não Total
Com tela de plasma 64 16 80
Sem tela de plasma 176 44 220
Total 240 60 300
Regra da Multiplicação
45
 Regra da multiplicação para dois eventos, A e B:
P(A e B) = P(A|B)P(B)
P(A|B)=P(A)
 Se A e B são eventos independentes, logo a regra 
da multiplicaçãotorna-se:
P(A e B) = P(A)P(B)
Regra da Multiplicação: exemplo
46
 Considere os 80 domicílios que compraram
aparelhos de TV com tela de plasma. Observe que
64 ficaram satisfeitos com a compra e 16 domicílios
ficaram insatisfeitos.
 Suponha que dois domicílios sejam aleatoriamente
selecionados do conjunto de 80 clientes. Encontre a
probabilidade de que ambos os domicílios estejam
satisfeitos com a compra.
 Use a regra da multiplicação, do seguinte modo. Se
 A = segundo domicílio selecionado está satisfeito
 B =primeiro domicílio selecionado está satisfeito
 P(A e B) = P(A|B)P(B)=(63/79) (64/80) = 0,6380
Probabilidade marginal com a regra da 
multiplicação
47
 Probabilidade marginal para o evento A:
P(A) = P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+ P(A|Bn)P(Bn)
 Onde, B1, B2, ..., Bn são n eventos mutuamente
excludentes e coletivamente exaustivos.
Exemplo
48
 A tabela abaixo mostra o comportamento dos clientes na 
compra de aparelhos de TV com tela grande para uma 
amostra de 1000 domicílios.
 P(A) = P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)
 P(A) = (200/300) (300/1000) + (50/700) (700/1000) = 0,25
Planejou a 
compra
Efetivamente comprou
Sim Não Total
Sim 200 50 250
Não 100 650 750
Total 300 700 1000
Teorema de Bayes
49
 É usado para rever probabilidades previamente
calculadas com base em novas informações.
 Foi desenvolvida por Thomas Bayes no Século
18.
 É uma extensão da probabilidade condicional.
Teorema de Bayes
50
))P(BB|P(A))P(BB|P(A))P(BB|P(A
))P(BB|P(A
A)|P(B
nn2211
ii
i
+++
=

Onde:
Bi = i
ésimo evento dentre os n eventos mutuamente
excludentes e coletivamente exaustivos
A = novo evento que pode impactar P(Bi)
Teorema de Bayes: exemplo
51
 A empresa de perfuração estimou em 40% como a
chance de encontrar óleo no novo poço.
 Um teste detalhado foi agendada para se obter mais
informações. Historicamente, 60% dos poços de
sucesso tiveram testes detalhados, e 20% dos poços
sem sucesso também tiveram testes detalhados.
 Tendo em conta que para este poço foi programado
um teste detalhado, qual é a probabilidade de que o
poço bem será bem sucedido.
Teorema de Bayes: exemplo
52
 Seja S = poço com sucesso e I = poço sem
sucesso
 P(S)=0,4 e P(I)=0,6 → probabilidade anterior
 Defina o evento do teste detalhado como D
 Probabilidades condicionais:
 P(D|S)=0,6 e P(D|I)=0,2
 Objetivo: Determinar P(S|D)!!
Teorema de Bayes: exemplo
53
 Assim, a probabilidade de revista de sucesso, dado
que este poço foi programado para um teste
detalhado é 0,667.
667,0
12,024,0
24,0
)6,0)(2,0()4,0)(6,0(
)4,0)(6,0(
I)P(I)|P(DS)P(S)|P(D
S)P(S)|P(D
D)|P(S
=
+
=
+
=
+
=
Teorema de Bayes: exemplo
54
Evento
Probabilidade 
anterior
Probabilidade 
Condicional
Probabilidade 
Combinada
Probabilidade 
Revisada
Sucesso (S) 0,4 0,6 0,4x0,6=0,24
0,24/0,36 =
= 0,667
Insucesso (I) 0,6 0,2 0,6x0,2=0,12
0,24/0,36 =
= 0,333
Exemplo
55
 A probabilidade de que uma pessoa seja portadora de uma 
determinada enfermidade é de 0,03. 
 Testes para diagnósticos médicos encontram-se disponíveis 
para determinar se a pessoa efetivamente é portadora da 
enfermidade. Se a enfermidade estiver presente, a 
probabilidade de que o teste de diagnóstico médico venha a 
apresentar um resultado positivo (indicando que a 
enfermidade está presente) é de 0,90. 
 Se a enfermidade não estiver presente, a probabilidade de um 
resultado positivo é 0,02. 
 Suponha que o teste para diagnóstico médico tenha 
apresentado um resultado positivo. 
 Qual é a probabilidade de que a enfermidade esteja 
efetivamente presente? Qual é a probabilidade de um 
resultado positivo para o teste?
Exemplo: resolução
56
 Evento D = é portador da enfermidade
 Evento D´= não é portador da enfermidade
 Evento T = o teste é positivo
 Evento T´= o teste é negativo
 P(D) = 0,03
 P(D´) = 0,97
 P(T│D) = 0,90
 P(T│D´) = 0,02
 P(D│T)=P(T│D)P(D) / (P(T│D)P(D)+P(T│D´)P(D´))
 P(D│T) =(0,90)(0,03) /((0,90)(0,03)+(0,02)(0,97))=0,582
Sumário do Capítulo
 A Discussão dos conceitos de probabilidade básica.
 Espaço amostral e eventos, tabelas de contingência,
probabilidade simples (marginal) e probabilidade
combinada
Examinada as regras de probabilidade básica.
 Regra geral de adição, regra de adição para
eventos mutualmente excludentes, regra para
eventos coletivamente exaustivos.
Definido probabilidade condicional.
 Independência estatística, probabilidade marginal, árvore
de decisão e regra de multiplicação.
Discussão do teorema Bayes.
57