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Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo . Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Alberto Luiz Serpa 2007 Esta apostila foi escrita com base nas notas de aulas utilizadas na disci- plina de Controle de Sistemas Mecaˆnicos ministrada para os cursos de gra- duac¸a˜o em Engenharia de Controle e Automac¸a˜o e Engenharia Mecaˆnica da UNICAMP nos u´ltimos anos. Com o surgimento da ferramenta de Internet para ensino aberto da UNI- CAMP, o meu interesse em ter material dida´tico digitado passou a ser maior pela facilidade de poder disponibilizar este material aos alunos. Ale´m disso, acredito que sera´ mais fa´cil atualizar e melhorar continuamente este material. Este material caracteriza a primeira versa˜o digitada em computador e incorpora alguns resultados de discusso˜es com os professores Janito Vaqueiro Ferreira, Eur´ıpedes Guilherme de Oliveira No´brega e Jose´ Roberto de Franc¸a Arruda, que tambe´m ja´ ministraram a disciplina. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 1 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Suma´rio 1 Introduc¸a˜o 6 2 Entradas Padronizadas 8 2.1 Degrau Unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Rampa unita´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Para´bola unita´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Func¸a˜o Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.5 Func¸a˜o impulso unita´rio (Delta de Dirac) . . . . . . . . . . . . 10 2.6 Func¸a˜o porta ou pulso unita´rio (Gate) . . . . . . . . . . . . . 10 2.7 Func¸a˜o se´rie de poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Transformada de Laplace 11 3.1 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . 14 3.1.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.2 Diferenciac¸a˜o real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.3 Integrac¸a˜o real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.4 Teorema do valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.5 Teorema do valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.6 Translac¸a˜o real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.7 Func¸o˜es perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.8 Diferenciac¸a˜o Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.9 Integrac¸a˜o Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.10 Translac¸a˜o Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.11 Convoluc¸a˜o Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Transformada inversa de Laplace - me´todo da expansa˜o em frac¸o˜es parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 Diagrama de blocos 30 4.1 Montagem direta de diagramas de blocos . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Montagem em se´rie de digramas de blocos . . . . . . . . . . . 32 4.3 Montagem em paralelo de diagramas de blocos . . . . . . . . . 33 5 Modelagem de alguns sistemas lineares 34 5.1 Sistemas massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade . . 34 5.2 Sistema mecaˆnico torcional de um grau de liberdade . . . . . . 35 5.3 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.4 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.5 Sistema massa-mola-amortecedor com 2 graus de liberdade . . 40 6 Linearizac¸a˜o 42 Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 2 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 7 Formas padronizadas de sistemas com paraˆmetros concen- trados 44 7.1 Sistema de ordem zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.2 Sistema de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.3 Sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 8 Func¸a˜o de Transfereˆncia 50 8.1 Resposta ao impulso e convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 52 8.2 Matriz de transfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 9 Crite´rios de Desempenho 55 9.1 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.2 Sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10 Estabilidade de sistemas lineares 63 10.1 Estabilidade para entrada nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 10.2 Estabilidade BIBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 11 Resposta em frequeˆncia 68 11.1 Relac¸a˜o de amplitude e aˆngulo de fase . . . . . . . . . . . . . 68 11.2 Resposta em frequ¨eˆncia de um sistema de primeira ordem . . . 70 11.3 Resposta em frequ¨eˆncia de um sistema de segunda ordem . . . 70 11.4 Resposta em frequ¨eˆncia de um integrador puro . . . . . . . . . 71 11.5 Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 11.5.1 Diagramas de Bode para o integrador puro . . . . . . . 71 11.5.2 Diarama de Bode de sistemas de primeira ordem . . . . 72 11.5.3 Diagramas de Bode para sistemas de primeira ordem em se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 11.5.4 Diagrama de Bode de sistemas de segunda ordem . . . 75 11.6 Banda de passagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 11.7 Algumas caracter´ısticas em frequ¨eˆncia de sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 11.8 Diagrama de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 11.8.1 Diagrama de Nyquist de sistemas de primeira ordem . 80 11.8.2 Diagrama de Nyquist para sistemas de segunda ordem 81 12 Sistemas de n´ıvel de tanques - introduc¸a˜o a` malha fechada 84 12.1 Sistema de um tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 12.2 Modelo instrumentado do sistema do tanque . . . . . . . . . . 86 12.3 Sistema de dois tanques independentes . . . . . . . . . . . . . 90 12.4 Sistema de dois tanques interligados . . . . . . . . . . . . . . . 91 Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 3 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 12.5 Inclusa˜o do controlador automa´tico . . . . . . . . . . . . . . . 93 12.6 Ana´lise do sistema controlado sujeito a` distu´rbios . . . . . . . 95 13 Malha fechada e malha aberta 98 14 Ana´lise de erro estaciona´rio 99 14.1 Erro estaciona´rio em realimentac¸a˜o unita´ria . . . . . . . . . . 99 14.2 Erro estaciona´rio em realimentac¸a˜o na˜o unita´ria . . . . . . . . 104 15 Lugar das ra´ızes 105 16 Crite´rio de estabilidade de Nyquist 110 16.1 Princ´ıpio do argumento de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 111 17 Ana´lise de estabilidade relativa 117 17.1 Margens de ganho e de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 17.2 Margens de estabilidade no diagrama de Nyquist . . . . . . . . 123 18 Aproximac¸o˜es para sistemas de segunda ordem 125 19 Controladores cla´ssicos 126 19.1 Ac¸a˜o de controle de duas posic¸o˜es (liga ou desliga) . . . . . . . 127 19.2 Ac¸a˜o de controle proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 19.3 Ac¸a˜o de controle integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 19.4 Ac¸a˜o de controle proporcional-integral . . . . . . . . . . . . . 133 19.5 Ac¸a˜o proporcional-derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 19.6 Ac¸a˜o de controle proporcional-integral-derivativo . . . . . . . . 139 19.7 Efeito f´ısico das constantes kp e kd em sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 19.8 Controle PID - Me´todo Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . 145 19.9 Projeto PID anal´ıtico na frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . . . . . . 148 19.10Projeto PID com base no lugar das ra´ızes . . . . . . . . . . . . 152 19.11Controlador em avanc¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 19.12Compensac¸a˜o em atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 19.13Projeto avanc¸o-atraso anal´ıtico na frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . 174 19.14Projeto avanc¸o-atraso com base no lugar das ra´ızes . . . . . . 179 20 Modelo de estados 183 20.1 Representac¸a˜o no espac¸o de estados de equac¸o˜es diferenciais sem derivadas na excitac¸a˜o . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 185 20.2 Representac¸a˜o de sistemas com derivadas na excitac¸a˜o . . . . 187 20.3 Representac¸o˜es canoˆnicas no espac¸o de estados . . . . . . . . . 189 Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 4 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 20.3.1 Forma canoˆnica controla´vel . . . . . . . . . . . . . . . 189 20.3.2 Forma canoˆnica observa´vel . . . . . . . . . . . . . . . . 189 20.4 Autovalores da matriz An×n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 20.5 Relac¸a˜o entre func¸o˜es de transfereˆncia e modelo de estado . . 191 20.6 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de estado - sistemas invariantes no tempo193 20.6.1 Soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . 193 20.7 Matriz de transic¸a˜o de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 20.8 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de estado na˜o homogeˆneas . . . . . . . . 195 21 Realimentac¸a˜o de estados 197 21.1 Caso de regulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 21.2 Fo´rmula de Ackermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 21.3 Caso de rastreador - entrada degrau . . . . . . . . . . . . . . . 205 22 Realimentac¸a˜o da sa´ıda e observadores de estado 216 22.1 Malha fechada com observador - regulador . . . . . . . . . . . 218 22.2 Alocac¸a˜o de po´los do observador . