Apostila Máquinas Elétricas Rotativas

Prévia do material em texto

Universidade do Estado de Santa Catarina
Departamento de Engenharia Elétrica
Máquinas Elétricas Rotativas
Autor:
Tiago Dezuo
Colaborador:
Lucas de Lacerda
28 de março de 2019
2
Prefácio
Este documento pretende ser uma apostila para a disciplina de Máquinas
Elétricas Rotativas (MAE0001) do curso de graduação em Engenharia Elé-
trica da Universidade do Estado de Santa Catarina (UDESC). A ideia básica
da apostila é apresentar o conteúdo da disciplina de maneira simplificada,
propor exercícios e um conjunto de referências bibliográficas que permitam
ao aluno avançar de forma orientada nos temas em questão.
O material aqui apresentado não contém novos resultados científicos,
tendo apenas caráter didático, e foi criado com base na literatura pré-existente
e notas de aula. Vale ressaltar que o conteúdo deste documento é a primeira
versão de um trabalho e que certamente necessita de melhoramentos. Por
isso, esta apostila está sob constante atualização, sendo a data da versão
mais recente indicada em sua capa.
Gostaria de agradecer ao Lucas M. de Lacerda pela colaboração na edição
deste material e também aos meus alunos Alessandra Schroeder, Jonas O.
Foyth e Alectusa F. Barfknecht por gentilmente cederem suas notas de aula
para auxiliar no preparo de seu conteúdo.
Joinville, 28 de março de 2019.
Prof. Tiago J. M. Dezuo
3
4
Lista de Acrônimos
CA Corrente Alternada
CAV Característica a Vazio
CC Corrente Contínua
CCAV Corrente de Campo a Vazio
CCC Característica de Curto-Circuito
CCCC Corrente de Campo de Curto-Circuito
GIF Graphics Interchange Format
IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers
FCEM Força Contra-Eletromotriz
FEM Força Eletromotriz
FMM Força Magnetomotriz
FP Fator de Potência
NEMA National Electric Manufacturers Association
RCC Relação de Curto-Circuito
TDH Taxa de Distorção Harmônica
5
6
Lista de Figuras
1.1 Conversão de energia em máquinas elétricas rotativas. . . . . . 14
1.2 Classificação das máquinas elétricas rotativas. . . . . . . . . . 15
2.1 Nomenclatura base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Partes fundamentais de uma máquina usual (vista em corte
transversal ao eixo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Campo magnético produzido por (a) imãs permanentes e (b)
enrolamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Localização e tipo de cada enrolamento. . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Tipos de polos do rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Máquina síncrona elementar de polos lisos. As setas repre-
sentam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do
campo (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7 Máquina síncrona elementar de polos salientes. As setas re-
presentam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e
do campo (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8 Máquina síncrona de quatro polos. . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9 Instalação do rotor de polos salientes da usina hidrelétrica
Itaipu. Fonte: [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10 Máquina síncrona trifásica. As setas representam os eixos
magnéticos de cada fase da armadura (em vermelho, verde
e amarelo) e do campo (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.11 Máquina CC elementar de polos salientes. As setas repre-
sentam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do
campo (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7
8 LISTA DE FIGURAS
2.12 Tipos de distribuição dos enrolamentos. . . . . . . . . . . . . . 28
2.13 Tipos de camada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.14 Tipos de passo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.15 Corte transversal da máquina para o Exercício 1. . . . . . . . 31
2.16 Analogia entre FMM em um circuito magnético e FEM em
um circuito elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.17 Distribuição da FMM em uma máquina elementar. . . . . . . 32
2.18 Distribuição planificada da FMM em uma máquina elementar
(em azul) e sua respectiva harmônica fundamental (em verde
tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.19 Máquina com enrolamento distribuído, camada dupla e passo
pleno para análise da FMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.20 Distribuição planificada da FMM da máquina da Figura 2.19
(em azul) e sua respectiva harmônica fundamental (em verde
tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.21 Enrolamento distribuído para o Exercício 2. As bobinas em
azul claro têm 6 espiras e as bobinas em azul escuro têm 8
espiras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.22 Rotor com enrolamento distribuído. . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.23 Onda girante em máquinas CA trifásicas. A direção de pico
da FMM pulsante de cada fase e a resultante trifásica girante
são mostradas à esquerda e as respectivas correntes aplicadas
à direita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.24 Máquina elementar para dedução da tensão induzida. . . . . . 42
2.25 Representação de um polo de um rotor elementar (metade do
cilindro no caso de dois polos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.26 Representação alternativa simplificada. . . . . . . . . . . . . . 47
2.27 Torque produzido em máquina síncrona trifásica em função do
ângulo de carga δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1 Fluxo principal φ0 e de dispersão φl (leakage) em analogia com
transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Circuito equivalente da máquina síncrona na representação
tipo motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Circuito equivalente da máquina síncrona na representação
tipo gerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Característica a vazio (CAV), linha de entreferro e circuito
equivalente do ensaio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
LISTA DE FIGURAS 9
3.5 Característica a vazio (CAV) para o Exemplo 6. . . . . . . . . 64
3.6 Característica de curto-circuito (CCC) e circuito equivalente
do ensaio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7 Curvas características plotadas em conjunto. . . . . . . . . . . 65
3.8 Curvas características plotadas em conjunto para o Exemplo 7. 67
3.9 Duas fontes de tensão conectadas através de uma impedância. 68
3.10 Diagrama fasorial genérico para o circuito da Figura 3.9. . . . 68
3.11 Fluxo de potência de uma máquina síncrona trifásica em fun-
ção do ângulo de carga δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.12 Circuito equivalente da máquina síncrona na representação
tipo gerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.13 Circuito de conexão à rede do Exemplo 8. . . . . . . . . . . . 72
3.14 Comportamento de Va sob mudanças em δ para o Exemplo 8. 73
3.15 Curva composta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.16 Curva V para diversos níveis de potência expressos em PU
(Por Unidade). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.17 Curva V completa (como gerador e motor). . . . . . . . . . . . 76
3.18 Curva de capacidade. O ponto de operação nominal da má-
quina está marcado pelo símbolo ?. . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.19 Curva de capacidade completa com todos os limites. A área
de operação segura está destacada em cor cinza. . . . . . . . . 78
3.20 Eixo direto (d) e eixo em quadratura (q) na máquina síncrona
de polos salientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.21 Reação da armadura para o caso de 90◦ entre Iˆa e Eˆaf. . . . . 80
3.22 Reação da armadura para o caso de 0◦ entre Iˆa e Eˆaf . . . . . . 81
3.23 Diagrama fasorial com coordenadas dq. . . . . . . . . . . . . . 82
3.24 Semelhança de triângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.25 Diagrama fasorial com coordenadas dq modificado. . . . . . . 83
3.26 Potência de uma máquina síncrona trifásica de polos salientes
em função do ângulo de carga δ (curva em vermelho). As
curvas em azul e em verde representam, respectivamente, o
primeiro e segundo termos da Equação (3.81). . . . . . . . . . 84
4.1 Evolução do motor trifásico (relação peso/potência). . . . . . . 92
4.2 Curva típica de conjugado versus velocidade (ou escorrega-
mento) de máquinas de indução. . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Ponto de operação da máquina de indução com carga. . . . . . 95
10 LISTA DE FIGURAS
4.4 Campo girante aplicado no estator (vermelho) e campo girante
induzido no rotor (azul). O ponto • é fixo no rotor para indicar
sua posição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5 Circuito equivalente do primário (estator) da máquina de in-
dução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.6 Rotor na frequência de escorregamento. . . . . . . . . . . . . . 99
4.7 Circuito equivalente completo da máquina de indução. . . . . 100
4.8 Circuito equivalente alternativo para análise do fluxo de po-
tências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.9 Circuito equivalente simplificado (desconsiderando as perdas
no núcleo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.10 Equivalente de Thévenin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.11 Circuito equivalente simplificado (desconsiderando as perdas
no núcleo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.12 Curva de conjugado para a máquina do Exemplo 11. . . . . . 108
4.13 Corrente no rotor para a máquina do Exemplo 11. . . . . . . . 109
4.14 Regiões de operação da máquina de indução. . . . . . . . . . . 110
4.15 Efeito da variação de R2 nas curvas (a) de conjugado e (b) de
corrente de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.16 Gaiola (a) simples e (b) dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.17 Torque produzido por cada gaiola e o total da máquina de
gaiola dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.18 Formas de conjugado produzido por cada classe de máquina. . 120
4.19 Interconexão entre máquinas de indução e síncrona para o Pro-
blema (3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1 Vista axial de uma máquina CC. . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Sumário
1 Introdução 13
2 Conceitos Elementares de Máquinas 17
2.1 Estrutura Básica das Máquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Máquinas Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Máquinas CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Máquina CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Outras características construtivas . . . . . . . . . . . 28
2.3 FMM de Enrolamentos Concentrados e Distribuídos . . . . . . 29
2.3.1 FMM do enrolamento do rotor . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Ondas Girantes em Máquinas CA . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Caso monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.2 Caso trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Tensão Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Conjugado Eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.1 Conjugado em máquinas trifásicas . . . . . . . . . . . . 49
2.6.2 Perdas de eficiência em máquinas . . . . . . . . . . . . 52
Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Máquinas Síncronas 55
3.1 Modelagem e Circuito Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Característica a Vazio e de Curto-Circuito . . . . . . . . . . . 62
3.2.1 Curva de saturação a vazio (CAV) . . . . . . . . . . . . 62
3.2.2 Separação das perdas rotacionais . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3 Característica de curto-circuito (CCC) . . . . . . . . . 64
11
12 SUMÁRIO
3.3 Característica de Ângulo de Carga em Regime . . . . . . . . . 67
3.4 Características de Operação em Regime . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Efeito dos Polos Salientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.1 Característica de ângulo de carga . . . . . . . . . . . . 83
Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Máquinas de Indução 91
4.1 Princípio de Funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.1 Velocidade síncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.2 Escorregamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2 Circuito Equivalente do Motor de Indução . . . . . . . . . . . 97
4.2.1 Estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.2 Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3 Análise do Circuito Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4 Conjugado e Potência pelo Teorema de Thévenin . . . . . . . 104
4.4.1 Regiões de operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5 Ensaios a Vazio e Rotor Bloqueado . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 Efeitos da Resistência do Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6.1 Maneiras de evitar o compromisso . . . . . . . . . . . . 117
4.6.2 Classes de máquinas de indução . . . . . . . . . . . . . 118
Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5 Máquinas de Corrente Contínua 127
5.1 Modelo Matemático Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2 Equações da Máquina CC em Regime Permanente . . . . . . . 130
Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Referências Bibliográficas 135
Solução dos problemas propostos 137
Capı´tulo1
Introdução
Máquinas podem ser definidas como dispositivos que realizam trabalho
ou, em outras palavras, que convertem energia de uma forma para outra.
