Apostila EM707

Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Alberto Luiz Serpa
2007
Esta apostila foi escrita com base nas notas de aulas utilizadas na disci-
plina de Controle de Sistemas Mecaˆnicos ministrada para os cursos de gra-
duac¸a˜o em Engenharia de Controle e Automac¸a˜o e Engenharia Mecaˆnica da
UNICAMP nos u´ltimos anos.
Com o surgimento da ferramenta de Internet para ensino aberto da UNI-
CAMP, o meu interesse em ter material dida´tico digitado passou a ser maior
pela facilidade de poder disponibilizar este material aos alunos. Ale´m disso,
acredito que sera´ mais fa´cil atualizar e melhorar continuamente este material.
Este material caracteriza a primeira versa˜o digitada em computador e
incorpora alguns resultados de discusso˜es com os professores Janito Vaqueiro
Ferreira, Eur´ıpedes Guilherme de Oliveira No´brega e Jose´ Roberto de Franc¸a
Arruda, que tambe´m ja´ ministraram a disciplina.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 1
Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 6
2 Entradas Padronizadas 8
2.1 Degrau Unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Rampa unita´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Para´bola unita´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Func¸a˜o Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Func¸a˜o impulso unita´rio (Delta de Dirac) . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Func¸a˜o porta ou pulso unita´rio (Gate) . . . . . . . . . . . . . 10
2.7 Func¸a˜o se´rie de poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Transformada de Laplace 11
3.1 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Diferenciac¸a˜o real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.3 Integrac¸a˜o real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.4 Teorema do valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.5 Teorema do valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.6 Translac¸a˜o real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.7 Func¸o˜es perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.8 Diferenciac¸a˜o Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.9 Integrac¸a˜o Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.10 Translac¸a˜o Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.11 Convoluc¸a˜o Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Transformada inversa de Laplace - me´todo da expansa˜o em
frac¸o˜es parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Diagrama de blocos 30
4.1 Montagem direta de diagramas de blocos . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Montagem em se´rie de digramas de blocos . . . . . . . . . . . 32
4.3 Montagem em paralelo de diagramas de blocos . . . . . . . . . 33
5 Modelagem de alguns sistemas lineares 34
5.1 Sistemas massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade . . 34
5.2 Sistema mecaˆnico torcional de um grau de liberdade . . . . . . 35
5.3 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5 Sistema massa-mola-amortecedor com 2 graus de liberdade . . 40
6 Linearizac¸a˜o 42
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
7 Formas padronizadas de sistemas com paraˆmetros concen-
trados 44
7.1 Sistema de ordem zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2 Sistema de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3 Sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8 Func¸a˜o de Transfereˆncia 50
8.1 Resposta ao impulso e convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2 Matriz de transfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9 Crite´rios de Desempenho 55
9.1 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2 Sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10 Estabilidade de sistemas lineares 63
10.1 Estabilidade para entrada nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.2 Estabilidade BIBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
11 Resposta em frequeˆncia 68
11.1 Relac¸a˜o de amplitude e aˆngulo de fase . . . . . . . . . . . . . 68
11.2 Resposta em frequ¨eˆncia de um sistema de primeira ordem . . . 70
11.3 Resposta em frequ¨eˆncia de um sistema de segunda ordem . . . 70
11.4 Resposta em frequ¨eˆncia de um integrador puro . . . . . . . . . 71
11.5 Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11.5.1 Diagramas de Bode para o integrador puro . . . . . . . 71
11.5.2 Diarama de Bode de sistemas de primeira ordem . . . . 72
11.5.3 Diagramas de Bode para sistemas de primeira ordem
em se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.5.4 Diagrama de Bode de sistemas de segunda ordem . . . 75
11.6 Banda de passagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.7 Algumas caracter´ısticas em frequ¨eˆncia de sistemas de segunda
ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.8 Diagrama de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.8.1 Diagrama de Nyquist de sistemas de primeira ordem . 80
11.8.2 Diagrama de Nyquist para sistemas de segunda ordem 81
12 Sistemas de n´ıvel de tanques - introduc¸a˜o a` malha fechada 84
12.1 Sistema de um tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.2 Modelo instrumentado do sistema do tanque . . . . . . . . . . 86
12.3 Sistema de dois tanques independentes . . . . . . . . . . . . . 90
12.4 Sistema de dois tanques interligados . . . . . . . . . . . . . . . 91
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
12.5 Inclusa˜o do controlador automa´tico . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.6 Ana´lise do sistema controlado sujeito a` distu´rbios . . . . . . . 95
13 Malha fechada e malha aberta 98
14 Ana´lise de erro estaciona´rio 99
14.1 Erro estaciona´rio em realimentac¸a˜o unita´ria . . . . . . . . . . 99
14.2 Erro estaciona´rio em realimentac¸a˜o na˜o unita´ria . . . . . . . . 104
15 Lugar das ra´ızes 105
16 Crite´rio de estabilidade de Nyquist 110
16.1 Princ´ıpio do argumento de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 111
17 Ana´lise de estabilidade relativa 117
17.1 Margens de ganho e de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
17.2 Margens de estabilidade no diagrama de Nyquist . . . . . . . . 123
18 Aproximac¸o˜es para sistemas de segunda ordem 125
19 Controladores cla´ssicos 126
19.1 Ac¸a˜o de controle de duas posic¸o˜es (liga ou desliga) . . . . . . . 127
19.2 Ac¸a˜o de controle proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
19.3 Ac¸a˜o de controle integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
19.4 Ac¸a˜o de controle proporcional-integral . . . . . . . . . . . . . 133
19.5 Ac¸a˜o proporcional-derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
19.6 Ac¸a˜o de controle proporcional-integral-derivativo . . . . . . . . 139
19.7 Efeito f´ısico das constantes kp e kd em sistemas de segunda
ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
19.8 Controle PID - Me´todo Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . 145
19.9 Projeto PID anal´ıtico na frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . . . . . . 148
19.10Projeto PID com base no lugar das ra´ızes . . . . . . . . . . . . 152
19.11Controlador em avanc¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
19.12Compensac¸a˜o em atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
19.13Projeto avanc¸o-atraso anal´ıtico na frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . 174
19.14Projeto avanc¸o-atraso com base no lugar das ra´ızes . . . . . . 179
20 Modelo de estados 183
20.1 Representac¸a˜o no espac¸o de estados de equac¸o˜es diferenciais
sem derivadas na excitac¸a˜o . . . . . . . . . . . . .