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Universidade do Estado de Santa Catarina Departamento de Engenharia Elétrica Máquinas Elétricas Rotativas Autor: Tiago Dezuo Colaborador: Lucas de Lacerda 28 de março de 2019 2 Prefácio Este documento pretende ser uma apostila para a disciplina de Máquinas Elétricas Rotativas (MAE0001) do curso de graduação em Engenharia Elé- trica da Universidade do Estado de Santa Catarina (UDESC). A ideia básica da apostila é apresentar o conteúdo da disciplina de maneira simplificada, propor exercícios e um conjunto de referências bibliográficas que permitam ao aluno avançar de forma orientada nos temas em questão. O material aqui apresentado não contém novos resultados científicos, tendo apenas caráter didático, e foi criado com base na literatura pré-existente e notas de aula. Vale ressaltar que o conteúdo deste documento é a primeira versão de um trabalho e que certamente necessita de melhoramentos. Por isso, esta apostila está sob constante atualização, sendo a data da versão mais recente indicada em sua capa. Gostaria de agradecer ao Lucas M. de Lacerda pela colaboração na edição deste material e também aos meus alunos Alessandra Schroeder, Jonas O. Foyth e Alectusa F. Barfknecht por gentilmente cederem suas notas de aula para auxiliar no preparo de seu conteúdo. Joinville, 28 de março de 2019. Prof. Tiago J. M. Dezuo 3 4 Lista de Acrônimos CA Corrente Alternada CAV Característica a Vazio CC Corrente Contínua CCAV Corrente de Campo a Vazio CCC Característica de Curto-Circuito CCCC Corrente de Campo de Curto-Circuito GIF Graphics Interchange Format IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers FCEM Força Contra-Eletromotriz FEM Força Eletromotriz FMM Força Magnetomotriz FP Fator de Potência NEMA National Electric Manufacturers Association RCC Relação de Curto-Circuito TDH Taxa de Distorção Harmônica 5 6 Lista de Figuras 1.1 Conversão de energia em máquinas elétricas rotativas. . . . . . 14 1.2 Classificação das máquinas elétricas rotativas. . . . . . . . . . 15 2.1 Nomenclatura base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Partes fundamentais de uma máquina usual (vista em corte transversal ao eixo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Campo magnético produzido por (a) imãs permanentes e (b) enrolamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Localização e tipo de cada enrolamento. . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Tipos de polos do rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6 Máquina síncrona elementar de polos lisos. As setas repre- sentam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do campo (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.7 Máquina síncrona elementar de polos salientes. As setas re- presentam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do campo (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.8 Máquina síncrona de quatro polos. . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.9 Instalação do rotor de polos salientes da usina hidrelétrica Itaipu. Fonte: [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.10 Máquina síncrona trifásica. As setas representam os eixos magnéticos de cada fase da armadura (em vermelho, verde e amarelo) e do campo (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.11 Máquina CC elementar de polos salientes. As setas repre- sentam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do campo (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7 8 LISTA DE FIGURAS 2.12 Tipos de distribuição dos enrolamentos. . . . . . . . . . . . . . 28 2.13 Tipos de camada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.14 Tipos de passo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.15 Corte transversal da máquina para o Exercício 1. . . . . . . . 31 2.16 Analogia entre FMM em um circuito magnético e FEM em um circuito elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.17 Distribuição da FMM em uma máquina elementar. . . . . . . 32 2.18 Distribuição planificada da FMM em uma máquina elementar (em azul) e sua respectiva harmônica fundamental (em verde tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.19 Máquina com enrolamento distribuído, camada dupla e passo pleno para análise da FMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.20 Distribuição planificada da FMM da máquina da Figura 2.19 (em azul) e sua respectiva harmônica fundamental (em verde tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.21 Enrolamento distribuído para o Exercício 2. As bobinas em azul claro têm 6 espiras e as bobinas em azul escuro têm 8 espiras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.22 Rotor com enrolamento distribuído. . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.23 Onda girante em máquinas CA trifásicas. A direção de pico da FMM pulsante de cada fase e a resultante trifásica girante são mostradas à esquerda e as respectivas correntes aplicadas à direita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.24 Máquina elementar para dedução da tensão induzida. . . . . . 42 2.25 Representação de um polo de um rotor elementar (metade do cilindro no caso de dois polos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.26 Representação alternativa simplificada. . . . . . . . . . . . . . 47 2.27 Torque produzido em máquina síncrona trifásica em função do ângulo de carga δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1 Fluxo principal φ0 e de dispersão φl (leakage) em analogia com transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Circuito equivalente da máquina síncrona na representação tipo motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3 Circuito equivalente da máquina síncrona na representação tipo gerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4 Característica a vazio (CAV), linha de entreferro e circuito equivalente do ensaio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 LISTA DE FIGURAS 9 3.5 Característica a vazio (CAV) para o Exemplo 6. . . . . . . . . 64 3.6 Característica de curto-circuito (CCC) e circuito equivalente do ensaio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.7 Curvas características plotadas em conjunto. . . . . . . . . . . 65 3.8 Curvas características plotadas em conjunto para o Exemplo 7. 67 3.9 Duas fontes de tensão conectadas através de uma impedância. 68 3.10 Diagrama fasorial genérico para o circuito da Figura 3.9. . . . 68 3.11 Fluxo de potência de uma máquina síncrona trifásica em fun- ção do ângulo de carga δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.12 Circuito equivalente da máquina síncrona na representação tipo gerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.13 Circuito de conexão à rede do Exemplo 8. . . . . . . . . . . . 72 3.14 Comportamento de Va sob mudanças em δ para o Exemplo 8. 73 3.15 Curva composta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.16 Curva V para diversos níveis de potência expressos em PU (Por Unidade). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.17 Curva V completa (como gerador e motor). . . . . . . . . . . . 76 3.18 Curva de capacidade. O ponto de operação nominal da má- quina está marcado pelo símbolo ?. . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.19 Curva de capacidade completa com todos os limites. A área de operação segura está destacada em cor cinza. . . . . . . . . 78 3.20 Eixo direto (d) e eixo em quadratura (q) na máquina síncrona de polos salientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.21 Reação da armadura para o caso de 90◦ entre Iˆa e Eˆaf. . . . . 80 3.22 Reação da armadura para o caso de 0◦ entre Iˆa e Eˆaf . . . . . . 81 3.23 Diagrama fasorial com coordenadas dq. . . . . . . . . . . . . . 82 3.24 Semelhança de triângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.25 Diagrama fasorial com coordenadas dq modificado. . . . . . . 83 3.26 Potência de uma máquina síncrona trifásica de polos salientes em função do ângulo de carga δ (curva em vermelho). As curvas em azul e em verde representam, respectivamente, o primeiro e segundo termos da Equação (3.81). . . . . . . . . . 84 4.1 Evolução do motor trifásico (relação peso/potência). . . . . . . 92 4.2 Curva típica de conjugado versus velocidade (ou escorrega- mento) de máquinas de indução. . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3 Ponto de operação da máquina de indução com carga. . . . . . 95 10 LISTA DE FIGURAS 4.4 Campo girante aplicado no estator (vermelho) e campo girante induzido no rotor (azul). O ponto • é fixo no rotor para indicar sua posição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.5 Circuito equivalente do primário (estator) da máquina de in- dução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.6 Rotor na frequência de escorregamento. . . . . . . . . . . . . . 99 4.7 Circuito equivalente completo da máquina de indução. . . . . 100 4.8 Circuito equivalente alternativo para análise do fluxo de po- tências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.9 Circuito equivalente simplificado (desconsiderando as perdas no núcleo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.10 Equivalente de Thévenin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.11 Circuito equivalente simplificado (desconsiderando as perdas no núcleo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.12 Curva de conjugado para a máquina do Exemplo 11. . . . . . 