Apostila EM707

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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
.
Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Alberto Luiz Serpa
2007
Esta apostila foi escrita com base nas notas de aulas utilizadas na disci-
plina de Controle de Sistemas Mecaˆnicos ministrada para os cursos de gra-
duac¸a˜o em Engenharia de Controle e Automac¸a˜o e Engenharia Mecaˆnica da
UNICAMP nos u´ltimos anos.
Com o surgimento da ferramenta de Internet para ensino aberto da UNI-
CAMP, o meu interesse em ter material dida´tico digitado passou a ser maior
pela facilidade de poder disponibilizar este material aos alunos. Ale´m disso,
acredito que sera´ mais fa´cil atualizar e melhorar continuamente este material.
Este material caracteriza a primeira versa˜o digitada em computador e
incorpora alguns resultados de discusso˜es com os professores Janito Vaqueiro
Ferreira, Eur´ıpedes Guilherme de Oliveira No´brega e Jose´ Roberto de Franc¸a
Arruda, que tambe´m ja´ ministraram a disciplina.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 1
Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 6
2 Entradas Padronizadas 8
2.1 Degrau Unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Rampa unita´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Para´bola unita´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Func¸a˜o Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Func¸a˜o impulso unita´rio (Delta de Dirac) . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Func¸a˜o porta ou pulso unita´rio (Gate) . . . . . . . . . . . . . 10
2.7 Func¸a˜o se´rie de poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Transformada de Laplace 11
3.1 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Diferenciac¸a˜o real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.3 Integrac¸a˜o real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.4 Teorema do valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.5 Teorema do valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.6 Translac¸a˜o real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.7 Func¸o˜es perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.8 Diferenciac¸a˜o Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.9 Integrac¸a˜o Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.10 Translac¸a˜o Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.11 Convoluc¸a˜o Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Transformada inversa de Laplace - me´todo da expansa˜o em
frac¸o˜es parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Diagrama de blocos 30
4.1 Montagem direta de diagramas de blocos . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Montagem em se´rie de digramas de blocos . . . . . . . . . . . 32
4.3 Montagem em paralelo de diagramas de blocos . . . . . . . . . 33
5 Modelagem de alguns sistemas lineares 34
5.1 Sistemas massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade . . 34
5.2 Sistema mecaˆnico torcional de um grau de liberdade . . . . . . 35
5.3 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5 Sistema massa-mola-amortecedor com 2 graus de liberdade . . 40
6 Linearizac¸a˜o 42
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
7 Formas padronizadas de sistemas com paraˆmetros concen-
trados 44
7.1 Sistema de ordem zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2 Sistema de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3 Sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8 Func¸a˜o de Transfereˆncia 50
8.1 Resposta ao impulso e convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2 Matriz de transfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9 Crite´rios de Desempenho 55
9.1 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2 Sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10 Estabilidade de sistemas lineares 63
10.1 Estabilidade para entrada nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.2 Estabilidade BIBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
11 Resposta em frequeˆncia 68
11.1 Relac¸a˜o de amplitude e aˆngulo de fase . . . . . . . . . . . . . 68
11.2 Resposta em frequ¨eˆncia de um sistema de primeira ordem . . . 70
11.3 Resposta em frequ¨eˆncia de um sistema de segunda ordem . . . 70
11.4 Resposta em frequ¨eˆncia de um integrador puro . . . . . . . . . 71
11.5 Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11.5.1 Diagramas de Bode para o integrador puro . . . . . . . 71
11.5.2 Diarama de Bode de sistemas de primeira ordem . . . . 72
11.5.3 Diagramas de Bode para sistemas de primeira ordem
em se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.5.4 Diagrama de Bode de sistemas de segunda ordem . . . 75
11.6 Banda de passagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.7 Algumas caracter´ısticas em frequ¨eˆncia de sistemas de segunda
ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.8 Diagrama de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.8.1 Diagrama de Nyquist de sistemas de primeira ordem . 80
11.8.2 Diagrama de Nyquist para sistemas de segunda ordem 81
12 Sistemas de n´ıvel de tanques - introduc¸a˜o a` malha fechada 84
12.1 Sistema de um tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.2 Modelo instrumentado do sistema do tanque . . . . . . . . . . 86
12.3 Sistema de dois tanques independentes . . . . . . . . . . . . . 90
12.4 Sistema de dois tanques interligados . . . . . . . . . . . . . . . 91
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12.5 Inclusa˜o do controlador automa´tico . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.6 Ana´lise do sistema controlado sujeito a` distu´rbios . . . . . . . 95
13 Malha fechada e malha aberta 98
14 Ana´lise de erro estaciona´rio 99
14.1 Erro estaciona´rio em realimentac¸a˜o unita´ria . . . . . . . . . . 99
14.2 Erro estaciona´rio em realimentac¸a˜o na˜o unita´ria . . . . . . . . 104
15 Lugar das ra´ızes 105
16 Crite´rio de estabilidade de Nyquist 110
16.1 Princ´ıpio do argumento de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 111
17 Ana´lise de estabilidade relativa 117
17.1 Margens de ganho e de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
17.2 Margens de estabilidade no diagrama de Nyquist . . . . . . . . 123
18 Aproximac¸o˜es para sistemas de segunda ordem 125
19 Controladores cla´ssicos 126
19.1 Ac¸a˜o de controle de duas posic¸o˜es (liga ou desliga) . . . . . . . 127
19.2 Ac¸a˜o de controle proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
19.3 Ac¸a˜o de controle integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
19.4 Ac¸a˜o de controle proporcional-integral . . . . . . . . . . . . . 133
19.5 Ac¸a˜o proporcional-derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
19.6 Ac¸a˜o de controle proporcional-integral-derivativo . . . . . . . . 139
19.7 Efeito f´ısico das constantes kp e kd em sistemas de segunda
ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
19.8 Controle PID - Me´todo Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . 145
19.9 Projeto PID anal´ıtico na frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . . . . . . 148
19.10Projeto PID com base no lugar das ra´ızes . . . . . . . . . . . . 152
19.11Controlador em avanc¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
19.12Compensac¸a˜o em atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
19.13Projeto avanc¸o-atraso anal´ıtico na frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . 174
19.14Projeto avanc¸o-atraso com base no lugar das ra´ızes . . . . . . 179
20 Modelo de estados 183
20.1 Representac¸a˜o no espac¸o de estados de equac¸o˜es diferenciais
sem derivadas na excitac¸a˜o . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 185
20.2 Representac¸a˜o de sistemas com derivadas na excitac¸a˜o . . . . 187
20.3 Representac¸o˜es canoˆnicas no espac¸o de estados . . . . . . . . . 189
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20.3.1 Forma canoˆnica controla´vel . . . . . . . . . . . . . . . 189
20.3.2 Forma canoˆnica observa´vel . . . . . . . . . . . . . . . . 189
20.4 Autovalores da matriz An×n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
20.5 Relac¸a˜o entre func¸o˜es de transfereˆncia e modelo de estado . . 191
20.6 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de estado - sistemas invariantes no tempo193
20.6.1 Soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . 193
20.7 Matriz de transic¸a˜o de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
20.8 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de estado na˜o homogeˆneas . . . . . . . . 195
21 Realimentac¸a˜o de estados 197
21.1 Caso de regulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
21.2 Fo´rmula de Ackermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
21.3 Caso de rastreador - entrada degrau . . . . . . . . . . . . . . . 205
22 Realimentac¸a˜o da sa´ıda e observadores de estado 216
22.1 Malha fechada com observador - regulador . . . . . . . . . . . 218
22.2 Alocac¸a˜o de po´los do observador . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
22.3 Func¸a˜o de transfereˆncia equivalente para regulador . . . . . . 220
22.4 Malha fechada com observador - rastreador . . . . . . . . . . . 221
23 Bibliografia 231
A Varia´veis-func¸o˜es complexas 232
B Equac¸o˜es diferenciais 234
B.1 Soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
B.2 Determinac¸a˜o da soluc¸a˜o homogeˆnea da equac¸a˜o diferencial . . 235
B.3 Soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o diferencial . . . . . . . . . . . . 236
B.4 Soluc¸a˜o completa da equac¸a˜o diferencial . . . . . . . . . . . . 237
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1 Introduc¸a˜o
Apresentam-se a seguir algumas definic¸o˜es ba´sicas.
Um sistema associa uma func¸a˜o de entrada x(t) a uma func¸a˜o de sa´ıda
y(t). Se o sistema recebe uma ac¸a˜o, apresentara´ uma resposta associada,
conforme ilustrado na Figura 1.
x(t) y(t)
Sistema
(Excitac¸a˜o-Entrada) (Resposta-Sa´ıda)
Figura 1: Representac¸a˜o de um sistema na forma de diagrama de blocos.
Um modelo caracteriza uma representac¸a˜o dos aspectos essenciais de um
sistema de forma utiliza´vel.
Controlar significa atuar sobre um dado sistema de modo a atingir resul-
tados de acordo com um objetivo previamente estabelecido. Usualmente o
sistema a ser controlado e´ chamado de planta, ou ainda, de processo.
O controlador, ou tambe´m chamado de compensador, e´ um sub-sistema
que tem a func¸a˜o de controlar a planta.
Em um sistema em malha aberta a sa´ıda do sistema na˜o tem efeito na
ac¸a˜o do controle, ou seja, na˜o existe medic¸a˜o da sa´ıda nem realimentac¸a˜o,
Figura 2. O desempenho de um sistema de malha aberta depende de uma
boa calibrac¸a˜o.
Entrada
Controlador
Atuac¸a˜o Sa´ıda
Planta
Figura 2: Sistema em malha aberta.
Um exemplo de sistema em malha aberta e´ o disparo de um proje´til
(problema de bal´ıstica convencional). Apo´s o tiro, o resultado esperado na˜o
podera´ ser corrigido.
Em um sistema em malha fechada o sinal de sa´ıda possui um efeito direto
na ac¸a˜o de controle (sistemas de controle realimentados), Figura 3. A malha
fechada implica no uso de realimentac¸a˜o com o objetivo de reduzir o erro do
sistema.
Os elementos ba´sicos de um sistema de controle em malha fechada sa˜o: a
planta, o controlador, o atuador e o elemento de medida (sensor).
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Entrada Erro Atuac¸a˜o
− Controlador
Sa´ıda
Planta
Elemento de medida
Figura 3: Sistema em malha fechada.
Alguns exemplos de sistemas em malha fechada sa˜o:
• Ato de dirigir um carro. A pista representa o objetivo a ser seguido, o
carro representa a planta, a sa´ıda e´ a posic¸a˜o do carro, o elemento de
medida e´ a visa˜o do motorista, a ac¸a˜o de controle e´ feita de acordo com
a habilidade do motorista em func¸a˜o do erro entre a posic¸a˜o do carro
e a posic¸a˜o determinada pela pista, e a atuac¸a˜o e´ feita pelos brac¸os do
motorista sobre a planta atrave´s do volante do carro.
• Sucessivos disparos de proje´teis. A cada tiro, o resultado pode ser veri-
ficado pelo atirador e uma compensac¸a˜o pode ser feita para o pro´ximo
tiro visando acertar o alvo. Neste caso, nota-se o uso da resposta para
fins de reduzir o erro do sistema, caracterizando a realimentac¸a˜o.
• Sistema de ar-condicionado ou refrigerador. A temperatura especifi-
cada e´ verificada pelo sensor do equipamento, que liga ou desliga con-
forme o erro encontrado, buscando manter a temperatura constante
conforme a especificac¸a˜o desejada.
Verifica-se que a realimentac¸a˜o negativa e´ caracterizada pela determinac¸a˜o
do erro entre a entrada desejada e a sa´ıda do sistema. A atuac¸a˜o e´ feita com
base nesta diferenc¸a.
A realimentac¸a˜o positiva e´ indeseja´vel nos sistemas de controle pois adi-
ciona “energia” ao sistema levando a` instabilidade.
Um regulador tem como objetivo manter a sa´ıda do sistema em um valor
constante. Por exemplo, um sistema de refrigerac¸a˜o que mante´m constante
a temperatura de um ambiente.
