modelos de probabilidade e inferência estatística
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Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Qui-quadrado, t-Student e F de Snedecor 04/14 1 / 32
Distribuição Qui-quadrado
Definição 9.1: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição qui-quadrado
com n graus de liberdade, denotada por \u3c72n , se sua função densidade for dada
por:
f (x) =
1
2n/2\u393(n/2)
xn/2\u22121e\u2212x/2, x > 0, n> 0
Sendo, \u393(w) =
\u222b\u221e
0
xw\u22121e\u2212xdx , w > 0.
IDEIA Graus de liberdade: Considere um conjunto de dados qualquer. Graus
de liberdade é o número de valores deste conjunto de dados que podem variar
após terem sido impostas certas restrições a todos os valores.
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Distribuição Qui-quadrado
Exemplo
Consideremos que 10 estudantes obtiveram em um teste média 8.0. Assim, a
soma das 10 notas deve ser 80 (restrição). Portanto, neste caso, temos um grau
de liberdade de 10\u22121 = 9, pois as nove primeiras notas podem ser escolhidas
aleatoriamente, contudo a 10a nota deve ser igual a
[80\u2212 (soma das 9 primeiras)].
A distribuição qui-quadrado pode ser interpretada da seguinte forma:
Interpretação
Como a soma de normais padronizada ao quadrado.
Ou seja, se Xi \u223cN(0,1), então\u2211ni=1X 2i \u223c\u3c72n
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Distribuição Qui-quadrado
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Distribuição Qui-quadrado
A distribuição qui-quadrado possui numerosas aplicações importantes em
inferência estatística.
Devido a sua importância a distribuição qui-quadrado está tabulada para
diferentes valores do parâmetro n.
Assim, poderemos achar na tabela o valor \u3c72\u3b1 que satisfaça P(X \u2264\u3c72\u3b1) =\u3b1 ou
P(X \u2265\u3c72\u3b1) =\u3b1, dependendo da tabela.
O que é tabelado é a função inversa, em relação a área à direita ou à esquerda
de cada curva. Isto é, dado um valor de área na cauda direita, a tabela retorna
um valor \u3c72\u3b1 tal que P(X \u2265\u3c72\u3b1) =\u3b1 e dado um valor de área na cauda esquerda
a tabela retorna um valor \u3c72\u3b1 tal que P(X \u2264\u3c72\u3b1) =\u3b1.
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Exemplo de Tabela Qui-quadrado
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Distribuição Qui-quadrado
Exemplo 1 Suponha que X segue uma distribuição qui-quadrado com 17 graus
de liberdade e queremos encontrar x1 e x2 tais que P(x1 \u2264 X \u2264 x2) = 0.95.
OBSERVAÇÃO 9.1: Poderíamos ter encontrado outros valores de x1 e x2 para os
quais P(x1 \u2264 X \u2264 x2) = 0.95, porém, na prática, sempre buscamos por valores de
forma que as probabilidades P(X < x1) = P(X > x2).
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Distribuição Qui-quadrado
Exemplo 2 Suponha que X segue uma distribuição qui-quadrado com 7 graus de
liberdade.
a) Determine P(X > 9).
b) Determine o valor x tal que P(X \u2264 x) = 0.95
c) Determine o valor x tal que P(X > x) = 0.95
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Propriedades da distribuição Qui-quadrado
Propriedades
E(X) = n
Var(X) = 2n
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Distribuição Qui-quadrado
Teorema 9.1: Seja X uma variável aleatória com distribuição normal
padronizada. Então X 2 tem distruibuição \u3c72 com um grau de liberdade.
Teorema 9.2: Sejam X1,X2, . . . ,Xn variáveis aleatórias independentes
normalmente distribuídas com média 0 e variância 1. Então Z =
\u2211n
i=1X
2
i segue
uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.
Teorema 9.3: Sejam U1,U2, . . . ,Uk variáveis aleatórias independentes com
distribuição qui-quadrado com n1,n2, . . . ,nk graus de liberdade resepectivamente.
Então a soma W =U1 +U2 + · · ·+Uk tem distribuição qui-quadrado com
n1 +n2 + · · ·+nk graus de liberdade.
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Distribuição Qui-quadrado
Teorema 9.4: Suponha que a variável aleaatória Y tenha distribuição \u3c72n . Então
para n suficientemente grande (n\u2265 30), a variável aleatória p2Y tem
aproximadamente a distribuição N(
p
2n\u22121,1).
Teorema 9.5: Seja X1, . . . ,Xn uma amostra aleatória de uma distribuição normal
com média µ e variância \u3c32, então
(n\u22121)S2
\u3c32
=
\u2211n
i=1(Xi \u2212X)2
\u3c32
\u223c\u3c72(n\u22121)
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Distribuição t de Student
A distribuição t de Student é uma das distribuições mais utilizadas na estatística,
com aplicações que vão desde a modelagem estatística até testes de hipóteses.
Definição 9.2: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição t de Student
com \u3bd graus de liberdade, denotada por t\u3bd , se sua função densidade for dada por:
f (x) =
1p
\u3bdpi
\u393
€
\u3bd+1
2
Š
\u393
€
\u3bd
2
Š 1 + x2
\u3bd
‹\u2212€ \u3bd+12 Š
, \u3bd = 1,2,3, . . . \u2200x \u2208R
A expressão acima é assustadora????
Boa Notícia: Não precisaremos dela para calcular probabilidades.
Mais uma vez, o parâmetro \u3bd , chamado de graus de liberdade, está associado ao
número de parcelas independentes em uma soma.
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Propriedades da distribuição t de Student
Propriedades
E(X) = 0 para \u3bd > 1
Var(X) =
\u3bd
\u3bd \u22122 , para \u3bd > 2
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Distribuição t de Student
 
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Distribuição t de Student
 
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Distribuição t de Student
Principais Características
Cada número de graus de liberdade da origem a uma distribuição t diferente.
A função densidade tem a mesma forma em sino da distribuição Normal,
mas reflete uma maior variabilidade (com curvas mais alargadas) que é de
se esperar em amostras pequenas.
A distribuição t-Student se aproxima da normal quando aumenta o número
de graus de liberdade.
A curva é simétrica em torno do zero, ou seja, dado um a\u2208R, tem-se que
f (a) = f (\u2212a). Logo P(X \u2264\u2212a) = P(X \u2265 a).
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Distribuição t de Student
Ao contrário da distribuição normal, não existe uma relação entre as diferentes
distribuições t, assim seria necessária uma tabela para cada valor de \u3bd .
É comum que os livros didáticos apresentem tabelas da distribuição t que
envolvem os valores críticos.
O motivo para isso é que a maioria das aplicações da distribuição t envolve a
construção de intervalos de confiança ou de testes de hipóteses.
Nessas aplicações, nosso interesse está no valor crítico associado a um nível de
significância \u3b1 que, como visto no gráfico a seguir, é o valor da abscissa que
deixa probabilidade (área) \u3b1 acima dela.
Na tabela t , cada linha corresponde a um número diferente de graus de liberdade
e cada coluna corresponde a uma área \u3b1 na cauda superior. No corpo da tabela
temos a abscissa t\u3b1 que deixa a área \u3b1 acima dela.
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Distribuição t de Student
 
 
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