Engenharia Civil Exercicios Topografia

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ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
UNIVERSIDADE DO ALGARVE 
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
T O P O G R A F I A 
 
 
 
E X E R C Í C I O S P R O P O S T O S 
 
 
 
 
David Pereira 
Fernando Martins 
Helena Fernandez 
 
 
Faro, Maio 2000 
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA EXERCÍCIOS PROPOSTOS TOPOGRAFIA 
UNIVERSIDADE DO ALGARVE 
 
 
 
 
1
 
DISTÂNCIAS 
 
 
1. Pretende-se medir uma distância AB , com uma fita de aço, mas entre os pontos “A” 
e “B” passa uma ribeira, o que torna difícil a marcação de um alinhamento. Com a ajuda 
de um esquadro e aplicando os princípios da geometria plana resolve-se o problema, da 
seguinte maneira: 
 
Calcule a distância AB , sabendo que as distâncias BC , CD foram medidas, tendo-se 
obtido os seguintes valores: 
 
 BC = 14.828 m 
 CD = 25.173 m. 
 
 
Solução: 27.907 m. 
 
 
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2
2. Calcule a altura do farol CD , sabendo que se estacionou uma vez em A e depois em 
B, tendo-se obtido os seguintes valores: 
 
AB = 51.30 m 
a = 18.3304 grados 
b = 144.1481 grados 
t = 13.7332 grados 
h = 34.0370 grados 
 
Solução: CD = 15.55 m. 
 
 
3. Queremos saber a altura de uma árvore BE cujo ápice visamos de dois pontos A e D, 
distanciados entre si de 45.60 m, com um goniómetro estacionado à altura de 1.60 m, 
acima do terreno plano e horizontal. Os ângulos a e b, lidos são respectivamente de 
5.8200 grados e 13.7200 grados. 
 
 
 
 
 
 
Solução: 8.79 m. 
 
 
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3
4. Com base na figura e nos dados seguintes, determine: 
 
a=6.975 grados 
DN=2.60 m 
lm=1.500 m 
K=100 (constante estadimétrica) 
i=1.53 m 
 
a) A distância horizontal (D). 
b) A leitura inferior e superior do retículo. 
 
Solução: a) D = 23.36 m b) ls = 1.618 m li = 1.382 m. 
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4
 
ESCALAS 
 
 
5. Um terreno com 5 ha ocupa uma área de 20 cm2 numa determinada carta. Qual a 
escala usada na carta? 
 
Solução: 1:5000 
 
 
6. Com um planimetro polar, percorreu-se, no sentido horário o contorno de uma 
superfície desenhada na escala 1:1000, tendo-se feito as seguintes leituras: 
 
Leitura inicial = 7221 
Leitura final = 8521 
 
Determine a área gráfica e real correspondentes às leituras feitas, supondo que foi 
utilizado o planimetro com o pólo no exterior, e considerando que o zero do disco não 
passou pela referência e que a constante de multiplicação é C = 10 mm2. 
 
 
Solução: Área gráfica = 130 cm2 Área real = 1.3 ha 
 
 
7. Pretende-se executar a planta de uma vila de modo a que os objectos de 3.00 m já 
tenham representação. Qual é a escala mínima a adoptar, se admitirmos como erro de 
graficismo 0.00025 m. 
 
Solução: 1:12000 
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5
 
ALTIMETRIA 
 
 
8. Sabendo que o ângulo de inclinação da linha que une um ponto A, de cota 352 m, 
com um ponto B, de cota desconhecida é 7º 20’ e que a distância horizontal entre esses 
pontos é representada por um segmento de 32 mm numa carta 1:25000, determine a cota 
do ponto B. 
Solução: CB = 455 m. 
 
 
9. Considere uma estrada com declive constante de 10%. Admitindo que a cota do 
ponto A do eixo da estrada é 34.3 m, calcule a cota do ponto B também do eixo da 
estrada, sabendo que a distância que os separa numa carta à escala 1:5000 é 0,7 cm. 
 
 
Solução: CB = 37.8 m. 
 
