Logica aula 2
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Logica aula 2


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Lo´gica: aula 2
Salvador (UNIP) Aula 2 01/03/2019 1 / 20
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre Proposic¸o\u2dces
Negac¸a\u2dco (~)
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre proposic¸o\u2dces
Operac¸o\u2dces lo´gicas sa\u2dco operac¸o\u2dces efetuadas sobre proposic¸o\u2dces.
Ca´lculo proposicional sa\u2dco as regras estabelecidas para podermos
realizar operac¸o\u2dces lo´gicas.
Definic¸a\u2dco: chama-se negac¸a\u2dco de uma proposic¸a\u2dco p a proposic¸a\u2dco
representada por \u201c~p\u201d, cujo valor lo´gico e´ a verdade (V ) quando p e´ falsa
e a falsidade (F ) quando p e´ verdadeira.
Assim, \u201cna\u2dco p\u201d tem o valor lo´gico oposto daquele de p.
Notac¸a\u2dco: indica-se a negac¸a\u2dco de uma proposic¸a\u2dco por \u201c~p\u201d.
Tabela verdade para a negac¸a\u2dco de duas proposic¸o\u2dces
p ~p
V F
F V
ou seja, pelas igualdades: ~V = F , ~F = V e V (~p) = ~V (p).
Salvador (UNIP) Aula 2 01/03/2019 2 / 20
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre Proposic¸o\u2dces
Negac¸a\u2dco (~)
Exemplos:
(1) p: 2 + 3 = 5 (V ) e ~p: 2 + 3 6= 5 (F )
(2) q: 7 < 3 (F ) e ~q: 7 6< 3 (V )
(3) r : Roma e´ a capital da Franc¸a (F ) e ~r : Roma na\u2dco e´ a capital da Franc¸a (V )
Na linguagem comum a negac¸a\u2dco efetua-se, nos casos mais simples,
antepondo o adve´rbio \u201cna\u2dco\u201d ao verbo da proposic¸a\u2dco dada. Assim, por
exemplo, a negac¸a\u2dco da proposic¸a\u2dco:
p: O sol e´ uma estrela
e´ ~p: O sol na\u2dco e´ uma estrela
Outra maneira de efetuar a negac¸a\u2dco consiste em antepor a` proposic¸a\u2dco
dada expresso\u2dces tais como \u201cna\u2dco e´ verdade que\u201d, \u201ce´ falso que\u201d. Assim,
por exemplo, a negac¸a\u2dco da proposic¸a\u2dco:
q: Carlos e´ meca\u2c6nico
e´ ~q: Na\u2dco e´ verdade que Carlos e´ meca\u2c6nico
ou ~q: E´ falso que Carlos e´ meca\u2c6nico
Observac¸a\u2dco: a negac¸a\u2dco de \u201cTodos os homens sa\u2dco elegantes\u201d e´ \u201cNem
todos os homens sa\u2dco elegantes\u201d e a de \u201cNenhum homem e´ elegante\u201d e´
\u201cAlgum homem e´ elegante\u201d.
Salvador (UNIP) Aula 2 01/03/2019 3 / 20
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre Proposic¸o\u2dces
Conjunc¸a\u2dco (\u2227)
Definic¸a\u2dco: chama-se conjunc¸a\u2dco de duas proposic¸o\u2dces p e q a
proposic¸a\u2dco representada por \u201cp e q\u201d, cujo valor lo´gico e´ a verdade (V )
quando as proposic¸o\u2dces p e q sa\u2dco ambas verdadeiras e a falsidade (F )
nos demais casos.
Notac¸a\u2dco: indica-se a conjunc¸a\u2dco de duas proposic¸o\u2dces p e q por \u201cp \u2227 q\u201d.
Tabela verdade para o valor lo´gico da conjunc¸a\u2dco de duas
proposic¸o\u2dces
p q p \u2227 q
V V V
V F F
F V F
F F F
ou seja, pelas igualdades: V \u2227 V = V , V \u2227 F = F , F \u2227 V = F , F \u2227 F = F
e V (p \u2227 q) = V (p) \u2227 V (q).
