capitulo II - TE0RIA DAS PR0JEC0ES CART0GRAFICAS

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Disciplina: Cartografia Geral II - PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS 
Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 1 
1. INTRODUÇÃO 
 
O conceito de Projeções Cartográficas é todo o arranjo sistemático dos 
meridianos e paralelos numa superfície plana. A forma de representação de 
coordenadas sobre o plano; sendo a intersecção do reticulado pode ser locada por 
meio de coordenadas cartesianas 
 yx,
 ou polares 
 ,r
. Cada projeção cartográfica 
tem equações únicas para 
 yx,
 ou 
 ,r
 que são usadas para definir e construir a 
projeção. Um ponto sobre a Terra de coordenadas geográficas 
 ,
 é representado 
no mapa por um ponto com coordenadas 
 yx,
. A correspondência entre pontos na 
superfície da Terra e o mapa plano não é exata, devido a mudança de escala e a 
superfície da Terra ser curva e não se ajusta ao plano sem que haja deformação ou 
distorção. 
 
 
Figura 1 Projeções Cartográficas 
 
PROJEÇÃO CARTOGRÁFICA 
 
 Arranjo sistemático de meridianos e paralelos retratando a superfície curva 
da esfera ou esferóide sobre um plano; 
 
 Forma de representação de coordenadas sobre o plano; a intersecção do 
reticulado pode ser locada por meio de coordenadas cartesianas (x,y) ou 
); 
 
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 ) que 
são usadas para definir e construir a projeção; 
 
 Um ponto sobre a Terra de coordenadas geográficas () é representado 
no mapa por um ponto com coordenadas (x,y) ou (r,)  há uma 
correspondência biunívoca; 
 
 A correspondência entre pontos na superfície da Terra e o mapa plano não 
pode ser exata: 
1°) Há a mudança de escala (impossível 1:1); 
2°) A superfície da Terra é curva e não se ajusta ao plano sem que haja 
deformação ou distorção. 
 
 Réplica exata da Terra em escala reduzida: GLOBO. ESCALA 
PRINCIPAL: a escala de um globo gerador representando a esfera ou 
esferóide, definida pela relação fracional de seus raios 
 
0.1
R
r
s
1
 
 
 
 FALSO: Escala constante para todas as distâncias, em todos os lugares e 
em todas as direções; 
 VERDADEIRO: Manter a escala principal ao longo de certos pontos no 
mapa: 
 L.D.Z. :Arcos sobre a projeção ao longo das quais a 
escala peincipal é mantida; 
 P.D.Z. :Pontos sobre a projeção; 
 Referimos-nos a uma área infinitesimal!! 
 
RELAÇÕES FUNCIONAIS (funções): 
 
X = f1 () 
Y = f2 () 
COORDENADAS CARTESIANAS 
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r = f3 () 
 = f4 () 
 
 
 
R
r
RZ
rZ
AB
B'A'

 
 
 
GLOBO GERADOR 
 
Réplica exata da Terra definida por 
r
1
s
1

. É fácil demonstrar 
que a superfície curva de uma esfera não pode ser ajustada a um 
plano. 
 
 
COORDENADAS POLARES 
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DISTORÇÃO LINEAR 
 
Quando a escala do mapa é conhecida a partir de sua fração representativa, 
pode-se supor que tal escala é constante sob 3 condições: 
1) Que a razão estabelecida pela fração representativa se aplica aos 
comprimentos de todas as linhas medidas sobre o mapa; pode-se também 
supor que a mesma relação se aplicará a todos os mapas da mesma escala, 
independentemente da parte do mundo que eles representem; 
2) Que a relação estabelecida pela fração representativa é constante para 
todas as partes do mapa (seja no centro ou na borda ou no canto da folha); 
3) Que a relação também é independente de direção (seja ela N-S, L-O, ou 
outra). 
As três condições acima parecem ser axiomáticas na maioria dos tipos de uso 
de mapas, a tal ponto que quase todos os usuários (exceto os navegadores) as aplicam 
sem maiores preocupações. 
Embora seja claramente impossível criar um mapa perfeito no qual a escala 
principal seja preservada em todo lugar, é fácil manter a escala principal ao longo de 
certas linhas (zonas infinitesimais) ou em certos pontos (círculos de raio infinitesimal) 
no mapa. Nestes, a escala é constante e igual à escala principal. 
 
