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© Ericksson Almendra, Poli UFRJ, 2015
Departamento de Engenharia Metalúrgica e de Materiais
ESCOLA POLITÉCNICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
1
Físico – Química I
EET313
ET1 – ER1 – NANO – (6987)
2015 - 1
Prof. Ericksson Rocha e Almendra
almendra@poli.ufrj.br - F201-h - 3938-8505
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2
Físico-Química I
● Ementa Detalhada
– Entregue a cada aluno na aula 1
● Bibliografia
– Entregue a cada aluno na aula 1
● Regras 
– Entregues a cada aluno na aula 1
● Controle de presença
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3
Notas x Presença
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
f(x) = 25,63 ln(x) - 43,36
R² = 0,60
%Presença
Nota Final
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Sistema e Vizinhança
● Definições:
– Sistema: a parte do Universo que nós escolhemos 
para estudar
– Vizinhança: aquilo que não é o sistema, ou seja, o 
restante do Universo
– Fronteira: aquilo, uma superfície, que separa o 
Sistema de sua Vizinhança 
Atenção: se a fronteira for a superfície de uma fase, especial cuidado pois pode 
merecer tratamento diferenciado, a ser visto em FisQui II
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Sistemas
● Podem ser:
– Abertos: massa e energia podem cruzar a fronteira 
entre o sistema e a vizinhança;
– Fechados: energia pode cruzar a fronteira, mas 
massa não;
– Isolados: não trocam massa, calor ou energia com 
a vizinhança; são, portanto, casos idealizados pois 
não se pode verdadeiramente impedir a troca de 
energia.
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Escolha da Fronteira
● 1. Numa tubulação por onde escoa um fluido, 
podemos escolher uma fronteira fixa. O sistema será 
ABERTO;
● 2. No mesmo problema anterior, podemos escolher 
como objeto de estudo uma porção do fluido que em 
t=o, estava num certo local do espaço. O sistema será 
FECHADO, a fronteira MÓVEL;
● 3. Numa câmara-pistão, podemos escolher o gás no 
interior como sistema. A fronteira será pois MÓVEL.
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Escolha da Fronteira
● A escolha da fronteira, ou seja, do sistema, 
pode ser arbitrária, atendendo a conveniências 
de cálculo, de interpretação, etc.
● Um mesmo problema pode pois 
simultaneamente resultar em sistema aberto ou 
fechado – equações e metodologias de análise 
serão pois diferentes, mas os resultados 
devem ser os mesmos.
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Descrição de um Sistema
● Fronteira
● Propriedades macroscópicas: p, T, V, n, m …
● Homogêneo x Heterogêneo ?
● Em equilíbrio ?
● Componentes, quantidades, estado físico, etc.
● Equação de Estado
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Tipos de Propriedades
● Extensivas: dependem do “tamanho” do 
sistema, de sua massa: n, m, V, … 
V¯ (volumemolar=V /n)
● Intensivas: não dependem da massa, do 
tamanho do sistema: T, p,
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Estado de Um Sistema
● No equilíbrio, é definido por conjunto de propriedades 
macroscópicas p, n, T, V
– Variáveis de Estado, independentes do passado, da história 
do sistema
● Exemplo: sistema de um componente requer n + 2 variáveis
– P, T, n bastam, as demais podem ser calculadas: V = f(n, p,T)
– V, T, n idem, pois p = g(n, V, T)
● Nomenclatura, notação: 3 H2 (g, 1 atm, 100 K)
– 3 moles de Hidrogênio, gasoso, a 1 atm de pressão e 100 K
● Ou: 2 Cl2 (g, 5 L, 50 °C)
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Mudança de Estado 
(Transformação)
● Notação: 3 H2 (g, 5 atm, 100 °C) = 3 H2 (g, 1 atm, 50 °C)
● Trajetória, rota
– Sequência de estados intermediários entre o estado inicial e 
o estado final
● Processo: descrição da trajetória, da rota 
– Reversível: sempre no equilíbrio
– Irreversível: define a direção do tempo!
– Adiabático: sem troca de calor entre o sistema e sua 
vizinhança
– Isobárico; Isotérmico; Isocórico (Isovolumétrico)
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Lei Zero - Equilíbrio Térmico
Quente Frio Calor flui !! Morno 
Lei Zero: se A e B estão em equilíbrio térmico e B e C 
também estão em equilíbrio térmico, então A e C estão 
em equilíbrio térmico.
Obervação empírica: jamais ocorre de forma diferente!
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Gases Ideais
lim
p→0
p V¯=[ limp→0 ( p V¯ )273,15 ]T=RTPara qualquer gás: 
Para gases ideais: pV¯=RT ou pV=nRT
Constante(!!) universal dos gases: R=8,314462 J /(mol⋅K )
Exemplo de equação de estado: V=
nRT
p
=V (n ,T , p)
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Equações de Estado (gases)
Gases Reais:
– i) Fator de compressibilidade:
● Se T é baixa, atração entre moléculas predomina e Z<1
● Se T é alta, a repulsão predomina e Z>1
– ii) Expansão Virial:
● Quanto T cai, V cresce e, portanto, para gases ideais, pode se 
desprezar os termos em B, C, ... 
pV¯=ZRT ;Z=
¯V real
¯V ideal
p V¯
RT
=Z (T )=1+ B (T )
V¯
+
C (T )
V¯ 2
+...
pV=nRT ou pV¯=RTGases Ideais:
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Equações de Estado (gases)
– iii) Gases de Van der Waals:
● Considerando as moléculas como esferas rígidas:
● Considerando existir atração entre as moléculas:
pV¯=RT se torna p (V¯−b)=RT
● Rearranjando: 
p= RT
(V¯−b)
se torna p= RT
(V¯−b)
− a
V¯ ²
p+ a
V¯ ²
(V¯−b)=RT
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Trabalho
● Definição: trabalho feito por uma força: w=F⋅l
w=F⋅l=pext⋅A⋅l=−pext⋅ΔV
● Convenção: adotaremos como positivo um trabalho feito pela 
vizinhança sobre o sistema
● De uma forma mais geral, se a pressão não for constante 
teremos: δw=−pext⋅dV w=−∫
1
2
pext⋅dV
Depende da trajetória, da rota !!
l
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Dependência da trajetória
w(a)=−∫
V 1
V 2
pext⋅dV−∫
V 2
V 2
pext⋅dVw(a)=−∫
V 1
V 2
p1⋅dV−0=p1⋅(V 1−V 2)
w(b)=−∫
V 1
V 1
pext⋅dV−∫
V 1
V 2
pext⋅dV
w(b)=0−∫
V 1
V 2
p2⋅dV=p2⋅(V 1−V 2)
(1)
(2)
V
p
V
1V2
p
1
p
2
(a)
(b)
Logo: w(a)≠w(b) E também: ∮ δW≠0
W não é função de estado, não se pode escrever W = f (n, P, V, ...)
