AULA 04 PROBABILIDADE BÁSICA   Copia
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Probabilidade básica
Prof. D.Sc. Igor Lima
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Química \u2013 Depto. de Química Analítica
Objetivos de aprendizagem
Ao final do capítulo, o aluno deverá ser capaz de:
\uf07d Entender conceitos de probabilidade básica;
\uf07d Entender probabilidade condicional;
\uf07d Entender o teorema de Bayes e utilizá-lo para 
analisar probabilidades.
2
Introdução
3
\uf07d Histórico:
\uf07d 1654: Blaise Pascal e Pierre de Fermat: iniciaram o
tratamento científico da incerteza de ocorrência
através da descrição matemática do conceito de
probabilidade.
\uf07d Indissociável do conceito de experiência aleatória e
espaço de resultados.
\uf07d Experiência aleatória: todo processo cujo resultado não é
conhecido antecipadamente, embora sejam conhecidos
seus resultados possíveis.
\uf07d Espaço de resultados: conjunto de todos os resultados
possíveis para uma determinada experiência aleatória.
Eventos aleatórios
4
\uf07d Experimento aleatório:
\uf07d Pode-se repetir indefinidamente, sempre nas
mesmas condições;
\uf07d Antes de realizá-lo, não se pode predizer o resultado
que será obtido;
\uf07d O resultado obtido pertence a um conjunto de
possíveis resultados (ou espaço amostral).
\uf07d Os elementos do espaço amostral são os eventos
elementares.
Eventos aleatórios
5
\uf07d Operações básicas:
\uf07d União:
\uf07d Dados dois eventos A e B, a união é o evento formado
por todos os eventos elementares que pertencem a
ambos:
\uf07d A \u2229 B = Ø
p(A U B) = p(A) + p(B)
A \u2229 B \u2260 Ø
p(A U B) = p(A) + p(B) \u2013 p(A \u2229 B) 
Exemplo
6
\uf07d No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o 
número obtido ser múltiplo de 2 ou de 3?
\uf07d Múltiplos de 2: A = {2, 4, 6}
\uf07d Múltiplos de 3: B = {3, 6}
\uf07d Podemos notar que A\u2229B\u2260Ø, então: 
p(A U B) = p(A) + p(B) \u2013 p(A \u2229 B)
\uf07d p(A) = 3/6
\uf07d p(B) = 2/6
\uf07d p(A) \u2229 p(B) = 1/6
\uf07d p(A U B) = p(A) + p(B) \u2013 p(A \u2229 B)=
Eventos aleatórios
7
\uf07d Operações básicas:
\uf07d Intersecção:
\uf07d Dados dois eventos aleatórios, A e B, intersecção é o evento
formado por todos os elementos que pertencem a A e a B
simultaneamente:
x\uf0ceA\uf0c7B, se e somente se, x \uf0ceA e x\uf0ceB
Eventos aleatórios
8
\uf07d Operações básicas:
\uf07d Complementar:
\uf07d O evento complementar ao evento A é o conjunto dos
elementos do espaço amostral que não pertencem a A
Exemplo
9
\uf07d Consideremos os seguinte eventos, associados ao lançamento de 
um dado: 
\uf07d A = {sair número par} = {2, 4, 6}, 
\uf07d B = {sair número ímpar} = {1, 3, 5} e 
\uf07d C = {sair número maior que 3} = {4, 5, 6}. 
\uf07d Com isso temos que
\uf07d a) A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
\uf07d b) A\uf0c7B = Ø
\uf07d c) A U C = {2, 4, 5, 6} e A\uf0c7C = {4, 6}
\uf07d d) Cc = {1, 2, 3}
Eventos aleatórios
10
\uf07d Operações básicas:
\uf07d Diferença:
\uf07d Dados dois eventos aleatórios, A e B, diferença é o
evento formado por todos os eventos elementares que
pertencem a A, mas não a B:
A\B=A \u2013 B = A\uf0c7Bc
Eventos aleatórios
11
\uf07d Operações básicas:
\uf07d Diferença simétrica:
\uf07d Evento aleatório formado por todos os eventos
elementares que pertencem a A e não a B, e os que
estão em B e não estão em A:
A\uf044B=(A\B)\uf0c8(B\A)=(A\uf0c8B)\(A\uf0c7B)
O conjunto em vermelho representa a diferença simétrica (A B ).
Definições
12
\uf07d Definição Clássica (ou de Laplace):
\uf07d Théorie analytique des probabilités, 1812.
\uf07d \u201cA probabilidade de um acontecimento é o quociente entre
o número de casos favoráveis a este e o número de casos
possíveis, quando nada nos leva a esperar que algum dos
casos ocorrerá mais vezes do que os restantes, o que os
torna, para nós, igualmente provável\u201d.