 
10. Considere dois pontos, A e B, representados numa escala 1:25 000. A distância 
entre eles medida no terreno, é de 0.92 km. Supondo que a cota do ponto A é de 235 m 
e o declive entre A e B constante é igual a 5 %, indique quais as curvas de nível que 
passam entre esses pontos, adoptando uma equidistância gráfica de 0.4 mm. 
 
 
Solução: 240 m, 250 m, 260 m, 270 m e 280 m. 
 
 
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6
11. Sabendo que estacionou nos pontos A,B e C foi estacionado um nível, complete a 
seguinte tabela de nivelamento geométrico. 
 
 
ESTAÇÃO 
Ponto 
Visado 
Leitura 
Atrás 
(m) 
Leitura 
Intermédia 
(m) 
Leitura à 
Frente 
(m) 
Cota da 
Estaca 
(m) 
A 
 1 0.982 200.000 
 2 1.745 ..… 
 3 3.092 ..… 
B 
 3 0.815 
 4 1.902 ..… 
 5 2.334 ..… 
 6 3.717 ..… 
C 
 6 0.508 
 7 2.423 ..… 
 
 Os pontos estacionados são representados pelas bolas e as estacas pelas cruzes. 
 
 
Solução: 199.237 m, 197.890 m, 196.803 m, 196.371 m, 194.988 m, 193.073 m. 
 
 
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12. Considere a seguinte figura: 
 
Partindo da cota E (280.673 m), determine a cota da marca N seguindo as leituras do 
quadro seguinte e completando-o. 
 
 
ESTAÇÃO 
Ponto 
Visado 
Leitura 
Atrás 
(m) 
Leitura à 
Frente 
(m) 
Diferenças 
(+ vs -) 
(m) 
Cota da 
estaca 
(m) 
E 280.673 
 1 2.953 …. …. 
A 
 1 0.958 …. 
 2 2.987 ..… 
B 
 2 1.270 …. 
 3 3.520 ..… 
C 
 3 1.973 …. 
 N 2.057 ..… 
Nota: A altura do instrumento em E é de 1.560 m 
 
 
Solução: 279.280 m, 277.251 m, 275.001 m, 274.917 m. 
 
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13. Com um taqueómetro cujo limbo vertical mede ângulos de inclinação, estacionou-se 
num ponto A e visou-se a estação seguinte (ponto B), tendo-se registado os seguintes 
valores: 
 
altura do aparelho : 1.45 m 
ângulo de inclinação : 1.910 grados 
fio superior : 1.602 m 
fio médio: 1.301 m 
fio inferior: 1.000 m 
 
Em seguida, estacionou-se no ponto B e visou-se o ponto A, tendo-se obtido os 
seguintes valores: 
 
altura do aparelho : 1.65 m 
fio superior : 1.953 m 
fio médio: 1.691 m 
fio inferior: 1.429 m 
 
a) Calcule a distância entre os pontos A e B e a cota do ponto B, sabendo que a cota do 
ponto A é de 134.876 m. 
b) Supondo que não existem quaisquer tipos de erros, determine o ângulo de inclinação 
na segunda medição. 
 
 
Solução: a) AB = 60.146 m e CB = 136.830 m b) i = 397.976 grados. 
 
 
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9
14. Para cotar seis pontos O, P, Q, R, S e T duma linha de nivelamento, fez-se o 
seguinte nivelamento geométrico apoiado nos pontos Fonte e Corga: 
 
Posições da mira Leitura atrás Leitura à frente 
Fonte 1.024 m ----- 
O 0.636 m 2.472 m 
P 0.886 m 3.544 m 
Q 2.984 m 0.952 m 
R 3.747 m 1.478 m 
S 1.636 m 0.328 m 
T 0.148 m 1.522 m 
Corga ----- 2.884 m 
 
 Sabendo que: 
 
Ponto Cota 
Fonte 428.70 m 
Corga 426.61 m 
 
Determine as cotas ajustadas dos seis pontos referidos. 
 
 
Solução: CO = 427.256 m, CP = 424.352 m, CQ = 424.290 m, CR = 425.801 m, 
CS = 429.224 m, CT = 429.342 m. 
 
