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NOVA SUESC - MATEMÁTICA I - 2011 
MATEMÁTICA I 
 
 
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UNIDADE I: CONJUNTOS NUMÉRICOS (naturais, inteiros, racionais e reais) 
 
1.1 Frações 
1.2 Porcentagem 
1.3 Potenciação 
1.4 Radicais 
1.5 Cálculo do valor de expressões numéricas 
1.6 Equações e inequações do 1o grau 
1.7 Sistemas de equações do 1o grau 
1.8 Equações do 2o grau 
 
UNIDADE II: FUNÇÕES DO 1O GRAU 
 
2.1 Conceito, Domínio e Imagem de uma função 
2.2 Definição de função do 1º Grau 
2.3 Tipos de funções do 1º Grau 
2.4 Representação Gráfica das funções do 1º Grau 
2.5 Aplicações das Funções do 1º Grau 
2.5.1 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau 
2.5.2 Ponto de Nivelamento ou Ponto Crítico 
2.5.3 Funções: Demanda e Oferta do 1º Grau 
2.5.4 Ponto de Equilíbrio de Mercado 
2.5.5 Depreciação Linear 
 
UNIDADE III: FUNÇÃO DO 2O GRAU 
 
3.1 Definição 
3.2 Representação Gráfica 
3.3 Valores Máximo e Mínimo de uma função do 2o grau 
3.4 Funções Receita e Lucro 
 
UNIDADE IV: FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
4.1 Conceituação 
4.2 Propriedades da Função Exponencial 
4.3 Modelo de Crescimento Exponencial 
4.4 Aplicações 
 
UNIDADE VI: FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
5.1 Definição de Logaritmo 
5.2 Propriedades dos Logaritmos 
5.3 Aplicações de logaritmos 
 
UNIDADE VI: LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
 
6.1 Noção Intuitiva de Limite 
6.2 Definição de limite 
6.3 Limite de uma função polinomial 
6.4 Limites Laterais 
6.5 Continuidade 
6.5.1 Noção Intuitiva de Função Contínua 
6.5.2 Tipos de Descontinuidade 
6.5.3 Aplicações 
 
UNIDADE VII: DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 
 
7.1 Definição de Derivada. 
7.2 Derivada de uma Função num Ponto 
7.3 A Derivada como uma Taxa Variação 
7.4 Derivada de funções elementares (f(x) = K, f(x) = xn , f(x) = ex ,f(x) = Lnx 
7.5 Regras de Diferenciação (soma, produto e quociente) 
7.6 Regra da cadeia 
7.7 Elasticidade, custo, receita e produtividade marginais 
 
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UNIDADE I 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
PRINCIPAIS CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) Conjunto dos números naturais (Ν) 
Ν = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..........} 
 
b) Conjunto dos números inteiros (Ζ) 
Ζ = {....,-3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ........} 
 
c) Conjunto dos números racionais (Q) 
Q = {x = p / p ∈ Ζ, q ∈ Ζ , q ≠ o} 
 q 
d) Conjunto dos números irracionais (Q’) - infinitas casas decimais. 
Q’ = Π (3,1415926...); e (2,718..); raízes de números primos. (2, 3, 5, ...) 
 
e) Conjunto dos números reais (ℜ) (denso) 
ℜ = U (conjunto universo) 
 
 PRINCÍPIOS BÁSICOS 
 
( + ) . ( + ) = ( + ) ( - ) . ( - ) = ( + ) ( + ) . ( - ) = ( - ) ( - ) . (+) = ( - ) 
( +) / ( + ) = ( + ) ( -) / ( - ) = ( + ) ( + ) / ( - ) = ( - ) ( - ) / ( + ) = ( - ) 
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 (a + b) . (a - b) = a2 - b2 
 
ax . ay = ax + y 
 
 ax = ax - y 
 ay 
 a __ 
 \/ xb = x b/a 
 a __ 
(\/ x )a = x 
 
1.1 FRAÇÕES 
O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. 
Chamamos: 
 a de fração; 
 b 
 a de numerador; 
 b de denominador. 
Se a é múltiplo de b, então é um número natural. 
Veja um exemplo: 
 
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A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando 
a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo 
de 2. 
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos 
homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com 
números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário. 
O significado de uma fração 
 
Algumas vezes, a/b é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, 
qual é o significado de a/b ? 
Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, 
consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. 
Exemplo: Roberval comeu 3/4de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o 
chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes: 
 
Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte 
branca é a parte que sobrou do chocolate. 
Como se lê uma fração 
As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 
também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ... 
 
um meio 
 
dois quintos 
 
um terço 
 
quatro sétimos 
 
um quarto 
 
sete oitavos 
 
um quinto 
 
quinze nonos 
 
um sexto 
 
um décimo 
 
um sétimo 
 
um centésimo 
 
um oitavo 
 
um milésimo 
 
um nono 
 
oito milésimos 
 
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 Classificação das frações 
Fração própria: o numerador é menor que o denominador: 
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. 
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. 
 
2.1 - Frações Algébricas 
 
2.1.1 - Definição: Fração algébrica é o quociente da divisão de duas expressões 
algébricas. 
 
Observações: 
a) Nas frações algébricas o numerador e o denominador são polinômios ou monômios; 
b) O denominador de uma fração nunca pode ser zero; 
 
2.1.2 - Simplificação: Para simplificar uma fração, basta dividir o numerador e o 
denominador por divisores comuns. 
 
2.1.3 - Exercícios: 
 
Simplificar as diversas frações, admitindo que os denominadores sejam diferentes de 
zero: 
a) 10 a2 b = 10b = 2b 
 15a3 15a 3a 
 
b) 8x + 8 = 4/5 
 10 (x + 1) 
 
c) a2 - 9 = (a - 3) 
 a + 3 
 
d) a + 2 = 1 . 
 a2 + 4a + 4 a + 2 
 
e) 12x = 4 x 
 15 5 
 
f) 12m = 2 m 
 6a a 
 
g) 4x3 = 2 x2 
 10xy 5y 
 
h) 2 x2y = x . 
 10xy3 5y2 
 
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i) 15x2 + 5x = 3x + 1 
 5x 
 
j) (a+b)5 = (a+b)3 
 (a+b)2 
 
k) x2 - 4 = (x -2) . (x + 2) = x + 2 
 x - 2 x - 2 
 
l) (x + y)2 = x + y 
 x2 - y2 x - y 
 
m) x2 + 6x + 9 = x + 3 
 2x + 6 2 
 
1.2 PORCENTAGEM 
É freqüente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, 
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: 
- A gasolina teve um aumento de 15% 
- Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 
- O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 
- Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 
- Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. 
- Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. 
Razão centesimal 
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. 
Alguns exemplos: 
 
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 
 
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas 
percentuais. 
Considere o seguinte problema: 
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de 
cavalos. 
 
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Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. 
Portanto, chegamos a seguinte definição: 
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 
Exemplos: 
Calcular 10% de 300 
 
Calcular 25% de 200kg 
 
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. 
EXERCÍCIOS: 
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando 
em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 
 
Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
 
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendipor R$300,00, qual a 
taxa percentual de lucro obtida? 
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que 
aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. 
 
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 
 
3) Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual é a população ao total 
dessa cidade se nela residem 60.500 mulheres? 
Solução: 
(a) 0,45=45% da população é composta por homens. 
(b) 0,55=55% da população é composta por mulheres. 
(c) 0,55=55% da população correspondem a 60.500 mulheres. 
(d) 100% da população correspondem a 60.500/0,55=110.000 pessoas. 
 
4) Num concurso prestado por certo número de candidatos houve 18% de aprovação, ou 
seja, 117 candidatos. Determine quantos candidatos foram reprovados nesse concurso. 
Solução: 
(a) 0,18=18% dos candidatos equivalem a 117 pessoas. 
 
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(b) 100% dos candidatos equivalem a 117/0,18 = 650 pessoas. 
(c) 0,82=82% dos candidatos equivalem a 0,82 . 650 = 533 pessoas. 
 
5) Poderei obter um abatimento de 15% para o pagamento à vista na compra de uma 
geladeira que custa R$ 900,00. Quanto pagarei pela geladeira nessas condições? 
Solução: 
(a) 15% de desconto sobre o preço a vista que é R$ 900,00. 
(b) 85%=0,85 do preço 900,00 é 0,85*900,00=765,00. 
 
6) Do salário que Paulo recebe, 30% vão para poupança, 20% para aluguel e 35% para 
alimentação, restando-lhe apenas R$ 225,00. O salário de Paulo é: 
Solução: 
(a) 30% para poupança, 20% para aluguel, 35% para alimentação. 
(b) sobram 15%=0,15 como R$ 225,00. 
(c) 100% representam 225,00/0,15=1500,00. (Resposta c) 
Resp: (a) 1.000,00 (b) 1.250,00 (c) 1.500,00 (d) 2.250,00 (e) 2500,00 
 
7) Um comerciante compra 82 kg de feijão e quer vendê-los de modo a poder comprar, 
com o dinheiro da venda, 100 kg do mesmo feijão. Para tanto, qual deverá ser a taxa de 
lucro do comerciante sobre a compra? 
Solucão: 
(a) 82kg corresponde a 100%. 
(b) 100kg corresponde a x%. 
(c) x = 100*100%/82 = 121,95%. 
(d) O lucro foi de 21,95%. 
 
8) Uma mercadoria que sofre dois reajustes sucessivos de 2% sobre certo preço, passa a 
valer, em relação ao preço inicial: 
Solução: 
(a) A mercadoria custava 100% e passou a custar 100%+2% de 100% = 102%. 
(b) A mercadoria custava 102% e passou a custar 102%+2% de 102% = 104,04%. 
(c) A mercadoria passou a custar 104,04%. (Resposta d) 
Resp: (a) 4% (b) 4,04% (c) 104% (d) 104,04% (e) n.d.a. 
 
