Lista 3 :)

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Terceira Lista de Geometria Anal´ıtica
1. Sejam P = (2, 1,−1) e Q = (0,−1, 0). Determine um ponto C da reta PQ tal que a
a´rea do triaˆngulo ABC seja 9, nos casos
a) A=(0,3,0), B=(6,3,3)
b) A=(-1,1,2), B=(-5,-3,4).
Resp.: a) (2,1.-1) e (22/19, 13/9, -11/9), b) qualquer ponto da reta PQ
2. Estabelecer as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto de intersec¸a˜o das
retas
r : x− 2 = y + 1
2
=
z
3
e s :
x = 1− yz = 2 + 2y
e e´, ao mesmo tempo, ortogonal a r e s.
3. Seja o plano:
pi : 2x− y + 3z + 1 = 0.
Calcular:
(a) O ponto de pi que tem abscisa 4 e ordenada 3;
(b) O ponto de pi que tem abscissa 1 e cota 2;
(c) O valor de k para que o ponto P = (2, k + 1, k) pertenc¸a a pi;
(d) O ponto de abscissa zero e ordenada e´ o dobro da cota.
4. O plano pi : x + y − z − 2 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C.
Calcular a a´rea do triaˆngulo ABC.
5. Determinar a equac¸a˜o geral do plano que:
(a) Passa pelos pontos A = (−3, 1,−2) e B = (−1, 2, 1) e e´ paralelo ao vetor −→v =
2
−→
i − 3−→k .
(b) Conte´m os pontos A = (1,−2, 2) e B = (−3, 1,−2) e e´ perpendicular ao plano
pi : 2x+ y + 2z − 3 = 0.
6. Escrever uma equac¸a˜o vetorial do plano pi, utilizando as informac¸o˜es dadas em cada
caso:
(a) pi conte´m A = (1, 2, 0) e e´ paralelo aos vetores −→u = (1, 1, 0) e −→v = (2, 3,−1).
(b) pi conte´m A = (1, 1, 0) e B = (1,−1,−1) e e´ paralelo ao vetor −→v = (2, 1, 0).
(c) pi conte´m A = (1, 0, 1) e B = (0, 1,−1) e e´ paralelo ao segmento de extremidades
C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0).
(d) pi conte´m os pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1,−1) e C = (1,−1, 0).
7. Dada a equac¸a˜o geral do plano pi : 3x − 2y − z − 6 = 0, determinar um sistema de
equac¸o˜es parame´tricas de pi.
8. Calcular o ponto de intersec¸a˜o das retas:
r :

x = 5 + t
y = 2− t
z = 7− 2t
e s :
x− 2
2
=
−y
−3 =
−z + 5
−4
Resposta: (4,3,9).
9. Determinar a e b, de modo que os planos
pi1 : ax+ by + 4z − 1 = 0 e pi2 : 3x− 5y − 2z + 5 = 0
sejam paralelos.
Resposta: a=-6 e b=10.
10. Determinar m de modo que os planos
pi1 : 2mx+ 2y − z = 0 e pi2 : 3x−my + 2z − 1 = 0
sejam perpendiculares.
Resposta:1/2.
11. Mostrar que a reta
r :
x− 1
1
=
y + 1
−2 ; z = 0
esta´ contido no plano pi : 2x+ y − 3z − 1 = 0.
12. Determinar o aˆngulo entre:
(a) pi1 : x+ 2y + z − 10 = 0 e pi2 : 2x+ y − z + 1 = 0;
(b) r :
x− 2
3
=
−y
4
=
z + 1
5
e o plano pi : 2x− y + 7z − 1 = 0.
Resposta: (a) 60o e (b) 60o.
13. Encontrar equac¸o˜es reduzidas da reta intersec¸a˜o dos planos:
pi1 : 3x− y + z − 3 = 0 e pi2 : x+ 3y + 2z + 4 = 0.
14. Determinar o ponto de intersec¸a˜o das retas:
r :

3x+ y + 6z + 13 = 0
9x+ 3y + 5z = 0
e s :

x = 1
4x+ y − z − 9 = 0
.
Resposta: (1,2,-3).
15. Determinar a equac¸a˜o geral do plano que conte´m o ponto A = (2, 0, 1) e a reta in-
tersec¸a˜o dos planos
pi1 : 2x− 3y − 5z = 0 e pi2 : x− y = 0.
Resposta: 5x-7y-10z=0.
16. Obtenha um vetor normal ao plano pi nos seguintes casos, e depois usando-o encontre
a equac¸a˜o geral do plano:
a) pi passa por A = (1, 1, 1) e B = (1, 0, 1) e C = (1, 2, 3).
b) pi tem equac¸o˜es parame´tricas

x = 1 +λ
y = 2 −λ+ µ λ, µ ∈ R
z = λ −2µ
17. Decomponha ~u = (1, 2, 4) como soma de um vetor paralelo a` reta r : X = (1, 9, 18) +
λ(2, 1, 0) com outro paralelo ao plano pi :