108 4.13 Corrente no rotor para a máquina do Exemplo 11. . . . . . . . 109 4.14 Regiões de operação da máquina de indução. . . . . . . . . . . 110 4.15 Efeito da variação de R2 nas curvas (a) de conjugado e (b) de corrente de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.16 Gaiola (a) simples e (b) dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.17 Torque produzido por cada gaiola e o total da máquina de gaiola dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.18 Formas de conjugado produzido por cada classe de máquina. . 120 4.19 Interconexão entre máquinas de indução e síncrona para o Pro- blema (3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.1 Vista axial de uma máquina CC. . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Sumário 1 Introdução 13 2 Conceitos Elementares de Máquinas 17 2.1 Estrutura Básica das Máquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Máquinas Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Máquinas CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Máquina CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.3 Outras características construtivas . . . . . . . . . . . 28 2.3 FMM de Enrolamentos Concentrados e Distribuídos . . . . . . 29 2.3.1 FMM do enrolamento do rotor . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Ondas Girantes em Máquinas CA . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1 Caso monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.2 Caso trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Tensão Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.6 Conjugado Eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.1 Conjugado em máquinas trifásicas . . . . . . . . . . . . 49 2.6.2 Perdas de eficiência em máquinas . . . . . . . . . . . . 52 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 Máquinas Síncronas 55 3.1 Modelagem e Circuito Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Característica a Vazio e de Curto-Circuito . . . . . . . . . . . 62 3.2.1 Curva de saturação a vazio (CAV) . . . . . . . . . . . . 62 3.2.2 Separação das perdas rotacionais . . . . . . . . . . . . 64 3.2.3 Característica de curto-circuito (CCC) . . . . . . . . . 64 11 12 SUMÁRIO 3.3 Característica de Ângulo de Carga em Regime . . . . . . . . . 67 3.4 Características de Operação em Regime . . . . . . . . . . . . . 73 3.5 Efeito dos Polos Salientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5.1 Característica de ângulo de carga . . . . . . . . . . . . 83 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4 Máquinas de Indução 91 4.1 Princípio de Funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.1 Velocidade síncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.1.2 Escorregamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2 Circuito Equivalente do Motor de Indução . . . . . . . . . . . 97 4.2.1 Estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.2 Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3 Análise do Circuito Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.4 Conjugado e Potência pelo Teorema de Thévenin . . . . . . . 104 4.4.1 Regiões de operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.5 Ensaios a Vazio e Rotor Bloqueado . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.6 Efeitos da Resistência do Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6.1 Maneiras de evitar o compromisso . . . . . . . . . . . . 117 4.6.2 Classes de máquinas de indução . . . . . . . . . . . . . 118 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5 Máquinas de Corrente Contínua 127 5.1 Modelo Matemático Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.2 Equações da Máquina CC em Regime Permanente . . . . . . . 130 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Referências Bibliográficas 135 Solução dos problemas propostos 137 Capı´tulo1 Introdução Máquinas podem ser definidas como dispositivos que realizam trabalho ou, em outras palavras, que convertem energia de uma forma para outra. Diversos são os tipos de máquinas, dependendo do tipo de energia envolvida na conversão. No caso das máquinas elétricas, estas ainda podem se dividir em estacionárias (e.g. transformadores), lineares (e.g. trilhos) e rotativas (e.g. motores e geradores). Máquinas térmicas mecânicas . . . elétricas estacionárias lineares rotativas Neste curso serão estudadas as máquinas elétricas rotativas, que realizam a conversão entre energia elétrica e mecânica girante. Mais especificamente será adotada a seguinte nomenclatura: Motores: convertem energia elétrica em mecânica; Geradores: convertem energia mecânica em elétrica. Neste tipo de máquina, a conversão entre energia elétrica e mecânica ocorre através de um campo magnético, vide Figura 1.1, através do qual a 13 14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO sistema elétrico campo magnético sistema mecânico I, V T , ω motor gerador Figura 1.1: Conversão de energia em máquinas elétricas rotativas. energia ora presente em forma de correntes e tensões elétricas (I, V ) é con- vertida em energia mecânica sob a forma de torque e velocidade (T , ω) e vice-versa. Por isso, durante este curso estaremos interessados em estabe- lecer relações matemáticas para tais variáveis de modo a poder analisar a performance da máquina como um todo. A classe de máquinas elétricas rotativas é ainda subdividida em uma grande variedade de tipos de máquinas, como pode ser visto na Figura 1.2. Cada tipo de máquina possui alguma característica única que a diferencia das demais, geralmente com relação aos seus aspectos construtivos ou princípio de operação. Neste curso serão abordadas com detalhes as máquinas de maior utilizaçãoatualmente: as máquinas síncronas, de indução (também conhecidas como máquinas assíncronas) e máquinas de corrente contínua (CC). O curso é dividido em quatro partes: 1) Conceitos elementares de máquinas: apresenta uma visão geral sobre as características construtivas de cada máquina abordada e características de funcionamento comuns a todas; 2) Máquinas síncronas: trata das características de funcionamento e mo- delagem específicas das máquinas síncronas; 3) Máquinas de indução: contém as características de funcionamento e modelagem específicas das máquinas de indução; 4) Máquinas de corrente contínua: trata da modelagem e identificação 15 paramétrica específicas das máquinas CC. CA Universal CC monofásica polifásica indução síncrona linear indução síncrona gaiola de esquilo rotor bobinado rotor maciço split-phase capac. de partida capac. perman. polos sombreados capac. 2 valores repulsão histerese relutância imãs permanentes indução imãs permanentes de gaiola rotor bobinado imãs permanentes relutância polos lisos polos salientes excit. série excit. paralela excit. mista excit. independ. imãs permanentes Figura 1.2: Classificação das máquinas elétricas rotativas. 16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Capı´tulo2 Conceitos Elementares de Máquinas Máquinas a serem estudadas: Máquina síncrona (CA); Máquina assíncrona ou de indução (CA); Máquina de corrente contínua (CC). A notação base adotada neste documento pode ser vista na Figura 2.1: a palavra condutor refere-se a um material condutor qualquer não necessa- riamente disposto em um formato específico; espira refere-se a um condutor enrolado com apenas uma volta; bobina refere-se a um grupo de espiras; enrolamento refere-se a um grupo de bobinas; e fases refere-se a diferentes enrolamentos não conectados entre si. condutor espira bobina enrolamento Figura 2.1: Nomenclatura base. 17 18 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS 2.1 Estrutura Básica das Máquinas Toda máquina rotativa possui duas partes principais, como pode ser visto na Figura 2.2: 1) Estator: é a parte estacionária e geralmente fica na parte mais externa; 2) Rotor: é a parte móvel, geralmente acoplada ao eixo da máquina. Estator Rotor Entreferro Eixo Figura 2.2: Partes fundamentais de uma máquina usual (vista em corte trans- versal ao eixo). Tanto no estator quanto no rotor deve haver uma maneira de se produ- zir e/ou induzir campo magnético. São utilizadas duas formas principais, dependendo do tipo de máquina: 1) Imãs permanentes: apenas produzem um campo magnético constante, como na Figura 2.3(a); 2) Enrolamentos: condutores que produzem campo magnético proporci- onal à corrente que flui por estes, como na Figura 2.3(b), ou onde é induzida corrente quando submetido a um campo variante. Os enrolamentos, por sua vez, são divididos em duas classes principais: 2.1. ESTRUTURA BÁSICA DAS MÁQUINAS 19 N S N S (a) (b) φ φ(i) i Figura 2.3: Campo magnético produzido por (a) imãs permanentes e (b) enrolamento. 1) Enrolamento de armadura: grupo de bobinas que conduz corrente al- ternada (CA). É por onde flui maior potência elétrica e portanto tem os condutores maior dimensionados (não contém imãs). a) Nas máquinas síncronas a armadura fica no estator; b) Nas máquinas de corrente contínua a armadura fica no rotor (pro- blema 1 da máquina CC). 