 
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15. Observe a figura junta. A cota do braço horizontal da cruz da torre dacapela é 
conhecida, CV=312.320 m. Estacionou-se em E com um teodolito de segundos e mediu-
se a altura do aparelho i = 1.600 m, sendo de seguida lido o ângulo zenital ZE’V = 
62.2575 grados. Encostou-se uma mira MM’, à parede da torre e obtiveram-se as 
seguintes leituras, depois de ter horizontalizado a luneta (ZE’V’ = 100,0000 grados): 
 
Fio inferior = 0.222 m 
Fio médio = 0.445 m 
Fio superior = 0.668 m 
 
A largura da torre quadrada é de 4.00 m, na base. Calcule: 
 
a) a cota do terreno na base da torre (cota M’); 
b) a cota do instrumento (cota E); 
c) a cota da estação (cota de E’); 
 
 
Solução: a) 280.48 m b) 279.325 m c) 280.95 m 
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11
 
POLIGONAIS 
 
16. Considere o seguinte triângulo e as respectivas medições: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine as coordenadas do ponto B. 
 
Solução: MB = 221.5 m e PB = 150.4 m. 
 
 
17. Considere o seguinte triângulo topográfico e as respectivas medições: 
 
 
 
 
Determine as coordenadas do ponto B. 
 
Solução: MB = 155.5 m e PB = -30.5 m. 
 
gradosCBA
gradosACB
mAC
2.44
0.48
0.20
=
=
=
)
)
gradosR
mP
mM
AB
A
A
3.108
2.153
3.200
=
=
=
gradosACB
mBC
mAC
0.48
0.31
0.20
=
=
=
)gradosR
mP
mM
AB
A
A
1.105
8.28
2.134
=
-=
=
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18. Dado o rumo AB e os ângulos azimutais seguintes, determine o rumo da direcção 
DE, utilizando os diferentes trajectos possíveis. 
 
 Dados: 
 
gradosDEB
gradosEDC
gradosBCD
gradosCBA
gradosRAB
133ˆ
322ˆ
100ˆ
111ˆ
108
=
=
=
=
=
 
 
Solução: RDE = 241 grados. 
 
19. Sabendo que MA = 231457.60 m, PA = -65319.43 m, MD = 231373.84 m e 
PD = -65355.54 m quanto deve medir o ângulo DCB ˆ . 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: DCB ˆ = 67.36 grados. 
 
 
20. Dois pontos A e B são definidos pelas suas coordenadas rectangulares planas: 
 
î
í
ì
=
=
=
mP
mM
A
A
A
35.84
74.342
 B
M m
P m
B
B
=
=
= -
ì
í
î
13587
24170
.
.
 
 
Determine as coordenadas de C, que para um observador em A olhando para B, vê C à 
sua direita, e para onde se mediram os ângulos: 
 
mCD
mBC
mAB
gradosABC
gradosRBA
00.60
00.50
00.40
83
50
=
=
=
=
=
)
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13
<A = a = 64.117 grados 
<B = b = 86.806 grados 
 
Solução: MC = -199.58 m e PC = 85.29 m. 
 
21. Considere a seguinte figura: 
 
Conhecidas as coordenadas de B e C, estacionou-se num outro ponto A e mediu-se o 
azimute magnético (ângulo entre o norte magnético e uma direcção qualquer) para o 
ponto B. Do ponto A conhecem-se a convergência de meridianos e a declinação 
magnética. 
 
Coordenadas 
do ponto B 
(m) 
Coordenadas 
do ponto C 
(m) 
 Distância 
horizontal 
(m) 
 Convergência 
dos meridianos 
em A 
 
Cm = 0º 33’ 
18.54’’ 
 
MB = -10000.00 
 
MC = 20000.00 
 
AB = 8000.00 
 Declinação 
magnética em 
A 
 
dm = 9º 00’ 00’’ 
 
PB = 500.00 
 
PC = -3000.00 
 Azimute 
Magnético de 
A para B 
 
Azm =80º 27’ 36’’ 
 
CB = 100.00 
 
CC = 250.00 
 
 
 
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14
Determine: 
 
a) As coordenadas do ponto A. 
b) O ângulo azimutal ABC ˆ . 
c) A distância inclinada entre B e C. 
 
