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:,-)x o s. Como é verdadeiro :eijões) está particular é 2 ,:sm o princípio retirados do conteúdo do . regra de ou numa caráter geral. fe com certeza da segunda sorteamos fei a:;uns feijões .:.:• rizrário. o me- -- significa J-.-:icado leva à exatamente desprovido da cor de :atos. não de re s:'1-itê-los. Sua asseme- - ou. em ou carac vez em uni premissas - ::resmas. tal- - ',ma em uni . da infe- premissas - apenas o .;.-rhecimento .aferir que pelo ér levado a ... de modo será @ único Q_e a con- F R EG (1848-1925) VIDA e OBRA Consultoria de Luís Henrique dos Santos 178 OS P•NSADORF:S A s sistematizações das leis ideais do pensamento, elaboradas pela filosofia antiga e pelos lógicos da Idade Média, podem ser sintetizadas em torno de quatro características funda- mentais. São bivalentes, admitindo como valores lógicos apenas o verda- deiro e o falso; são normativas, apoian- do-se no pressuposto de que o verda- deiro deve ser procurado, e o falso, evitado; vinculam-se a uma metafisica essencialista, supondo que os conceitos lógicos expressem a própria realidade dos seres; permanecem quase completa-, mente presas ao âmbito da linguagem corrente. Esse panorama geral da lógica come- çou a se alterar na Idade Moderna, em virtude, sobretudo, do surgimento da ál- gebra. Leibniz (1646- I 716) colocou os princípios de uma lógica simbólica, atraves de seu projeto de uma linguagem artificial, desprovida de qualquer ambi- güidade. Contudo. somente no século XIX alguns pensadores conseguiram construir uma lógica formal liberta dos entraves que impediram o desenvolvi- mento da lógica clássica. Entre os trabalhos nesse sentido, salientam-se os realizados por George Boole (1815-1864), que desenvolveu uma álgebra da lógica, os de Georg Can- tor (1845-1918), criador da teoria ma- temática dos conjuntos, os de De Mor- gan (1806-1871) e os de Giuseppe Peano (1858-1932). Mas as investiga- ções mais importantes nesse período foram as realizadas por Cottloh Frege, considerado por muitos historiadores como o verdadeiro fundador da moderna lógica matemática. Frege nasceu em 1818 na cidade de Wismar, Alemanha. Seus estudos primá- rio e secundário foram feitos no ginásio da cidade natal e o superior nas univer- sidades de Gõttingen e Jena. \ esta últi- ma, tornou-se livre-docente, em 1874, e professor titular, em 1896, e nela per- maneceu até sua morte, ocorrida em 1925, em Bad Kleinen. Durante toda a sua vida, Frege dedi- cou-se quase exclusivamente à matemá- tica e à lógica. O desenvolvimento das idéias que formulou a respeito desses assuntos pode ser estudado de acordo com quatro períodos distintos. O pri- meiro e marcado pela obra Conceito- grafia, uma linguagemformular do pen- samento puro, imitada da linguagem aritmética, publicada em 1879 e na qual sintetizou suas pesquisas sobre opera- ções de negação e implicação e sobre os conceitos de identidade e de quantifi- cador universal, além de desenvolver uma teoria lógica das séries. No segundo período, que corresponde a Os Funda- mentos da Aritmética (1884), Frege ocu- pou-se com o esboço informal da defini- ção lógica de número e com a demonstração lógica das leis aritméticas fundamentais, a partir de leis lógicas. O terceiro período estende-se de 1881 até 1903, quando Frege completou a publi- cação de As Leis Fundamentais da Arit- mética, na qual procurou formalizar e completar Os Fundamentos da Aritmé- tica e, por essa razão, foi levado a alte- rar alguns aspectos da sua conceito- grafia e a inserir em seu contexto a distinção entre sentido e significado. Com essas modificações, Frege tornou possível o uso generalizado do sinal de identidade, sem provocar perplexidades filosóficas, bem como conseguiu expli- car por que as equações aritméticas são ao mesmo tempo analíticas e informati- vas. Além disso, Frege introduziu a noção de percurso de valor de unes fim- ção (todo conceito é urna espécie de fun- ção. a extensão de um conceito é seu per- curso de valor e todo número é urna extensão de certo conceito) e criou uma notação simbólica correspondente ao que Russell, posteriormente, chamaria descrição definitiva, isto é, expressões do tipo "o