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 22.3 Func¸a˜o de transfereˆncia equivalente para regulador . . . . . . 220 22.4 Malha fechada com observador - rastreador . . . . . . . . . . . 221 23 Bibliografia 231 A Varia´veis-func¸o˜es complexas 232 B Equac¸o˜es diferenciais 234 B.1 Soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 B.2 Determinac¸a˜o da soluc¸a˜o homogeˆnea da equac¸a˜o diferencial . . 235 B.3 Soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o diferencial . . . . . . . . . . . . 236 B.4 Soluc¸a˜o completa da equac¸a˜o diferencial . . . . . . . . . . . . 237 Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 5 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 1 Introduc¸a˜o Apresentam-se a seguir algumas definic¸o˜es ba´sicas. Um sistema associa uma func¸a˜o de entrada x(t) a uma func¸a˜o de sa´ıda y(t). Se o sistema recebe uma ac¸a˜o, apresentara´ uma resposta associada, conforme ilustrado na Figura 1. x(t) y(t) Sistema (Excitac¸a˜o-Entrada) (Resposta-Sa´ıda) Figura 1: Representac¸a˜o de um sistema na forma de diagrama de blocos. Um modelo caracteriza uma representac¸a˜o dos aspectos essenciais de um sistema de forma utiliza´vel. Controlar significa atuar sobre um dado sistema de modo a atingir resul- tados de acordo com um objetivo previamente estabelecido. Usualmente o sistema a ser controlado e´ chamado de planta, ou ainda, de processo. O controlador, ou tambe´m chamado de compensador, e´ um sub-sistema que tem a func¸a˜o de controlar a planta. Em um sistema em malha aberta a sa´ıda do sistema na˜o tem efeito na ac¸a˜o do controle, ou seja, na˜o existe medic¸a˜o da sa´ıda nem realimentac¸a˜o, Figura 2. O desempenho de um sistema de malha aberta depende de uma boa calibrac¸a˜o. Entrada Controlador Atuac¸a˜o Sa´ıda Planta Figura 2: Sistema em malha aberta. Um exemplo de sistema em malha aberta e´ o disparo de um proje´til (problema de bal´ıstica convencional). Apo´s o tiro, o resultado esperado na˜o podera´ ser corrigido. Em um sistema em malha fechada o sinal de sa´ıda possui um efeito direto na ac¸a˜o de controle (sistemas de controle realimentados), Figura 3. A malha fechada implica no uso de realimentac¸a˜o com o objetivo de reduzir o erro do sistema. Os elementos ba´sicos de um sistema de controle em malha fechada sa˜o: a planta, o controlador, o atuador e o elemento de medida (sensor). Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 6 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Entrada Erro Atuac¸a˜o − Controlador Sa´ıda Planta Elemento de medida Figura 3: Sistema em malha fechada. Alguns exemplos de sistemas em malha fechada sa˜o: • Ato de dirigir um carro. A pista representa o objetivo a ser seguido, o carro representa a planta, a sa´ıda e´ a posic¸a˜o do carro, o elemento de medida e´ a visa˜o do motorista, a ac¸a˜o de controle e´ feita de acordo com a habilidade do motorista em func¸a˜o do erro entre a posic¸a˜o do carro e a posic¸a˜o determinada pela pista, e a atuac¸a˜o e´ feita pelos brac¸os do motorista sobre a planta atrave´s do volante do carro. • Sucessivos disparos de proje´teis. A cada tiro, o resultado pode ser veri- ficado pelo atirador e uma compensac¸a˜o pode ser feita para o pro´ximo tiro visando acertar o alvo. Neste caso, nota-se o uso da resposta para fins de reduzir o erro do sistema, caracterizando a realimentac¸a˜o. • Sistema de ar-condicionado ou refrigerador. A temperatura especifi- cada e´ verificada pelo sensor do equipamento, que liga ou desliga con- forme o erro encontrado, buscando manter a temperatura constante conforme a especificac¸a˜o desejada. Verifica-se que a realimentac¸a˜o negativa e´ caracterizada pela determinac¸a˜o do erro entre a entrada desejada e a sa´ıda do sistema. A atuac¸a˜o e´ feita com base nesta diferenc¸a. A realimentac¸a˜o positiva e´ indeseja´vel nos sistemas de controle pois adi- ciona “energia” ao sistema levando a` instabilidade. Um regulador tem como objetivo manter a sa´ıda do sistema em um valor constante. Por exemplo, um sistema de refrigerac¸a˜o que mante´m constante a temperatura de um ambiente. Um rastreador tem como objetivo seguir uma entrada varia´vel. Por exem- plo, um sistema robotizado que segue uma certa trajeto´ria em um processo de soldagem. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 7 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 2 Entradas Padronizadas As entradas padronizadas sa˜o utilizadas na ana´lise de desempenho dos sis- temas. Em geral, a entrada real e´ desconhecida e sa˜o definidos alguns paraˆmetros para avaliar o desempenho dos sistemas de forma objetiva e ho- mogeˆnea. As entradas padronizadas constituem uma boa maneira de prever o de- sempenho do sistema e permitem realizar comparac¸o˜es de sistemas. As principais entradas padronizadas sa˜o apresentadas a seguir. 2.1 Degrau Unita´rio A entrada degrau unita´rio, usualmente denotada por u(t), e´ definida como u(t) = { 1 se t > 0 0 se t ≤ 0 , e esta´ representada graficamente na Figura 4. 1 t u(t) Figura 4: Degrau unita´rio. Um degrau unita´rio com translac¸a˜o e´ dado por: u(t− T ) = { 1 se t > T, 0 se t ≤ T, e esta´ representado na Figura 5. 2.2 Rampa unita´ria A rampa unita´ria, usualmente denotada por r(t), e´ definida como: r(t) = tu(t) = { t se t > 0, 0 se t ≤ 0, e esta´ ilustrada na Figura 6. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 8 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo tT u(t− T ) Figura 5: Degrau unita´rio com translac¸a˜o. t r(t) 45o Figura 6: Rampa unita´ria. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 9 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 2.3 Para´bola unita´ria A para´bola unita´ria e´ definida como: x(t) = 1 2 t2u(t) = { 1 2 t2 se t > 0, 0 se t ≤ 0, e esta´ ilustrada na Figura 7. t x(t) Figura 7: Para´bola unita´ria. 2.4 Func¸a˜o Senoidal A func¸a˜o senoidal de amplitude A, frequ¨eˆncia w e aˆngulo de fase ϕ, e´ dada por: x(t) = Asen(wt+ ϕ). 2.5 Func¸a˜o impulso unita´rio (Delta de Dirac) O impulso unita´rio δ(t) e´ definido como: δ(t) = 0 para t 6= 0, e ∫ +∞ −∞ δ(t)dt = 1, ou seja, possui durac¸a˜o nula, amplitude infinita e a´rea unita´ria, e sua repre- sentac¸a˜o gra´fica usual e´ a da Figura 8. 2.6 Func¸a˜o porta ou pulso unita´rio (Gate) O pulso unita´rio e´ definido como a diferenc¸a entre um degrau unita´rio e outro degrau unita´rio transladado, ou seja, g(t) = u(t)− u(t− T ), Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 10 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo t δ(t)Figura 8: Impulso unita´rio. cujo resultado e´ mostrado na Figura 9. t g(t) T 1 Figura 9: Pulso unita´rio. 2.7 Func¸a˜o se´rie de poteˆncias A se´rie de poteˆncias e´ definida como: x(t) = { a0 + a1t+ a2t 2 + ... se t > 0, 0 se t ≤ 0. 3 Transformada de Laplace A transformada de Laplace e´ um me´todo para resolver equac¸o˜es diferenciais lineares no qual as operac¸o˜es como diferenciac¸a˜o e integrac¸a˜o sa˜o substitu´ıdas Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 11 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo por operac¸o˜es alge´bricas no plano complexo. A componente transito´ria e a de regime permanente podem ser obtidas simultaneamente. Ale´m disso, a transformada de Laplace e´ fundamental para a ana´lise de sistemas via func¸o˜es de transfereˆncia. A transformada de Laplace de uma func¸a˜o f(t) e´ definida por F (s) = L [f(t)] = ∫ ∞ 0 f(t)e−stdt, com s = σ + jw. A transformada inversa de Laplace e´ dada por f(t) = L−1F (s) = 1 2pij ∫ σ+j∞ σ−j∞ F (s)estds, t > 0. A integral de Laplace existira´/convergira´ se σ0 e´ escolhido de forma que lim t→∞ e −σ0tf(t) = 0, (1) onde σ0 e´ chamado de abscissa de convergeˆncia. Para a maioria das func¸o˜es e´ poss´ıvel adotar um valor de σ0 positivo e suficientemente grande tal que a equac¸a˜o (1) e´ satisfeita. Isso sempre sera´ verdadeiro para exponenciais positivas ou para func¸o˜es que crescem a uma taxa menor que uma exponencial. Existem func¸o˜es onde isso na˜o sera´ satisfeito para nenhum valor de σ0, por exemplo, e t2 , que por sorte aparecem raramente nos problemas de engenharia. Exemplo: Calcular L[f(t)] para f(t) = e−at, a = b+ jc. F (s) = L [ e−at ] = ∫ ∞ 0 e−ate−stdt = = ∫ ∞ 0 e−(s+a)tdt = −1 s+ a e−(s+a)t ∣∣∣∣∞ 0 = −1 s+ a [0− 1] = 1 s+ a . A abscissa de convergeˆncia e´ determinada por lim t→∞ ( e−σ0te−at ) = lim t→∞ e −(σ0+b+jc)t = lim t→∞ ( e−(σ0+b)te−jct ) , e para que este limite convirja a zero, enta˜o σ0 + b > 0, ou σ0 > −b. Exemplo: Calcular L[f(t)] para f(t) = cos(wt). E´ poss´ıvel escrever que cos(wt) = 1 2 ( ejwt + e−jwt ) . Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 12 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Logo, L[f(t)] = 1 2 ( L[ejwt] + L[e−jwt] ) = 1 2 ( 1 s− jw + 1 s+ jw ) = s s2 + w2 . lim t→∞ e −σ0t [ 1 2 ( e−jwt + e−jwt ]] = 0, se σ0 > 0. Exemplo: Calcular L[u(t)] para o degrau unita´rio u(t). u(t) = { 0 se t ≤ 0, 1 = e0t se t > 0. Logo, U(s) = L[u(t)] = 1 s+ 0 = 1 s , σ0 > 0. Exemplo: Calcular L[δ(t)] para o impulso unita´rio δ(t). Seja a func¸a˜o f(t) mostrada na Figura 10 e definida por f(t) = 0 se t < 0, 1 t0 se 0 ≤ t ≤ t0, 0 se t0 < t. f(t) t 1 t0 t0 Figura 10: Representac¸a˜o do impulso unita´rio, t0 → 0. O impulso unita´rio pode ser representado como: δ(t) = lim t0→0 f(t). Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 13 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Assim, L[δ(t)] = L [ lim t0→0 f(t) ] = ∫ ∞ 0 lim t0→0 f(t)e−stdt = = lim t0→0 ∫ ∞ 0 f(t)e−stdt = lim t0→0 ∫ t0 0 1 t0 e−stdt = = lim t0→0 1 t0 (−1 s e−st ∣∣∣∣t0 0 ) = lim t0→0 ( 1− e−st0 st0 ) . Aplicando a regra de L’Hopital tem-se que lim t0→0 1− e−st0 st0 = lim t0→0 s e−st0 s = 1. Portanto, L[δ(t)] = 1. 3.1 Propriedades da Transformada de Laplace 3.1.1 Linearidade A transformada de Laplace e´ um operador linear, ou seja, L[α1f1 + α2f2] = α1L(f1) + α2L(f2). Prova: L[α1f1 + α2f2] = ∫ ∞ 0 (α1f1 + α2f2)e −stdt =∫ ∞ 0 α1f1e −stdt+ ∫ ∞ 0 α2f2e −stdt = α1L[f1] + α2L[f2]. 3.1.2 Diferenciac¸a˜o real Se L[f(t)] = F (s), enta˜o, L [ df dt ] = sF (s)− f(0). Prova: L [ df dt ] = ∫ ∞ 0 df dt e−stdt = ∫ ∞ 0 e−stdf. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 14 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Integrando por partes, ∫ udv = uv − ∫ vdu, com u = e−st, dv = df , du = −se−stdt e v = f(t), tem-se,∫ ∞ 0 udv = e−stf(t)|∞0 − ∫ ∞ 0 f(t)(−s)e−stdt = = e−stf(t)|∞0 + ∫ ∞ 0 f(t)s e−stdt = 0− f(0) + sF (s). Portanto, L [ df dt ] = sF (s)− f(0). Generalizando, tem-se: L [ dnf(t) dtn ] = snF (s)− n−1∑ i=0 sn−i−1 ( dif dti ∣∣∣∣∣ t=0 ) . Prova: Seja g = df dt . Logo, L [ dg dt ] = sG(s)− g(0) = sL[g(t)]− g(0) = = sL [ df dt ] − g(0) = s(sF (s)− f(0))− df dt ∣∣∣∣∣ t=0 = = s2F (s)− sf(0)− df dt ∣∣∣∣∣ t=0 . Seja h = dg dt . Logo, L [ dh dt ] = sH(s)− h(0) = sL[h(t)]− h(0) = = sL [ dg dt ] − h(0) = s(sG(s)− g(0))− h(0) = = s2G(s)− sg(0)− h(0) = s2L[g(t)]− sg(0)− h(0) = = s2L [ df dt ] − s df dt ∣∣∣∣∣ t=0 − d 2f dt2 ∣∣∣∣∣ t=0 = = s2(sF (s)− f(0))− s df dt ∣∣∣∣∣ t=0 − d 2f dt2 ∣∣∣∣∣ t=0 = Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 15 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo = s3F (s)− s2f(0)− s df dt ∣∣∣∣∣ t=0 − d 2f dt2 ∣∣∣∣∣ t=0 . Pode-se continuar assim por diante para derivadas de ordem n. Se todas as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas tem-se que: L [ dnf(t) dtn ] = snF (s). Note que derivar no tempo corresponde a multiplicar por s no domı´nio de Laplace quando as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas. 3.1.3 Integrac¸a˜o real Se L[f(t)] = F (s), enta˜o, L [∫ f(t)dt ] = 1 s F (s) + 1 s ∫ f(t)dt ∣∣∣∣ t=0 Quando todas as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas tem-se que: L [∫ f(t)dt ] = F (s) s . Prova: L [∫ f(t)dt ] = ∫ ∞ 0 (∫ f(t)dt ) ︸ ︷︷ ︸ u e−stdt︸ ︷︷ ︸ dv Definindo-se u = ∫ f(t)dt e dv = e−stdt tem-se que v = e −st −s , o que permite fazer uma integrac¸a˜o por partes ( ∫ udv = uv − ∫ vdu). Logo, ∫ ∞ 0 (∫ f(t)dt ) e−stdt = e−st −s ∫ f(t)dt ∣∣∣∣∞ 0 − ∫ ∞ 0 e−st −s f(t)dt = = 1 s ∫ f(t)dt ∣∣∣∣ t=0 + 1 s ∫ ∞ 0 f(t)e−stdt = = 1 s F (s) + 1 s ∫ f(t)dt ∣∣∣∣ t=0 = L [∫ f(t)dt ] . Note que integrar no tempo corresponde a dividir por s no domı´nio de Laplace quando as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 16 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 3.1.4 Teorema do valor final Se L[f(t)] = F (s) e existirem L [ df dt ] , lim t→∞ f(t) e lims→0 sF (s), enta˜o, lim t→∞ f(t) = lims→0 sF (s). Prova: L [ df dt ] = sF (s)− f(0)⇒ L [ df dt ] + f(0) = sF (s), lim s→0 sF (s) = lim s→0 ( L [ df dt ] + f(0) ) = lim s→0 L [ df dt ] + f(0) = = lim s→0 ∫ ∞ 0 df dt e−stdt+ f(0) = ∫ ∞ 0 lim s→0 e−stdf + f(0) =∫ ∞ 0 df + f(0) = f(∞)− f(0) + f(0) = f(∞) = lim t→∞ f(t). 3.1.5 Teorema do valor inicial Se L[f(t)] = F (s) e existirem L [ df dt ] e lim s→∞ sF (s), enta˜o, lim t→0+ f(t) = lim s→∞ sF (s). Prova: lim s→∞ sF (s) = lims→∞ ( L [ df dt ] + f(0) ) = lim s→∞L [ df dt ] + f(0) = = lim s→∞ ∫ ∞ 0 df dt e−stdt+ f(0) = ∫ ∞ 0 lim s→∞ e −stdf + f(0) = f(0) = lim t→0+ f(t). Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 17 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo f(t) f(t− T )u(t− T ) tT Figura 11: Representac¸a˜o da translac¸a˜o de f(t). 3.1.6 Translac¸a˜o real Seja F (s) = L[f(t)], enta˜o, L[f(t− T )u(t− T )] = e−sTF (s). Prova: L [f(t− T )u(t− T )] = ∫ ∞ 0 f(t− T )u(t− T )e−stdt = = ∫ ∞ T f(t− T )u(t− T )e−stdt = ∫ ∞ 0 f(τ)u(τ)e−s(τ+T )dτ = = e−sT ∫ ∞ 0 f(τ)u(τ)e−sτdτ = e−sTF (s), ondeτ = t− T e dτ = dt. t T τ Figura 12: Representac¸a˜o dos eixos t e τ . 3.1.7 Func¸o˜es perio´dicas Para f(t) uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T tem-se que L[f(t)] = 1 1− e−sT F1(s), Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 18 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo onde F1(s) = L[f1(t)] e f1(t) e´ o primeiro per´ıodo de f(t). Prova: f(t) = f1(t)u(t) + f1(t− T )u(t− T ) + f1(t− 2T )u(t− 2T ) + . . . , F (s) = L[f(t)] = L[f1(t)u(t)]+L[f1(t−T )u(t−T )]+L[f1(t−2T )u(t−2T )]+. . . Mas L[f1(t)u(t)] = F1(s), L[f1(t− T )u(t− T )] = e−sTF1(s), L[f1(t− 2T )u(t− 2T )] = e−s2TF1(s), e consequ¨entemente, F (s) = F1(s) + e −sTF1(s) + e −2sTF1(s) + . . . = (1+ e −sT + e−2sT + . . .)F1(s). Como T > 0 tem-se que e−sT = 1 esT < 1. A sequ¨eˆncia 1, 1 esT , 1 e2sT , ..., e´ uma PG de raza˜o 1 esT , cuja soma e´ 1 1−e−sT . Logo, F (s) = 1 1− e−sT F1(s). Verifica-se que o fato de s ser complexo na˜o altera o resultado da PG, ou seja, 1 esT = 1 e(a+jb)T = 1 eaT ejbT , onde eaT > 1 e ejbT e´ perio´dico e limitado. 3.1.8 Diferenciac¸a˜o Complexa Se L[f(t)] = F (s) enta˜o −dF (s) ds = L[tf(t)]. Prova: −dF (s) ds = − d ds ∫ ∞ 0 f(t)e−stdt = − ∫ ∞ 0 d ds ( f(t)e−st ) dt = = − ∫ ∞ 0 f(t) ( −te−st ) dt = ∫ ∞ 0 tf(t)e−stdt = L[tf(t)]. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 19 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 3.1.9 Integrac¸a˜o Complexa Se L[f(t)] = F (s), e existe ∫∞s F (s)ds, enta˜o, L [ f(t) t ] = ∫ ∞ s F (s)ds. Prova:∫ ∞ s F (s)ds = ∫ ∞ s ∫ ∞ 0 f(t)e−stdtds = ∫ ∞ 0 f(t) (∫ ∞ s e−stds ) dt = = ∫ ∞ 0 f(t) −e−st t ∣∣∣∣∣ ∞ s dt = ∫ ∞ 0 f(t) t e−stdt = L [ f(t) t ] . 3.1.10 Translac¸a˜o Complexa Se L[f(t)] = F (s), enta˜o, F (s+ a) = L[e−atf(t)]. Prova: L[e−atf(t)] = ∫ ∞ 0 e−atf(t)e−stdt = = ∫ ∞ 0 f(t)e−(a+s)tdt = ∫ ∞ 0 f(t)e−s¯tdt = F (s¯) = F (s+ a). 3.1.11 Convoluc¸a˜o Real Define-se a convoluc¸a˜o entre f(t) e g(t) como h(t) = f(t) ∗ g(t) = ∫ t 0 f(τ)g(t− τ)dτ. Se L[f(t)] = F (s) e L[g(t)] = G(s), enta˜o, L[f(t) ∗ g(t)] = F (s)G(s). Prova: ∫ t 0 f(τ)g(t− τ)dτ = ∫ ∞ 0 f(τ)g(t− τ)u(t− τ)dτ, pois u(t− τ) = u(−(τ − t)) = { 1 se −(τ − t) > 0 ou τ < t, 0 se −(τ − t) ≤ 0 ou τ ≥ t. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 20 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo t τ Figura 13: Representac¸a˜o de u(t− τ). Seja H(s) = L[h(t)]. Logo, escreve-se: H(s) = L[h(t)] = ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 f(τ)g(t− τ)u(t− τ)dτ e−stdt = = ∫ ∞ 0 f(τ) [∫ ∞ 0 g(t− τ)u(t− τ)e−stdt ] dτ = = ∫ ∞ 0 f(τ) [ e−sτG(s) ] dτ = G(s) ∫ ∞ 0 f(τ)e−sτdτ = G(s)F (s). No caso de sistemas antecipativos e entradas para t < 0, deve-se estender os limites de integrac¸a˜o, ou seja, h(t) = f(t) ∗ g(t) = ∫∞−∞ f(τ)g(t − τ)dτ . Contudo, esta situac¸a˜o na˜o e´ coberta neste material. Exemplo: Calcular a transformada de Laplace da func¸a˜o dente de serra, como ilustrada na Figura 14. O primeiro per´ıdo desta func¸a˜o pode ser constru´ıdo atrave´s da soma de treˆs termos conforme mostrado na Figura 14, ou ainda, f1(t) = A T [tu(t)− (t− T )u(t− T )− Tu(t− T )] . Aplicando a transformada de Laplace a cada um destes termos tem-se: L[tu(t)] = L [∫ u(t)dt ] = 1 s U(s) + 0 = ( 1 s )( 1 s ) = 1 s2 , L[(t− T )u(t− T )] = e−sT 1 s2 , L[Tu(t− T )] = Te−sT 1 s . Portanto, a transformada de Laplace do primeiro per´ıodo da func¸a˜o e´: F1(s) = A T [ 1 s2 − e −sT s2 − Te −sT s ] . Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 21 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo t ttt T TTT A A A f1(t) f1(t) −− A T tu(t) A T (t− T )u(t− T ) Au(t− T ) Figura 14: Dente de serra. Aplicando a propriedade de func¸o˜es perio´dicas tem-se para o dente de serra: F (s) = ( 1 1− e−sT ) F1(s) = ( A Ts2 ) [ 1− (1− Ts)e−sT 1− e−sT ] . 3.2 Transformada inversa de Laplace - me´todo da ex- pansa˜o em frac¸o˜es parciais Este me´todo aplica-se quando X(s) e´ uma func¸a˜o racional (quociente de dois polinoˆmios em s), ou seja, X(s) = Q(s) P (s) , onde Q(s) possui ordem m e P (s) possui ordem n, com m < n. As principais etapas do me´todo sa˜o: 1. Desenvolver Q(s) P (s) em frac¸o˜es parciais na forma X(s) = Q(s) P (s) = c1 r1(s) + c2 r2(s) + . . .+ cn rn(s) , onde ri(s) sa˜o polinoˆmios de grau 1 ou 2. Deve-se encontrar as ra´ızes de P (s) (polinoˆmio na forma fatorada). Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 22 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 2. Calcular as constantes ci, i = 1, . . . , n. 3. Obter a transformada inversa de cada frac¸a˜o parcial, que sa˜o func¸o˜es mais simples. Exemplo: Caso de ra´ızes simples. Seja X(s) = a+ bs (s− µ1)(s− µ2) ; µ1 6= µ2. Pode-se escrever X(s) da seguinte forma: X(s) = a + bs (s− µ1)(s− µ2) = c1 s− µ1 + c2 s− µ2 onde c1 e c2 sa˜o constantes que devem ser determinadas. Multiplicando-se por s− µ1 tem-se: (s− µ1)X(s) = a+ bs s− µ2 = c1 + (s− µ1) c2 s− µ2 . Fazendo s = µ1, pois s pode assumir qualquer valor, tem-se (s− µ1)X(s)|s=µ1 = c1 = a+ bµ1 µ1 − µ2 . De forma ana´loga c2 = (s− µ2)X(s)|s=µ2 = a+ bµ2 µ2 − µ1 . Logo, X(s) = ( a + bµ1 µ1 − µ2 )( 1 s− µ1 ) + ( a+ bµ2 µ2 − µ1 )( 1 s− µ2 ) . A anti-transformada de cada frac¸a˜o parcial pode ser calculada, ou seja, f(t) = L−1[X(s)] = a + bµ1 µ1 − µ2 e µ1t + a + bµ2 µ2 − µ1 e µ2t. Portanto, para n ra´ızes simples tem-se que: ci = (s− µi)X(s)|s=µi, i = 1, 2, . . . , n. