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NOVA SUESC - MATEMÁTICA I - 2011 MATEMÁTICA I [NOVA SUESC] Página 2 UNIDADE I: CONJUNTOS NUMÉRICOS (naturais, inteiros, racionais e reais) 1.1 Frações 1.2 Porcentagem 1.3 Potenciação 1.4 Radicais 1.5 Cálculo do valor de expressões numéricas 1.6 Equações e inequações do 1o grau 1.7 Sistemas de equações do 1o grau 1.8 Equações do 2o grau UNIDADE II: FUNÇÕES DO 1O GRAU 2.1 Conceito, Domínio e Imagem de uma função 2.2 Definição de função do 1º Grau 2.3 Tipos de funções do 1º Grau 2.4 Representação Gráfica das funções do 1º Grau 2.5 Aplicações das Funções do 1º Grau 2.5.1 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau 2.5.2 Ponto de Nivelamento ou Ponto Crítico 2.5.3 Funções: Demanda e Oferta do 1º Grau 2.5.4 Ponto de Equilíbrio de Mercado 2.5.5 Depreciação Linear UNIDADE III: FUNÇÃO DO 2O GRAU 3.1 Definição 3.2 Representação Gráfica 3.3 Valores Máximo e Mínimo de uma função do 2o grau 3.4 Funções Receita e Lucro UNIDADE IV: FUNÇÃO EXPONENCIAL 4.1 Conceituação 4.2 Propriedades da Função Exponencial 4.3 Modelo de Crescimento Exponencial 4.4 Aplicações UNIDADE VI: FUNÇÃO LOGARÍTMICA 5.1 Definição de Logaritmo 5.2 Propriedades dos Logaritmos 5.3 Aplicações de logaritmos UNIDADE VI: LIMITE DE UMA FUNÇÃO 6.1 Noção Intuitiva de Limite 6.2 Definição de limite 6.3 Limite de uma função polinomial 6.4 Limites Laterais 6.5 Continuidade 6.5.1 Noção Intuitiva de Função Contínua 6.5.2 Tipos de Descontinuidade 6.5.3 Aplicações UNIDADE VII: DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 7.1 Definição de Derivada. 7.2 Derivada de uma Função num Ponto 7.3 A Derivada como uma Taxa Variação 7.4 Derivada de funções elementares (f(x) = K, f(x) = xn , f(x) = ex ,f(x) = Lnx 7.5 Regras de Diferenciação (soma, produto e quociente) 7.6 Regra da cadeia 7.7 Elasticidade, custo, receita e produtividade marginais [NOVA SUESC] Página 3 UNIDADE I CONJUNTOS NUMÉRICOS PRINCIPAIS CONJUNTOS NUMÉRICOS a) Conjunto dos números naturais (Ν) Ν = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..........} b) Conjunto dos números inteiros (Ζ) Ζ = {....,-3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ........} c) Conjunto dos números racionais (Q) Q = {x = p / p ∈ Ζ, q ∈ Ζ , q ≠ o} q d) Conjunto dos números irracionais (Q’) - infinitas casas decimais. Q’ = Π (3,1415926...); e (2,718..); raízes de números primos. (2, 3, 5, ...) e) Conjunto dos números reais (ℜ) (denso) ℜ = U (conjunto universo) PRINCÍPIOS BÁSICOS ( + ) . ( + ) = ( + ) ( - ) . ( - ) = ( + ) ( + ) . ( - ) = ( - ) ( - ) . (+) = ( - ) ( +) / ( + ) = ( + ) ( -) / ( - ) = ( + ) ( + ) / ( - ) = ( - ) ( - ) / ( + ) = ( - ) (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 (a + b) . (a - b) = a2 - b2 ax . ay = ax + y ax = ax - y ay a __ \/ xb = x b/a a __ (\/ x )a = x 1.1 FRAÇÕES O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: a de fração; b a de numerador; b de denominador. Se a é múltiplo de b, então é um número natural. Veja um exemplo: [NOVA SUESC] Página 4 A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2. Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário. O significado de uma fração Algumas vezes, a/b é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de a/b ? Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo: Roberval comeu 3/4de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes: Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate. Como se lê uma fração As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ... um meio dois quintos um terço quatro sétimos um quarto sete oitavos um quinto quinze nonos um sexto um décimo um sétimo um centésimo um oitavo um milésimo um nono oito milésimos [NOVA SUESC] Página 5 Classificação das frações Fração própria: o numerador é menor que o denominador: Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. 2.1 - Frações Algébricas 2.1.1 - Definição: Fração algébrica é o quociente da divisão de duas expressões algébricas. Observações: a) Nas frações algébricas o numerador e o denominador são polinômios ou monômios; b) O denominador de uma fração nunca pode ser zero; 2.1.2 - Simplificação: Para simplificar uma fração, basta dividir o numerador e o denominador por divisores comuns. 2.1.3 - Exercícios: Simplificar as diversas frações, admitindo que os denominadores sejam diferentes de zero: a) 10 a2 b = 10b = 2b 15a3 15a 3a b) 8x + 8 = 4/5 10 (x + 1) c) a2 - 9 = (a - 3) a + 3 d) a + 2 = 1 . a2 + 4a + 4 a + 2 e) 12x = 4 x 15 5 f) 12m = 2 m 6a a g) 4x3 = 2 x2 10xy 5y h) 2 x2y = x . 10xy3 5y2 [NOVA SUESC] Página 6 i) 15x2 + 5x = 3x + 1 5x j) (a+b)5 = (a+b)3 (a+b)2 k) x2 - 4 = (x -2) . (x + 2) = x + 2 x - 2 x - 2 l) (x + y)2 = x + y x2 - y2 x - y m) x2 + 6x + 9 = x + 3 2x + 6 2 1.2 PORCENTAGEM É freqüente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: - A gasolina teve um aumento de 15% - Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 - O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. - Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 - Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. - Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. [NOVA SUESC] Página 7 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos: Calcular 10% de 300 Calcular 25% de 200kg Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. EXERCÍCIOS: 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendipor R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 3) Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual é a população ao total dessa cidade se nela residem 60.500 mulheres? Solução: (a) 0,45=45% da população é composta por homens. (b) 0,55=55% da população é composta por mulheres. (c) 0,55=55% da população correspondem a 60.500 mulheres. (d) 100% da população correspondem a 60.500/0,55=110.000 pessoas. 4) Num concurso prestado por certo número de candidatos houve 18% de aprovação, ou seja, 117 candidatos. Determine quantos candidatos foram reprovados nesse concurso. Solução: (a) 0,18=18% dos candidatos equivalem a 117 pessoas. [NOVA SUESC] Página 8 (b) 100% dos candidatos equivalem a 117/0,18 = 650 pessoas. (c) 0,82=82% dos candidatos equivalem a 0,82 . 650 = 533 pessoas. 5) Poderei obter um abatimento de 15% para o pagamento à vista na compra de uma geladeira que custa R$ 900,00. Quanto pagarei pela geladeira nessas condições? Solução: (a) 15% de desconto sobre o preço a vista que é R$ 900,00. (b) 85%=0,85 do preço 900,00 é 0,85*900,00=765,00. 6) Do salário que Paulo recebe, 30% vão para poupança, 20% para aluguel e 35% para alimentação, restando-lhe apenas R$ 225,00. O salário de Paulo é: Solução: (a) 30% para poupança, 20% para aluguel, 35% para alimentação. (b) sobram 15%=0,15 como R$ 225,00. (c) 100% representam 225,00/0,15=1500,00. (Resposta c) Resp: (a) 1.000,00 (b) 1.250,00 (c) 1.500,00 (d) 2.250,00 (e) 2500,00 7) Um comerciante compra 82 kg de feijão e quer vendê-los de modo a poder comprar, com o dinheiro da venda, 100 kg do mesmo feijão. Para tanto, qual deverá ser a taxa de lucro do comerciante sobre a compra? Solucão: (a) 82kg corresponde a 100%. (b) 100kg corresponde a x%. (c) x = 100*100%/82 = 121,95%. (d) O lucro foi de 21,95%. 