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Transferência de Energia
● Há basicamente duas formas de transferir energia 
de/para um sistema:
– Calor: energia transferida por causa de uma 
diferença de temperatura, o calor flui de T2 para T1, 
se T2 > T1, sempre.
– Trabalho: toda e qualquer outra forma de 
transferência de energia; assim há trabalho mecânico 
(w=-pΔV – Fis.Qui. I), elétrico (lE – Fis. Qui. II), 
magnético, superficial (Fis.Qui II), etc.
● Unidade: Joule (J)
● Convenção: se a energia entra, é positiva! ($$)
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Capacidade Calorífica
Origem e impropriedade do nome!
Relaciona calor e temperatura, procurando responder “qual o 
aumento de temperatura que um determinado calor provoca”
Propriedade de um determinado material
Mas, se
Como q depende da rota, mas T, não, temos que C deve 
depender da rota; unidade: 
C
V
 – capacidade calorífica a volume constante
C
p
 – idem. a pressão constante
dT∝δq ; δq=C⋅dT ou δq=n⋅C¯⋅dT
J⋅K−1 ou J⋅mol−1⋅K−1
E: q=∫
rota
C rotadT
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Energia como Função de Estado
∮ (δq+δW )=0Constatação experimental, empírica: 
Logo, q e W não são funções de estado, mas q + W sim!
ΔU=∮ (δq+δW )Chamemos: ou dU=δq+δW
Chamamos U de Energia Interna ou simplesmente Energia 
de um sistema. Unidade: J
Interpretação: conjunto de todas as formas de energia existentes no 
sistema: térmica (jamais confundir com calor), potencial gravitacional, 
cinética, mecânica, química, atômica, magnética, potencial elétrica, etc.
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Capacidade Calorífica a 
Volume Constante
Em sistemas fechados a volume constante, a fronteira não se 
move e, portanto, se não houver trabalho elétrico, magnético, 
etc.:
dU=δq+δw=δq
δq=nC¯ dT=dU
C¯ dT=dU
n
=d U¯
C¯V≡(∂U¯∂T )V
Atenção: C
V
 varia com a temperatura!
Unidade: J mol-1 K-1
V constante
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Capacidade Calorífica a 
Pressão Constante
dU=δq+δw=δq−pdV
δq−pdV=dU
δq=dU+ pdV
mas p=cte , logo :
δq=d (U+pV )
Unidade: J
V constante P constante
Podemos definir: H≡U+ pV
H é função de estado, pois U e V o são e p é variável de estado
Logo, δq=d (U+pV )=dH
dq=nC¯ pdT=dH
C¯ p≡(∂ H¯∂T )p Compare com: C¯V≡(
∂ U¯
∂T )V
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Capacidade Calorífica a 
Pressão Constante
A vida se dá a pressão constante! Logo, Cp é muito mais usada.
Dados experimentais podem ser interpolados convenientemente
pelo polinômio:
C p=A+BT+CT
−2+DT 2
Outras equações podem ser utilizadas para interpolação dos 
dados experimentais. Em geral, para sólidos, bastam A, B e C.
Atenção: C
p
 varia com a temperatura e a pressão!
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A Primeira Lei
∮ (δq+δw)=0A constatação experimental, empírica, é conhecida como Primeira Lei 
Outras formas desta Lei: 
Em sistemas fechados, nem entra nem sai massa, logo 
apenas q e W podem ser trocados.
dU=δq+δw ΔU=q+w
Corolário: Conservação da Energia:
ΔU sistema=q+w e ΔU vizinhança=−q−w
Logo ΔUUniverso=ΔU sistema+ΔU vizinhança=0
Clausius: a energia do Universo se conserva
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A Primeira Lei
A rigor, temos: 
dU=δq+δw+dE potencial+dEcinética+dE superficial+dEelétrica+...
+dEmecânica+dEmagnética+...
Lembrando que estamos falando de Sistemas Fechados.
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A Primeira Lei em Sistema Abertos
Seja um sistema ABERTO, 
sofrendo uma transformação. 
Por simplicidade inicial, 
suponhamos que certa 
quantidade de massa esteja 
entrando por ação de uma 
pressão
Há também um “fluxo de trabalho” pois a pressão exerce um 
W sobre a massa i e esta penetra no sistema carreando o 
resultado desse trabalho sobre ela para dentro do sistema.
fluxo de trabalho=∫
V i
0
−pdV=∫
0
mi
pi V¯ idmi=pi V¯ imi
pi mi
V i
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A Primeira Lei em Sistema Abertos
fluxo de trabalho=pi V¯ imi
δ( fluxode trabalho)i=pi V¯ idmi
δ( f . trab .)=pi V¯ idmi− po V¯ o dmo
dU=δq+δW +U¯ i dmi−U¯ odmo+δ(fluxo de trabalho)
dU=δq+δW +U¯ i dmi−U¯ odmo+ pi V¯ idmi−po V¯ odmo
dU=δq+δW +(U¯ i+ pi V¯ i)dmi−(U¯ o+ po V¯ o)dmo
dU=δq+δW + H¯ idmi−H¯ odmo Ou, de forma ainda mais completa:
dU=δq+δW+∑
i
( H¯ i+ E¯pot+ E¯cin+...)dmi−∑
o
(H¯ o+ E¯ pot+ E¯cin+...)dmo
pi mi
V i
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A Primeira Lei em Sistema 
Estacionários
Para sem entrada/saída de E
potencial
, E
cinética
, etc. temos
q+w=∑
0
H¯ omo−∑
i
H¯ imi
pi
mi
V i
Sistema Estacionário é aquele cujas 
propriedades, todas elas, não variam 
com o tempo.
Ser estacionário ≠ estar parado
Se é estacionário, dU = zero e, portanto:
dU=δq+δw+∑
i
(H¯ i+ E¯ pot+ E¯cin+...)dmi−∑
o
(H¯ o+ E¯ pot+ E¯cin+...)dmo=0
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Exemplo
Calcular a energia necessária para aquecer de 300 a 800 K um 
lingote de Al de 1 tonelada em uma fornalha elétrica. Supor 
perdas de calor desprezíveis.