Diversos são os tipos de máquinas, dependendo do tipo de energia envolvida
na conversão. No caso das máquinas elétricas, estas ainda podem se dividir
em estacionárias (e.g. transformadores), lineares (e.g. trilhos) e rotativas
(e.g. motores e geradores).
Máquinas

térmicas
mecânicas
.
.
.
elétricas

estacionárias
lineares
rotativas
Neste curso serão estudadas as máquinas elétricas rotativas, que realizam
a conversão entre energia elétrica e mecânica girante. Mais especificamente
será adotada a seguinte nomenclatura:
ˆ Motores: convertem energia elétrica em mecânica;
ˆ Geradores: convertem energia mecânica em elétrica.
Neste tipo de máquina, a conversão entre energia elétrica e mecânica
ocorre através de um campo magnético, vide Figura 1.1, através do qual a
13
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
sistema
elétrico
campo
magnético
sistema
mecânico
I, V T , ω
motor
gerador
Figura 1.1: Conversão de energia em máquinas elétricas rotativas.
energia ora presente em forma de correntes e tensões elétricas (I, V ) é con-
vertida em energia mecânica sob a forma de torque e velocidade (T , ω) e
vice-versa. Por isso, durante este curso estaremos interessados em estabe-
lecer relações matemáticas para tais variáveis de modo a poder analisar a
performance da máquina como um todo.
A classe de máquinas elétricas rotativas é ainda subdividida em uma
grande variedade de tipos de máquinas, como pode ser visto na Figura 1.2.
Cada tipo de máquina possui alguma característica única que a diferencia das
demais, geralmente com relação aos seus aspectos construtivos ou princípio
de operação. Neste curso serão abordadas com detalhes as máquinas de
maior utilizaçãoatualmente: as máquinas síncronas, de indução (também
conhecidas como máquinas assíncronas) e máquinas de corrente contínua
(CC).
O curso é dividido em quatro partes:
1) Conceitos elementares de máquinas: apresenta uma visão geral sobre as
características construtivas de cada máquina abordada e características
de funcionamento comuns a todas;
2) Máquinas síncronas: trata das características de funcionamento e mo-
delagem específicas das máquinas síncronas;
3) Máquinas de indução: contém as características de funcionamento e
modelagem específicas das máquinas de indução;
4) Máquinas de corrente contínua: trata da modelagem e identificação
15
paramétrica específicas das máquinas CC.
CA
Universal
CC
monofásica
polifásica
indução
síncrona
linear
indução
síncrona
gaiola de
esquilo
rotor bobinado
rotor maciço
split-phase
capac. de partida
capac. perman.
polos sombreados
capac. 2 valores
repulsão
histerese
relutância
imãs permanentes
indução
imãs permanentes
de gaiola
rotor bobinado
imãs permanentes
relutância
polos lisos
polos salientes
excit. série
excit. paralela
excit. mista
excit. independ.
imãs permanentes
Figura 1.2: Classificação das máquinas elétricas rotativas.
16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Capı´tulo2
Conceitos Elementares de Máquinas
Máquinas a serem estudadas:
ˆ Máquina síncrona (CA);
ˆ Máquina assíncrona ou de indução (CA);
ˆ Máquina de corrente contínua (CC).
A notação base adotada neste documento pode ser vista na Figura 2.1:
a palavra condutor refere-se a um material condutor qualquer não necessa-
riamente disposto em um formato específico; espira refere-se a um condutor
enrolado com apenas uma volta; bobina refere-se a um grupo de espiras;
enrolamento refere-se a um grupo de bobinas; e fases refere-se a diferentes
enrolamentos não conectados entre si.
condutor espira bobina enrolamento
Figura 2.1: Nomenclatura base.
17
18 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
2.1 Estrutura Básica das Máquinas
Toda máquina rotativa possui duas partes principais, como pode ser visto
na Figura 2.2:
1) Estator: é a parte estacionária e geralmente fica na parte mais externa;
2) Rotor: é a parte móvel, geralmente acoplada ao eixo da máquina.
Estator
Rotor
Entreferro
Eixo
Figura 2.2: Partes fundamentais de uma máquina usual (vista em corte trans-
versal ao eixo).
Tanto no estator quanto no rotor deve haver uma maneira de se produ-
zir e/ou induzir campo magnético. São utilizadas duas formas principais,
dependendo do tipo de máquina:
1) Imãs permanentes: apenas produzem um campo magnético constante,
como na Figura 2.3(a);
2) Enrolamentos: condutores que produzem campo magnético proporci-
onal à corrente que flui por estes, como na Figura 2.3(b), ou onde é
induzida corrente quando submetido a um campo variante.
Os enrolamentos, por sua vez, são divididos em duas classes principais:
2.1. ESTRUTURA BÁSICA DAS MÁQUINAS 19
N
S
N
S
(a) (b)
φ φ(i)
i
Figura 2.3: Campo magnético produzido por (a) imãs permanentes e (b)
enrolamento.
1) Enrolamento de armadura: grupo de bobinas que conduz corrente al-
ternada (CA). É por onde flui maior potência elétrica e portanto tem
os condutores maior dimensionados (não contém imãs).
a) Nas máquinas síncronas a armadura fica no estator;
b) Nas máquinas de corrente contínua a armadura fica no rotor (pro-
blema 1 da máquina CC).
2) Enrolamento de campo: grupo de bobinas que conduz corrente contí-
nua (CC) para produzir um fluxo constante. Pode ser menor dimen-
sionado em geral. Este é o enrolamento que pode ser substituído por
imãs permanentes.
a) Nas máquinas síncronas o campo fica no rotor;
b) Nas máquinas de corrente contínua o campo fica no estator.
E quanto às máquinas de indução?
Devido à operação diferenciada da máquina de indução, onde um enro-
lamento produz fluxo e causa o surgimento de corrente no outro (induzindo
também o surgimento de fluxo produzido por este secundário), não se usa
a terminologia de armadura/campo, mas sim de enrolamento primário (no
20 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
estator) e secundário (no rotor). De certo modo, a máquina de indução pode
ser vista como um transformador cujo secundário gira.
A Figura 2.4 resume a localização dos tipos de enrolamentos para cada
máquina e também o tipo de corrente
1
que esta conduz.
(a) síncrona (b) CC (c) de indução
campo armadura secundário
armadura campo primário
Conduz CC
Conduz CA
Figura 2.4: Localização e tipo de cada enrolamento.