8) Uma mercadoria que sofre dois reajustes sucessivos de 2% sobre certo preço, passa a valer, em relação ao preço inicial: Solução: (a) A mercadoria custava 100% e passou a custar 100%+2% de 100% = 102%. (b) A mercadoria custava 102% e passou a custar 102%+2% de 102% = 104,04%. (c) A mercadoria passou a custar 104,04%. (Resposta d) Resp: (a) 4% (b) 4,04% (c) 104% (d) 104,04% (e) n.d.a. 9) Uma mercadoria foi aumentada em 20%. Para que volte a ter o preço inicial, qual deve ser o percentual de desconto sobre o novo preço ? Solução: (a) 100% + 20% = 120%. (b) x% de 120% deve ser 100%. (c) x = 100/120 = 0,83333% = 83,33% (d) O desconto deve ser de 100%-83,33%= 16,67%. 10) Um lucro de 30% sobre o preço de venda de uma mercadoria corresponde a um acréscimo sobre o preço de custo, aproximadamente, Solução: Como Venda = Custo + Lucro e Lucro= 30% da Venda, então: (a) Custo + 0,3 Venda = 1 Venda. (b) Custo = 0,7 Venda. (c) Venda = (1/0,7) Custo = 1,4286 do Custo. (d) Venda = Custo + 0,4286 do Custo. (e) A venda sofreu um acréscimo de 42,86% sobre o preço de Custo. (resposta d) Resp: (a) 15% (b) 30% (c) 35,72% (d) 42,86% (e) 60% [NOVA SUESC] Página 9 11) Um computador que custava R$ 800,00 apresentou um lucro de R$ 60,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de venda? Solução: (a) 100% equivale a 800,00. (b) x% equivale a 60,00. (c) x= 60*100/800=7,5 12) Uma mercadoria, que custava R$ 7,50, teve um aumento, passando a custar R$ 10,50. A majoração sobre o preço antigo é de: Solução: (a) 100% correspondia a 7,50. (b) x% corresponde a 10,50. (c) x = 100*10,50/7,50 = 140%. (d) A majoração foi de 40%. (Resposta d) Resp: (a) 10% (b) 20% (c) 30% (d) 40% (e) n.d.a. 13) Um computador que custava R$ 1.000,00 apresentou um lucro de R$ 100,00. Que porcentagem foi o lucro sobre o preço de custo? Solução: (a) 100% equivale ao custo de 900,00. (b) x% equivale à venda 100,00. (c) x= 100*1000/900 = 11,11% 14) Certa mercadoria foi vendida por R$ 2.060,28, com um prejuízo de 12,7% sobre o preço de compra. Por quanto deveria ser vendida essa mercadoria para que houvesse um lucro de 15% sobre o preço de custo? Solução: (a) 100%-12,7% = 87.3% = 0,873 equivale a 2060,28 (b) 100% equivale ao preço de custo 2060,28/0,873=2360,00 (c) 115%=1,15 equivale ao valor 1,15*2360,00=2714,00. 15) Uma mercadoria que custava R$ 20,00 teve um aumento de 25%. Quanto passou a custar essa mercadoria? E quantos por cento devem ser descontados sobre o novo preço, para que volte a custar R$ 20,00? Solução: 100% equivalia a 20,00, logo (a) 125%=1,25 equivale a 1,25*20,00=25,00 (b) 100% equivale a 25,00. (c) x% equivale a 20,00. (d) x=20/25=0,80 = 80%. (e) O desconto deve ser de 20%. 16) Uma pessoa pagou 20% de uma dívida. Sabendo-se que 10% do que resta a pagar correspondem a R$ 562,00 responda: a) Quanto resta pagar? b) Quanto foi pago da dívida? 17) Na compra de um objeto, gastei 2/3 do dinheiro que tinha e ainda me sobraram R$ 40,00. Quanto dinheiro eu tinha? 18) Um auditório com 540 cadeiras está lotado com homens, mulheres e criança O número de mulheres é igual ao de crianças e o número de homens é 2/5 do de mulheres. Quantas crianças estão no auditório? [NOVA SUESC] Página 10 Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 1.3 - POTENCIAÇÃO Definição: Potência é um produto indicado de fatores iguais. Vamos chamar de base o fator que se repete e de expoente o número de vezes pelo qual o fator se multiplica. Assim, a n = a . a . a . a . a n vezes a = base n = expoente 57 é uma potência de base 5 e expoente 7 Potências particulares: • Potência de base 0 - 0n = 0 • Potências de expoente 0 ⇒ a0 = 1, sendo a≠0 • Potências de expoente 1 ⇒ a1= a • Potências de base 10 com expoente inteiro positivo - 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000, o resultado eqüivale sempre à unidade seguida de tantos zeros quantos forem os indicados pelo expoente natural; • Potências de base 10 com expoente inteiro negativo - 10-1 = 0,1 [NOVA SUESC] Página 11 10-2 = 0,01 10-3 = 0,001 etc Operações com potências: • Multiplicação de potências de mesma base ⇒ ab x ac = a b+c • Quociente de Potências de mesma base a b = a b-c (a≠0) a c • Potência de um produto - (axb)n = an x bn • Potência de uma divisão ( a )n = an , sendo (b≠0) ( b ) bn • Potência de uma Potência - (ab)n = a bxn • Potência de expoente negativo a -n = 1 , sendo a ≠0 an • Potência de expoente fracionário - consiste em uma raiz cujo radicando é a base da potência elevado ao numerador do expoente e o índice é o denominador do expoente.m___ an/m = √ an Exercícios: a) 2 2 x 2 4 = 26 b) 4 3 x 4 4 = 47 c) 14 3 x 14 4 = 147 d) a 2 = 1/a a 3 e) Escrever o número 1 como seis potências diferentes e o número zero como cinco potências diferentes. f) Simplificar a expressão: (a3) 4 x (a x b3 x c4 )2 b6 x a13 x c5 1.4 - RADICAIS 1.4.1 - Conceito: n__ √ a = b, onde: [NOVA SUESC] Página 12 a - radicando b - raiz n - índice √ - sinal radical Raiz quadrada de um número inteiro - A operação inversa de elevar ao quadrado é achar a raiz quadrada ou a raiz de índice 2. __ Em geral: x2 = y então, | x | = √ y __ OBS: quando o n = 2 habitualmente só se escreve o sinal radical ( √ ) 1.4.2 - Raiz inteira: Só existe raiz quadrada inteira de números quadrados positivos ou zero, e ainda, não existe raiz quadrada de um número negativo, somente nos números imaginários. exemplos: __ __ __ √ 25 = + ou - 5 √ 16 = + ou - 4 √ 9 = + ou - 3 __ __ __ √ 12, √14, √26 não tem raiz inteira 1.4.3 - A raiz quadrada de um número natural, se não é inteira, é irracional. Exemplos: __ __ __ __ √ 2, √3 , √5 são irracionais e ainda, 1 +√ 2 também Exemplo de dois números irracionais famosos o Π = 3,1415926535 e e = 2,718... 1.4.4 - A raiz cúbica Os números cúbicos inteiros positivos e negativos têm raiz cúbica exata. • Se o radicando for negativo, a raiz será negativa. • Se o radicando for positivo, a raiz será positiva. 1.4.5 - Propriedade fundamental dos radicais n___ nxh_____ √ am = √ a m x h n__ n__ c n_____ √ a x √ b = √ a x b n_ n____ √ a = √ a/b n_ √ b n_ n__ [NOVA SUESC] Página 13 (√a ) m = √ a m m_ n__ m x n___ √ √ a = √ a 1.5 - CÁLCULO DO VALOR DE EXPRESSÃO NUMÉRICA Calcule: a) (-3/5) x (2/3) - (-1/2) x (-3/2) x 8 = b) (+2) - (-5) ÷ (-1) + (-1/2) = (+3) + (-1) (-3) - (+2/3) c) -2(3 - 5) - [-4(2) - 2 (-2) + 3(1) ] = ___ ___ ___ ___ d) √ 72 x 2 √ 12 - 3 √ 24 - √ 48 = ___ ___ ___ __ ___ e) √ 28 - √ 75 - 2√ 27 - √ 7 + √ 12 = __ __ __ __ f) ( 3 √ 2 + √ 3 ) x (√ 3 - 2 √ 2 ) = g) 1 - a - 1 a + 1 = 1 - 1 . a + 1 a - 1 h) x - 1 - x+1 x + 1 x - 1 2 x2 - 1 i) x - x2 - 1 = 1 - x-1 x Calcule o valor de x: a) 2x - x - 1/2 = 2x - 3 ( x - x + 3 ) 2 2 b) 3x - 2 - 5 = 1 - x + 4 2 3 c) 1 + x = 1 - x a≠ 0 b≠ 0 a b d) 5x - 6 - 9x - 8 = 2 x≠ 0 x 5x x [NOVA SUESC] Página 14 1.6 – EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1º GRAU Calcule: a) (-3/5) x (2/3) - (-1/2) x (-3/2) x 8 = b) (+2) - (-5) ÷ (-1) + (-1/2) = (+3) + (-1) (-3) - (+2/3) c) -2(3 - 5) - [-4(2) - 2 (-2) + 3(1) ] = ___ ___ ___ ___ d) √ 72 x 2 √ 12 - 3 √ 24 - √ 48 = ___ ___ ___ __ ___ e) √ 28 - √ 75 - 2√ 27 - √ 7 + √ 12 = __ __ __ __ f) ( 3 √ 2 + √ 3 ) x (√ 3 - 2 √ 2 ) = g) 1 - a - 1 a + 1 = 1 - 1 . a + 1 a - 1 h) x - 1 - x+1 x + 1 x - 1 2 x2 - 1 i) x - x2 - 1 = 1 - x-1 x Calcule o valor de x: a) 2x - x - 1/2 = 2x - 3 ( x - x + 3 ) 2 2 b) 3x - 2 - 5 = 1 - x + 4 2 3 c) 1 + x = 1 - x a≠ 0 b≠ 0 a b d) 5x - 6 - 9x - 8 = 2 x≠ 0 x 5x x 1.6 – EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 1.6.1 - Definições: [NOVA SUESC] Página 15 Desigualdade: é a relação entre dois números ou expressões ligadas por um dos sinais > (maior), < (menor). Inequações: são sentenças que têm ao menos uma incógnita, representada por uma letra e comparada por estes sinais: > (maior), < (menor), ≥ (maior ou igual), ≤ (menor ou igual). 