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 23 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Exemplo: Ra´ızes Mu´ltiplas. Seja X(s) = a + bs (s− µ1)2(s− µ2) , com µ1 de multiplicidade 2. A expansa˜o em frac¸o˜es parciais torna-se X(s) = a + bs (s− µ1)2(s− µ2) = c1 (s− µ1)2 + c2 (s− µ1) + c3 (s− µ2) . (2) Multiplicando por (s− µ1)2 obte´m-se (s− µ1)2X(s) = a+ bs s− µ2 = c1 + (s− µ1)c2 + (s− µ1)2 s− µ2 c3, (3) e fazendo s = µ1, tem-se que c1 = a+ bµ1 µ1 − µ2 . Derivando a equac¸a˜o (3) com relac¸a˜o a s e fazendo s = µ1 obte´m-se c2, ou seja, c2 = d ds [ (s− µ1)2X(s) ]∣∣∣∣∣ s=µ1 = d ds [ a + bs s− µ2 ]∣∣∣∣∣ s=µ1 = −µ2b− a (µ1 − µ2)2 . Portanto, para q ra´ızes reais e iguais, s = µi, tem-se cp = 1 (p− 1)! [ dp−1 dsp−1 [(s− µi)qX(s)] ]∣∣∣∣∣ s=µi , p = 1, . . . , q. Multiplicando a equac¸a˜o (2) por s− µ2 e fazendo s = µ2 tem-se a+ bs (s− µ1)2 ∣∣∣∣∣ s=µ2 = c3 ⇒ c3 = a+ bµ2 (µ2 − µ1)2 . A anti-transformada de cada frac¸a˜o parcial pode ser calculada como L−1 [ 1 (s− µi)q ] = 1 (q − 1)!t q−1eµit. Exemplo: Determinar a transformada de Laplace de uma equac¸a˜o de se- gunda ordem y¨ + 2ξwny˙ + w 2 ny(t) = γw 2 nf(t), Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 24 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo com as seguintes condic¸o˜es iniciais y(0) = y0 e y˙(0) = v0. Pode-se escrever L[y(t)] = Y (s), L[y˙(t)] = sY (s)− y0 e L[y¨(t)] = s2Y (s)− sy0 − v0. Consequentemente (s2 + 2ξwns+ w 2 n)Y (s)− (s+ 2ξwn)y0 − v0 = γw2nF (s), ou ainda Y (s) = 1 s2 + 2ξwns + w2n [ γw2nF (s) + v0 + (s+ 2ξwn)y0 ] , onde cada termo desta equac¸a˜o pode ser analizado de forma independente devido ao sistema ser linear. Com condic¸o˜es iniciais nulas, y0 = 0 e v0 = 0, tem-se Y (s) = γw2n s2 + 2ξwns+ w2n F (s) = G(s)F (s), onde G(s) = γw2n s2 + 2ξwns+ w2n e´ a func¸a˜o de transfereˆncia que relaciona a entrada a` sa´ıda do sistema e que pressupo˜e condic¸o˜es iniciaisnulas, ou seja, Y (s) = G(s)F (s). Exemplo: Seja um sistema de primeira ordem descrito por a1 dy dt + a0y = b0x ⇒ τ dy dt + y = γx(t). onde τ = a1 a0 e γ = b0 a0 com a condic¸a˜o inicial y(0) = 0. Aplicando a transformada de Laplace, tem-se que L [ τ dy dt + y ] = L[γx(t)]⇒ τsY (s) + Y (s) = γX(s) onde L[y(t)] = Y (s) e L[x(t)] = X(s). Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 25 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo E´ poss´ıvel escrever que Y (s) = γ τs+ 1 X(s), com a seguinte func¸a˜o de transfereˆncia: G(s) = γ τs+ 1 . Considere os casos das entradas apresentadas a seguir. 1. Seja x(t) = u(t) uma entrada do tipo de degrau unita´rio. Logo tem-se que X(s) = L[u(t)] = 1 s e a transformada de Laplace da equac¸a˜o do sistema de primeira ordem torna-se Y (s) = ( γ τs+ 1 ) 1 s . Deseja-se determinar a resposta temporal y(t) atrave´s da expansa˜o em frac¸o˜es parciais, ou seja, Y (s) = ( γ τ s+ 1 τ ) 1 s = ( c1 s+ 1 τ + c2 s ) . (4) Multiplicando (4) por s + 1 τ tem-se γ τs = c1 + (s+ 1 τ ) c2 s , e fazendo s = − 1 τ , pois a equac¸a˜o deve ser va´lida para qualquer s, tem-se γ τ(− 1 τ ) = c1 + 0 ⇒ c1 = −γ. Multiplicando (4) por s e calculando-se para s = 0 tem-se, γ τ s+ 1 τ = c1 s+ 1 τ s+ c2 ⇒ c2 = γ. Logo, Y (s) = ( γ s − γ s+ 1 τ ) . Fazendo a anti-transformada de Laplace tem-se: L−1 [ γ ( 1 s − 1 s + 1 τ )] = γ(1− e− 1τ t) = y(t), t ≥ 0. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 26 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 2. Seja x(t) = δ(t) um impulso unita´rio. A transformada de Laplace do impulso unita´rio e´ X(s) = L[δ(t)] = 1. e a transformada de Laplace da equac¸a˜o do sistema de primeira ordem torna-se Y (s) = G(s) = γ τ s+ 1 τ . A resposta ao impulso pode ser encontrada atrave´s da transformada inversa, ou seja, y(t) = L−1 [ γ τ s+ 1 τ ] = γ τ e− t τ , t ≥ 0, cuja representac¸a˜o gra´fica esta´ na Figura 15. t y(t)γ τ Figura 15: Resposta ao impulso de um sistema de primeira ordem. 3. Seja x(t) = tu(t) uma rampa unita´ria. A transformada de Laplace da rampa unita´ria e´ X(s) = L[tu(t)] = 1 s2 , e a transformada da equac¸a˜o da resposta do sistema de primeira ordem torna-se Y (s) = ( γ τ s+ 1 τ ) 1 s2 = ( c1 s2 + c2 s + c3 s+ 1 τ ) . (5) As constantes da expansa˜o em frac¸o˜es parciais podem enta˜o ser calcu- ladas. Multiplicando (5) por s+ 1 τ e fazendo s = − 1 τ tem-se c3 = γ τ s2 ∣∣∣∣∣ s=− 1 τ = ( γ τ )( −τ 1 )2 = γτ. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 27 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Multiplicando (5) por s2 tem-se γ τ s+ 1 τ = c1 + sc2 + s 2 c3 s + 1 τ , (6) e fazendo s = 0, tem-se c1 = γ τ s+ 1 τ ∣∣∣∣∣ s=0 = γ. Derivando (6) com relac¸a˜o a s obte´m-se −γ τ (s+ 1 τ )2 = c2 + d ds [ s2 c3 s+ 1 τ ] , e fazendo s = 0 obte´m-se c2 = −γ τ ( 1 τ )2 = −γτ. Logo, a transformada de Laplace na forma de frac¸o˜es parciais e´ Y (s) = ( γτ s+ 1 τ + γ s2 − γτ s ) , cuja anti-transformada sera´ dada por y(t) = L−1[Y (s)]⇒ y(t) = γ ( τe− t τ + t− τ ) , t ≥ 0. A resposta temporal e´ ilustrada na Figura 16. τ t y(t) γ resposta entrada Figura 16: Resposta a` rampa unita´ria de sistema de primeira ordem. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 28 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 4. Seja uma entrada senoidal na forma x(t) = senwt. A transformada de Laplace de x(t) e´ X(s) = L[senwt] = w s2 + w2 , e a transformada da equac¸a˜o da resposta do sistema de primeira ordem torna-se Y (s) = ( γ τ s + 1 τ )( w s2 + w2 ) . Como s2 + w2 = (s+ jw)(s− jw) e´ poss´ıvel escrever que( γ τ s+ 1 τ )( w s2 + w2 ) = c1 s+ 1 τ + c2 s+ jw + c3 s− jw. (7) As constantes das frac¸o˜es parciais podem ser calculadas, ou seja, c1 = ( γ τ )( w s2 + w2 )∣∣∣∣ s=− 1 τ = ( γ τ ) [ w (− 1 τ )2 + w2 ] = γwτ 1 + w2τ 2 , c2 = ( γ τ s+ 1 τ )( w s− jw )∣∣∣∣∣ s=−jw = γ w τ (−jw + 1 τ )(−2jw) , c3 = γ w τ (s+ 1 τ )(s+ jw) ∣∣∣∣∣ s=jw = γ w τ (jw + 1 τ )(2jw) . A transformada de Laplace na forma de frac¸o˜es parciais torna-se: Y (s) = γ [( wτ 1+w2τ2 )( 1 s+ 1 τ ) + + w τ (−jw+ 1 τ )(−2jw) ( 1 s+jw ) + w τ (jw+ 1 τ )(2jw) ( 1 (s−jw) )] . A anti-transformada de Laplace pode ser agora determinada, y(t) = L−1[Y (s)]. Para cada um dos termos tem-se: L−1 [ γ wτ 1 + w2τ 2 ( 1 s+ 1 τ )] = γ wτ 1 + w2τ 2 e− t τ , L−1 [ γ w τ (−jw + 1 τ )(−2jw) ( 1 s+ jw )] = γ w τ (−jw + 1 τ )(−2jw)e −jwt, Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 29 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo L−1 [ γ w τ (jw + 1 τ )(2jw) ( 1 s− jw )] = γ w τ (jw + 1 τ )(2jw) ejwt. As fo´rmulas de Euler, ejt = cost+ jsent e e−jt = cost− jsent, podem ser empregadas de forma que y(t) = γ [ wτ 1+w2τ2 e− t τ+ + w τ (−jw+ 1 τ )(−2jw)(coswt− jsenwt)+ + w τ (jw+ 1 τ )(2jw) (coswt+ jsenwt) ] , ou ainda, y(t) = γ wτ 1 + w2τ 2 ( e− t τ − coswt+ 1 τw senwt ) , t ≥ 0. 4 Diagrama de blocos E´ poss´ıvel representar sistemas atrave´s de diagramas de blocos. Os s´ımbolos ba´sicos sa˜o o integrador, o somador e o multiplicador e esta˜o mostrados na Figura 17. ∫ x(t)x(t) y(0) y(t)y(t)y(t) k x1(t) x2(t) xn(t) Integrador Somador Multiplicador Figura 17: Simbologia para diagramas de blocos. O integrador executa a seguinte operac¸a˜o: y(t) = ∫ t 0 x(τ)dτ + y(0). O somador executa: y(t) = x1(t) + x2(t) + . . .+ xn(t). O multiplicador executa: y(t) = kx(t). Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 30 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 4.1 Montagem direta de diagramas de blocos As equac¸o˜es diferencias que representam sistemas lineares usuais podem ser representadas com o uso dos diagramas de blocos. Exemplo: Considere a equac¸a˜o diferencial d3y dt3 + 8 d2y dt2 + 37 dy dt + 50y = u(t). Esta equac¸a˜o pode ser reescrita na forma d3y dt3 = −8d 2y dt2 − 37dy dt − 50y + u(t), (8) que permite a montagem direta do diagrama de blocos da Figura 18. ∫∫∫u(t) y(t) −50 −37 −8 y˙y¨d 3y dt3 Figura 18: Diagrama de blocos correspondente a` equac¸a˜o (8). Exemplo: Seja uma outra equac¸a˜o diferencial que se deseja representar na forma de diagrama de blocos: d3y dt3 + 8 d2y dt2 + 37 dy dt + 50y = 3 du dt + 5u(t). (9) Esta equac¸a˜o pode ser escrita no domı´nio de Laplace como (s3 + 8s2 + 37s+ 50)︸ ︷︷ ︸ D(s) Y = (3s+ 5)︸ ︷︷ ︸ N(s) U, ou tambe´m, D(s)X = U, X = Y N(s) . Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 31 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo O diagrama de blocos de D(s)X = U ja´ foi constru´ıdo anteriormente, bastando substituir y por x na Figura 18. Como Y = N(s)X, ou seja, Y = (3s+ 5)X ⇒ y(t) = 3dx dt + 5x, e os valores de x esta˜o dispon´ıveis no diagrama de blocos, e´ poss´ıvel incluir os termos relacionados a N(s) conforme na Figura 19. ∫∫∫u(t) y(t) −50 −37 −8 3 5 x(t)x˙x¨d 3x dt3 Figura 19: Diagrama de blocos correspondente a` equac¸a˜o (9). 4.2 Montagem em se´rie de digramas de blocos Uma func¸a˜o G(s) representativa de um sistema pode ser fatorada na forma G(s)= G1(s)G2(s) . . .Gm(s). Neste caso, o sistema pode ser visto com uma se´rie de subsistemas. Para evitar a necessidade de um “diferenciador”, os subsistemas devem ser esco- lhidos adequadamente, de forma que o grau do numerador na˜o exceda o grau do denominador em cada subsistema. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 32 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Exemplo: Seja o sistema G(s) = 3s+ 5 s3 + 8s2 + 37s+ 50 = ( 1 s+ 2 ) ︸ ︷︷ ︸ G1(s) ( 3s+ 5 s2 + 6s+ 25 ) ︸ ︷︷ ︸ G2(s) , que permite a construc¸a˜o do diagrama de blocos da Figura 20, onde os sub- sistemas G1(s) e G2(s) foram colocados em se´rie. ∫∫∫u(t) y(t) −2 −6 −25 5 3 Figura 20: Diagrama de blocos de dois sistemas concatenados em se´rie. 4.3 Montagem em paralelo de diagramas de blocos Neste caso a func¸a˜o G(s) do sistema e´ expandida em frac¸o˜es parciais na forma G(s) = G1(s) +G2(s) + . . .+Gm(s), onde Gi(s) representa usualmente sistemas de primeira ordem ou sistemas de segunda ordem. Exemplo: Seja G(s) = 3s+ 5 s3 + 8s2 + 37s+ 50 = −1 17 s+ 2︸ ︷︷ ︸ G1(s) + s 17 + 55 17 s2 + 6s+ 25︸ ︷︷ ︸ G2(s) , cujo diagrama de blocos na forma paralela esta´ representado agora na Figura 21. Nota-se que Y = G(s)U = (G1(s) +G2(s))U = G1(s)U +G2(s)U. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 33 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo ∫∫ ∫u(t) y(t) −2 −6 −25 55 17 1 17 −1 17 Figura 21: Diagrama de blocos com subsistemas em paralelo. 5 Modelagem de alguns sistemas lineares 5.1 Sistemas massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade A Figura 22 apresenta um sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade para o qual e´ aplicada uma forc¸a u(t) e considerada como resposta o deslocamento y(t). Os paraˆmetros do sistema sa˜o: massa m, rigidez da mola k e constante de amortecimento viscoso c. Aplicando a segunda Lei de Newton, obte´m-se a equac¸a˜o diferencial do movimento, ou seja, u− ky − cy˙ = my¨ ⇒ my¨ + cy˙ + ky = u(t). Dividindo-se pela massam e levando para o domı´nio de Laplace, a equac¸a˜o torna-se ( s2 + c m s+ k m ) Y = 1 m U. Portanto, o polinoˆmio caracter´ıstico e´ s2 + c m s + k m = 0, Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 34 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo k c m uu ky cy˙ y, y˙, y¨ Figura 22: Sistema massa-mola-amortecedor e diagrama de corpo livre. que possui duas ra´ızes, que podem ser reais simples, reais duplas ou um par complexo conjugado. A equac¸a˜o diferencial do sistema pode ser escrita como y¨ = 1 m u− c m y˙ − k m y, que permite a construc¸a˜o direta do diagrama de blocos da Figura 23. y1 m u k m c m ∫∫y¨ y˙ − − Figura 23: Diagrama de blocos do sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade. 5.2 Sistema mecaˆnico torcional de um grau de liber- dade O sistema torcional de um grau de liberdade da Figura 24 e´ formado por uma ine´rcia J , uma mola torcional de rigidez k e um amortecimento viscoso Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 35 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo c. O torque aplicado e´ m(t) e o deslocamento angular θ(t). k c J θ θ m(t)m(t) cθ˙ kθ Figura 24: Sistema torcional de um grau de liberdade. A equac¸a˜o diferencial que descreve o movimento do sistema pode ser obtida pela aplicac¸a˜o da Lei de Newton, ou seja, m(t)− kθ − cθ˙ = Jθ¨ ⇒ Jθ¨ + cθ˙ + kθ = m(t). No domı´nio de Laplace escreve-se que( s2 + c J s+ k J ) Θ = 1 J M, cuja equac¸a˜o caracter´ıstica e´ s2 + c J s + k J = 0. O diagrama de blocos correspondente a este sistema e´ apresentado na Figura 25. 5.3 Circuito RC Seja um circuito RC (resistor R e capacitor C em se´rie) ilustrado na Figura 26, tendo como entrada uma tensa˜o v(t) e como sa´ıda a tensa˜o no capacitor vC(t). Os comportamentos do resistor e do capacitor sa˜o descritos por: vR = RiR, iC = C dvC dt , Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 36 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo θ1 J m k J c J ∫∫θ¨ θ˙ − − Figura 25: Diagrama de blocos do sistema torcional de um grau de liberdade. v(t) vC(t) ++ −− i(t) R C∼ Figura 26: Circuito RC. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 37 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo ou ainda no domı´nio de Laplace: VR = RIR, IC = CsVC . Neste caso iR = iC pois os componentes esta˜o em se´rie. Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff, obte´m-se a equac¸a˜o v = vR + vC ⇒ V = RCsVC + VC , ou ainda, ( s+ 1 RC ) VC = 1 RC V. Pode-se representar este sistema na forma de uma func¸a˜o de transfereˆncia como: VC = G(s)V = 1 RC s+ 1 RC V. Verifica-se que este sistema e´ de primeira ordem e que v˙C = 1 RC v − 1 RC vC , o que permite a construc¸a˜o direta do diagrama de blocos da Figura 27. vCv ∫v˙C − 1 RC 1 RC Figura 27: Diagrama de blocos do circuito RC. 5.4 Circuito RLC Seja um circuito formado por um resistor R, um indutor L e um capacitor C em se´rie com uma tensa˜o v(t) de entrada e tendo como sa´ıda a tensa˜o no capacitor vC(t), conforme esquematizado na Figura 28. As leis que governam os componentes do circuito sa˜o: vR = RiR, iC = C dvC dt , vL = L diL dt . Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 38 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo v(t) vC(t) + + −− i(t) R C∼ L Figura 28: Circuito RLC. ou no domı´nio de Laplace: VR = RIR, IC = CsVC VL = LsIL. Como os componentes esta˜o em se´rie, todos apresentam a mesma cor- rente, ou seja, iR = iL = iC = i. Deseja-se escrever a relac¸a˜o entre a entrada v(t) e a sa´ıda vC(t). Con- sequ¨entemente, VR = RI = RCsVC , VL = LsI = Ls(CsVC) = LCs 2VC . Aplicando-se a lei de malhas escreve-se v = vR + vL + vC , e substituindo as tenso˜es calculadas para cada componente tem-se V = RCsVC + LCs 2VC + VC ,( s2 + R L s+ 1 LC ) VC = 1 LC V. A func¸a˜o de transfereˆncia neste caso e´ G(s) = 1 LC s2 + R L s+ 1 LC . A equac¸a˜o diferencial correspondente ao sistema VC(t) = G(s)V (t) pode ser escrita como v¨C = 1 LC v − R L v˙C − 1 LC vC que permite diretamente a representac¸a˜o na forma de diagrama de blocos da Figura 29. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 39 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo vC 1 LC v 1 LC R L ∫∫v¨C v˙C − − Figura 29: Diagrama de blocos para um circuito RLC. 5.5 Sistema massa-mola-amortecedor com 2 graus de liberdade Seja o sistema massa-mola-amoretecedor de dois graus de liberdade repre- sentado na Figura 30. Aplicando a lei de Newton escreve-se para cada massa: k2(y2 − y1) + c2(y˙2 − y˙1)− k1y1 − c1y˙1 + u1(t) = m1y¨1, −k2(y2 − y1)− c2(y˙2 − y˙1) + u2(t) = m2y¨2. Estas equac¸o˜es podem ser escritas na forma matricial como:[ m1 0 0 m2 ] ︸ ︷︷ ︸ M { y¨1 y¨2 } ︸ ︷︷ ︸ y¨ + [ (c1 + c2) −c2 −c2 c2 ] ︸ ︷︷ ︸ C { y˙1 y˙2 } ︸ ︷︷ ︸ y˙ + + [ (k1 + k2) −k2 −k2 k2 ] ︸ ︷︷ ︸ K { y1 y2 } ︸ ︷︷ ︸ y = { u1(t) u2(t) } ︸ ︷︷ ︸ u , ou tambe´m My¨ +Cy˙+Ky = u(t), ondeM e´ a matriz de massa, C e´ a matriz de amortecimento, K e´ a matriz de rigidez, y e´ vetor deslocamento, y˙ e´ o vetor velocidade, y¨ e´ o vetor acelerac¸a˜o e u(t) e´ o vetor de excitac¸a˜o (forc¸as externas aplicadas). Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 40 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo k1 k2 c1 c2 m1 m1 m2 m2 y1 y2 u1(t) u1(t) u2(t) u2(t) k1y1 c1y˙1 k2(y2 − y1) c2(y˙2 − y˙1) y2 > y1 Figura 30: Sistema massa-mola-amortecedor dedois graus de liberdade e diagramas de corpo livre. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 41 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 6 Linearizac¸a˜o Muitos problemas possuem termos na˜o lineares e que dificultam a ana´lise. Uma forma de simplificar estes problemas e´ empregar uma linearizac¸a˜o, que embora seja uma aproximac¸a˜o, normalmente permite a ana´lise do problema. O aspecto central da linearizac¸a˜o e´ a aplicac¸a˜o da se´rie de Taylor, tomando- se ate´ o termo linear. Seja a Figura 31 em que f(x) e´ uma func¸a˜o na˜o linear e se deseja determinar uma aproximac¸a˜o y(x) para f(x) em torno do ponto x0. f, y f(x) y(x) xxo Figura 31: Linearizac¸a˜o. A func¸a˜o f(x) pode ser expandida em se´rie de Taylor como f(x) = f(x0) + df dx ∣∣∣∣∣ x0 (x− x0) 1! + d2f dx2 ∣∣∣∣∣ x0 (x− x0)2 2! + ... Tomando apenas o primeiro e o segundo termos tem-se f(x) ≈ y(x) = f(x0) + df dx ∣∣∣∣∣ x0 (x− x0), em torno do ponto x0, que e´ uma aproximac¸a˜o linearizada para f(x). Exemplo: Seja um tanque conforme a mostrado na Figura 32 no qual a vaza˜o de sa´ıda depende de forma na˜o linear do n´ıvel de l´ıquido no tanque. Neste problema tem-se que: Fi e´ a vaza˜o que entra no tanque, F e´ a vaza˜o que sai do tanque, h e´ a altura do n´ıvel de l´ıquido no tanque, e A e´ a a´rea da sec¸a˜o transversal do tanque. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 42 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo F h Fi Figura 32: Esquema do tanque. A vaza˜o de sa´ıda depende da altura do n´ıvel de l´ıquido do tanque por F = β √ h. A equac¸a˜o diferencial (na˜o linear) para a variac¸a˜o da altura h no tanque e´ A dh dt = Fi − F ⇒ Adh dt + β √ h = Fi. A linearizac¸a˜o deve ser conduzida para o termo na˜o linear correspondente a` func¸a˜o f(h) = √ h. Assim, f(h) ≈ f(h0) + d( √ h) dh ∣∣∣∣∣ h0 (h− h0) = √ h0 + 1 2 h −1 2 0 (h− h0). Substituindo o resultado da linearizac¸a˜o na equac¸a˜o diferencial tem-se A dh dt + β [√ h0 + 1 2 √ h0 (h− h0) ] = Fi, A dh dt + β h 2 √ h0 = Fi − β √ h0 2 , que agora e´ uma equac¸a˜o direfencial linear. Os erros envolvidos na linearizac¸a˜o aumentam a` medida em que se distaˆncia do ponto em torno do qual a func¸a˜o foi linearizada. No caso deste exemplo, a aproximac¸a˜o sera´ va´lida em torno do n´ıvel h0. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 43 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 7 Formas padronizadas de sistemas com paraˆmetros concentrados 7.1 Sistema de ordem zero Um sistema de ordem zero e´ descrito por uma equac¸a˜o diferencial de ordem zero, ou seja, por uma equac¸a˜o alge´brica do tipo a0y = b0x, ou tambe´m y = γx, γ = b0 a0 , onde γ e´ a sensibilidade esta´tica. Um sistema de ordem zero e´ instantaˆneo, sem atraso ou distorc¸a˜o. Um sistema que pode ser considerado sistema de ordem zero e´ o termopar (trans- duz temperatura em voltagem instantaˆneamente, e pode ser linearizado num dado intervalo). 7.2 Sistema de primeira ordem Um sistema de primeira ordem e´ descrito por uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem como a1 dy dt + a0y = b0x, ou no domı´nio de Laplace, (a1s+ a0)Y = b0X. Define-se τ = a1 a0 como a constante de tempo e γ = b0 a0 o ganho ou sensi- bilidade esta´tica. Logo, (τs + 1)Y = γX. A equac¸a˜o homogeˆnea e´ τ y˙ + y = 0 e a equac¸a˜o caracter´ıstica e´ τs + 1 = 0 cuja raiz e´ s = −1 τ . A soluc¸a˜o homogeˆnea da equac¸a˜o diferencial e´ do tipo yh(t) = Ae −t τ . Seja a condic¸a˜o inicial y(0) = y0. Logo, yh(t) = y0e −t τ . Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 44 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Para y0 6= 0 e t = τ , tem-se y(τ) = y0e −1 = 0.3678y0 ⇒ y(τ) y0 = 0.3678. Observa-se que a constante de tempo τ fornece uma medida da velocidade que a resposta do sistema tende a zero. Nota-se que decorrido o tempo τ , a reduc¸a˜o percentual da resposta natural e´ aproximadamente 37% do valor inicial y0, como ilustrado na Figura 33. yh(t) tτ y0 0.3678y0 Figura 33: Resposta homogeˆnea de um sistema de primeira ordem, τ > 0. Seja o caso em que a entrada e´ um degrau unita´rio u(t). Neste caso, a equac¸a˜o diferencial do sistema e´ τ y˙ + y = γu(t). A soluc¸a˜o particular e´ do tipo: yp(t) = C, pois o degrau e´ uma constante para t > 0. A soluc¸a˜o completa sera´ a soma da soluc¸a˜o homogeˆnea e da soluc¸a˜o par- ticular: y(t) = Ae −t τ + C. Seja o caso particular da condic¸a˜o inicial y(0) = 0. Logo, y(0) = 0 = Ae0 + C = A + C ⇒ A = −C, e consequ¨entemente, y(t) = C(1− e−tτ ) E´ poss´ıvel calcular a seguinte derivada y˙(t) = C 1 τ e −t τ . Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 45 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Substituindo y(t) e y˙(t) na equac¸a˜o diferencial tem-se: τC 1 τ e −t τ + C(1− e−tτ ) = γ ⇒ C = γ, e portanto a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´ y(t) = γ(1− e−tτ ), cuja representac¸a˜o gra´fica esta´ na Figura 34. y(t) tτ 0.6321γ γ Figura 34: Soluc¸a˜o completa de sistema de primeira ordem. Verifica-se que para t = τ tem-se y(τ) γ = 1− e−1 = 0.6321, ou seja, para um tempo igual a τ o sistema atingiu aproximadamente 63% da resposta de regime. Um exemplo de sistema de primeira ordem e´ o modelo linearizado do enchimento do tanque dado por A dh dt + β h 2 √ h0 = Fi − β √ h0 2 . Um outro exemplo e´ o circuito RC descrito por RCy˙ + y = u(t), com τ = RC e γ = 1. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 46 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 7.3 Sistema de segunda ordem Um sistema de segunda ordem e´ descrito por uma equac¸a˜o diferencial de segunda ordem como a2y¨ + a1y˙ + a0y(t) = b0x(t) ou y¨ + a1 a2 y˙ + a0 a2 y = b0 a2 x(t). Esta equac¸a˜o de segunda ordem pode ser escrita no domı´nio de Laplace em uma forma padronizada como (s2 + 2ξwns+ w 2 n)Y = γw 2 nX, onde wn = √ a0 a2 , e´ a frequ¨eˆncia natural, ξ = a1 2 √ a0a2 , e´ o fator de amortecimento, e γ = b0 a0 e´ o ganho esta´tico. Note que o ganho esta´tico e´ o fator que multiplicado pela amplitude da entrada resulta no valor de regime (desconsiderando-se os efeitos dinaˆmicos de y˙ e y¨). A resposta natural do sistema e´ baseada na equac¸a˜o homogeˆnea, cuja equac¸a˜o caracter´ıstica e´: s2 + 2ξwns+ w 2 n = 0. As ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica sa˜o s1,2 = −ξwn ± wn √ ξ2 − 1, cuja natureza depende do valor de ξ. Os casos poss´ıveis sa˜o analisados a seguir. Amortecimento subcr´ıtico/sistema sub-amortecido, ξ < 1 No caso de sistema sub-amortecido, ξ < 1, as ra´ızes sa˜o complexas conjugadas e podem ser escritas como s1,2 = −ξwn ± jwn √ 1− ξ2 = σ ± jwd, onde σ = −ξwn e´ a parte real e wd = wn √ 1− ξ2 e´ a parte imagina´ria (caracterizando a frequ¨eˆncia natural amortecida). Estas ra´ızes podem ser representadas no plano complexo como na Figura 35. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 47 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo wn = cte ξ = cte s1 s2 φ wn −ξwn wn √ 1− ξ2 −wn √ 1− ξ2 σ (real) jw (imagina´rio) Figura 35: Representac¸a˜o de um par complexo conjugado no plano complexo. Nesta representac¸a˜o verifica-se que wn e´ o raio do c´ırculo e cosφ = ξ. Observa-se que as ra´ızes s1 e s2 caminham sobre o c´ırculo em func¸a˜o do valor de ξ. A soluc¸a˜o homogeˆnea de um sistema de segunda ordem e´ do tipo yh(t) = A1e s1t +A2e s2t = e−ξwnt(A1e jwdt +A2e −jwdt) = Ae−ξwntsen(wdt+ φ), que caracteriza uma resposta oscilato´ria com frequ¨eˆncia wd. Considere uma entrada do tipo degrau unita´rio, u(t). A soluc¸a˜o particular sera´ do tipoyp = C para t ≥ 0. Logo, y˙p = 0 e y¨p = 0. Substituindo-se na equac¸a˜o do sistema, tem-se, w2nC = γw 2 n ⇒ C = γ. A soluc¸a˜o completa do sistema e´ a soma da soluc¸a˜o particular e da soluc¸a˜o homogeˆnea: y(t) = γ + Ae−ξwntsen(wdt+ φ), onde A e φ sa˜o determinados atrave´s das condic¸o˜es iniciais. Verifica-se da Figura 35 que: senφ = √ 1− ξ2, cosφ = ξ e tanφ = √ 1− ξ2 ξ . No caso em que y(0) = 0 e y˙(0) = 0 (condic¸o˜es iniciais nulas) tem-se y(0) = γ + Asenφ = 0⇒ A = −γ√ 1− ξ2 , Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 48 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo y˙(0) = A(−ξwn)senφ+ Awdcosφ = 0⇒ tanφ = wd ξwn = √ 1− ξ2 ξ . Sistema criticamente amortecido, ξ = 1 No caso criticamente amortecido, ξ = 1, as ra´ızes sa˜o reais e iguais e esta˜o sobre o eixo real no plano complexo, ou seja, s1 = s2 = −ξwn = −wn. A soluc¸a˜o transito´ria (homogeˆnea) e´ yh(t) = A1e −wnt + A2te −wnt, que representa um movimento que na˜o oscila. Considerando a entrada um degrau unita´rio, a soluc¸a˜o completa e´ da forma y(t) = γ + A1e −wnt + A2te −wnt. Com as condic¸o˜es iniciais nulas, y(0) = 0 e y˙(0) = 0, tem-se y(0) = 0 = γ + A1 ⇒ A1 = −γ, y˙(0) = 0 = A1(−wn) + A2 ⇒ A2 = −γwn. Sistema super-amortecido, ξ > 1 No caso de um sistema super-amortecido, ξ > 1, as ra´ızes sa˜o reais e distintas, ou seja, s1 = wn ( −ξ + √ ξ2 − 1 ) = −1 τ1 , s2 = wn ( −ξ − √ ξ2 − 1 ) = −1 τ2 . A resposta transito´ria (soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea) e´ y(t) = A1e −t τ1 + A2e −t τ2 , e a soluc¸a˜o completa, considerando a entrada degrau unita´rio, e´ y(t) = γ + A1e −t τ1 + A2e −t τ2 . Quando as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas, y(0) = 0 e y˙(0) = 0, tem-se A1 = −γτ1 τ1 − τ2 e A2 = γτ2 τ1 − τ2 . Verifica-se que o caso super-amortecido apresenta uma resposta sem cara´ter oscilato´rio como esperado. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 49 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Movimento harmoˆnico simples, sistema na˜o amortecido, ξ = 0 No caso sem amortecimento, as ra´ızes sa˜o complexas conjugadas com parte real nula, ou seja, esta˜o sobre o eixo imagina´rio. Neste caso, o sistema apresentara´ uma resposta transito´ria sem decaimento, caracterizando o mo- vimento harmoˆnico simples, ou seja, wd = wn, φ = 0 e yh(t) = Asen(wnt). 8 Func¸a˜o de Transfereˆncia Seja um sistema que estabelece uma relac¸a˜o entre entrada e sa´ıda esquema- tizada na Figura 36. f(t) y(t) (entrada) (sa´ıda) sistema Figura 36: Relac¸a˜o entre entrada e sa´ıda. Este sistema pode ser descrito por uma equac¸a˜o diferencial do tipo an dny dtn + an−1 dn−1y dtn−1 + . . .+ a1 dy dt + a0y(t) = b0f(t). Se as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas, y(0) = y˙(0) = . . . = yn−1(0) = 0, tem-se atrave´s da transformada de Laplace, que Y (s) F (s) = G(s) = b0 ansn + an−1sn−1 + . . .+ a1s+ a0 , ou ainda Y (s) = G(s)F (s) onde G(s) e´ uma func¸a˜o de transfereˆncia e o sistema pode ser representado conforme esquematizado na Figura 37. F (s) Y (s) G(s) Figura 37: Relac¸a˜o entrada-sa´ıda no domı´nio de Laplace. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 50 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Caso o sistema possua duas entradas tem-se que an dny dtn + an−1 dn−1y dtn−1 + . . .+ a1 dy dt + a0y(t) = b1f1(t) + b2f2(t), cuja representac¸a˜o esta´ na Figura 38. f1(t) f2(t) y(t) sistema Figura 38: Representac¸a˜o de um sistema com duas entradas e uma sa´ıda. Considerando condic¸o˜es iniciais nulas e aplicando a transformada de La- place tem-se que (ans n + an−1s n−1 + . . .+ a1s+ a0)Y (s) = b1F1(s) + b2F2(s), Y (s) = b1 ans n + an−1s n−1 + . . .+ a1s+ a0︸ ︷︷ ︸ G1(s) F1(s)+ b2 ans n + an−1s n−1 + . . .+ a1s+ a0︸ ︷︷ ︸ G2(s) F2(s), ou ainda Y (s) = G1(s)F1(s) +G2(s)F2(s), onde G1(s) e G2(s) sa˜o as func¸o˜es de transferaˆncia que relacionam cada entrada a` sa´ıda, conforme esquematizado na Figura 39. F1(s) F2(s) G1(s) G2(s) Y (s) Figura 39: Representac¸a˜o de um sistema com duas entradas e uma sa´ıda. Para sistemas com mu´ltiplas entradas e mu´ltiplas sa´ıdas, define-se a ma- triz de transfereˆncia como a matriz formada pelas relac¸o˜es entre cada entrada e cada sa´ıda, considerando-se nulas todas as entradas exceto a entrada em questa˜o, e com todas as condic¸o˜es iniciais nulas. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 51 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 8.1 Resposta ao impulso e convoluc¸a˜o Seja um sistema representado por Y (s) = G(s)X(s), onde G(s) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia. Sabe-se que a multiplicac¸a˜o no domı´nio de Laplace e´ equivalente a` con- voluc¸a˜o no domı´nio do tempo. Portanto, y(t) = ∫ t 0 x(τ)g(t− τ)dτ = ∫ t 0 g(τ)x(t− τ)dτ, com g(t) = 0 e x(t) = 0 para t < 0. Seja uma entrada do tipo impulso unita´rio, x(t) = δ(t), com condic¸o˜es iniciais nulas. Logo, X(s) = L[δ(t)] = 1, e enta˜o Y (s) = G(s). Logo, y(t) = L−1[G(s)] = g(t), e´ a resposta ao impulso, ou seja, a transformada de Laplace da resposta ao impulso de um sistema fornece a respectiva func¸a˜o de transfereˆncia. Na pra´tica, e´ poss´ıvel aproximar uma func¸a˜o impulso por uma func¸a˜o pulso de amplitude grande e de durac¸a˜o pequena cuja a´rea seja unita´ria conforme mostrado na Figura 10. Nota-se que quando t0 → 0 o pulso tende ao impulso. Portanto, a resposta de um sistema a um pulso de grande amplitude e de pequena durac¸a˜o (a´rea unita´ria) tende a` resposta do impulso do sistema. 8.2 Matriz de transfereˆncia O conceito de matriz de transfereˆncia e´ aplica´vel ao caso de sistemas com mu´ltiplas entradas e mu´ltiplas sa´ıdas. Considere um sistema com m entradas e n sa´ıdas. As m entradas carac- terizam o vetor de entrada. As n sa´ıdas caracterizam o vetor de sa´ıda. Seja, por exemplo, um sistema com duas entradas e duas sa´ıdas conforme esquematizado na Figura 40. A relac¸a˜o entre as sa´ıdas e as entradas e´ dada por Y1(s) = G11(s)X1(s) +G12(s)X2(s), Y2(s) = G21(s)X1(s) +G22(s)X2(s). Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 52 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo X1(s) X2(s) Y1(s) Y2(s) G11 G12 G21 G22 Figura 40: Representac¸a˜o de sistema com duas entradas e duas sa´ıdas. Escrevendo na forma matricial tem-se que{ Y1(s) Y2(s) } = [ G11(s) G12(s) G21(s) G22(s) ]{ X1(s) X2(s) } , sendo que Gij(s) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia relacionando a i-e´sima sa´ıda com a j-e´sima entrada. Generalizando, para m entradas e n sa´ıdas, tem-se Y(s)n×1 = G(s)n×mX(s)m×1 onde Y(s)n×1 e´ a transformada de Laplace do vetor de sa´ıda, G(s)n×m e´ a matriz de transfereˆncia e X(s)m×1 e´ a transformada de Laplace do vetor de entrada. Exemplo: Considere o sistema da Figura 41 inicialmente em repouso. Sejam as forc¸as u1(t) e u2(t) as entradas e sejam as posic¸o˜es y1(t) e y2(t) as sa´ıdas. As equac¸o˜es do movimento podem ser escritas, ou seja, para a massa m1 tem-se m1y¨1 = c(y˙2 − y˙1)− k1y1 + u1(t), m1y¨1 + c(y˙1 − y˙2) + k1y1 = u1(t), e para a massa m2 tem-se m2y¨2 = −c(y˙2 − y˙1)− k2y2 + u2(t), Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 53 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo k1 k2 c m1 m1 m2 m2 y1 y2 u1(t) u1(t) u2(t) u2(t) k1x1 k2x2c(x˙2 − x˙1) c(x˙2 − x˙1) Figura 41: Sistema massa-mola-amortecedor de dois graus de liberdade. m2y¨2 + c(y˙2 − y˙1) + k2y2 = u2(t). Aplicando a transformada de Laplace a`s duas equac¸o˜es do movimento e considerando condic¸o˜es iniciais nulas tem-se (m1s 2 + cs+ k1)Y1(s)− csY2(s) = U1(s), (m2s 2 + cs+ k2)Y2(s)− csY1(s) = U2(s). Matricialmente pode-se escrever que[ m1s 2 + cs+ k1 −cs −cs m2s2 + cs+ k2] ︸ ︷︷ ︸ G−1 { Y1(s) Y2(s) } = { U1(s) U2(s) } . Portanto, { Y1(s) Y2(s) } = G(s) { U1(s) U2(s) } , onde G(s) = 1 (m1s2 + cs+ k1)(m2s2 + cs+ k2)− c2s2 [ m2s 2 + cs+ k2 cs cs m1s 2 + cs+ k1 ] , e´ a matriz de transfereˆncia, neste caso 2× 2. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 54 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Consequ¨entemente, y1(t) = L−1 [ (m2s 2 + cs+ k2)U1(s) + csU2(s) (m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs+ k2)− c2s2 ] , y2(t) = L−1 [ csU1(s) + (m1s 2 + cs+ k1)U2(s) (m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs+ k2)− c2s2 ] . 9 Crite´rios de Desempenho Esta sec¸a˜o apresenta os principais paraˆmetros de desempenho no tempo de sistemas de primeira e de segunda ordem. 9.1 Sistemas de Primeira Ordem Seja um sistema de primeira ordem dado por a1 dy dt + a0y(t) = b0f(t) ou τ dy dt + y = γf(t), onde τ = a1 a0 e´ a constante de tempo e γ = b0 a0 e´ a sensibilidade esta´tica. A transformada de Laplace correspondente e´ τsY (s) + Y (s) = γF (s), e a respectiva func¸a˜o de transfereˆncia e´ Y (s) F (s) = γ τs + 1 . 1. A resposta ao impulso deste sistema e´ g(t) = γ τ e− t τ , que se encontra ilustrada na Figura 42. 2. A resposta ao degrau, ou resposta indicial, de um sistema de primeira ordem e´ y(t) = γ(1− e− tτ ), que se encontra ilustrada na Figura 43 para dois valores de constante de tempo (τ1 > τ2) e na Figura 44 para dois valores da sensibilidade esta´tica γ1 > γ2. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 55 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo t γ τ (sistema esta´vel) Figura 42: Resposta ao impulso de sistema de primeira ordem, τ > 0. t τ1τ2 Figura 43: Sistema de primeira ordem - resposta ao degrau - τ1 > τ2. tτ γ1 γ2 0, 63γ1 0, 63γ2 y(t) Figura 44: Sistema de primeira ordem - resposta ao degrau - γ1 > γ2. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 56 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo tτ y(t) ∆(t) Figura 45: Sistema de primeira ordem - resposta a` rampa unita´ria. 3. A resposta a` rampa unita´ria e´ dada por y(t) = γ(τe− t τ + t− τ), e esta´ representada na Figura 45. A diferenc¸a entre a rampa e a resposta do sistema e´ dada por ∆(t) = γt− y(t) = γτ(1− e− tτ ), e o erro estaciona´rio e´ lim t→∞∆(t) = γτ. 9.2 Sistema de segunda ordem Seja um sistema de segunda ordem na forma padronizada d2y dt2 + 2ξwn dy dt + w2ny = γw 2 nf(t), onde wn e´ a frequ¨eˆncia natural, ξ e´ o fator de amortecimento e γ e´ o ganho esta´tico. A func¸a˜o de transfereˆncia correspondente e´ Y (s) F (s) = G(s) = γw2n s2 + 2ξwns+ w2n . As ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica sa˜o s1,2 = −ξwn ± wn √ ξ2 − 1︸ ︷︷ ︸ wd , e os treˆs casos importantes de resposta natural podem ser analisados em func¸a˜o do valor de ξ, i.e., Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 57 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo • ξ > 1: sistema superamortecido, comportamento na˜o oscilato´rio, cuja resposta ao impulso e´ y(t) = C1e s1t + C2e s2t. • 0 < ξ < 1: sistema sub-amortecido, comportamento oscilato´rio durante o transito´rio, cuja resposta ao impulso e´ y(t) = C1e −ξwnt(senwdt+ φ). • ξ = 1: sistema criticamente amortecido, na˜o oscilato´rio, cuja resposta ao impulso e´ y(t) = (C1 + C2t)e −ξwnt. O comportamento de um sistema de segunda ordem sub-amortecido e´ normalmente analisado em termos da resposta ao degrau atrave´s de alguns paraˆmetros que permitem uma adequada comparac¸a˜o. Estes paraˆmetros sa˜o brevemente descritos a seguir e ilustrados na Figura 46. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Resposta ao degrau unita´rio A m p li tu d e Tempo (s) tp te ts yp γ eest Figura 46: Sistema de segunda ordem - principais paraˆmetros de desempenho na resposta ao degrau. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 58 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 1. O valor de regime, γ, e´ o valor da resposta do sistema para um tempo grande, ou seja, γ = lim t→∞ y(t). Note que o valor de regime corresponde ao ganho esta´tico do sistema se a entrada for um degrau unita´rio. 2. O erro estaciona´rio, eest, e´ a diferenc¸a entre o valor da entrada e o valor de regime. No caso da entrada degrau, tem-se que: eest = 1− γ. 3. O tempo de subida, ts, e´ o tempo para a resposta passar, por exemplo, de 10% do valor de regime para 90% do valor de regime. 4. O tempo para o pico ma´ximo, tp, e´ o tempo para a resposta atingir o primeiro pico da sobre-elevac¸a˜o (overshoot). 5. O percentual de sobre-sinal, pss, representa o valor do pico em relac¸a˜o ao valor de regime de forma percentual, ou seja, pss = 100 yp − γ γ . A resposta ao degrau e´ y(t) = γ [ 1− e −ξwnt √ 1− ξ2 sen(wdt+ φ) ] , O pico da curva de resposta pode ser determinado por dy dt = 0⇒ ξwnsen(wdt+ φ) = wdcos(wdt+ φ), ou ainda tan(wdt+ φ) = wd ξwn = √ 1− ξ2 ξ = tanφ, para wdt = kpi, k = 0, 1, 2, . . .. O primeiro pico ocorre para wdtp = pi, e enta˜o, tp = pi wd e cosφ = ξ. Substituindo este resultado na equac¸a˜o da resposta ao degrau tem-se que yp = y(tp) = γ 1− e−ξwn pi wd√ 1− ξ2sen ( wd pi wd + φ ) = Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 59 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo = γ 1− e −ξpi√ 1−ξ2√ 1− ξ2 sen(pi + φ) = = γ 1− e −ξpi√ 1−ξ2√ 1− ξ2 (senpi︸ ︷︷ ︸ 0 cosφ+ senφ cospi︸ ︷︷ ︸ −1 ) = = γ 1− e −ξpi√ 1−ξ2√ 1− ξ2 (−senφ) = γ [1 + e −ξpi√1−ξ2 ] . Logo, o pss sera´ dado por: pss = 100 γ [ 1 + e −ξ pi√ 1−ξ2 ] − γ γ = 100e ( −ξpi√ 1−ξ2 ) . Consequ¨entemente pode-se escrever que ξ = ln100 pss√ pi2 + ( ln100 pss )2 . Nota-se que o pss e´ uma medida do fator de amortecimento, ou seja, dado ξ tem-se o pss e vice-versa. Verifica-se que pss|ξ=0 = 100% e pss|ξ=1 = 0%. 