300 K
800 K
800 K
1a Solução: Sistema: fornalha. Logo, esse sistema é aberto e 
estacionário
ΔU=q+w+ H¯ i−H¯ o=0 ΔU=zero pois é estacionárioq=zero , pois nãohá perdade calor
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Exemplo
ΔU=q+w+H i−H o=0 ΔU=zero pois é estacionárioq=zero , pois nãohá perdade calor
Logo: w=H¯ omo−H¯ imi=(H¯ o−H¯ i)m
Mas: H¯ o−H¯ i=∫
300
800
C p , Al dT=∫
300
800
(20,67+12,38⋅10−3T )dT =
=20,67 (800−300)+12,38⋅10
−3
2
(8002−3002)=
=13730 J⋅mol=13730⋅1000
27
=508560 J⋅kg−1
Esse trabalho é elétrico, logo, para 1 tonelada, temos:
w=508560⋅m=5,086⋅108 J=141,4 kW⋅h
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Exemplo
Calcular a energia necessária para aquecer de 300 a 800 K um 
lingote deAl de 1 tonelada em uma fornalha elétrica. Supor 
perdas de calor desprezíveis.
300 K
800 K
800 K
2a Solução: Sistema: lingote. Logo, esse sistema é fechado. 
ΔU=q+w
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Exemplo
Δ U¯=q+w
U¯ o−U¯ i=q+w ; q=U¯ o−U¯ i−w
q=U¯ o−U¯ i−(−pΔV )=U¯ o−U¯ i+ p(V¯ o−V¯ i)=
=U¯ o+ pV¯ o−(U¯ i+ p V¯ i)=
= H¯ o−H¯ i=(H o−H i)m
Neste caso, o trabalho é aquele resultante da dilatação do lingote, 
deslocando a atmosfera, o calor é aquele transmitido da atmosfera 
e paredes do forno para o lingote. Logo:
Ou seja, chegamos à mesma expressão da solução anterior, e, 
portanto, ao mesmo resultado final. Não poderia ser diferente. 
Entretanto, a rota foi distinta, as considerações diferentes, as 
expressões utilizadas idem. Ou seja a definição inicial do sistema é 
fundamental!
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Expansão Isotérmica de Gases
gás (p1 ,V 1 ,T )=gás(p2 ,V 2 ,T ) ΔT=0
Transformação irreversível (há várias formas):
a) Seja p
ext
 = zero
W (a)=−∫
V 1
V 2
pext dV=0
b) Seja p
ext
 = p
2
W (b)=−∫
V 1
V 2
p2dV=−p2(V 2−V 1)
p1 ,V 1
pext=0
p2 ,V 2
pext=0
p1 ,V 1
p2
p2 ,V 2
p2
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Expansão Isotérmica de Gases
gás (p1 ,V 1 ,T )=gás(p2 ,V 2 ,T ) ΔT=0
Transformação irreversível (continuando):
c) Seja:
W (c)=−∫
V 1
V 3
p3dV−∫
V 3
V 2
p2dV=−p3(V 3−V 1)−p2(V 2−V 3)
gás ( p1 ,V 1 ,T )=gás (p3 ,V 3 ,T )=gás( p2 ,V 2 ,T )
p1 ,V 1
p3
p3 ,V 3
p3
p2 ,V 2
p2
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Expansão Isotérmica de Gases
gás (p1 ,V 1 ,T )=gás(p2 ,V 2 ,T ) ΔT=0
Transformação irreversível 
(representação gráfica)
V 1 V 3 V 2
p1
p3
p2
V
p
pV=nRT
W (c)=−∫
V 1
V 3
p3dV−∫
V 3
V 2
p2dV=−p3(V 3−V 1)−p2(V 2−V 3)
p1 ,V 1
p3
p3 ,V 3
p3
p2 ,V 2
p2
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Expansão Isotérmica de Gases
gás (p1 ,V 1 ,T )=gás(p2 ,V 2 ,T ) ΔT=0
Transformação reversível
d) Seja:
w(d)=wrev=−∫
V 1
V 2
pdV=−∫
V a
V 2
nRT
V
dV=−nRT ln
V 2
V 1
=nRT ln
p2
p1
gás (p1 ,V 1 ,T )=gás (p2 ,V 2 , T ) com p=pext em toda a rota
p=pext
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Expansão Isotérmica de Gases
gás (p1 ,V 1 ,T )=gás(p2 ,V 2 ,T ) ΔT=0
Transformação reversível
W rev=−∫
V 1
V 2
pdV=−nRT ln
V 2
V 1
=nRT ln
p2
p1
p
pV=nRT
V 1 V 2 V
p1
p2
p=pext
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38
Variação da Energia Interna
ΔU=δq+δw (Primeira Lei)
ΔU=C rotadT−pext dV
Energia Interna:
Além disso, se: U=U (T ,V ) então: dU=(∂U∂T )V dT+(
∂U
∂V )T dV
Algumas restrições importantes e frequentes:
● Processos reversíveis: dU=δ qrev+δw=δqrev−pdV pois pext=p
● Processos isolados: δq=δw=0⇒dU=0
● Processos adiabáticos: δq=0⇒dU=δw
● Processos adiabáticos e reversíveis: dU=δw=−pdV
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39
Guardar esse resultado
Temos que: dV=0⇒w=0⇒dU=δqV
E também: dU=(∂U∂T )V dT+(
∂U
∂V )T dV
Juntando as duas: δ qV=(∂U∂T )V dT
Recordando que: δqQV=CV dT⇒
CV=(∂U∂T )V
Por conseguinte: dU=CV dT+(∂U∂V )T dV
Variação da Energia Interna
● Processos isocóricos (isovolumétricos):
?
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40
Determinação de (∂U∂V )T
● Expansão livre de um gás (experiência de Joule):
gás vácuo ● Adiabática 
(muito rápida)
● Contra o vácuo
q=0
(pext=0)
w=0
gás (p1 ,T 1 ,V 1)=gás (p2 ,T 2 ,V 2)
Uma vez que q=w=0 então dU ouΔU=0
Lembrar que já determinamos que: dU=CV dT+(∂U∂V )T dV
Logo, se U = constante: CV dTU+(∂U∂V )T dV U=0
Assim: (∂U∂V )T dV U=−CV dT U⇒(
∂U
∂V )T=−CV (
∂T
∂V )U
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Determinação de (∂U∂V )T
● Expansão livre de um gás (experiência de Joule):
gás vácuo
Como Joule fez: 
lim
ΔV→0 ( ΔTΔV )U=(
∂T
∂V )U≡ηJ
Substituindo na expressão anterior: dU=CV dT−CV ηJ dV
Atenção, em gases ideais: {ηJ=0dU=CV dTU=U (T ); (U só depende da temperatura)}
A energia interna de um gás ideal depende apenas de sua temperatura!
