AS I FUNDAMENTOS DE ANALISE MATEMATICA

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AS I
PERGUNTA 01
Para a adição de dois números reais, são definidos os seguintes axiomas:
A.1 A adição de dois números reais é comutativa: x + y = y + x
A.2 A adição de dois números reais é associativa: (x + y) + z = x + (y + z)
A.3 A adição de dois números reais tem um elemento neutro, chamado zero.
x + 0 = x
A.4 Todo número real x tem um oposto, -x. Quando um número é somado a seu oposto, o resultado é o elemento neutro da adição.
x + (-x) = 0
Considere agora a seguinte afirmação: “No conjunto dos números reais só existe um elemento neutro da adição”.
Veja agora a seguinte demonstração por redução ao absurdo:
1) Existem dois zeros: 01 e 02, sendo que 01 ≠ 02
2) 01 = 01 + 02
3) 01 = 02 + 01
4) 01 = 02
à só há 1 zero.
As justificativas para cada um dos passos são as seguintes. Assinale a alternativa CORRETA:
	
	a.
	1: hipótese de trabalho (negação da tese da afirmação); 2: axioma A3; 3: axioma A1; 4: axioma A2.
	
	b.
	 1: hipótese de trabalho (negação da tese da afirmação); 2: axioma A2; 3: axioma A1; 4: axioma A3.
	
	c.
	1: hipótese de trabalho (negação da tese da afirmação); 2: axioma A1; 3: axioma A2; 4: axioma A3.
	
	d.
	 1: hipótese de trabalho (negação da tese da afirmação); 2: axioma A2; 3: axioma A3; 4: axioma A1
	
	e.
	1: hipótese de trabalho (negação da tese da afirmação); 2: axioma A3; 3: axioma A1; 4: axioma A3.
PERGUNTA 02
	a.
	Colocou-se inicialmente ½ em evidência e se abriram os parênteses mais internos, reduzindo os termos semelhantes. Em seguida aplicou-se a distributiva em 2(3k + 1) e fatorou-se (k – 1), substituindo (k – 1) por 3(k + 1) – 4.
	b.
	Colocou-se inicialmente ½ em evidência e se abriram todos os parênteses, reduzindo os termos semelhantes. Em seguida aplicou-se a distributiva em 2(3k + 1) e fatorou-se (k +1), substituindo (k – 1) por 3(k + 1) – 4.
	c.
	Colocou-se inicialmente ½ em evidência e se abriram os parênteses mais internos, reduzindo os termos semelhantes. Em seguida aplicou-se a distributiva em k(3k - 1) e fatorou-se (k – 1), substituindo (k – 1) por 3(k + 1) – 4.
	d.
	Colocou-se inicialmente ½ em evidência e se abriram os parênteses mais internos, reduzindo os termos semelhantes. Em seguida aplicou-se a distributiva em 2(3k + 1) e fatorou-se (6 k+ 2), substituindo (6k +2) por 6(k + 1) – 4.
	e.
	Colocou-se inicialmente k em evidência e se abriram os parênteses mais internos, reduzindo os termos semelhantes. Em seguida aplicou-se a distributiva em k(3k + 1) e fatorou-se (k – 1), substituindo (k – 1) por 3(k + 1) – 4.
PERGUNTA 03
Considere a seguinte afirmação: a média aritmética de dois números reais x e y distintos é diferente dos dois.
Considere agora a seguinte demonstração incompleta:
1) y > x
2) y + x > x + x
3) (y+x)/2 > (x + x)/2
4) (y + x)/2 > x
É CORRETO afirmar que:
	
	a.
	Nessa demonstração, a tese é que y > x. Partindo da negação da tese, provamos que a média é maior do que x, isto é, demonstramos a contrapositiva. Logo a afirmação está demonstrada.
	
	b.
	A demonstração é uma demonstração por exaustão, pois o raciocínio apresentando coloca em evidência que quaisquer que sejam x e y, a média aritmética dos dois é diferente de x e y.
	
	c.
	Nessa demonstração, a tese é de que a média aritmética é diferente de x e de y. Partindo da negação da tese, e considerando a premissa como verdadeira, chegamos ao absurdo do passo 4.
	
	d.
	Essa demonstração incompleta é uma demonstração direta, na qual a tese é desenvolvida diretamente a partir da premissa. Falta provar que a média é diferente de y.
	
	e.
	A demonstração precisa ser completada. Foi apresentado apenas o passo indutivo da demonstração por indução matemática. Falta o passo inicial, em que a afirmação é verificada para n = 1.
PERGUNTA 04
Considere novamente o conjunto dos números reais.
Considere a afirmação “o oposto de todo número real é único”.
Veja agora a seguinte demonstração:
1) Dado x, existem dois opostos de x a e b, sendo que a ≠ b, isto é, dado x, a e b, e a ≠ b
x + a = 0
x + b = 0
2) a = a + 0
3) a = a + x + b
4) a = x + a + b
5) a = 0 + b
6) a = b
à x só tem 1 oposto.
É CORRETO afirmar que a demonstração acima
	
	a.
	é uma demonstração pelo princípio de indução matemática, pois é uma afirmação que depende de um número natural n.
	
	b.
	 é uma demonstração pela contrapositiva, parte da negação da tese e desenvolve-a até chegar à negação da hipótese.
	
	c.
	 é uma demonstração por exaustão, pois se pode argumentar que a afirmação se refere a apenas um número finito de casos.
	
	d.
	é uma demonstração direta, pois se desenvolve a hipótese até chegar à tese.
	
	e.
	 é uma demonstração por redução ao absurdo, pois partindo da negação da tese, chega-se a uma afirmação que contradiz essa negação.
PERGUNTA 05
Entre as múltiplas formas de raciocinar, identificamos três: o raciocínio dedutivo, o raciocínio indutivo e o raciocínio abdutivo. Nos três casos, a partir de um conjunto de premissas, tira-se uma conclusão. A diferença está na natureza dessa conclusão. Admitindo sempre que as premissas são verdadeiras, assinale a afirmativa INTEGRALMENTE CORRETA:
	
	a.
	No raciocínio dedutivo, a conclusão é uma generalização das premissas. No raciocínio indutivo, você deve aceitar a conclusão se você aceita as hipóteses. E no raciocínio abdutivo, você deve aceitar a conclusão se você aceita as hipóteses.
	
	b.
	No raciocínio dedutivo, a conclusão é uma nova ideia formulada a partir das premissas. No raciocínio indutivo, a conclusão é uma generalização das premissas. E no raciocínio abdutivo, você deve aceitar a conclusão se você aceita as hipóteses.
	
	c.
	No raciocínio dedutivo, você deve aceitar a conclusão se você aceita as hipóteses. No raciocínio indutivo, a conclusão é uma nova ideia, uma nova hipótese antes ausente. No raciocínio abdutivo, a conclusão é uma generalização das premissas.
	
	d.
	No raciocínio dedutivo, você deve aceitar a conclusão se você aceita as hipóteses. No raciocínio indutivo, a conclusão é uma generalização das premissas. E no raciocínio abdutivo, a conclusão é uma nova ideia formulada a partir das premissas.
	
	e.
	No raciocínio dedutivo, você faz uma generalização da qual decorre a conclusão. No raciocínio indutivo, a conclusão é uma nova ideia diferente das premissas. No raciocínio abdutivo, a conclusão nada mais é que uma generalização das premissas.