Solução: a) MA = -17559.81 m e PA = -2117.10 m. b) CBA = 154º 15’ 1.51’’ 
c) iBC = 30203.85 m 
 
22. São dados dois pontos A e B pelas suas coordenadas: 
 
Pontos M (m) P (m) Cota (m) 
A 116117.33 227775.15 137.15 
B 126118.57 225873.88 133.77 
 
Estacionado em A (altura do instrumento = 1.50 m) e apontando para B obtiveram-se: 
 
 
Posição 
Leitura azimutal 
(grados) 
Ângulo zenital 
(grados) 
DP 123.0073 101.0975 
IR 323.0197 
 
e apontando para C: 
 
 
Posição 
Leitura azimutal 
(grados) 
Ângulo zenital 
(grados) 
DP 132.1888 105.1756 
IR 332.1700 
 
 
ainda para C, foram lidas numa mira: 
 
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fi = 0.220 m 
fm = 1.350 m 
fs = 2.480 m 
 
Calcule as coordenadas planimétricas e altimétricas de C. 
 
 
Solução: MC = 116329.59 m, PC = 227702.01 m e CC = 119.01 m. 
 
 
23. Considere a figura seguinte, calcule o rumo da direcção AB e as coordenadas 
planimétricas do ponto C, tendo em conta as cotas, os ângulos azimutais figurados e os 
valores dados. A medida sobre o terreno é iAB = 50 m e iBC = 10 m e as coordenadas 
rectangulares do ponto A são MA = 130.563 m e PA = -65.312 m. 
 
 
Solução : MC = 169.703 m e PC = -71.872 m. 
 
 
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24. Considere a figura e os seguintes elementos: 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
 
a) O rumo da direcção CE segundo dois trajectos diferentes. 
b) O rumo da direcção CD. 
c) A distância BF e o rumo da direcção BF. 
 
Solução: a) RCE = 183º b) RCD = 73º c) BF = 70.16 m RBF = 177.8º. 
 
25. Considere a poligonal representada na figura, da qual se obtiveram os seguintes 
elementos: 
 
Coord. de A 
(m) 
Coord. de 
B (m) 
Coord.de 
E (m) 
 Distâncias 
reduzidas 
(m) 
 Ângulos 
azimutais 
Rumos 
MA = -100 MB = -20 ME = 200 BC = 80 DCB = 130º00’ RBC=40º00’ 
PA = 5 PB = -15 PE = -3 CD = 70 DEF = 140º00’ 
 EF = 90 DEF = 140º00’ 
 
mFE
mAF
mCD
mBC
mAB
mP
mM
A
A
44.33
81.64
74.114
00.50
00.57
0.0
0.0
=
=
=
=
=
=
=
º150
º95
º60
º80
º95
º70
º100
º58
=
=
=
=
=
=
=
=
FCD
BCF
CEF
EFC
CFA
FAB
ABC
R
AB
)
)
)
)
)
)
)
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Determine: 
 
a) O rumo RAB. 
b) A distância AB . 
c) O ângulo CBA ˆ . 
d) As coordenadas planimétricas dos pontos D e F. 
 
Solução : a) RAB = 104º 2’ 10.48’’ b) AB = 82.462 m c) < ABC = 115º 57’ 50.4’’ 
d) MF = 287.54 m PF = 17.91 m MD = 101.42 m PD = 46.28 m. 
 
 
26. Uma pequena rede topográfica de controlo tem quatro estações A, B, C e D. As 
estações C e D estão situadas a Este da linha AB. A partir dos seguintes dados, calcule 
as coordenadas de D. 
 
