Transformadas de Laplace O MÉTODO O método de transformada de Laplace é um método muito útil para resolver equações diferenciais ordinárias (EDO). Com a transformada de Laplace, pode-se converter muitas funções comuns, tais como, senoidais e amortecidas, em equações algébricas de uma variável complexa "s". As equações diferenciais também podem ser transformadas em equações algébricas através da transformada de Laplace. DEFINIÇÃO A transformada de Laplace é uma operação semelhante a transformada logarítmica. As equações diferenciais são transformadas em equações algébricas, em que pode-se realizar operações algébricas normais no domínio "s" e depois retornando ao domínio "t" através da inversa. Esquematicamente: O matemático francês Pierre Simon de Laplace (1749 - 1827) descobriu um meio de resolver as equações diferenciais que consiste em: • Multiplicar cada termo da equação por e s t− • Integrar cada termo em relação ao tempo de zero a infinito • "s" é uma constante de unidade de um 1/tempo. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como: ( ) ( )[ ] ( )F s f t f t e dtst= = ∞ −∫L 0 Onde: F(s) - Símbolo da transformada de Laplace f(t) - Função do tempo contínua para 0 < t < ∞ L - Operador de Laplace Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 7 Inversa da transformada de Laplace ( ) ( )[ ]f t f s= −L 1 Onde: f(t) - Função do tempo que não é definida para t<0 L -1 - Operador de inversa de Laplace PROPRIEDADES As propriedades básicas são: 1. Soma de duas funções ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )L L Lf t f t f t f t F s F s1 2 1 2 1 2+ = + = + 2. Multiplicação por constante ( )[ ] ( )[ ] ( )L Laf t a f t aF s= = 3. Função com atraso no tempo ( )[ ] ( )L f t t e F st s− = −0 0 ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )L f t t f t t e d t t e f t e dts t t s t s t− = − − =− − −∞∞ ∫∫0 0 0 00 0 0 ( )[ ] ( )L f t t e F ss t− =0 0 4. Derivada primeira de uma função ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L df t dt sF s f onde f f t ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = − = =0 0 0: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )L Ldf t dt fdf t dt e dt f t e dt f t e s fs t s t s t ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = = + = − − − ∞ − ∞ ∞∫∫ 00 0 0 ( ) ( ) ( )L df t dt sF s f ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = − 0 Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 8 5. Derivada segunda de uma função ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L d f t dt s F s sf df dt onde d dt f t 2 2 2 0 0 0 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = − − =: fazendo φ = df dt ou ( ) ( ) ( )φ s sF s f= − 0 [ ] ( ) ( )L Ld f dt d dt s s2 2 0⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ = = −φ φ φ substituindo ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )L d f dt s sF s f s F s sf f2 2 20 0 0 0= − − = − −φ ' 6. Derivada n-ésima de uma função ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L d dt f t s F s S f S d dt f d dt f n n n n n n⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = − − − − − − − 1 2 1 0 0 0...... 7. Integral de uma função entre instantes 0 e t ( ) ( ) ( )L f t s F s s F s t 0 1 1∫ =⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = EXEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 1. Função constante ( )f s a= ( ) ( )[ ]f s f t ae dt as e ass t s t= = = − = − −⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟− ∞ − ∞∫L 0 0 0 ( )F s a s = Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 9 2. Função de grau unitário ( )f t p tp t= < ≥ ⎧⎨⎩ 0 0 1 0 / / ( ) ( )[ ]F s f t e dt s e ss t s t= = = − = − −⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟− − ∞ ∞∫L 1 1 0 1 0 0 . ( )F s s = 1 3. Função Pulso ( )f t t A t t t t t w w w = < ≤ < ≥ ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ 0 0 0 0 ( ) ( )[ ] ( ) ( )F s f t f t e dt at e dt at s e at s es t w s t w s t t w s t t w w w= = = = = − ∞ − − − −∫ ∫L 0 00 1 ( ) ( )F s A t s e w tws= − −1 4. Função Impulso (Delta de Dirac) ( ) ( ) ( ) δ t f t A t para t t f t para t e t t t w o w w = < < = < > ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ →0 0 0 0 lim ( )[ ] ( )L f t At s et w t sw w= −→ −0 1lim Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 10 Aplicando a regra de L’Hôpital ( )[ ] ( )[ ] ( )L f t d dt A e d dt t s As s A t w t s w w w w = − = = → − 0 1 lim ( )F s A= 5. Função exponencial ( )F t e bt= − ( )[ ] ( ) ( )[ ] sb e sb dtedteetf tsbtsbstbt +=−+=== ∞ +− ∞ +−− ∞ − ∫∫ 11 000 L ( )F s b s = + 1 OBS.: A transformada de Laplace não é definida para b < 0. 6. Função trigonométrica ( )F t t e e j t j t = = + − cosω ω ω 2 ( )[ ] [ ] [ ]L L Lf t e e s j s jj t j t= + = − + +−12 12 12 1 12 1ω ω ω ω ( )F s s j s j = − + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 2 1 1 ω ω Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 11 TEOREMA DO VALOR FINAL O teorema do valor final relaciona o comportamento em regime estacionário de f(t), isto é, o ganho da função. Teorema: Se uma transformada de Laplace é multiplicada por s, o valor do produto fazendo s tender a zero é o valor da transformada inversa com t tendendo a infinito. ( ) ( ) ( )f f t sF s t s ∞ = = →∞ →lim lim0 TEOREMA DO VALOR INICIAL O teorema do valor inicial não dá o valor de f(t) em t = 0, mais num tempo ligeiramente superior a zero. Teorema: Se uma transformada de Laplace é multiplicada por s, o valor do produto fazendo s tender a infinito é o valor da transformada inversa com t tendendo a zero. ( ) ( ) ( )f f t sF s t s 0 0 + → →∞ = =lim lim Exemplo: ( ) ( )G s s s s = ++ 5 2 5 4 ( ) ( )[ ]G sG s s ss s 0 5 2 5 4 1+ →∞ →∞ = = ++ =lim lim ( ) ( )[ ]G sG s s ss s ∞ = = ++ =→ →0 0 5 2 5 4 1 2lim lim Transformadas de Laplace Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos 12 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE O processo matemático de se passar da expressão com variáveis complexas para expressão no tempo é chamada transformada inversa. A notação da transformada inversa é : ( )[ ] ( )L− =1 F s f t Um método conveniente para se obter as transformadas inversas de Laplace, consiste em usar uma tabela de transformadas de Laplace. Neste caso, a transformada de Laplace deve entrar em forma imediatamente reconhecível na tabela. Se uma transformada F(s) não puder encontrada na tabela, então deve-se expandir em frações parciais e escrever F(s) em termos de funções simples de "s" nas quais as transformadas são conhecidas. EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS Para resolver uma expressão algébrica em frações parciais, o denominador deve ser fatorado. O numerador deve ser pelo menos um grau abaixo do denominador. Quando o grau do numerador for igual ou maior do denominador, o numerador deve ser dividido pelo denominador para dar termos que sejam pelo menos um grau abaixo do denominador. Existem três tipos básicos de frações parciais, as formas são as seguintes: 1. Fatores lineares no denominador Expressão: ( ) ( )( )( ) ( )npspsps szsG +++= ...21 pi ( i = 1:n ) raízes distintas Frações Parciais: ( ) nps N ps B ps AsG ++++++= ....21 ( ) ( )[ ]sGpsA ps 11 += →lim ( ) ( )[ ]sGpsB ps 22 += →lim ( ) ( )[ ]sGpsN nps n += →lim Transformadas de