Um rastreador tem como objetivo seguir uma entrada varia´vel. Por exem-
plo, um sistema robotizado que segue uma certa trajeto´ria em um processo
de soldagem.
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2 Entradas Padronizadas
As entradas padronizadas sa˜o utilizadas na ana´lise de desempenho dos sis-
temas. Em geral, a entrada real e´ desconhecida e sa˜o definidos alguns
paraˆmetros para avaliar o desempenho dos sistemas de forma objetiva e ho-
mogeˆnea.
As entradas padronizadas constituem uma boa maneira de prever o de-
sempenho do sistema e permitem realizar comparac¸o˜es de sistemas.
As principais entradas padronizadas sa˜o apresentadas a seguir.
2.1 Degrau Unita´rio
A entrada degrau unita´rio, usualmente denotada por u(t), e´ definida como
u(t) =
{
1 se t > 0
0 se t ≤ 0 ,
e esta´ representada graficamente na Figura 4.
1
t
u(t)
Figura 4: Degrau unita´rio.
Um degrau unita´rio com translac¸a˜o e´ dado por:
u(t− T ) =
{
1 se t > T,
0 se t ≤ T,
e esta´ representado na Figura 5.
2.2 Rampa unita´ria
A rampa unita´ria, usualmente denotada por r(t), e´ definida como:
r(t) = tu(t) =
{
t se t > 0,
0 se t ≤ 0,
e esta´ ilustrada na Figura 6.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
tT
u(t− T )
Figura 5: Degrau unita´rio com translac¸a˜o.
t
r(t)
45o
Figura 6: Rampa unita´ria.
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2.3 Para´bola unita´ria
A para´bola unita´ria e´ definida como:
x(t) =
1
2
t2u(t) =
{
1
2
t2 se t > 0,
0 se t ≤ 0,
e esta´ ilustrada na Figura 7.
t
x(t)
Figura 7: Para´bola unita´ria.
2.4 Func¸a˜o Senoidal
A func¸a˜o senoidal de amplitude A, frequ¨eˆncia w e aˆngulo de fase ϕ, e´ dada
por:
x(t) = Asen(wt+ ϕ).
2.5 Func¸a˜o impulso unita´rio (Delta de Dirac)
O impulso unita´rio δ(t) e´ definido como:
δ(t) = 0 para t 6= 0, e
∫ +∞
−∞
δ(t)dt = 1,
ou seja, possui durac¸a˜o nula, amplitude infinita e a´rea unita´ria, e sua repre-
sentac¸a˜o gra´fica usual e´ a da Figura 8.
2.6 Func¸a˜o porta ou pulso unita´rio (Gate)
O pulso unita´rio e´ definido como a diferenc¸a entre um degrau unita´rio e outro
degrau unita´rio transladado, ou seja,
g(t) = u(t)− u(t− T ),
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t
δ(t)Figura 8: Impulso unita´rio.
cujo resultado e´ mostrado na Figura 9.
t
g(t)
T
1
Figura 9: Pulso unita´rio.
2.7 Func¸a˜o se´rie de poteˆncias
A se´rie de poteˆncias e´ definida como:
x(t) =
{
a0 + a1t+ a2t
2 + ... se t > 0,
0 se t ≤ 0.
3 Transformada de Laplace
A transformada de Laplace e´ um me´todo para resolver equac¸o˜es diferenciais
lineares no qual as operac¸o˜es como diferenciac¸a˜o e integrac¸a˜o sa˜o substitu´ıdas
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por operac¸o˜es alge´bricas no plano complexo. A componente transito´ria e a
de regime permanente podem ser obtidas simultaneamente. Ale´m disso, a
transformada de Laplace e´ fundamental para a ana´lise de sistemas via func¸o˜es
de transfereˆncia.
A transformada de Laplace de uma func¸a˜o f(t) e´ definida por
F (s) = L [f(t)] =
∫ ∞
0
f(t)e−stdt, com s = σ + jw.
A transformada inversa de Laplace e´ dada por
f(t) = L−1F (s) = 1
2pij
∫ σ+j∞
σ−j∞
F (s)estds, t > 0.
A integral de Laplace existira´/convergira´ se σ0 e´ escolhido de forma que
lim
t→∞ e
−σ0tf(t) = 0, (1)
onde σ0 e´ chamado de abscissa de convergeˆncia.
Para a maioria das func¸o˜es e´ poss´ıvel adotar um valor de σ0 positivo
e suficientemente grande tal que a equac¸a˜o (1) e´ satisfeita. Isso sempre
sera´ verdadeiro para exponenciais positivas ou para func¸o˜es que crescem a
uma taxa menor que uma exponencial. Existem func¸o˜es onde isso na˜o sera´
satisfeito para nenhum valor de σ0, por exemplo, e
t2 , que por sorte aparecem
raramente nos problemas de engenharia.
Exemplo: Calcular L[f(t)] para f(t) = e−at, a = b+ jc.
F (s) = L
[
e−at
]
=
∫ ∞
0
e−ate−stdt =
=
∫ ∞
0
e−(s+a)tdt =
−1
s+ a
e−(s+a)t
∣∣∣∣∞
0
=
−1
s+ a
[0− 1] = 1
s+ a
.
A abscissa de convergeˆncia e´ determinada por
lim
t→∞
(
e−σ0te−at
)
= lim
t→∞ e
−(σ0+b+jc)t = lim
t→∞
(
e−(σ0+b)te−jct
)
,
e para que este limite convirja a zero, enta˜o σ0 + b > 0, ou σ0 > −b.
Exemplo: Calcular L[f(t)] para f(t) = cos(wt).
E´ poss´ıvel escrever que
cos(wt) =
1
2
(
ejwt + e−jwt
)
.
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Logo,
L[f(t)] = 1
2
(
L[ejwt] + L[e−jwt]
)
=
1
2
(
1
s− jw +
1
s+ jw
)
=
s
s2 + w2
.
lim
t→∞ e
−σ0t
[
1
2
(
e−jwt + e−jwt
]]
= 0, se σ0 > 0.
Exemplo: Calcular L[u(t)] para o degrau unita´rio u(t).
u(t) =
{
0 se t ≤ 0,
1 = e0t se t > 0.
Logo,
U(s) = L[u(t)] = 1
s+ 0
=
1
s
, σ0 > 0.
Exemplo: Calcular L[δ(t)] para o impulso unita´rio δ(t).
Seja a func¸a˜o f(t) mostrada na Figura 10 e definida por
f(t) =


0 se t < 0,
1
t0
se 0 ≤ t ≤ t0,
0 se t0 < t.
f(t)
t
1
t0
t0
Figura 10: Representac¸a˜o do impulso unita´rio, t0 → 0.
O impulso unita´rio pode ser representado como:
δ(t) = lim
t0→0
f(t).
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Assim,
L[δ(t)] = L
[
lim
t0→0
f(t)
]
=
∫ ∞
0
lim
t0→0
f(t)e−stdt =
= lim
t0→0
∫ ∞
0
f(t)e−stdt = lim
t0→0
∫ t0
0
1
t0
e−stdt =
= lim
t0→0
1
t0
(−1
s
e−st
∣∣∣∣t0
0
)
= lim
t0→0
(
1− e−st0
st0
)
.
Aplicando a regra de L’Hopital tem-se que
lim
t0→0
1− e−st0
st0
= lim
t0→0
s e−st0
s
= 1.
Portanto,
L[δ(t)] = 1.
3.1 Propriedades da Transformada de Laplace
3.1.1 Linearidade
A transformada de Laplace e´ um operador linear, ou seja,
L[α1f1 + α2f2] = α1L(f1) + α2L(f2).
Prova:
L[α1f1 + α2f2] =
∫ ∞
0
(α1f1 + α2f2)e
−stdt =∫ ∞
0
α1f1e
−stdt+
∫ ∞
0
α2f2e
−stdt = α1L[f1] + α2L[f2].
3.1.2 Diferenciac¸a˜o real
Se
L[f(t)] = F (s),
enta˜o,
L
[
df
dt
]
= sF (s)− f(0).
Prova:
L
[
df
dt
]
=
∫ ∞
0
df
dt
e−stdt =
∫ ∞
0
e−stdf.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Integrando por partes,
∫
udv = uv − ∫ vdu, com u = e−st, dv = df ,
du = −se−stdt e v = f(t), tem-se,∫ ∞
0
udv = e−stf(t)|∞0 −
∫ ∞
0
f(t)(−s)e−stdt =
= e−stf(t)|∞0 +
∫ ∞
0
f(t)s e−stdt = 0− f(0) + sF (s).
Portanto,
L
[
df
dt
]
= sF (s)− f(0).
Generalizando, tem-se:
L
[
dnf(t)
dtn
]
= snF (s)−
n−1∑
i=0
sn−i−1
(
dif
dti
∣∣∣∣∣
t=0
)
.
Prova:
Seja g = df
dt
. Logo,
L
[
dg
dt
]
= sG(s)− g(0) = sL[g(t)]− g(0) =
= sL
[
df
dt
]
− g(0) = s(sF (s)− f(0))− df
dt
∣∣∣∣∣
t=0
=
= s2F (s)− sf(0)− df
dt
∣∣∣∣∣
t=0
.
Seja h = dg
dt
. Logo,
L
[
dh
dt
]
= sH(s)− h(0) = sL[h(t)]− h(0) =
= sL
[
dg
dt
]
− h(0) = s(sG(s)− g(0))− h(0) =
= s2G(s)− sg(0)− h(0) = s2L[g(t)]− sg(0)− h(0) =
= s2L
[
df
dt
]
− s df
dt
∣∣∣∣∣
t=0
− d
2f
dt2
∣∣∣∣∣
t=0
=
= s2(sF (s)− f(0))− s df
dt
∣∣∣∣∣
t=0
− d
2f
dt2
∣∣∣∣∣
t=0
=
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
= s3F (s)− s2f(0)− s df
dt
∣∣∣∣∣
t=0
− d
2f
dt2
∣∣∣∣∣
t=0
.
Pode-se continuar assim por diante para derivadas de ordem n.
Se todas as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas tem-se que:
L
[
dnf(t)
dtn
]
= snF (s).
Note que derivar no tempo corresponde a multiplicar por s no domı´nio
de Laplace quando as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas.
3.1.3 Integrac¸a˜o real
Se L[f(t)] = F (s), enta˜o,
L
[∫
f(t)dt
]
=
1
s
F (s) +
1
s
∫
f(t)dt
∣∣∣∣
t=0
Quando todas as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas tem-se que:
L
[∫
f(t)dt
]
=
F (s)
s
.
Prova:
L
[∫
f(t)dt
]
=
∫ ∞
0
(∫
f(t)dt
)
︸ ︷︷ ︸
u
e−stdt︸ ︷︷ ︸
dv
Definindo-se u =
∫
f(t)dt e dv = e−stdt tem-se que v = e
−st
−s , o que permite
fazer uma integrac¸a˜o por partes (
∫
udv = uv − ∫ vdu). Logo,
∫ ∞
0
(∫
f(t)dt
)
e−stdt =
e−st
−s
∫
f(t)dt
∣∣∣∣∞
0
−
∫ ∞
0
e−st
−s f(t)dt =
=
1
s
∫
f(t)dt
∣∣∣∣
t=0
+
1
s
∫ ∞
0
f(t)e−stdt =
=
1
s
F (s) +
1
s
∫
f(t)dt
∣∣∣∣
t=0
= L
[∫
f(t)dt
]
.
Note que integrar no tempo corresponde a dividir por s no domı´nio de
Laplace quando as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
3.1.4 Teorema do valor final
Se L[f(t)] = F (s) e existirem
L
[
df
dt
]
, lim
t→∞ f(t) e lims→0
sF (s),
enta˜o,
lim
t→∞ f(t) = lims→0
sF (s).
Prova:
L
[
df
dt
]
= sF (s)− f(0)⇒ L
[
df
dt
]
+ f(0) = sF (s),
lim
s→0
sF (s) = lim
s→0
(
L
[
df
dt
]
+ f(0)
)
= lim
s→0
L
[
df
dt
]
+ f(0) =
= lim
s→0
∫ ∞
0
df
dt
e−stdt+ f(0) =
∫ ∞
0
lim
s→0
e−stdf + f(0) =∫ ∞
0
df + f(0) = f(∞)− f(0) + f(0) = f(∞) = lim
t→∞ f(t).