(a) polos salientes (b) polos lisos
Figura 2.5: Tipos de polos do rotor.
Quanto aos tipos de rotor temos os dois principais tipos de construção,
apresentados na Figura 2.5:
1
Lembre-se que corrente contínua (CC) não é o mesmo que corrente constante. Uma
corrente variável, mas que não muda de direção (sinal) é CC.
2.2. MÁQUINAS ELEMENTARES 21
1) Polos salientes: máquinas com polos salientes são usadas para baixas
velocidades e máquinas de grande diâmetro (e.g. hidrelétricas), por
dois motivos principais:
a) O formato irregular causa maior atrito com o ar, aumentando as
perdas de energia e o ruído sonoro;
b) É mais difícil contruí-las de modo a suportar o stress de altas
velocidades.
2) Polos lisos: usados em velocidades mais altas e eixo de menor diâmetro
(e.g. turbinas a gás).
a) Robustez mecânica e pouco ruído;
b) Distribuição do fluxo mais próxima de senoidal;
c) Porém, mais difícil de realizar bobinagem em máquinas muito
grandes.
2.2 Máquinas Elementares
Máquina elementar é o nome dado à configuração mais simples possível
de uma máquina elétrica. Muitas vezes podemos desenvolver equações que
representam o comportamento de uma máquina elementar e adaptá-las facil-
mente para máquinas mais complexas. Em geral, máquinas elementares não
são encontradas na prática.
2.2.1 Máquinas CA
Nas figuras a seguir são apresentadas uma máquina síncrona elementar de
polos lisos (Figura 2.6) e também máquinas com complexidade aumentada
em alguma de suas características (Figuras 2.7-2.10). Junto de cada máquina
apresenta-se a distribuição aproximada de fluxo (B) no entreferro ao redor do
eixo, devido à alimentação do enrolamento de campo com corrente contínua,
e a respectiva tensão induzida nos terminais do enrolamento de armadura
(ea).
Para exemplificar o funcionamento da máquina, assuma que está sendo
operada como gerador, ou seja, uma força externa é aplicada ao eixo. Supo-
nha também que esta força externa mantém o eixo girando com uma veloci-
dade constante (n, em rpm).
22 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
θa
B [T]
0 pi 2pi
θa [rad]
ea [V]
0
60
2n
60/n
t [s]
• Polos lisos
• Dois polos
• Monofásica
Figura 2.6: Máquina síncrona elementar de polos lisos. As setas representam
os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do campo (em azul).
Embora a densidade de fluxo apresentada na Figura 2.6 está com sua
distribuição como uma onda quadrada com relação a θa, o fluxo concatenado
pela fase do estator (λ) varia cossenoidalmente com relação ao tempo t a
medida que o eixo gira. Assim pela lei de Faraday, temos ea = dλ/dt senoidal.
A Figura 2.7 apresenta a máquina síncrona elementar com o rotor subs-
tituído por um de polos salientes. Note que se as faces dos polos não cobrem
totalmente o rotor, a densidade de fluxo B que corta as espiras do enrola-
mento de armadura apresenta partes constantes, o que leva a uma deformação
na tensão induzida ea.
A extensão para uma máquina de quatro polos é mostrada na Figura 2.8.
Perceba que a cada meia volta do rotor, a máquina volta a estar idêntica à
sua configuração inicial. Emoutras palavras, com meia volta mecânica tem-
se uma volta elétrica completa. De maneira mais genérica, considerando um
2.2. MÁQUINAS ELEMENTARES 23
θa
B [T]
0 pi 2pi
θa [rad]
ea [V]
0
60
2n
60/n
t [s]
• Polos salientes
• Dois polos
• Monofásica
Figura 2.7: Máquina síncrona elementar de polos salientes. As setas repre-
sentam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do campo (em
azul).
número qualquer de polos temos a relação entre o ângulo elétrico (θe [rad]) e
o ângulo mecânico (θa [rad]) dada por
θe =
(
polos
2
)
θa (2.1)
e de maneira similar, temos a relação entre velocidade (frequência) angular
elétrica (ωe [rad/s]) e a velocidade angular mecânica (ωm [rad/s]) dada por
ωe =
(
polos
2
)
ωm. (2.2)
Como usualmente expressamos as frequências elétricas (f) em Hz e as
velocidades mecânicas (n) em rpm, podemos incluir a conversão de unidades
24 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
θa
B [T]
0 pi 2pi
θa [rad]
ciclo elétrico
ciclo mecânico
ea [V]
0
60
2n
60/n
t [s]
• Polos lisos
• Quatro polos
• Monofásica
Figura 2.8: Máquina síncrona de quatro polos.
na relação (2.2), obtendo
n =
(
120
polos
)
f. (2.3)
A Equação (2.3) implica que se a máquina tem mais polos, ela pode girar
mais devagar para produzir uma mesma frequência elétrica.
Exemplo 1 Na usina hidrelétrica de Itaipu, tem-se 20 máquinas síncronas
ao todo (cujo rotor está exemplificado na Figura 2.9). Entretanto, as 10
máquinas do lado paraguaio geram tensão em 50Hz e tem 66 polos, enquanto
as do lado brasileiro geram 60Hz com 78 polos. Com que velocidade (em
rpm) giram as máquinas de cada país?
Solução: Basta utilizar a fórmula da Equação (2.3), resultando em
nPY =
(
120
66
)
50 = 90, 9 rpm, (2.4)
2.2. MÁQUINAS ELEMENTARES 25
Figura 2.9: Instalação do rotor de polos salientes da usina hidrelétrica Itaipu.
Fonte: [3].
nBR =
(
120
78
)
60 = 92, 3 rpm. (2.5)
�
Finalmente temos o caso da máquina síncrona trifásica, apresentado na
Figura 2.10. Note que a diferença principal com o caso elementar é a presença
de enrolamentos independentes defasados espacialmente de 120
◦
elétricos en-
tre si. De maneira genérica para uma máquina polifásica qualquer com um
número de fases igual a nfases, tem-se uma defasagem elétrica de 360
◦/nfases
entre fases adjacentes.
Observe também na Figura 2.10 que as tensões geradas em cada fase
estão defasadas temporalmente de 120
◦
elétricos entre si. Como será visto
mais adiante, esta característica de defasagem tanto espacial quanto temporal
26 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
simultaneamente é fundamental para o funcionamento da máquina polifásica
como motor.
θa
B [T]
0 pi 2pi
θa [rad]
[V]
ea eb ec
0 60/n
t [s]
• Polos lisos
• Dois polos
• Trifásica
Figura 2.10: Máquina síncrona trifásica. As setas representam os eixos mag-
néticos de cada fase da armadura (em vermelho, verde e amarelo) e do campo
(em azul).
2.2. MÁQUINAS ELEMENTARES 27
2.2.2 Máquina CC
Ao contrário da máquina síncrona, a geração do campo é fixada na car-
caça (estator). Para que a máquina gire sem parar (como motor) usando
corrente contínua é necessário o uso de um comutador. O comutador é ape-
nas uma estratégia de conexão entre o enrolamento do rotor e sua fonte
de alimentação de modo a inverter o sentido da corrente no rotor automa-
ticamente durante a rotação. Além disso, quando a máquina opera como
gerador, a tensão induzida internamente na armadura (rotor) é alternada,
mas o mesmo comutador faz com que a polaridade disponível externamente
seja contínua (funciona como um retificador).
θa
B [T]
0 pi 2pi
θa [rad]
ea [V] (interna)
0
60
2n
60/n
t [s]
• Polos salientes
• Dois polos
• Monofásica (CC)
Figura 2.11: Máquina CC elementar de polos salientes. As setas representam
os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do campo (em azul).
Note na Figura 2.11 que a tensão induzida (internamente) na armadura
da máquina CC elementar é a mesma induzida na armadura da máquina
síncrona elementar, pois ambas têm o mesmo movimento relativo entre ar-
28 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
madura e campo e portanto concatenam o mesmo fluxo. Mais detalhes sobre
a máquina CC são apresentados no Capítulo 5.
2.2.3 Outras características construtivas
A seguir algumas características que também aumentam o grau de com-
plexidade de uma máquina real com relação à máquina elementar.
1) Distribuição do enrolamento: o enrolamento pode ser concentrado ou
distribuído, como na Figura 2.12. Com o enrolamento distribuído
obtém-se uma distribuição mais senoidal da densidade de fluxo ao longo
do entreferro. Também com este intuito, a distribuição pode ser feita
com um número diferente de bobinas em cada ranhura (mais bobinas
no centro da fase geram uma distribuição mais senoidal da densidade
de fluxo).