Probabilidade de ocorrência:
onde 
nA: número de casos favoráveis a A
#\uf057: número de casos possíveis
Definições
13
\uf07d Definição Frequencista:
\uf07d A probabilidade de um dado ocorrer é o valor para o
qual tende a frequência relativa deste à medida que
o número de vezes que a experiência aleatória é
repetida.
Probabilidade de ocorrência:
onde
nA: número de vezes que se verificou o acontecimento A
n: número de vezes que a experiência aleatória foi repetida.
OBS.: Requer a realização de um experimento um infinito número
de vezes e não permite obter valores exatos de probabilidade.
Definições
14
\uf07d Definição Axiomática (ou de Kolmogorov):
\uf07d Foundations of the theory of probability, (1933).
\uf07d Estabelecimento de axiomas.
\uf07d Probabilidade: a função P que, a cada acontecimento A
do espaço de resultados de uma experiência aleatória, faz
corresponder um número real P(A) que verifica os
seguintes axiomas:
Axiomas são verdades inquestionáveis universalmente válidas, muitas vezes 
utilizadas como princípios na construção de uma teoria ou como base para uma 
argumentação.
Definição Axiomática
15
\uf07d 1º axioma:
\uf07d A probabilidade de qualquer acontecimento A é um
número real não negativo.
P(A) > 0, \uf022A\uf0cd\uf057
\uf07d 2º axioma:
\uf07d A probabilidade do acontecimento certo é 1.
P(\uf057) = 1
\uf07d 3º axioma:
\uf07d Se A e B são acontecimentos incompatíveis (A\uf0c7B=\uf0c6), a
probabilidade de ocorrer A ou B é a soma das
probabilidades de A e de B.
Se A\uf0c7B=\uf0c6 P(A\uf0c8B)=P(A)+P(B)
Probabilidade
16
\uf07d Probabilidade:
\uf07d A chance de um evento incerto que irá ocorrer (sempre
entre 0 \u2013 evento impossível, e 1 \u2013 evento certo):
\uf07d Evento
\uf07d Cada tipo possível de ocorrência ou resultado.
\uf07d 0 \u2264 P(A) \u2264 1, para qualquer evento A.
\uf07d Evento simples
\uf07d Um evento que pode ser descrito por uma única
característica.
\uf07d Espaço amostral
\uf07d A coletânea de todos os eventos possíveis.
\uf07d No caso do lançamento de uma moeda: S={cara, coroa}
Probabilidade
17
Existem três tipos de abordagens para se avaliar a
probabilidade de um evento incerto:
\uf07d Probabilidade clássica a priori:
\uf07d A probabilidade de um evento é baseado no conhecimento
prévio do processo envolvido.
\uf07d Probabilidade clássica empírica:
\uf07d A probabilidade de um evento é baseado em dados
observados.
\uf07d Probabilidade subjetiva:
\uf07d A probabilidade de um evento é determinada por um
analista, com base na experiência do passado deste, opinião
pessoal e/ou análise de uma situação particular.
Probabilidade clássica a priori: exemplo
18
Determine a probabilidade de selecionar uma carta
com figura (Valete, Dama ou Rei) a partir de um
baralho de 52 cartas.
cartas de total número
figura com cartas de número
 
 
T
X
 Figura com Carta de adeProbabilid
=
=
13
3
cartas de total 52
figura com cartas 12
 
T
X
==
Probabilidade clássica empírica: exemplo
19
Determine a probabilidade de selecionar homem que
estuda estatística a partir da população descrita na tabela
abaixo:
Estudam
Estatística
Não
estudam
Estatística
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Tabela 01) Dados da pesquisa.
191,0
439
84
pesquisada população da total número
aestatístic estudam que homens de número
aEstatístic Estudam que Homens de Probab.
==
=
Espaço amostral: exemplo
20
\uf07d É a coleção de todos os eventos possíveis.
\uf07d Dado (6 faces):
\uf07d 52 cartas de um baralho
\uf07d Todos os resultados possíveis quando se tem uma 
criança (menino ou menina).
Espaço amostral: eventos
21
\uf07d Evento simples:
\uf07d Um resultado de um espaço amostral com uma
característica. Ex.: uma carta vermelha do baralho.
\uf07d Complemento (A\u2032) de um evento A
\uf07d Todos os resultados que não fazem parte do evento
A. Ex: todos os cartões que não são diamante.
\uf07d Evento Combinado
\uf07d Envolve duas ou mais características
simultaneamente. Ex.: Um ás que é ao mesmo
tempo uma carta vermelho do baralho.
Probabilidade
22
\uf07d Tabelas de contingência
\uf07d Apresenta