3.1.5 Teorema do valor inicial
Se L[f(t)] = F (s) e existirem
L
[
df
dt
]
e lim
s→∞ sF (s),
enta˜o,
lim
t→0+
f(t) = lim
s→∞ sF (s).
Prova:
lim
s→∞ sF (s) = lims→∞
(
L
[
df
dt
]
+ f(0)
)
= lim
s→∞L
[
df
dt
]
+ f(0) =
= lim
s→∞
∫ ∞
0
df
dt
e−stdt+ f(0) =
∫ ∞
0
lim
s→∞ e
−stdf + f(0) = f(0) = lim
t→0+
f(t).
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
f(t) f(t− T )u(t− T )
tT
Figura 11: Representac¸a˜o da translac¸a˜o de f(t).
3.1.6 Translac¸a˜o real
Seja F (s) = L[f(t)], enta˜o,
L[f(t− T )u(t− T )] = e−sTF (s).
Prova:
L [f(t− T )u(t− T )] =
∫ ∞
0
f(t− T )u(t− T )e−stdt =
=
∫ ∞
T
f(t− T )u(t− T )e−stdt =
∫ ∞
0
f(τ)u(τ)e−s(τ+T )dτ =
= e−sT
∫ ∞
0
f(τ)u(τ)e−sτdτ = e−sTF (s),
ondeτ = t− T e dτ = dt.
t
T
τ
Figura 12: Representac¸a˜o dos eixos t e τ .
3.1.7 Func¸o˜es perio´dicas
Para f(t) uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T tem-se que
L[f(t)] = 1
1− e−sT F1(s),
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onde F1(s) = L[f1(t)] e f1(t) e´ o primeiro per´ıodo de f(t).
Prova:
f(t) = f1(t)u(t) + f1(t− T )u(t− T ) + f1(t− 2T )u(t− 2T ) + . . . ,
F (s) = L[f(t)] = L[f1(t)u(t)]+L[f1(t−T )u(t−T )]+L[f1(t−2T )u(t−2T )]+. . .
Mas
L[f1(t)u(t)] = F1(s),
L[f1(t− T )u(t− T )] = e−sTF1(s),
L[f1(t− 2T )u(t− 2T )] = e−s2TF1(s),
e consequ¨entemente,
F (s) = F1(s) + e
−sTF1(s) + e
−2sTF1(s) + . . . = (1+ e
−sT + e−2sT + . . .)F1(s).
Como T > 0 tem-se que e−sT = 1
esT
< 1. A sequ¨eˆncia 1, 1
esT
, 1
e2sT
, ..., e´
uma PG de raza˜o 1
esT
, cuja soma e´ 1
1−e−sT . Logo,
F (s) =
1
1− e−sT F1(s).
Verifica-se que o fato de s ser complexo na˜o altera o resultado da PG, ou
seja,
1
esT
=
1
e(a+jb)T
=
1
eaT ejbT
,
onde eaT > 1 e ejbT e´ perio´dico e limitado.
3.1.8 Diferenciac¸a˜o Complexa
Se L[f(t)] = F (s) enta˜o
−dF (s)
ds
= L[tf(t)].
Prova:
−dF (s)
ds
= − d
ds
∫ ∞
0
f(t)e−stdt = −
∫ ∞
0
d
ds
(
f(t)e−st
)
dt =
= −
∫ ∞
0
f(t)
(
−te−st
)
dt =
∫ ∞
0
tf(t)e−stdt = L[tf(t)].
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
3.1.9 Integrac¸a˜o Complexa
Se L[f(t)] = F (s), e existe ∫∞s F (s)ds, enta˜o,
L
[
f(t)
t
]
=
∫ ∞
s
F (s)ds.
Prova:∫ ∞
s
F (s)ds =
∫ ∞
s
∫ ∞
0
f(t)e−stdtds =
∫ ∞
0
f(t)
(∫ ∞
s
e−stds
)
dt =
=
∫ ∞
0
f(t)
−e−st
t
∣∣∣∣∣
∞
s
dt =
∫ ∞
0
f(t)
t
e−stdt = L
[
f(t)
t
]
.
3.1.10 Translac¸a˜o Complexa
Se L[f(t)] = F (s), enta˜o,
F (s+ a) = L[e−atf(t)].
Prova:
L[e−atf(t)] =
∫ ∞
0
e−atf(t)e−stdt =
=
∫ ∞
0
f(t)e−(a+s)tdt =
∫ ∞
0
f(t)e−s¯tdt = F (s¯) = F (s+ a).
3.1.11 Convoluc¸a˜o Real
Define-se a convoluc¸a˜o entre f(t) e g(t) como
h(t) = f(t) ∗ g(t) =
∫ t
0
f(τ)g(t− τ)dτ.
Se L[f(t)] = F (s) e L[g(t)] = G(s), enta˜o,
L[f(t) ∗ g(t)] = F (s)G(s).
Prova: ∫ t
0
f(τ)g(t− τ)dτ =
∫ ∞
0
f(τ)g(t− τ)u(t− τ)dτ,
pois
u(t− τ) = u(−(τ − t)) =
{
1 se −(τ − t) > 0 ou τ < t,
0 se −(τ − t) ≤ 0 ou τ ≥ t.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
t τ
Figura 13: Representac¸a˜o de u(t− τ).
Seja H(s) = L[h(t)]. Logo, escreve-se:
H(s) = L[h(t)] =
∫ ∞
0
∫ ∞
0
f(τ)g(t− τ)u(t− τ)dτ e−stdt =
=
∫ ∞
0
f(τ)
[∫ ∞
0
g(t− τ)u(t− τ)e−stdt
]
dτ =
=
∫ ∞
0
f(τ)
[
e−sτG(s)
]
dτ = G(s)
∫ ∞
0
f(τ)e−sτdτ = G(s)F (s).
No caso de sistemas antecipativos e entradas para t < 0, deve-se estender
os limites de integrac¸a˜o, ou seja, h(t) = f(t) ∗ g(t) = ∫∞−∞ f(τ)g(t − τ)dτ .
Contudo, esta situac¸a˜o na˜o e´ coberta neste material.
Exemplo: Calcular a transformada de Laplace da func¸a˜o dente de serra,
como ilustrada na Figura 14.
O primeiro per´ıdo desta func¸a˜o pode ser constru´ıdo atrave´s da soma de
treˆs termos conforme mostrado na Figura 14, ou ainda,
f1(t) =
A
T
[tu(t)− (t− T )u(t− T )− Tu(t− T )] .
Aplicando a transformada de Laplace a cada um destes termos tem-se:
L[tu(t)] = L
[∫
u(t)dt
]
=
1
s
U(s) + 0 =
(
1
s
)(
1
s
)
=
1
s2
,
L[(t− T )u(t− T )] = e−sT 1
s2
,
L[Tu(t− T )] = Te−sT 1
s
.
Portanto, a transformada de Laplace do primeiro per´ıodo da func¸a˜o e´:
F1(s) =
A
T
[
1
s2
− e
−sT
s2
− Te
−sT
s
]
.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
t
ttt
T
TTT
A
A A
f1(t)
f1(t)
−−
A
T
tu(t) A
T
(t− T )u(t− T ) Au(t− T )
Figura 14: Dente de serra.
Aplicando a propriedade de func¸o˜es perio´dicas tem-se para o dente de
serra:
F (s) =
(
1
1− e−sT
)
F1(s) =
(
A
Ts2
) [
1− (1− Ts)e−sT
1− e−sT
]
.
3.2 Transformada inversa de Laplace - me´todo da ex-
pansa˜o em frac¸o˜es parciais
Este me´todo aplica-se quando X(s) e´ uma func¸a˜o racional (quociente de dois
polinoˆmios em s), ou seja,
X(s) =
Q(s)
P (s)
,
onde Q(s) possui ordem m e P (s) possui ordem n, com m < n.
As principais etapas do me´todo sa˜o:
1. Desenvolver Q(s)
P (s)
em frac¸o˜es parciais na forma
X(s) =
Q(s)
P (s)
=
c1
r1(s)
+
c2
r2(s)
+ . . .+
cn
rn(s)
,
onde ri(s) sa˜o polinoˆmios de grau 1 ou 2. Deve-se encontrar as ra´ızes
de P (s) (polinoˆmio na forma fatorada).
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 22
Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
2. Calcular as constantes ci, i = 1, . . . , n.
3. Obter a transformada inversa de cada frac¸a˜o parcial, que sa˜o func¸o˜es
mais simples.
Exemplo: Caso de ra´ızes simples. Seja
X(s) =
a+ bs
(s− µ1)(s− µ2) ; µ1 6= µ2.
Pode-se escrever X(s) da seguinte forma:
X(s) =
a + bs
(s− µ1)(s− µ2) =
c1
s− µ1 +
c2
s− µ2
onde c1 e c2 sa˜o constantes que devem ser determinadas.
Multiplicando-se por s− µ1 tem-se:
(s− µ1)X(s) = a+ bs
s− µ2 = c1 + (s− µ1)
c2
s− µ2 .
Fazendo s = µ1, pois s pode assumir qualquer valor, tem-se
(s− µ1)X(s)|s=µ1 = c1 =
a+ bµ1
µ1 − µ2 .
De forma ana´loga
c2 = (s− µ2)X(s)|s=µ2 =
a+ bµ2
µ2 − µ1 .
Logo,
X(s) =
(
a + bµ1
µ1 − µ2
)(
1
s− µ1
)
+
(
a+ bµ2
µ2 − µ1
)(
1
s− µ2
)
.
A anti-transformada de cada frac¸a˜o parcial pode ser calculada, ou seja,
f(t) = L−1[X(s)] = a + bµ1
µ1 − µ2 e
µ1t +
a + bµ2
µ2 − µ1 e
µ2t.
Portanto, para n ra´ızes simples tem-se que:
ci = (s− µi)X(s)|s=µi, i = 1, 2, . . . , n.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 23
Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Exemplo: Ra´ızes Mu´ltiplas. Seja
X(s) =
a + bs
(s− µ1)2(s− µ2) ,
com µ1 de multiplicidade 2.
A expansa˜o em frac¸o˜es parciais torna-se
X(s) =
a + bs
(s− µ1)2(s− µ2) =
c1
(s− µ1)2 +
c2
(s− µ1) +
c3
(s− µ2) . (2)
Multiplicando por (s− µ1)2 obte´m-se
(s− µ1)2X(s) = a+ bs
s− µ2 = c1 + (s− µ1)c2 +
(s− µ1)2
s− µ2 c3, (3)
e fazendo s = µ1, tem-se que
c1 =
a+ bµ1
µ1 − µ2 .
Derivando a equac¸a˜o (3) com relac¸a˜o a s e fazendo s = µ1 obte´m-se c2,
ou seja,
c2 =
d
ds
[
(s− µ1)2X(s)
]∣∣∣∣∣
s=µ1
=
d
ds
[
a + bs
s− µ2
]∣∣∣∣∣
s=µ1
=
−µ2b− a
(µ1 − µ2)2 .
Portanto, para q ra´ızes reais e iguais, s = µi, tem-se
cp =
1
(p− 1)!
[
dp−1
dsp−1
[(s− µi)qX(s)]
]∣∣∣∣∣
s=µi
, p = 1, . . . , q.
Multiplicando a equac¸a˜o (2) por s− µ2 e fazendo s = µ2 tem-se
a+ bs
(s− µ1)2
∣∣∣∣∣
s=µ2
= c3 ⇒ c3 = a+ bµ2
(µ2 − µ1)2 .
A anti-transformada de cada frac¸a˜o parcial pode ser calculada como
L−1
[
1
(s− µi)q
]
=
1
(q − 1)!t
q−1eµit.
Exemplo: Determinar a transformada de Laplace de uma equac¸a˜o de se-
gunda ordem
y¨ + 2ξwny˙ + w
2
ny(t) = γw
2
nf(t),
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
com as seguintes condic¸o˜es iniciais y(0) = y0 e y˙(0) = v0.
