Transformadas de Laplace

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Transformadas de Laplace 
 
 
O MÉTODO 
 
 
 O método de transformada de Laplace é um método muito útil para resolver 
equações diferenciais ordinárias (EDO). Com a transformada de Laplace, pode-se 
converter muitas funções comuns, tais como, senoidais e amortecidas, em equações 
algébricas de uma variável complexa "s". As equações diferenciais também podem 
ser transformadas em equações algébricas através da transformada de Laplace. 
 
DEFINIÇÃO 
 
 A transformada de Laplace é uma operação semelhante a transformada 
logarítmica. As equações diferenciais são transformadas em equações algébricas, 
em que pode-se realizar operações algébricas normais no domínio "s" e depois 
retornando ao domínio "t" através da inversa. 
 
Esquematicamente: 
 
 
 O matemático francês Pierre Simon de Laplace (1749 - 1827) descobriu um 
meio de resolver as equações diferenciais que consiste em: 
 
• Multiplicar cada termo da equação por e s t− 
• Integrar cada termo em relação ao tempo de zero a infinito 
• "s" é uma constante de unidade de um 1/tempo. 
 
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como: 
 
 ( ) ( )[ ] ( )F s f t f t e dtst= = ∞ −∫L
0
 
 
Onde: F(s) - Símbolo da transformada de Laplace 
 f(t) - Função do tempo contínua para 0 < t < ∞ 
 L - Operador de Laplace 
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Inversa da transformada de Laplace 
 
 ( ) ( )[ ]f t f s= −L 1 
 
Onde: f(t) - Função do tempo que não é definida para t<0 
 L -1 - Operador de inversa de Laplace 
 
PROPRIEDADES 
 
As propriedades básicas são: 
 
1. Soma de duas funções 
 
 ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )L L Lf t f t f t f t F s F s1 2 1 2 1 2+ = + = + 
 
2. Multiplicação por constante 
 
 ( )[ ] ( )[ ] ( )L Laf t a f t aF s= = 
 
3. Função com atraso no tempo 
 
 ( )[ ] ( )L f t t e F st s− = −0 0 
 
 ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )L f t t f t t e d t t e f t e dts t t s t s t− = − − =− − −∞∞ ∫∫0 0 0
00
0 0 
 
 ( )[ ] ( )L f t t e F ss t− =0 0 
 
4. Derivada primeira de uma função 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )L df t
dt
sF s f onde f f t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = − = =0 0 0: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )L Ldf t
dt
fdf t
dt
e dt f t e dt f t e s fs t s t s t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = = + = −
− −
∞
−
∞ ∞∫∫
00 0
0 
 
( ) ( ) ( )L df t
dt
sF s f
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = − 0 
 
 
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5. Derivada segunda de uma função 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )L d f t
dt
s F s sf
df
dt
onde
d
dt
f t
2
2
2 0
0
0
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = − − =: 
 
 fazendo φ = df
dt
 ou ( ) ( ) ( )φ s sF s f= − 0 
 
 [ ] ( ) ( )L Ld f dt d dt s s2 2 0⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ = = −φ φ φ 
 
 substituindo 
 
 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )L d f dt s sF s f s F s sf f2 2 20 0 0 0= − − = − −φ ' 
 
6. Derivada n-ésima de uma função 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L d
dt
f t s F s S f S
d
dt
f
d
dt
f
n
n
n n n
n⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = − − − −
− −
−
1 2
1
0 0 0...... 
 
7. Integral de uma função entre instantes 0 e t 
 
 ( ) ( ) ( )L f t
s
F s
s
F s
t
0
1 1∫ =⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥ = 
 
 
 
EXEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
 
 
1. Função constante 
 
 ( )f s a= 
 
 ( ) ( )[ ]f s f t ae dt as e ass t s t= = = − = − −⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟−
∞
−
∞∫L
0 0
0 
 
 ( )F s a
s
= 
 
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2. Função de grau unitário 
 ( )f t p tp t=
<
≥
⎧⎨⎩
0 0
1 0
/
/
 
 
 ( ) ( )[ ]F s f t e dt s e ss t s t= = = − = − −⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟− −
∞ ∞∫L 1 1 0 1
0 0
. 
 