1.6.2 - Propriedades: a) Somando-se ou subtraindo-se o mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, ela não muda de sentido. b) Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo, obtém-se uma desigualdade de mesmo sentido; pelo mesmo número negativo obtém-se uma desigualdade de sentido contrário. c) Eliminam-se os denominadores dos Termos fracionários das desigualdades, multiplicando-se ambos os membros pelo M.M.C. d) Uma inequação apresenta diversas soluções que formam o conjunto-verdade. 1.6.3 - Exercícios: 1.6.3.1) Resolva as inequações: a) 4x - 6 > 3x - 8 b) 13 - x > 4 - 2x c) 4 - 3(2x + 1) ≤ -7x + 16 d) -x + 18 < 20 e) 7(2x - 4) ≥ -5(1 - 2x) -3 f) 3x + 2 - 5x > 1 4 6 g) x - 2 ≥ x - 3 3 h) 2a - 3 < a + 5 3 4 2 i) 2x - 4 + x - 1 > x + 1 + x 3 4 2 j) x - 4 - 2(3 - 2x) < 2x 5 3 1.7 – SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 1.7.1 - Classificação de um sistema quanto ao número de soluções [NOVA SUESC] Página 16 Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única). No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções). Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução). Resumindo, um sistema linear pode ser: a) possível e determinado (solução única); b) possível e indeterminado (infinitas soluções); c) impossível (não tem solução). 1.7.2 - Sistema normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A 0, então o sistema é normal. 1.7.3 - Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por: em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. 1.7.4 - Discussão de um sistema linear Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única. Exemplo: m = n =3 [NOVA SUESC] Página 17 Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. b) possível e indeterminado, se D = Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitasrespectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Exemplo: D = 0, Dx = 0, Dy = 0 e Dz = 0 Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções 1.7. 5 –Exercícios Determine os valores de x e y a) x + 3y = 5 -x –y = 6 b) 2x – 4y = -2 3x + 5y = 0 1.8 – EQUAÇÕES DO 2º GRAU Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com . Exemplos: Equação a b c x²+2x+1 1 2 1 5x-2x²-1 -2 5 -1 Classificação: - Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta. 1º caso: b=0 Considere a equação do 2º grau imcompleta: [NOVA SUESC] Página 18 x²-9=0 » x²=9 » x= » x= 2º caso: c=0 Considere a equação do 2º grau imcompleta: x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x x(x-9)=0 » x=0,9 3º caso: b=c=0 2x²=0 » x=0 Resolução de equações do 2º grau: A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero. - Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara. Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau? Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara: Multiplicamos os dois membros por 4a: 4a²x²+4abx+4ac=0 4a²x²+4abx=-4ac Somamos b² aos dois membros: 4a²x²+4abx+b²=b²-4ac Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta) b²-4ac: (2ax+b)²= 2ax+b= 2ax=-b Logo: ou Fórmula de Bháskara: [NOVA SUESC] Página 19 Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios: 1) 3x²-7x+2=0 a=3, b=-7 e c=2 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na fórmula: = e Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: 2) -x²+4x-4=0 a=-1, b=4 e c=-4 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 Sustituindo na fórmual de Bháskara: » x=2 - Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( ) 3) 5x²-6x+5=0 a=5 b=-6 c=5 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real. Logo: » vazio Propriedades: Duas raízes reais e diferentes [NOVA SUESC] Página 20 Duas raízes reais e iguais Nenhuma raiz real Relações entre coeficientes e raízes Vamos provar as relações descritas acima: Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são: e A soma das raízes será: Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: O produto das raízes será: Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a. Obtendo: Substituindo por e : Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau: x² - Sx + P = 0 Exemplos: [NOVA SUESC] Página 21 1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: a) x² - 4x + 3=0 [Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3: b) 2x² - 6x -8 =0 Sendo a=2, b=-6 e c=-8 c) 4-x² = 0 Sendo a=-1, b=0 e c=4: Resolução de equações fracionárias do 2º grau: Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias. Exemplos resolvidos: a) Onde , pois senão anularia o denominador [Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x Então: Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: » Aplicando a fórmula de Bháskara: Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4} b ) e [Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2) [NOVA SUESC] Página 22 Então: Eliminando os denominadores: » » » Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente: x=-1 » S={-1} Resolução de equações literais do 2º grau: Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita. Equação a b c x² - (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) p Exemplo: Determine o valor da incógnita x. 1) x²-3ax+2a²=0 Aplicando a fórmula de Bháskara: a=1, b=-3a, c=2a² , Logo: x = 2a e x = a » S={a,2a} Resolução de equações biquadradas Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é: onde Exemplo resolvido: 1) Fazendo x² = y , temos Substituindo os valores na equação, temos: y² - 5y + 4 = 0 Aplicando Bháskara: [NOVA SUESC] Página 23 Logo, y = 4 e y`= 1 Voltando a variável x: Como y=x², temos: x²=4 » e x²=1 » Então a solução será » S={-2,-1,1,2} ou simplesmente UNIDADE II 2 – FUNÇÕES DO 1º GRAU 2.1 - CONCEITO, DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência entre conjuntos. Uma função associa a elementos de um conjunto, elementos de outro. Em nosso estudo, os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de ℜ, funções reais de variável real. Sejam X e Y subconjuntos de ℜ. Uma função f: X ⇒ Y é uma lei ou regra que a cada elemento de X faz corresponder um único elemento de Y. Se entre x e y existe uma correspondência tal que a cada valor de x corresponda um valor de y, diz-se que a variável y é uma função da variável x definida no domínio X. y = f ( x ) ⇒ a variável x é denominada variável independente e a variável y, variável dependente. Ao conjunto X denomina-se Domínio da função e é denotado D ( f ), e do conjunto Y, imagem da função, contradomínio ou ainda, campo de existência da função f e é denotado por Im ( f ). Dado x ∈ X, o elemento f ( x ) ∈ Y é chamado o valor da função f no ponto x ou “imagem” de x por f. Diz-se que uma variável y é uma função de uma variável x, quando a cada valor de x corresponda mediante uma certa lei, um valor de y. Exemplos: 1) Se y = 2x + 1, podemos determinar alguns valores do Domínio e da Imagem da função, estabelecendo valores aleatórios para x, e calculando o valor de y. y = 2x + 1 x y [NOVA SUESC] Página 24 -1 2 (-1) + 1 = - 1 0 2 ( 0 ) + 1 = 1 1 2 ( 1 ) + 1 = 3 Domínio Imagem 2,2 – DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO DE 1º GRAU Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 A função linear ou do 1º grau é toda função que associa a cada número real x, o número real ax + b, a ≠ 0 onde, a = coeficiente angular e b = coeficiente linear. Quando a > 0 ⇒ função crescente, isto é, à medida que x cresce, f ( x ) também cresce. Quando a < 0 ⇒ função decrescente, isto é, à medida que x cresce, f ( x ) decresce; 2.4 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS FUNÇÕES DO 1º GRAU O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:a) Para x = 0, temos y = 3 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é . Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. 2.3- TIPOS DE FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU a) Função Crescente ⇒ uma função é crescente quando f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) Exemplo y = x + 1 ⇒ x e y cresce b) Função Decrescente ⇒ uma função é decrescente quando f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) Exemplo y = 1 - 2x ⇒ se x cresce y decresce c) Função Variável [NOVA SUESC] Página 25 Exemplo y = x2 ⇒ x cresce e y decresce e vice versa, dependendo do intervalo considerado na mesma função d) Função Constante É toda função do tipo f ( x ) = K, que associa a qualquer número real um mesmo número real K. D ( f ) = ℜ Im ( f ) = K Observação: A função linear ou do 1º grau é toda função que associa a cada número real x, o número real ax + b, a ≠ 0 onde, a = coeficiente angular e b = coeficiente linear. Quando a > 0 ⇒ função crescente, isto é, à medida que x cresce, f ( x ) também cresce. Quando a < 0 ⇒ função decrescente, isto é, à medida que x cresce, f ( x ) decresce; x y 0 -1 0 Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. 2.5 – APLICAÇÃO DAS FUNÇÕES DO 1º GRAU 2.5.1 – FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO DO 1º GRAU Função Custo A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria, loja, na produção ou aquisição de algum produto. O custo pode possuir duas partes: uma fixa e outra variável. Podemos representar uma função custo usando a seguinte expressão: C(x) = Cf + Cv, onde Cf: custo fixo e Cv:custo variável [NOVA SUESC] Página 26 O gráfico dessa função começa na origem, pois não se tem gasto com a produção se nada produzir. Esses gastos de produção crescem a medida que a produção cresce, o que caracteriza uma função crescente. A Função Custo Total. ou simplesmente Função Custo (C), é a soma das funções Custo Fixo mais Função Custo variável. C = Cf + Cv Seu gráfico nada mais é do a que a translação do gráfico da Função Custo Variável para cima, de um número de unidades iguais a Cf, pois se obtém o Custo Total pela soma do Custo Variável de uma parcela fixa igual a Cf. A partir da função Custo, pode-se determinar a função Custo Médio ou Custo Unitário, que dá o preço médio de custo ou preço por unidade Zero e Equação do 1º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f (x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f (x) = 0. Temos: f (x) = 0 ax + b = 0 x = - b . a Vejamos alguns exemplos: 1. Obtenção do zero da função f (x) = 2x - 5: 2. f(x) = 0 2x - 5 = 0 x = 5 . 2 3. Cálculo da raiz da função g (x) = 3x + 6: g (x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2 4. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h (x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas. O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h (x) = 0; então: h (x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5 Crescimento e decrescimento Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -10 -7 -4 -1 2 5 8 [NOVA SUESC] Página 27 Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico: Regra geral: a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); Justificativa: • para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). • para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). Função Receita A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do número de vendas de determinado produto. R(x) = px , onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas. Função Lucro A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função receita e a função custo. L(x) = R(x) – C(x) Exemplo Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo mensal de R$ 950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários e etc. Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a unidade R$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão no mercado seja equivalente a R$ 120,00 , monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que se tenha lucro. Função Custo total mensal: C(x) = 950 + 41x Função Receita R(x) = 120x Função Lucro L(x) = 120x – (950 + 41x) [NOVA SUESC] Página 28 Lucro líquido na produção de 1000 pistões L(1000) = 120*1000 – (950 + 41 * 1000) L(1000) = 120.000 – 950 + 41000 L(1000) = 120.000 – 41950 L(1000) = 78.050 O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$ 78.050,00. Para que se tenha lucro é preciso que a receita seja maior que o custo. R(x) > C(x)120x > 950 + 41x 120x – 41x > 950 79x > 950 x > 950 / 79 x > 12 2.5.2 – PONTO DE NIVELAMENTO OU PONTO CRÍTICO Dada duas funções, dizemos que os pontos de nivelamento entre elas são os valores de x no momento em que o lucro é nulo. Podemos chamar os pontos de nivelamento de pontos críticos, os pontos onde os gráficos das funções se interceptam são os pontos críticos ou de nivelamento. Exemplo: Considere x a quantidade de peças fabricadas por uma indústria, a função receita R(x) = - x2 + 1000x e a função custo C(x) = 100x + 42500. Determine os pontos de nivelamento. Determinando os pontos de nivelamento: –x² + 1000x = 100x + 42500 –x² + 1000x – 100x – 42500 = 0 –x² + 900x – 42500 = 0 Aplicando Bháskara: ∆ = b2 - 4ac ∆ = 900² - 4 (-1) (- 42500) ∆ = 810.000 – 170.000 ∆ = 640.000 x = (-b ± √∆) / 2a x = (-900 ± √640.000) / 2 (-1) x = (-900 ± 800) / -2 x’ = (-900 + 800) / -2 x’ = -100/-2 x’ = 50 x’’ =(-900-800) / -2 x’’ = -1700 / -2 x’’ = 850 A empresa terá lucro quando 50 < x < 850. 