SUPERFÍCIES INTERMEDIÁRIAS 
 
TANGENTE 
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 5 
SECANTE 
 
PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 
 
Se referem: 
- À natureza e localização dos PDZ ou LDZ com respeito ao contorno do hemisfério 
ou planisfério; 
- À localização dos pontos singulares no mapa e como eles são apresentados; 
- Característica das distorções (isogramas) 
 
Escala Particular: 
 
Além dos PDZ e LDZ, a escala do mapa varia continuamente e torna valores 
chamados  . Pode haver uma variedade de escalas particulares em diferentes direções 
partindo de um ponto sobre o mapa; elas também mudam de lugar para lugar. É 
possível sempre determinar duas escalas particulares em qualquer ponto: ao longo do 
meridiano (h) e ao longo do paralelo (k) 
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- Escala de área: p = a.b; 
- Erro de Escala:  - 1; 
- Distorção de área: p – 1; 
- Deformação Angular: sen
b)(a
b)-(a
2
w







 
 
PROPRIEDADES ESPECIAIS: 
 
- Conformidade: a = b w = 0° 
- Equivalência: a.b = 1 
- Eqüidistância: h = 1 ou K = 1 
 
 
MATEMÁTICA DAS PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS: 
 
Considere uma projeção cartográfica de parte da superfície de 
um globo que satisfaça as equações: 
 
X = f1 ( 2 
 
Tome uma parte da superfície curva de um globo gerador, 
qual seja um quadrilátero esférico formado pelas interseções de um 
par de meridianos com um p-ar de paralelos. Seja A um ponto com 
coordenadas () e outros três pontos B, C e D localizados ao 
Norte e a Leste de A. Tome a diferença em latitude como  e a 
diferença em longitude como . Daí: 
 
 
 
PONTO LATITUDE LONGITUDE 
A  
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B  
C  
D  
 
A representação plana do quadrilátero esférico é: 
 
PONTO COORD. CARTESIANAS 
A’ X Y 
B’ X + X Y + Y 
C’ 
D’ 
 
 Considere que as figuras correspondentes às do quadrilátero 
esférico e sua representação plana tenham sido reduzidas em 
tamanho até se tornarem infinitesimais. Conseqüências importantes 
disso são: 
a) As linhas correspondentes no globo e no mapa se 
aproximam, mais e mais, de linhas retas. 
b) Os ângulos formados pelas interseção dos pares de linhas 
permanecem invariáveis. 
Sendo assim, o quadrilátero esférico, formado originalmente 
por pares de meridianos e paralelos que fazem interseção com 
ângulos retos, é transformado em uma figura retilínea na qual os 4 
ângulos permanecem retos. 
PONTO LATITUDE LONGITUDE 
A  
B  
C  
D  
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 8 
 
O comprimento de arco elementar do meridiano pessando por 
A é dSm = R.d e o comprimento de arco elementar do paralelo 
passando por A é dSp = R.cosdDaí, o comprimento do arco 
elementar diagonal dS é calculado: 
dS² = dSm²+dSp² dS = (R².d²R².cos.d

 No mapa, os lados e as diagonais da representação plana 
(Figura A’ B’ C’ D’)são transformadas em linhas retas, mas os 
ângulos são preservados. No plano, o ponto A’ = (x,y) e C’ = 
(x+dx, y+dy) 
 
 Queremos determinar: 
h =
AB
B'A'
 k = 
AD
D'A'
 
 
ds
ds'
AC
C'A'
 