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Energia Interna de Gases Ideais
A energia interna de um gás ideal depende apenas de sua 
temperatura!
Disto resulta:
ΔU=0 para toda expansão, ou compressão, isotérmica de gases ideais.
ΔU=∫CV dT para qualquer mudança de estado de gás ideal
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Entalpia
Importância: na vida prática, muitas reações químicas e muitos 
processos biológicos ocorrem sob pressão constante e, 
também, com trabalho mecânico, pV, reversível. Sob tais 
condições a Entalpia é especialmente útil. 
Seja: gás ( p1 ,V 1 ,T 1)⇒
reversível
 p = cte
⇒ gás( p2 ,V 2 ,T 2) ΔU=?
ΔU=q+w=q p−pΔV
ΔU+ pΔV=q p
Temos que:
Como p é constante, podemos fazer ΔU+ pΔV=Δ(U+ pV )=q p
Logo: ΔH=q p ⇒
Ou seja a variação de entalpia é o calor liberado, 
ou absorvido, por um processo levado a pressão 
constante e sob condições reversíveis.
H=H (T , p) H≡U+ pV
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Entalpia
Vamos calcular (∂H∂T )ppara um processo reversível a pressão constante.
Temos: dH=δq p e dH=(∂H∂T )pdT
Logo: δq p=(∂H∂T )pdT Mas, já vimos que: δq p=C pdT
E, portanto: C p=(∂H∂T )p CV=(∂U∂T )VCompare com:
Seja: H=H (T , p) ⇒ dH=(∂H∂T )pdT+(∂H∂ p )T dp
H=H (T , p) H≡U+ pV
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Entalpia
H=H (T , p) H≡U+ pV
Derivando a expressão que define H: (∂ H¯∂ p )T=(∂U¯∂ p )T+ p(∂ V¯∂ p )T+V¯
Utilizando a regra da cadeia, temos
(∂ H¯∂ p )T=(∂U¯∂ V¯ )T (∂ V¯∂ p )T+ p(−RTp2 )+V¯=0⋅(∂ V¯∂ p )T−V¯ +V¯
Logo: (∂ H¯∂ p )T=0 compare com: (
∂U¯
∂ V¯ )T=0
No caso de gases ideais temos: (∂ H¯∂ p )T=0⋅(
∂ V¯
∂ p )T−V¯ +V¯
Calculemos agora (∂H∂ p )T
Seja: H=H (T , p) ⇒ dH=(∂H∂T )pdT+(∂H∂ p )T dp
?
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Experiência de Joule - Thomson
Determinação experimental de (∂H∂ p )T
pext=p1 pext=p2
p1 , T 1 p2 ,T 2
 barreira porosaestrangulamento
tubo isolado
Nessa situação:w=p1V 1−p2V 2 e ΔU=q+w=p1V 1−p2V 2=−Δ(pV )
ΔU +Δ(pV )=0⇒Δ(U +pV )=0
 
ΔH=0
A expansão de Joule – Thomson é 
um processo a entalpia constante, 
isoentálpico
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Experiência de Joule - Thomson
Como H=H (p ,T ), temos que: dH=(∂H∂T )pdT+(∂H∂ p )T dp
Como o processo é isoentálpico,
dH=C pdT+(∂H∂ p )T dpMas já vimos que: Logo:C p=(∂H∂T )p
C pdT H=−(∂H∂ p )T dpH
(∂H∂ p )T=−C p(
∂T
∂ p )H
O que Joule e Tomson mediram: lim
Δ t→0
(ΔTΔ p )H=(
∂T
∂ p )H≡μJT
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Experiência de Joule - Thomson
O coeficiente de Joule-Thomson, μ
JT
, é uma característica, uma 
propriedade, de cada gás. 
No caso de gases ideais, já vimos que U=U (T ) e pV=nRT ¿
Logo H≡U (T )+ pV=U (T )+nRT ¿
Assim, H depende exclusivamente de T, ou seja: H=H (T )
E, portanto, para os gases ideais: (∂H∂ p )T=0≡μ JT
No caso geral: (∂H∂ p )T=−C pμ JT e dH=C pdT−C pμJT dP
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C¯ p−C¯V
(∂ H¯∂T )p=( C¯V ∂T +(
∂U¯
∂ V¯ )T⋅∂ V¯
∂T )p+ p(∂ V¯∂T )p
H¯≡U¯+ p V¯
derivando a pressão constante
( ∂ H¯∂T )p=(
∂U¯
∂T )p+ p (
∂V¯
∂T )p
 ⏞
|
 = 0 para gases ideais⏞
|
 ⏟
C¯ p=C¯V+R ⇒ C¯ p−C¯V=R
C¯ p=C¯V+(∂ U¯∂ V¯ )T (
∂ V¯
∂T )p+ p(
R
p )
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C¯ p−C¯V
CV=
5
2
R
C p=
7
2
R
diatômicos:
Gases ideais monoatômicos:
CV=
3
2
R
C p=
5
2
R
Algumas aproximações úteis:
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Expansão (compressão) Adiabática 
Reversível de Gases Ideais
Numa expansão, (V
2
 > V
1
), adiabática, 
o gás resfria (T
2
 < T
1
)p
p1
p2
V 1 V 2
ad V 2
iso V
adiabático
isotérmico
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Expansão (compressão) Adiabática 
Reversível de Gases Ideais
Estamos falando de: 1 mol gás (V 1 , T 1)=1 mol gás(V 2 ,T 2)
adiabático⇒dq=0
reversível⇒dw=−pdV
gás ideal⇒dU=CV dT
com as seguintes restrições:
Da primeira lei:dU=−pdV ⇒ CV dT=−pdV ⇒ CV
dT
T
=−R dV
V
p= RT
V
Integrando: CV∫
T 1
T 2 dT
T
=−R∫
V 1
V 2 dV
V
⇒ (T 2T 1 )=(
V 1
V 2 )
R /CV
⇒ (T 2T 1 )=(
V 1
V 2 )
C p
C V
−1
Definindo: γ≡
C p
CV
⇒ (T 2T 1 )=(
V 1
V 2 )
γ−1
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Expansão Adiabática Irreversível de 
Gases Ideais contra Pressão Constante
Seja agora: 1 mol gás (p1 , T 1)=1 mol gás( p2 ,T 2) ( pext=p2)
as restrições são:
adiabática ⇒ δq=0
pressão constante ⇒ δw=−p2dV
gás ideal ⇒ dU=CV dT
Primeira Lei ⇒ dU=−p2dV
Logo: CV=−p2dV que integrado dá: CV (T 2−T 1)=−p2(V 2−V 1)
De onde, usando pV=RT, se obtém: T 2(CV+R)=T 1(CV+
p2
p1
R)
Observar que: p2< p1⇒T 2<T 1
(−wrev )>(−w irrev)
ou seja menos trabalho é produzido no 
processo irreversível"
ou seja, a expansão resfria o gás"
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Alguns Ciclos Termodinâmicos
Vamos agora estudar as 5 transformações, A-E, abaixo, todas 
levadas reversivelmente com um gás ideal. 