9) Uma mercadoria foi aumentada em 20%. Para que volte a ter o preço inicial, qual deve 
ser o percentual de desconto sobre o novo preço ? 
Solução: 
(a) 100% + 20% = 120%. 
(b) x% de 120% deve ser 100%. 
(c) x = 100/120 = 0,83333% = 83,33% 
(d) O desconto deve ser de 100%-83,33%= 16,67%. 
 
10) Um lucro de 30% sobre o preço de venda de uma mercadoria corresponde a um 
acréscimo sobre o preço de custo, aproximadamente, 
Solução: Como Venda = Custo + Lucro e Lucro= 30% da Venda, então: 
(a) Custo + 0,3 Venda = 1 Venda. 
(b) Custo = 0,7 Venda. 
(c) Venda = (1/0,7) Custo = 1,4286 do Custo. 
(d) Venda = Custo + 0,4286 do Custo. 
(e) A venda sofreu um acréscimo de 42,86% sobre o preço de Custo. (resposta d) 
Resp: (a) 15% (b) 30% (c) 35,72% (d) 42,86% (e) 60% 
 
 
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11) Um computador que custava R$ 800,00 apresentou um lucro de R$ 60,00. De quanto 
porcento foi o lucro sobre o preço de venda? 
Solução: 
(a) 100% equivale a 800,00. 
(b) x% equivale a 60,00. 
(c) x= 60*100/800=7,5 
 
12) Uma mercadoria, que custava R$ 7,50, teve um aumento, passando a custar R$ 
10,50. A majoração sobre o preço antigo é de: 
Solução: 
(a) 100% correspondia a 7,50. 
(b) x% corresponde a 10,50. 
(c) x = 100*10,50/7,50 = 140%. 
(d) A majoração foi de 40%. (Resposta d) 
Resp: (a) 10% (b) 20% (c) 30% (d) 40% (e) n.d.a. 
 
13) Um computador que custava R$ 1.000,00 apresentou um lucro de R$ 100,00. Que 
porcentagem foi o lucro sobre o preço de custo? 
Solução: 
(a) 100% equivale ao custo de 900,00. 
(b) x% equivale à venda 100,00. 
(c) x= 100*1000/900 = 11,11% 
 
14) Certa mercadoria foi vendida por R$ 2.060,28, com um prejuízo de 12,7% sobre o 
preço de compra. Por quanto deveria ser vendida essa mercadoria para que houvesse um 
lucro de 15% sobre o preço de custo? 
Solução: 
(a) 100%-12,7% = 87.3% = 0,873 equivale a 2060,28 
(b) 100% equivale ao preço de custo 2060,28/0,873=2360,00 
(c) 115%=1,15 equivale ao valor 1,15*2360,00=2714,00. 
 
15) Uma mercadoria que custava R$ 20,00 teve um aumento de 25%. Quanto passou a 
custar essa mercadoria? E quantos por cento devem ser descontados sobre o novo 
preço, para que volte a custar R$ 20,00? 
Solução: 100% equivalia a 20,00, logo 
(a) 125%=1,25 equivale a 1,25*20,00=25,00 
(b) 100% equivale a 25,00. 
(c) x% equivale a 20,00. 
(d) x=20/25=0,80 = 80%. 
(e) O desconto deve ser de 20%. 
 
16) Uma pessoa pagou 20% de uma dívida. Sabendo-se que 10% do que resta a pagar 
correspondem a R$ 562,00 responda: 
a) Quanto resta pagar? 
b) Quanto foi pago da dívida? 
 
17) Na compra de um objeto, gastei 2/3 do dinheiro que tinha e ainda me sobraram R$ 
40,00. Quanto dinheiro eu tinha? 
 
18) Um auditório com 540 cadeiras está lotado com homens, mulheres e criança O 
número de mulheres é igual ao de crianças e o número de homens é 2/5 do de mulheres. 
Quantas crianças estão no auditório? 
 
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Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. 
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o 
novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o 
acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: 
Acréscimo ou Lucro Fator de 
Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
 
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: 
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) 
Veja a tabela abaixo: 
Desconto Fator de Multiplicação
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
 
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 
 
1.3 - POTENCIAÇÃO 
 
Definição: Potência é um produto indicado de fatores iguais. Vamos chamar de base o 
fator que se repete e de expoente o número de vezes pelo qual o fator se multiplica. 
Assim, 
 
a n = a . a . a . a . a 
 n vezes 
a = base n = expoente 
57 é uma potência de base 5 e expoente 7 
Potências particulares: 
 
• Potência de base 0 - 0n = 0 
 
• Potências de expoente 0 ⇒ a0 = 1, sendo a≠0 
 
• Potências de expoente 1 ⇒ a1= a 
 
• Potências de base 10 com expoente inteiro positivo - 10 1 = 10 
 10 2 = 100 
 10 3 = 1000, o resultado 
eqüivale sempre à unidade seguida de tantos zeros quantos forem os indicados 
pelo expoente natural; 
• Potências de base 10 com expoente inteiro negativo - 10-1 = 0,1 
 
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 10-2 = 0,01 
 10-3 = 0,001 etc 
 
Operações com potências: 
 
• Multiplicação de potências de mesma base ⇒ ab x ac = a b+c 
 
• Quociente de Potências de mesma base a b = a b-c (a≠0) 
 a c 
• Potência de um produto - (axb)n = an x bn 
 
• Potência de uma divisão ( a )n = an , sendo (b≠0) 
 ( b ) bn 
 
• Potência de uma Potência - (ab)n = a bxn 
 
• Potência de expoente negativo a -n = 1 , sendo a ≠0 
 an 
 
• Potência de expoente fracionário - consiste em uma raiz cujo radicando é a base 
da potência elevado ao numerador do expoente e o índice é o denominador do 
expoente.m___ 
an/m = √ an 
Exercícios: 
 
a) 2 2 x 2 4 = 26 
 
b) 4 3 x 4 4 = 47 
 
c) 14 3 x 14 4 = 147 
 
d) a 2 = 1/a 
 a 3 
e) Escrever o número 1 como seis potências diferentes e o número zero como 
cinco potências diferentes. 
f) Simplificar a expressão: 
(a3) 4 x (a x b3 x c4 )2 
 b6 x a13 x c5 
 
1.4 - RADICAIS 
 
1.4.1 - Conceito: 
 
n__ 
√ a = b, onde: 
 
 
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a - radicando 
b - raiz 
n - índice 
√ - sinal radical 
 
Raiz quadrada de um número inteiro - A operação inversa de elevar ao quadrado é achar 
a raiz quadrada ou a raiz de índice 2. 
 __ 
Em geral: x2 = y então, | x | = √ y 
 __ 
OBS: quando o n = 2 habitualmente só se escreve o sinal radical ( √ ) 
 
1.4.2 - Raiz inteira: Só existe raiz quadrada inteira de números quadrados positivos ou 
zero, e ainda, não existe raiz quadrada de um número negativo, somente nos números 
imaginários. 
 
exemplos: 
 __ __ __ 
√ 25 = + ou - 5 √ 16 = + ou - 4 √ 9 = + ou - 3 
 
 __ __ __ 
√ 12, √14, √26 não tem raiz inteira 
 
1.4.3 - A raiz quadrada de um número natural, se não é inteira, é irracional. 
Exemplos: 
 __ __ __ __ 
√ 2, √3 , √5 são irracionais e ainda, 1 +√ 2 também 
 
Exemplo de dois números irracionais famosos o Π = 3,1415926535 e e = 2,718... 
 
1.4.4 - A raiz cúbica 
 
Os números cúbicos inteiros positivos e negativos têm raiz cúbica exata. 
• Se o radicando for negativo, a raiz será negativa. 
• Se o radicando for positivo, a raiz será positiva. 
 
1.4.5 - Propriedade fundamental dos radicais 
 
n___ nxh_____ 
√ am = √ a m x h 
 
n__ n__ c n_____ 
√ a x √ b = √ a x b 
 
n_ n____ 
√ a = √ a/b 
n_ 
√ b 
 n_ n__ 
 
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(√a ) m = √ a m 
 
m_ n__ m x n___ 
√ √ a = √ a 
 
1.5 - CÁLCULO DO VALOR DE EXPRESSÃO NUMÉRICA 
 
 Calcule: 
a) (-3/5) x (2/3) - (-1/2) x (-3/2) x 8 = 
 
b) (+2) - (-5) ÷ (-1) + (-1/2) = 
 (+3) + (-1) (-3) - (+2/3) 
 
c) -2(3 - 5) - [-4(2) - 2 (-2) + 3(1) ] = 
 
 ___ ___ ___ ___ 
d) √ 72 x 2 √ 12 - 3 √ 24 - √ 48 = 
 
 ___ ___ ___ __ ___ 
e) √ 28 - √ 75 - 2√ 27 - √ 7 + √ 12 = 
 
 __ __ __ __ 
f) ( 3 √ 2 + √ 3 ) x (√ 3 - 2 √ 2 ) = 
 
g) 1 - a - 1 
 a + 1 = 
 1 - 1 . 
 a + 1 a - 1 
 
h) x - 1 - x+1 
 x + 1 x - 1 
 2 
 x2 - 1 
 
i) x - x2 - 1 = 
 1 - x-1 
 x 
 
Calcule o valor de x: 
 
a) 2x - x - 1/2 = 2x - 3 ( x - x + 3 ) 
 2 2 
 
b) 3x - 2 - 5 = 1 - x + 4 
 2 3 
 
c) 1 + x = 1 - x a≠ 0 b≠ 0 
 a b 
 
d) 5x - 6 - 9x - 8 = 2 x≠ 0 
 x 5x x 
 
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1.6 – EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
 Calcule: 
a) (-3/5) x (2/3) - (-1/2) x (-3/2) x 8 = 
 