Coordenadas de A Coordenadas de B Distâncias reduzidas Ângulos azimutais 
MA = 4763.252 m MB = 2477.361 m AD = 4366.890 m BAC ˆ = 49º26’15’’ 
PA = 6372.156 m PB = 1544.789 m CD = 3632.471 m ACB ˆ = 65º37’39’’ 
 
Solução : a) MD = 8777.249 m PD = 4652.401 m. 
 
 
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27. Três pontos, P, Q e R têm as seguintes coordenadas: 
MP = 950.00 m MQ = 983.50 m MR=1027.69 m 
PP = 1200.00 m PQ = 1340.00 m PR = 1239.74 m 
 
Um ponto S é materializado sobre PQ , tal que a perpendicular, nele, à recta PQ passe 
por R. Quais são os comprimentos de SP , SR e SQ ?Solução: SP = 56.73 m SR = 66.31 m SQ = 87.22 m. 
 
 
28. As coordenadas de duas estações topográficas, A e B são: 
 
A
M m
P m
A
A
=
=
=
ì
í
î
323679 35
34043132
.
.
 B
M m
P m
B
A
=
=
=
ì
í
î
324022 07
34284689
.
.
 
 
As distâncias duma terceira estação, C, situada a Este de A e B são: 
 
 CA m CB m= =1901624 1388 901. , . 
 
Calcule as coordenadas da estação C. 
 
Solução: MC = 324967.90 m PC = 341829.82 m. 
 
 
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29. Durante a implantação dum túnel anotaram-se as observações seguintes, realizadas 
com um teodolito situado numa estação I, próximo dum poço vertical: 
 
< AIB = 179º59’14’’ < QIA = 86º27’43’’ 
 
< BIP = 93º32’54’’ < PIQ = 0º0’09’’ 
 
< QPI=179º59’38.7’’ 
 
IB m IA m IP m IQ m= = = =170 60 446 35 7 29 12 635. , . , . , . 
 
As linhas de prumada P e Q estão separadas de 5.345 m, sendo P o ponto mais próximo 
do teodolito, situado em I. Se o RPQ é de 307
º47’24’’, calcule o RAB. 
 
Solução: RAB = 214º14’42’’. 
 
 
30. Determinar as coordenadas rectangulares do ponto C, sendo conhecidos os ângulos 
indicados na figura e a distância BC = 1500 m. 
 
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Coordenadas rectangulares dos pontos I,II e B: 
 
MI = -25313 m PI = -34568 m 
MII = 12125 m PII = 5332 m 
MB = 85425 m PB = 44575 m 
 
Solução: MC = 84582.46 m PC = 43333.98 m. 
 
 
31. As coordenadas de duas estações A e B são: 
 
A
M m
P m
A
A
=
=
=
ì
í
î
43476219
376592 83
.
.
 B
M m
P m
B
B
=
=
=
ì
í
î
43547680
377404 35
.
.
 
 
Nos pontos A e B mediram-se, no sentido progressivo os ângulos < BAC e < ABC, 
obtendo-se os valores 44º 29’ 35’’ e 313º 32’ 43’’, respectivamente. Calcule as 
coordenadas do ponto C. 
 
Solução: MC = 435544.02 m PC = 376649.42 m. 
 
 
32. Sejam A e B duas estações de coordenadas: 
 
Coordenadas de A Coordenadas de B 
MA = 3669.35 m MB = 3812.07 m 
PA = 1746.89 m PB = 1631.32 m 
 
Pretende-se materializar no terreno uma estação C de coordenadas 
 
C
M m
P m
C
C
=
=
=
ì
í
î
3700 00
167500
.
.
 
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Calcule: 
a) O ângulo CAB ˆ . 
b) O ângulo CBA ˆ . 
c) As distâncias horizontais AC e BC . 
 
Solução: a) CAB ˆ = 27º54’36’’ b) CBA ˆ = 342º17’42’’ c) AC = 78.151 m 
BC = 128.281 m. 
 
 
33. Conhecendo a distância horizontal SC = 88.66 m, as coordenadas rectangulares dos 
pontos A, S, e Te os ângulos azimutais indicados nas tabelas 
 
Coordenada M Coordenada P 
MA = -91751.080 m PA = -105339.519 m 
MS = -91768.047 m PS = -105465.960 m 
MT = -91820.054 m PT = -105306.871 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular: 
a) A distância horizontal AC ; 
b) O ângulo azimutal ACT ˆ ; 
c) As coordenadas rectangulares de C. 
 