2) Enrolamento de campo: grupo de bobinas que conduz corrente contí- nua (CC) para produzir um fluxo constante. Pode ser menor dimen- sionado em geral. Este é o enrolamento que pode ser substituído por imãs permanentes. a) Nas máquinas síncronas o campo fica no rotor; b) Nas máquinas de corrente contínua o campo fica no estator. E quanto às máquinas de indução? Devido à operação diferenciada da máquina de indução, onde um enro- lamento produz fluxo e causa o surgimento de corrente no outro (induzindo também o surgimento de fluxo produzido por este secundário), não se usa a terminologia de armadura/campo, mas sim de enrolamento primário (no 20 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS estator) e secundário (no rotor). De certo modo, a máquina de indução pode ser vista como um transformador cujo secundário gira. A Figura 2.4 resume a localização dos tipos de enrolamentos para cada máquina e também o tipo de corrente 1 que esta conduz. (a) síncrona (b) CC (c) de indução campo armadura secundário armadura campo primário Conduz CC Conduz CA Figura 2.4: Localização e tipo de cada enrolamento. (a) polos salientes (b) polos lisos Figura 2.5: Tipos de polos do rotor. Quanto aos tipos de rotor temos os dois principais tipos de construção, apresentados na Figura 2.5: 1 Lembre-se que corrente contínua (CC) não é o mesmo que corrente constante. Uma corrente variável, mas que não muda de direção (sinal) é CC. 2.2. MÁQUINAS ELEMENTARES 21 1) Polos salientes: máquinas com polos salientes são usadas para baixas velocidades e máquinas de grande diâmetro (e.g. hidrelétricas), por dois motivos principais: a) O formato irregular causa maior atrito com o ar, aumentando as perdas de energia e o ruído sonoro; b) É mais difícil contruí-las de modo a suportar o stress de altas velocidades. 2) Polos lisos: usados em velocidades mais altas e eixo de menor diâmetro (e.g. turbinas a gás). a) Robustez mecânica e pouco ruído; b) Distribuição do fluxo mais próxima de senoidal; c) Porém, mais difícil de realizar bobinagem em máquinas muito grandes. 2.2 Máquinas Elementares Máquina elementar é o nome dado à configuração mais simples possível de uma máquina elétrica. Muitas vezes podemos desenvolver equações que representam o comportamento de uma máquina elementar e adaptá-las facil- mente para máquinas mais complexas. Em geral, máquinas elementares não são encontradas na prática. 2.2.1 Máquinas CA Nas figuras a seguir são apresentadas uma máquina síncrona elementar de polos lisos (Figura 2.6) e também máquinas com complexidade aumentada em alguma de suas características (Figuras 2.7-2.10). Junto de cada máquina apresenta-se a distribuição aproximada de fluxo (B) no entreferro ao redor do eixo, devido à alimentação do enrolamento de campo com corrente contínua, e a respectiva tensão induzida nos terminais do enrolamento de armadura (ea). Para exemplificar o funcionamento da máquina, assuma que está sendo operada como gerador, ou seja, uma força externa é aplicada ao eixo. Supo- nha também que esta força externa mantém o eixo girando com uma veloci- dade constante (n, em rpm). 22 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS θa B [T] 0 pi 2pi θa [rad] ea [V] 0 60 2n 60/n t [s] • Polos lisos • Dois polos • Monofásica Figura 2.6: Máquina síncrona elementar de polos lisos. As setas representam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do campo (em azul). Embora a densidade de fluxo apresentada na Figura 2.6 está com sua distribuição como uma onda quadrada com relação a θa, o fluxo concatenado pela fase do estator (λ) varia cossenoidalmente com relação ao tempo t a medida que o eixo gira. Assim pela lei de Faraday, temos ea = dλ/dt senoidal. A Figura 2.7 apresenta a máquina síncrona elementar com o rotor subs- tituído por um de polos salientes. Note que se as faces dos polos não cobrem totalmente o rotor, a densidade de fluxo B que corta as espiras do enrola- mento de armadura apresenta partes constantes, o que leva a uma deformação na tensão induzida ea. A extensão para uma máquina de quatro polos é mostrada na Figura 2.8. Perceba que a cada meia volta do rotor, a máquina volta a estar idêntica à sua configuração inicial. Emoutras palavras, com meia volta mecânica tem- se uma volta elétrica completa. De maneira mais genérica, considerando um 2.2. MÁQUINAS ELEMENTARES 23 θa B [T] 0 pi 2pi θa [rad] ea [V] 0 60 2n 60/n t [s] • Polos salientes • Dois polos • Monofásica Figura 2.7: Máquina síncrona elementar de polos salientes. As setas repre- sentam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do campo (em azul). número qualquer de polos temos a relação entre o ângulo elétrico (θe [rad]) e o ângulo mecânico (θa [rad]) dada por θe = ( polos 2 ) θa (2.1) e de maneira similar, temos a relação entre velocidade (frequência) angular elétrica (ωe [rad/s]) e a velocidade angular mecânica (ωm [rad/s]) dada por ωe = ( polos 2 ) ωm. (2.2) Como usualmente expressamos as frequências elétricas (f) em Hz e as velocidades mecânicas (n) em rpm, podemos incluir a conversão de unidades 24 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS θa B [T] 0 pi 2pi θa [rad] ciclo elétrico ciclo mecânico ea [V] 0 60 2n 60/n t [s] • Polos lisos • Quatro polos • Monofásica Figura 2.8: Máquina síncrona de quatro polos. na relação (2.2), obtendo n = ( 120 polos ) f. (2.3) A Equação (2.3) implica que se a máquina tem mais polos, ela pode girar mais devagar para produzir uma mesma frequência elétrica. Exemplo 1 Na usina hidrelétrica de Itaipu, tem-se 20 máquinas síncronas ao todo (cujo rotor está exemplificado na Figura 2.9). Entretanto, as 10 máquinas do lado paraguaio geram tensão em 50Hz e tem 66 polos, enquanto as do lado brasileiro geram 60Hz com 78 polos. Com que velocidade (em rpm) giram as máquinas de cada país? Solução: Basta utilizar a fórmula da Equação (2.3), resultando em nPY = ( 120 66 ) 50 = 90, 9 rpm, (2.4) 2.2. MÁQUINAS ELEMENTARES 25 Figura 2.9: Instalação do rotor de polos salientes da usina hidrelétrica Itaipu. Fonte: [3]. nBR = ( 120 78 ) 60 = 92, 3 rpm. (2.5) � Finalmente temos o caso da máquina síncrona trifásica, apresentado na Figura 2.10. Note que a diferença principal com o caso elementar é a presença de enrolamentos independentes defasados espacialmente de 120 ◦ elétricos en- tre si. De maneira genérica para uma máquina polifásica qualquer com um número de fases igual a nfases, tem-se uma defasagem elétrica de 360 ◦/nfases entre fases adjacentes. Observe também na Figura 2.10 que as tensões geradas em cada fase estão defasadas temporalmente de 120 ◦ elétricos entre si. Como será visto mais adiante, esta característica de defasagem tanto espacial quanto temporal 26 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS simultaneamente é fundamental para o funcionamento da máquina polifásica como motor. θa B [T] 0 pi 2pi θa [rad] [V] ea eb ec 0 60/n t [s] • Polos lisos • Dois polos • Trifásica Figura 2.10: Máquina síncrona trifásica. As setas representam os eixos mag- néticos de cada fase da armadura (em vermelho, verde e amarelo) e do campo (em azul). 2.2. MÁQUINAS ELEMENTARES 27 2.2.2 Máquina CC Ao contrário da máquina síncrona, a geração do campo é fixada na car- caça (estator). Para que a máquina gire sem parar (como motor) usando corrente contínua é necessário o uso de um comutador. O comutador é ape- nas uma estratégia de conexão entre o enrolamento do rotor e sua fonte de alimentação de modo a inverter o sentido da corrente no rotor automa- ticamente durante a rotação. Além disso, quando a máquina opera como gerador, a tensão induzida internamente na armadura (rotor) é alternada, mas o mesmo comutador faz com que a polaridade disponível externamente seja contínua (funciona como um retificador). θa B [T] 0 pi 2pi θa [rad] ea [V] (interna) 0 60 2n 60/n t [s] • Polos salientes • Dois polos • Monofásica (CC) Figura 2.11: Máquina CC elementar de polos salientes. As setas representam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do campo (em azul). Note na Figura 2.11 que a tensão induzida (internamente) na armadura da máquina CC elementar é a mesma induzida na armadura da máquina síncrona elementar, pois ambas têm o mesmo movimento relativo entre ar- 28 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS madura e campo e portanto concatenam o mesmo fluxo. Mais detalhes sobre a máquina CC são apresentados no Capítulo 5. 2.2.3 Outras características construtivas A seguir algumas características que também aumentam o grau de com- plexidade de uma máquina real com relação à máquina elementar. 1) Distribuição do enrolamento: o enrolamento pode ser concentrado ou distribuído, como na Figura 2.12. Com o enrolamento distribuído obtém-se uma distribuição mais senoidal da densidade de fluxo ao longo do entreferro. Também com este intuito, a distribuição pode ser feita com um número diferente de bobinas em cada ranhura (mais bobinas no centro da fase geram uma distribuição mais senoidal da densidade de fluxo). (a) concentrado (b) distribuído Figura 2.12: Tipos de distribuição dos enrolamentos. 2) Nível de camada: pode ser camada simples ou dupla, de acordo com a quantidade de diferentes bobinas alocadas na mesma ranhura. Com a camada dupla, mostrada na Figura 2.13, tem-se flexibilidade para montagem e possibilidade de fazer passo encurtado (vide próximo item). 