b) (+2) - (-5) ÷ (-1) + (-1/2) = 
 (+3) + (-1) (-3) - (+2/3) 
 
c) -2(3 - 5) - [-4(2) - 2 (-2) + 3(1) ] = 
 
 ___ ___ ___ ___ 
d) √ 72 x 2 √ 12 - 3 √ 24 - √ 48 = 
 
 ___ ___ ___ __ ___ 
e) √ 28 - √ 75 - 2√ 27 - √ 7 + √ 12 = 
 
 __ __ __ __ 
f) ( 3 √ 2 + √ 3 ) x (√ 3 - 2 √ 2 ) = 
 
g) 1 - a - 1 
 a + 1 = 
 1 - 1 . 
 a + 1 a - 1 
 
h) x - 1 - x+1 
 x + 1 x - 1 
 2 
 x2 - 1 
 
i) x - x2 - 1 = 
 1 - x-1 
 x 
 
Calcule o valor de x: 
 
a) 2x - x - 1/2 = 2x - 3 ( x - x + 3 ) 
 2 2 
 
b) 3x - 2 - 5 = 1 - x + 4 
 2 3 
 
c) 1 + x = 1 - x a≠ 0 b≠ 0 
 a b 
 
d) 5x - 6 - 9x - 8 = 2 x≠ 0 
 x 5x x 
 
1.6 – EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
1.6.1 - Definições: 
 
[NOVA SUESC] Página 15 
 
 
Desigualdade: é a relação entre dois números ou expressões ligadas por um dos sinais > 
(maior), < (menor). 
 
Inequações: são sentenças que têm ao menos uma incógnita, representada por uma letra 
e comparada por estes sinais: > (maior), < (menor), ≥ (maior ou igual), ≤ (menor ou igual). 
 
1.6.2 - Propriedades: 
 
a) Somando-se ou subtraindo-se o mesmo número aos dois membros de uma 
desigualdade, ela não muda de sentido. 
 
b) Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros de uma desigualdade por um 
número positivo, obtém-se uma desigualdade de mesmo sentido; pelo mesmo número 
negativo obtém-se uma desigualdade de sentido contrário. 
 
c) Eliminam-se os denominadores dos Termos fracionários das desigualdades, 
multiplicando-se ambos os membros pelo M.M.C. 
d) Uma inequação apresenta diversas soluções que formam o conjunto-verdade. 
 
1.6.3 - Exercícios: 
 
1.6.3.1) Resolva as inequações: 
 
a) 4x - 6 > 3x - 8 
 
b) 13 - x > 4 - 2x 
 
c) 4 - 3(2x + 1) ≤ -7x + 16 
 
d) -x + 18 < 20 
 
e) 7(2x - 4) ≥ -5(1 - 2x) -3 
 
f) 3x + 2 - 5x > 1 
 4 6 
 
g) x - 2 ≥ x - 3 
 3 
 
h) 2a - 3 < a + 5 
 3 4 2 
 
i) 2x - 4 + x - 1 > x + 1 + x 
 3 4 2 
 
j) x - 4 - 2(3 - 2x) < 2x 
 5 3 
 
1.7 – SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
1.7.1 - Classificação de um sistema quanto ao número de soluções 
 
[NOVA SUESC] Página 16 
 
 
Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). 
Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única). 
No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), 
(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos 
que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções). 
Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as 
equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução). 
Resumindo, um sistema linear pode ser: 
a) possível e determinado (solução única); 
b) possível e indeterminado (infinitas soluções); 
c) impossível (não tem solução). 
1.7.2 - Sistema normal 
Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) 
e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. 
Se m=n e det A 0, então o sistema é normal. 
1.7.3 - Regra de Cramer 
Todo sistema normal tem uma única solução dada por: 
 
em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao 
sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i 
pela coluna formada pelos termos independentes. 
1.7.4 - Discussão de um sistema linear 
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: 
a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única. 
Exemplo: 
 
m = n =3 
 
[NOVA SUESC] Página 17 
 
 
Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. 
b) possível e indeterminado, se D = Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa 
condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitasrespectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. 
Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. 
Exemplo: 
 
D = 0, Dx = 0, Dy = 0 e Dz = 0 
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções 
 
1.7. 5 –Exercícios 
 
Determine os valores de x e y 
 
a) x + 3y = 5 
 -x –y = 6 
 
b) 2x – 4y = -2 
 3x + 5y = 0 
 
1.8 – EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com 
coeficientes numéricos a.b e c com . 
Exemplos: 
Equação a b c 
x²+2x+1 1 2 1 
5x-2x²-1 -2 5 -1 
Classificação: 
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau 
incompleta. 
1º caso: b=0 
Considere a equação do 2º grau imcompleta: 
 
[NOVA SUESC] Página 18 
 
x²-9=0 » x²=9 » x= » x= 
2º caso: c=0 
Considere a equação do 2º grau imcompleta: 
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x 
x(x-9)=0 » x=0,9 
3º caso: b=c=0 
2x²=0 » x=0 
Resolução de equações do 2º grau: 
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora 
resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c 
diferentes de zero. 
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela 
fórmula de Bháskara. 
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau? 
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara: 
Multiplicamos os dois membros por 4a: 
4a²x²+4abx+4ac=0 
4a²x²+4abx=-4ac 
Somamos b² aos dois membros: 
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac 
Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta) 
b²-4ac: 
(2ax+b)²= 
2ax+b= 
2ax=-b 
Logo: 
 ou 
Fórmula de Bháskara: 
 
[NOVA SUESC] Página 19 
 
 
 
Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios: 
1) 3x²-7x+2=0 
a=3, b=-7 e c=2 
 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 
Substituindo na fórmula: 
= 
 e 
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: 
 
2) -x²+4x-4=0 
a=-1, b=4 e c=-4 
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 
Sustituindo na fórmual de Bháskara: 
 » x=2 
 
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( ) 
3) 5x²-6x+5=0 
a=5 b=-6 c=5 
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 
Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não 
possui nenhuma raiz real. 
Logo: » vazio 
Propriedades: 
 Duas raízes reais e diferentes 
 
[NOVA SUESC] Página 20 
 
 Duas raízes reais e iguais 
 Nenhuma raiz real 
 
Relações entre coeficientes e raízes 
 
 
 
Vamos provar as relações descritas acima: 
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são: 
 e 
A soma das raízes será: 
 
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: 
O produto das raízes será: 
 
 
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: 
 
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a. 
Obtendo: 
Substituindo por e : 
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau: 
x² - Sx + P = 0 
Exemplos: 
 
[NOVA SUESC] Página 21 
 
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: 
a) x² - 4x + 3=0 
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3: 
 
b) 2x² - 6x -8 =0 
Sendo a=2, b=-6 e c=-8 
 
c) 4-x² = 0 
Sendo a=-1, b=0 e c=4: 
 
Resolução de equações fracionárias do 2º grau: 
Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de 
resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias. 
Exemplos resolvidos: 
a) Onde , pois senão anularia o denominador 
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x 
Então: 
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: 
» 
Aplicando a fórmula de Bháskara: 
 
 
Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4} 
b ) e 
[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2) 
 
[NOVA SUESC] Página 22 
 
Então: 
Eliminando os denominadores: 
» » » 
Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o 
denominador, logo a solução da equação será somente: 
x=-1 » S={-1} 
Resolução de equações literais do 2º grau: 
Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita. 
Equação a b c 
x² - (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) p 
Exemplo: Determine o valor da incógnita x. 
1) x²-3ax+2a²=0 
Aplicando a fórmula de Bháskara: 
a=1, b=-3a, c=2a² 
 
, Logo: 
x = 2a e x = a » S={a,2a} 
Resolução de equações biquadradas 
Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas 
ao quadrado duas vezes, sua forma é: 
 onde 
Exemplo resolvido: 
1) 
Fazendo x² = y , temos 
Substituindo os valores na equação, temos: 
y² - 5y + 4 = 0 
Aplicando Bháskara: 
 
[NOVA SUESC] Página 23 
 
 
Logo, y = 4 e y`= 1 
Voltando a variável x: 
Como y=x², temos: 
x²=4 » e x²=1 » 
Então a solução será » S={-2,-1,1,2} 
ou simplesmente 
 
UNIDADE II 
 
2 – FUNÇÕES DO 1º GRAU 
 
2.1 - CONCEITO, DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
 
O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência entre conjuntos. Uma 
função associa a elementos de um conjunto, elementos de outro. Em nosso estudo, os 
conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de ℜ, funções reais de variável real. 
 
Sejam X e Y subconjuntos de ℜ. Uma função f: X ⇒ Y é uma lei ou regra que a cada 
elemento de X faz corresponder um único elemento de Y. 
 
Se entre x e y existe uma correspondência tal que a cada valor de x corresponda um 
valor de y, diz-se que a variável y é uma função da variável x definida no domínio X. 
 
y = f ( x ) ⇒ a variável x é denominada variável independente e a variável y, variável 
dependente. 
 
Ao conjunto X denomina-se Domínio da função e é denotado D ( f ), e do conjunto Y, 
imagem da função, contradomínio ou ainda, campo de existência da função f e é 
denotado por Im ( f ). 
 
Dado x ∈ X, o elemento f ( x ) ∈ Y é chamado o valor da função f no ponto x ou “imagem” 
de x por f. 
 
Diz-se que uma variável y é uma função de uma variável x, quando a cada valor de x 
corresponda mediante uma certa lei, um valor de y. 
 