 
 
Conhecemos: AB = R.d 
 AD = R.cosd 
 AC = (R².d²R².cos².d
Devemos calcular: 
A’B’ A’D’ A’C’ 
 
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 9 
Vamos construir linhas auxiliares para facilitar a 
interpretação: 
 A’S’, B’P’, C’Q’, D’R’ // EIXO X 
 A’P’, B’Q’, C’R’, D’S’ // EIXO Y 
 
A’B’ – Arco de meridiano passando por A’ 
A’D’ – Arco de paralelo passando por A’ 
A’C’ – Qualquer arco por A’ que faz ângulo 
(= ds’) – Com o meridiano que passa por A’ 
A’P’ – Incremento em y causado por incremento em latitude 
P’B’ – Incremento em x causado por incremento em latitude 
A’S’ – Incremento em x causado por incremento em 
longitude 
D’S’ - Incremento em y causado por incremento em 
longitude 
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 10 
 
O incremento dx entre A’ e C’ é composto por dois elementos 
lineares, P’B’e Q’C’, ou seja: 
dx = 






d
x
d
x

 
 
O incremento dy entre entre A’ e C’ também é composto por 
dois elementos lineares, A’P’ e B’Q’, daí: 







yy
 dy
 
 
O arco diagonal A’C’ = ds’ é calculado por: ds’² = dx² + dy² 
22
d
y
d
y
d
x
d
x
'²ds 
























 
 
 
 
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 11 
 
 
 
 
 
 
E,F e G: Primeiras quantidades fundamentais de Gauss. 
 
Escala ao longo do meridiano: 
AB
'B'A
h 
 
 














































d.E'B'A
²d . E²d.
YX
'²B'A
Y
 
X
 '²P'A '²P'B'²B'A
22
22
 
 
O arco elementar AB já foi determinado anteriormente e é 
dado por dsm. Portanto: 
R
E
d.R
d.E
AB
'B'A
h 



 
Uma vez que temos que relacionar esta escala à escala 
principal, então R=1 e 
.Eh 
 
 
22
















 yx
E
 
 




















 x
.
xy
.
y
F
 
 
22
















 yx
G
 
 
2d.Gd.d.F2²d.E'²ds 
 
 
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 12 
Escala ao longo do paralelo: 
AD
'D'A
K 
, 


















 d.G'D'Ad
Y
d
X
'²S'D'²S'A'²D'A
22, e 
já sabemos que 
AD = dsp. Então: 
 
 
 
 
Escala ao longo de qualquer arco passando por A que faz um 
ângulo 

com o meridiano de A: 
 
  2
1
2
1
²d . ²cos . ²R²d . ²R
²d . Gd . d . F2²d . E
ds
'ds
ds
'ds
AC
'C'A




 
 
Fazendo R=10: 
 
 
  2
1
2
1
²d . ²cos²d
²d . Gd . d . F2²d . E



 
 
Ângulo formado em A’ pela intersecção dos meridianos e 
paralelos: 
 


cos . K . h
F
'cos
 
 
Escalas particulares: 
 







cos
G
K1R,
cos.R
G
d.cos.R
d.G
K
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 13 



cos
G
K
Eh
 
 
Agora, deve-se determinar: 
 
- Escala particular: Máxima (a) 
 
 Mínima (b) 
 
OTEOREMA DE TISSOT E AS DIREÇÕES PRINCIPAIS 
 
 “Qualquer que seja o sistema de projeção, há em cada ponto 
de uma das superfícies, duas direções perpendiculares entre si e, se 
os ângulos não forem preservados, há apenas duas delas, tal que as 
direções que lhes correspondem na outra superfície também fazem 
intersecção em ângulos retos”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUPERFÍCIE ESFÉRICA 
 









 
 
 
 
 
 
SUPERFÍCIE PLANA 
 


’





’
 
 
 
 
 
’ 
 
 
 
 
'
'
'