tal-e-tal - . A esse terceiro período do pensamento de Frege. perten- cem, além de As Leis Fundamentais da Aritmética, os importantes artigos Fun- çào e Conceito, Conceito e Objeto e Sen- tido e Significado. Pouco antes da publicação do segundo volume de As Leis Fundamentais da Aritmética (1903), Frege recebeu de Bertrand Russell uma carta, na qual o filósofo inglês lhe comunicava um pro- blema que, posteriormente, ficaria famo- so como "paradoxo das classes". Segun- do Russell, o paradoxo das classes "Quaruic - -191 dificulderse, : -rom superar e!: 114 dos coser::.: (Vista de poderia ser de_- :17:4111 gico proposto FE este a escrev..i.-.-- Fundamentais uma maneira nem fim de evitar :-:cgtn Russell. satisfez a Frèzt.. • ameaçava o cze-zizzir isto é. sua es-_dièr,r.la então o quart.:, Foxii procurou cot= s.:à. ma. mas foz: para outros escritos dess.e publicados c= tam-se très Negação. poucos pretendia 4111. In vest igap5ei a ......................... "Quando um conceito, que serve de base a uma importante ciência, oferece dificuldades, torna-se tarefa irrecusável investigá - lo de modo mais preciso e superar essas dificuldades . . ." Frege dedicou toda sua vida à investigação dos conceitos fundamentais da aritmética, desde sua juventude em Gõttingen. (Vista de Gõttingen, Prefeitura e Praça do Mercado; Foto Biiuerle, Munique.) FREGE 1 79 a respeito desses r estudado de acordo <los distintos. O pri- pela obra Conceito- agem formular do pen- nitacta da linguagem ida em 1879 e na qual esquisas sobre opera- implicação e sobre os tidade e de quantifi- além de desenvolver das séries. No segundo exponde, a Os Funda- ica (1884), Frege ocu- ço informal da defini- número e com a ca das leis aritméticas irtir de leis lógicas. O stende-se de 1884 até ee completou a publi- undarnentais da Arit- irocurou formalizar e damentos da Aritmé- zão, foi levado a alte- los da Sua conceito- - em seu contexto a n tido e significado. cações. Frege tornou eralizado do sinal de .orocar perplexidades )mo conseguiu expli- ações aritméticas são maliticas e informati- Frege introduziu a de valor de urna fun- é uma espécie de fun- um conceito é seu per- todo número é urna conceito) e criou unia correspondente ao eriormente, chamaria a, isto é, expressões ar. A esse terceiro finto de Frege, perten- eis Fundamentais da ortantes artigos Fun- ?ceito e Objeto e Sen- ublicação do segundo is Fundamentais da • Frege recebeu de mia carta, na qual o comunicava um pro- rmente, ficaria famo- das classes". Segun- radoxo das classes poderia ser demonstrado no sistema ló- gico proposto por Frege, o que obrigou este a escrever uni apêndice a As Leis Fundamentais da Aritmética, propondo uma maneira de corrigir seu sistema a fim de evitar a contradição apontada por Russell. Contudo, essa solução não satisfez a Frege, na medida em que ameaçava o caráter lógico do sistema, isto é, sua evidência imediata. Iniciou-se então o quarto período, no qual Frege procurou outra solução para o proble- ma, mas logo desanimou e voltou-se para outros assuntos. A maior parte dos escritos desse período somente foram publicados em 1969. Entre eles salien- tam-se três artigos, O Pensamento, A Negação, Conexões de Pensamento (dos poucos publicados em vida), que Frege pretendia reunir sob a designação de Investigações Lógicas. Uma quarta in- vestigação (Generalidade Lógica) ficou inacabada devido à morte do autor. Além desses trabalhos, Frege redigiu dois outros textos pequenos, num dos quais reconhecia explicitamente a im-lossibilidadede reduzir a aritmética àógica e propunha o novo projeto de reduzi-la a geometria. O projeto, contu- do, ficou apenas esboçado. Uma nova lógica Os três primeiros períodos da obra de Frege centralizaram-se no projeto de redução da aritmética à lógica, projeto que poderia ser sintetizado em dois objetivos. O primeiro consiste em definir toda expressão aritmética em termos ló- gicos e com isso mostrar que toda expressão aritmética significa o mesmo que uma expressão lógica determinada. I 80 OS PENSADORES truir deduções ilegítimas e toda ilegitimidade pode ser facilmente cons- tatada, na medida em que o conjunto de passagens permitidas é pequeno e as re- gras que as comandam