Salvador (UNIP) Aula 2 01/03/2019 4 / 20
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre Proposic¸o\u2dces
Conjunc¸a\u2dco (\u2227)
Exemplos:
(1) p: A neve e´ branca (V )
q: 2 < 5 (V )
p \u2227 q: A neve e´ branca e 2 < 5 (V )
(2) p: O enxo\u2c6fre e´ verde (F )
q: 7 e´ um nu´mero primo (V )
p \u2227 q: O enxo\u2c6fre e´ verde e 7 e´ um nu´mero primo (F )
(3) p: pi > 4 (F )
q: sin
pi
2
= 0 (F )
p \u2227 q: pi > 4 e sin pi
2
= 0 (F )
Salvador (UNIP) Aula 2 01/03/2019 5 / 20
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre Proposic¸o\u2dces
Disjunc¸a\u2dco (\u2228)
Definic¸a\u2dco: chama-se disjunc¸a\u2dco de duas proposic¸o\u2dces p e q a
proposic¸a\u2dco representada por \u201cp ou q\u201d, cujo valor lo´gico e´ a verdade (V )
quando ao menos uma das proposic¸o\u2dces p e q e´ verdadeira e a falsidade
(F ) quando as proposic¸o\u2dces p e q sa\u2dco ambas falsas.
Notac¸a\u2dco: indica-se a disjunc¸a\u2dco de duas proposic¸o\u2dces por \u201cp \u2228 q\u201d.
Tabela verdade para a disjunc¸a\u2dco de duas proposic¸o\u2dces
p q p \u2228 q
V V V
V F V
F V V
F F F
ou seja, pelas igualdades: V \u2228 V = V , V \u2228 F = V , F \u2228 V = V , F \u2228 F = F
e V (p \u2228 q) = V (p) \u2228 V (q).
Salvador (UNIP) Aula 2 01/03/2019 6 / 20
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre Proposic¸o\u2dces
Disjunc¸a\u2dco (\u2228)
Exemplos:
(1) p: Paris e´ a capital da Franc¸a (V )
q: 9\u2212 4 = 5 (V )
p \u2228 q: Paris e´ a capital da Franc¸a ou 9\u2212 4 = 5 (V )
(2) p: Camo\u2dces escreveu os Lus\u131´adas (V )
q: pi = 3 (F )
p \u2228 q: Camo\u2dces escreveu os Lus\u131´adas ou pi = 3 (V )
(3) p: A cidade de Araraquara fica no estado do Rio de Janeiro (F )
q:
\u221a\u22121 = 1 (F )
p \u2228 q: A cidade de Araraquara fica no estado do Rio de Janeiro ou \u221a\u22121 = 1
(F )
Salvador (UNIP) Aula 2 01/03/2019 7 / 20
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre Proposic¸o\u2dces
Disjunc¸a\u2dco exclusiva (Y)
Na linguagem comum a palavra \u201cou\u201d tem dois sentidos. Assim, por
exemplo, consideremos as duas seguintes proposic¸o\u2dces compostas:
P: Carlos e´ me´dico ou professor
Q: Mario e´ alagoano ou gau´cho
A proposic¸a\u2dco P nos indica que pelo menos uma das proposic¸o\u2dces \u201cCarlos
e´ me´dico\u201d, \u201cCarlos e´ professor\u201d e´ verdadeira, podendo ser ambas
verdadeiras: \u2018Carlos e´ me´dico e professor\u201d. Mas na proposic¸a\u2dco Q,
precisamos que uma e somente uma das proposic¸o\u2dces \u201cMario e´
alagoano\u201d, \u201cMario e´ gau´cho\u201d seja verdadeira, pois na\u2dco e´ poss\u131´vel ocorrer
\u201cMario e´ alagoano e gau´cho\u201d.
Na proposic¸a\u2dco P diz-se que \u201cou\u201d e´ inclusivo, enquanto que, na
proposic¸a\u2dco Q diz-se que \u201cou\u201d e´ exclusivo.
Notac¸a\u2dco: usamos o s\u131´mbolo \u201c\u2228\u201d para \u201cou\u201d inclusivo e o o s\u131´mbolo \u201cY\u201d
para \u201cou\u201d exclusivo.