Pode-se escrever
L[y(t)] = Y (s), L[y˙(t)] = sY (s)− y0 e L[y¨(t)] = s2Y (s)− sy0 − v0.
Consequentemente
(s2 + 2ξwns+ w
2
n)Y (s)− (s+ 2ξwn)y0 − v0 = γw2nF (s),
ou ainda
Y (s) =
1
s2 + 2ξwns + w2n
[
γw2nF (s) + v0 + (s+ 2ξwn)y0
]
,
onde cada termo desta equac¸a˜o pode ser analizado de forma independente
devido ao sistema ser linear.
Com condic¸o˜es iniciais nulas, y0 = 0 e v0 = 0, tem-se
Y (s) =
γw2n
s2 + 2ξwns+ w2n
F (s) = G(s)F (s),
onde
G(s) =
γw2n
s2 + 2ξwns+ w2n
e´ a func¸a˜o de transfereˆncia que relaciona a entrada a` sa´ıda do sistema e que
pressupo˜e condic¸o˜es iniciaisnulas, ou seja,
Y (s) = G(s)F (s).
Exemplo: Seja um sistema de primeira ordem descrito por
a1
dy
dt
+ a0y = b0x ⇒ τ dy
dt
+ y = γx(t).
onde
τ =
a1
a0
e γ =
b0
a0
com a condic¸a˜o inicial y(0) = 0.
Aplicando a transformada de Laplace, tem-se que
L
[
τ
dy
dt
+ y
]
= L[γx(t)]⇒ τsY (s) + Y (s) = γX(s)
onde L[y(t)] = Y (s) e L[x(t)] = X(s).
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 25
Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
E´ poss´ıvel escrever que
Y (s) =
γ
τs+ 1
X(s),
com a seguinte func¸a˜o de transfereˆncia:
G(s) =
γ
τs+ 1
.
Considere os casos das entradas apresentadas a seguir.
1. Seja x(t) = u(t) uma entrada do tipo de degrau unita´rio. Logo tem-se
que
X(s) = L[u(t)] = 1
s
e a transformada de Laplace da equac¸a˜o do sistema de primeira ordem
torna-se
Y (s) =
(
γ
τs+ 1
)
1
s
.
Deseja-se determinar a resposta temporal y(t) atrave´s da expansa˜o em
frac¸o˜es parciais, ou seja,
Y (s) =
(
γ
τ
s+ 1
τ
)
1
s
=
(
c1
s+ 1
τ
+
c2
s
)
. (4)
Multiplicando (4) por s + 1
τ
tem-se
γ
τs
= c1 + (s+
1
τ
)
c2
s
,
e fazendo s = − 1
τ
, pois a equac¸a˜o deve ser va´lida para qualquer s,
tem-se
γ
τ(− 1
τ
)
= c1 + 0 ⇒ c1 = −γ.
Multiplicando (4) por s e calculando-se para s = 0 tem-se,
γ
τ
s+ 1
τ
=
c1
s+ 1
τ
s+ c2 ⇒ c2 = γ.
Logo,
Y (s) =
(
γ
s
− γ
s+ 1
τ
)
.
Fazendo a anti-transformada de Laplace tem-se:
L−1
[
γ
(
1
s
− 1
s + 1
τ
)]
= γ(1− e− 1τ t) = y(t), t ≥ 0.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
2. Seja x(t) = δ(t) um impulso unita´rio. A transformada de Laplace do
impulso unita´rio e´
X(s) = L[δ(t)] = 1.
e a transformada de Laplace da equac¸a˜o do sistema de primeira ordem
torna-se
Y (s) = G(s) =
γ
τ
s+ 1
τ
.
A resposta ao impulso pode ser encontrada atrave´s da transformada
inversa, ou seja,
y(t) = L−1
[
γ
τ
s+ 1
τ
]
=
γ
τ
e−
t
τ , t ≥ 0,
cuja representac¸a˜o gra´fica esta´ na Figura 15.
t
y(t)γ
τ
Figura 15: Resposta ao impulso de um sistema de primeira ordem.
3. Seja x(t) = tu(t) uma rampa unita´ria. A transformada de Laplace da
rampa unita´ria e´
X(s) = L[tu(t)] = 1
s2
,
e a transformada da equac¸a˜o da resposta do sistema de primeira ordem
torna-se
Y (s) =
(
γ
τ
s+ 1
τ
)
1
s2
=
(
c1
s2
+
c2
s
+
c3
s+ 1
τ
)
. (5)
As constantes da expansa˜o em frac¸o˜es parciais podem enta˜o ser calcu-
ladas. Multiplicando (5) por s+ 1
τ
e fazendo s = − 1
τ
tem-se
c3 =
γ
τ
s2
∣∣∣∣∣
s=− 1
τ
=
(
γ
τ
)(
−τ
1
)2
= γτ.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Multiplicando (5) por s2 tem-se
γ
τ
s+ 1
τ
= c1 + sc2 + s
2 c3
s + 1
τ
, (6)
e fazendo s = 0, tem-se
c1 =
γ
τ
s+ 1
τ
∣∣∣∣∣
s=0
= γ.
Derivando (6) com relac¸a˜o a s obte´m-se
−γ
τ
(s+ 1
τ
)2
= c2 +
d
ds
[
s2
c3
s+ 1
τ
]
,
e fazendo s = 0 obte´m-se
c2 =
−γ
τ
( 1
τ
)2
= −γτ.
Logo, a transformada de Laplace na forma de frac¸o˜es parciais e´
Y (s) =
(
γτ
s+ 1
τ
+
γ
s2
− γτ
s
)
,
cuja anti-transformada sera´ dada por
y(t) = L−1[Y (s)]⇒ y(t) = γ
(
τe−
t
τ + t− τ
)
, t ≥ 0.
A resposta temporal e´ ilustrada na Figura 16.
τ t
y(t)
γ resposta
entrada
Figura 16: Resposta a` rampa unita´ria de sistema de primeira ordem.
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4. Seja uma entrada senoidal na forma x(t) = senwt. A transformada de
Laplace de x(t) e´
X(s) = L[senwt] = w
s2 + w2
,
e a transformada da equac¸a˜o da resposta do sistema de primeira ordem
torna-se
Y (s) =
(
γ
τ
s + 1
τ
)(
w
s2 + w2
)
.
Como s2 + w2 = (s+ jw)(s− jw) e´ poss´ıvel escrever que(
γ
τ
s+ 1
τ
)(
w
s2 + w2
)
=
c1
s+ 1
τ
+
c2
s+ jw
+
c3
s− jw. (7)
As constantes das frac¸o˜es parciais podem ser calculadas, ou seja,
c1 =
(
γ
τ
)(
w
s2 + w2
)∣∣∣∣
s=− 1
τ
=
(
γ
τ
) [
w
(− 1
τ
)2 + w2
]
=
γwτ
1 + w2τ 2
,
c2 =
(
γ
τ
s+ 1
τ
)(
w
s− jw
)∣∣∣∣∣
s=−jw
=
γ w
τ
(−jw + 1
τ
)(−2jw) ,
c3 =
γ w
τ
(s+ 1
τ
)(s+ jw)
∣∣∣∣∣
s=jw
=
γ w
τ
(jw + 1
τ
)(2jw)
.
A transformada de Laplace na forma de frac¸o˜es parciais torna-se:
Y (s) = γ
[(
wτ
1+w2τ2
)(
1
s+ 1
τ
)
+
+
w
τ
(−jw+ 1
τ
)(−2jw)
(
1
s+jw
)
+
w
τ
(jw+ 1
τ
)(2jw)
(
1
(s−jw)
)]
.
A anti-transformada de Laplace pode ser agora determinada,
y(t) = L−1[Y (s)].
Para cada um dos termos tem-se:
L−1
[
γ
wτ
1 + w2τ 2
(
1
s+ 1
τ
)]
= γ
wτ
1 + w2τ 2
e−
t
τ ,
L−1
[
γ
w
τ
(−jw + 1
τ
)(−2jw)
(
1
s+ jw
)]
= γ
w
τ
(−jw + 1
τ
)(−2jw)e
−jwt,
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
L−1
[
γ
w
τ
(jw + 1
τ
)(2jw)
(
1
s− jw
)]
= γ
w
τ
(jw + 1
τ
)(2jw)
ejwt.
As fo´rmulas de Euler, ejt = cost+ jsent e e−jt = cost− jsent, podem
ser empregadas de forma que
y(t) = γ
[
wτ
1+w2τ2
e−
t
τ+
+
w
τ
(−jw+ 1
τ
)(−2jw)(coswt− jsenwt)+
+
w
τ
(jw+ 1
τ
)(2jw)
(coswt+ jsenwt)
]
,
ou ainda,
y(t) = γ
wτ
1 + w2τ 2
(
e−
t
τ − coswt+ 1
τw
senwt
)
, t ≥ 0.
4 Diagrama de blocos
E´ poss´ıvel representar sistemas atrave´s de diagramas de blocos. Os s´ımbolos
ba´sicos sa˜o o integrador, o somador e o multiplicador e esta˜o mostrados na
Figura 17.
∫ x(t)x(t)
y(0)
y(t)y(t)y(t)
k
x1(t)
x2(t)
xn(t)
Integrador
Somador
Multiplicador
Figura 17: Simbologia para diagramas de blocos.
O integrador executa a seguinte operac¸a˜o:
y(t) =
∫ t
0
x(τ)dτ + y(0).
O somador executa:
y(t) = x1(t) + x2(t) + . . .+ xn(t).
O multiplicador executa:
y(t) = kx(t).
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4.1 Montagem direta de diagramas de blocos
As equac¸o˜es diferencias que representam sistemas lineares usuais podem ser
representadas com o uso dos diagramas de blocos.
Exemplo: Considere a equac¸a˜o diferencial
d3y
dt3
+ 8
d2y
dt2
+ 37
dy
dt
+ 50y = u(t).
Esta equac¸a˜o pode ser reescrita na forma
d3y
dt3
= −8d
2y
dt2
− 37dy
dt
− 50y + u(t), (8)
que permite a montagem direta do diagrama de blocos da Figura 18.
∫∫∫u(t) y(t)
−50
−37
−8
y˙y¨d
3y
dt3
Figura 18: Diagrama de blocos correspondente a` equac¸a˜o (8).
Exemplo: Seja uma outra equac¸a˜o diferencial que se deseja representar
na forma de diagrama de blocos:
d3y
dt3
+ 8
d2y
dt2
+ 37
dy
dt
+ 50y = 3
du
dt
+ 5u(t). (9)
Esta equac¸a˜o pode ser escrita no domı´nio de Laplace como
(s3 + 8s2 + 37s+ 50)︸ ︷︷ ︸
D(s)
Y = (3s+ 5)︸ ︷︷ ︸
N(s)
U,
ou tambe´m,
D(s)X = U, X =
Y
N(s)
.
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O diagrama de blocos de D(s)X = U ja´ foi constru´ıdo anteriormente,
bastando substituir y por x na Figura 18.
Como Y = N(s)X, ou seja,
Y = (3s+ 5)X ⇒ y(t) = 3dx
dt
+ 5x,
e os valores de x esta˜o dispon´ıveis no diagrama de blocos, e´ poss´ıvel incluir
os termos relacionados a N(s) conforme na Figura 19.
∫∫∫u(t) y(t)
−50
−37
−8
3
5
x(t)x˙x¨d
3x
dt3
Figura 19: Diagrama de blocos correspondente a` equac¸a˜o (9).
4.2 Montagem em se´rie de digramas de blocos
Uma func¸a˜o G(s) representativa de um sistema pode ser fatorada na forma
G(s)= G1(s)G2(s) . . .Gm(s).
Neste caso, o sistema pode ser visto com uma se´rie de subsistemas. Para
evitar a necessidade de um “diferenciador”, os subsistemas devem ser esco-
lhidos adequadamente, de forma que o grau do numerador na˜o exceda o grau
do denominador em cada subsistema.