são formais, isto e, são do tipo "de sentenças de tal e tal forma, pode-se deduzir uma sentença de tal outra forma". Com isso, a dedução torna-se um cálculo, uma série de opera- ções sobre símbolos. É importante, porém, notar que, para Frege, isso é ape- nas um recurso útil e acidental. Frege não pode, portanto, ser confundido com os formalistas, segundo os quais a lógi- ca é simplesmente uma teoria sobre sím- bolos sem significado. Para Frege, os si- nais de conceitografia têm significado e o conjunto de axiomas e regras é estabe- lecido de acordo com esse significado. Ocorre apenas que se pode operar com os símbolos como se fossem vazios, gra- ças ao artificio da formalização. As duas vantagens da lógica de Frege em relação à lógica clássica, isto é, a ampliação de seu campo e a formaliza- ção, não devem ser postas em pé de igualdade. A primeira é fundamental;„ pois, sem a nova teoria do conceito e aincorporação da teoria dos conjuntos, / não seria possível reduzir a aritmética à/ - lógica. O mesmo não pode ser dito da, formalização, porque não é indispen- sável a construção de uma linguagem artificial; bastaria usar a linguagem comum com algumas correções e acrés- cimos que incorporassem as vantagens da conceitografia. Prova disso encon- tra-se no fato de Frege usar nos Funda- mentos a linguagem comum. Em suma, a ampliação do campo da lógica é condi- ção de realização do projeto de Frege, a formalização apenas torna as coisas mais fáceis. O segundo objetivo dependeria dos resultados alcançados pelo anterior e, em caso positivo, consistiria em mostrar que as proposições lógicas obtidas pode- riam ser deduzidas de leis lógicas imediatamente evidentes. Para cumprir esses objetivos, a lógica clássica mostrava-se duplamente insufi- ciente. Primeiro, por ser incompleta, pois as relações e propriedades aritmé- ticas seriam relações e propriedades ló- gicas muito mais complexas do que as que a lógica clássica era capaz de repre- sentar. Em segundo lugar, esta última não é suficientemente formalizada, dei- xando-se contaminar pela imprecisão da linguagem comum. Por causa dessas insuficiências, o projeto de Frege passou a exigir a elaboração de uma nova lógi- ca. A essa tarefa, Frege se dedicou na obra Conceitografia, uma linguagem formular de pensamento puro, imitada da linguagem aritmética e nos artigos Funçáo e Conceito, Conceito e Objeto e Sentido e Significado. A nova lógica ela- borada nesses textos comporta uma nova teoria do conceito, que conduz a uma nova maneira de analisar proposi- ções, à ampliação das possibilidades de expressão de propriedades e relações ló- gicas e, conseqüentemente, à ampliação das possibilidades de definição de pro- priedades e relações em geral. Além disso, Frege incorporou à lógica a parte da matemática posteriormente conhe- cida como teoria dos conjuntos. Por outro lado, a nova lógica elabo- rada por Frege expressa-se lógica de uma linguagem simbólica artificial. A linguagem comum (utilizada pela IO- gica clássica) é inadequada para expri- mir com exatidão propriedades e rela- ções lógicas, em virtude de sua gramática não se orientar por necessi- dades puramente cognitivas, servindo também a outras necessidades humanas, como a estética. Uma dedução em lin- guagem comum contém, assim, lacunas e premissas implícitas que dificultam o reconhecimento das conclusões logica- mente legítimas. A conceitografia de Frege, ao contrário, contém um conjunto bem determinado de regras de dedução e de axiomas lógicos, supostamente evi- dentes. Assim, com a conceitografia, tor- na-se gramaticalmente impossível cons- Lógica e matemática O núcleo da ampliação do campo da lógica realizada por Frege encontra-se em sua teoria do conceito. Frege substi- tui a clássica distinção entre sujeito e predicado pela distinção entre função e argumento, como par de categorias lógi- cas básicas. Essa substituição corres- ponde a uma mudança mais radical de ponto de vista: a unidade lógica deixa de ser o conceito e passa a ser a proposição. Investigando problema das re:-.:_;-±;!SI i asnsu_ficiénci a brander o GOCZ,') J Investigando sobretudo o conceito de número, Frege lançou novas luzes sobra o problema das relaçóes entre