2.5.3 – FUNÇÕES DEMANDA E OFERTA DO 1º GRAU Função demanda - relaciona a quantidade demandada e o preço de um bem. Sabe-se que quando o preço aumenta, a procura diminui e, quando o preço diminui, a procura aumenta. Esta é a Lei de demanda, caracterizada por uma função decrescente. Função oferta - relaciona o preço como função da quantidade ofertada. Ao contrário da função demanda, a oferta é uma função crescente, pois, no aumento dos preços, os fornecedores colocam uma quantidade maior do produto no mercado. Questão 1 Quando o preço de um bem é R$ 35,00; 25 unidades são oferecidas e, quando o preço é R$ 45,00; 40 unidades são oferecidas. Achar a equação de oferta, supondo a linear para x unidades do bem a um preço p. Solução Equação do tipo p = a x + b Temos (25, 35) 25 a + b = 35 (40, 45) 40 a + b = 45 [NOVA SUESC] Página 29 Resolvendo o sistema, temos: a = 2 e b = 55 então p = 2 x + 553 3 3 3 Questão 2 Quando o preço é de R$ 60,00; 10 canetas são vendidas, porém , quando o preço é de R$ 50,00 , são vendidas 16 canetas. Achar a equação de demanda linear para a quantidade x de canetas a um preço p. Solução A equação é do tipo p = a x + b Temos (10, 60) 10 a + b = 60 (16, 50) 16 a + b = 50 Ao resolver o sistema, temos: a = - 5 e b = 230 , assim p = - 5 x + 230 3 3 3 3 Questão 3 Com base nas equações de oferta e demanda dos exemplos 1 e 2, calcule o preço de equilíbrio, mostrando-o graficamente. Solução O preço de equilíbrio é obtido pela solução do sistema formado pelas equações de oferta e demanda, ou seja, as equações s: p = 2 x + 55 e d:p = -5 x + 230 3 3 3 3 Ao resolver o sistema, temos: x = 25 e p = 35. Logo, o preço de equilíbrio é de R$ 35,00. Graficamente Observação As funções de oferta e demanda não são facilmente obtidas, visto que para formulação das mesmas são necessários diversos registros de preços relacionados com a oferta e a demanda se for o caso, de determinado bem no mercado. Se tomarmos como exemplo, os registros de preços e quantidades fornecidos pela tabela abaixo, podemos verificar a impossibilidade de conciliação de um modelo matemático que represente exatamente a função demanda. x (quantidade) 1 2 3 4 5 p (preço) 12 10 8 7 3 Notamos que graficamente os pontos marcados no plano, não refletem o esboço gráfico de funções conhecidas. Procuramos então, determinar uma reta de melhor ajuste às relações entre essas variáveis. Sempre que pretendemos um melhor ajuste, no caso linear, fazemos uso de uma análise de Regressão. Em nosso caso, iremos fazer uso da Regressão Linear, objetivando obter uma função do tipo y = a x + b, cujo gráfico chamamos de reta de melhor ajuste. Os métodos de regressão linear nos permitem calcular as magnitudes dos parâmetros a e b, por meio das fórmulas: Exemplo: achar a reta de melhor ajuste aos pontos da tabela abaixo. 2.5.4 – PONTO DE EQUILIBRIO DE MERCADO Equilíbrio de Mercado Conceito: É o resultado da interação entre as forças de oferta e demanda que são determinadas pelo processo de negociação entre produtores (vendedores) e consumidores [NOVA SUESC] Página 30 (compradores). Em equilíbrio, o preço satisfaz tanto ao consumidor quanto ao produtor de tal forma que a quantidade demandada é igual a quantidade ofertada. Qd = Qs Ponto de equilíbrio – é o preço que iguala a quantidade ofertada e demandada de um bem. É o ponto de intersecção da função demanda e oferta, ou seja, ocorre em um ponto no qual a quantidade ofertada de um artigo é igual a quantidade procurada. P Oferta Demanda Q 1. Suponha que a procura e oferta de um bem podem ser apresentadas pelas seguintes funções: D= – 13P + 520 ; S= 13P – 130 a) Qual o preço de equilíbrio no mercado deste bem? b) Represente graficamente o equilíbrio neste mercado. c) Se num determinado momento o preço fosse de 20 u.m., em que situação estaria o mercado? C1) Como se designa esta situação? C2) Que reações se iriam desencadear no mercado? d) E se o preço fosse 30 ? 2. O mercado do papel A4 pode ser representado da seguinte forma: Q= 6000 – 150 P ; Q= – 1500 + 50P a) Determine o ponto de equilíbrio deste mercado. b) Calcule a despesa dos consumidores e marque-a no gráfico. c) Calcule a elasticidade preço da procura no ponto de equilíbrio e classifique a procura. d) Calcule a elasticidade preço da oferta no ponto de equilíbrio e classifique a oferta. Considere uma alteração nas condições de procura que passa a ser definida por Q= 6000 – 80P e) Aponte razões para esta alteração na procura e represente graficamente o mercado. f) Calcule o novo ponto de equilíbrio e a elasticidade da procura nesse ponto. Compare com a situação da alínea c). 3. Suponha que a procura e a oferta de computadores são dadas pelas expressões: Q= – 40 + 2P ; Q= 160 – 3P a) Identifique as curvas e explique o seu significado. b) Calcule o ponto de equilíbrio no mercado de computadores. c) Represente graficamente o mercado de computadores e a situação de equilíbrio. d) Calcule a elasticidade do preço-procura e preço-oferta no ponto de equilíbrio e classifique-as. 4. Represente graficamente as demandas de mercado dadas por: a) D = 20 – 2P b) D = 100 - P 5 4 [NOVA SUESC] Página 31 5. A demanda de mercado de um produto que é vendido em galões é dado por: D = 8000 – 100P. Determine: a) O intervalo de variação de P; b)O intervalo de variação de D; c) Representar graficamente a função demanda; d) calcular os valores de demanda correspondentes ao preço P = R$ 40,00 e) A que preço a demanda será de 4.500 galões. 6. Seja a demanda de mercado de uma utilidade, comercializada em um mercado, dada por D = 200 – 20P. a) A partir de que preço haverá demanda? b) Qual o valor da demanda para P = 50 reais? c) A que preço a demanda será de 40 unidades? 7. Determine o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades posta à venda e compradas se a função de oferta de um certo produto é: S(P) = P2 + 3P – 70 e a função demanda é D(P) = 410 – P 8. As funções de oferta e demanda para um certo produto são S(P) = 4P + 200 e D(P) = - 3P + 480, respectivamente. Determine o preço de equilíbrio e o número correspondentes de unidades vendidas. 9. Em certa localidade, a função de oferta anual de um produto agrícola é PS 01,03 +−= , em que p é o preço por quilograma e x é a oferta em toneladas. a) Que preço induz uma produção de 500 toneladas? b) Se o preço por quilograma for R$ 3,00 qual a produção anual? c) Qual o ponto de equilíbrio de mercado se a função de demanda anual for D= 10 – 001 P 10. Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$ 10,00 por mês e o custo variável por unidade é R$ 40,00. Qual o ponto de equilíbrio ? 11. O custo fixo de fabricação de um produto é R$ 1000,00 por mês e o custo variável por unidade é de R$ 5,00. Se cada unidade for vendida por R$ 7,00. a) qual o ponto de equilíbrio ? b) Se o produto conseguir reduzir o custo variável por 20%, à custa do aumento do custo fixo na mesma porcentagem, qual o novo ponto de equilíbrio ? c) Qual o aumento do custo fixo necessário para manter inalterado o ponto de equilíbrio (em relação ao item a) quando o custo variável por unidade é reduzido de 30% ? 2.5.5 – DEPRECIAÇÃO LINEAR É a redução de valor de um bem em decorrência de desgaste ou perda de utilidade pelo uso, ação da natureza ou obsolescência. O Método da Depreciação Linear consiste em aplicar-se a taxa de depreciação sempre sobre o mesmo valor (taxa e base de cálculo fixas). Dessa forma, o valor do encargo de depreciação será o mesmo em todos os períodos. Exercícios : O valor de um equipamento hoje é R$ 2.000,00 e daqui a 9 anos será R$ 200,00. Admitindo depreciação linear: a) Qual o valor da máquina daqui a 3 anos? [NOVA SUESC] Página 32 b)Qual o total da depreciação até essa data? c) Daqui a quanto tempo o valor da máquina será nulo ? Uma função linear é da forma f(x) = - ax + b. Como é decrescente, a é negativa. E para t=0, o valor C = 2000. O seja: C = – at + 2000 Calculamos a (9 anos c= 200): 200 = 2000 - a•9 a= (2000-200)/9 = 1800/9 = 200 Logo a equação da depreciação é: C= 2000 – 200 t Para t = 3, C = 2000-200•3 = 1400 a depreciação total é 600. Será nulo o valor: C = 0 0 = 2000 – 200 t , t = 2000/200 = 10 anos Uma máquina foiadquirida pela Empresa Bons Negócios por R$21.600,00. Após 12 anos, essa máquina estará totalmente depreciada, isto é, seu valor