 ( )F s
s
= 1 
 
3. Função Pulso 
 ( )f t
t
A
t
t t
t t
w
w
w
=
<
≤ <
≥
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
0 0
0
0
 
 
 ( ) ( )[ ] ( ) ( )F s f t f t e dt at e dt at s e at s es t w s t w s t
t
w
s t
t w w
w= = = = = −
∞
− − − −∫ ∫L
0 00
1 
 
 ( ) ( )F s A
t s
e
w
tws= − −1 
 
4. Função Impulso (Delta de Dirac) 
 ( ) ( )
( )
δ t f t
A
t
para t t
f t para t e t t
t w
o
w
w
= < <
= < >
⎧
⎨⎪
⎩⎪
→0
0
0 0
lim 
 
 ( )[ ] ( )L f t At s et w t sw w= −→ −0 1lim 
 
 
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 Aplicando a regra de L’Hôpital 
 
 ( )[ ]
( )[ ]
( )L f t
d
dt
A e
d
dt
t s
As
s
A
t
w
t s
w
w
w
w
=
−
= =
→
−
0
1
lim 
 
 ( )F s A= 
 
 
5. Função exponencial 
 
 ( )F t e bt= − 
 
 ( )[ ] ( ) ( )[ ]
sb
e
sb
dtedteetf tsbtsbstbt +=−+===
∞
+−
∞
+−−
∞
− ∫∫ 11
000
L 
 
 ( )F s
b s
= +
1 
 
OBS.: A transformada de Laplace não é definida para b < 0. 
 
6. Função trigonométrica 
 
 ( )F t t e e
j t j t
= = +
−
cosω
ω ω
2
 
 
 ( )[ ] [ ] [ ]L L Lf t e e s j s jj t j t= + = − + +−12 12 12 1 12 1ω ω ω ω 
 
 ( )F s
s j s j
= − + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
1 1
ω ω
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TEOREMA DO VALOR FINAL 
 
 
 O teorema do valor final relaciona o comportamento em regime estacionário de 
f(t), isto é, o ganho da função. 
 
Teorema: Se uma transformada de Laplace é multiplicada por s, o valor do 
 produto fazendo s tender a zero é o valor da transformada 
 inversa com t tendendo a infinito. 
 
 ( ) ( ) ( )f f t sF s
t s
∞ = =
→∞ →lim lim0 
 
 
 
TEOREMA DO VALOR INICIAL 
 
 
 O teorema do valor inicial não dá o valor de f(t) em t = 0, mais num tempo 
ligeiramente superior a zero. 
 
Teorema: Se uma transformada de Laplace é multiplicada por s, o valor do produto 
fazendo s tender a infinito é o valor da transformada inversa com t tendendo a zero. 
 
 ( ) ( ) ( )f f t sF s
t s
0
0
+
→ →∞
= =lim lim 
 
Exemplo: 
 
 ( ) ( )G s
s
s s
= ++
5 2
5 4
 
 
 ( ) ( )[ ]G sG s s
ss s
0
5 2
5 4
1+
→∞ →∞
= = ++ =lim lim 
 
 ( ) ( )[ ]G sG s s
ss s
∞ = = ++ =→ →0 0
5 2
5 4
1
2lim lim 
 
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 
 
 O processo matemático de se passar da expressão com variáveis complexas 
para expressão no tempo é chamada transformada inversa. A notação da 
transformada inversa é : 
 
 ( )[ ] ( )L− =1 F s f t 
 
Um método conveniente para se obter as transformadas inversas de Laplace, 
consiste em usar uma tabela de transformadas de Laplace. Neste caso, a 
transformada de Laplace deve entrar em forma imediatamente reconhecível na 
tabela. 
 
 Se uma transformada F(s) não puder encontrada na tabela, então deve-se 
expandir em frações parciais e escrever F(s) em termos de funções simples de "s" 
nas quais as transformadas são conhecidas. 
 
EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS 
 
 Para resolver uma expressão algébrica em frações parciais, o denominador 
deve ser fatorado. O numerador deve ser pelo menos um grau abaixo do 
denominador. Quando o grau do numerador for igual ou maior do denominador, o 
numerador deve ser dividido pelo denominador para dar termos que sejam pelo 
menos um grau abaixo do denominador. 
 
 Existem três tipos básicos de frações parciais, as formas são as seguintes: 
 
1. Fatores lineares no denominador 
 
Expressão: 
 
 ( ) ( )( )( ) ( )npspsps
szsG +++= ...21
 pi ( i = 1:n ) raízes distintas 
 
Frações Parciais: 
 
 ( )
nps
N
ps
B
ps
AsG ++++++= ....21
 
 
 ( ) ( )[ ]sGpsA
ps 11
+= →lim 
 ( ) ( )[ ]sGpsB
ps 22
+= →lim 
 ( ) ( )[ ]sGpsN nps n += →lim 
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Exemplo 1 
 