(a) concentrado (b) distribuído
Figura 2.12: Tipos de distribuição dos enrolamentos.
2) Nível de camada: pode ser camada simples ou dupla, de acordo com
a quantidade de diferentes bobinas alocadas na mesma ranhura. Com
a camada dupla, mostrada na Figura 2.13, tem-se flexibilidade para
montagem e possibilidade de fazer passo encurtado (vide próximo item).
3) Tamanho de passo: o passo pode ser pleno, quando as bobinas têm seus
lados colocados em ranhuras dispostas a 180◦ elétricos uma da outra,
2.3. FMMDE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS29
(a) simples (b) dupla
Figura 2.13: Tipos de camada.
ou encurtado, quando os lados das bobinas estão em ranhuras mais pró-
ximas entre si, como ilustrado na Figura 2.14. Com o encurtamento do
passo, também pode-se obter uma distribuição mais senoidal da densi-
dade de fluxo. No caso de máquinas polifásicas, é possível realizar passo
encurtado sobrepondo diferentes fases utilizando-se camada dupla. A
camada dupla também é necessária para manter simetria espacial do
enrolamento. O tamanho do encurtamento do passo pode ser referido
como sendo de x graus ou de n ranhuras, com x ou n substituído por
seu valor correspondente.
Exercício 1 Preencha as características pedidas da máquina na Figura 2.15.
�
2.3 FMM de Enrolamentos Concentrados e Dis-
tribuídos
Visando obter mais adiante uma equação para a tensão induzida em um
gerador ou para o torque eletromagnético produzido por um motor, um dos
caminhos é conhecer a Força MagnetoMotriz (FMM) presente no entreferro
da máquina. Lembrando que a FMM em um circuito magnético é análoga
30 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
(a) pleno (b) encurtado
Figura 2.14: Tipos de passo.
à Força EletroMotriz (FEM) em um circuito elétrico, como mostrado na
Figura 2.16.
Primeiramente, analisaremos o caso da máquina elementar (enrolamento
concentrado, dois polos, passo pleno, monofásica) da Figura 2.17. Sabe-se
que a FMM (F ) produzida por uma bobina de N espiras conduzindo uma
corrente i tem amplitude dada por
F = N · i. (2.6)
Portanto, observando um caminho de fluxo da Figura 2.17 podemos ver que
a FMM (2.6) se divide entre os dois trechos em que a linha de fluxo corta
o entreferro. Note que este enrolamento pode ser apresentado de maneira
planificada como na Figura 2.18, onde também é mostrada a distribuição da
FMM ao longo do entreferro.
Decompondo a onda quadrada em série, temos
F = F1 + F3 + F5 + F7 + · · · (harmônicas ímpares) (2.7)
onde apenas as harmônicas de ordem ímpar compõem a FMM pois as de
ordem par se cancelam em ondas alternadas simétricas. Lembrando que
cada harmônica possui uma amplitude e frequência diferente das demais, a
FMM decomposta apresenta elevado grau de complexidade para tratamentomatemático.
2.3. FMMDE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS31
• Tipo:
• N◦ de ranhuras:
• N◦ de polos:
• Tipo de polos:
• Distribuição:
• Camada:
• Passo:
• N◦ de fases:
Figura 2.15: Corte transversal da máquina para o Exercício 1.
Como já mencionado anteriormente, uma máquina com maior grau de
complexidade em seus aspectos construtivos implica em uma distribuição
mais próxima de senoidal da densidade de fluxo e, consequentemente, da
FMM. Além de uma distribuição mais senoidal da FMM resultar em uma
máquina que opere mais suavemente e gere tensões menos ruidosas, isso
torna possível assumir que a FMM pode ser aproximada pela 1
a
harmônica
(fundamental), isto é,
F ≈ F1 = 4
pi
Ni
2
cos (θa). (2.8)
A harmônica fundamental para o caso da máquina elementar também é mos-
trada na Figura 2.18. Note que para a máquina elementar, a harmônica
fundamental não é uma boa aproximação
2
da FMM real (quadrada).
Considere agora o caso de uma máquina mais complexa, como a ilustrada
na Figura 2.19. Assuma que todas as 8 bobinas da máquina da Figura 2.19
tenham N espiras.
2
O quão próximo um sinal está de sua componente fundamental pode ser mensurado
calculando-se sua Taxa de Distorção Harmônica (TDH). Quanto menor a TDH, melhor.
Para o caso de uma onda quadrada, tem-se uma TDH de 48.4%.
32 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
+
-
+
-
FMM
φ
R FEM
i
R
Figura 2.16: Analogia entre FMM em um circuito magnético e FEM em um
circuito elétrico.
θa
eixo magnético
da fase a
Figura 2.17: Distribuição da FMM em uma máquina elementar.
Na Figura 2.18 pode ser vista a distribuição planificada do enrolamento e
a sua respectiva FMM total. Note que a FMM total é simplesmente a soma
das FMMs de cada bobina.
Além disso, é possível verificar que apenas distribuindo melhor o enrola-
mento, já obtém-se uma FMM mais próxima da senoidal. Perceba que há
uma longa parte plana próxima aos picos na FMM real devido ao grande es-
paço entre os lados positivo e negativo das bobinas da fase. Esse efeito pode
ser mitigado com o encurtamento de passo. Finalmente, com um número
maior de espiras nas bobinas que ficam mais no centro da distribuição, do
que o número de espiras nas bobinas mais externas, também obtém-se uma
FMM mais senoidal.
De maneira genérica, para a fase a de uma máquina polifásica, de múlti-
plos polos, com Nfase espiras ao todo na fase, percorrida por uma corrente
2.3. FMMDE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS33
F
4
pi
N ·i
2
N ·i
2
−N ·i
2
θa [rad]
2pipi0−pi
Figura 2.18: Distribuição planificada da FMM em uma máquina elementar
(em azul) e sua respectiva harmônica fundamental (em verde tracejado).
θa
eixo magnético
da fase a
+a
−a
Figura 2.19: Máquina com enrolamento distribuído, camada dupla e passo
pleno para análise da FMM.
34 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
F
4Ni
2Ni
−2Ni
−4Ni
θa [rad]
pi0−pi
Figura 2.20: Distribuição planificada da FMM da máquina da Figura 2.19
(em azul) e sua respectiva harmônica fundamental (em verde tracejado).
ia, tem-se
F ≈ F1 = 4
pi
(
kaNfase
polos
)
· ia · cos
(
polos
2
· θa
)
, (2.9)
onde
ˆ ka é o fator de enrolamento do estator da máquina;
ˆ Nfase é o número total de espiras da fase.
O fator de enrolamento nada mais é do que uma constante de propor-
cionalidade que depende da configuração de construção da máquina (distri-
buição dos enrolamentos e encurtamento do passo). Quanto maior for este
fator, maior a contribuição da harmônica fundamental, com relação às demais
harmônicas (portanto, melhor). Seu valor máximo é 1.
Graças ao fator de enrolamento, podemos simplificar a análise de enrola-
mentos distribuídos e/ou encurtados, como se fosse um enrolamento concen-
trado de passo pleno de kaNfase espiras.
Exemplo 2 ([1, p.190]) O enrolamento da fase a da armadura de dois po-
los da Figura 2.19 consiste em 8 bobinas, de passo pleno e N espiras ligadas
em série com cada ranhura contendo duas bobinas. Há um total de 24 ra-
nhuras e assim cada ranhura está separada por 360◦/24 = 15◦. Supondo que
2.3. FMMDE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS35
o ângulo θa seja medido a partir do eixo magnético da fase a de modo que as
quatro ranhuras do lado �+a� estejam em θa = 67, 5
◦
; 82, 5◦; 97, 5◦; 112, 5◦.
Os lados opostos (−a) estão em −112, 5◦; −97, 5◦; −82, 5◦; −67, 5◦, respec-
tivamente. Assuma que este enrolamento está conduzindo uma corrente ia.
a) Escreva uma expressão para a FMM espacial fundamental produzida
pelas duas bobinas cujos lados estão em θa = 112, 5
◦
e −67, 5◦.
b) Repita o item anterior para as que estão em 67, 5◦ e −112, 5◦.
c) Escreva uma expressão para a FMM fundamental da fase completa.
d) Determine o fator de enrolamento ka para este enrolamento distribuído.