Para cada uma vamos calcular: ΔU ,ΔH ,q ,w ,∫ dqT
p
p1
p2
p3
VV 1 V 2
(A )
(B)
(C )
T1
T1
T2
(A )
(D)T1
p
p1
p2
VV 1 V 2
(E)
T1
T3
(A )→ isoterma ;(B)→adiabática reversível ;(C )e(E)→isocóricas ;(D)→isobárica
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Alguns Ciclos Termodinâmicos
ΔU ,ΔH ,q ,w ,∫ dqT =?
p
p1
p2
p3
VV 1 V 2
(A )
(B)
(C )
T1
T1
T2
(I) Transformação (A): 1 mol gás( p1 ,V 1 ,T 1)=1 mol gás (p2 ,V 2 ,T 1)aT cte
ΔU A=0 ΔH A=0
w A=−RT 1 ln
V 2
V 1
; qA=RT 1 ln
V 2
V 1
; ∫ δqT =R ln
V 2
V 1
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Alguns Ciclos Termodinâmicos
ΔU ,ΔH ,q ,w ,∫ dqT =?
p
p1
p2
p3
VV 1 V 2
(A )
(B)
(C )
T1
T1
T2
(II) Transformação (B): 1 mol gás (p1 ,V 1 , T 1)=1 mol gás( p3 ,V 2 ,T 2)
adiabática , reversível
Adiabática ⇒qB=0
Gásideal ⇒ΔU B=CV (T 2−T 1)
ΔH B=C p (T 2−T 1)
1a Lei ⇒wB=CV (T 2−T 1)
e ∫ δqBT =0
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Alguns Ciclos Termodinâmicos
ΔU ,ΔH ,q ,w ,∫ dqT =?
p
p1
p2
p3
VV 1 V 2
(A )
(B)
(C )
T1
T1
T2
(III) Transformação (C): 1 mol gás (p3 ,V 2 ,T 2)=1 mol gás (p2 ,V 2 , T1)
isocórica , reversível
V constante ⇒wC=0
Gásideal ⇒ΔUC=CV (T 1−T 2)
ΔHC=C p(T 1−T 2)
1a Lei ⇒qC=CV (T 1−T 2)
e ∫ δ qCT =CV ln
T 1
T 2
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Alguns Ciclos Termodinâmicos
ΔU ,ΔH ,q ,w ,∫ dqT =?
p
p1
p2
p3
VV 1 V 2
(A )
(B)
(C )
T1
T1
T2
Trajeto A comparado com Trajeto B + C
ΔU A=0
ΔH A=0
qA=RT 1 ln(V 2/V 1)
w A=−RT ln(V 2/V 1)
∫δqAT =R ln
V 2
V 1
ΔU B+ΔU C=0
ΔH B+ΔHC=0
qB+qC=CV (T 2−T 1)
wB+wC=CV (T 2−T 1)
∫δqBT +∫
δqC
T
=R ln
V 2
V 1
⇒
⇒
⇒
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Alguns Ciclos Termodinâmicos
ΔU ,ΔH ,q ,w ,∫ dqT =?
(A )
(D)T1
p
p1
p2
VV 1 V 2
(E)
T1
T3
(I) Transformação (A): 1 mol gás (p1 ,V 1 , T 1)=1 mol gás( p2 ,V 2 ,T 1)
temperatura constante
ΔU A=0 ΔH A=0
w A=−RT 1 ln
V 2
V 1
; qA=RT 1 ln
V 2
V 1
; ∫ δqT =R ln
V 2
V 1
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Alguns Ciclos Termodinâmicos
ΔU ,ΔH ,q ,w ,∫ dqT =?
(A )
(D)T1
p
p1
p2
VV 1 V 2
(E)
T1
T3
(II) Transformação (D): 1 mol gás (p1 ,V 1 , T 1)=1 mol gás( p2 ,V 2 ,T 1)
isobárica reversívelΔUD=CV (T 3−T 1)
ΔHD=C p (T 3−T 1)
qD=C p(T 3−T 1); wD=−R (T 3−T 1); ∫ δ qT =C p ln(
T 3
T 1
)
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Alguns Ciclos Termodinâmicos
ΔU ,ΔH ,q ,w ,∫ dqT =?
(A )
(D)T1
p
p1
p2
VV 1 V 2
(E)
T1
T3
(III) Transformação (E): 1 mol gás (p1 ,V 2 ,T 3)=1 mol gás (p2 ,V 2 ,T 1)
isocóricareversívelΔU E=CV (T 1−T 3)
ΔH E=C p (T 1−T 3)
wE=0 ; qE=CV (T 1−T 3); ∫ δqT=CV ln(
T 1
T 3
)
 
Alguns Ciclos Termodinâmicos
ΔU ,ΔH ,q ,w ,∫ dqT =?