 ( ) ( ) ( )( )( )G s s s s s s s s s= + + + = + + +
1
6 11 6
1
1 2 33 2
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )G s
A
s
B
s
C
s
D
s
= + + + + + +1 2 3 
 
 
 ( ) ( )( )( )A s s s s ss= + + + +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =→lim0 0
1
1 2 3
1
6
 
 
 ( ) ( )( )( )B s s s s ss= + + + +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = −→−lim1 1
1
1 2 3
1
2
 
 
 ( ) ( )( )( )C s s s s ss= + + + +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =→−lim2 2
1
1 2 3
1
2
 
 
( ) ( )( )( )D s s s s ss= + + + +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = −→−lim3 3
1
1 2 3
1
6
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )G s s s s s= − + + + − +
1
6
1
2 1
1
2 2
1
6 3
 
 
 
 
2.Fatores lineares repetidos no denominador 
 
Expressão: 
 
 ( ) ( )( ) ( ) ( )nk pspsps
szsG +++= ....21
 
 
Frações Parciais: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
21
2
1 21 1
... ....k k
n
AA A B N
G s
s p s p s ps p s p
= + + + + + +− − −− − 
 
 ( ) ( )[ ]sGpsA k
psk 11
+= →lim 
 
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 ( ) ( )[ ]⎭⎬⎫⎩⎨⎧ += →− sGpsdsdA kpsk 11 1lim 
 
 
( )
( ) ( ) ( )[ ]⎭⎬⎫⎩⎨⎧ += −
−
→ sGpsds
dA k
k
k
ps 11
1
1
2
lim 
 
 ( ) ( )[ ]sGpsB
ps 22
+= →lim 
 
 ( ) ( )[ ]sGpsN nps n += →lim 
 
 
Exemplo 2 
 
 ( ) ( ) ( )G s
s
s s s
s
s s
= ++ + =
+
+
1
4 4
1
22 2
 
 
 ( ) ( ) ( )G s
A
s
B
s
C
s
= + + + +2 2 2 
 
 ( ) ( )A s
s
s ss
= + ++
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =→lim0 20
1
2
1
4
 
 
 ( ) ( )B
d
ds
s
s
s s
d
ds
s
s ss s s
= + ++
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭ =
+⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −→− →− →−lim lim lim2
2
2 2 2 2
2
1
2
1 1 1
4
 
 
 ( ) ( )C s
s
s s
s
ss s
= + ++
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭ =
+⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭ =→− →−lim lim2
2
2 2
2
1
2
1 1
2
 
 
 ( ) ( ) ( )G s s s s= − + + +
1
4
1
4 2
1
2 2 2
 
 
3.Fatores complexos conjugados no denominador 
 
Quando a função possui pólos complexos 
 
Nesses casos a função temporal sempre envolve produto de uma exponencial e um 
seno ou cosseno como indicado a seguir: 
 
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( )[ ]
( )[ ]
22
22
ωω
ωω
++
+=
++
+=
−
−
)(
)(
)(
)(
cos
as
asBtsenAe
as
asAtAe
at
at
L
L
 
 
Quando a função possui pólos complexos e reais. 
 
Para utilizarmos os resultados das seções anteriores devemos primeiro separar os 
pólos complexos dos reais da seguinte forma: 
 
Expressão: 
 
L
L
+++
+++=+++= )()())((
)(
)(
bass
KsK
ps
K
bassps
sNsF
2
32
1
1
2
1 
 
onde K1 é obtido como definido no item 1 e K2 e K3 são determinados por igualdade 
polinomial atribuindo-se valores a s. 
 
Exemplo 3 
 
 
 
( ) ( )
52
52
3
2
321
2
++
++=
++=
ss
KK
s
K
sG
sss
sG
s)(
 
 
K1 pode ser obtido pelo procedimento habitual e vale 3/5. K2 e K3, podem ser 
determinados simplificando a equação anterior e comparando os polinômios: 
 
( )
3
5
6
5
33
525
3
52
3
3
2
2
2
32
2
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
++
++=++
sKsK
ss
KK
ssss
s
 
 
Portanto K2=-3/5 e K3=-6/5. Ajustando os termos: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++
++−=
22 21
2501
5
35
3
)(
))(,()(
)(
s
s
s
sF 
 
utilizando da tabela de laplace, encontramos: 
 
Transformadas de Laplace 
 
 
 
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⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−= − tsentetf t 2
2
12
5
3
5
3
cos)( 
 
 
 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS POR LAPLACE 
 
 O procedimento que envolve utilizar a transformada de Laplace para obter a 
solução de uma equação diferencial é o seguinte: 
 
 1. Transformar cada termo da equação diferencial em suas transformadas 
de Laplace, isto é, mudar a função do tempo para uma função de "s ". 
 