Solução:
a) Primeiramente, o eixo magnético da bobina está em
112, 5◦ − 67, 5◦
2
= 22, 5◦ (2.10)
Portanto, por comparação com a Equação (2.8), notando que o valor
de pico da FMM desta bobina ocorre em 22, 5◦ e que a ranhura contém
2N espiras, temos
F22,5◦ =
4
pi
(
2N
2
)
ia cos (θa − 22, 5◦). (2.11)
b) Neste caso, apenas a localização do eixo magnético da bobina é alterado,
então temos
F−22,5◦ =
4
pi
(
2N
2
)
ia cos (θa + 22, 5
◦). (2.12)
c) A FMM fundamental da fase completa (Fa) é a soma das FMMs indi-
viduais de todas as bobinas, ou seja,
Fa = F22,5◦ + F7,5◦ + F−7,5◦ + F−22,5◦ (2.13)
36 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
Fa =
4
pi
(
2N
2
)
ia [cos (θa − 22, 5◦) + cos (θa − 7, 5◦)
+ cos (θa + 7, 5
◦) + cos (θa + 22, 5◦)] . (2.14)
Sabendo que
cos (a± b) = cos (a) cos (b)∓ sen(a) sen(b), (2.15)
podemos reescrever (2.14) como
Fa =
4
pi
(
2N
2
)
ia [2 cos (22, 5
◦) + 2 cos (7, 5◦)] cos (θa) (2.16)
e finalmente
Fa =
4
pi
(
7, 66N
2
)
ia cos (θa). (2.17)
d) Por comparação entre (2.17) e a fórmula genérica da Equação (2.9),
temos
kaNfase = 7, 66N (2.18)
e lembrando que para esta máquina Nfase = 8N ,
ka =
7, 66N
8N
= 0.958 (2.19)
�
θa
eixo magnético
da fase a
+a
−a
Figura 2.21: Enrolamento distribuído para o Exercício 2. As bobinas em
azul claro têm 6 espiras e as bobinas em azul escuro têm 8 espiras.
2.4. ONDAS GIRANTES EM MÁQUINAS CA 37
Exercício 2 (Adaptado de [1, p.191]) Calcule o fator de enrolamento
para a mesma configuração do Exemplo 2 se o número de espiras nas quatro
bobinas dos dois pares mais externos de ranhuras for igual a 6 e dos dois
pares mais internos for 8, como mostrado na Figura 2.21. �
2.3.1 FMM do enrolamento do rotor
θr
eixo magnético
do rotor
Figura 2.22: Rotor com enrolamento distribuído.
De maneira análoga ao caso anterior, para o enrolamento do rotor apre-
sentado na Figura 2.22 temos sua FMM (Fr) dada por
Ff ≈ 4
pi
(
kfNf
polos
)
· If · cos
(
polos
2
· θr
)
, (2.20)
onde
ˆ kf é o fator de enrolamento do rotor;
ˆ Nf é o número total de espiras do rotor;
ˆ If é a corrente no rotor.
2.4 Ondas Girantes em Máquinas CA
Sabendo que o motor elétrico tem seu princípio de funcionamento base-
ado na atração entre dois campos magnéticos, esta seção tem como objetivo
38 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
mostrar como é feita a criação de um campo magnético girante e de ampli-
tude constante. O campo girante tem como objetivo o movimento contínuo
do rotor e a amplitude constante garante um giro suave sem oscilações na
aceleração angular. A análise a seguir é realizada através do equacionamento
da FMM resultante na máquina e será suposto a partir deste ponto que a
FMM é gerada por enrolamentos bem distribuídos, podendo ser aproximadapela componente fundamental (distribuição senoidal da FMM ao longo do
entreferro).
2.4.1 Caso monofásico
Como visto anteriormente, para o caso monofásico temos a FMM pro-
duzida pela fase (armadura) dada pela Equação (2.9). Considere agora as
situações a seguir.
ˆ Se ia = Im (constante), então a FMM é imóvel ;
ˆ Se ia = Im cos (ωet), então a FMM se torna pulsante.
Fa =
4
pi
(
kaNfase
polos
)
Im︸ ︷︷ ︸
Fpico
· cos (ωet)︸ ︷︷ ︸
varia com
o instante
temporal
· cos
(
polos
2
θa
)
︸ ︷︷ ︸
varia com a
posição espacial
do eixo mag.
, (2.21)
Note que na primeira situação, se há um campo fixo produzido no enro-
lamento de campo, o rotor se alinha com o campo da armadura e a máquina
para.
Na segunda situação, a FMM é pulsante mas ainda não girante, ou seja,
a FMM muda de sentido, mas apenas em uma única direção (o pico da FMM
ocorre sempre no mesmo valor de θa). Caso os campos estejam inicialmente
alinhados, o rotor pode não girar (especialmente pela presença de atrito).
Caso o rotor não esteja alinhado, pode girar (e continuar o giro por inércia)
desde que o sentido seja invertido antes do próximo alinhamento. Entretanto,
o rotor estará sujeito à forças não constantes, oscilação de aceleração e de
velocidade de rotação e a direção da rotação é determinada pela condição
inicial.
2.4. ONDAS GIRANTES EM MÁQUINAS CA 39
Todas as características anteriores são os principais problemas das má-
quinas monofásicas. Por isso, normalmente estas máquinas necessitam de
alguma forma auxiliar de partida e de criação de um campo girante.
2.4.2 Caso trifásico
Para o caso de um enrolamento trifásico, considere as situações a seguir.
ˆ Se θa = θb = θc (não há defasagem espacial entre as fases) e/ou ia =
ib = ic (não há defasagem temporal entre as correntes), então a FMM
resultante é nula;
ˆ Se as defasagens espacial e temporal são distribuídas simetricamente,
ou seja
θb = θa − 120◦
θc = θa + 120
◦ ,
ia = Im cos (ωet)
ib = Im cos (ωet− 120◦)
ic = Im cos (ωet+ 120
◦)
(2.22)
então
Fa = Fpico cos (ωet) cos
(
polos
2
θa
)
, (2.23)
Fb = Fpico cos (ωet− 120◦) cos
(
polos
2
θa − 120◦
)
, (2.24)
Fc = Fpico cos (ωet+ 120
◦) cos
(
polos
2
θa + 120
◦
)
. (2.25)
Lembrando da relação (2.15), a FMM resultante pode ser reescrita
como
Fresultante = Fa + Fb + Fc =
3
2
Fpico cos
(
polos
2
θa − ωet
)
. (2.26)
O campo girante gerado por uma máquina trifásica alimentada com cor-
rentes trifásicas pode ser visto
3
na Figura 2.23.
3
A Figura 2.23 é uma animação do tipo GIF. Pode requerer visualização com o software
Adobe Acrobat atualizado.
40 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
Figura 2.23: Onda girante em máquinas CA trifásicas. A direção de pico da
FMM pulsante de cada fase e a resultante trifásica girante são mostradas à
esquerda e as respectivas correntes aplicadas à direita.
2.5. TENSÃO INDUZIDA 41
Note que o valor de pico resultante
(
3
2
Fpico
)
aparece nos valores de θa tais
que cos
(
polos
2
θa − ωet
)
é unitário, ou seja
θa =
(
2
polos
)
ωet. (2.27)
Isso implica que a direção do pico da FMM resultante varia com o tempo (é
girante) e tem velocidade angular dada por
ωs =
(
2
polos
)
ωe. (2.28)
onde
ˆ ωe é a frequência angular elétrica aplicada;
ˆ ωs é a velocidade angular espacial do pico da FMM resultante ao longo
do entreferro.
Como ωs está sincronizada com ωe através da Equação (2.28), esta é conhe-
cida como velocidade angular síncrona (por isso o subíndice s).
Finalmente, a Equação (2.28) pode ser reescrita como
ns =
(
120
polos
)
fe (2.29)
onde ns é a velocidade síncrona (em rpm) e fe é a frequência elétrica aplicada
(em Hz).
2.5 Tensão Induzida
Nesta seção estamos interessados em deduzir uma equação para a tensão
induzida no enrolamento de uma fase da armadura devido ao movimento de
um campo magnético no enrolamento de campo, vide Figura 2.24.
De acordo com a Equação (2.20), o valor de pico da FMM produzida no
enrolamento de campo é dado por
Ff(pico) =
4
pi
(
kfNf
polos
)
If (2.30)
onde
42 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
θr = ωmt
eixo magnético
do enr. de campo
eixo magnético
da fase a
Figura 2.24: Máquina elementar para dedução da tensão induzida.
ˆ kf é o fator de enrolamento do campo da máquina;
ˆ Nf é o número total de espiras do enrolamento de campo;
ˆ If é a corrente de campo (CC).
A densidade de fluxo (B) em uma máquina de múltiplos polos e entreferro
pequeno e uniforme é dada por
B =
µ0
g
· Ff (2.31)
então
Bpico =
4
pi
· µ0
g
(
kfNf
polos
)
· If (2.32)
onde
ˆ µ0 é a permeabilidade magnética do ar (4pi × 10−7);
ˆ g é o comprimento do entreferro.