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Exemplo: Seja o sistema
G(s) =
3s+ 5
s3 + 8s2 + 37s+ 50
=
(
1
s+ 2
)
︸ ︷︷ ︸
G1(s)
(
3s+ 5
s2 + 6s+ 25
)
︸ ︷︷ ︸
G2(s)
,
que permite a construc¸a˜o do diagrama de blocos da Figura 20, onde os sub-
sistemas G1(s) e G2(s) foram colocados em se´rie.
∫∫∫u(t) y(t)
−2 −6
−25
5
3
Figura 20: Diagrama de blocos de dois sistemas concatenados em se´rie.
4.3 Montagem em paralelo de diagramas de blocos
Neste caso a func¸a˜o G(s) do sistema e´ expandida em frac¸o˜es parciais na forma
G(s) = G1(s) +G2(s) + . . .+Gm(s),
onde Gi(s) representa usualmente sistemas de primeira ordem ou sistemas
de segunda ordem.
Exemplo: Seja
G(s) =
3s+ 5
s3 + 8s2 + 37s+ 50
=
−1
17
s+ 2︸ ︷︷ ︸
G1(s)
+
s
17
+ 55
17
s2 + 6s+ 25︸ ︷︷ ︸
G2(s)
,
cujo diagrama de blocos na forma paralela esta´ representado agora na Figura
21. Nota-se que
Y = G(s)U = (G1(s) +G2(s))U = G1(s)U +G2(s)U.
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∫∫
∫u(t)
y(t)
−2
−6
−25
55
17
1
17
−1
17
Figura 21: Diagrama de blocos com subsistemas em paralelo.
5 Modelagem de alguns sistemas lineares
5.1 Sistemas massa-mola-amortecedor de um grau de
liberdade
A Figura 22 apresenta um sistema massa-mola-amortecedor de um grau de
liberdade para o qual e´ aplicada uma forc¸a u(t) e considerada como resposta
o deslocamento y(t). Os paraˆmetros do sistema sa˜o: massa m, rigidez da
mola k e constante de amortecimento viscoso c.
Aplicando a segunda Lei de Newton, obte´m-se a equac¸a˜o diferencial do
movimento, ou seja,
u− ky − cy˙ = my¨ ⇒ my¨ + cy˙ + ky = u(t).
Dividindo-se pela massam e levando para o domı´nio de Laplace, a equac¸a˜o
torna-se (
s2 +
c
m
s+
k
m
)
Y =
1
m
U.
Portanto, o polinoˆmio caracter´ıstico e´
s2 +
c
m
s +
k
m
= 0,
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k c
m
uu
ky cy˙
y, y˙, y¨
Figura 22: Sistema massa-mola-amortecedor e diagrama de corpo livre.
que possui duas ra´ızes, que podem ser reais simples, reais duplas ou um par
complexo conjugado.
A equac¸a˜o diferencial do sistema pode ser escrita como
y¨ =
1
m
u− c
m
y˙ − k
m
y,
que permite a construc¸a˜o direta do diagrama de blocos da Figura 23.
y1
m
u
k
m
c
m
∫∫y¨ y˙
− −
Figura 23: Diagrama de blocos do sistema massa-mola-amortecedor de um
grau de liberdade.
5.2 Sistema mecaˆnico torcional de um grau de liber-
dade
O sistema torcional de um grau de liberdade da Figura 24 e´ formado por
uma ine´rcia J , uma mola torcional de rigidez k e um amortecimento viscoso
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c. O torque aplicado e´ m(t) e o deslocamento angular θ(t).
k
c
J
θ
θ
m(t)m(t)
cθ˙ kθ
Figura 24: Sistema torcional de um grau de liberdade.
A equac¸a˜o diferencial que descreve o movimento do sistema pode ser
obtida pela aplicac¸a˜o da Lei de Newton, ou seja,
m(t)− kθ − cθ˙ = Jθ¨ ⇒ Jθ¨ + cθ˙ + kθ = m(t).
No domı´nio de Laplace escreve-se que(
s2 +
c
J
s+
k
J
)
Θ =
1
J
M,
cuja equac¸a˜o caracter´ıstica e´
s2 +
c
J
s +
k
J
= 0.
O diagrama de blocos correspondente a este sistema e´ apresentado na
Figura 25.
5.3 Circuito RC
Seja um circuito RC (resistor R e capacitor C em se´rie) ilustrado na Figura
26, tendo como entrada uma tensa˜o v(t) e como sa´ıda a tensa˜o no capacitor
vC(t).
Os comportamentos do resistor e do capacitor sa˜o descritos por:
vR = RiR, iC = C
dvC
dt
,
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θ1
J
m
k
J
c
J
∫∫θ¨ θ˙
− −
Figura 25: Diagrama de blocos do sistema torcional de um grau de liberdade.
v(t)
vC(t)
++
−−
i(t)
R
C∼
Figura 26: Circuito RC.
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ou ainda no domı´nio de Laplace:
VR = RIR, IC = CsVC .
Neste caso iR = iC pois os componentes esta˜o em se´rie.
Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff, obte´m-se a equac¸a˜o
v = vR + vC ⇒ V = RCsVC + VC ,
ou ainda, (
s+
1
RC
)
VC =
1
RC
V.
Pode-se representar este sistema na forma de uma func¸a˜o de transfereˆncia
como:
VC = G(s)V =
1
RC
s+ 1
RC
V.
Verifica-se que este sistema e´ de primeira ordem e que
v˙C =
1
RC
v − 1
RC
vC ,
o que permite a construc¸a˜o direta do diagrama de blocos da Figura 27.
vCv ∫v˙C
−
1
RC
1
RC
Figura 27: Diagrama de blocos do circuito RC.
5.4 Circuito RLC
Seja um circuito formado por um resistor R, um indutor L e um capacitor
C em se´rie com uma tensa˜o v(t) de entrada e tendo como sa´ıda a tensa˜o no
capacitor vC(t), conforme esquematizado na Figura 28.
As leis que governam os componentes do circuito sa˜o:
vR = RiR, iC = C
dvC
dt
, vL = L
diL
dt
.
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v(t)
vC(t)
+
+
−−
i(t)
R
C∼
L
Figura 28: Circuito RLC.
ou no domı´nio de Laplace:
VR = RIR, IC = CsVC VL = LsIL.
Como os componentes esta˜o em se´rie, todos apresentam a mesma cor-
rente, ou seja, iR = iL = iC = i.
Deseja-se escrever a relac¸a˜o entre a entrada v(t) e a sa´ıda vC(t). Con-
sequ¨entemente,
VR = RI = RCsVC ,
VL = LsI = Ls(CsVC) = LCs
2VC .
Aplicando-se a lei de malhas escreve-se
v = vR + vL + vC ,
e substituindo as tenso˜es calculadas para cada componente tem-se
V = RCsVC + LCs
2VC + VC ,(
s2 +
R
L
s+
1
LC
)
VC =
1
LC
V.
A func¸a˜o de transfereˆncia neste caso e´
G(s) =
1
LC
s2 + R
L
s+ 1
LC
.
A equac¸a˜o diferencial correspondente ao sistema VC(t) = G(s)V (t) pode
ser escrita como
v¨C =
1
LC
v − R
L
v˙C − 1
LC
vC
que permite diretamente a representac¸a˜o na forma de diagrama de blocos da
Figura 29.
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vC
1
LC
v
1
LC
R
L
∫∫v¨C v˙C
− −
Figura 29: Diagrama de blocos para um circuito RLC.
5.5 Sistema massa-mola-amortecedor com 2 graus de
liberdade
Seja o sistema massa-mola-amoretecedor de dois graus de liberdade repre-
sentado na Figura 30.
Aplicando a lei de Newton escreve-se para cada massa:
k2(y2 − y1) + c2(y˙2 − y˙1)− k1y1 − c1y˙1 + u1(t) = m1y¨1,
−k2(y2 − y1)− c2(y˙2 − y˙1) + u2(t) = m2y¨2.
Estas equac¸o˜es podem ser escritas na forma matricial como:[
m1 0
0 m2
]
︸ ︷︷ ︸
M
{
y¨1
y¨2
}
︸ ︷︷ ︸
y¨
+
[
(c1 + c2) −c2
−c2 c2
]
︸ ︷︷ ︸
C
{
y˙1
y˙2
}
︸ ︷︷ ︸
y˙
+
+
[
(k1 + k2) −k2
−k2 k2
]
︸ ︷︷ ︸
K
{
y1
y2
}
︸ ︷︷ ︸
y
=
{
u1(t)
u2(t)
}
︸ ︷︷ ︸
u
,
ou tambe´m
My¨ +Cy˙+Ky = u(t),
ondeM e´ a matriz de massa, C e´ a matriz de amortecimento, K e´ a matriz de
rigidez, y e´ vetor deslocamento, y˙ e´ o vetor velocidade, y¨ e´ o vetor acelerac¸a˜o
e u(t) e´ o vetor de excitac¸a˜o (forc¸as externas aplicadas).
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k1
k2
c1
c2
m1
m1
m2
m2
y1
y2
u1(t)
u1(t)
u2(t)
u2(t)
k1y1 c1y˙1
k2(y2 − y1) c2(y˙2 − y˙1)
y2 > y1
Figura 30: Sistema massa-mola-amortecedor dedois graus de liberdade e
diagramas de corpo livre.
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6 Linearizac¸a˜o
Muitos problemas possuem termos na˜o lineares e que dificultam a ana´lise.
Uma forma de simplificar estes problemas e´ empregar uma linearizac¸a˜o, que
embora seja uma aproximac¸a˜o, normalmente permite a ana´lise do problema.
O aspecto central da linearizac¸a˜o e´ a aplicac¸a˜o da se´rie de Taylor, tomando-
se ate´ o termo linear. Seja a Figura 31 em que f(x) e´ uma func¸a˜o na˜o linear
e se deseja determinar uma aproximac¸a˜o y(x) para f(x) em torno do ponto
x0.
f, y
f(x)
y(x)
xxo
Figura 31: Linearizac¸a˜o.
A func¸a˜o f(x) pode ser expandida em se´rie de Taylor como
f(x) = f(x0) +
df
dx
∣∣∣∣∣
x0
(x− x0)
1!
+
d2f
dx2
∣∣∣∣∣
x0
(x− x0)2
2!
+ ...
Tomando apenas o primeiro e o segundo termos tem-se
f(x) ≈ y(x) = f(x0) + df
dx
∣∣∣∣∣
x0
(x− x0),
em torno do ponto x0, que e´ uma aproximac¸a˜o linearizada para f(x).
Exemplo: Seja um tanque conforme a mostrado na Figura 32 no qual a
vaza˜o de sa´ıda depende de forma na˜o linear do n´ıvel de l´ıquido no tanque.
Neste problema tem-se que: Fi e´ a vaza˜o que entra no tanque, F e´ a
vaza˜o que sai do tanque, h e´ a altura do n´ıvel de l´ıquido no tanque, e A e´ a
a´rea da sec¸a˜o transversal do tanque.
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F
h
Fi
Figura 32: Esquema do tanque.
A vaza˜o de sa´ıda depende da altura do n´ıvel de l´ıquido do tanque por
F = β
√
h.
A equac¸a˜o diferencial (na˜o linear) para a variac¸a˜o da altura h no tanque
e´
A
dh
dt
= Fi − F ⇒ Adh
dt
+ β
√
h = Fi.
A linearizac¸a˜o deve ser conduzida para o termo na˜o linear correspondente
a` func¸a˜o f(h) =
√
h. Assim,
f(h) ≈ f(h0) + d(
√
h)
dh
∣∣∣∣∣
h0
(h− h0) =
√
h0 +
1
2
h
−1
2
0 (h− h0).
Substituindo o resultado da linearizac¸a˜o na equac¸a˜o diferencial tem-se
A
dh
dt
+ β
[√
h0 +
1
2
√
h0
(h− h0)
]
= Fi,
A
dh
dt
+ β
h
2
√
h0
= Fi − β
√
h0
2
,
que agora e´ uma equac¸a˜o direfencial linear.