3) Tamanho de passo: o passo pode ser pleno, quando as bobinas têm seus lados colocados em ranhuras dispostas a 180◦ elétricos uma da outra, 2.3. FMMDE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS29 (a) simples (b) dupla Figura 2.13: Tipos de camada. ou encurtado, quando os lados das bobinas estão em ranhuras mais pró- ximas entre si, como ilustrado na Figura 2.14. Com o encurtamento do passo, também pode-se obter uma distribuição mais senoidal da densi- dade de fluxo. No caso de máquinas polifásicas, é possível realizar passo encurtado sobrepondo diferentes fases utilizando-se camada dupla. A camada dupla também é necessária para manter simetria espacial do enrolamento. O tamanho do encurtamento do passo pode ser referido como sendo de x graus ou de n ranhuras, com x ou n substituído por seu valor correspondente. Exercício 1 Preencha as características pedidas da máquina na Figura 2.15. � 2.3 FMM de Enrolamentos Concentrados e Dis- tribuídos Visando obter mais adiante uma equação para a tensão induzida em um gerador ou para o torque eletromagnético produzido por um motor, um dos caminhos é conhecer a Força MagnetoMotriz (FMM) presente no entreferro da máquina. Lembrando que a FMM em um circuito magnético é análoga 30 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS (a) pleno (b) encurtado Figura 2.14: Tipos de passo. à Força EletroMotriz (FEM) em um circuito elétrico, como mostrado na Figura 2.16. Primeiramente, analisaremos o caso da máquina elementar (enrolamento concentrado, dois polos, passo pleno, monofásica) da Figura 2.17. Sabe-se que a FMM (F ) produzida por uma bobina de N espiras conduzindo uma corrente i tem amplitude dada por F = N · i. (2.6) Portanto, observando um caminho de fluxo da Figura 2.17 podemos ver que a FMM (2.6) se divide entre os dois trechos em que a linha de fluxo corta o entreferro. Note que este enrolamento pode ser apresentado de maneira planificada como na Figura 2.18, onde também é mostrada a distribuição da FMM ao longo do entreferro. Decompondo a onda quadrada em série, temos F = F1 + F3 + F5 + F7 + · · · (harmônicas ímpares) (2.7) onde apenas as harmônicas de ordem ímpar compõem a FMM pois as de ordem par se cancelam em ondas alternadas simétricas. Lembrando que cada harmônica possui uma amplitude e frequência diferente das demais, a FMM decomposta apresenta elevado grau de complexidade para tratamentomatemático. 2.3. FMMDE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS31 • Tipo: • N◦ de ranhuras: • N◦ de polos: • Tipo de polos: • Distribuição: • Camada: • Passo: • N◦ de fases: Figura 2.15: Corte transversal da máquina para o Exercício 1. Como já mencionado anteriormente, uma máquina com maior grau de complexidade em seus aspectos construtivos implica em uma distribuição mais próxima de senoidal da densidade de fluxo e, consequentemente, da FMM. Além de uma distribuição mais senoidal da FMM resultar em uma máquina que opere mais suavemente e gere tensões menos ruidosas, isso torna possível assumir que a FMM pode ser aproximada pela 1 a harmônica (fundamental), isto é, F ≈ F1 = 4 pi Ni 2 cos (θa). (2.8) A harmônica fundamental para o caso da máquina elementar também é mos- trada na Figura 2.18. Note que para a máquina elementar, a harmônica fundamental não é uma boa aproximação 2 da FMM real (quadrada). Considere agora o caso de uma máquina mais complexa, como a ilustrada na Figura 2.19. Assuma que todas as 8 bobinas da máquina da Figura 2.19 tenham N espiras. 2 O quão próximo um sinal está de sua componente fundamental pode ser mensurado calculando-se sua Taxa de Distorção Harmônica (TDH). Quanto menor a TDH, melhor. Para o caso de uma onda quadrada, tem-se uma TDH de 48.4%. 32 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS + - + - FMM φ R FEM i R Figura 2.16: Analogia entre FMM em um circuito magnético e FEM em um circuito elétrico. θa eixo magnético da fase a Figura 2.17: Distribuição da FMM em uma máquina elementar. Na Figura 2.18 pode ser vista a distribuição planificada do enrolamento e a sua respectiva FMM total. Note que a FMM total é simplesmente a soma das FMMs de cada bobina. Além disso, é possível verificar que apenas distribuindo melhor o enrola- mento, já obtém-se uma FMM mais próxima da senoidal. Perceba que há uma longa parte plana próxima aos picos na FMM real devido ao grande es- paço entre os lados positivo e negativo das bobinas da fase. Esse efeito pode ser mitigado com o encurtamento de passo. Finalmente, com um número maior de espiras nas bobinas que ficam mais no centro da distribuição, do que o número de espiras nas bobinas mais externas, também obtém-se uma FMM mais senoidal. De maneira genérica, para a fase a de uma máquina polifásica, de múlti- plos polos, com Nfase espiras ao todo na fase, percorrida por uma corrente 2.3. FMMDE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS33 F 4 pi N ·i 2 N ·i 2 −N ·i 2 θa [rad] 2pipi0−pi Figura 2.18: Distribuição planificada da FMM em uma máquina elementar (em azul) e sua respectiva harmônica fundamental (em verde tracejado). θa eixo magnético da fase a +a −a Figura 2.19: Máquina com enrolamento distribuído, camada dupla e passo pleno para análise da FMM. 34 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS F 4Ni 2Ni −2Ni −4Ni θa [rad] pi0−pi Figura 2.20: Distribuição planificada da FMM da máquina da Figura 2.19 (em azul) e sua respectiva harmônica fundamental (em verde tracejado). ia, tem-se F ≈ F1 = 4 pi ( kaNfase polos ) · ia · cos ( polos 2 · θa ) , (2.9) onde ka é o fator de enrolamento do estator da máquina; Nfase é o número total de espiras da fase. O fator de enrolamento nada mais é do que uma constante de propor- cionalidade que depende da configuração de construção da máquina (distri- buição dos enrolamentos e encurtamento do passo). Quanto maior for este fator, maior a contribuição da harmônica fundamental, com relação às demais harmônicas (portanto, melhor). Seu valor máximo é 1. Graças ao fator de enrolamento, podemos simplificar a análise de enrola- mentos distribuídos e/ou encurtados, como se fosse um enrolamento concen- trado de passo pleno de kaNfase espiras. Exemplo 2 ([1, p.190]) O enrolamento da fase a da armadura de dois po- los da Figura 2.19 consiste em 8 bobinas, de passo pleno e N espiras ligadas em série com cada ranhura contendo duas bobinas. Há um total de 24 ra- nhuras e assim cada ranhura está separada por 360◦/24 = 15◦. Supondo que 2.3. FMMDE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS35 o ângulo θa seja medido a partir do eixo magnético da fase a de modo que as quatro ranhuras do lado �+a� estejam em θa = 67, 5 ◦ ; 82, 5◦; 97, 5◦; 112, 5◦. Os lados opostos (−a) estão em −112, 5◦; −97, 5◦; −82, 5◦; −67, 5◦, respec- tivamente. Assuma que este enrolamento está conduzindo uma corrente ia. a) Escreva uma expressão para a FMM espacial fundamental produzida pelas duas bobinas cujos lados estão em θa = 112, 5 ◦ e −67, 5◦. b) Repita o item anterior para as que estão em 67, 5◦ e −112, 5◦. c) Escreva uma expressão para a FMM fundamental da fase completa. d) Determine o fator de enrolamento ka para este enrolamento distribuído. Solução: a) Primeiramente, o eixo magnético da bobina está em 112, 5◦ − 67, 5◦ 2 = 22, 5◦ (2.10) Portanto, por comparação com a Equação (2.8), notando que o valor de pico da FMM desta bobina ocorre em 22, 5◦ e que a ranhura contém 2N espiras, temos F22,5◦ = 4 pi ( 2N 2 ) ia cos (θa − 22, 5◦). (2.11) b) Neste caso, apenas a localização do eixo magnético da bobina é alterado, então temos F−22,5◦ = 4 pi ( 2N 2 ) ia cos (θa + 22, 5 ◦). (2.12) c) A FMM fundamental da fase completa (Fa) é a soma das FMMs indi- viduais de todas as bobinas, ou seja, Fa = F22,5◦ + F7,5◦ + F−7,5◦ + F−22,5◦ (2.13) 36 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS Fa = 4 pi ( 2N 2 ) ia [cos (θa − 22, 5◦) + cos (θa − 7, 5◦) + cos (θa + 7, 5 ◦) + cos (θa + 22, 5◦)] . (2.14) Sabendo que cos (a± b) = cos (a) cos (b)∓ sen(a) sen(b), (2.15) podemos reescrever (2.14) como Fa = 4 pi ( 2N 2 ) ia [2 cos (22, 5 ◦) + 2 cos (7, 5◦)] cos (θa) (2.16) e finalmente Fa = 4 pi ( 7, 66N 2 ) ia cos (θa). (2.17) d) Por comparação entre (2.17) e a fórmula genérica da Equação (2.9), temos kaNfase = 7, 66N (2.18) e lembrando que para esta máquina Nfase = 8N , ka = 7, 66N 8N = 0.958 (2.19) � θa eixo magnético da fase a +a −a Figura 2.21: Enrolamento distribuído para o Exercício 2. As bobinas em azul claro têm 6 espiras e as bobinas em azul escuro têm 8 espiras. 2.4. ONDAS GIRANTES EM MÁQUINAS CA 37 Exercício 2 (Adaptado de [1, p.191]) Calcule o fator de enrolamento para a mesma configuração do Exemplo 2 se o número de espiras nas quatro bobinas dos dois pares mais externos de ranhuras for igual a 6 e dos dois pares mais internos for 8, como mostrado na Figura 2.21. � 2.3.1 FMM do enrolamento do rotor θr eixo magnético do rotor Figura 2.22: Rotor com enrolamento distribuído. De maneira análoga ao caso anterior, para o enrolamento do rotor apre- sentado na Figura 2.22 temos sua FMM (Fr) dada por Ff ≈ 4 pi ( kfNf polos ) · If · cos ( polos 2 · θr ) , (2.20) onde kf é o fator de enrolamento do rotor; Nf é o número total de espiras do rotor; If é a corrente no rotor. 