Exemplos: 
1) Se y = 2x + 1, podemos determinar alguns valores do Domínio e da Imagem da 
função, estabelecendo valores aleatórios para x, e calculando o valor de y. 
y = 2x + 1 
x y 
 
[NOVA SUESC] Página 24 
 
-1 2 (-1) + 1 = - 1 
0 2 ( 0 ) + 1 = 1 
1 2 ( 1 ) + 1 = 3 
Domínio Imagem 
 
2,2 – DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO DE 1º GRAU 
 
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR 
dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. 
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é 
chamado termo constante. 
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: 
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
A função linear ou do 1º grau é toda função que associa a cada número real x, o número 
real ax + b, a ≠ 0 onde, a = coeficiente angular e b = coeficiente linear. 
 
Quando a > 0 ⇒ função crescente, isto é, à medida que x cresce, f ( x ) também cresce. 
 
Quando a < 0 ⇒ função decrescente, isto é, à medida que x cresce, f ( x ) decresce; 
 
2.4 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS FUNÇÕES DO 1º GRAU 
 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta 
oblíqua aos eixos Ox e Oy. 
 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:Como o gráfico é uma reta, basta obter 
dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:a) Para x = 0, temos y = 3 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). 
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é . 
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma 
reta. 
 
2.3- TIPOS DE FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
 
a) Função Crescente ⇒ uma função é crescente quando f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) 
 
Exemplo y = x + 1 ⇒ x e y cresce 
 
b) Função Decrescente ⇒ uma função é decrescente quando f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) 
 
Exemplo y = 1 - 2x ⇒ se x cresce y decresce 
 
c) Função Variável 
 
 
[NOVA SUESC] Página 25 
 
Exemplo y = x2 ⇒ x cresce e y decresce e vice versa, dependendo do intervalo 
considerado na mesma função 
 
d) Função Constante 
 
É toda função do tipo f ( x ) = K, que associa a qualquer número real um mesmo 
número real K. 
 
D ( f ) = ℜ Im ( f ) = K 
 
Observação: 
 
A função linear ou do 1º grau é toda função que associa a cada número real x, o 
número real ax + b, a ≠ 0 onde, a = coeficiente angular e b = coeficiente linear. 
 
Quando a > 0 ⇒ função crescente, isto é, à medida que x cresce, f ( x ) também 
cresce. 
 
Quando a < 0 ⇒ função decrescente, isto é, à medida que x cresce, f ( x ) decresce; 
x y 
0 -1 
 
0 
 
 
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é 
chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação 
da reta em relação ao eixo Ox. 
 
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = 
b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. 
 
2.5 – APLICAÇÃO DAS FUNÇÕES DO 1º GRAU 
 
2.5.1 – FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO DO 1º GRAU 
 
Função Custo 
 
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria, loja, 
na produção ou aquisição de algum produto. O custo pode possuir duas partes: uma fixa 
e outra variável. Podemos representar uma função custo usando a seguinte expressão: 
C(x) = Cf + Cv, onde 
Cf: custo fixo e Cv:custo variável 
 
[NOVA SUESC] Página 26 
 
 
O gráfico dessa função começa na origem, pois não se tem gasto com a produção se 
nada produzir. Esses gastos de produção crescem a medida que a produção cresce, o 
que caracteriza uma função crescente. 
A Função Custo Total. ou simplesmente Função Custo (C), é a soma das funções Custo 
Fixo mais Função Custo variável. 
 
C = Cf + Cv 
 
Seu gráfico nada mais é do a que a translação do gráfico da Função Custo Variável para 
cima, de um número de unidades iguais a Cf, pois se obtém o Custo Total pela soma do 
Custo Variável de uma parcela fixa igual a Cf. 
 
A partir da função Custo, pode-se determinar a função Custo Médio ou Custo Unitário, 
que dá o preço médio de custo ou preço por unidade 
Zero e Equação do 1º Grau 
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f (x) = ax + b, a 0, o número real 
x tal que f (x) = 0. 
Temos: 
f (x) = 0 ax + b = 0 x = - b . 
 a 
 Vejamos alguns exemplos: 
1. Obtenção do zero da função f (x) = 2x - 5: 
2. f(x) = 0 2x - 5 = 0 x = 5 . 
 2 
3. Cálculo da raiz da função g (x) = 3x + 6: 
g (x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2 
4. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h (x) = -2x + 10 corta o eixo das 
abicissas. O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h (x) = 0; 
então: 
h (x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5 
 
Crescimento e decrescimento 
 
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e 
observar o que ocorre com y: 
x -3 -2 -1 0 1 2 3 
y -10 -7 -4 -1 2 5 8 
 
[NOVA SUESC] Página 27 
 
 
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, 
então que a função y = 3x - 1 é crescente. 
 
Observamos novamente seu gráfico: 
 
Regra geral: 
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); 
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 
0); 
Justificativa: 
• para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < 
f(x2). 
• para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > 
f(x2). 
Função Receita 
A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do 
número de vendas de determinado produto. 
R(x) = px , onde 
p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas. 
 
Função Lucro 
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração 
entre a função receita e a função custo. 
L(x) = R(x) – C(x) 
 
Exemplo 
Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo 
mensal de R$ 950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários e etc. 
Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos, 
sendo a unidade R$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão no mercado seja 
equivalente a R$ 120,00 , monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do 
lucro líquido na venda de 1000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser 
vendidas para que se tenha lucro. 
Função Custo total mensal: 
C(x) = 950 + 41x 
Função Receita R(x) = 120x 
Função Lucro L(x) = 120x – (950 + 41x) 
 
[NOVA SUESC] Página 28 
 
Lucro líquido na produção de 1000 pistões L(1000) = 120*1000 – (950 + 41 * 1000) 
L(1000) = 120.000 – 950 + 41000 
L(1000) = 120.000 – 41950 
L(1000) = 78.050 O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$ 78.050,00. 
Para que se tenha lucro é preciso que a receita seja maior que o custo. 
R(x) > C(x)120x > 950 + 41x 120x – 41x > 950 79x > 950 x > 950 / 79 x > 12 
 
2.5.2 – PONTO DE NIVELAMENTO OU PONTO CRÍTICO 
 
Dada duas funções, dizemos que os pontos de nivelamento entre elas são os valores de x 
no momento em que o lucro é nulo. Podemos chamar os pontos de nivelamento de 
pontos críticos, os pontos onde os gráficos das funções se interceptam são os pontos 
críticos ou de nivelamento. 
 
Exemplo: 
Considere x a quantidade de peças fabricadas por uma indústria, a função receita R(x) = - 
x2 + 1000x e a função custo C(x) = 100x + 42500. Determine os pontos de nivelamento. 
Determinando os pontos de nivelamento: 
 –x² + 1000x = 100x + 42500 
–x² + 1000x – 100x – 42500 = 0 
–x² + 900x – 42500 = 0 
Aplicando Bháskara: 
∆ = b2 - 4ac 
∆ = 900² - 4 (-1) (- 42500) 
∆ = 810.000 – 170.000 
∆ = 640.000 
x = (-b ± √∆) / 2a 
x = (-900 ± √640.000) / 2 (-1) 
x = (-900 ± 800) / -2 
x’ = (-900 + 800) / -2 x’ = -100/-2 
x’ = 50 x’’ =(-900-800) / -2 x’’ = -1700 / -2 
x’’ = 850 
A empresa terá lucro quando 50 < x < 850. 
 
2.5.3 – FUNÇÕES DEMANDA E OFERTA DO 1º GRAU 
 
Função demanda - relaciona a quantidade demandada e o preço de um bem. Sabe-se 
que quando o preço aumenta, a procura diminui e, quando o preço diminui, a procura 
aumenta. Esta é a Lei de demanda, caracterizada por uma função decrescente. 
 
Função oferta - relaciona o preço como função da quantidade ofertada. Ao contrário da 
função demanda, a oferta é uma função crescente, pois, no aumento dos preços, os 
fornecedores colocam uma quantidade maior do produto no mercado. 
 
Questão 1 
Quando o preço de um bem é R$ 35,00; 25 unidades são oferecidas e, quando o preço é 
R$ 45,00; 40 unidades são oferecidas. Achar a equação de oferta, supondo a linear para 
x unidades do bem a um preço p. 
Solução 
Equação do tipo p = a x + b 
Temos (25, 35) 25 a + b = 35 
(40, 45) 40 a + b = 45 
 
[NOVA SUESC] Página 29 
 
Resolvendo o sistema, temos: a = 2 e b = 55 então p = 2 x + 553 3 3 3 
Questão 2 
Quando o preço é de R$ 60,00; 10 canetas são vendidas, porém , quando o preço é de 
R$ 50,00 , são vendidas 16 canetas. Achar a equação de demanda linear para a 
quantidade x de canetas a um preço p. 
 