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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 14 
Onde ’ = 90°, duas direções ortogonais foram definidas. 
Estas são chamadas “as direções principais”. 
Um círculo de raio infinitesimal sobre a superfície do globo 
será transformado em uma elipse infinitesimal no plano, resultando 
em uma figura conhecida como Indicatriz de Tissot ou Elipse de 
distorção. As direções principal são aquelas nas quais as escalas 
particulares são valores máximo e mínimo para aquele ponto. Estas 
correspondem aos semi-eixos da Elipse de Distorção. 
 
x = ds. sen u = sen u x’ = ds’. sen 
u’ 
y = ds. cos u = cos u y’ = ds’. cos 
u’ 
 
Dos comprimentos dos dois semi-eixos da elipse, vem que: 
b.x x'
x
x'
1
b
a.y y'
y
y'
1
a


 
Substituindo: 
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 15 
u sen a. u' cos . ds' y'
u sen . b u' sen ds'. x'


 
Combinando estas equações, tem-se: 
 
 usen .b u cos.a ds' 22222 
 
 
ESCALA DE ÁREA OU EXAGERO DE ÁREA 
 
A área do quadrilátero A’ B’ C’ D’ é dada por A’B’ . A’D’ . 
sen ’. 
 Portanto, 
P = h . k . sem ’ = a . b 
 
DEFORMAÇÃO ANGULAR 
 
Da diferença entre os ângulos u e u’ é possível avaliar a 
alteração em direção da linha A’C’; sabemos que tg u = 
y'
x'
 u' tg e 
y
x

 e que x’ = b.x e y’ = a.y. Daí: 
 
b
a
ay
bx
y
x
y'
x'
y
x
u' tg
u tg

 
 
Então: 
tg u’ = 
u tg . 
a
b
 
 
 
u tg .
a
b
 u tg u' tg u tg 
 
 
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 16 
 
u tg .
a
ba
u tg .
a
b-a
u' cos . u cos
)u'(u sen
u' cos . u cos
)u'-u( sen



 
 
 
)u'(u sen .
ba
b-a
 )u'-u( sen 


 
 
Se sen (u+u’) = 1, para (u+u’) = 90º, a equação tem valor 
máximo. Daí, a deformação máxima (), isto é, o ângulo composto 
por duas direções tal que cada lado do ângulo foi defletido de um 
valor máximo: 
ba
b-a
 sen



2
 
 
Escala particular: 
- Ao longo do meridiano - h 
- Ao longo do paralelo - k 
- Máxima - a 
- Mínima – b 
 

 : Ângulo no globo entre a direção principal I e o meridiano 

 
que passa por A. 

’ : Ângulo correspondente no mapa 
 
1 ' cos 'sen 22 
 
 
' cos .b ' sen.a k
' sen.b ' cos .ah
222 2
2222


2
2 
 
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 17 
Expressão algébrica do 1º Teorema de Apolônio: “A soma 
dos quadrados dos dois diâmetros conjugados de uma elipseé 
constante”. 
2222 b a k h 
 
 
O 2° Teorema de Apolônio afirma que “a área do 
paralelogramo formado pelos dois semi-diâmetros conjugados de 
uma elipse é igual à área do retângulo formado pelos semi-eixos 
daquela elipse”.Ou seja: 
 
b . a ' sen .k . h 
 
 
É possível avaliar a e b a partir de h, k e ’: 
 
2
1
22 )'sen .k . 2h K (h b a 
 
 
EXEMPLO DO USO DAS EQUAÇÕES 
 
Dadas as equações de uma projeção 
),(f y e ),(f x 21 
, obter 







 y
,
y
,
x
,
x
 e calcular E, F e G para dado 
),( 
, o que permire 
obter h, k, cos’. Assim, é possível calcular a, b, p, 

. Para 
desenhar isogramas satisfatórios, torna-se necessário derivar 
valores para ~50 pontos no mapa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 18 
 
1. PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQÜIDISTANTE (Anaximander, 
550A.C. ) 
 
 y e x
 
te!Eqüidistan Projeção :Obs. 1E h
1
yx
 G
0
x
.
xy
.
y
 F
1
yx
 E
0
y
 1
y
 1
x
 0
x
22
22




































































 
b) a(
b) - a(
2
 sen
h b k, a90º ' )' sen .k h. . 2k (h ba
 sec ' sen . sec . 1 ' sen .k . h p
1 ' sen º90'0
) cos .k . (h
F
 ' cos
 sec
 cos
G
 k 
2
1
22











 
 
2. PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUIVALENTE (Lambert, 1772) 
 
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 19 
e!Equivalent 1.0 p sec k cos h
1 G 0 F cosE
0
y
 cos 
y
 1
x
 0
x
 sen y x
2















 
 
Dado 

, calcular a, b, 

; notar que 
90º
, então a = k, b 
= h. 
 
3. PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQÜIDISTANTE MODIFICADA 
(Marinus, 100 D. C.) 
 
X = cos 

. 

 Y = 

 
 
4. PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQÜIDISTANTE MODIFICADA 
(Behrmann, 1910) 
 
X = cos 
 .
 Y = sec 
 sen . 
 
 
O USO PRÁTICO E A INTERPRETAÇÃO DAS 
CARACTERÍSTICAS DE DISTORÇÃO DE UMA PROJEÇÃO 
CARTOGRÁFICA 
 
Considere as expressões gerais para as projeções cilíndricas 
de aspecto normal: 
 


 90 ' sec k )( f yk . h p 
d
dy
 h x
 
A projeção cilíndrica equivalente (Lambert, 1772), com 
separação decrescente de paralelos, é dada por: 
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Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 20 
 
 sec k sen y 1.0 p cos h x
 
 
Geralmente, os valores das escalas particulares são calculados 
para um reticulado espaçado, por exemplo, 10º ou 15º de 

 e 

 
em um mapa-mundi. Os resultados dos cálculos efetuados para a 
projeção de Lambert são listados em forma de uma tabela. A partir 
de tais valores numéricos são plotados gráficos mostrando as 
variações em escalas particulares com 

. 
Podemos interpretar a tabela da seguinte maneira: 
 
a) Procurar evidência da localização de LDZ e PDZ (verificar 
onde 
0º 1.0, p ,0 : linha 1ª 0.1 
, Equador é 
a L.D.Z.); 
b) Procurar evidência das propriedades especiais (a = b, a = 
1.0 h ,
b
1

ou 
 k = 1.0 

 todas linhas : p = 1.0); 
c) Procurar evidência das direções principais (no exemplo 
dado os paralelos e meridianos formam uma rede 
ortogonal e portanto as direções principais coincidem com 
o reticulado: k = a e h = b); 
 
d) Procurar evidência de pontos singulares (caracterizados por 
valores das escalas particulares iguais a 0 ou 
 
 última 
linha : 
 p , 0 b ,a,º90 
é indeterminado e 
º180
, pólos são pontos singulares e representados por 
linhas de comprimento igual ao do Equador; 
 
 
Disciplina: Cartografia Geral II - PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS 
Capítulo II – Teoria das Projeções Cartográficas 21 
e) Estudar a variação da escala particular com 

 (plotar 
gráficos para 
a = f(

) e b = f(

), onde cada ponto na posição 
corresponde a uma elipse infinitesimal localizada na 
intersecção dos paralelos com um meridiano, o mesmo pode 
ser feito para p e 

. 
 
f) Usar a representação espacial das elipses de distorção 
(plotar a e b em alguma escala arbitrária conveniente e 
construir as elipses correspondentes aos diferentes pontos 
na projeção); 
 
g) Plotar uma série de isogramas indicando valores 
constantes para algum dos parâmetros de distorção (neste 
exemplo 
 100 ,60 ,30 ,10 
).