Salvador (UNIP) Aula 2 01/03/2019 8 / 20
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre Proposic¸o\u2dces
Disjunc¸a\u2dco exclusiva (Y)
Assim sendo, a proposic¸a\u2dco P e´ a disjunc¸a\u2dco inclusiva ou apenas
disjunc¸a\u2dco das proposic¸o\u2dces simples \u2018Carlos e´ me´dico\u201d, \u201cCarlos e´
professor\u201d, isto e´:
P: Carlos e´ me´dico \u2228 Carlos e´ professor
ao passo que a proposic¸a\u2dco Q e´ a disjunc¸a\u2dco exclusiva das proposic¸o\u2dces
simples \u201cMario e´ alagoano\u201d, \u201cMario e´ gau´cho\u201d, isto e´:
Q: Mario e´ alagoano Y Mario e´ gau´cho
De modo geral, chama-se disjunc¸a\u2dco exclusiva de duas proposic¸o\u2dces p e q
a proposic¸a\u2dco representada simbolicamente por \u201cp Y q\u201d, que se le\u2c6: \u201cou p
ou q\u201d ou \u201cp ou q, mas na\u2dco ambos\u201d, cujo valor lo´gico e´ a verdade (V )
somente quando p e´ verdadeira ou q e´ verdadeira, mas na\u2dco quando p e
q sa\u2dco ambas verdadeiras, e a falsidade (F ) quando p e q sa\u2dco ambas
verdadeiras ou ambas falsas.
Salvador (UNIP) Aula 2 01/03/2019 9 / 20
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre Proposic¸o\u2dces
Disjunc¸a\u2dco exclusiva (Y)
Tabela verdade para o valor lo´gico da disjunc¸a\u2dco exclusiva de duas
proposic¸o\u2dces
p q p Y q
V V F
V F V
F V V
F F F
ou seja, pelas igualdades: V Y V = F , V Y F = V , F Y V = V , F Y F = F
e V (p Y q) = V (p) Y V (q).
Salvador (UNIP) Aula 2 01/03/2019 10 / 20
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre Proposic¸o\u2dces
Condicional
Definic¸a\u2dco: chama-se proposic¸a\u2dco condicional ou apenas condicional
uma proposic¸a\u2dco representada por \u201cse p enta\u2dco q\u201d, cujo valor lo´gico e´ a
falsidade (F ) no caso em que p e´ verdadeira e q e´ falsa e a verdade (V )
nos demais casos.
Notac¸a\u2dco: a condicional de duas proposic¸o\u2dces p e q indica-se por
\u201cp \u2192 q\u201d, que tambe´m se le\u2c6 de uma das seguintes maneiras:
(i) p e´ condic¸a\u2dco suficiente para q
(ii) q e´ condic¸a\u2dco necessa´ria para p
Na condicional \u201cp \u2192 q\u201d, diz-se que p e´ o antecedente e q o consequente.
O s\u131´mbolo \u201c\u2192\u201d e´ chamado de implicac¸a\u2dco.
Salvador (UNIP) Aula 2 01/03/2019 11 / 20
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre Proposic¸o\u2dces
Condicional
Tabela verdade para o valor lo´gico da condicional de duas
proposic¸o\u2dces
p q p \u2192 q
V V V
V F F
F V V
F F V
ou seja, pelas igualdades: V \u2192 V = V , V \u2192 F = F , F \u2192 V = V ,
F \u2192 F = V e V (p \u2192 q) = V (p)\u2192 V (q).
Observac¸a\u2dco: uma condicional e´ verdadeira todas as vezes que seu
antecedente e´ uma proposic¸a\u2dco falsa.
Salvador (UNIP) Aula 2 01/03/2019 12 / 20
Operac¸o\u2dces lo´gicas sobre Proposic¸o\u2dces
Condicional
Exemplos:
(1) p: Galois morreu em duelo (V )
q: pi e´ um nu´mero real (V )
p \u2192 q: Se Galois morreu em duelo, enta\u2dco pi e´ um nu´mero real (V )
(2) p: O me\u2c6s de Maio tem 31 dias (V )
q: A Terra e´ plana (F )
p \u2192 q: Se o me\u2c6s de Maio tem 31 dias, enta\u2dco a Terra e´ plana (F )
(3) p: Dante escreveu os Lus\u131´adas (F )
q: Cantor criou a Teoria dos Conjuntos (V )
p \u2192 q: Se Dante escreveu os Lus\u131´adas, enta\u2dco Cantor criou a Teoria dos
Conjuntos (V )
(4) p: Santos Dumont nasceu no Ceara´ (F )
q: O ano tem 9 meses (F )
p \u2192 q: Se Santos Dumont nasceu no Ceara´,