Solução 
A equação é do tipo p = a x + b 
Temos (10, 60) 10 a + b = 60 
(16, 50) 16 a + b = 50 
Ao resolver o sistema, temos: a = - 5 e b = 230 , assim p = - 5 x + 230 
 3 3 3 3 
Questão 3 
Com base nas equações de oferta e demanda dos exemplos 1 e 2, calcule o preço de 
equilíbrio, mostrando-o graficamente. 
Solução 
O preço de equilíbrio é obtido pela solução do sistema formado pelas equações de oferta 
e demanda, ou seja, as equações s: p = 2 x + 55 e d:p = -5 x + 230 
 3 3 3 3 
Ao resolver o sistema, temos: x = 25 e p = 35. 
Logo, o preço de equilíbrio é de R$ 35,00. 
Graficamente 
 
Observação 
As funções de oferta e demanda não são facilmente obtidas, visto que para formulação 
das mesmas são necessários diversos registros de preços relacionados com a oferta e a 
demanda se for o caso, de determinado bem no mercado. Se tomarmos como exemplo, 
os registros de preços e quantidades fornecidos pela tabela abaixo, podemos verificar a 
impossibilidade de conciliação de um modelo matemático que represente exatamente a 
função demanda. 
 
x (quantidade) 1 2 3 4 5 
p (preço) 12 10 8 7 3 
 
Notamos que graficamente os pontos marcados no plano, não refletem o esboço gráfico 
de funções conhecidas. Procuramos então, determinar uma reta de melhor ajuste às 
relações entre essas variáveis. Sempre que pretendemos um melhor ajuste, no caso 
linear, fazemos uso de uma análise de Regressão. 
Em nosso caso, iremos fazer uso da Regressão Linear, objetivando obter uma função do 
tipo y = a x + b, cujo gráfico chamamos de reta de melhor ajuste. 
Os métodos de regressão linear nos permitem calcular as magnitudes dos parâmetros a e 
b, por meio das fórmulas: 
 
Exemplo: achar a reta de melhor ajuste aos pontos da tabela abaixo. 
 
2.5.4 – PONTO DE EQUILIBRIO DE MERCADO 
 
Equilíbrio de Mercado 
Conceito: 
É o resultado da interação entre as forças de oferta e demanda que são determinadas 
pelo processo de negociação entre produtores (vendedores) e consumidores 
 
[NOVA SUESC] Página 30 
 
(compradores). Em equilíbrio, o preço satisfaz tanto ao consumidor quanto ao produtor de 
tal forma que a quantidade demandada é igual a quantidade ofertada. 
Qd = Qs 
 
Ponto de equilíbrio – é o preço que iguala a quantidade ofertada e demandada de um 
bem. É o ponto de intersecção da função demanda e oferta, ou seja, ocorre em um ponto 
no qual a quantidade ofertada de um artigo é igual a quantidade procurada. 
 P 
 
 
 
 Oferta 
 
 
 
 Demanda 
 Q 
 
1. Suponha que a procura e oferta de um bem podem ser apresentadas pelas seguintes 
funções: D= – 13P + 520 ; S= 13P – 130 
a) Qual o preço de equilíbrio no mercado deste bem? 
b) Represente graficamente o equilíbrio neste mercado. 
c) Se num determinado momento o preço fosse de 20 u.m., em que situação estaria o 
mercado? 
C1) Como se designa esta situação? 
C2) Que reações se iriam desencadear no mercado? 
d) E se o preço fosse 30 ? 
 
2. O mercado do papel A4 pode ser representado da seguinte forma: Q= 6000 – 150 P ; 
Q= – 1500 + 50P 
a) Determine o ponto de equilíbrio deste mercado. 
b) Calcule a despesa dos consumidores e marque-a no gráfico. 
c) Calcule a elasticidade preço da procura no ponto de equilíbrio e classifique a procura. 
d) Calcule a elasticidade preço da oferta no ponto de equilíbrio e classifique a oferta. 
Considere uma alteração nas condições de procura que passa a ser definida por Q= 6000 
– 80P 
e) Aponte razões para esta alteração na procura e represente graficamente o mercado. 
f) Calcule o novo ponto de equilíbrio e a elasticidade da procura nesse ponto. Compare 
com a situação da alínea c). 
 
3. Suponha que a procura e a oferta de computadores são dadas pelas expressões: Q= – 
40 + 2P ; Q= 160 – 3P 
a) Identifique as curvas e explique o seu significado. 
b) Calcule o ponto de equilíbrio no mercado de computadores. 
c) Represente graficamente o mercado de computadores e a situação de equilíbrio. 
d) Calcule a elasticidade do preço-procura e preço-oferta no ponto de equilíbrio e 
classifique-as. 
 
4. Represente graficamente as demandas de mercado dadas por: 
a) D = 20 – 2P 
b) D = 100 - P
5
4 
 
[NOVA SUESC] Página 31 
 
5. A demanda de mercado de um produto que é vendido em galões é dado por: D = 8000 
– 100P. Determine: 
a) O intervalo de variação de P; 
b)O intervalo de variação de D; 
c) Representar graficamente a função demanda; 
d) calcular os valores de demanda correspondentes ao preço P = R$ 40,00 
e) A que preço a demanda será de 4.500 galões. 
 
6. Seja a demanda de mercado de uma utilidade, comercializada em um mercado, dada 
por D = 200 – 20P. 
a) A partir de que preço haverá demanda? 
b) Qual o valor da demanda para P = 50 reais? 
c) A que preço a demanda será de 40 unidades? 
 
7. Determine o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades posta à venda 
e compradas se a função de oferta de um certo produto é: S(P) = P2 + 3P – 70 e a função 
demanda é D(P) = 410 – P 
 
8. As funções de oferta e demanda para um certo produto são S(P) = 4P + 200 e D(P) = - 
3P + 480, respectivamente. Determine o preço de equilíbrio e o número correspondentes 
de unidades vendidas. 
 
9. Em certa localidade, a função de oferta anual de um produto agrícola é PS 01,03 +−= , 
em que p é o preço por quilograma e x é a oferta em toneladas. 
a) Que preço induz uma produção de 500 toneladas? 
b) Se o preço por quilograma for R$ 3,00 qual a produção anual? 
c) Qual o ponto de equilíbrio de mercado se a função de demanda anual for D= 10 – 001 
P 
 
10. Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$ 10,00 por 
mês e o custo variável por unidade é R$ 40,00. Qual o ponto de equilíbrio ? 
 
11. O custo fixo de fabricação de um produto é R$ 1000,00 por mês e o custo variável por 
unidade é de R$ 5,00. Se cada unidade for vendida por R$ 7,00. 
a) qual o ponto de equilíbrio ? 
b) Se o produto conseguir reduzir o custo variável por 20%, à custa do aumento do custo 
fixo na mesma porcentagem, qual o novo ponto de equilíbrio ? 
c) Qual o aumento do custo fixo necessário para manter inalterado o ponto de equilíbrio 
(em relação ao item a) quando o custo variável por unidade é reduzido de 30% ? 
 
 
2.5.5 – DEPRECIAÇÃO LINEAR 
 
É a redução de valor de um bem em decorrência de desgaste ou perda de utilidade pelo 
uso, ação da natureza ou obsolescência. 
O Método da Depreciação Linear consiste em aplicar-se a taxa de depreciação sempre 
sobre o mesmo valor (taxa e base de cálculo fixas). Dessa forma, o valor do encargo de 
depreciação será o mesmo em todos os períodos. 
Exercícios : 
O valor de um equipamento hoje é R$ 2.000,00 e daqui a 9 anos será R$ 200,00. 
Admitindo depreciação linear: 
a) Qual o valor da máquina daqui a 3 anos? 
 
[NOVA SUESC] Página 32 
 
b)Qual o total da depreciação até essa data? 
c) Daqui a quanto tempo o valor da máquina será nulo ? 
 
Uma função linear é da forma f(x) = - ax + b. Como é decrescente, a é negativa. E para 
t=0, o valor C = 2000. 
O seja: 
C = – at + 2000 Calculamos a (9 anos c= 200): 
200 = 2000 - a•9 
a= (2000-200)/9 = 1800/9 = 200 
Logo a equação da depreciação é: 
C= 2000 – 200 t 
Para t = 3, C = 2000-200•3 = 1400 
 a depreciação total é 600. 
Será nulo o valor: C = 0 
0 = 2000 – 200 t , t = 2000/200 = 10 anos 
 
Uma máquina foiadquirida pela Empresa Bons Negócios por R$21.600,00. Após 12 anos, 
essa máquina estará totalmente depreciada, isto é, seu valor será zero. Supondo sua 
depreciação ocorra de forma linear no tempo, a empresa poderá vender essa máquina, 
após 4 anos, em reais por que valor? 
Resposta 
A depreciação linear é um conceito simples: subtraia do valor presente o valor final e 
divida pelo tempo. 
Esse é o valor depreciado por unidade de tempo 
No caso: o valor presente é R$ 21.600,00 e o valor final é 0, considerando 12 períodos de 
um ano. 
Então deprecia (21600 - 0)/12 = 1800 por ano 
Após o 1º ano = 21600 - 1800 = 19800 
Após o 2º ano = 19800 - 1800 = 18000 
Após o 3º ano = 18000 - 1800 = 16200 
Após o 4º ano = 16200 - 1800 = 14400 
Esse é o valor de venda: R$ 14.400,00 
 
UNIDADE III 
 
3 – FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
 
3.1 – DEFINIÇÃO 
 
Dados os números reais a, b e c, com a≠0, chama-se função do segundo grau ou função 
quadrática a função ℜ→ℜ:f , definida por cbxaxxf ++= 2)( . 
 
Exemplos: Mostre os valores dos coeficientes a, b e c. 
 a) 34)( 2 −−= xxxf a= ; b= ; c= 
 b) 324)( 2 −+−= xxxf a= ; b= ; c= 
 c) 26)( xxf = a= ; b= ; c= 
 
MÉTODO DE RESOLUÇÃO 
 
 
[NOVA SUESC] Página 33 
 
Para resolver uma equação significa determinar o conjunto solução dessa equação. Para 
a resolução das equações do 2 º , utilizamos a fórmula resolutiva ou fórmula de Báskara 
dada abaixo: 
 Se ax2+bx+c=0 e a ≠ 0, então 
 
 
 
 
 
Se 0≥∆ a equação tem raízes reais 

>∆
=∆
distintas raízes duas possui 0
íguais raízes duas possui 0
 
Se 0<∆ a equação não tem raízes reais. 
 
Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau : 
 
Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a 
função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Em termos de representação gráfica, são as 
abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x. 
 