Assumindo uma distribuição da densidade de fluxo senoidal ao longo do
entreferro:
B = Bpico · cos
(
polos
2
θr
)
. (2.33)
2.5. TENSÃO INDUZIDA 43
Sabendo que a integral da densidade de fluxo ao longo da área do polo é
o próprio fluxo por polo (Φp) [Wb]
Φp =
∫
polo
B · dA (2.34)
dC
dA
l
r
pi
polos
−pi
polos
Figura 2.25: Representação de um polo de um rotor elementar (metade do
cilindro no caso de dois polos).
Analisando o formato do rotor na Figura 2.25, onde está sendo assumido
θr = 0 no centro do polo, temos:
dA = l · dC = l · r · dθr (2.35)
Φp =
∫ pi
polos
−pi
polos
B · r · l · dθr (2.36)
Φp = Bpico · r · l
∫ pi
polos
−pi
polos
cos
(
polos
2
θr
)
dθr (2.37)
Φp = Bpico · r · l ·
(
2
polos
)
·
[
sen
(
polos
2
· θr
)] pi
polos
−pi
polos
(2.38)
Φp =
(
2
polos
)
· 2 ·Bpico · r · l (2.39)
onde Φp é o fluxo produzido por polo no enrolamento de campo. Mas para
a obtenção da expressão da tensão induzida em uma fase do enrolamento
44 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
de armadura é necessário conhecer o fluxo concatenado pela fase (λa fluxo
concatenado pela fase a, por exemplo).
A medida que o rotor gira (devido a uma força externa aplicada) com uma
velocidade angular mecânica ω, o fluxo concatenado do rotor pelo estator
varia senoidalmente.
λpicoa = ka ·Na · Φp (2.40)
λa = ka ·Na · Φp · cos
(
polos
2
ωmt
)
(2.41)
O produto ka ·Na, onde Na é o número total de espiras da fase a, reduz a
análise de um enrolamento distribuído para a de um enrolamento concentrado
de passo pleno. Pela lei de Faraday, a tensão induzida na fase a devido ao
campo f é:
eaf =
dλa
dt
= ka ·Na · Φp · d
dt
[
cos
(
polos
2
ωm︸ ︷︷ ︸
ωe
t
)]
(2.42)
eaf = −ωe · ka ·Na · Φp · sen(ωet) (2.43)
A tensão induzida, apresentada na Equação (2.43), também é conhecida
como Força Contra-Eletromotriz (FCEM).
Exemplo 3 ([1, p.209]) Um gerador de 60 Hz síncrono trifásico de dois
polos ligados em Y e rotor cilíndrico tem um enrolamento de campo com
Nf espiras distribuídas e um fator de enrolamento kf . O enrolamento de
armadura tem Na espiras por fase e fator de enrolamento ka. O comprimento
do entreferro é g, e o raio médio do entreferro é r. O comprimento ativo do
enrolamento de armadura é l. As dimensões e os dados do enrolamento são:
Nf = 68 espiras em série kf = 0, 945
Na = 18 espiras em série/fase ka = 0, 933
r = 0, 53 m g = 4, 5 cm
l = 3, 8 m
O rotor é acionado por uma turbina a vapor a uma velocidade de 3600 rpm.
Para uma corrente contínua de campo de If = 720A, calcule:
2.5. TENSÃO INDUZIDA 45
a) A FMM fundamental de pico Ff(pico) produzida pelo enrolamento de
campo;
b) A densidade de fluxo fundamental de pico Bpico no entreferro;
c) O fluxo fundamental por polo Φp;
d) O valor eficaz da tensão gerada em circuito aberto na armadura.
Solução:a)
Ff(pico) =
4
pi
·
(
kf ·Nf
polos
)
· If (2.44)
Ff(pico) =
4
pi
·
(
0, 945 · 68
2
)
· 720 (2.45)
Ff(pico) = 2, 94× 104 A · espiras/polos (2.46)
b)
Bpico =
µ0
(
Ff(pico)
)
g
=
4pi · 10−7 · 2, 94 · 104
4, 5 · 10−2 = 0, 821T (2.47)
Devido ao efeito das ranhuras que contêm o enrolamento de armadura,
a maioria do fluxo de entreferro está confinada aos dentes do estator. A
densidade de fluxo dos dentes no centro de um polo é mais elevada que
o valor calculado na parte b, provavelmente cerca de duas vezes mais.
Em um projeto detalhado, essa densidade de fluxo deve ser calculada
para se determinar se os dentes estão excessivamente saturados.
c)
Φp = 2 ·Bpico · l · r (2.48)
Φp = 2 · 0, 821 · 3, 8 · 0, 53 (2.49)
Φp = 3, 31 Wb (2.50)
46 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
d) A partir da Equação (2.43) temos que o valor de pico de eaf é dado
por ωe · ka ·Na · Φp. Como é um sinal senoidal, seu valor eficaz é então
dado pelo valor máximo dividido por
√
2, ou seja:
Eaf(fase) =
1√
2
(2pif) · ka ·Na · Φp (2.51)
Eaf(fase) =
1√
2
2pi · 60 · 0, 933 · 18 · 3, 31 (2.52)
Eaf(fase) = 14, 8 kV (valor eficaz) (2.53)
A tensão de linha é, portanto:
Eaf(linha) =
√
3 · 14, 8 kV (2.54)
Eaf(linha) = 25, 7 kV (valor eficaz) (2.55)
�
2.6 Conjugado Eletromagnético
Conjugado (torque) eletromagnético é a força angular que busca fazer dois
campos magnéticos se alinharem. Pode ser obtido através de duas análises:
ˆ do ponto de vista do circuito acoplado;
ˆ do ponto de vista do campo magnético.
Considerando apenas a primeira e supondo que os enrolamentos sejam
substituídos por indutores. O fluxo concatenado por cada indutor depende
de sua indutância própria e da mútua (gerada pelo outro indutor).
2.6. CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO 47
+ -
+
-
ia
if
Va
Vf
LaLf Ra
Rf
Figura 2.26: Representação alternativa simplificada.
A indutância mútua tem seu máximo quando os indutores estão alinhados
(θe = 0 ou θe = 2pi), é zero quando θe = ±pi2 e está com máximo negativo
quando θe = ±pi, ou seja:
Ler(θe) = Ler · cos(θe) (2.56)
Onde Ler é o valor de pico (constante) da indutância mútua Ler(θe) e esta
depende de θe pois a cada ciclo elétrico o circuito volta a se repetir. Além
disso,
Ler(θe) = Lre(θe) (2.57)
É suposto que tem-se:
ˆ Ondas senoidais da FMM;
ˆ Entreferro pequeno e uniforme (polos lisos com enrolamento bem dis-
tribuído e efeito de espraiamento desprezível).
Lembrando que
θe =
(
polos
2
)
θm,
o fluxo concatenado λ e a corrente i que percorre uma bobina (indutor) são
relacionados pelo valor da indutância, segundo
λ = L(θ) · i (2.58)
48 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
Tal relação é válida se as suposições anteriores são satisfeitas. Para a
máquina elementar, os fluxos concatenados no estator e no rotor são:
λe = Lee · ie + Ler(θe) · ir (2.59)
λr = Lrr · ir + Lre(θe) · ie (2.60)
Reescrevendo:
λe = Lee · ie + Ler(θe) · ir · cos(θe) (2.61)
λr = Lrr · ir + Ler(θe) · ie · cos(θe) (2.62)
Pela Lei de Faraday, tem-se:
ve = Re · ie + dλe
dt
(2.63)
vr = Rr · ir + dλr
dt
(2.64)
Observa-se que quando o rotor está girando, θe varia no tempo com velo-
cidade we =
dθe
dt
, então:
ve = Re · ie + Lee · die
dt
+ Ler · cos(θe) · dir
dt
− Ler · ir · sen(θe) · dθe
dt
(2.65)
vr = Rr · ir + Lrr · dir
dt
+ Ler · cos(θe) · die
dt
− Ler · ie · sen(θe) · dθe
dt
(2.66)
dθe
dt
= we =
polos
2
wm (2.67)
O conjugado pode ser obtido derivando-se a energia (ou a co-energia)
armazenada no campo magnético com relação ao ângulo mecânico wm. Lem-
brando que em um sistema magnético linear, a energia e a co-energia são
numericamente iguais.