 2. Pesquisar todas as manipulações - por exemplo, considerar o que 
acontece quando uma entrada degrau é aplicada ao sistema. 
 
 3. Converter a função de Laplace resultante em uma equação como função 
do tempo, isto é, operação inversa da transformação de Laplace. Para usar as 
tabelas de transformadas de Laplace e assim determinar a conversão, é 
freqüentemente necessário decompor em frações parciais para obter as formas 
padrões dadas nas tabelas. 
 
 
Esquematicamente: 
 
 
 
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Exemplo 
 
Seja a equação diferencial 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )d y t
dt
d y t
dt
dy t
dt
y t u t
3
3
2
26 11 6+ + + = 
 
com as seguinte condições iniciais: 
 
 
( ) ( ) ( )d y
dt
dy
dt
y
2
2
0
0
0
0 0 0= = =, , 
 
aplique um degrau unitário em u 
 
 u(t) = 1 
 
Etapa 1 (Aplicação da transformada de Laplace) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]L L L L Ld y t
dt
d y t
dt
dy t
dt
y t u t
3
3
2
26 11 6
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥+
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥+ =
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )
s y s s y s
dy
dt
d y
dt
s y s sy
dy
dt
sy s y y s u s
3 2
2
2
20
0 0
6 0
0
11 0 6
− − −⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥ + − −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ +
+ − + =
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s y s s y s sy s y s u s3 26 11 6+ + + = 
 
 ( ) ( )y s
s s s
u s= + + +
1
6 11 63 2
 
 
 ( )[ ] ( )L u t u s
s
= = 1 
 
Etapa 2 (Operação com a função de transferência) 
 
 ( )y s
s s s s
= + + + ×
1
6 11 6
1
3 2 
 
 ( ) ( )y s s s s s= + + +
1
6 11 63 2
 
 
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 ( ) ( )( )( )y s s s s s= + + +
1
1 2 3
 
 
Etapa 3a (Expansão em frações parciais) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )y s
A
s
B
s
C
s
D
s
= + + + + + +1 2 3 
 
 ( ) ( )( )( )A s s s s ss= + + + +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =→lim0 0
1
1 2 3
1
6
 
 
 ( ) ( )( )( )B s s s s ss= + + + +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = −→−lim1 1
1
1 2 3
1
2
 
 
 ( ) ( )( )( )C s s s s ss= + + + +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =→−lim2 2
1
1 2 3
1
2
 
 
 ( ) ( )( )( )D s s s s ss= + + + +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = −→−lim3 3
1
1 2 3
1
6
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )y s s s s s= − + + + − +
1
6
1
2 1
1
2 2
1
6 3
 
 
 
Etapa 3b (Aplicação da transformada inversa de Laplace) 
 
 ( )[ ] ( ) ( ) ( )L L L L L- 1 - 1 - 1 - 1 - 1y s s s s s= ⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥− +⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥+ +⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥− +⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥16 1 12 1 1 12 12 16 1 3 
 
 ( )y t e e et t t= − + −− − −1
6
1
2
1
2
1
6
2 3 
 
 
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TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
 
( ) ( )[ ] ( ) dtetftfsF st−∞∫==
0
L 
 
 Função Transformada 
 f(t) F(S) 
1 Impulso unitário 
 δ(t) 
1 
2 Degrau unitário 
 1(t) 
1
s
 
3 Rampa Unitária 
 t 
1
2s
 
4 tn (n = 1,2,3,...) n
sn
!
+1 
5 e at− 1
s a+ 
6 te at− 
( )
1
2s a+ 
7 t e nn at− =( , , ,...)1 2 3 
( )
n
s a n
!
+ +1 
8 ( )1 1
a
e at− − ( )
1
s s a+ 
9 ( )1 12a e ateat at− −− − ( )
1
2s s a+ 
10 ( )1
b a
e eat bt− −
− − ( )( )
1
s a s b+ + 
11 ( )1
b a
be aebt at− −
− − ( )( )
s
s a s b+ + 
12 senωt ω
ωs2 2+ 
13 cosωt s
s2 2+ω 
14 Senóide Amortecida 
e tat− senω ( )
ω
ωs a+ +2 2 
15 Cossenóide Amortecida 
e tat− cosω ( )
s a
s a
+
+ +2 2ω 
16 ω
ζ ω ζ
ζωn t
ne tn1
1
2
2
− −
− sen ωζω ω
n
n ns s
2
2 22+ +