Os erros envolvidos na linearizac¸a˜o aumentam a` medida em que se distaˆncia
do ponto em torno do qual a func¸a˜o foi linearizada. No caso deste exemplo,
a aproximac¸a˜o sera´ va´lida em torno do n´ıvel h0.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
7 Formas padronizadas de sistemas com paraˆmetros
concentrados
7.1 Sistema de ordem zero
Um sistema de ordem zero e´ descrito por uma equac¸a˜o diferencial de ordem
zero, ou seja, por uma equac¸a˜o alge´brica do tipo
a0y = b0x,
ou tambe´m
y = γx, γ =
b0
a0
,
onde γ e´ a sensibilidade esta´tica.
Um sistema de ordem zero e´ instantaˆneo, sem atraso ou distorc¸a˜o. Um
sistema que pode ser considerado sistema de ordem zero e´ o termopar (trans-
duz temperatura em voltagem instantaˆneamente, e pode ser linearizado num
dado intervalo).
7.2 Sistema de primeira ordem
Um sistema de primeira ordem e´ descrito por uma equac¸a˜o diferencial de
primeira ordem como
a1
dy
dt
+ a0y = b0x,
ou no domı´nio de Laplace,
(a1s+ a0)Y = b0X.
Define-se τ = a1
a0
como a constante de tempo e γ = b0
a0
o ganho ou sensi-
bilidade esta´tica. Logo,
(τs + 1)Y = γX.
A equac¸a˜o homogeˆnea e´
τ y˙ + y = 0
e a equac¸a˜o caracter´ıstica e´ τs + 1 = 0 cuja raiz e´ s = −1
τ
.
A soluc¸a˜o homogeˆnea da equac¸a˜o diferencial e´ do tipo
yh(t) = Ae
−t
τ .
Seja a condic¸a˜o inicial y(0) = y0. Logo,
yh(t) = y0e
−t
τ .
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Para y0 6= 0 e t = τ , tem-se
y(τ) = y0e
−1 = 0.3678y0 ⇒ y(τ)
y0
= 0.3678.
Observa-se que a constante de tempo τ fornece uma medida da velocidade
que a resposta do sistema tende a zero. Nota-se que decorrido o tempo τ ,
a reduc¸a˜o percentual da resposta natural e´ aproximadamente 37% do valor
inicial y0, como ilustrado na Figura 33.
yh(t)
tτ
y0
0.3678y0
Figura 33: Resposta homogeˆnea de um sistema de primeira ordem, τ > 0.
Seja o caso em que a entrada e´ um degrau unita´rio u(t). Neste caso, a
equac¸a˜o diferencial do sistema e´
τ y˙ + y = γu(t).
A soluc¸a˜o particular e´ do tipo:
yp(t) = C,
pois o degrau e´ uma constante para t > 0.
A soluc¸a˜o completa sera´ a soma da soluc¸a˜o homogeˆnea e da soluc¸a˜o par-
ticular:
y(t) = Ae
−t
τ + C.
Seja o caso particular da condic¸a˜o inicial y(0) = 0. Logo,
y(0) = 0 = Ae0 + C = A + C ⇒ A = −C,
e consequ¨entemente,
y(t) = C(1− e−tτ )
E´ poss´ıvel calcular a seguinte derivada
y˙(t) = C
1
τ
e
−t
τ .
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Substituindo y(t) e y˙(t) na equac¸a˜o diferencial tem-se:
τC
1
τ
e
−t
τ + C(1− e−tτ ) = γ ⇒ C = γ,
e portanto a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´
y(t) = γ(1− e−tτ ),
cuja representac¸a˜o gra´fica esta´ na Figura 34.
y(t)
tτ
0.6321γ
γ
Figura 34: Soluc¸a˜o completa de sistema de primeira ordem.
Verifica-se que para t = τ tem-se
y(τ)
γ
= 1− e−1 = 0.6321,
ou seja, para um tempo igual a τ o sistema atingiu aproximadamente 63%
da resposta de regime.
Um exemplo de sistema de primeira ordem e´ o modelo linearizado do
enchimento do tanque dado por
A
dh
dt
+ β
h
2
√
h0
= Fi − β
√
h0
2
.
Um outro exemplo e´ o circuito RC descrito por
RCy˙ + y = u(t),
com τ = RC e γ = 1.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
7.3 Sistema de segunda ordem
Um sistema de segunda ordem e´ descrito por uma equac¸a˜o diferencial de
segunda ordem como
a2y¨ + a1y˙ + a0y(t) = b0x(t) ou y¨ +
a1
a2
y˙ +
a0
a2
y =
b0
a2
x(t).
Esta equac¸a˜o de segunda ordem pode ser escrita no domı´nio de Laplace
em uma forma padronizada como
(s2 + 2ξwns+ w
2
n)Y = γw
2
nX,
onde
wn =
√
a0
a2
,
e´ a frequ¨eˆncia natural,
ξ =
a1
2
√
a0a2
,
e´ o fator de amortecimento, e
γ =
b0
a0
e´ o ganho esta´tico. Note que o ganho esta´tico e´ o fator que multiplicado
pela amplitude da entrada resulta no valor de regime (desconsiderando-se os
efeitos dinaˆmicos de y˙ e y¨).
A resposta natural do sistema e´ baseada na equac¸a˜o homogeˆnea, cuja
equac¸a˜o caracter´ıstica e´:
s2 + 2ξwns+ w
2
n = 0.
As ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica sa˜o s1,2 = −ξwn ± wn
√
ξ2 − 1, cuja
natureza depende do valor de ξ. Os casos poss´ıveis sa˜o analisados a seguir.
Amortecimento subcr´ıtico/sistema sub-amortecido, ξ < 1
No caso de sistema sub-amortecido, ξ < 1, as ra´ızes sa˜o complexas conjugadas
e podem ser escritas como
s1,2 = −ξwn ± jwn
√
1− ξ2 = σ ± jwd,
onde σ = −ξwn e´ a parte real e wd = wn
√
1− ξ2 e´ a parte imagina´ria
(caracterizando a frequ¨eˆncia natural amortecida). Estas ra´ızes podem ser
representadas no plano complexo como na Figura 35.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
wn = cte
ξ = cte
s1
s2
φ
wn
−ξwn
wn
√
1− ξ2
−wn
√
1− ξ2
σ (real)
jw (imagina´rio)
Figura 35: Representac¸a˜o de um par complexo conjugado no plano complexo.
Nesta representac¸a˜o verifica-se que wn e´ o raio do c´ırculo e cosφ = ξ.
Observa-se que as ra´ızes s1 e s2 caminham sobre o c´ırculo em func¸a˜o do valor
de ξ.
A soluc¸a˜o homogeˆnea de um sistema de segunda ordem e´ do tipo
yh(t) = A1e
s1t +A2e
s2t = e−ξwnt(A1e
jwdt +A2e
−jwdt) = Ae−ξwntsen(wdt+ φ),
que caracteriza uma resposta oscilato´ria com frequ¨eˆncia wd.
Considere uma entrada do tipo degrau unita´rio, u(t). A soluc¸a˜o particular
sera´ do tipoyp = C para t ≥ 0.
Logo, y˙p = 0 e y¨p = 0. Substituindo-se na equac¸a˜o do sistema, tem-se,
w2nC = γw
2
n ⇒ C = γ.
A soluc¸a˜o completa do sistema e´ a soma da soluc¸a˜o particular e da soluc¸a˜o
homogeˆnea:
y(t) = γ + Ae−ξwntsen(wdt+ φ),
onde A e φ sa˜o determinados atrave´s das condic¸o˜es iniciais.
Verifica-se da Figura 35 que:
senφ =
√
1− ξ2, cosφ = ξ e tanφ =
√
1− ξ2
ξ
.
No caso em que y(0) = 0 e y˙(0) = 0 (condic¸o˜es iniciais nulas) tem-se
y(0) = γ + Asenφ = 0⇒ A = −γ√
1− ξ2 ,
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
y˙(0) = A(−ξwn)senφ+ Awdcosφ = 0⇒ tanφ = wd
ξwn
=
√
1− ξ2
ξ
.
Sistema criticamente amortecido, ξ = 1
No caso criticamente amortecido, ξ = 1, as ra´ızes sa˜o reais e iguais e esta˜o
sobre o eixo real no plano complexo, ou seja,
s1 = s2 = −ξwn = −wn.
A soluc¸a˜o transito´ria (homogeˆnea) e´
yh(t) = A1e
−wnt + A2te
−wnt,
que representa um movimento que na˜o oscila.
Considerando a entrada um degrau unita´rio, a soluc¸a˜o completa e´ da
forma
y(t) = γ + A1e
−wnt + A2te
−wnt.
Com as condic¸o˜es iniciais nulas, y(0) = 0 e y˙(0) = 0, tem-se
y(0) = 0 = γ + A1 ⇒ A1 = −γ,
y˙(0) = 0 = A1(−wn) + A2 ⇒ A2 = −γwn.
Sistema super-amortecido, ξ > 1
No caso de um sistema super-amortecido, ξ > 1, as ra´ızes sa˜o reais e distintas,
ou seja,
s1 = wn
(
−ξ +
√
ξ2 − 1
)
=
−1
τ1
,
s2 = wn
(
−ξ −
√
ξ2 − 1
)
=
−1
τ2
.
A resposta transito´ria (soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea) e´
y(t) = A1e
−t
τ1 + A2e
−t
τ2 ,
e a soluc¸a˜o completa, considerando a entrada degrau unita´rio, e´
y(t) = γ + A1e
−t
τ1 + A2e
−t
τ2 .
Quando as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas, y(0) = 0 e y˙(0) = 0, tem-se
A1 =
−γτ1
τ1 − τ2 e A2 =
γτ2
τ1 − τ2 .
Verifica-se que o caso super-amortecido apresenta uma resposta sem cara´ter
oscilato´rio como esperado.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Movimento harmoˆnico simples, sistema na˜o amortecido, ξ = 0
No caso sem amortecimento, as ra´ızes sa˜o complexas conjugadas com parte
real nula, ou seja, esta˜o sobre o eixo imagina´rio. Neste caso, o sistema
apresentara´ uma resposta transito´ria sem decaimento, caracterizando o mo-
vimento harmoˆnico simples, ou seja, wd = wn, φ = 0 e yh(t) = Asen(wnt).
8 Func¸a˜o de Transfereˆncia
Seja um sistema que estabelece uma relac¸a˜o entre entrada e sa´ıda esquema-
tizada na Figura 36.
f(t) y(t)
(entrada) (sa´ıda)
sistema
Figura 36: Relac¸a˜o entre entrada e sa´ıda.
Este sistema pode ser descrito por uma equac¸a˜o diferencial do tipo
an
dny
dtn
+ an−1
dn−1y
dtn−1
+ . . .+ a1
dy
dt
+ a0y(t) = b0f(t).
Se as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas, y(0) = y˙(0) = . . . = yn−1(0) = 0, tem-se
atrave´s da transformada de Laplace, que
Y (s)
F (s)
= G(s) =
b0
ansn + an−1sn−1 + . . .+ a1s+ a0
,
ou ainda
Y (s) = G(s)F (s)
onde G(s) e´ uma func¸a˜o de transfereˆncia e o sistema pode ser representado
conforme esquematizado na Figura 37.
F (s) Y (s)
G(s)
Figura 37: Relac¸a˜o entrada-sa´ıda no domı´nio de Laplace.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Caso o sistema possua duas entradas tem-se que
an
dny
dtn
+ an−1
dn−1y
dtn−1
+ . . .+ a1
dy
dt
+ a0y(t) = b1f1(t) + b2f2(t),
cuja representac¸a˜o esta´ na Figura 38.
f1(t)
f2(t)
y(t)
sistema
Figura 38: Representac¸a˜o de um sistema com duas entradas e uma sa´ıda.
Considerando condic¸o˜es iniciais nulas e aplicando a transformada de La-
place tem-se que
(ans
n + an−1s
n−1 + . . .+ a1s+ a0)Y (s) = b1F1(s) + b2F2(s),
Y (s) =
b1
ans
n + an−1s
n−1 + . . .+ a1s+ a0︸ ︷︷ ︸
G1(s)
F1(s)+
b2
ans
n + an−1s
n−1 + . . .+ a1s+ a0︸ ︷︷ ︸
G2(s)
F2(s),
ou ainda
Y (s) = G1(s)F1(s) +G2(s)F2(s),
onde G1(s) e G2(s) sa˜o as func¸o˜es de transferaˆncia que relacionam cada
entrada a` sa´ıda, conforme esquematizado na Figura 39.