será zero. Supondo sua depreciação ocorra de forma linear no tempo, a empresa poderá vender essa máquina, após 4 anos, em reais por que valor? Resposta A depreciação linear é um conceito simples: subtraia do valor presente o valor final e divida pelo tempo. Esse é o valor depreciado por unidade de tempo No caso: o valor presente é R$ 21.600,00 e o valor final é 0, considerando 12 períodos de um ano. Então deprecia (21600 - 0)/12 = 1800 por ano Após o 1º ano = 21600 - 1800 = 19800 Após o 2º ano = 19800 - 1800 = 18000 Após o 3º ano = 18000 - 1800 = 16200 Após o 4º ano = 16200 - 1800 = 14400 Esse é o valor de venda: R$ 14.400,00 UNIDADE III 3 – FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 3.1 – DEFINIÇÃO Dados os números reais a, b e c, com a≠0, chama-se função do segundo grau ou função quadrática a função ℜ→ℜ:f , definida por cbxaxxf ++= 2)( . Exemplos: Mostre os valores dos coeficientes a, b e c. a) 34)( 2 −−= xxxf a= ; b= ; c= b) 324)( 2 −+−= xxxf a= ; b= ; c= c) 26)( xxf = a= ; b= ; c= MÉTODO DE RESOLUÇÃO [NOVA SUESC] Página 33 Para resolver uma equação significa determinar o conjunto solução dessa equação. Para a resolução das equações do 2 º , utilizamos a fórmula resolutiva ou fórmula de Báskara dada abaixo: Se ax2+bx+c=0 e a ≠ 0, então Se 0≥∆ a equação tem raízes reais >∆ =∆ distintas raízes duas possui 0 íguais raízes duas possui 0 Se 0<∆ a equação não tem raízes reais. Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau : Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Em termos de representação gráfica, são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x. Exemplos: 10 Calcule os zeros das funções abaixo: a) 67)( 2 +−= xxxf b) 62)( 2 +−= xxxg 3.3 - Vértice da Parábola : Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou um ponto de ordenada mínima. A esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por V(xv,yv) onde a y a bx vv 4 e 2 ∆−=−= (x) abscissa do vértice (y) ordenada do vértice assim: Exemplos: a) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função 23)( 2 +−= xxxf Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau : 3.2 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Examinando os gráficos abaixo, observa-se que: V yv ∆−− aa bV 4 , 2 a bx 2 ∆±−= , onde acb 42 −=∆ [NOVA SUESC] Página 34 xv o x o xv x yv V 3.3 - VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou um ponto de ordenada mínima. A esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por V(xv,yv) onde a y a bx vv 4 e 2 ∆−=−= (x) abscissa do vértice (y) ordenada do vértice assim: Exemplos: Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função 23)( 2 +−= xxxf Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau : Resolva e analise o gráfico das seguintes equações: a) x2 - x -20 =0 b) x2 +6x +9 =0 c) x2 -7x +12 = 0 d) 3x2 + 2x -1 = 0 e) x2 -2x -1 = 0 f) x2 + 4x - 5 = 0 g) -16 x2 + 8x -1 = 0 h) x2 - 9 = 2x2 + 6x i) x2 -2x = 0 Se a > 0, a yv 4 ∆−= é o valor mínimo da função. Se a < 0, a yv 4 ∆−= é o valor máximo da função. ∆−− aa bV 4 , 2 [NOVA SUESC] Página 35 j) x2 - 9 = 0 3.4 – FUNÇÕES RECEITA E LUCRO Função Receita A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do número de vendas de determinado produto. R(x) = px , onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas. Função Lucro A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função receita e a função custo. L(x) = R(x) – C(x) 1 - Exemplo Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo mensal de R$ 950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários e etc. Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a unidade R$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão no mercado seja equivalente a R$ 120,00 , monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que se tenha lucro. Função Custo total mensal: C(x) = 950 + 41x Função Receita R(x) = 120x Função Lucro L(x) = 120x – (950 + 41x) Lucro líquido na produção de 1000 pistões L(1000) = 120 . 1000 – (950 + 41 . 1000) L(1000) = 120.000 – 950 + 41000 L(1000) = 120.000 – 41950 L(1000) = 78.050 O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$ 78.050,00. Para que se tenha lucro é preciso que a receita seja maior que o custo. R(x) > C(x) 120x > 950 + 41x 120x – 41x > 950 79x > 950 x > 950 / 79 x > 12 Para ter lucro é preciso vender acima de 12 peças Exercícios : 1 - lucro na venda de x unidades de um produto é dado pela expressão L(x) = - x² + 12x – 32. Pede-se: a) o lucro na venda de 7 unidades do produto. b) a quantidade vendida para um lucro zero. c) o intervalo para o qual L(x) > 0. d) o intervalo para o qual L(x) < 0. e) a quantidade vendida para que o lucro seja o maior possível. [NOVA SUESC] Página 36 f) o gráfico de L(x). 2 - A demanda de um produto é dada pela expressão p = - x + 30 ,Onde 3 p é o preço x a quantidade. Estabeleça: a) Os valores de x para que exista p. a) A equação da receita e seu gráfico. b) A receita média e o gráfico. c) A função lucro, quando o custo associado é C(x) = 10x + 120 3 d) A quantidade vendida para que a receita seja máxima. e) A quantidade vendida para um lucro máximo. f) O gráfico do lucro, identificando a área de lucro e de prejuízo. 3 - Um produto tem seu custo unitário de produção fixado em R$ 4,00 e um custo fixo associado de R$ 30,00. Sendo a equação de demanda x = 60 – 6p, onde x é a quantidade e p o preço, determine: a) Os valores de x para que exista p. b) A receita e seu gráfico. c) O ponto de nivelamento. d) A receita média e o gráfico. e) A produção vendida que proporciona um lucro máximo. 4 - Um produto tem sua demanda expressa por p = 24 – 2x, onde p é o preço e x a quantidade. Sendo o custo C(x) = 4x + 32, pede-se: a) Os valores de x para que exista p. b) A função receita e seu gráfico. c) A função receita média e seu gráfico. d) A função lucro e seu gráfico. e) O intervalo de lucro e o de prejuízo. f) A quantidade vendida para um lucro máximo. 5 - A demanda de um bem é dada por x = 18 – p/2, onde p é o preço e x quantidade, sendo o custo associado C(x) = 6x + 72. Pede-se: a) Os valores de x para os quais existe p. b) A função receita e gráfico. c) A função lucro e gráfico. d) A quantidade vendida para uma receita máxima. e) A quantidade vendida para um lucro mínimo. 