Solução: a) AC = 39.817 m b) ACT ˆ = 62.9114 grados c) MC = -91763.239 m 
PC = -105377.434 m. 
Ângulos azimutais (grados) 
CSR ˆ = 111.3083 
SRC ˆ = 52.1541 
CRP ˆ = 44.0212 
RPC ˆ = 88.1982 
CPT ˆ = 87.5481 
PTC ˆ = 63.3798 
CTA ˆ = 28.700 
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34. Um topógrafo encarregado de executar um levantamento nas cercanias do ponto P 
(ver figura) resolveu ligar esse trabalho a dois vértices geodésicos existentes na zona, 
sendo a orientação do seu referencial indicado no esquema XOY. As coordenadas dos 
vértices geodésicos são: 
 
M1 = 295.06 m M2 = 1061.17 m 
P1 = 350.00 m P2 = 151.12 m 
 
Do vértice geodésico 1 apontou para P e consegue determinar o rumo R1P = 35.600 
grados. 
 
No momento de estacionar em 2, constata que não vê o ponto P. Para resolver tal 
problema, faz colocar uma bandeirola em J a 10.00 m de P e sobre uma perpendicular à 
direcção P1; depois aponta para J e deduz o rumo R2J = 370.0400 grados. 
 
 
Posto isto, pede-se que seja calculado: 
 
 a) As coordenadas de P. 
 b) As coordenadas de J. 
 c) O valor do ângulo PJ 2ˆ . 
 
Solução: a) MP = 664.68 m PP = 940.66 m b) MJ = 656.71 m PJ = 946.16 m c) 
< PJ 2ˆ = 0.37 grados. 
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35. Dado um quadrilátero LMNK cujas coordenadas dos vértices são: 
 
Ponto Coordenada M Coordenada P 
L 490.18 m 1042.32 m 
M 530.42 m 1050.62 m 
N 538.78 m 1002.36 m 
K 500.00 m 1000.00 m 
 
 
E sendo os pontos P e Q colocados no meio dos segmentos KL e MN respectivamente, 
pede-se: 
 
a) as coordenadas de P e Q. 
b) o rumo da direcção PQ. 
c) a distância PQ . 
 
Solução: a) MP = 495.09 m PP = 1021.16 m MQ = 534.60 m PQ = 1026.49 m 
b) RPQ = 91.46 grados c) PQ = 39.87 m. 
 
 
36. Duas estações P e Q , situadas à superfície do terreno, com coordenadas 
 
Coordenada M Coordenada P 
MP = 1250.00 m PP = 1200.00 m 
MQ = 1200.00 m PQ = 1350.00 m 
 
 
foram observadas durante a instalação de fios de prumo X e Y. As leituras do quadro 
seguinte foram realizadas com um teodolito numa estação A, situada à superfície do 
terreno e próximo do alinhamento XY. 
 
 
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Para Leitura azimutal 
P 273º 42’ 08’’ 
Q 93º 43’’ 54’’ 
X 8º 00’ 50’’ 
Y 7º 58’ 10’’ 
 
As distâncias AP , AX e XY valem respectivamente 78.855 m, 8.374 m e 5.956 m. 
Calcule o RXY. 
 
Solução: RXY = 255º45’18’’. 
 