(A )
(D)T1
p
p1
p2
VV 1 V 2
(E)
T1
T3
Trajeto A comparado com Trajeto D + E
ΔU A=0
ΔH A=0
qA=RT 1 ln (V 2 /V 1)
w A=−RT 1 ln(V 2/V 1)
∫δqAT =R ln
V 2
V 1
ΔU D+ΔU E=0
ΔH D+ΔH E=0
qD+qE=R (T 3−T 1)
wD+wE=−R (T 3−T 1)
∫δqDT +∫
δqE
T
=R ln
V 2
V 1
⇒
⇒
⇒
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Alguns Ciclos Termodinâmicos
p
p1
p2
p3
VV 1 V 2
(A )
(B)
(C )
T1
T1
T2
(D)
(E)
T3
Três trajetórias equivalentes:
 A = B+C = D+E
Trajeto A Trajeto B+C Trajeto D+E
ΔU A=0
ΔH A=0
∫δqAT =R ln
V 2
V 1
ΔU B+ΔUC=0
ΔH B+ΔHC=0
∫ δqBT +∫
δqC
T
=R ln
V 2
V 1
ΔU D+ΔU E=0
ΔHD+ΔH E=0
∫ δ qDT+∫
δ qE
T
=R ln
V 2
V 1
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TERMOQUÍMICA
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Importância da Entalpia
Já vimos que: ΔH=q p ⇒
Ou seja a variação de entalpia é o calor 
liberado, ou absorvido, por um processo 
levado a pressão constante e sob 
condições reversíveis.
Reações químicas muito frequentemente ocorrem nessas condições e, 
se produzem calor, temos que retirar tal calor do reator; se necessitam 
de calor, temos que fornecer tal calor. Ou seja H é grandeza 
fundamental para a Engenharia Metalúrgica, Química, de Materiais, etc. 
 
Nossa pretensão: calcular ΔH para toda e qualquer reação, ou seja, o 
calor necessário para realizar qualquer reação, até mesmo aquelas 
que não ocorrem, em quaisquer condições de temperatura, … somos 
pretensiosos.
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Entalpia de Formação
Nosso Estado de Referência para a Entalpia: elementos 
químicos, puros, na forma mais estável, na temperatura de 
298,15 K, na pressão de 1 atm. Nesse estado dizemos que:
H 298
0 ≡zero
E os compostos? E as substâncias? Seja o reator hipotético abaixo:
Reator
C+O2=CO2
fronteira q
C
O2
CO2
T=298 K
p=1atm
T=298 K
p=1atm
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Entalpia de Formação
Reator
C+O2=CO2
fronteira q
C
O2
CO2
T=298 K
p=1atm
T=298 K
p=1atm
Sistemaaberto ,
estacionáro
Logo , ΔU=q+w+∑
i
H imi−∑
o
H omo=0 ⇒ ∑
o
H omo−∑
i
H imi=q
H¯CO2⋅nCO2−∑
i
( H¯O2⋅nO2+H¯ C⋅nC)=q ⇒ H¯CO2=
q
nCO2
O valor de q pode ser determinado experimentalmente
H¯CO2
o =−393,5kJ⋅mol−1⋅K−1 valor experimental
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Entalpia de Formação
Notação, nomenclatura:
H¯CO2
o =H¯ f ,CO2
o =H¯CO2
0 (298,15K )⇒Entalpia de Formação ,
´calor` de formação
(-)⇒exotérmico (+)⇒ endotérmico
Existem tabelas, bases de dados, com valores de entalpia de 
formação de milhares de compostos.
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Variação de Entalpia em 
Reações Químicas
Também conhecida como Entalpia de Reação ou “Calor” de Reação
Seja, por exemplo, a reação de combustão do metano:
CH 4 + 2O2 = CO2+2H 2O(g)
estado inicial ⇒ estado final
Sejam as reações de formação dos compostos envolvidos:
(i) C+O2=CO2
(ii) 2H 2+O2=2H2O
(iii) C+2H 2=CH 4
Δ H¯(i)=H f ,CO2
Δ H¯(ii)=2Δ H¯ f , H 2O (g)
Δ H¯(iii)=ΔH f ,CH 4
só isso nos interessa
A reação estudada pode ser obtida por (i) + (ii) – (iii). Logo: 
Δ H¯ reação=Δ H¯ (i)+2Δ H¯ (ii)−Δ H¯(iii)
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Variação de Entalpia em 
Reações Químicas
Δ H¯ reação=Δ H¯ f ,CO2+2Δ H¯ f , H 2O (g)−Δ H¯ f ,CH 4=−393,5+2(−241,8)−(−74,8)
Δ H¯ reação=−802,3 KJ⋅mol
−1⋅K−1 (a 298,15 K)
Sejam as reações de formação dos compostos envolvidos:
(i) C+O2=CO2
(ii) 2H 2+O2=2H2O
(iii) C+2H 2=CH 4
Δ H¯(i)=H f ,CO2
Δ H¯(ii)=2Δ H¯ f , H 2O (g)
Δ H¯(iii)=ΔH f ,CH 4
A reação estudada pode ser obtida por (i) + (ii) – (iii). Logo: 
Δ H¯ reação=Δ H¯ (i)+2Δ H¯ ( ii)−Δ H¯ (iii)
E em outras temperaturas ?
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Variação de Entalpia em 
Reações Químicas
O procedimento pode ser generalizado, resultando em:
Δ H¯ reação
298 = ∑
produtos
Δ H¯ f , produtos
298 ⋅nprodutos−∑
reag
Δ H¯ f , reag
298 ⋅nreag
ou Δ H¯ reação
T =∑
p
Δ H¯ f , p
T ⋅n p−∑
r
Δ H¯ f , r
T ⋅nr
Se a temperatura de reagentes e/ou produtos não for a padrão 
(298 K) teremos que levar em consideração a dependência de 
H em relação a T.
Especial cuidado, e organização nos cálculos, se deve ter quando 
produtos e reagentes não estiverem na mesma temperatura. 