6 - A demanda de um bem é dada por x = 12 – p e o custo total associado é C(x) = 3x + 6. Pede-se:3 a) A receita total e o gráfico. b) O ponto de nivelamento. c) O lucro total e gráfico. d) A quantidade vendida que maximiza a receita. e) A quantidade vendida que maximiza o lucro. [NOVA SUESC] Página 37 7 - O custo unitário de fabricação de um bem é de R$ 50,00, porém quando o preço de venda é x reais, a quantidade mensal de unidades vendidas do produto é dada por n(x) = 120 – x. Pede-se: a) A expressão do lucro mensal como função do preço x de venda. b) O preço de venda x que proporciona o lucro máximo. UNIDADE IV 4 - FUNÇÃO EXPONENCIAL 4.1 - CONCEITUAÇÃO Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. A função f:IRÆIR+ definida por f(x)=ax, com a ∈ IR+ e a≠1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero). DEFINIÇÃO A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é: Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por: GRÁFICOS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Função exponencial 0 < a < 1 Função exponencial a > 1 ● Domínio = lR ● Domínio = lR [NOVA SUESC] Página 38 ● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR ● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR 4.2 - PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então: ax ay= ax + y ax / ay= ax - y (ax) y= ax.y (a b)x = ax bx (a / b)x = ax / bx a-x = 1 / ax GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Temos 2 casos a considerar: Î quando a>1; Î quando 0<a<1. Acompanhe os exemplos seguintes: y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x -2 -1 0 1 2 y 1/4 1/2 1 2 4 1) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x -2 -1 0 1 2 y 4 2 1 1/2 1/4 [NOVA SUESC] Página 39 Nos dois exemplos, podemos observar que a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a>1 0<a<1 f(x) é crescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1 ⇒ y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) f(x) é decrescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1 ⇒ y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes) da função exponencial é D ( f ) = ℜ. A imagem é Im ( f ) = (0, ∞). Podemos também denotar Im ( f ) = (0, ∞) = ℜ+ Com relação ao gráfico da função f ( x ) = a x podemos afirmar: a) a curva que representa está toda acima do eixo das abcissas, pois y = a x > 0 para todo x ∈ ℜ; b) corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1); c) f ( x ) = a x é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. Exercícios: 1) Construir por pontos, um esboço gráfico das funções seguintes: [NOVA SUESC] Página 40 a) y = 3 x = b) y = 1 + 3 x = c) y = 2 -x = d) y = ( 1 ) x = 3 e) y = 2 + ( 1 ) x = 3 2) Resolver a equação: n__ a) \/ a = a nx ⇒ x = 1 . n2 b) 2 x² + 2x = 1 ⇒ x = 0 e x = -2 c) a (x - 1)x = a 3x ⇒ x = 0 e x = 4 d) 3 x = 729 ⇒ x = 6 UNIDADE V 5 - FUNÇÃO LOGARITMICA A figura 1 que se encontram no item família de funções exponenciais sugere que se b > 0 e b 1, então o gráfico de y = satisfaz o teste da reta horizontal, e isso implica que a função f (x) = tem uma inversa. Para encontrar uma fórmula para esta inversa (com x como variável independente), podemos resolver a equação x = para y com uma função de x. Isto pode ser feito tomando o logaritmo na base de b de ambos os lados desta equação. Isto dá lugar a = ( ) Porém, se pensarmos ( ) como expoente ao qual b se deve ser elevado para produzir , então fica evidente que ( ). Assim, pode ser reescrito como y = 5.1 - DEFINIÇÃO DE LOGARITMO sendo b>0 ,a>0 e a≠1 a= base do logaritmo b= logaritmando ou antilogaritmo x= logaritmo bxba a x log =⇔= :obtemos log igualdade Na bx a= [NOVA SUESC] Página 41 Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma: Função crescente Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma: Função decrescente Características do gráfico da função logarítmica, y = logax O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0. Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1. Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R. Consequências da definição Sendo b>0 ,a>0 e a≠1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas consequências da definição de logaritmo: Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0, é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo 15 pois 01log 3) 164 pois 216log 2) 322 pois 532log 1) :Exemplos 0 5 2 4 5 2 == == == [NOVA SUESC] Página 42 conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. Exemplos de funções logarítmicas: f(x) = log2x f(x) = log3x f(x) = log1/2x f(x) = log10x f(x) = log1/3x f(x) = log4x f(x) = log2(x – 1) f(x) = log0,5x Determinando o domínio da função logarítmica Dada a função f(x) = (x – 2)(4 – x), temos as seguintes restrições: 1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4 2) x – 2 > 0 → x > 2 3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3 Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4. Dessa forma, D = {x Є R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4} Gráfico de uma função logarítmica Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações: a¬ > 1 0¬ < a < 1 5.2 - PROPRIEDADE DO PRODUTO DO LOGARITMO Se encontrarmos um logaritmo do tipo: loga(x * y) devemos resolvê-lo, somando o logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a. loga (x * y) = loga x + loga y Exemplo: log2(32 * 16) = log232 + log216 = 5 + 4 = 9 Propriedades do quociente do logaritmo Caso o logaritmo seja do tipo logax/y, devemos resolvê-lo subtraindo o logaritmo do numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a. logax/y = logax – logay Exemplo: log5(625/125) = log5625 – log5125 = 4 – 3 = 1 Propriedade da potência do logaritmo Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja como: logaxm = m logax Exemplo: log3812 = 2 log381 = 2 . 4 = 8 [NOVA SUESC] Página 43 Propriedade da raiz de um logaritmo Essa propriedade é baseada em outra, que é estudada na propriedade da radiciação, ela diz o seguinte: Essa propriedade é aplicada no logaritmo quando: Exemplo: Propriedade da mudança de base Existem situações nas quais precisaremos utilizar a tábua de logaritmos ou uma calculadora científica na determinação do logaritmo de um número. Mas para isso devemos trabalhar o problema no intuito de estabelecer o logaritmo na base 10, pois as tábuas e as calculadoras operam nessas condições,para isso utilizamos a propriedade da mudança de base, que consiste na seguinte definição: Exemplo 5.3 – APLICAÇÕES DE LOGARITMOS Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano, a Física e a Química utilizam as funções logarítmicas nos fenômenos em que os números adquirem valores muito grandes, tornando-os menores, facilitando os cálculos e a construção de gráficos Exemplo 1 Paulo aplicou R$ 800,00 num investimento que rende 3% a.m., a juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o saldo será de R$ 1.200,00? [NOVA SUESC] Página 44 Exemplo 2 Em uma determinada cidade a taxa de crescimento populacional e de 4% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma? População do ano-base = P0 População após um ano = P0 (1,04) = P1 População após dois anos = P0 (1,04)² = P2 População após x anos = P0 (1,04)x = Px Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, temos: Exemplo 3 Em quanto tempo 800 g de uma certa substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 2% ao ano, se reduzirá a 200 g? Use: em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. [NOVA SUESC] Página 45 UNIDADE VI LIMITES DE UMA FUNÇÃO 6.1 - NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: x y = 2x + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3,2 1,05 3,1 1,02 3,04 1,01 3,02 x y = 2x + 1 0,5 2 0,7 2,4 0,9 2,8 0,95 2,9 0,98 2,96 0,99 2,98 Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja: Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos: se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b). [NOVA SUESC] Página 46 Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos: Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3. Escrevemos: Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite. 6.2 - DEFINIÇÃO Quando uma quantidade variável x se aproxima indefinidamente de uma quantidade fixa a, de modo que o valor absoluto da diferença (a - x), possa tornar-se e conservar-se menor do que uma quantidade dada qualquer. Lim f (x) = a x → a 6.3 - LIMITES DE UMA FUNÇÃO POLINOMEAL Limite de uma função polinomial para Seja a função polinomial . Então: Demonstração: [NOVA SUESC] Página 47 Mas: Logo: De forma análoga, para , temos: Exemplos: 6.4 - LIMITES LATERAIS Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos: Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos: Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas: • Se • Se [NOVA SUESC] Página 48 6.5 - CONTINUIDADE Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas: • • • Propriedade das Funções contínuas Se f(x) e g(x) são contínuas em x = a, então: • f(x) g(x) é contínua em a; • f(x) . g(x) é contínua em a; • é contínua em a . 