Exemplos: 
 
10 Calcule os zeros das funções abaixo: 
a) 67)( 2 +−= xxxf 
 
b) 62)( 2 +−= xxxg 
 
3.3 - Vértice da Parábola : 
 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou um ponto de ordenada mínima. A 
esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por V(xv,yv) onde 
 
a
y
a
bx vv 4
 e 
2
∆−=−= (x) abscissa do vértice 
 (y) ordenada do vértice 
 
assim: 
 
Exemplos: 
a) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função 
23)( 2 +−= xxxf 
 
Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau : 
 
3.2 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
Examinando os gráficos abaixo, observa-se que: 
 
 V 
 yv 
 


 ∆−−
aa
bV
4
,
2
 
a
bx
2
∆±−= , onde acb 42 −=∆ 
 
[NOVA SUESC] Página 34 
 
 
 
 xv 
 o x o xv x 
 yv V 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 - VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou um ponto de ordenada mínima. A 
esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por V(xv,yv) onde 
 
a
y
a
bx vv 4
 e 
2
∆−=−= (x) abscissa do vértice 
 (y) ordenada do vértice 
 
assim: 
 
 
Exemplos: 
 
Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função 
23)( 2 +−= xxxf 
 
Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau : 
 
Resolva e analise o gráfico das seguintes equações: 
 
a) x2 - x -20 =0 
 
b) x2 +6x +9 =0 
 
c) x2 -7x +12 = 0 
 
d) 3x2 + 2x -1 = 0 
 
e) x2 -2x -1 = 0 
 
f) x2 + 4x - 5 = 0 
 
g) -16 x2 + 8x -1 = 0 
 
h) x2 - 9 = 2x2 + 6x 
 
i) x2 -2x = 0 
Se a > 0, a
yv 4
∆−= é o valor 
mínimo da função. 
Se a < 0, a
yv 4
∆−= é o valor 
máximo da função. 


 ∆−−
aa
bV
4
,
2
 
 
[NOVA SUESC] Página 35 
 
 
j) x2 - 9 = 0 
 
3.4 – FUNÇÕES RECEITA E LUCRO 
 
Função Receita A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, 
dependendo do número de vendas de determinado produto. 
R(x) = px , onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas. 
 
Função Lucro 
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração 
entre a função receita e a função custo. 
L(x) = R(x) – C(x) 
 
1 - Exemplo 
Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo 
mensal de R$ 950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários e etc. 
Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos, 
sendo a unidade R$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão no mercado seja 
equivalente a R$ 120,00 , monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do 
lucro líquido na venda de 1000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser 
vendidas para que se tenha lucro. 
Função Custo total mensal: 
C(x) = 950 + 41x 
Função Receita 
R(x) = 120x 
Função Lucro 
L(x) = 120x – (950 + 41x) 
Lucro líquido na produção de 1000 pistões 
L(1000) = 120 . 1000 – (950 + 41 . 1000) 
L(1000) = 120.000 – 950 + 41000 
L(1000) = 120.000 – 41950 
L(1000) = 78.050 
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$ 78.050,00. 
Para que se tenha lucro é preciso que a receita seja maior que o custo. 
R(x) > C(x) 
120x > 950 + 41x 
120x – 41x > 950 
79x > 950 
x > 950 / 79 
x > 12 
Para ter lucro é preciso vender acima de 12 peças 
 
Exercícios : 
 
1 - lucro na venda de x unidades de um produto é dado pela expressão L(x) = - x² + 12x – 
32. Pede-se: 
a) o lucro na venda de 7 unidades do produto. 
b) a quantidade vendida para um lucro zero. 
c) o intervalo para o qual L(x) > 0. 
d) o intervalo para o qual L(x) < 0. 
e) a quantidade vendida para que o lucro seja o maior possível. 
 
[NOVA SUESC] Página 36 
 
f) o gráfico de L(x). 
 
2 - A demanda de um produto é dada pela expressão p = - x + 30 ,Onde 
 3 
p é o preço 
x a quantidade. 
Estabeleça: 
a) Os valores de x para que exista p. 
a) A equação da receita e seu gráfico. 
b) A receita média e o gráfico. 
c) A função lucro, quando o custo associado é C(x) = 10x + 120 
 3 
d) A quantidade vendida para que a receita seja máxima. 
e) A quantidade vendida para um lucro máximo. 
f) O gráfico do lucro, identificando a área de lucro e de prejuízo. 
 
3 - Um produto tem seu custo unitário de produção fixado em R$ 4,00 e um custo fixo 
associado de R$ 30,00. Sendo a equação de demanda x = 60 – 6p, onde x é a 
quantidade e p o preço, determine: 
a) Os valores de x para que exista p. 
b) A receita e seu gráfico. 
c) O ponto de nivelamento. 
d) A receita média e o gráfico. 
e) A produção vendida que proporciona um lucro máximo. 
 
4 - Um produto tem sua demanda expressa por p = 24 – 2x, onde p é o preço e x a 
quantidade. Sendo o custo C(x) = 4x + 32, pede-se: 
a) Os valores de x para que exista p. 
b) A função receita e seu gráfico. 
c) A função receita média e seu gráfico. 
d) A função lucro e seu gráfico. 
e) O intervalo de lucro e o de prejuízo. 
f) A quantidade vendida para um lucro máximo. 
 
5 - A demanda de um bem é dada por x = 18 – p/2, onde p é o preço e x quantidade, 
sendo o custo associado C(x) = 6x + 72. Pede-se: 
a) Os valores de x para os quais existe p. 
b) A função receita e gráfico. 
c) A função lucro e gráfico. 
d) A quantidade vendida para uma receita máxima. 
e) A quantidade vendida para um lucro mínimo. 
 
6 - A demanda de um bem é dada por x = 12 – p e o custo total associado é C(x) = 3x + 
6. Pede-se:3 
a) A receita total e o gráfico. 
b) O ponto de nivelamento. 
c) O lucro total e gráfico. 
d) A quantidade vendida que maximiza a receita. 
e) A quantidade vendida que maximiza o lucro. 
 
 
[NOVA SUESC] Página 37 
 
7 - O custo unitário de fabricação de um bem é de R$ 50,00, porém 
quando o preço de venda é x reais, a quantidade mensal de unidades vendidas 
do produto é dada por n(x) = 120 – x. Pede-se: 
a) A expressão do lucro mensal como função do preço x de venda. 
b) O preço de venda x que proporciona o lucro máximo. 
 
UNIDADE IV 
 
4 - FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
4.1 - CONCEITUAÇÃO 
 
Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em 
expoente. A função f:IRÆIR+ definida por f(x)=ax, com a ∈ IR+ e a≠1, é chamada função 
exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio 
é IR+ (reais positivos, maiores que zero). 
 
 
DEFINIÇÃO 
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, 
isto é: 
 
Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por: 
 
GRÁFICOS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Função exponencial 
0 < a < 1 
Função exponencial 
a > 1 
 
● Domínio = lR 
 
● Domínio = lR 
 
[NOVA SUESC] Página 38 
 
● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR 
 
● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR 
 
 
4.2 - PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então: 
ƒ ax ay= ax + y 
ƒ ax / ay= ax - y 
ƒ (ax) y= ax.y 
ƒ (a b)x = ax bx 
ƒ (a / b)x = ax / bx 
ƒ a-x = 1 / ax 
 
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Temos 2 casos a considerar: 
Î quando a>1; 
Î quando 0<a<1. 
 
Acompanhe os exemplos seguintes: 
 
y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1) 
 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a 
tabela e o gráfico abaixo: 
 
x -2 -1 0 1 2 
y 1/4 1/2 1 2 4 
 
 
1) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a 
tabela e o gráfico abaixo: 
 
x -2 -1 0 1 2 
y 4 2 1 1/2 1/4 
 
 
[NOVA SUESC] Página 39 
 
 
Nos dois exemplos, podemos observar que 
a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; 
b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); 
c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o 
conjunto imagem é Im=IR+. 
 
Além disso, podemos estabelecer o seguinte: 
 
a>1 0<a<1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é crescente e Im=IR+ 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1 ⇒ y2>y1 (as desigualdades têm 
mesmo sentido) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é decrescente e Im=IR+ 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1 ⇒ y2<y1 (as desigualdades têm 
sentidos diferentes) 
 
da função exponencial é D ( f ) = ℜ. A imagem é Im ( f ) = (0, ∞). Podemos também 
denotar Im ( f ) = (0, ∞) = ℜ+ 
 
Com relação ao gráfico da função f ( x ) = a x podemos afirmar: 
 
a) a curva que representa está toda acima do eixo das abcissas, pois y = a x > 0 para 
todo x ∈ ℜ; 
 
b) corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1); 
 
c) f ( x ) = a x é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. 
 
Exercícios: 
 
1) Construir por pontos, um esboço gráfico das funções seguintes: 
 
 
[NOVA SUESC] Página 40 
 
a) y = 3 x = 
 
b) y = 1 + 3 x = 
 
c) y = 2 -x = 
 
d) y = ( 1 ) x = 
 3 
 
e) y = 2 + ( 1 ) x = 
 3 
 
2) Resolver a equação: 
 n__ 
a) \/ a = a nx ⇒ x = 1 . 
 n2 
b) 2 x² + 2x = 1 ⇒ x = 0 e x = -2 
 
c) a (x - 1)x = a 3x ⇒ x = 0 e x = 4 
 
d) 3 x = 729 ⇒ x = 6 
UNIDADE V 
 
5 - FUNÇÃO LOGARITMICA 
A figura 1 que se encontram no item família de funções exponenciais sugere que se b > 0 
e b 1, então o gráfico de y = satisfaz o teste da reta horizontal, e isso implica que a 
função f (x) = tem uma inversa. Para encontrar uma fórmula para esta inversa (com x 
como variável independente), podemos resolver a equação x = para y com uma função 
de x. Isto pode ser feito tomando o logaritmo na base de b de ambos os lados desta 
equação. Isto dá lugar a 
 
 = ( ) 
Porém, se pensarmos ( ) como expoente ao qual b se deve ser elevado para 
produzir , então fica evidente que ( ). Assim, pode ser reescrito como 
y = 
5.1 - DEFINIÇÃO DE LOGARITMO 
 
 
 sendo b>0 ,a>0 e a≠1 
 
a= base do logaritmo 
b= logaritmando ou antilogaritmo 
x= logaritmo 
bxba a
x log =⇔= 
:obtemos log igualdade Na bx a=
 
[NOVA SUESC] Página 41 
 
 
Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma: 
Função crescente 
Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma: 
Função decrescente 
 
Características do gráfico da função logarítmica, y = logax 
O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0. 
Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1. 
Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R. 
 