F1(s)
F2(s)
G1(s)
G2(s)
Y (s)
Figura 39: Representac¸a˜o de um sistema com duas entradas e uma sa´ıda.
Para sistemas com mu´ltiplas entradas e mu´ltiplas sa´ıdas, define-se a ma-
triz de transfereˆncia como a matriz formada pelas relac¸o˜es entre cada entrada
e cada sa´ıda, considerando-se nulas todas as entradas exceto a entrada em
questa˜o, e com todas as condic¸o˜es iniciais nulas.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
8.1 Resposta ao impulso e convoluc¸a˜o
Seja um sistema representado por
Y (s) = G(s)X(s),
onde G(s) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia.
Sabe-se que a multiplicac¸a˜o no domı´nio de Laplace e´ equivalente a` con-
voluc¸a˜o no domı´nio do tempo. Portanto,
y(t) =
∫ t
0
x(τ)g(t− τ)dτ =
∫ t
0
g(τ)x(t− τ)dτ,
com g(t) = 0 e x(t) = 0 para t < 0.
Seja uma entrada do tipo impulso unita´rio, x(t) = δ(t), com condic¸o˜es
iniciais nulas. Logo, X(s) = L[δ(t)] = 1, e enta˜o
Y (s) = G(s).
Logo,
y(t) = L−1[G(s)] = g(t),
e´ a resposta ao impulso, ou seja, a transformada de Laplace da resposta ao
impulso de um sistema fornece a respectiva func¸a˜o de transfereˆncia.
Na pra´tica, e´ poss´ıvel aproximar uma func¸a˜o impulso por uma func¸a˜o
pulso de amplitude grande e de durac¸a˜o pequena cuja a´rea seja unita´ria
conforme mostrado na Figura 10. Nota-se que quando t0 → 0 o pulso tende ao
impulso. Portanto, a resposta de um sistema a um pulso de grande amplitude
e de pequena durac¸a˜o (a´rea unita´ria) tende a` resposta do impulso do sistema.
8.2 Matriz de transfereˆncia
O conceito de matriz de transfereˆncia e´ aplica´vel ao caso de sistemas com
mu´ltiplas entradas e mu´ltiplas sa´ıdas.
Considere um sistema com m entradas e n sa´ıdas. As m entradas carac-
terizam o vetor de entrada. As n sa´ıdas caracterizam o vetor de sa´ıda.
Seja, por exemplo, um sistema com duas entradas e duas sa´ıdas conforme
esquematizado na Figura 40.
A relac¸a˜o entre as sa´ıdas e as entradas e´ dada por
Y1(s) = G11(s)X1(s) +G12(s)X2(s),
Y2(s) = G21(s)X1(s) +G22(s)X2(s).
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
X1(s)
X2(s)
Y1(s)
Y2(s)
G11
G12
G21
G22
Figura 40: Representac¸a˜o de sistema com duas entradas e duas sa´ıdas.
Escrevendo na forma matricial tem-se que{
Y1(s)
Y2(s)
}
=
[
G11(s) G12(s)
G21(s) G22(s)
]{
X1(s)
X2(s)
}
,
sendo que Gij(s) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia relacionando a i-e´sima sa´ıda
com a j-e´sima entrada.
Generalizando, para m entradas e n sa´ıdas, tem-se
Y(s)n×1 = G(s)n×mX(s)m×1
onde Y(s)n×1 e´ a transformada de Laplace do vetor de sa´ıda, G(s)n×m e´ a
matriz de transfereˆncia e X(s)m×1 e´ a transformada de Laplace do vetor de
entrada.
Exemplo: Considere o sistema da Figura 41 inicialmente em repouso.
Sejam as forc¸as u1(t) e u2(t) as entradas e sejam as posic¸o˜es y1(t) e y2(t)
as sa´ıdas.
As equac¸o˜es do movimento podem ser escritas, ou seja, para a massa m1
tem-se
m1y¨1 = c(y˙2 − y˙1)− k1y1 + u1(t),
m1y¨1 + c(y˙1 − y˙2) + k1y1 = u1(t),
e para a massa m2 tem-se
m2y¨2 = −c(y˙2 − y˙1)− k2y2 + u2(t),
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
k1
k2
c
m1
m1
m2
m2
y1
y2
u1(t)
u1(t)
u2(t)
u2(t)
k1x1
k2x2c(x˙2 − x˙1)
c(x˙2 − x˙1)
Figura 41: Sistema massa-mola-amortecedor de dois graus de liberdade.
m2y¨2 + c(y˙2 − y˙1) + k2y2 = u2(t).
Aplicando a transformada de Laplace a`s duas equac¸o˜es do movimento e
considerando condic¸o˜es iniciais nulas tem-se
(m1s
2 + cs+ k1)Y1(s)− csY2(s) = U1(s),
(m2s
2 + cs+ k2)Y2(s)− csY1(s) = U2(s).
Matricialmente pode-se escrever que[
m1s
2 + cs+ k1 −cs
−cs m2s2 + cs+ k2]
︸ ︷︷ ︸
G−1
{
Y1(s)
Y2(s)
}
=
{
U1(s)
U2(s)
}
.
Portanto, {
Y1(s)
Y2(s)
}
= G(s)
{
U1(s)
U2(s)
}
,
onde
G(s) =
1
(m1s2 + cs+ k1)(m2s2 + cs+ k2)− c2s2
[
m2s
2 + cs+ k2 cs
cs m1s
2 + cs+ k1
]
,
e´ a matriz de transfereˆncia, neste caso 2× 2.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Consequ¨entemente,
y1(t) = L−1
[
(m2s
2 + cs+ k2)U1(s) + csU2(s)
(m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs+ k2)− c2s2
]
,
y2(t) = L−1
[
csU1(s) + (m1s
2 + cs+ k1)U2(s)
(m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs+ k2)− c2s2
]
.
9 Crite´rios de Desempenho
Esta sec¸a˜o apresenta os principais paraˆmetros de desempenho no tempo de
sistemas de primeira e de segunda ordem.
9.1 Sistemas de Primeira Ordem
Seja um sistema de primeira ordem dado por
a1
dy
dt
+ a0y(t) = b0f(t) ou τ
dy
dt
+ y = γf(t),
onde τ = a1
a0
e´ a constante de tempo e γ = b0
a0
e´ a sensibilidade esta´tica.
A transformada de Laplace correspondente e´
τsY (s) + Y (s) = γF (s),
e a respectiva func¸a˜o de transfereˆncia e´
Y (s)
F (s)
=
γ
τs + 1
.
1. A resposta ao impulso deste sistema e´
g(t) =
γ
τ
e−
t
τ ,
que se encontra ilustrada na Figura 42.
2. A resposta ao degrau, ou resposta indicial, de um sistema de primeira
ordem e´
y(t) = γ(1− e− tτ ),
que se encontra ilustrada na Figura 43 para dois valores de constante
de tempo (τ1 > τ2) e na Figura 44 para dois valores da sensibilidade
esta´tica γ1 > γ2.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
t
γ
τ
(sistema esta´vel)
Figura 42: Resposta ao impulso de sistema de primeira ordem, τ > 0.
t
τ1τ2
Figura 43: Sistema de primeira ordem - resposta ao degrau - τ1 > τ2.
tτ
γ1
γ2
0, 63γ1
0, 63γ2
y(t)
Figura 44: Sistema de primeira ordem - resposta ao degrau - γ1 > γ2.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
tτ
y(t)
∆(t)
Figura 45: Sistema de primeira ordem - resposta a` rampa unita´ria.
3. A resposta a` rampa unita´ria e´ dada por
y(t) = γ(τe−
t
τ + t− τ),
e esta´ representada na Figura 45.
A diferenc¸a entre a rampa e a resposta do sistema e´ dada por
∆(t) = γt− y(t) = γτ(1− e− tτ ),
e o erro estaciona´rio e´
lim
t→∞∆(t) = γτ.
9.2 Sistema de segunda ordem
Seja um sistema de segunda ordem na forma padronizada
d2y
dt2
+ 2ξwn
dy
dt
+ w2ny = γw
2
nf(t),
onde wn e´ a frequ¨eˆncia natural, ξ e´ o fator de amortecimento e γ e´ o ganho
esta´tico.
A func¸a˜o de transfereˆncia correspondente e´
Y (s)
F (s)
= G(s) =
γw2n
s2 + 2ξwns+ w2n
.
As ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica sa˜o
s1,2 = −ξwn ± wn
√
ξ2 − 1︸ ︷︷ ︸
wd
,
e os treˆs casos importantes de resposta natural podem ser analisados em
func¸a˜o do valor de ξ, i.e.,
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
• ξ > 1: sistema superamortecido, comportamento na˜o oscilato´rio, cuja
resposta ao impulso e´
y(t) = C1e
s1t + C2e
s2t.
• 0 < ξ < 1: sistema sub-amortecido, comportamento oscilato´rio durante
o transito´rio, cuja resposta ao impulso e´
y(t) = C1e
−ξwnt(senwdt+ φ).
• ξ = 1: sistema criticamente amortecido, na˜o oscilato´rio, cuja resposta
ao impulso e´
y(t) = (C1 + C2t)e
−ξwnt.
O comportamento de um sistema de segunda ordem sub-amortecido e´
normalmente analisado em termos da resposta ao degrau atrave´s de alguns
paraˆmetros que permitem uma adequada comparac¸a˜o. Estes paraˆmetros sa˜o
brevemente descritos a seguir e ilustrados na Figura 46.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Resposta ao degrau unita´rio
A
m
p
li
tu
d
e
Tempo (s)
tp te
ts
yp
γ
eest
Figura 46: Sistema de segunda ordem - principais paraˆmetros de desempenho
na resposta ao degrau.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
1. O valor de regime, γ, e´ o valor da resposta do sistema para um tempo
grande, ou seja,
γ = lim
t→∞ y(t).
Note que o valor de regime corresponde ao ganho esta´tico do sistema
se a entrada for um degrau unita´rio.
2. O erro estaciona´rio, eest, e´ a diferenc¸a entre o valor da entrada e o valor
de regime. No caso da entrada degrau, tem-se que:
eest = 1− γ.
3. O tempo de subida, ts, e´ o tempo para a resposta passar, por exemplo,
de 10% do valor de regime para 90% do valor de regime.
4. O tempo para o pico ma´ximo, tp, e´ o tempo para a resposta atingir o
primeiro pico da sobre-elevac¸a˜o (overshoot).
5. O percentual de sobre-sinal, pss, representa o valor do pico em relac¸a˜o
ao valor de regime de forma percentual, ou seja,
pss = 100
yp − γ
γ
.
A resposta ao degrau e´
y(t) = γ
[
1− e
−ξwnt
√
1− ξ2 sen(wdt+ φ)
]
,
O pico da curva de resposta pode ser determinado por
dy
dt
= 0⇒ ξwnsen(wdt+ φ) = wdcos(wdt+ φ),
ou ainda
tan(wdt+ φ) =
wd
ξwn
=
√
1− ξ2
ξ
= tanφ,
para wdt = kpi, k = 0, 1, 2, . . .. O primeiro pico ocorre para wdtp = pi,
e enta˜o, tp =
pi
wd
e cosφ = ξ.
Substituindo este resultado na equac¸a˜o da resposta ao degrau tem-se
que
yp = y(tp) = γ

1− e−ξwn
pi
wd√
1− ξ2sen
(
wd
pi
wd
+ φ
) =
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= γ

1− e
−ξpi√
1−ξ2√
1− ξ2 sen(pi + φ)

 =
= γ

1− e
−ξpi√
1−ξ2√
1− ξ2 (senpi︸ ︷︷ ︸
0
cosφ+ senφ cospi︸ ︷︷ ︸
−1
)

 =
= γ

1− e
−ξpi√
1−ξ2√
1− ξ2 (−senφ)

 = γ [1 + e −ξpi√1−ξ2 ] .