1.2 - Operações fundamentais sobre limites Sendo u e v funções de x e m um número inteiro, demonstram-se que: a) Lim (u ± v) = Lim u ± Lim v b) Lim (u . v) = Lim u . Lim v c) Lim u = Lim u (com Lim v diferente de zero) v Lim v d) Lim (um) = (Lim u) m m__ m______ e) Lim \/ u = \/ Lim u f) Lim Log u = Log Lim u (sendo u e Lim u positivos) g) Lim u . v = (Lim u) Lim v OBSERVAÇÕES: Nas aplicações do cálculo dos limites supõem-se as diversas igualdades simbólicas, que apresentaremos a seguir: Essas igualdades são símbolos; não podemos usar o cálculo algébrico operatório. 1.2.1 - Limite de uma soma a) ( 1 ) + ( ± ∞ ) = ± ∞ [NOVA SUESC] Página 49 b) ( +∞ ) + ( +∞ ) = + ∞ c) ( -∞ ) + ( -∞ ) = - ∞ d) ( +∞ ) + ( -∞ ) = nada se pode afirmar inicialmente O símbolo (∞ - ∞) é um símbolo de indeterminação 1.2.2 - Limite de um produto a) ( ±∞ ) x ( ±∞ ) = + ∞ b) ( +∞ ) x ( -∞ ) = - ∞ c) ( -∞ ) x ( ±∞ ) = - ∞ d) ( a ) x ( +∞ ) = + ∞ ( a > 0 ) e) ( a ) x ( -∞ ) = - ∞ ( a > 0 ) f) ∞ x 0 nada se pode afirmar inicialmente ⇒ O símbolo ( ∞ x 0 ) é um símbolo de indeterminação 1.2.3 - Limite de um quociente a) K = ± ∞ b) - K = ± ∞ c) K = ± 0 d) - K = ± 0 ± 0 ± 0 ± ∞ ± ∞ e) ± ∞ = ± ∞ f) ± ∞ = ± ∞ g) 0 = 0 K - K ∞ ⇒ ± 0 indica que a função tende a zero por valores superiores ou inferiores OBSERVAÇÃO: ⇒ ∞ e 0 nada se pode afirmar inicialmente ∞ 0 1.2.4 - Limite da função exponencial a) k+∞ = + ∞ b) k-∞ = 0 c) 0+∞ = 0 d) 0-∞ = + ∞ e) ( +∞ )+∞ = + ∞ f) ( +∞ )-∞ = 0 g) ( ±∞ )k = ± ∞ h) ( ±∞ )-k = 0 ⇒ 00, ( +∞ )0 e 1+ ∞ são símbolos de indeterminação 1.3 - EXERCÍCIOS 1) Lim x2 + x - 1 = Lim x2 + Lim x - Lim 1 = 4 + 2 - 1 = 5 x → 2 [NOVA SUESC] Página 50 2) Lim x2 - 3x + 1 = Lim x2 - Lim 3x + Lim 1 = 9 - 9 + 1 = 1 x → 3 3) Lim x3 - x2 + x + 5 = Lim x3 - Lim x2 + Lim x + Lim 5 = 0 - 0 + 0 + 5 = 5 x → 0 4) Lim x2 + 2x - 7 = Lim x2 + Lim 2x - Lim 7 = ∞ + ∞ - 7 = ∞ x → ∞ 5) Lim x3 + 2x - 3 = Lim x3 + Lim 2x - Lim 3 = -∞ - ∞ - 3 = - ∞ x → -∞ LIMITES COM INDETERMINAÇÕES EXERCÍCIOS DO CASO “A” 6) Lim (2x2 - 5x + 9) = ∞ - ∞ + 9 (∞ - ∞ é indeterminado) x → ∞ Lim x2 (2x2 - 5x + 9) = Lim x2 ( 2x2 - 5x + 9 ) = x → ∞ x2 x → ∞ x2 x2 x2 Lim x2 ( 2 - 5 + 9 ) = Lim ∞ 2 ( 2 - 5 + 9 ) = ∞ ( 2 - 0 + 0) = ∞ x → ∞ x x2 x → ∞ ∞ ∞2 7) Lim (x2 + 2x - 6) = ∞ x → -∞ 8) Lim (x3 - 3x + 7) = - ∞ x → -∞ EXERCÍCIOS DO CASO “B” 9) Lim 2x3 + 5x2 + x + 1 = ∞ (indeterminado) x → ∞ x3 + 5x - 7 ∞ dividindo por x3 x3 ( 2x3 + 5x2 + x + 1 ) 2 + 5 + 1 + 1 . Lim x3 x3 x3 x3 = Lim x x2 x3 = x → ∞ x3 ( x3 + 5x - 7 ) x → ∞ 1 + 5 - 7 . x3 x3 x3 x2 x3 2 + 5 + 1 + 1 . Lim ∞ ∞2 ∞3 = Lim 2 + 0 + 0 + 0 = 2 x → ∞ 1 + 5 - 7 x → oo 1 + 0 - 0 ∞2 ∞3 [NOVA SUESC] Página 51 10) Lim x4 + 2x2 + 3 = ∞ x → -∞ x2 - x - 1 11) Lim x2 + 3x + 1 = 0 x → -∞ x3 - x2 - 1 EXERCÍCIOS DO CASO“C” OBSERVAÇÃO: O Limite de f(x), racional, inteira, quando x → ± ∞ é igual ao limite do termo de maior grau de f(x) 12) Lim 3x3 + 2x - 1 = Lim 3x3 = Lim 3x = Lim 3(-∞) = -∞ x → -∞ 2x2 - x + 3 x → -∞ 2x2 x → -∞ 2 x → -∞ 2 13) Lim x2 - 1 = 0 x → -∞ x3 + 2x + 2 14) Lim 2x5 + x - 2 = - ∞ x → ∞ -3x2 + x + 5 15) Lim x3 + 8 = ∞ x → ∞ 3x2 + 5x + 1 16) Lim x2 - 3x + 1 = 1 . x → ∞ 4x2 + 1 4 EXERCÍCIOS DO CASO “D” OBSERVAÇÃO: quando x → a (sendo “a” uma constante) LEMBRANÇA (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 a2 - Sx + P = (x - a).(x + b) onde S é a soma (a + b) e P é o produto (a . b) 17) Lim x2 - 4 = 4 - 4 = 0 (indeterminado) x→2 x2 - 5x + 6 4 - 10 + 6 0 Lim (x + 2) (x - 2) = x + 2 = 2 + 2 = - 4 x → 2 (x - 3) (x - 2) x - 3 2 - 3 18) Lim x2 - 7x +10 = -3 . x → 2 x2 - 4 4 19) Lim x2 + 5x - 6 = 7 . x → -6 x2 + 7x + 6 5 20) Lim x2 - 9 = 6 . x → 3 x2 - x - 6 5 21) Lim x2 - 7x + 12 = -1 . [NOVA SUESC] Página 52 x → 3 x2 - x - 6 5 22) Lim x2 - 6x - 7 = 8 . x → 7 x2 - 9x + 14 5 23) Lim x2 - x - 56 = 5 . x → 8 x2 - 10x + 16 2 24) Lim x2 -2x - 15 = 8 . x → 5 x2 - 3x - 10 7 25) Lim x2 + 7x + 12 = 1 . x → -4 x2 + 2x - 8 6 EXERCÍCIOS DO CASO “E” OBSERVAÇÃO: limites de equações com raízes LEMBRANÇA ⇒ (a - b).(a + b) = a2 - b2 ______ _____ 26) Lim \/ x2 + 3 - \/ x2 - 5 = ∞ - ∞ (indeterminado) x → ∞ ______ _____ ______ _____ Lim (\/ x2 + 3 - \/ x2 - 5) (\/ x2 + 3 + \/ x2 - 5) = x → ∞ ______ ______ (\/ x2 + 3 + \/ x2 - 5 ) Lim (x2 + 3) - (x2 - 5) = x2 + 3 - x2 + 5 . = x → ∞ ______ _____ ______ _____ (\/ x2 + 3 + \/ x2 - 5) (\/ x2 + 3 + \/ x2 - 5) Lim 8 = 8 = 0 x → ∞ ______ ______ ∞ + ∞ (\/ ∞2 + 3 + \/ ∞2 - 5 ) _____ __ 27) Lim \/x + 2 - \/ x = 0 x → ∞ ______ __ 28) Lim \/x2 + x - \/ x = ∞ - ∞ (indeterminado) x → ∞ _______ __ ______ ___ Lim (\/ x2 + x - \/ x) (\/ x2 + x + \/ x ) = x → ∞ ______ ___ (\/ x2 + x + \/ x ) Lim x2 + x - x = x2 = x → ∞ ______ ___ ______ __ [NOVA SUESC] Página 53 (\/x2 + x + \/ x ) (\/ x2 + x + \/ x ) Lim x2 = x → ∞ _________ _______ (\/ x2 (1 + 1 ) + \/ x2 ( 1 ) x x Lim x 2 = (dividindo tudo por x) x → ∞ _______ ____ x \/ 1 + 1 + x \/ 1 . x x Lim x = ∞ . = x → ∞ ______ ____ ______ ____ \/ 1 + 1 + \/ 1 \/ 1 + 1 + \/ 1 . x x ∞ ∞ Lim ∞ = ∞ = ∞ x → ∞ _____ __ 1 \/ 1 + 0 + \/ 0 __________ 29) Lim \/ x2 + 2x + 3 - x = 1 x → ∞ 3__ 30) Lim \/ x - 2 = ∞ (indeterminado) x → ∞ x - 8 ∞ 3_______ 3___ \/ x3 ( x ) - x ( 2 ) x \/ 1 - x ( 2 ) Lim x3 x = x2 x = x → ∞ x ( x - 8 ) x (1 - 8 ) x x x 3__ \/ 1 - 2 . Lim ∞3 ∞ = 0 - 0 = 0 x → ∞ (1 - 8 ) 1 - 0 ∞ 5__ 31) Lim 5 - \/ x = 0 x → ∞ 1 - x __ 32) Lim \/ x - 2x = - 2 . x → ∞ 3x - 1 3 _____ 33) Lim 1 - \/ x + 1 = 0 x → ∞ x + 2 [NOVA SUESC] Página 54 6_____ 34) Lim \/ x + 1 + x = 1 x → ∞ 2 + x __ 35) Lim 3 - 2x + \/ x = 0 x → ∞ 2 + x2 + x UNIDADE VII DERIVADA DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL 1 - ORIGEM DO CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO O conceito de função que hoje pode parecer simples, é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilónios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com o seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido: as relações entre as variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico. Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a "criação" de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relacões entre variáveis. Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o " Problema da Tangente". Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direcção a P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P. Fermat notou que para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido pela função num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto Q(x+E), f(x+E)) próximo de P, a diferença entre f(x+E)
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