 
Consequências da definição 
 
Sendo b>0 ,a>0 e a≠1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas 
consequências da definição de logaritmo: 
 
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0, é denominada 
função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo 
15 pois 01log 3)
164 pois 216log 2)
322 pois 532log 1)
:Exemplos
0
5
2
4
5
2
==
==
==
 
[NOVA SUESC] Página 42 
 
conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. 
Exemplos de funções logarítmicas: 
f(x) = log2x 
f(x) = log3x 
f(x) = log1/2x 
f(x) = log10x 
f(x) = log1/3x 
f(x) = log4x 
f(x) = log2(x – 1) 
f(x) = log0,5x 
 
Determinando o domínio da função logarítmica 
 
Dada a função f(x) = (x – 2)(4 – x), temos as seguintes restrições: 
1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4 
2) x – 2 > 0 → x > 2 
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3 
 
Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 
< x < 4. 
 
Dessa forma, D = {x Є R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4} 
 
Gráfico de uma função logarítmica 
 
Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas 
situações: 
a¬ > 1 
0¬ < a < 1 
 
5.2 - PROPRIEDADE DO PRODUTO DO LOGARITMO 
 
Se encontrarmos um logaritmo do tipo: loga(x * y) devemos resolvê-lo, somando o 
logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a. 
loga (x * y) = loga x + loga y 
Exemplo: 
log2(32 * 16) = log232 + log216 = 5 + 4 = 9 
 
Propriedades do quociente do logaritmo 
Caso o logaritmo seja do tipo logax/y, devemos resolvê-lo subtraindo o logaritmo do 
numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a. 
logax/y = logax – logay 
Exemplo: log5(625/125) = log5625 – log5125 = 4 – 3 = 1 
 
Propriedade da potência do logaritmo 
Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse 
expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja como: 
logaxm = m logax 
Exemplo: 
log3812 = 2 log381 = 2 . 4 = 8 
 
 
[NOVA SUESC] Página 43 
 
Propriedade da raiz de um logaritmo 
Essa propriedade é baseada em outra, que é estudada na propriedade da radiciação, ela 
diz o seguinte: 
 
Essa propriedade é aplicada no logaritmo quando: 
 
Exemplo: 
 
 
Propriedade da mudança de base 
Existem situações nas quais precisaremos utilizar a tábua de logaritmos ou uma 
calculadora científica na determinação do logaritmo de um número. Mas para isso 
devemos trabalhar o problema no intuito de estabelecer o logaritmo na base 10, pois as 
tábuas e as calculadoras operam nessas condições,para isso utilizamos a propriedade da 
mudança de base, que consiste na seguinte definição: 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 
5.3 – APLICAÇÕES DE LOGARITMOS 
 
Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano, a Física e a Química utilizam 
as funções logarítmicas nos fenômenos em que os números adquirem valores muito 
grandes, tornando-os menores, facilitando os cálculos e a construção de gráficos 
 
Exemplo 1 
Paulo aplicou R$ 800,00 num investimento que rende 3% a.m., a juros compostos. 
Quanto tempo após a aplicação o saldo será de R$ 1.200,00? 
 
[NOVA SUESC] Página 44 
 
 
Exemplo 2 
Em uma determinada cidade a taxa de crescimento populacional e de 4% ao ano, 
aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de 
crescimento continuar a mesma? 
População do ano-base = P0 
População após um ano = P0 (1,04) = P1 
População após dois anos = P0 (1,04)² = P2 
População após x anos = P0 (1,04)x = Px 
Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, temos: 
 
Exemplo 3 
Em quanto tempo 800 g de uma certa substância radioativa, que se desintegra a uma 
taxa de 2% ao ano, se reduzirá a 200 g? Use: 
 
em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. 
 
 
[NOVA SUESC] Página 45 
 
UNIDADE VI 
 
LIMITES DE UMA FUNÇÃO 
 
6.1 - NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita 
(valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor 
correspondente de y: 
x y = 2x + 1
1,5 4 
1,3 3,6 
1,1 3,2 
1,05 3,1 
1,02 3,04 
1,01 3,02 
 
x y = 2x + 1 
0,5 2 
0,7 2,4 
0,9 2,8 
0,95 2,9 
0,98 2,96 
0,99 2,98 
 
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x 
tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja: 
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. 
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso 
que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) 
quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não 
seja 3. 
De forma geral, escrevemos: 
se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b). 
 
 
[NOVA SUESC] Página 46 
 
Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos: 
 
Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora 
para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y 
quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3. 
Escrevemos: 
 
Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. 
No entanto, ambas têm o mesmo limite. 
 
 
6.2 - DEFINIÇÃO 
Quando uma quantidade variável x se aproxima indefinidamente de uma quantidade fixa 
a, de modo que o valor absoluto da diferença (a - x), possa tornar-se e conservar-se 
menor do que uma quantidade dada qualquer. 
 
Lim f (x) = a 
x → a 
 
6.3 - LIMITES DE UMA FUNÇÃO POLINOMEAL 
 
Limite de uma função polinomial para 
Seja a função polinomial . Então: 
 
Demonstração: 
 
[NOVA SUESC] Página 47 
 
 
Mas: 
 
Logo: 
 
De forma análoga, para , temos: 
 
Exemplos: 
 
 
6.4 - LIMITES LATERAIS 
 
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos: 
 
 
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. 
 
Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, 
escrevemos: 
 
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
 
O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda 
são iguais, ou sejas: 
 
• Se 
 
• Se 
 
 
[NOVA SUESC] Página 48 
 
6.5 - CONTINUIDADE 
 
Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes 
condições são satisfeitas: 
• 
• 
• 
 
Propriedade das Funções contínuas 
 
Se f(x) e g(x) são contínuas em x = a, então: 
 
• f(x) g(x) é contínua em a; 
 
• f(x) . g(x) é contínua em a; 
 
• é contínua em a . 
 
1.2 - Operações fundamentais sobre limites 
 
Sendo u e v funções de x e m um número inteiro, demonstram-se que: 
 
a) Lim (u ± v) = Lim u ± Lim v 
 
b) Lim (u . v) = Lim u . Lim v 
 
c) Lim u = Lim u (com Lim v diferente de zero) 
v Lim v 
 
d) Lim (um) = (Lim u) m 
 
 m__ m______ 
e) Lim \/ u = \/ Lim u 
 
f) Lim Log u = Log Lim u (sendo u e Lim u positivos) 
 
g) Lim u . v = (Lim u) Lim v 
 
OBSERVAÇÕES: 
Nas aplicações do cálculo dos limites supõem-se as diversas igualdades simbólicas, 
que apresentaremos a seguir: 
Essas igualdades são símbolos; não podemos usar o cálculo algébrico operatório. 
 
1.2.1 - Limite de uma soma 
 
a) ( 1 ) + ( ± ∞ ) = ± ∞ 
 
 
[NOVA SUESC] Página 49 
 
b) ( +∞ ) + ( +∞ ) = + ∞ 
 
c) ( -∞ ) + ( -∞ ) = - ∞ 
 
d) ( +∞ ) + ( -∞ ) = nada se pode afirmar inicialmente 
 
O símbolo (∞ - ∞) é um símbolo de indeterminação 
 
1.2.2 - Limite de um produto 
 
a) ( ±∞ ) x ( ±∞ ) = + ∞ 
 
b) ( +∞ ) x ( -∞ ) = - ∞ 
 
c) ( -∞ ) x ( ±∞ ) = - ∞ 
 
d) ( a ) x ( +∞ ) = + ∞ ( a > 0 ) 
 
e) ( a ) x ( -∞ ) = - ∞ ( a > 0 ) 
 
f) ∞ x 0 nada se pode afirmar inicialmente 
 
⇒ O símbolo ( ∞ x 0 ) é um símbolo de indeterminação 
 
1.2.3 - Limite de um quociente 
 
a) K = ± ∞ b) - K = ± ∞ c) K = ± 0 d) - K = ± 0 
 ± 0 ± 0 ± ∞ ± ∞ 
 
e) ± ∞ = ± ∞ f) ± ∞ = ± ∞ g) 0 = 0 
 K - K ∞ 
⇒ ± 0 indica que a função tende a zero por valores superiores ou inferiores 
OBSERVAÇÃO: 
⇒ ∞ e 0 nada se pode afirmar inicialmente 
 ∞ 0 
 
1.2.4 - Limite da função exponencial 
 
a) k+∞ = + ∞ b) k-∞ = 0 c) 0+∞ = 0 d) 0-∞ = + ∞ 
e) ( +∞ )+∞ = + ∞ f) ( +∞ )-∞ = 0 g) ( ±∞ )k = ± ∞ h) ( ±∞ )-k = 0 
⇒ 00, ( +∞ )0 e 1+ ∞ são símbolos de indeterminação 
 