6. Constante de tempo de um sistema de segunda ordem As curvas que limitam a resposta de um sistema sa˜o chamadas de en- volto´rias e esta˜o ilustradas na Figura 47. As equac¸o˜es das envolto´rias sa˜o determinadas em func¸a˜o dos pontos cr´ıticos de y(t) e sa˜o dadas por: ev(t) = γ ( 1± e −ξwnt √ 1− ξ2 ) . Considerando a envolto´ria superior, nota-se que: ev(t)|t=0 = γ ( 1 + 1√ 1− ξ2 ) , ev(t)|t= 1 ξwn = γ ( 1 + e−1√ 1− ξ2 ) . Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 60 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo envolto´ria valor de regime (γ) y(t) τ t Figura 47: Curvas envolto´rias. Define-se a constante de tempo, τ , do sistema de segunda ordem como τ = 1 ξwn , pois ev(τ)− γ ev(0)− γ = e−1 1 = 0.3678, que corresponde ao decaimento da envolto´ria com relac¸a˜o ao valor de regime γ de forma semelhante ao caso de um sistema de primeira ordem. 7. O tempo de estabilizac¸a˜o e´ o tempo para o sistema apresentar x% de erro com relac¸a˜o ao valor de regime. O tempo de estabilizac¸a˜o a 5% e´ dado por: γ ( 1 + e − t τ√ 1−ξ2 ) − γ γ ≤ 0.05⇒ e − t τ√ 1− ξ2 ≤ 0.05⇒ e − t τ ≤ 0.05 √ 1− ξ2. E´ poss´ıvel calcular o tempo de estabilizac¸a˜o para alguns valores de ξ. • para ξ = 0.1: e− t τ ≤ 0.05× 0.995⇒ t τ = 3.00. • para ξ = 0.5: e− t τ ≤ 0.05× 0.866⇒ t τ = 3.14. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 61 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo • para ξ = 0.7: e− t τ ≤ 0.05× 0.714⇒ t τ = 3.33. Portanto, uma aproximac¸a˜o usual e´ que te5% ≈ 3.2τ = 3.2 ξwn . Da mesma forma que foi feito para 5% pode-se fazer para 2% e obter que te2% ≈ 4τ = 4 ξwn .8. Decremento logar´ıtmico. Seja uma seno´ide amortecida correspondente a` resposta do sistema, y(t) = Ae−ξwnt(senwdt+ φ), como mostrada na Figura 48. t2 y1 y2 t1 y(t) t Figura 48: Seno´ide amortecida. O per´ıodo e´ dado por T = t2 − t1 e e´ sabido que sen(wdt1 + φ) = sen(wdt2 + φ). A relac¸a˜o entre duas amplitudes consecutivas e´ y1 y2 = Ae−ξwnt1 Ae−ξwnt2 = eξwnT = e ξwn( 2pi wd ) = e 2piξ√ 1−ξ2 . O decremento logaritmico, δl, e´ definido como δl = ln y1 y2 = 2piξ√ 1− ξ2 . Nota-se que δl e´ uma medida do amortecimento do sistema. Para ξ << 1 tem-se a aproximac¸a˜o que δl ≈ 2piξ. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 62 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo 10 Estabilidade de sistemas lineares Um sistema e´ considerado esta´vel se sua resposta na˜o cresce de forma ili- mitada para qualquer condic¸a˜o inicial (resposta natural) ou para qualquer entrada limitada. A ana´lise baseada na resposta natural caracteriza o que se chama de estabilidade de entrada nula e a ana´lise baseada em uma entrada limitada caracteriza a estabilidade BIBO (bounded input - bounded output). 10.1 Estabilidade para entrada nula Seja uma func¸a˜o de transfereˆncia dada por Y (s) F (s) = G(s) = Q(s) P (s) , onde Q(s) e P (s) sa˜o polinoˆmios que representam o numerador e o denomi- nador respectivamente. Estes polinoˆmios sa˜o tais que o grau de Q(s) e´ menor ou igual ao grau de P (s), caracterizando os sistemas na˜o antecipativos. Considerando que na˜o existam cancelamentos entre fatores do numerador e do denominador, as ra´ızes de Q(s) sa˜o denominadas de zeros de G(s), e as ra´ızes de P (s) sa˜o os po´los G(s). Os po´los de G(s) sa˜o os pontos singulares de G(s). Caso existam fatores comuns no numerador e denominar, atenc¸a˜o e´ re- querida como no exemplo de G(s) = (s− 1) (s− 1)(s+ 2) , em que se tem apenas apenas um po´lo que e´ −2. Note que na˜o ha´ singulari- dade para s = 1. Seja uma func¸a˜o de transfereˆncia, sem cancelamentos entre o numerador e o denominador, escrita na forma G(s) = Q(s) (s− p1)(s− p2)(s− p3)m(s− p4)(s− p∗4)(s− p5)(s− p6)(s− p∗6) , cujos po´los esta˜o representados na Figura 49. Os po´los deste sistema podem ser classificados como a seguir. 1. Po´los reais e distintos de multiplicidade 1 e na˜o nulos (p1 e p2). Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 63 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo imagina´rio real po´los esta´veis po´los insta´veis p1 p2p3 p4 p∗4 p5 p6 p∗6 Figura 49: Localizac¸a˜o t´ıpica dos po´los no plano complexo. A contribuic¸a˜o destes po´los na anti-transformada de Laplace gera os termos ilustrados na Figura 50, que podem ser verificados via expansa˜o em frac¸o˜es parciais, ou seja, C1e p1t + C2e p2t. O po´lo p2 > 0 contribui para uma situac¸a˜o de instabilidade. tt y(t)y(t) C1e p1t C2e p2t Figura 50: Contribuic¸a˜o na resposta de po´los reais e distintos e na˜o nulos. 2. Po´los reais mu´ltiplos (p3). A anti-transformada de Laplace gera termos do seguinte tipo:[ C1 + C2t+ C3 2! t2 + . . .+ Cm (m− 1)!t m−1 ] ︸ ︷︷ ︸ a(t) ep3t = a(t)ep3t. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 64 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Treˆs situac¸o˜es podem ocorrer em func¸a˜o da posic¸a˜o do po´lo p3: • se p3 > 0, enta˜o a(t)ep3t → ±∞, quando t→∞. • Se p3 = 0, enta˜o a(t)ep3t = a(t)→ ±∞, quando t→∞. • Se p3 < 0, enta˜o a(t)ep3t → 0, quando t→∞. Nota-se que se p3 ≥ 0 tem-se uma situac¸a˜o de instabilidade. 3. Po´lo simples na origem (p5). A anti-transformada, neste caso, e´ uma constante como ilustrado na Figura 51, que caracteriza uma resposta marginalmente esta´vel (na˜o decresce). t y(t) Figura 51: Anti-transformada correspondente a um po´lo simples na origem. 4. Po´los complexos conjugados (pares (p4,p ∗ 4) e (p6,p ∗ 6)). Neste caso, e´ poss´ıvel escrever que C (s− p4)(s− p∗4) = D (s2 + b2) . A anti-transformada de Laplace e´ do tipo: eatsen(bt + φ) onde a e´ a parte real dos po´los. Nota-se que se a > 0 tem-se uma situac¸a˜o insta´vel. Para o caso particular em que a = 0, ou seja, po´los complexos conjuga- dos sobre o eixo imagina´rio, tem-se resposta senoidal sem decaimento, Figura 53, que caracteriza uma resposta marginalmente esta´vel. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 65 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo tt y(t)y(t) a < 0 a > 0 Figura 52: Efeito de po´los compolexos conjugados. t y(t) Figura 53: Efeito de po´lo com parte real nula. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 66 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo Da ana´lise anterior, e´ poss´ıvel concluir que: • Po´los com parte real negativa, isto e´, localizados no semi-plano es- querdo do plano complexo, contribuem com resposta esta´vel. • Po´los com parte real positiva, isto e´, localizados no semi-plano direito do plano complexo, contribuem com resposta crescente com o tempo ou insta´vel. • Po´los simples com parte real nula, isto e´, sobre o eixo imagina´rio, con- tribuem com resposta constante ou senoidal. • Po´los mu´ltiplos na origem ou sobre o eixo imagina´rio acarretam insta- bilidade. Uma avaliac¸a˜o da estabilidade natural pode ser feita tambe´m atrave´s da resposta ao impulso. Lembrando que Y (s) = G(s)F (s) e que se F (s) = 1, ou seja, f(t) = δ(t) um impulso unita´rio, enta˜o, L−1[Y (s)] = L−1[G(s)] = y(t), onde y(t) e´ a resposta ao impulso do sistema, e que permite verificar a ins- tabilidade se esta crescer de forma ilimitada. Exemplo: Discutir a estabilidade do sistema G1(s) = 1 s . Este sistema possui um po´lo simples na origem, caracterizando uma res- posta natural marginalmente esta´vel. A resposta ao impulso deste sistema e´ um degrau u(t), que e´ limitada. Exemplo: Discutir a estabilidade do sistema G2(s) = 1000 s2+100 . Este sistema possui po´los complexos conjugados sobre o eixo imagina´rio, caracterizando uma resposta senoidal marginalmente esta´vel. A resposta ao impulso deste sistema e´ 100sen(10t)u(t), que e´ limitada. Exemplo: Discutir a estabilidade do sistema G3(s) = 1 s2 . Este sistema possui po´los mu´ltiplos na origem, e e´ portanto insta´vel. A resposta ao impulso deste sistema e´ tu(t), que cresce de forma ilimitada. 10.2 Estabilidade BIBO O conceito de estabilidade BIBO (bounded input - bounded output) estabe- lece que o sistema e´ esta´vel se a resposta permanece limitada para qualquer entrada limitada. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 67 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo A relac¸a˜o entre a resposta Y (s) e a entrada F (s) de um sistema pode ser escrita como Y (s) = G(s)F (s), e usando a propriedade de convoluc¸a˜o pode-se escrever que y(t) = L−1[G(s)F (s)] = g(t) ∗ f(t) = ∫ t 0 g(τ)f(t− τ)dτ. Se a entrada e´ limitada, enta˜o pode-se escrever que |f(t)| ≤M <∞. Para que a resposta seja limitada deseja-se que |y(t)| = ∣∣∣∣ ∫ t 0 g(τ)f(t− τ)dτ ∣∣∣∣ ≤ ∫ t 0 |g(τ)||f(t− τ)|dτ, e consequ¨entemente e´ poss´ıvel escrever que |y(t)| ≤M ∫ t 0 |g(τ)|dτ. Para que a resposta |y(t)| seja limitada, deve-se ter que ∫ t 0 |g(τ)|dτ <∞, que significa que a resposta ao impulso do sistema deve ser limitada. 11 Resposta em frequeˆncia 11.1 Relac¸a˜o de amplitude e aˆngulo de fase A resposta em regime de um sistema linear invariante no tempo a` uma en- trada senoidal e´ tambe´m de forma senoidal, com amplitude e fase distin- tos da entrada e dependentes das caracter´ısticas dinaˆmicas do sistema e da frequeˆncia de entrada. Seja um sistema descrito por Y (s) F (s) = G(s) = Q(s) P (s) , com Q(s) e P (s) polinoˆmios s. Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 68 Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
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