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Entalpia de Reação
Dependência da Temperatura
Já vimos que: (∂ H¯∂T )p=C¯ p
Logo: (∂ H¯ subst∂T )=C¯ p , subst ⇒ d H¯ subst=C¯ pdT ⇒ d Δ H¯ reação=Δ C¯ p ,reaçãodT
∫
298
T
d H¯=∫
298
T
C pdT⇒ H¯ T−H¯ 298=se C p é cte=C p(T−298)
Se: C p=A+BT +CT
−2+DT 2 então
H¯T=H¯ 298+A (T−298)+
B
2
(T 2−2982)−C ( 1T− 1298 )+ D3 (T 3−2983)
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Organização do Cálculo
298
T
reagentes produtos
reação
Temp
Δ H¯ 298
Δ H¯T
Δ H¯ reação ∫
298
T
∑
pr
(C pdT )pr∫
298
T
∑
r
(C p dT )r
Caso 1: todos os reagentes a 298, todos os produtos em T
Como H é função de estado temos:
Δ H¯ reação=∫
298
T
∑
r
(C pdT )r+Δ H¯T=Δ H¯ 298+∫
298
T
∑
pr
(C pdT )pr
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Organização do Cálculo
Caso 2: reagentes em várias temperaturas, todos os produtos em T
Como H é função de estado temos:
Δ H¯ reação=∫
T 1
298
C p ,r 1dT+∫
T 2
298
C p ,r 2dT +Δ H¯ 298+∫
298
T
∑
pr
(C pdT )pr=∫
T 1
T
C p , r 1dT+∫
T 2
T
C p ,r 2dT +Δ H¯T ⏟
´´calor regenerado``
298
T
reagentes produtos
reação
Temp
Δ H¯ 298
Δ H¯T
Δ H¯ reação ∫
298
T
∑
pr
(C pdT )pr
reag. 1
reag. 2
T 2
T 1
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Temperatura de Reação Adiabática
”temperatura adiabática de reação”
É a temperatura atingida quando procedemos a uma reação em 
condições adiabáticas. É máxima se a reação é exotérmica, é 
mínima, se endotérmica. 
Não existem condições verdadeiramente adiabáticas, portanto 
os cálculos de TRA nos dão uma indicação dos limites quepodem ser atingidos Um exemplo é a “temperatura adiabática 
da chama”, de queima, de um certo combustível. Numa chama, 
como é um processo rápido, as condições de aproximam das 
adiabáticas, mas, se a TAC for superior a 800 K as perdas por 
radiação, instantâneas, diminuem em muito a temperatura que 
se pode atingir.
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Temperatura de Reação Adiabática
Exemplo: qual a temperatura máxima obtida pela queima de um 
gás de composição 20% CO, 30% CO
2
, 50% N
2
 com a 
quantidade estequiométrica de ar (21% O
2
, 79% N
2
)? 
Gás Comb. Ar Entrada Saída
CO 0,20 0,20
CO2 0,30 0,30 0,50
O2 0,10 0,10
N2 0,50 0,88 0,88
Total 1,00 0,48 1,48 1,38
(79/21)⋅0,10
Solução: a reação química que se dá é: CO+ 12O2=CO2
Façamos um balanço de massa:
Sistema: o queimador. Logo: 
aberto e estacionário. Assim, a 
expressão da 1a Lei que se 
aplica é:
q+w=∑ H¯ ono−∑ H¯ ini
Adicionalmente, o sistema é adiabático 
e tem fronteira fixa. Logo: q=0=w
∑ H¯ ono=∑ H¯ ini⇒{∑ H¯ on0=0,50 H¯ f ,CO2T +0,88 H¯ f , N2T∑ H¯ ini=0,20 H¯ f ,CO298 +0,3 H¯ f ,CO2298 +0,1 H¯ f ,O2298 +0,88 H¯ f , N2298 }
zero
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Temperatura de Reação Adiabática
∑ H¯ on0=0,50( H¯ f ,CO2298 +∫
298
T
C p ,CO2dT )+0,88( H¯ f , N 2298 +∫
298
T
C p , N 2dT )
∑ H¯ ini=0,20 H¯ f ,CO298 +0,30 H¯ f ,CO2298
∑ H¯ ono=∑ H¯ ini⇒{∑ H¯ on0=0,50 H¯ f ,CO2T +0,88 H¯ f , N2T∑ H¯ ini=0,20 H¯ f ,CO298 +0,3 H¯ f ,CO2298 }
0,50∫
298
T
C p ,CO2dT+0,88∫
298
T
C p , N 2dT=0,20H f ,CO
298 −0,20H f ,CO2
298
0,50∫
298
T
C p ,CO2dT+0,88∫
298
T
C p , N 2dT=0,20(−110500+393500)=56600
Precisamos de dados de Cp !
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Temperatura de Reação Adiabática
0,50∫
298
T
C p ,CO2dT+0,88∫
298
T
C p , N 2dT=0,20(−110500+393500)=56600
0,50(T−298)⋅57,3+0,88(T−298)⋅34,3=56600
 T=1260 K
Dados (obtidos de tabelas):
C p ,N2=29,03+4,184⋅T
C p ,CO2=44,35+9,20⋅10
−3T−8,37⋅105T
¿
−2
Mas também achamos, os valores abaixo, que usaremos por 
simplicidade. Como acima, a unidade é J/(mol-K):
C p ,N2≈34,3 C p ,CO2≈57,3 valores constantes
Substituindo na expressão anterior, temos sucessivamente
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Temperatura de Reação Adiabática
Chegamos a TMAX = 1260 K
Há muitas restrições, aproximações foram feitas, a combustão 
pode não ser completa, há perdas por radiação, mas esse valor é 
uma excelente base para se afirmar: “com a queima de tal gás 
com ar não se pode obter temperaturas superiores a 1260 K, ou 
987 C
Se fizermos os mesmos cálculos para a queima do hidrogênio puro 
com oxigênio também puro obteremos uma Tmax acima de 7000K, 
mas se queimarmos esse gás ao ar, Tmax é aproximadamente 
2700 K. 
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Entalpia de Mudança de Fase
Mudanças de fase, exemplo água-gelo, são isobáricas e em 
geral reversíveis. Assim, o calor envolvido é:
q p=ΔH transf
Assim, nos cálculos termoquímicos é necessários levar a eventual 
existência de uma mudança de fase, computando a entalpia de 
transformação e a mudança no valor de Cp. Exemplo: se temos 
que calcular a entalpia de aquecimento da água entre 298 e 420 K 
a 1 atm, teremos
ΔHH 2O
298→420=∫
298
420
C p , H 2OdT=∫
298
398
C p , H2O , liqdT+ΔH vap , H 2O+∫
398
420
C p , H 2O, vap
naturalmente , C p , H 2O, liq≠C p , H 2O, vap
Feα→Feβ→Feγ→Feδ→FeliqImaginem aquecer ferro. Temos:
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Alguns Termos e Convenções
ΔH f
0“Calor de formação”:
“Calor de combustão”:
“Calor de transformação”: 
ΔH reaçãode combustão
ΔH fusão ;ΔH vap ;ΔH subl ;ΔH α→β ; etc
<H 2O> - sólido - ou seja, ΔH f ,<H2O >=ΔH f , H2O, sol
 [H 2O ] - líquido
 (H 2O ) - gás
Embora muito utilizada, essa convenção ainda não é universal, 
ou seja, em alguns livros, [ ] pode significar gases e ( ), líquidos 
Exemplo de uso: ( H 2 )+
1
2 (O2 )=[ H 2O ]
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Exemplo
Calcular o calor da reação 2 Al+32O2=Al2O3 a 1000 °C.