a matemática e a lógica. Com isso, constatou us insuficiências da lógica tradicional, particularmente sua incapacidade puro abranger o pensamento matemático. (Igreja de São Jacó, em Gõttingen, orate Cottlob Frege iniciou seus estudos universitários: Foto Bduerle, Alunique.) r FREGE 181 ilegítimas e toda de ser facilmente cons- ta em que o conjunto de itidas é pequeno e as re- andam são formais, isto ie sentenças de tal e tal leduzir uma sentença de Com isso, a dedução mlo, uma série de opera- nbolos. É importante, e. para Frege, isso é ape- , útil e acidental. Frege nto, ser confundido com segundo os quais a lógi- ite urna teoria sobre sim- ficado. Para Frege, os si- >grafia têm significado e cromas e regras é estabe- lo com esse significado. que se pode operar com no se fossem vazios, gra- da formalização. agens da lógica de Frege lógica clássica, isto é, a eu campo e a formaliza- m ser postas em pé de primeira é fundamental;„ va teoria do conceito e a ia teoria dos conjuntos, vel reduzir a aritmética ti/ no não pode ser dito da porquenão é indispen- tição de uma linguagem tarja usar a linguagem .guinas correções e acres- orporassem as vantagens afia. Prova disso encon- de Frege usar nos Funda- agem comum. Em suma, a campo da lógica é condi- ;ão do projeto de Frege, a apenas torna as coisas e matemática ampliação do campo da da por Frege encontra-se do conceito. Frege subst i- distinção entre sujeito e k distinção entre função e mo par de categorias lógi- Essa substituição corres- mudança mais radical de a unidade lógica deixa de e passa a ser a proposição. OS PENSADORES Segundo Frege, toda proposição admite um processo de decomposição que a reduz a uma expressão incompleta, comportando um ou mais lugares vazios e a uma ou mais expressôe' s-que-pOdem- preencher esses lugares a fim de recom- por a proposição. Assim, "dois é um nú- mero" decompõe-se em "dois" e "( ) é um número". A primeira expressão é completa, tem como significado um objeto; , a segunda é incompleta, tem como significado uma função. Essa forma de análise estende-se a toda espé- cie de expressão. "A capital do Brasil", por exemplo, decompõe-se em "A capi- tal de ( )" e "Brasil", a primeira signifi- cando uma função, a segunda, um obje- to. Estende-se, assim, à lógica a noção matemática de função. Do mesmo modo que em matemática a expressão "o dobro de ( )" significa uma lei que faz corresponder a cada número, tomado como argumento da função, outro núme- ro que é o valor da função para o argu- mento (argumento 1, valor 2; argumento 2, valor 4, etc.), também "a capital de ( )" significa uma lei que faz correspon- der, por exemplo, o valor "Brasília ao argumento "Brasil" o valor Londres, ao argumento "Inglaterra": No caso de a expressão decomposta ser uma proposi- ção (como no exemplo "dois é um núme- ro"), o valor da função é um valor de verdade, que Frege diz ser"a circuns- tância de ser ela [a proposição) verda- deira ou falsa". Os valores de verdade são dois: o verdadeiro e o falso. Assim, o valor da função "( ) é um número" para o argumento 2 é o valor de verdade verda- deiro, pois preenchendo-se o lugar vazio do nome da função com o nome do argu- mento obtém-se uma proposição verda- deira; pelo mesmo motivo, o valor dessa função para o argumento "Brasília" é o valor de verdade falso. Assim, o que tradicionalmente se chama "conceito" nada mais é para Frege do que uma fun- ção que tem para qualquer argumento um valor de verdade como valor. Anali- sar logicamente uma proposição é de- compô-la em uma parte significando um conceito e uma ou mais partes signifi- cando os argumentos. A proposição é encarada como nome próprio, expressão que significa o valor de verdade assu- mido pelo conceito para aquele(s) argu- Comtemporaneamente a Frege, o matemático Giuseppe Peano contribuiu de maneira decisiva para a formulação de urna nova lógica, que sanasse as insuficiências da lógica tradicional. mento(s). Essa maneira de conceber a análise lógica rompeu com toda a tradi- ção e tornou-se o fundamento da lógica moderna e o fio condutor na construção dos modernos sistemas de cálculos de predicados. Os conceitos, segundo Frege, podem ser classificados conforme o número de lugares vazios, podendo ser preenchidos por diferentes objetos. Em cada um dos exemplos anteriores, trata-se de concei- tos simples, com um só lugar vazio. Ao -.a+mitatt:- - :ode -mau ieper r-U rt,: ru"-.