2.4 Ondas Girantes em Máquinas CA Sabendo que o motor elétrico tem seu princípio de funcionamento base- ado na atração entre dois campos magnéticos, esta seção tem como objetivo 38 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS mostrar como é feita a criação de um campo magnético girante e de ampli- tude constante. O campo girante tem como objetivo o movimento contínuo do rotor e a amplitude constante garante um giro suave sem oscilações na aceleração angular. A análise a seguir é realizada através do equacionamento da FMM resultante na máquina e será suposto a partir deste ponto que a FMM é gerada por enrolamentos bem distribuídos, podendo ser aproximadapela componente fundamental (distribuição senoidal da FMM ao longo do entreferro). 2.4.1 Caso monofásico Como visto anteriormente, para o caso monofásico temos a FMM pro- duzida pela fase (armadura) dada pela Equação (2.9). Considere agora as situações a seguir. Se ia = Im (constante), então a FMM é imóvel ; Se ia = Im cos (ωet), então a FMM se torna pulsante. Fa = 4 pi ( kaNfase polos ) Im︸ ︷︷ ︸ Fpico · cos (ωet)︸ ︷︷ ︸ varia com o instante temporal · cos ( polos 2 θa ) ︸ ︷︷ ︸ varia com a posição espacial do eixo mag. , (2.21) Note que na primeira situação, se há um campo fixo produzido no enro- lamento de campo, o rotor se alinha com o campo da armadura e a máquina para. Na segunda situação, a FMM é pulsante mas ainda não girante, ou seja, a FMM muda de sentido, mas apenas em uma única direção (o pico da FMM ocorre sempre no mesmo valor de θa). Caso os campos estejam inicialmente alinhados, o rotor pode não girar (especialmente pela presença de atrito). Caso o rotor não esteja alinhado, pode girar (e continuar o giro por inércia) desde que o sentido seja invertido antes do próximo alinhamento. Entretanto, o rotor estará sujeito à forças não constantes, oscilação de aceleração e de velocidade de rotação e a direção da rotação é determinada pela condição inicial. 2.4. ONDAS GIRANTES EM MÁQUINAS CA 39 Todas as características anteriores são os principais problemas das má- quinas monofásicas. Por isso, normalmente estas máquinas necessitam de alguma forma auxiliar de partida e de criação de um campo girante. 2.4.2 Caso trifásico Para o caso de um enrolamento trifásico, considere as situações a seguir. Se θa = θb = θc (não há defasagem espacial entre as fases) e/ou ia = ib = ic (não há defasagem temporal entre as correntes), então a FMM resultante é nula; Se as defasagens espacial e temporal são distribuídas simetricamente, ou seja θb = θa − 120◦ θc = θa + 120 ◦ , ia = Im cos (ωet) ib = Im cos (ωet− 120◦) ic = Im cos (ωet+ 120 ◦) (2.22) então Fa = Fpico cos (ωet) cos ( polos 2 θa ) , (2.23) Fb = Fpico cos (ωet− 120◦) cos ( polos 2 θa − 120◦ ) , (2.24) Fc = Fpico cos (ωet+ 120 ◦) cos ( polos 2 θa + 120 ◦ ) . (2.25) Lembrando da relação (2.15), a FMM resultante pode ser reescrita como Fresultante = Fa + Fb + Fc = 3 2 Fpico cos ( polos 2 θa − ωet ) . (2.26) O campo girante gerado por uma máquina trifásica alimentada com cor- rentes trifásicas pode ser visto 3 na Figura 2.23. 3 A Figura 2.23 é uma animação do tipo GIF. Pode requerer visualização com o software Adobe Acrobat atualizado. 40 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS Figura 2.23: Onda girante em máquinas CA trifásicas. A direção de pico da FMM pulsante de cada fase e a resultante trifásica girante são mostradas à esquerda e as respectivas correntes aplicadas à direita. 2.5. TENSÃO INDUZIDA 41 Note que o valor de pico resultante ( 3 2 Fpico ) aparece nos valores de θa tais que cos ( polos 2 θa − ωet ) é unitário, ou seja θa = ( 2 polos ) ωet. (2.27) Isso implica que a direção do pico da FMM resultante varia com o tempo (é girante) e tem velocidade angular dada por ωs = ( 2 polos ) ωe. (2.28) onde ωe é a frequência angular elétrica aplicada; ωs é a velocidade angular espacial do pico da FMM resultante ao longo do entreferro. Como ωs está sincronizada com ωe através da Equação (2.28), esta é conhe- cida como velocidade angular síncrona (por isso o subíndice s). Finalmente, a Equação (2.28) pode ser reescrita como ns = ( 120 polos ) fe (2.29) onde ns é a velocidade síncrona (em rpm) e fe é a frequência elétrica aplicada (em Hz). 2.5 Tensão Induzida Nesta seção estamos interessados em deduzir uma equação para a tensão induzida no enrolamento de uma fase da armadura devido ao movimento de um campo magnético no enrolamento de campo, vide Figura 2.24. De acordo com a Equação (2.20), o valor de pico da FMM produzida no enrolamento de campo é dado por Ff(pico) = 4 pi ( kfNf polos ) If (2.30) onde 42 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS θr = ωmt eixo magnético do enr. de campo eixo magnético da fase a Figura 2.24: Máquina elementar para dedução da tensão induzida. kf é o fator de enrolamento do campo da máquina; Nf é o número total de espiras do enrolamento de campo; If é a corrente de campo (CC). A densidade de fluxo (B) em uma máquina de múltiplos polos e entreferro pequeno e uniforme é dada por B = µ0 g · Ff (2.31) então Bpico = 4 pi · µ0 g ( kfNf polos ) · If (2.32) onde µ0 é a permeabilidade magnética do ar (4pi × 10−7); g é o comprimento do entreferro. Assumindo uma distribuição da densidade de fluxo senoidal ao longo do entreferro: B = Bpico · cos ( polos 2 θr ) . (2.33) 2.5. TENSÃO INDUZIDA 43 Sabendo que a integral da densidade de fluxo ao longo da área do polo é o próprio fluxo por polo (Φp) [Wb] Φp = ∫ polo B · dA (2.34) dC dA l r pi polos −pi polos Figura 2.25: Representação de um polo de um rotor elementar (metade do cilindro no caso de dois polos). Analisando o formato do rotor na Figura 2.25, onde está sendo assumido θr = 0 no centro do polo, temos: dA = l · dC = l · r · dθr (2.35) Φp = ∫ pi polos −pi polos B · r · l · dθr (2.36) Φp = Bpico · r · l ∫ pi polos −pi polos cos ( polos 2 θr ) dθr (2.37) Φp = Bpico · r · l · ( 2 polos ) · [ sen ( polos 2 · θr )] pi polos −pi polos (2.38) Φp = ( 2 polos ) · 2 ·Bpico · r · l (2.39) onde Φp é o fluxo produzido por polo no enrolamento de campo. Mas para a obtenção da expressão da tensão induzida em uma fase do enrolamento 44 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS de armadura é necessário conhecer o fluxo concatenado pela fase (λa fluxo concatenado pela fase a, por exemplo). A medida que o rotor gira (devido a uma força externa aplicada) com uma velocidade angular mecânica ω, o fluxo concatenado do rotor pelo estator varia senoidalmente. λpicoa = ka ·Na · Φp (2.40) λa = ka ·Na · Φp · cos ( polos 2 ωmt ) (2.41) O produto ka ·Na, onde Na é o número total de espiras da fase a, reduz a análise de um enrolamento distribuído para a de um enrolamento concentrado de passo pleno. Pela lei de Faraday, a tensão induzida na fase a devido ao campo f é: eaf = dλa dt = ka ·Na · Φp · d dt [ cos ( polos 2 ωm︸ ︷︷ ︸ ωe t )] (2.42) eaf = −ωe · ka ·Na · Φp · sen(ωet) (2.43) A tensão induzida, apresentada na Equação (2.43), também é conhecida como Força Contra-Eletromotriz (FCEM). Exemplo 3 ([1, p.209]) Um gerador de 60 Hz síncrono trifásico de dois polos ligados em Y e rotor cilíndrico tem um enrolamento de campo com Nf espiras distribuídas e um fator de enrolamento kf . O enrolamento de armadura tem Na espiras por fase e fator de enrolamento ka. O comprimento do entreferro é g, e o raio médio do entreferro é r. O comprimento ativo do enrolamento de armadura é l. As dimensões e os dados do enrolamento são: Nf = 68 espiras em série kf = 0, 945 Na = 18 espiras em série/fase ka = 0, 933 r = 0, 53 m g = 4, 5 cm l = 3, 8 m O rotor é acionado por uma turbina a vapor a uma velocidade de 3600 rpm. Para uma corrente contínua de campo de If = 720A, calcule: 2.5. TENSÃO INDUZIDA 45 a) A FMM fundamental de pico Ff(pico) produzida pelo enrolamento de campo; b) A densidade de fluxo fundamental de pico Bpico no entreferro; c) O fluxo fundamental por polo Φp; d) O valor eficaz da tensão gerada em circuito aberto na armadura. Solução:a) Ff(pico) = 4 pi · ( kf ·Nf polos ) · If (2.44) Ff(pico) = 4 pi · ( 0, 945 · 68 2 ) · 720 (2.45) Ff(pico) = 2, 94× 104 A · espiras/polos (2.46) b) Bpico = µ0 ( Ff(pico) ) g = 4pi · 10−7 · 2, 94 · 104 4, 5 · 10−2 = 0, 821T (2.47) Devido ao efeito das ranhuras que contêm o enrolamento de armadura, a maioria do fluxo de entreferro está confinada aos dentes do estator. A densidade de fluxo dos dentes no centro de um polo é mais elevada que o valor calculado na parte b, provavelmente cerca de duas vezes mais. Em um projeto detalhado, essa densidade de fluxo deve ser calculada para se determinar se os dentes estão excessivamente saturados. c) Φp = 2 ·Bpico · l · r (2.48) Φp = 2 · 0, 821 · 3, 8 · 0, 53 (2.49) Φp = 3, 31 Wb (2.50) 46 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS d) A partir da Equação (2.43) temos que o valor de pico de eaf é dado por ωe · ka ·Na · Φp. Como é um sinal senoidal, seu valor eficaz é então dado pelo valor máximo dividido por √ 2, ou seja: Eaf(fase) = 1√ 2 (2pif) · ka ·Na · Φp (2.51) Eaf(fase) = 1√ 2 2pi · 60 · 0, 933 · 18 · 3, 31 (2.52) Eaf(fase) = 14, 8 kV (valor eficaz) (2.53) A tensão de linha é, portanto: Eaf(linha) = √ 3 · 14, 8 kV (2.54) Eaf(linha) = 25, 7 kV (valor eficaz) (2.55) � 2.6 Conjugado Eletromagnético Conjugado (torque) eletromagnético é a força angular que busca fazer dois campos magnéticos se alinharem. Pode ser obtido através de duas análises: do ponto de vista do circuito acoplado; do ponto de vista do campo magnético. Considerando apenas a primeira e supondo que os enrolamentos sejam substituídos por indutores. O fluxo concatenado por cada indutor depende de sua indutância própria e da mútua (gerada pelo outro indutor). 