 
37. Sabendo que o Ro do instrumento numa estação Z duma poligonal é de 65,0000g, e 
que a estação seguinte Y, distanciada de 55 m foi visada com uma leitura azimutal de 
329,2300g, calcule as coordenadas do ponto Y , sabendo que as coordenadas de Z são: 
 
Mz=200000.00 m 
Pz=300000.00 m 
 
Solução: MY = 199995.02 m PY = 300054.77 m. 
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38. O ponto A é definido pelas coordenadas rectangulares, MA=118813.27 m, 
PA=233640.10 m e CA=118.27 m. Estacionou-se em A com um taqueómetro com a 
constante de multiplicação K=100, mediu-se a altura do instrumento i=1.70 m, e sobre a 
estádia vertical colocada num ponto B, foram feitas as seguintes leituras: 
 
Leitura dos fios 
estadimétricos 
(m) 
Leitura no limbo 
horizontal (H) 
(grados) 
Leitura no limbo 
vertical (z) 
(grados) 
Rumo do zero do 
limbo (R0) 
(grados) 
Ls=2.930 220.1583 89.9217 R0=20.1217 
Lm=2.180 
Li=1.430 
 
Calcular as coordenadas planimétricas e altimétricas do ponto B. 
 
Solução: MB = 118726.77 m PB = 233522.14 m CB = 141.14 m. 
 
 
39. Considere a seguinte poligonal. 
 
 
 
Foi estacionado um teodolito taqueométrico numa estação B e visados os pontos C e E 
na posição directa progressiva. Considere os dados seguintes e determine: 
 
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Coordenada M Coordenada P 
MA = 177.658 m PA = 269.386 m 
ME = 169.880 m PE = 179.769 m 
 
 
Distância Rumo 
AB = 73.502 m RBA = 343.718 grados 
DE = 261.771 m RDE= 296.948 grados 
 
Estação Ponto visado Leitura azimutal Leitura zenital 
B C 302.150 grados 100 grados 
 E 70.089 grados ____ 
 
 
Leitura dos fios de B para C: 
fio superior = 2.450 m 
fio médio = 1.735 m 
fio inferior = 1.021 m 
 
a) As coordenadas planimétricas do ponto B. 
b) O rumo BC. 
 c) A distância CE . 
d) As coordenadas planimétricas do ponto D, através do ponto C. 
Solução: a) MB = 234.499 m PB = 222.785 m b) RBC = 94.671 grados 
c) CE = 214.190 m d) MD = 431.350 m PD = 192.314 m. 
 
 
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40. Atendendo ao seguinte registo de observações: 
 
Estação Pontos visados Leituras azimutais 
Moinho Pico 47.904g 
 X 373.648g 
Pico X 254.317 
 Moinho 207.873 
 
sabendo que: 
 
Coordenadas Moinho Pico 
M (m) -12604.20 -11547.80 
P (m) 24783.30 24406.60 
 
Determine as coordenadas planimétricas do vértice X. 
 
Solução: MX = -12068.25 m PX = 25362.17 m. 
 
 
41. O eixo de um túnel recto, em projecto, tem origem num ponto A, definido no 
terreno por uma estaca, e o seu ponto de saída vai ser um ponto S, situado no 
alinhamento definido pelos pontos B e C do terreno, tal que 3BCBS = . São 
conhecidas as coordenadas A, B e C. 
 
Coordenadas A B C 
M (m) -6480.20 -6836.80 -6524.40 
P (m) 8494.30 8842.50 8366.70 
 
Tendo-se estacionado em A, visou-se B a 0.000 grados. Determine qual a leitura 
azimutal a registar no teodolito para que este vise o ponto S. 
 
Solução: 391.7655 grados. 
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42. A costa de uma baía é limitada por dois promontórios, onde se localizam dois sinais 
luminosos nos pontos S1 e S2, de coordenadas: 
 
Pontos M (m) P (m) 
S1 -10605.30 20785.40 
S2 -9546.80 20408.80 
 
Para construir um novo sinal luminoso num ponto S3 da costa da baía, que facilite a 
entrada de embarcações, fizeram-se as seguintes observações: 
 
 Leituras Azimutais (grados) 
Estações S1 S2 S3 
S1 --- 125.231 190.572 
S2 59.626 --- 384.308 
S3 205.762 265.124 --- 
 
a) Determine as coordenadas planimétricas ajustadas do ponto S3. 
 NOTA: Faça a compensação angular. 
b) Sabendo que o ponto E, situado a uma distância de S1 igual a 1/3 da distância 21SS e 
sobre a linha definida pelos pontos S1 e S2, é o ponto mais favorável para entrada das 
embarcações na baía, determine 3ES . 
c) Determine as coordenadas planimétricas de um ponto O (orientação), situado sobre o 
alinhamento definido pelos pontos S3 e E, a uma distância de E de 5000.00 m no sentido 
S3®E. 
 