= ti.t3 Lr'ã r:f:3 "Insru es1 ts:1- rçU r 14.;1 it73 If1-1Lni Lrd ry.p z%n ' d.b 4 e ...È` In] r...5 p • - - rui tr'V's "-1 V-st r1; • • , t,p,.„u„,, r"‘ i , r4,n dn.,4 A figura acima representa uma etapa na construção de urna curva de Peano. Continuando-se o processo de construção, todos os pontos da superfície seriam preenchidos pela curva, demonstrando-se, assim, que uma curva, elaborada convenientemerzte, pode ocupar todo a plano. Fatos como esse, considerados "anormais" na época, exigiram a reformulação das bases lógicas da matemática. cnki: D.9 7 5"'-.4 Prl d,59 }4",y5 2 . ,...... : . ._ _I I. .„1 r-,. . „ ...f ......Á ...:. 'I., ...... •I L. *.„I 5.. ,... . Ly _I... ,....I ,,,,, -, ; _ ,. -, ,- .4 1----!... ti...1 -.-..-1.1 L.I.-4 q l:A 5..r :::" - L4 '-',; . - .t. '. . r ''1 • r • 1Z: tr,t .../1 ...«. i- 1 •1-'. r t,...=I.F.. :4- r—F:Y --.' `L.., :..„1 A.11,..,:i: r....:: if r 1.-::-. 't"...5..:: ini p.Y:s,-,:. ell Ei.'- i i„t."J r'',1„"à K;51[X1,I XIÀ r 1 t.'_:i11.:r. L.'1';i- rit..t:,:t:r ..: ::. •.:_..,.i..., •vi..r4 ax",..1 '-'•-4‘ .. , ,ã1 1,1--,l _.,.4' ,t, 8,1- . .',-s ., ',1 . ,t...„ C -P'.!::I t r.. . „‘ 'E;„„ i '',:,.kY'' 'K. F , ';-: . . . L ,...+t' ;7• .#ri.:.. Lvi,? :t,-.3 .'..„.r.4., _,...ri.., t ''./'- L. c. a.1''U r-r- , .4.''.„"4"4.,--„,1 I'‘. t 4'" t '--.'": '4-'' „.!---i.'i k,.7i..r-.. r' r".-;',?-,5 t, I-r--i r>:. ,r- . ...' „-. ..".k.5 .t.r ..‘ .= 1..= .‘ -, Xs , .. ... ,,,. .. .„../........1 . ....,, ., t.• . „ 1 . r,,I ;ri, kr., 1.,. •:,... -,,,,,•-.1,À r,.. r. •,:n 4,É'„1 ..•`.--_:"á , .. 1- ..1 .„,..': '.' -... ,:, .. ': ., „.41... . 1.-‘,,,u1 ,,T,'‘',Á 4 L.. 1''„nv 1 .” I . ... - . 4 ,. :.,I 1 .. 1 = --. 1 . . 1 ..".-. r'''' . È'f rvi Ir' ''1•ii ri ''' l':':5 t: ' ' ..' :.I 5-2.: . ..'j •.; ..,"U r-L.II 3 t.••...r.".'k :I`..: rix rtur?.. '' rY.,r;',' V.:.:1.1';3 ','.., I'V,:t3. '11 .1 ,,,...".7.,.1: t.'',„1.,:,..1 ; .1'.-.1*i...t,i`:.‘-, r_",,,...., ",:1„,,,. t...., -,1,ve...1,' -i, y 7., . ..., ,....-4 i , , -. -..- , .„. .-,, ---:,' cZ t•.:.. ,...t.i.,-, ?",.'„r.2. k-7.,,x1 u-i..1; .5 r,... 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Se duas funções assumem os mes- mos valores para os mesmos argumen- tos, diz-se que elas têm o mesmo percurso de valor. 'No caso dos concei- tos, assumir os mesmos valores para os mesmos argumentos é equivalente a assumir o valor verdadeiro para os mes- mos argumentos, ou seja, subsumir os mesmos objetos. Assim, dizer que dois conceitos têm o mesmo percurso de valor é apenas outra maneira de exprimir o que a lógica tradicional exprimia como "ter a mesma extensão". A extensão de um conceito pode também ser entendida como o conjunto de objetos que caem sob o conceito. Desse modo, Frege incor- 184 OS PENSADORES gora a teoria dos conjuntos à lógica, isto e, à teoria que trata de conceitos enquanto elementos possíveis de propo- sições. Para Frege, uma extensão de conceito (conjunto) distingue-se de um mero agregado fisico de coisas, pelo fato de comportar uma mediação lógica: ser determinada por um conceito. Que é o número? Assentadas as bases da nova lógica, Frege dedicou-se à tarefa de mostrar que as leis aritméticas fundamentam-se nas leis lógicas. O núcleo desse trabalho encontra-se em sua teoria do número. O exame dessa teoria vincula-se estreita- mente à segunda tese exposta em Os Fundamentos da Aritmética, segundo a qual uma expressão só chega a signifi- car alguma coisa .i3uando no contexto de uma proposição.' Nesse sentido, para definir o número é necessário examinar a espécie fundamental de proposição onde aparecem . numerais, ou seja, a equação. Para Frege, equações da forma "o número que convém ao conceito F = número clue contém o conceito G" podem ser consideradas como equivalentes a proposições da forma "o conceito F é eqüinumérico ao conceito G'', ou ainda a proposições da forma "F e G podem ser postos em correspondência blunívoca". Frege pretende, assim, uma vez que a unidade da análise lógica, para ele, não é o conceito mas a