x = 1 + λ
y = 1 + µ
z = λ− µ
(λ, µ ∈ R).
Resp.: ~u = (11, 7, 4) + (−10,−5, 0).
18. Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano pi que passa pelo ponto P = (1, 1, 2) e e´ paralelo
ao plano pi1 com equac¸a˜o geral pi1 : x− y + 2z + 1 = 0.
19. Estude a posic¸a˜o relativa das retas r e s nos seguintes casos:
a) r :
x+ 1
2
= y = z + 12 e s : X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0), λ ∈ R
b) r :
x− 1
3
=
y − 5
3
=
z + 2
5
e s : x = −y = z − 1
4
c) r :
x+ 1
2
= y = −z e s :
 2x− y − 2z = 0x− y − 2z = 0
20. Note que dois planos transversais tem como intersec¸a˜o uma reta. Assim sendo, dados
pi1 : 2x+ y + z = 0 e pi2 : x+ y − z + 3 = 0 verifique que sa˜o transversais e encontre a
reta r = pi1 ∩ pi2.
21. Pelo exerc´ıcio anterior uma reta pode ser dada como a intersec¸a˜o de dois planos. Sendo
assim, calcule m em cada caso, usando a informac¸a˜o dada sobre as retas
r :
 x−my + 1 = 0y − z − 1 = 0 s : x = ym = z t :
 x+ y − z = 0y + z + 1 = 0
a) r e s sa˜o paralelas.
b) r e t sa˜o concorrentes.
c) r e s sa˜o reversas.
d) r, s e t sa˜o paralelas a um mesmo plano.
e) s e t sa˜o coplanares.
Resp.: a) m=1, b) m qualquer, c) m 6= 0, 1, d) m=1, e) na˜o existe m.
22. Mostre que as retas r e s determinam um plano pi e obtenha uma equac¸a˜o geral de pi.
a)r : x− 1 = y = 2z e s : x− 1 = y = z.
b)r : (x− 1)/2 = (y − 3)/3 = z/4 e s : x/2 = y/3 = (z − 4)/4.
Resp.: a) x-y-1=0, r e s sa˜o concorrentes, b) 8x-4y-z+4=0, r e s sa˜o paralelas.
23. Encontre m ∈ R de modo que a reta r : x− 1
m
=
y
2
=
z
m
seja transversal ao plano
pi : x+my + z = 0. (Resp.: para qualquer m 6= 0)
24. Sejam r : X = (n, 2, 0) + λ(2,m, n) e pi : nx − 3y + z = 1. Usando, em cada caso, a
informac¸a˜o dada, obtenha condic¸o˜es sobre m e n.
a) r e pi sa˜o paralelos,
b) r e pi sa˜o transversais,
c) r esta´ contida em pi.
Resp.: a) m = n 6= ±√7, b) m 6= n, c) m = n = ±√7
25. Determinar, no eixo das ordenadas, um ponto equidistante de A(1,1,4) e B(-6,6,4).
Resp.: (0,7,0)
26. Sejam o ponto P(1,2,3) e a reta
r :

x = 1− 2t
y = 2t
z = 2− t
.
a) Calcule a distaˆncia de P a` reta r.
b) Determine a distaˆncia de P a cada um dos eixos coordenados.
Resp.: a) 2, b)
√
13,
√
10,
√
5
27. Calcular a dista˜ncia entre as retas r e s nos seguintes casos:
a)
r :
x = 0y = z e s :
y = 3z = 2x .
b)
r :

x = 1− t
y = 2 + 3t
z = −t
e s : eixo Ox.
c)
r : x = y = z − 2 e s :
y = x+ 1z = x− 3 .
Resp.: a)
3√
6
, b)
2√
10
, c)
√
186
3
28. Determinar a distaˆncia do ponto P (2,−1, 2) aos planos pi1 : 2x − 2y − z + 3 = 0 e
pi2 : x+ y + z = 0. Resp.: 7/3 e 0
29. Dado o tetraedro de ve´rtices A(1, 2, 1), B(2,−1, 1), C(0,−1,−1) e D(3, 1, 0), calcular
a medida da altura baixada do ve´rtice D ao plano de face ABC. Resp.: 8/
√
19
30. Escrever as equac¸o˜es dos planos paralelos ao plano pi : 3x−2y−6z−5 = 0 qua distam
5 unidades da origem.
Resp.: pi : 3x− 2y − 6z ± 35 = 0
31. Calcular a distaˆncia entre os planos paralelos pi1 : x− 2z+1 = 0 e pi2 : 3x− 6z− 8 = 0
Resp.: 11/3
√
5
32. Determinar a distaˆncia da reta r ao plano pi : x+ y − 12 = 0, onde
r :

x = 3
y = 4
z = t
.
Resp.: 5/
√
2