2.6. CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO 47 + - + - ia if Va Vf LaLf Ra Rf Figura 2.26: Representação alternativa simplificada. A indutância mútua tem seu máximo quando os indutores estão alinhados (θe = 0 ou θe = 2pi), é zero quando θe = ±pi2 e está com máximo negativo quando θe = ±pi, ou seja: Ler(θe) = Ler · cos(θe) (2.56) Onde Ler é o valor de pico (constante) da indutância mútua Ler(θe) e esta depende de θe pois a cada ciclo elétrico o circuito volta a se repetir. Além disso, Ler(θe) = Lre(θe) (2.57) É suposto que tem-se: Ondas senoidais da FMM; Entreferro pequeno e uniforme (polos lisos com enrolamento bem dis- tribuído e efeito de espraiamento desprezível). Lembrando que θe = ( polos 2 ) θm, o fluxo concatenado λ e a corrente i que percorre uma bobina (indutor) são relacionados pelo valor da indutância, segundo λ = L(θ) · i (2.58) 48 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS Tal relação é válida se as suposições anteriores são satisfeitas. Para a máquina elementar, os fluxos concatenados no estator e no rotor são: λe = Lee · ie + Ler(θe) · ir (2.59) λr = Lrr · ir + Lre(θe) · ie (2.60) Reescrevendo: λe = Lee · ie + Ler(θe) · ir · cos(θe) (2.61) λr = Lrr · ir + Ler(θe) · ie · cos(θe) (2.62) Pela Lei de Faraday, tem-se: ve = Re · ie + dλe dt (2.63) vr = Rr · ir + dλr dt (2.64) Observa-se que quando o rotor está girando, θe varia no tempo com velo- cidade we = dθe dt , então: ve = Re · ie + Lee · die dt + Ler · cos(θe) · dir dt − Ler · ir · sen(θe) · dθe dt (2.65) vr = Rr · ir + Lrr · dir dt + Ler · cos(θe) · die dt − Ler · ie · sen(θe) · dθe dt (2.66) dθe dt = we = polos 2 wm (2.67) O conjugado pode ser obtido derivando-se a energia (ou a co-energia) armazenada no campo magnético com relação ao ângulo mecânico wm. Lem- brando que em um sistema magnético linear, a energia e a co-energia são numericamente iguais. 2.6. CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO 49 1 2 · λ 2 L︸ ︷︷ ︸ Wcampo (energia) = 1 2 · Li2︸ ︷︷ ︸ W ′campo (co-energia) (2.68) De maneira genérica, para um sistema com dois enrolamentos, ou seja, uma máquina monofásica (um enrolamento no estato e um no rotor), a co- energia é: W ′campo = 1 2 · L11(θ) · i21 + 1 2 · L22(θ) · i22 + L12(θ) · i2 · i1 (2.69) Por analogia, tem-se para a máquina monofásica: W ′campo = 1 2 · Lee · i2e + 1 2 · Lrr(θ) · i2r + Ler · ie · ir · cos(θe) (2.70) Então, o conjugado pode ser escrito como: T1φ = d dθm W ′campo (2.71) T1φ = − ( polos 2 ) · Ler · ie · ir · sen ( polos 2 · θm ) (2.72) T1φ = − ( polos 2 ) · Ler · ie · ir · sen(θe) (2.73) Note na Equação (2.73) que o conjugado em uma máquina monofásica varia senoidalmente com a posição do rotor. Em outras palavras, não é produzido conjugado útil que acelere a máquina sempre no mesmo sentido. 2.6.1 Conjugado em máquinas trifásicas Considerando agora uma máquina com múltiplos enrolamentos no estator (múltiplas fases). Cada fase tem sua indutância própria, uma indução mútua entre a fase (estator) e o enrolamento de campo (rotor) e ainda uma mútua com cada uma das outras fases. 50 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS As únicas indutâncias que não variam em função do ângulo são as indu- tâncias próprias, de todos os enrolamentos, assim como as mútuas fase-fase (que estão fixas no espaço uma em relação à outra) são constantes. Para a obtenção do conjugado basta usar a co-energia de todos os campos magnéticos somados. Exemplo 4 ([1, p.216]) Considere uma máquina síncrona trifásica com um entreferro uniforme. Suponha que as indutâncias próprias e mútuas do enrolamento de armadura sejam constantes: Laa = Lbb = Lcc , Lab = Lbc = Lca. (2.74) Do mesmo modo, suponha que a indutância própria Lff do enrolamento de campo seja constante. Já as indutâncias mútuas entre o campo e a arma- dura variam com o ângulo entre os eixos magnéticos campo-fase. Laf (θm) = Lef · cos ( polos 2 · θm ) (2.75) Lbf (θm) = Lef · cos ( polos 2 · θm − 120◦ ) (2.76) Lcf (θm) = Lef · cos ( polos 2 · θm + 120◦ ) (2.77) Mostre que quando o campo é excitado com a corrente constante If e a armadura é excitada com correntes trifásicas equilibradas da forma: ia = Im · cos(wet+ δ) (2.78) ib = Im · cos(wet− 120◦ + δ) (2.79) ic = Im · cos(wet+ 120◦ + δ) (2.80) Então o conjugado será constante se o rotor girar com velocidade síncrona. Solução: Calculando a co-energia: W ′campo = W ′cte︷ ︸︸ ︷ 1 2 Lff i 2 f + 1 2 Laai 2 a + 1 2 Lbbi 2 b + 1 2 Lcci 2 c + Labiaib + Lbcibic + Lcaicia + Laf (θm) · iaif + Lbf (θm) · ibif + Lcf (θm) · icif (2.81) 2.6. CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO 51 W ′campo = W ′ cte + LefIfIm [ cos ( polos 2 θm ) cos(wet+ δ) + cos ( polos 2 θm − 120◦ ) cos(wet− 120◦ + δ) + cos ( polos 2 θm + 120 ◦ ) cos(wet+ 120 ◦ − δ) ] (2.82) Usando a simplificação (2.15), tem-se: W ′campo = W ′ cte + 3LefImIf cos ( polos 2 θm − wet− δ ) (2.83) Calculando o conjugado: T3φ = d dθm ·W ′campo (2.84) T3φ = −3 2 · ( polos 2 ) · LefImIf sen ( polos 2 θm − wet− δ ) (2.85) Se o rotor girar na velocidade síncrona (velocidade mecânica respectiva à velocidade elétrica a aplicada pelas correntes), então ws = ( 2 polos ) we. (2.86) Para wm = ws, tem-se: θm = wst = ( 2 polos ) wet (2.87) Portanto, T3φ = 3 2 · ( polos 2 ) · LefImIf sen(δ) (2.88) onde nota-se que T3φ é constante se δ é constante. A curva de T3φ versus δ é apresentada na Figura 2.27. � 52 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS δ Motor Gerador T Tmax −Tmax −90◦ 90◦ Figura 2.27: Torque produzido em máquina síncrona trifásica em função do ângulo de carga δ. 2.6.2 Perdas de eficiência em máquinas Em máquinas elétricas temos perdaselétricas, mecânicas e magnéticas normalmente divididas nas seguintes categorias: 1) Perdas elétricas (ou no cobre): perdas no enrolamento de armadura: Rai 2 a; perdas no enrolamento de campo (se houver): Rf i 2 f . 2) Perdas rotacionais: (a) Perdas mecânicas (atrito): atrito nos mancais; atrito nas escovas; atrito com o ar. (b) Perdas no núcleo (laminado como em transformadores): perdas por histerese (aumenta com f); correntes parasitas. 2.6. CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO 53 Em máquinas CA, onde a corrente é senoidal, as perdas são dadas por Rai 2 arms . Se a máquina é trifásica balanceada (Ra = Rb = Rc e ia = ib = ic) então basta somar as perdas nas fases, ou seja, 3Rai 2 arms .∑ perdas = Pcu + Pmec + Pnucleo (2.89) A eficiência é dada por: η = Psaida Pentrada = Psaida Psaida + ∑ perdas (2.90) Em um motor tem-se: Psaida = Peixo = T · wm (2.91) Em um gerador tem-se: Pentrada = Peixo = T · wm (2.92) Problemas propostos Os problemas propostos a seguir foram extraídos/adaptados dos proble- mas do Capítulo 4 do livro [1]. (1) Uma máquina síncrona de 6 polos e 60 Hz tem um enrolamento de rotor com um total de 138 espiras em série e um fator de enrolamento kr = 0, 935. O comprimento do rotor é 1,97 m, o raio do rotor é 58 cm e o comprimento do entreferro é igual a 3,15 cm. a) Qual é a velocidade nominal de operação em rpm? b) Calcule a corrente no enrolamento do rotor que é necessária para se obter uma componente fundamental de pico de 1,23 T de den- sidade de fluxo no entreferro? c) Calcule o fluxo correspondente por polo. (2) A máquina do Problema (1) tem um enrolamento trifásico com 45 es- piras em série por fase e um fator de enrolamento de kenr = 0, 928 (armadura). Para as condições de fluxo e velocidade nominal do Pro- blema (1), calcule a tensão eficaz gerada por fase. 54 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS (3) A máquina síncrona trifásica do Problema (1) deve ser transferida para uma aplicação onde é necessário que a frequência de operação seja reduzida de 60 para 50 Hz. Essa aplicação requer que, para as condições de operação consideradas no Problema (1), a tensão eficaz de linha gerada seja de 13,0 kV. Como resultado, os enrolamentos da armadura da máquina devem ser refeitos com um número diferente de espiras. Supondo um fator de enrolamento de kenr = 0, 928, calcule o número necessário de espiras em série por fase. (4) Um gerador síncrono trifásico de dois polos e 60 Hz, tem um raio de rotor de 5,71 cm, um comprimento de rotor de 18,0 cm e um compri- mento de entreferro de 0,25 mm. O enrolamento de campo do rotor consiste em 264 espiras com um fator de enrolamento de kr = 0, 95. O enrolamento de armadura, ligado em Y, consiste em 45 espiras por fase, com um fator de enrolamento de kenr = 0, 93. a) Calcule o fluxo por polo e a componente fundamental da densidade de fluxo de pico no entreferro do qual resultará uma tensão de armadura, em circuito aberto, de 60 Hz e uma tensão eficaz de fase de 120 V por fase. b) Calcule a corrente CC de campo necessária para se obter as con- dições de operação da parte (a). c) Calcule o valor de pico da indutância mútua entre o enrolamento de campo e o enrolamento de fase da armadura. (5) Um gerador síncrono de 4 polos e 60 Hz tem um comprimento de rotor de 5,2 m, um diâmetro de 1,24 m e um comprimento de entreferro de 5,9 cm. O enrolamento do rotor consiste em uma conexão em série de 63 espiras por polo com um fator de enrolamento de kr = 0, 91. O valor de pico da fundamental da densidade de fluxo no entreferro está limitada a 1,1 T e a corrente de enrolamento do rotor, a 2700 A. Calcule os