Solução: Solução: a) MS3 = -10344.54 m PS3 = 19516.73 m b) S3E = 1146.880 m 
c) MO = -9851.11 m PO = 25643.76 m. 
 
 
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43. As operações de campo levaram ao seguinte quadro de registos: 
 
Estação Ponto visado leitura azimutal ângulo zenital 
A B PD 300,9999g PD 75,065g 
 PI 100,9888g PI 325,033g 
Determine a leitura azimutal e o ângulo zenital correcto para o ponto B. 
 
Solução : Leitura azimutal = 300.9944 grados, ângulo zenital = 75.016 grados. 
 
 
44. As operações de campo levaram ao seguinte quadro de registos: 
 
Estação Ponto visado leitura azimutal ângulo zenital 
A B PD 123,5678g PD 87,056g 
 PI 323,5619g PI 312,939g 
 
Determine a leitura azimutal e o ângulo zenital correcto para o ponto B. 
 
Solução : Leitura azimutal = 123.5649 grados, ângulo zenital = 87.059 grados. 
 
 
45. Considere a poligonal representada na figura, da qual se obtiveram os seguintes 
elementos: 
 
Coordenadas do 
ponto A 
(m) 
Coordenadas do 
ponto B 
(m) 
 Distâncias 
reduzidas 
(m) 
Ângulos 
azimutais 
(grados) 
MA = 157611.994 MB = 157602.770 BC = 143.87 b1 = 209.1282 
PA = 326291.816 PB = 326448.046 CD = 762.17 b2 =187.8634 
 DE = 762.43 b3 = 201.0764 
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 a) Calcule o rumo RED. 
 b) Calcule as coordenadas do ponto D 
 
Solução : a) RED = 198.1777 grados b) MD = 157564.925 PD = 327351.098 m. 
 
46. Monte, Castro e Rosa são três vértices de uma triangulação independente. Foram 
realizadas observações de campo que conduziram ao seguinte registo: 
Estação Pontos visados Leituras 
azimutais 
Rosa Castro 368.725 grados 
 Monte 72.471 grados 
Castro Rosa 223.254 grados 
 Monte 174.026 grados 
Monte Rosa 352.950 grados 
 Castro 0.000 grados 
 
Sabendo que: 
Coordenadas Castro Monte 
M (m) 608.47 1000.00 
P (m) 1596.53 1000.00 
 
Determine as coordenadas do ponto médio do lado Castro_Rosa. 
(Nota: Faça a compensação angular). 
 
Solução: MX = 562.46 m PX = 1360.27 m. 
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47. São dados relativamente à figura anexa, 
 
 - Coordenadas dos pontos de intersecção, 
 
Ponto M (m) P (m) 
I1 1000.000 1000.000 
I2 1452.500 1164.700 
I3 1880.300 997.200 
 
 - Coordenadas dos pontos de tangência, 
 
Ponto M (m) P (m) 
T1 1310.531 1113.029 
T2 1593.177 1109.620 
 
 - Coordenadas dos pontos de controlo, 
 
Ponto M (m) P (m) 
A 1280.126 1200.134 
B 1242.117 950.123 
C 1521.463 1001.148 
D 1824.987 1150.954 
 
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 a) Calcule os rumos e as distâncias de piquetagem A, B, C e D para os pontos T1 
e T2. 
 
Solução: RAT1 = 160º45’20’’ 
 DAT1 = 92.260 m 
 RAT2 = 160º7’35’’ 
 DAT1 = 325.874 m 
 RBT1 = 22º46’54’’ 
 DBT1 = 176.90 m 
 RCT1 = 297º56’33’’ 
 DCT1 = 238.763 m 
 RCT2 = 33º28’11’’ 
 DCT2 = 130.035 m 
 RDT2 = 259º53’23’’ 
 DDT2 = 235.466 m