2.6. CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO 49
1
2
· λ
2
L︸ ︷︷ ︸
Wcampo
(energia)
=
1
2
· Li2︸ ︷︷ ︸
W ′campo
(co-energia)
(2.68)
De maneira genérica, para um sistema com dois enrolamentos, ou seja,
uma máquina monofásica (um enrolamento no estato e um no rotor), a co-
energia é:
W ′campo =
1
2
· L11(θ) · i21 +
1
2
· L22(θ) · i22 + L12(θ) · i2 · i1 (2.69)
Por analogia, tem-se para a máquina monofásica:
W ′campo =
1
2
· Lee · i2e +
1
2
· Lrr(θ) · i2r + Ler · ie · ir · cos(θe) (2.70)
Então, o conjugado pode ser escrito como:
T1φ =
d
dθm
W ′campo (2.71)
T1φ = −
(
polos
2
)
· Ler · ie · ir · sen
(
polos
2
· θm
)
(2.72)
T1φ = −
(
polos
2
)
· Ler · ie · ir · sen(θe) (2.73)
Note na Equação (2.73) que o conjugado em uma máquina monofásica varia
senoidalmente com a posição do rotor. Em outras palavras, não é produzido
conjugado útil que acelere a máquina sempre no mesmo sentido.
2.6.1 Conjugado em máquinas trifásicas
Considerando agora uma máquina com múltiplos enrolamentos no estator
(múltiplas fases). Cada fase tem sua indutância própria, uma indução mútua
entre a fase (estator) e o enrolamento de campo (rotor) e ainda uma mútua
com cada uma das outras fases.
50 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
As únicas indutâncias que não variam em função do ângulo são as indu-
tâncias próprias, de todos os enrolamentos, assim como as mútuas fase-fase
(que estão fixas no espaço uma em relação à outra) são constantes.
Para a obtenção do conjugado basta usar a co-energia de todos os campos
magnéticos somados.
Exemplo 4 ([1, p.216]) Considere uma máquina síncrona trifásica com
um entreferro uniforme. Suponha que as indutâncias próprias e mútuas do
enrolamento de armadura sejam constantes:
Laa = Lbb = Lcc , Lab = Lbc = Lca. (2.74)
Do mesmo modo, suponha que a indutância própria Lff do enrolamento
de campo seja constante. Já as indutâncias mútuas entre o campo e a arma-
dura variam com o ângulo entre os eixos magnéticos campo-fase.
Laf (θm) = Lef · cos
(
polos
2
· θm
)
(2.75)
Lbf (θm) = Lef · cos
(
polos
2
· θm − 120◦
)
(2.76)
Lcf (θm) = Lef · cos
(
polos
2
· θm + 120◦
)
(2.77)
Mostre que quando o campo é excitado com a corrente constante If e a
armadura é excitada com correntes trifásicas equilibradas da forma:
ia = Im · cos(wet+ δ) (2.78)
ib = Im · cos(wet− 120◦ + δ) (2.79)
ic = Im · cos(wet+ 120◦ + δ) (2.80)
Então o conjugado será constante se o rotor girar com velocidade síncrona.
Solução: Calculando a co-energia:
W ′campo =
W ′cte︷ ︸︸ ︷
1
2
Lff i
2
f +
1
2
Laai
2
a +
1
2
Lbbi
2
b +
1
2
Lcci
2
c + Labiaib + Lbcibic + Lcaicia
+ Laf (θm) · iaif + Lbf (θm) · ibif + Lcf (θm) · icif (2.81)
2.6. CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO 51
W ′campo = W
′
cte + LefIfIm
[
cos
(
polos
2
θm
)
cos(wet+ δ)
+ cos
(
polos
2
θm − 120◦
)
cos(wet− 120◦ + δ)
+ cos
(
polos
2
θm + 120
◦
)
cos(wet+ 120
◦ − δ)
]
(2.82)
Usando a simplificação (2.15), tem-se:
W ′campo = W
′
cte + 3LefImIf cos
(
polos
2
θm − wet− δ
)
(2.83)
Calculando o conjugado:
T3φ =
d
dθm
·W ′campo (2.84)
T3φ = −3
2
·
(
polos
2
)
· LefImIf sen
(
polos
2
θm − wet− δ
)
(2.85)
Se o rotor girar na velocidade síncrona (velocidade mecânica respectiva à
velocidade elétrica a aplicada pelas correntes), então
ws =
(
2
polos
)
we. (2.86)
Para wm = ws, tem-se:
θm = wst =
(
2
polos
)
wet (2.87)
Portanto,
T3φ =
3
2
·
(
polos
2
)
· LefImIf sen(δ) (2.88)
onde nota-se que T3φ é constante se δ é constante. A curva de T3φ versus δ
é apresentada na Figura 2.27. �
52 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
δ
Motor
Gerador
T
Tmax
−Tmax
−90◦ 90◦
Figura 2.27: Torque produzido em máquina síncrona trifásica em função do
ângulo de carga δ.
2.6.2 Perdas de eficiência em máquinas
Em máquinas elétricas temos perdaselétricas, mecânicas e magnéticas
normalmente divididas nas seguintes categorias:
1) Perdas elétricas (ou no cobre):
ˆ perdas no enrolamento de armadura: Rai
2
a;
ˆ perdas no enrolamento de campo (se houver): Rf i
2
f .
2) Perdas rotacionais:
(a) Perdas mecânicas (atrito):
ˆ atrito nos mancais;
ˆ atrito nas escovas;
ˆ atrito com o ar.
(b) Perdas no núcleo (laminado como em transformadores):
ˆ perdas por histerese (aumenta com f);
ˆ correntes parasitas.
2.6. CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO 53
Em máquinas CA, onde a corrente é senoidal, as perdas são dadas por
Rai
2
arms . Se a máquina é trifásica balanceada (Ra = Rb = Rc e ia = ib = ic)
então basta somar as perdas nas fases, ou seja, 3Rai
2
arms .∑
perdas = Pcu + Pmec + Pnucleo (2.89)
A eficiência é dada por:
η =
Psaida
Pentrada
=
Psaida
Psaida +
∑
perdas
(2.90)
Em um motor tem-se:
Psaida = Peixo = T · wm (2.91)
Em um gerador tem-se:
Pentrada = Peixo = T · wm (2.92)
Problemas propostos
Os problemas propostos a seguir foram extraídos/adaptados dos proble-
mas do Capítulo 4 do livro [1].
(1) Uma máquina síncrona de 6 polos e 60 Hz tem um enrolamento de rotor
com um total de 138 espiras em série e um fator de enrolamento kr =
0, 935. O comprimento do rotor é 1,97 m, o raio do rotor é 58 cm e o
comprimento do entreferro é igual a 3,15 cm.
a) Qual é a velocidade nominal de operação em rpm?
b) Calcule a corrente no enrolamento do rotor que é necessária para
se obter uma componente fundamental de pico de 1,23 T de den-
sidade de fluxo no entreferro?
c) Calcule o fluxo correspondente por polo.
(2) A máquina do Problema (1) tem um enrolamento trifásico com 45 es-
piras em série por fase e um fator de enrolamento de kenr = 0, 928
(armadura). Para as condições de fluxo e velocidade nominal do Pro-
blema (1), calcule a tensão eficaz gerada por fase.
54 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
(3) A máquina síncrona trifásica do Problema (1) deve ser transferida para
uma aplicação onde é necessário que a frequência de operação seja
reduzida de 60 para 50 Hz. Essa aplicação requer que, para as condições
de operação consideradas no Problema (1), a tensão eficaz de linha
gerada seja de 13,0 kV. Como resultado, os enrolamentos da armadura
da máquina devem ser refeitos com um número diferente de espiras.
Supondo um fator de enrolamento de kenr = 0, 928, calcule o número
necessário de espiras em série por fase.
(4) Um gerador síncrono trifásico de dois polos e 60 Hz, tem um raio de
rotor de 5,71 cm, um comprimento de rotor de 18,0 cm e um compri-
mento de entreferro de 0,25 mm. O enrolamento de campo do rotor
consiste em 264 espiras com um fator de enrolamento de kr = 0, 95.
O enrolamento de armadura, ligado em Y, consiste em 45 espiras por
fase, com um fator de enrolamento de kenr = 0, 93.
a) Calcule o fluxo por polo e a componente fundamental da densidade
de fluxo de pico no entreferro do qual resultará uma tensão de
armadura, em circuito aberto, de 60 Hz e uma tensão eficaz de
fase de 120 V por fase.
b) Calcule a corrente CC de campo necessária para se obter as con-
dições de operação da parte (a).
c) Calcule o valor de pico da indutância mútua entre o enrolamento
de campo e o enrolamento de fase da armadura.