valores máximos do conjugado (N.m) e da saída de potência (MW) que podem ser fornecidos por essa máquina. Capı´tulo3 Máquinas Síncronas Como visto anteriormente, as seguintes equações são válidas para a má- quina síncrona: eaf = −we · ka · nfases · Φp · sen(wet) (3.1) fe = ( polos 2 ) n 60 (3.2) T3φ = 3 2 · ( polos 2 ) · Laf · Im · If · sen(δ) (3.3) cuja curva de conjugado versus ângulo de carga é apresentada na Figura 2.27. Note na Equação (3.1) que a frequência da tensão gerada pode ser controlada alterando-se a velocidade de rotação e a amplitude pode ser ajustada através de If , que afeta o fluxo por polo Φp. Além disso, na Equação (3.3) o torque máximo pode ser aumentado aumentando-se Im (amplitude das correntes trifásicas) e If até os limites de aquecimento da máquina. Geradores síncronos podem ser conectados em paralelo. Em um sistema com muitos geradores síncronos, um único gerador não consegue fazer alte- rações significativas na tensão e na frequência. Esse barramento com tensão e frequência constantes é conhecido como �barramento infinito�. No caso do gerador, se o torque no eixo aumentar, é necessário aumentar o ângulo δ entre os eixos magnéticos do estator (girante) e do rotor (que gira com o movimento do rotor), mas o rotor continua a girar na velocidade síncrona. Se chegar a 90◦, qualquer conjugado extra aplicado é maior que o 55 56 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS conjugado máximo que pode ser gerado para uma dada corrente de campo If , então a máquina acelera indefinidamente (perde o sincronismo). Para evitar danos, o gerador deve ser rapidamente desconectado do sistema elétrico pela operação automática de disjuntores, além disso, a força motriz deve ser rapidamente desativada para evitar velocidades perigosamente elevadas. No caso do motor, a perda de sincronismo ocorre em −90◦ e acarreta na desaceleração da máquina, levando-a a parar. 3.1 Modelagem e Circuito Equivalente Primeiramente, determina-se as indutâncias presentes na máquina. Lem- brando que os fluxos concatenados nas fases (sub-índices a, b, c) e no enrola- mento de campo (sub-índice f) podem ser expressos como: λa = Laa · ia + Lab · ib + Lac · ic + Laf · if (3.4) λb = Lba · ia + Lbb · ib + Lbc · ic + Lbf · if (3.5) λc = Lca · ia + Lcb · ib + Lcc · ic + Lcf · if (3.6) λf = Lfa · ia + Lfb · ib + Lfc · ic + Lff · if (3.7) onde: Laa (sub-índices iguais) representam indutâncias próprias; Lab (sub-índices diferentes) representam indutâncias mútuas; O caractere L (caligráfico) indica que as indutâncias podem variar com o ângulo do rotor (θm). A partir deste ponto, a análise é simplificada assumindo a máquina com rotor cilíndrico (polos lisos). 1) Indutância própria do rotor Lff = Lff = Lff0 + Lfl (3.8) onde 3.1. MODELAGEM E CIRCUITO EQUIVALENTE 57 Lff0 - indutância responsável pela componente harmônica funda- mental do fluxo que atravessa o entreferro; Lfl - responsável pelo fluxo de dispersão (leakage) do enrolamento de campo. As interpretações do fluxo principal e do fluxo de dispersão podem ser obtidas da analogia com o transformador, como na Figura 3.1. φ0 φl ia fluxo de dispersão Figura 3.1: Fluxo principal φ0 e de dispersão φl (leakage) em analogia com transformador. 2) Indutâncias mútuas entre estator (armadura) e rotor (campo) Laf = Lfa = Laf · cos(θm) (3.9) Considere o rotor girando na velocidade síncrona wm = ws. O ângulo mecânico (espacial) do rotor varia segundo: θm = wst+ δ0 (3.10) Como θe = ( polos 2 ) θm (3.11) we = ( polos 2 ) wm (3.12) 58 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS tem-se que: θe = wet+ δe0. (3.13) Então, pode-se reescrever a indutância mútua como: Laf = Lfa = Laf · cos(wet+ δe0) (3.14) 3) Indutâncias próprias das fases do estator Laa = Lbb = Lcc = Laa = Laa0 + Lal (3.15) 4) Indutâncias mútuas entre fases do estator Lab = Lba = Lac = Lbc = −1 2 · Laa0 (3.16) Substituindo (3.8), (3.15) e (3.16) na equação de λa, tem-se: λa = (Laa0 + Lal) · ia − 1 2 Laa0 · (ib + ic) + Laf · if (3.17)Em um sistema trifásico balanceado, tem-se: ia + ib + ic = 0 (3.18) ib + ic = −ia (3.19) Então: λa = ( 3 2 Laa0 + Lal ) ︸ ︷︷ ︸ Ls ia + Laf · if (3.20) Ou seja, λa = Lsia + Laf · if onde Ls é chamada de indutância síncrona e é a indutância efetiva vista nos terminais de uma fase com a máquina em regime permanente trifásica equilibrada. Para a determinação do circuito equivalente, a tensão induzida na fase �a� pelo campo �f�, em circuito aberto, é: 3.1. MODELAGEM E CIRCUITO EQUIVALENTE 59 eaf = dλa dt = d dt (Laf · if ) (3.21) eaf = −we · Laf · if · sen(wet+ δeo) (3.22) Supondo nula a corrente na armadura (circuito aberto): Eaf = we · Laf · if√ 2 (3.23) Mas com a corrente ia, a tensão nos terminais da máquina pode ser ex- pressa como: va = Ra · ia + dλa dt (3.24) va = Ra · ia + Ls · dia dt + eaf (3.25) Essa equação pode ser representada em variáveis complexas (módulo e ângulo) como Vˆa = Ra · Iˆa + jXs · Iˆa + Eˆaf (3.26) onde: Xs = weLs é a reatância síncrona; Eˆaf = Eaf δe0. + - + - Iˆa VˆaEˆaf Ra jXs Figura 3.2: Circuito equivalente da máquina síncrona na representação tipo motor. 60 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS A Equação (3.26) e a figura anterior apresentam o modelo da máquina no referencial do tipo �motor�, onde correntes Ia positivas entram na máquina, como na Figura 3.2. No referencial do tipo �gerador� que será adotado a partir de agora, por ser geralmente mais utilizado, tem-se as correntes Ia positivas saindo da máquina, como na Figura 3.3. Ou seja: Vˆa = −Ra · Iˆa − jXs · Iˆa + Eˆaf (3.27) + - + - Iˆa VˆaEˆaf Ra jXs Figura 3.3: Circuito equivalente da máquina síncrona na representação tipo gerador. Como o modelo é por fase, as tensões são de fase e a potência é 1/3 da potência total da máquina. Exemplo 5 ([1, p.247]) Observa-se que um motor síncrono trifásico de 60 Hz tem uma tensão de linha de 460 V nos terminais e uma corrente de terminal de 120 A com um fator de potência (FP) de 0,95 indutivo. Nessas condições de operação a corrente de campo é de 47 A. A reatância síncrona da máquina é igual a 1,68 Ω. Suponha que a resistência de armadura seja desprezível. Calcule: a) A tensão gerada Eaf em volts; b) O valor da indutância mútua Laf entre o campo e a armadura; 3.1. MODELAGEM E CIRCUITO EQUIVALENTE 61 c) A potência elétrica do motor em kW. Solução: a) Vˆa = 460√ 3 0◦ (referência adotada) (3.28) cos(φ) = FP (3.29) φ = cos−1(FP ) = cos−1(0, 95) = −18, 2◦ (indutivo) (3.30) Iˆa = 120 −18, 2◦A (3.31) Por fim, a tensão gerada Eˆaf é: Eˆaf = Vˆa − jXs · Iˆa = 460√ 3 − j1, 68 · 120 −18, 2◦ (3.32) Eˆaf = 278, 8 −43, 4◦V (3.33) b) Como Eˆaf = Eaf δ, temos Eaf = 278, 8. Sabendo que Eaf = we · Laf · if√ 2 (3.34) então o valor da indutância mútua Laf entre o campo e a armadura é dado por: Laf = √ 2 · Eaf we · if = √ 2 · 278, 8 2pi · 60 · 47 = 22, 3mH (3.35) c) P3φ = 3 · Va · Ia · cosφ = 3 · 460√ 3 · 120 · 0, 95 = 90, 8kW (3.36) � 62 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS 3.2 Característica a Vazio e de Curto-Circuito As características fundamentais de uma máquina síncrona podem ser de- terminadas por dois ensaios: terminais de armadura a vazio (circuito aberto); terminais de armadura em curto-circuito. O que será discutido sobre estes ensaios se aplica tanto para máquinas de polos lisos quanto de polos salientes. 3.2.1 Curva de saturação a vazio (CAV) 1) Aciona-se a máquina até a velocidade síncrona mecanicamente com uma força externa; 2) Mede-se Va para diferentes valores de If . Relembre-se de que Φp ∝∼ If e eaf = −we · ka · nfases · Φp · sen(wet) (3.37) + - + - Va If linha de entreferro CAV Iˆa = 0 VˆaEˆaf Ra jXs Figura 3.4: Característica a vazio (CAV), linha de entreferro e circuito equi- valente do ensaio. Notando que Vˆa = Eˆaf com a máquina em circuito aberto, a curva pode ser vista como uma relação entre Eaf e If e portanto, pode ser usada para 3.2. CARACTERÍSTICA A VAZIO E DE CURTO-CIRCUITO 63 formar uma medida direta da indutância mútua entre armadura e campo (Laf ). Laf = √ 2 · Eaf we · If (3.38) Exemplo 6 ([1, p.250]) Um ensaio a vazio em um gerador síncrono trifá- sico de 60 Hz mostra uma tensão nominal a vazio de 13,8 kV é produzida por uma corrente de campo de 318 A. Extrapolando a linha de entreferro a partir de um conjunto de medidas feitas na máquina, pode-se mostrar que a corrente de campo correspondente de 13,8 kV sobre a linha de entreferro é 263 A. Calcule os valores saturados e não saturados de Laf . Solução: Para o cálculo da saturada, realiza-se o seguinte cálculo: Laf = √ 2 ( 13, 8× 103√ 3 ) (2pi · 60) · 318 = 94mH (3.39) E para determinação do valor não saturado, faz-se: Laf = √ 2 ( 13, 8× 103√ 3 ) (2pi · 60) · 263 = 114mH (3.40) 64 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS Va [kV] If [A] linha de entreferro CAV 13, 8√ 3 26 3 31 8 Figura 3.5: Característica a vazio (CAV) para o Exemplo 6. � 3.2.2 Separação das perdas rotacionais Com a máquina síncrona sem excitação (If = 0) não há perdas no núcleo, portanto, mudando-se a potência aplicada externamente ao eixo para mantê- la girando na velocidade síncrona, tem-se: Patrito = Peixo (3.41) Então, as perdas no núcleo podem ser determinadas quando If 6= 0 sub- traindo as perdas por atrito (agora conhecidas) da potência aplicada ao eixo, que será maior quanto maior for If . Pnucleo = Peixo − Patrito (3.42) 3.2.3 Característica de curto-circuito (CCC) Realiza-se um curto-circuito trifásico (conectando-se os terminais das três fases em um mesmo ponto). Em seguida, varia-se If e mede-se Ia. 3.2. CARACTERÍSTICA A VAZIO E DE CURTO-CIRCUITO 65 + - ia If CCC Iˆa Vˆ a = 0 Eˆaf Ra jXs Figura 3.6: Característica de curto-circuito (CCC) e circuito equivalente do ensaio. Plotando-se a CAV e a CCC em um mesmo gráfico, tomando o cuidado de analisar cada curva em sua respectiva coordenada de grandeza, tem-se a Figura 3.7. Va [V] If [A] Ia [A] linha de entreferro CAV CCC V ′a Vanom Ianom I ′a C C C C C C A V Figura 3.7: Curvas características plotadas em conjunto. Na Figura 3.7, a Corrente de Campo a Vazio (CCAV) e a Corrente de Campo de Curto-Circuito (CCCC) denotam os valores de If que resultam, respectivamente, em Vanom no ensaio a vazio e em Ianom no ensaio de curto- circuito. 