proposição, chegar à definição de número através da análise dessas proposições. Conforme a lógica de Frege, a todo conceito está associado um objeto lógi- co: sua extensão. Assim, uma vez que é possível demonstrar que dois conceitos F e G são eqiiinuméricos se, e somente se, a extensão do conceito "eqiiinumérico ao conceito F" é igual à extensão do con- ceito "eqüinumérico ao conceito C"; e uma vez aceito que a proposição "o nú- mero que convém ao conceito F = o nú- mero que convém ao conceito G" equi- vale à proposição "F e G são eqiiinuméricos", pode-se facilmente con- cluir que a proposição "o número que convém ao conceito F = o número que convém ao conceito G" equivale à propo- sição "a extensão do conceito 'eqüinu- mérico ao conceito F' = a- extensão do conceito 'eqüinumérico do conceito G—; sendo assim uma igualdade entre núme- ros reduzida a uma igualdade entre extensões de conceito. O último passo consiste em identificar números e certas extensões de conceito. Em suma, os nú- meros são definidos por Frege como extensões de conceito. Dizer que algo é um número é dizer que existe pelo menos um conceito F tal que este algo seja extensão do conceito"eqüinumérico a F". Na medida em que uma equação numérica é assim reduzida a uma igual- dade entre extensões de conceito, e na medida em que esta igualdade pode ser regulada por critérios lógicos, toda equação numérica é pois reduzida a uma igualdade lógica, definida como propo- sição da lógica. Estabelecida essa nova concepção do número em geral, Frege define os núme- ros singulares de maneira recursiva, isto é, define o número zero como o primeiro da série dos números naturais e, em seguida, indica como obter a definição do número n+ 1 a partir da definição do número n. Define ainda os números infinitos. Frege pretende também que as leis aritmeticas sejam logicamente demons- tráveis a partir de leis lógicas. Em As Leis Fundamentais da Aritmética, Frege iridica um sistema lógico axiomático, constituído por pequeno número de axio- mas e regras de inferência lógica, de modo que toda lei aritmética, transcrita logicamente pelas regras de definição, poderia ser demonstrada. Esse sistema lógico axiomático, con- tudo, revelou-se fragil, quando Bertrand Russell apontou a Frege uma inconsis- tência fundamental que poderia ser encontrada no axioma lógico referente às extensões de conceito. Segundo Ber- trand Russell, a partir desse axioma (conceitos F e G subsumem os mesmos objetos se, e somente se. têm a mesma extensão) pode-se deduzir que (1) para todo conceito F e todo objeto X. F subsu- me X se, e somente se. X pertence à extensão de F. Pode-se deduzir também que a todo conceito corresponde uma extensão. Tomando-se, então, o conceito "extensão de conceito que não pertence a si próprio", como F em (1), e tomando com X a extensão desse conceito, ob- As obras do matemático inglês George Boole (1815-1864) marcaram época na história da filosofia e da ciência. Boole desenvolveu, sobretudo, uma álgebra da lógica e o cálculo de classes, habitualmente conhecido como álgebra booleana de classes. Para muitos historiadores, a lógica simbólica moderna somente ganhou consistência e consciência de sua novidade a partir de Boole. FREGE 185 ico do conceito iaiciade entre mime- m :::,-ualdade entre mo. Õ último passo ar números e certas a Em suma, os nó- s Frege como o_ Dizer que algo é 3zue existe pelo F ta: que este algo reto "eqii inumérico ▪ que uma equação iazida a uma igual- * ::".e conceito, e na igualdade pode ser ria s lógicos, toda pois reduzida a uma f mida como propo- 'mova concepção do cgr define os núme- seira recursiva, isto ero como o primeiro ro-s naturais e, em o cbter a definição rr da definição do a.r:da os números malhem que as leis itücamente demolis- leis :ógicas. Em As k Aritmética, Frege lógico axiomático, ec-c- número de axio- derência lógica, de rit=etica, transcrita rizras de definição, rad 3. re axiomático, con- ;il. quando Bertrand :rege uma inconsis- que poderia ser ata lógico referente cei-.o. Segundo Her- ar:ir desse axioma lirsumem os mesmos te se. têm a mesma eduzir que (1) para lo objeto X. F subsu- e se. X pertence à –se deduzir também • corresponde uma se, então. o conceito to se não pertence F em 1), e tomando desse conceito, ob- .:, .