Solução:
ΔH 1273=∫
1273
298
C p , reagdT+ΔH 298
0 +∫
298
1273
C p ,proddT
reagentes produtosΔ H¯298
0
298
1273
reação
Temp Δ H¯ 1273
∫
298
273
∑
pr
(C pdT )pr∫
298
1273
∑
r
(C pdT )r
Logo, temos:
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Exemplo
Logo, temos: ΔH 1273=ΔH 298
0 +∫
298
1273
C p , prod dT−∫
298
1273
C p , reagdT
ΔH 1273=ΔH f , Al2O3
0 +∫
298
1273
C p , Al2O3dT− 
 −(∫
298
938
C p , Al (s)+ΔH fusão , Al+∫
938
1273
C p , Al (l)dT+∫
298
1273
C p ,O2)
Dados necessários: ΔH f , Al2O 3
0 =−1674 kJ /mol
C p , Al (s) ; C p , Al (l) ; ΔH fusão , Al
C p ,O2
C p , Al2O3
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Exemplo: Aluminotermia
Uma mistura de hematita, alumínio e ferro, na proporção molar de 1:2:n, está 
contida num recipiente adiabático a 25 °C. Uma centelha provoca a reação que 
se segue, que se completa, atingindo o recipiente a temperatura de 1600 °C.
Calcule n. São dados: 
Reação :Fe2O3+2 Al=2Fe+Al2O3
H f , Fe2O3
0 =−824.248 J /mol H f , Al2O3
0 =−1,675,692 J /mol
C p , Al2O3=109,475+22,413⋅10
−3T−32,947⋅105T−2−4,154⋅10−6T 2 J /(mol⋅K )
C p , Feα=14,954+28,079⋅10
−3T+1,55⋅105T−2 J /(mol⋅K )
C p , Feβ=26,439+20,677⋅10
−3T C p, Feδ=23,987+8,36⋅10
−3T J /(mol⋅K )
C p , Feγ=24,640+9,899⋅10
−3T C p ,Fe ,liq=46,024 J /(mol⋅K )
ΔH t , Feα→Feβ=5016 J /mol ; ΔH t , Feβ→Feγ=899 J /mol ;
ΔH t , Feγ→Feδ=836 J /mol ; ΔH t , Feδ→Feliq=13807 J /mol
Feα 1⃗033 Feβ 1⃗181Feγ 1⃗674 Feδ 1⃗808 Feliq temperaturas em Kelvins
Dados de HSC
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Exemplo: Aluminotermia
Solução: Considerando o entorno do recipiente como fronteira, temos 
um sistema adiabático com fronteira física fixa, sem calor e sem 
trabalho, portanto. ΔH i+ΔH o=zero
Vamos considerar duas etapas entre o início e o fim do processo. A 
primeira é a reação a 298K. A segunda, o aquecimento dos produtos 
de 298 até a temperatura final.
I - Fe2O3+2 Al=2Fe+Al2O3 a 298 K
II - 2Fe+nFe+Al2O3 a 298 K=(2+n)Fe+Al2O3 a 1873 K
Para a reação, etapa I, temos:
ΔH I=H f , Al2O3
0 −H f , Fe2O3
0 =−1.675.692−(−824.248)=−851.444 J /mol
Ou seja, a reação é fortemente exotérmica, libera muito calor, calor esse 
que será utilizado no aquecimento dos produtos e de tudo o mais que 
houver sido adicionado no reator, no caso, foram adicionados n moles 
deFe. 
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Exemplo: Aluminotermia
Para a reação, etapa II, faremos o cálculo de cada parcela, alumina e 
ferro, separadamente. Ou seja: 
ΔH II , Al2O3=∫
298
1873
C p , Al2O3dT= 
 =∫
298
1873
(109,475+22,413⋅10−3T−32,947⋅105T−2−4,154⋅10−6T 2)dT= 
 =(109,475T+22,413⋅10−3 T
2
2
+32,947⋅105( 1
T
)−4,154⋅10−6(T
3
3
))
298
1873
= 
 =210.977 J/mol
Iniciemos com a alumina:
ΔH II=ΔH II , Al2O3+ΔH II , Fe
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Exemplo: Aluminotermia
ΔH II ,Fe=∫
298
1873
C p , Fe dT=∫
298
800
(14,954+28,079⋅10−3T )dT+5016
+∫
800
1184
(26,439+20,677⋅10−3T )dT+899+∫
1184
1665
(23,987+8,36⋅10−3T )dT+836
+∫
1665
1809
(24,640+9,899T )dT+13807+∫
1809
1873
46,024 dT=79860 J/mol
Agora, façamos o aquecimento de 1 mol de Ferro:
Para as duas etapas, I e II, teremos
ΔH I+ΔH II , Al2O3+(n+2)ΔH II , Fe=0
−851.444+210.997+(n+2)79860=0
n=6,0
Ou seja, essa reação é tão 
“energética”, tão 
exotérmica, que é capaz de 
fundir 8 moles de ferro. 
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Cálculos usando o Genius 1.0.16
#Programa para Calcular a Entalpia de aquecimento do Ferro e da Alumina
VariableName = T
#Cálculo para a Alumina
function H(T) = 109.475 + 22.413/1000*T-32.947*10^5*T^(-2)-4.154*10^-6 *T^2
NumericalIntegral (H,298,1873)
#Cálculo para o Ferro
# Dados de Cp para as várias variedades alotrópicas
function Alfa(T)= 14.954+28.079*10^-3 *T
function Beta(T)= 26.439+20.677*10^-3 *T
function Delta(T)=23.987+8.36*10^-3 *T
function Gama(T)=24.640+9.899*10^-3 *T
function Liq(T)=46.640
# Cálculo (inclui os dados de H de transformação)
# Ri são as parcelas sucessivas - usado para facilitar formatação do texto
R=NumericalIntegral (Alfa, 298,1044) +5016
R1 = R + NumericalIntegral (Beta,1044,1184)+899
R2 = R1 + NumericalIntegral (Gama,1184,1665) +836
R3 = R2 + NumericalIntegral(Delta,1665,1809)+13807
R4 = R3 + NumericalIntegral(Liq,1809,1873)
# R4 é o valor final da entalpia de aquecimento do Fe
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