66 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS Lembrando que Vˆa = 0 no ensaio de curto-circuito, tem-se: Eˆaf = Ia(Ra + jXs) (3.43) e como tipicamente Xs � Ra, então Ra ≈ 0 e Xs (não saturada) = V ′a Ianom . (3.44) Mas como usualmente a máquina opera na região saturada (onde fica Vanom), assume-se que a máquina seja equivalente neste ponto a uma máquina não saturada com a linha de entreferro passando pelo Vanom da CAV. Então, para a saturada tem-se: Xs (saturada) = Vanom I ′a (3.45) Este método de considerar um único valor da reatância síncrona na re- gião saturada dá resultados suficientemente satisfatórios desde que não seja necessária grande precisão. Exemplo 7 ([1, p.255]) Os seguintes dados foram tomados das caracterís- ticas a vazio e de curto-circuito de uma máquina síncrona trifásica de 45 kVA, 220 V, 6 polos e 60 Hz. Da característica a vazio, tem-se: tensão de linha 220 V corrente de campo 2, 84 A Da característica de curto-circuito, tem-se dois pontos: corrente de armadura 118 A 152 A corrente de campo 2, 20 A 2, 84 A Da linha de entreferro, tem-se: tensão de linha 202 V corrente de campo 2, 20 A Calcule o valor não saturado da reatância síncronae seu valor saturado na tensão nominal. 3.3. CARACTERÍSTICA DE ÂNGULO DE CARGA EM REGIME 67 Solução: Ianom = S1φ Vanom = 45×103/3 220/ √ 3 = 118A (3.46) Va [V] If [A] Ia [A] linha de entreferro CAV CCC(V ′a) 202√ 3 (Vanom) 220√ 3 118 (Ianom) 152 (I ′a) 2, 20 2, 84 Figura 3.8: Curvas características plotadas em conjunto para o Exemplo 7. Reatância síncrona não saturada: Xs (não saturada) = V ′a Ianom = 202/ √ 3 118 = 0, 987 Ω/fase (3.47) Reatância síncrona saturada: Xs (saturada) = Vanom I ′a = 220/ √ 3 152 = 0, 836 Ω/fase (3.48) � 3.3 Característica de Ângulo de Carga em Re- gime Considere o circuito da Figura 3.9, cujo diagrama fasorial é apresentado na Figura 3.10. 68 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS + - + - P1 P2 Iˆ Eˆ1 Eˆ2 R jX Figura 3.9: Duas fontes de tensão conectadas através de uma impedância. δ φ Iˆ Eˆ1 Eˆ2 RIˆ jXIˆ Figura 3.10: Diagrama fasorial genérico para o circuito da Figura 3.9. A potência ativa P2 entregue a fonte Eˆ2 do lado da carga é: P2 = E2 · I · cos(φ) (3.49) A corrente fasorial é: Iˆ = Eˆ1 − Eˆ2 Z (3.50) onde Z = R + jX. Representando as variáveis na forma polar Eˆ1 = E1e jδ (3.51) 3.3. CARACTERÍSTICA DE ÂNGULO DE CARGA EM REGIME 69 Eˆ2 = E2 (3.52) Z = R + jX = |Z|ejφz (3.53) φz = tg −1 ( X R ) (3.54) e substituindo na Equação (3.49), tem-se: Iˆ = Iejφ = E1e jδ − E2 |Z|ejφz (3.55) Iejφ = E1 |Z| · e j(δ−φz) − E2|Z| · e j(−φz) (3.56) Sabendo que ejφ = cosφ+ j senφ, podemos reescrever (3.56) como I · (cos(φ) + j sen(φ)) = E1|Z| · (cos(δ − φz) + j sen(δ − φz)) − E2|Z| · (cos(−φz) + j sen(−φz)) (3.57) de onde, tomando apenas a parte real, tem-se: I · cosφ = E1|Z| · cos(δ − φz)− E2 |Z| · cos(−φz) (3.58) Observe que cos(−φz) = cos(φz) = R|Z| . Com isso, substituindo a Equa- ção (3.58) em (3.49) tem-se: P2 = E1 · E2 |Z| cos(δ − φz)− E22 ·R |Z|2 (3.59) Considere a variável auxiliar αz = 90 ◦ − φz. (3.60) Então, pode-se substituir cos(δ − φz) = cos(δ + αz − 90◦) = sen(δ + αz) (3.61) 70 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS em (3.59). Assim, P2 = E1 · E2 |Z| sen(δ + αz)− E22 ·R |Z|2 . (3.62) De maneira similar, a potência ativa saindo de Eˆ2 é dada por P1 = E1 · E2 |Z| sen(δ − αz) + E21 ·R |Z|2 . (3.63) Como frequentemente é o caso em máquinas síncronas, R é desprezível, então R ≈ 0, |Z| ≈ X, αz ≈ 0, o que resulta em: P1 = P2 = E1E2 X sen(δ) (3.64) A equação anterior é chamada de característica do ângulo de potência (δ) e sua curva é apresentada na Figura 3.11. Note que esta curva é semelhante à de conjugado da Figura 2.27, pois P = ωsT com a máquina girando na velocidade síncrona. Além disso, note na Equação (3.64) que a potência máxima ocorre quando δ = 90◦, ou seja: Pmax = E1E2 X (3.65) δ Motor Gerador P Pmax −Pmax −90◦ 90◦ Figura 3.11: Fluxo de potência de uma máquina síncrona trifásica em função do ângulo de carga δ. 3.3. CARACTERÍSTICA DE ÂNGULO DE CARGA EM REGIME 71 As equações anteriores são válidas para quaisquer fontes de tensão se- paradas por uma impedância indutiva. Por exemplo, na conexão com um sistema externo (e.g barramento infinito), tem-se o circuito da Figura 3.12. + - + - + - Iˆa P VˆeqEˆaf Vˆa jXs jXeq Figura 3.12: Circuito equivalente da máquina síncrona na representação tipo gerador. Portanto, a máxima potência que pode ser enviada à rede por fase é Pmax = Eaf · Veq Xs +Xeq (3.66) e a máxima potência total trifásica é 3Pmax. Observação: é perigoso se aproximar de δ = 90◦; δ é alterado variando-se o torque externo aplicado; Eaf ∝ If , portanto aumentando If pode-se aumentar a potência até os limites de refrigeração da máquina. Exemplo 8 (adaptado de [1, p.261]) Um gerador síncrono trifásico de 75 MVA e 13,8 kV, com uma reatância saturada de Xs = 3, 428 Ω e uma não saturada de Xs = 3, 961 Ω é ligado à um sistema externo cuja reatância equivalente é Xeq = 0, 584 Ω e cuja tensão é Veq = 13, 8 kV . O gerador atinge a tensão nominal de circuito aberto com uma corrente de campo de 297 A. 72 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS a) Encontre a potência máxima (em MW) que pode ser fornecida ao sis- tema externo se a tensão interna do gerador for mantida igual à 13, 8 kV . b) Determine uma equação para Vˆa em função do ângulo de carga δ. Em seguida plote a tensão do terminal do gerador quando a potência de saída do gerador é variada desde 0 até Pmax. Solução: a) Pmax3φ = 3Eaf · Veq Xs +Xeq (3.67) A máquina opera na região de tensão nominal, com isso, utiliza-se Xs saturada no cálculo da potência máxima. Pmax3φ = 3(13,8/ √ 3) · (13,8/√3) 3, 428 + 0, 584 = 47, 5MW (3.68) b) Iˆa = Eˆaf − Veq j(Xs +Xeq) = Veq δ − Veq j(Xs +Xeq) (3.69) + - + - Iˆa VˆeqVˆa jXeq Figura 3.13: Circuito de conexão à rede do Exemplo 8. Vˆa = Veq + jXeq · Iˆa (3.70) 3.4. CARACTERÍSTICAS DE OPERAÇÃO EM REGIME 73 Vˆa = Veq + jXeq [ Veq δ − Veq j(Xs +Xeq) ] (3.71) Vˆa = Veq +XeqVeq ( 1 δ − 1 Xs +Xeq ) (3.72) Vˆa = Veq · [ 1 + Xeq(1 δ − 1) Xs +Xeq ] (3.73) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 Va [kV] δ [◦] (P = 0) (P = Pmax) 11,8/ √ 3 13,8/ √ 3 Figura 3.14: Comportamento de Va sob mudanças em δ para o Exemplo 8. � 3.4 Características de Operação em Regime As principais características de funcionamento de uma máquina síncrona em regime permanente são descritas pelas relações entre: tensão de terminal (Va); 74 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS corrente de campo (If ); fator de potência (cosφ); rendimento (η). 1) Curva composta Considere: geração síncrona fornecendo potência à frequência constante e ten- são de terminal nominal; carga com fator de potência constante. Carga [kVA] ou corrente de armadura [A] I f n e c e s s á r i a p a r a m a n t e r V a n o m Carga nominal FP = 0, 8 (indutivo) FP = 1, 0 FP = 0, 8 (capacitivo) Figura 3.15: Curva composta. Aplicação em sistemas de regulação de tensão: baseado na curva com- posta, controla-se a corrente de campo em função na tensão medida nos terminais. 2) Curva V Curva que mostra a relação entre a corrente de armadura e a corrente de campo para tensão de terminal e potência ativa constante. 3.4. CARACTERÍSTICAS DE OPERAÇÃO EM REGIME 75 0 1 0 .2 5 0 .5 0 .7 5 Ia [A] If [A] Potência de saída (em PU) F P i n d u t i v o F P u n i t á r i o F P c a p a c i t i v o Figura 3.16: Curva V para diversos níveis de potência expressos em PU (Por Unidade). A corrente de armadura é mínima para potência de saída com FP unitário (pois não está fornecendo reativos); Controlando a corrente de campo pode-se passar a funcionar como compensador de reativo (alterando-se o FP); Note que uma máquina usada como compensador também pode ser usada para fornecer potência ativa (simultaneamente). O caso mais completo da máquina operando como motor também pode ser visto na Figura 3.17. adotando o sentido gerador (correntes ou potências positivas quando saem da máquina). 3) Curva de capacidade 76 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS Ia [A] If [A] FP unitário P > 0 P < 0 Q > 0Q < 0 Figura 3.17: Curva V completa (como gerador e motor). Mostram o máximo de carregamento reativo correspondente a carre- gamentos ativos (ou vice-versa) para operação com tensão de terminal constante. Ou seja, tem-se a região P e Q onde a máquina pode operar
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