Logo, o pss sera´ dado por:
pss = 100
γ
[
1 + e
−ξ pi√
1−ξ2
]
− γ
γ
= 100e
(
−ξpi√
1−ξ2
)
.
Consequ¨entemente pode-se escrever que
ξ =
ln100
pss√
pi2 +
(
ln100
pss
)2 .
Nota-se que o pss e´ uma medida do fator de amortecimento, ou seja,
dado ξ tem-se o pss e vice-versa. Verifica-se que pss|ξ=0 = 100% e
pss|ξ=1 = 0%.
6. Constante de tempo de um sistema de segunda ordem
As curvas que limitam a resposta de um sistema sa˜o chamadas de en-
volto´rias e esta˜o ilustradas na Figura 47.
As equac¸o˜es das envolto´rias sa˜o determinadas em func¸a˜o dos pontos
cr´ıticos de y(t) e sa˜o dadas por:
ev(t) = γ
(
1± e
−ξwnt
√
1− ξ2
)
.
Considerando a envolto´ria superior, nota-se que:
ev(t)|t=0 = γ
(
1 +
1√
1− ξ2
)
,
ev(t)|t= 1
ξwn
= γ
(
1 +
e−1√
1− ξ2
)
.
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envolto´ria
valor de regime (γ)
y(t)
τ t
Figura 47: Curvas envolto´rias.
Define-se a constante de tempo, τ , do sistema de segunda ordem como
τ =
1
ξwn
,
pois
ev(τ)− γ
ev(0)− γ =
e−1
1
= 0.3678,
que corresponde ao decaimento da envolto´ria com relac¸a˜o ao valor de
regime γ de forma semelhante ao caso de um sistema de primeira ordem.
7. O tempo de estabilizac¸a˜o e´ o tempo para o sistema apresentar x% de
erro com relac¸a˜o ao valor de regime.
O tempo de estabilizac¸a˜o a 5% e´ dado por:
γ
(
1 + e
−
t
τ√
1−ξ2
)
− γ
γ
≤ 0.05⇒ e
− t
τ√
1− ξ2 ≤ 0.05⇒ e
− t
τ ≤ 0.05
√
1− ξ2.
E´ poss´ıvel calcular o tempo de estabilizac¸a˜o para alguns valores de ξ.
• para ξ = 0.1:
e−
t
τ ≤ 0.05× 0.995⇒ t
τ
= 3.00.
• para ξ = 0.5:
e−
t
τ ≤ 0.05× 0.866⇒ t
τ
= 3.14.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
• para ξ = 0.7:
e−
t
τ ≤ 0.05× 0.714⇒ t
τ
= 3.33.
Portanto, uma aproximac¸a˜o usual e´ que
te5% ≈ 3.2τ = 3.2
ξwn
.
Da mesma forma que foi feito para 5% pode-se fazer para 2% e obter
que
te2% ≈ 4τ = 4
ξwn
.8. Decremento logar´ıtmico.
Seja uma seno´ide amortecida correspondente a` resposta do sistema,
y(t) = Ae−ξwnt(senwdt+ φ),
como mostrada na Figura 48.
t2
y1
y2
t1
y(t)
t
Figura 48: Seno´ide amortecida.
O per´ıodo e´ dado por T = t2 − t1 e e´ sabido que sen(wdt1 + φ) =
sen(wdt2 + φ).
A relac¸a˜o entre duas amplitudes consecutivas e´
y1
y2
=
Ae−ξwnt1
Ae−ξwnt2
= eξwnT = e
ξwn(
2pi
wd
)
= e
2piξ√
1−ξ2 .
O decremento logaritmico, δl, e´ definido como
δl = ln
y1
y2
=
2piξ√
1− ξ2 .
Nota-se que δl e´ uma medida do amortecimento do sistema. Para ξ <<
1 tem-se a aproximac¸a˜o que δl ≈ 2piξ.
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10 Estabilidade de sistemas lineares
Um sistema e´ considerado esta´vel se sua resposta na˜o cresce de forma ili-
mitada para qualquer condic¸a˜o inicial (resposta natural) ou para qualquer
entrada limitada. A ana´lise baseada na resposta natural caracteriza o que se
chama de estabilidade de entrada nula e a ana´lise baseada em uma entrada
limitada caracteriza a estabilidade BIBO (bounded input - bounded output).
10.1 Estabilidade para entrada nula
Seja uma func¸a˜o de transfereˆncia dada por
Y (s)
F (s)
= G(s) =
Q(s)
P (s)
,
onde Q(s) e P (s) sa˜o polinoˆmios que representam o numerador e o denomi-
nador respectivamente.
Estes polinoˆmios sa˜o tais que o grau de Q(s) e´ menor ou igual ao grau de
P (s), caracterizando os sistemas na˜o antecipativos.
Considerando que na˜o existam cancelamentos entre fatores do numerador
e do denominador, as ra´ızes de Q(s) sa˜o denominadas de zeros de G(s), e as
ra´ızes de P (s) sa˜o os po´los G(s). Os po´los de G(s) sa˜o os pontos singulares
de G(s).
Caso existam fatores comuns no numerador e denominar, atenc¸a˜o e´ re-
querida como no exemplo de
G(s) =
(s− 1)
(s− 1)(s+ 2) ,
em que se tem apenas apenas um po´lo que e´ −2. Note que na˜o ha´ singulari-
dade para s = 1.
Seja uma func¸a˜o de transfereˆncia, sem cancelamentos entre o numerador
e o denominador, escrita na forma
G(s) =
Q(s)
(s− p1)(s− p2)(s− p3)m(s− p4)(s− p∗4)(s− p5)(s− p6)(s− p∗6)
,
cujos po´los esta˜o representados na Figura 49.
Os po´los deste sistema podem ser classificados como a seguir.
1. Po´los reais e distintos de multiplicidade 1 e na˜o nulos (p1 e p2).
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
imagina´rio
real
po´los esta´veis po´los insta´veis
p1 p2p3
p4
p∗4
p5
p6
p∗6
Figura 49: Localizac¸a˜o t´ıpica dos po´los no plano complexo.
A contribuic¸a˜o destes po´los na anti-transformada de Laplace gera os
termos ilustrados na Figura 50, que podem ser verificados via expansa˜o
em frac¸o˜es parciais, ou seja,
C1e
p1t + C2e
p2t.
O po´lo p2 > 0 contribui para uma situac¸a˜o de instabilidade.
tt
y(t)y(t)
C1e
p1t C2e
p2t
Figura 50: Contribuic¸a˜o na resposta de po´los reais e distintos e na˜o nulos.
2. Po´los reais mu´ltiplos (p3).
A anti-transformada de Laplace gera termos do seguinte tipo:[
C1 + C2t+
C3
2!
t2 + . . .+
Cm
(m− 1)!t
m−1
]
︸ ︷︷ ︸
a(t)
ep3t = a(t)ep3t.
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Treˆs situac¸o˜es podem ocorrer em func¸a˜o da posic¸a˜o do po´lo p3:
• se p3 > 0, enta˜o a(t)ep3t → ±∞, quando t→∞.
• Se p3 = 0, enta˜o a(t)ep3t = a(t)→ ±∞, quando t→∞.
• Se p3 < 0, enta˜o a(t)ep3t → 0, quando t→∞.
Nota-se que se p3 ≥ 0 tem-se uma situac¸a˜o de instabilidade.
3. Po´lo simples na origem (p5).
A anti-transformada, neste caso, e´ uma constante como ilustrado na
Figura 51, que caracteriza uma resposta marginalmente esta´vel (na˜o
decresce).
t
y(t)
Figura 51: Anti-transformada correspondente a um po´lo simples na origem.
4. Po´los complexos conjugados (pares (p4,p
∗
4) e (p6,p
∗
6)).
Neste caso, e´ poss´ıvel escrever que
C
(s− p4)(s− p∗4)
=
D
(s2 + b2)
.
A anti-transformada de Laplace e´ do tipo:
eatsen(bt + φ)
onde a e´ a parte real dos po´los. Nota-se que se a > 0 tem-se uma
situac¸a˜o insta´vel.
Para o caso particular em que a = 0, ou seja, po´los complexos conjuga-
dos sobre o eixo imagina´rio, tem-se resposta senoidal sem decaimento,
Figura 53, que caracteriza uma resposta marginalmente esta´vel.
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tt
y(t)y(t)
a < 0 a > 0
Figura 52: Efeito de po´los compolexos conjugados.
t
y(t)
Figura 53: Efeito de po´lo com parte real nula.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
Da ana´lise anterior, e´ poss´ıvel concluir que:
• Po´los com parte real negativa, isto e´, localizados no semi-plano es-
querdo do plano complexo, contribuem com resposta esta´vel.
• Po´los com parte real positiva, isto e´, localizados no semi-plano direito
do plano complexo, contribuem com resposta crescente com o tempo
ou insta´vel.
• Po´los simples com parte real nula, isto e´, sobre o eixo imagina´rio, con-
tribuem com resposta constante ou senoidal.
• Po´los mu´ltiplos na origem ou sobre o eixo imagina´rio acarretam insta-
bilidade.
Uma avaliac¸a˜o da estabilidade natural pode ser feita tambe´m atrave´s da
resposta ao impulso. Lembrando que Y (s) = G(s)F (s) e que se F (s) = 1,
ou seja, f(t) = δ(t) um impulso unita´rio, enta˜o,
L−1[Y (s)] = L−1[G(s)] = y(t),
onde y(t) e´ a resposta ao impulso do sistema, e que permite verificar a ins-
tabilidade se esta crescer de forma ilimitada.
Exemplo: Discutir a estabilidade do sistema G1(s) =
1
s
.
Este sistema possui um po´lo simples na origem, caracterizando uma res-
posta natural marginalmente esta´vel. A resposta ao impulso deste sistema e´
um degrau u(t), que e´ limitada.
Exemplo: Discutir a estabilidade do sistema G2(s) =
1000
s2+100
.
Este sistema possui po´los complexos conjugados sobre o eixo imagina´rio,
caracterizando uma resposta senoidal marginalmente esta´vel. A resposta ao
impulso deste sistema e´ 100sen(10t)u(t), que e´ limitada.
Exemplo: Discutir a estabilidade do sistema G3(s) =
1
s2
.
Este sistema possui po´los mu´ltiplos na origem, e e´ portanto insta´vel. A
resposta ao impulso deste sistema e´ tu(t), que cresce de forma ilimitada.
10.2 Estabilidade BIBO
O conceito de estabilidade BIBO (bounded input - bounded output) estabe-
lece que o sistema e´ esta´vel se a resposta permanece limitada para qualquer
entrada limitada.
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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
A relac¸a˜o entre a resposta Y (s) e a entrada F (s) de um sistema pode ser
escrita como
Y (s) = G(s)F (s),
e usando a propriedade de convoluc¸a˜o pode-se escrever que
y(t) = L−1[G(s)F (s)] = g(t) ∗ f(t) =
∫ t
0
g(τ)f(t− τ)dτ.
Se a entrada e´ limitada, enta˜o pode-se escrever que
|f(t)| ≤M <∞.
Para que a resposta seja limitada deseja-se que
|y(t)| =
∣∣∣∣
∫ t
0
g(τ)f(t− τ)dτ
∣∣∣∣ ≤
∫ t
0
|g(τ)||f(t− τ)|dτ,
e consequ¨entemente e´ poss´ıvel escrever que
|y(t)| ≤M
∫ t
0
|g(τ)|dτ.
Para que a resposta |y(t)| seja limitada, deve-se ter que
∫ t
0
|g(τ)|dτ <∞,
que significa que a resposta ao impulso do sistema deve ser limitada.
11 Resposta em frequeˆncia
11.1 Relac¸a˜o de amplitude e aˆngulo de fase
A resposta em regime de um sistema linear invariante no tempo a` uma en-
trada senoidal e´ tambe´m de forma senoidal, com amplitude e fase distin-
tos da entrada e dependentes das caracter´ısticas dinaˆmicas do sistema e da
frequeˆncia de entrada.
Seja um sistema descrito por
Y (s)
F (s)
= G(s) =
Q(s)
P (s)
,
com Q(s) e P (s) polinoˆmios s.
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