1.3 - EXERCÍCIOS 
 
1) Lim x2 + x - 1 = Lim x2 + Lim x - Lim 1 = 4 + 2 - 1 = 5 
x → 2 
 
 
 
[NOVA SUESC] Página 50 
 
2) Lim x2 - 3x + 1 = Lim x2 - Lim 3x + Lim 1 = 9 - 9 + 1 = 1 
x → 3 
 
3) Lim x3 - x2 + x + 5 = Lim x3 - Lim x2 + Lim x + Lim 5 = 0 - 0 + 0 + 5 = 5 
x → 0 
 
4) Lim x2 + 2x - 7 = Lim x2 + Lim 2x - Lim 7 = ∞ + ∞ - 7 = ∞ 
x → ∞ 
 
5) Lim x3 + 2x - 3 = Lim x3 + Lim 2x - Lim 3 = -∞ - ∞ - 3 = - ∞ 
x → -∞ 
 
LIMITES COM INDETERMINAÇÕES 
 
EXERCÍCIOS DO CASO “A” 
6) Lim (2x2 - 5x + 9) = ∞ - ∞ + 9 (∞ - ∞ é indeterminado) 
x → ∞ 
 
Lim x2 (2x2 - 5x + 9) = Lim x2 ( 2x2 - 5x + 9 ) = 
x → ∞ x2 x → ∞ x2 x2 x2 
 
Lim x2 ( 2 - 5 + 9 ) = Lim ∞ 2 ( 2 - 5 + 9 ) = ∞ ( 2 - 0 + 0) = ∞ 
x → ∞ x x2 x → ∞ ∞ ∞2 
 
7) Lim (x2 + 2x - 6) = ∞ 
x → -∞ 
 
8) Lim (x3 - 3x + 7) = - ∞ 
x → -∞ 
 
EXERCÍCIOS DO CASO “B” 
 
9) Lim 2x3 + 5x2 + x + 1 = ∞ (indeterminado) 
x → ∞ x3 + 5x - 7 ∞ 
 
dividindo por x3 
 
x3 ( 2x3 + 5x2 + x + 1 ) 2 + 5 + 1 + 1 . 
Lim x3 x3 x3 x3 = Lim x x2 x3 = 
x → ∞ x3 ( x3 + 5x - 7 ) x → ∞ 1 + 5 - 7 . 
 x3 x3 x3 x2 x3 
 
 2 + 5 + 1 + 1 . 
Lim ∞ ∞2 ∞3 = Lim 2 + 0 + 0 + 0 = 2 
x → ∞ 1 + 5 - 7 x → oo 1 + 0 - 0 
 ∞2 ∞3 
 
 
 
[NOVA SUESC] Página 51 
 
10) Lim x4 + 2x2 + 3 = ∞ 
x → -∞ x2 - x - 1 
 
11) Lim x2 + 3x + 1 = 0 
x → -∞ x3 - x2 - 1 
 
EXERCÍCIOS DO CASO“C” 
 
OBSERVAÇÃO: O Limite de f(x), racional, inteira, quando x → ± ∞ é igual ao limite do 
termo de maior grau de f(x) 
 
12) Lim 3x3 + 2x - 1 = Lim 3x3 = Lim 3x = Lim 3(-∞) = -∞ 
x → -∞ 2x2 - x + 3 x → -∞ 2x2 x → -∞ 2 x → -∞ 2 
 
13) Lim x2 - 1 = 0 
x → -∞ x3 + 2x + 2 
 
14) Lim 2x5 + x - 2 = - ∞ 
x → ∞ -3x2 + x + 5 
 
15) Lim x3 + 8 = ∞ 
x → ∞ 3x2 + 5x + 1 
 
16) Lim x2 - 3x + 1 = 1 . 
x → ∞ 4x2 + 1 4 
 
EXERCÍCIOS DO CASO “D” 
 
OBSERVAÇÃO: quando x → a (sendo “a” uma constante) 
 
LEMBRANÇA (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 
a2 - Sx + P = (x - a).(x + b) onde S é a soma (a + b) e P é o produto (a . b) 
 
17) Lim x2 - 4 = 4 - 4 = 0 (indeterminado) 
x→2 x2 - 5x + 6 4 - 10 + 6 0 
Lim (x + 2) (x - 2) = x + 2 = 2 + 2 = - 4 
x → 2 (x - 3) (x - 2) x - 3 2 - 3 
 
18) Lim x2 - 7x +10 = -3 . 
x → 2 x2 - 4 4 
 
19) Lim x2 + 5x - 6 = 7 . 
x → -6 x2 + 7x + 6 5 
 
20) Lim x2 - 9 = 6 . 
x → 3 x2 - x - 6 5 
 
21) Lim x2 - 7x + 12 = -1 . 
 
[NOVA SUESC] Página 52 
 
x → 3 x2 - x - 6 5 
 
22) Lim x2 - 6x - 7 = 8 . 
x → 7 x2 - 9x + 14 5 
 
23) Lim x2 - x - 56 = 5 . 
x → 8 x2 - 10x + 16 2 
 
24) Lim x2 -2x - 15 = 8 . 
x → 5 x2 - 3x - 10 7 
 
25) Lim x2 + 7x + 12 = 1 . 
x → -4 x2 + 2x - 8 6 
 
EXERCÍCIOS DO CASO “E” 
 
OBSERVAÇÃO: limites de equações com raízes 
 
LEMBRANÇA ⇒ (a - b).(a + b) = a2 - b2 
 
 ______ _____ 
26) Lim \/ x2 + 3 - \/ x2 - 5 = ∞ - ∞ (indeterminado) 
x → ∞ 
 
 ______ _____ ______ _____ 
Lim (\/ x2 + 3 - \/ x2 - 5) (\/ x2 + 3 + \/ x2 - 5) = 
x → ∞ ______ ______ 
 (\/ x2 + 3 + \/ x2 - 5 ) 
 
Lim (x2 + 3) - (x2 - 5) = x2 + 3 - x2 + 5 . = 
x → ∞ ______ _____ ______ _____ 
 (\/ x2 + 3 + \/ x2 - 5) (\/ x2 + 3 + \/ x2 - 5) 
 
Lim 8 = 8 = 0 
x → ∞ ______ ______ ∞ + ∞ 
 (\/ ∞2 + 3 + \/ ∞2 - 5 ) 
 
 _____ __ 
27) Lim \/x + 2 - \/ x = 0 
x → ∞ 
 ______ __ 
28) Lim \/x2 + x - \/ x = ∞ - ∞ (indeterminado) 
x → ∞ 
 _______ __ ______ ___ 
Lim (\/ x2 + x - \/ x) (\/ x2 + x + \/ x ) = 
x → ∞ ______ ___ 
 (\/ x2 + x + \/ x ) 
 
Lim x2 + x - x = x2 = 
x → ∞ ______ ___ ______ __ 
 
[NOVA SUESC] Página 53 
 
 (\/x2 + x + \/ x ) (\/ x2 + x + \/ x ) 
 
Lim x2 = 
x → ∞ _________ _______ 
 (\/ x2 (1 + 1 ) + \/ x2 ( 1 ) 
 x x 
 
Lim x
2
 = (dividindo tudo por x) 
x → ∞ _______ ____ 
 x \/ 1 + 1 + x \/ 1 . 
 x x 
 
Lim x = ∞ . = 
x → ∞ ______ ____ ______ ____ 
 \/ 1 + 1 + \/ 1 \/ 1 + 1 + \/ 1 . 
 x x ∞ ∞ 
 
Lim ∞ = ∞ = ∞ 
x → ∞ _____ __ 1 
 \/ 1 + 0 + \/ 0 
 
 __________ 
29) Lim \/ x2 + 2x + 3 - x = 1 
x → ∞ 
 
 3__ 
30) Lim \/ x - 2 = ∞ (indeterminado) 
x → ∞ x - 8 ∞ 
 
 3_______ 3___ 
 \/ x3 ( x ) - x ( 2 ) x \/ 1 - x ( 2 ) 
Lim x3 x = x2 x = 
x → ∞ x ( x - 8 ) x (1 - 8 ) 
 x x x 
 
 3__ 
 \/ 1 - 2 . 
Lim ∞3 ∞ = 0 - 0 = 0 
x → ∞ (1 - 8 ) 1 - 0 
 ∞ 
 5__ 
31) Lim 5 - \/ x = 0 
x → ∞ 1 - x 
 __ 
32) Lim \/ x - 2x = - 2 . 
x → ∞ 3x - 1 3 
 
 
 _____ 
33) Lim 1 - \/ x + 1 = 0 
x → ∞ x + 2 
 
 
[NOVA SUESC] Página 54 
 
 6_____ 
34) Lim \/ x + 1 + x = 1 
x → ∞ 2 + x 
 
 __ 
35) Lim 3 - 2x + \/ x = 0 
x → ∞ 2 + x2 + x 
 
UNIDADE VII 
DERIVADA DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL 
 
1 - ORIGEM DO CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 
O conceito de função que hoje pode parecer simples, é o resultado de uma lenta e longa 
evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos 
Babilónios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os 
Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma 
tensão com o seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente 
definido: as relações entre as variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas 
verbalmente ou por um gráfico. 
Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas 
cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas 
algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande 
impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam, a 
partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou 
função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se desenvolve 
em torno das propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de coordenadas, 
além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a "criação" de novas curvas, 
imagens geométricas de funções definidas por relacões entre variáveis. 
Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta 
das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que 
encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito 
e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta 
dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o " Problema da Tangente". 
Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar uma 
tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a 
reta PQ secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direcção a 
P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou 
a reta tangente à curva no ponto P. 
Fermat notou que para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores 
extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor 
assumido pela função num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto 
Q(x+E), f(x+E)) próximo de P, a diferença entre f(x+E)