•:. ..,:: .:::: -.,.,: . _ _ ..± ±.. - - •- -,- .......- -r = -7- -::::: 71 ::1 ::::: ::::: .::: "7- 7- - = Z : = = , 186 OS PENSADORES O filósofo Gottlob Frege nasceu e passou a infinda em Wismar, no litoral do mar Báltico. Afofo mostra o centro de Wismar, com edifícios em estilo holandês renascentista. tém-se o seguinte resultado (2): o con- ceito "extensão de conceito que não per- tence a si próprio" subsume sua extensão se, e somente se, essa extensão pertence a si própria. Mas dizer que F subsume X é dizer que X é F, o que con- verte (2) na contradição: a extensão do conceito "extensão de conceito que não pertence,a si própria" não pertence a si própria se, e somente se, pertence a si própria. O axioma que Frege julgava tão evi- dente revelava-se, portanto, falso. Não apenas ruía o fundamento de sua crença no caráter lógico dos números, como também tornava-se dubitável a própria possibilidade de se falar coerentemente em extensões de conceito. O próprio Frege ainda tentou salvar o sistema com alguns leves arranhões, mas não se con- tentou com o resultado e sentiu compro- metido seu projeto de redução da arit- mética à lógica. Em vista disso, passou a procurar os fundamentos da aritmética na geometria. Não abandonou a idéia de que a indicação numérica é enunciado sobre conceito, mas acreditava que as relações entre números deviam ser redu- zidas a relações entre segmentos de retas e que toda lei aritmética reduzida pode ser derivada dos axiomas da geo- metria. Tudo isso, porém, não passou do nível de projeto, pois a morte inter- rompeu suas pesquisas. Sentido e significado Especialmente importante dentro dos trabalhos de Frege é a distinção entre sentido e significado, surgida quando o filósofo se defrontou com o problema da identidade. Em seu escrito Sentido e Significado, Frege indaga se a identi- dade seria uma relação entre objetos ou entre os sinais dos objetos. Tomando-se a primeira hipótese como verdadeira, Frege mostra que nesse caso a afirmação "a= b" deveria significar o mesmo que "a= a", se "a= b ' é verdadeira. Isso porque se "a = b" é uma proposição verdadeira, então "a" e "b' são dois nomes para o mesmo objeto, e "a = 13" não é capaz de informar nada além de "a = a". A identidade seria uma relação que uma coisa manteria consigo própria e com nenhuma outra. Assim, essa inter- pretação das afirmações de identidade apresenta grandes dificuldades, pois afirmações do tipo "a = b" são algumas vezes sumamente informativas, e "a = a" jamais o é. Foi muito importante, por exemplo, a descoberta astronômica de que a estrela da manhã e a estrela da tarde são apenas o mesmo planeta. Frege também não aceita a segunda hipótese, ou seja, a de que a identidade é uma relação entre nomes ou entre sinais de objetos. Em tal caso, "a = h" afirma- ria que o nome "a" e o nome "b" são nomes da mesma coisa. Essa análise não pode estar correta, segundo Frege, pois o fato de que "a" é um nome para a e "h" é também um nome para a resulta de um acordo puramente arbitrário acerca des- sas marcas ou sons, nada tendo a ver com as propriedades das coisas designa- quase - ele dese--::-.91•1 para a ret7.ez e ,:ansinode dás. 'Também nesze. uLcar que b ,r:hecimento. bre a coisa Em virtude de tais estabeleceu a d.s:raim szignificado dos sffig -cria o objeto censos pela expressão: á o modo de a.preser.--„ad fornece seu sejam a, b e c as I tices de um tr eár. ir-á< dios dos resp.ec-tia e- .8.se caso. O é o mesmo que o tara diferentes de mesmo ponto e 1-ponto de interse de intersecç Quase nada se sabe sobre a vida pessoal de Frege, apesar do papel decisivo que ele desempenhou na histón.tz da ciência. Sua vida foi inteiramente voltada para a reflexão e elaboração de trabalhos filos('fico., além de dedicar-se ao ensino de lógica e matemática na Universidade de Jena..-1 foto mostra o edifício da Faculdade dos Operários e Camponeses da Universidade de .Icno. FREC, E 187 ir, e sentiu compro- k rec. luçã.o da arit- disso. passou a mttcs da aritmética ilazdonou a idéia de mé...-:ca é enunciado acreditara que as os deviam ser redu- au-e segmentos de Bri=ética reduzida axiomas da geo- arr.. não passou do eis a morte niter- es. ignifiCad0 )estante dentro dos é a distinção entre s-.:reida quando o cem o problema da escrito Sentido e 'tad aza se a identi- o entre objetos ou bjetos. Tornando-se corno verdadeira, idge caso a afirmação iificar o mesmo que é .erdadeira. 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Por exemplo: sejam a, b e c as linhas que ligam os vér- tices de um triângulo com os pontos mé- dios dos respectivos lados opostos; nesse caso, o ponto de intersecção de a e b é o mesmo que o de b e c. Disso resul- tam diferentes designações para o mesmo ponto e essas designações ("ponto de intersecção de a e b" e "ponto de intersecção de b e c") indicam dife- rentes modos de apresentação e, conse- qüentemente. a afirmação contém conhe- cimento efetivo. Desse modo, pode-se dizer que as duas expressões ("ponto de intersecção de a e b' e "ponto de inter- secção de b e c") têm o mesmo signifi- cado, mas diferem quanto ao sentido. Analogamente, "estrela da manhã" e "Vênus" têm o mesmo significado, mas diferem quanto ao sentido. Devido a essa diferença, a afirmação "Vênus é a estre- la da manhã" transmite conhecimento verdadeiro, ao passo que "Vênus é Vênus" não o faz, a saber, o conheci- mento de que a estrela que aparece pela manhã é a mesma que aparece à tarde. Em determinadas construções de fra- ses, segundo Frege, o significado das palavras refere-se, não ao significado habitual das mesmas, mas ao seu senti- 188 OS PENSADORES do habitual. Ao se supor, na afirmação "Paulo sabe que Vênus é a estrela da manhã", que a expressão "Vênus" tem seu significado habitual, deveria ser possível substituí-la por qualquer outra que se referisse a Vênus. Mas se a expressão "estrela da manhã" for subs- tituída por "estrela vespertina', a afir- mação pode se tornar falsa, pois não há qualquer indicação de que Paulo saiba que a estrela da manhã e a vespertina são a mesma coisa, ou seja, Vênus. Assim, conclui Frege, é necessário dis- tinguir entre o significado costumeiro de uma expressão e seu significado indire- to; da mesma forma, é necessário distin- guir entre o sentido costumeiro e o senti- do indireto. O significado indireto de uma palavra corresponde, para Frege, ao seu sentido costumeiro. Todas essas distinções estabelecidas por Frege foram extremamente impor- tantes para o desenvolvimento da aná- lise semântica da linguagem, embora seu objetivo não tivesse sido esse. Frege, na verdade, tinha como alvo a solução de um problema de filosofia da matemá- tica. A distinção entre sentido e signifi- cado permitiu-lhe sustentar, contra Kant, que a lógica não é estéril por ser analítica, o mesmo ocorrendo com a matemática. CRONOLOGIA SOBR UMA 1848 Em Wismar, manha, nasce Gottlob Fre- ge. 1850 — Herman von l-lelmholtz postula os funda- mentos da termodinâmica. 1851 — O poeta alemão Heinrich Heine publica o Romanceiro. Publica se a Teoria sobre as Funções de uma Variável Complexa, de Georg Riemann. 1860 - O matemático in- glês George Boole publica seu tratado acerca do Cál- culo das Diferenças Finitas. 1874 --- Frege torna-se li- vre-docente em Jena. Publi- ca a Conccitografia. Franz Brentano publica A Psicolo- gia do Ponto de Vista Empí- rico. 1879 — Nasce Albert Einstein. 1884 -- Frege publica Os Fundamentos da Aritméti- ca. Edita se Assim Falou Zaratustra, de Nietzsche. 1891 Morre o matemá- tico alemão Lcopold Kro- necker. 1892 — Poincaré inicia a publicação do tratado Méto- dos Novos da Mecânica Ce leste. 1896 — Frege torna-se professor titular em Jena. 1899 Hilbert publica Os Fundamentos dit Geo- metria. 1900 — Morre Nietzsche. 1901 — Thomas Mann publica Os Buddenhrooks: Decadência de uma Famí- lia. 1903 -- Publicam se As Leis Fundamentais da Arit- mética, de Frege. 1925 — Morre em Bad Kleinen. 1969 — São publicados alguns de seus mais impor- tantes escritos, até então inéditos. 1 BIBLIOGRAFIA K NE ALE. W. e M.: The Development of Logic, Oxford, 1962. RI: s SELL, B.: The Logical and Arithmetical Doctrines of Frege in The Principies of Mathema- tics, Londres, 1956. GFAci i. P. e ANSCOM BE, G.: Three Philosophers: Aristotle, A quinas, Frege, Oxford, 1961. 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