(5) Um gerador síncrono de 4 polos e 60 Hz tem um comprimento de rotor
de 5,2 m, um diâmetro de 1,24 m e um comprimento de entreferro de
5,9 cm. O enrolamento do rotor consiste em uma conexão em série de
63 espiras por polo com um fator de enrolamento de kr = 0, 91. O
valor de pico da fundamental da densidade de fluxo no entreferro está
limitada a 1,1 T e a corrente de enrolamento do rotor, a 2700 A. Calcule
os valores máximos do conjugado (N.m) e da saída de potência (MW)
que podem ser fornecidos por essa máquina.
Capı´tulo3
Máquinas Síncronas
Como visto anteriormente, as seguintes equações são válidas para a má-
quina síncrona:
eaf = −we · ka · nfases · Φp · sen(wet) (3.1)
fe =
(
polos
2
)
n
60
(3.2)
T3φ =
3
2
·
(
polos
2
)
· Laf · Im · If · sen(δ) (3.3)
cuja curva de conjugado versus ângulo de carga é apresentada na Figura 2.27.
Note na Equação (3.1) que a frequência da tensão gerada pode ser controlada
alterando-se a velocidade de rotação e a amplitude pode ser ajustada através
de If , que afeta o fluxo por polo Φp. Além disso, na Equação (3.3) o torque
máximo pode ser aumentado aumentando-se Im (amplitude das correntes
trifásicas) e If até os limites de aquecimento da máquina.
Geradores síncronos podem ser conectados em paralelo. Em um sistema
com muitos geradores síncronos, um único gerador não consegue fazer alte-
rações significativas na tensão e na frequência. Esse barramento com tensão
e frequência constantes é conhecido como �barramento infinito�.
No caso do gerador, se o torque no eixo aumentar, é necessário aumentar
o ângulo δ entre os eixos magnéticos do estator (girante) e do rotor (que
gira com o movimento do rotor), mas o rotor continua a girar na velocidade
síncrona. Se chegar a 90◦, qualquer conjugado extra aplicado é maior que o
55
56 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
conjugado máximo que pode ser gerado para uma dada corrente de campo
If , então a máquina acelera indefinidamente (perde o sincronismo). Para
evitar danos, o gerador deve ser rapidamente desconectado do sistema elétrico
pela operação automática de disjuntores, além disso, a força motriz deve ser
rapidamente desativada para evitar velocidades perigosamente elevadas.
No caso do motor, a perda de sincronismo ocorre em −90◦ e acarreta na
desaceleração da máquina, levando-a a parar.
3.1 Modelagem e Circuito Equivalente
Primeiramente, determina-se as indutâncias presentes na máquina. Lem-
brando que os fluxos concatenados nas fases (sub-índices a, b, c) e no enrola-
mento de campo (sub-índice f) podem ser expressos como:
λa = Laa · ia + Lab · ib + Lac · ic + Laf · if (3.4)
λb = Lba · ia + Lbb · ib + Lbc · ic + Lbf · if (3.5)
λc = Lca · ia + Lcb · ib + Lcc · ic + Lcf · if (3.6)
λf = Lfa · ia + Lfb · ib + Lfc · ic + Lff · if (3.7)
onde:
ˆ Laa (sub-índices iguais) representam indutâncias próprias;
ˆ Lab (sub-índices diferentes) representam indutâncias mútuas;
ˆ O caractere L (caligráfico) indica que as indutâncias podem variar com
o ângulo do rotor (θm).
A partir deste ponto, a análise é simplificada assumindo a máquina com
rotor cilíndrico (polos lisos).
1) Indutância própria do rotor
Lff = Lff = Lff0 + Lfl (3.8)
onde
3.1. MODELAGEM E CIRCUITO EQUIVALENTE 57
ˆ Lff0 - indutância responsável pela componente harmônica funda-
mental do fluxo que atravessa o entreferro;
ˆ Lfl - responsável pelo fluxo de dispersão (leakage) do enrolamento
de campo.
As interpretações do fluxo principal e do fluxo de dispersão podem ser
obtidas da analogia com o transformador, como na Figura 3.1.
φ0
φl
ia
fluxo de dispersão
Figura 3.1: Fluxo principal φ0 e de dispersão φl (leakage) em analogia com
transformador.
2) Indutâncias mútuas entre estator (armadura) e rotor (campo)
Laf = Lfa = Laf · cos(θm) (3.9)
Considere o rotor girando na velocidade síncrona wm = ws. O ângulo
mecânico (espacial) do rotor varia segundo:
θm = wst+ δ0 (3.10)
Como
θe =
(
polos
2
)
θm (3.11)
we =
(
polos
2
)
wm (3.12)
58 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
tem-se que:
θe = wet+ δe0. (3.13)
Então, pode-se reescrever a indutância mútua como:
Laf = Lfa = Laf · cos(wet+ δe0) (3.14)
3) Indutâncias próprias das fases do estator
Laa = Lbb = Lcc = Laa = Laa0 + Lal (3.15)
4) Indutâncias mútuas entre fases do estator
Lab = Lba = Lac = Lbc = −1
2
· Laa0 (3.16)
Substituindo (3.8), (3.15) e (3.16) na equação de λa, tem-se:
λa = (Laa0 + Lal) · ia − 1
2
Laa0 · (ib + ic) + Laf · if (3.17)Em um sistema trifásico balanceado, tem-se:
ia + ib + ic = 0 (3.18)
ib + ic = −ia (3.19)
Então:
λa =
(
3
2
Laa0 + Lal
)
︸ ︷︷ ︸
Ls
ia + Laf · if (3.20)
Ou seja, λa = Lsia + Laf · if onde Ls é chamada de indutância síncrona
e é a indutância efetiva vista nos terminais de uma fase com a máquina em
regime permanente trifásica equilibrada.
Para a determinação do circuito equivalente, a tensão induzida na fase
�a� pelo campo �f�, em circuito aberto, é:
3.1. MODELAGEM E CIRCUITO EQUIVALENTE 59
eaf =
dλa
dt
=
d
dt
(Laf · if ) (3.21)
eaf = −we · Laf · if · sen(wet+ δeo) (3.22)
Supondo nula a corrente na armadura (circuito aberto):
Eaf =
we · Laf · if√
2
(3.23)
Mas com a corrente ia, a tensão nos terminais da máquina pode ser ex-
pressa como:
va = Ra · ia + dλa
dt
(3.24)
va = Ra · ia + Ls · dia
dt
+ eaf (3.25)
Essa equação pode ser representada em variáveis complexas (módulo e
ângulo) como
Vˆa = Ra · Iˆa + jXs · Iˆa + Eˆaf (3.26)
onde:
ˆ Xs = weLs é a reatância síncrona;
ˆ Eˆaf = Eaf δe0.
+
-
+
-
Iˆa
VˆaEˆaf
Ra jXs
Figura 3.2: Circuito equivalente da máquina síncrona na representação tipo
motor.
60 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
A Equação (3.26) e a figura anterior apresentam o modelo da máquina no
referencial do tipo �motor�, onde correntes Ia positivas entram na máquina,
como na Figura 3.2.
No referencial do tipo �gerador� que será adotado a partir de agora, por
ser geralmente mais utilizado, tem-se as correntes Ia positivas saindo da
máquina, como na Figura 3.3. Ou seja:
Vˆa = −Ra · Iˆa − jXs · Iˆa + Eˆaf (3.27)
+
-
+
-
Iˆa
VˆaEˆaf
Ra jXs
Figura 3.3: Circuito equivalente da máquina síncrona na representação tipo
gerador.
Como o modelo é por fase, as tensões são de fase e a potência é
1/3 da
potência total da máquina.
Exemplo 5 ([1, p.247]) Observa-se que um motor síncrono trifásico de 60
Hz tem uma tensão de linha de 460 V nos terminais e uma corrente de
terminal de 120 A com um fator de potência (FP) de 0,95 indutivo. Nessas
condições de operação a corrente de campo é de 47 A. A reatância síncrona
da máquina é igual a 1,68 Ω. Suponha que a resistência de armadura seja
desprezível.
Calcule:
a) A tensão gerada Eaf em volts;
b) O valor da indutância mútua Laf entre o campo e a armadura;
3.1. MODELAGEM E CIRCUITO EQUIVALENTE 61
c) A potência elétrica do motor em kW.
Solução:
a)
Vˆa =
460√
3
0◦ (referência adotada) (3.28)
cos(φ) = FP (3.29)
φ = cos−1(FP ) = cos−1(0, 95) = −18, 2◦ (indutivo) (3.30)
Iˆa = 120 −18, 2◦A (3.31)
Por fim, a tensão gerada Eˆaf é:
Eˆaf = Vˆa − jXs · Iˆa = 460√
3
− j1, 68 · 120 −18, 2◦ (3.32)
Eˆaf = 278, 8 −43, 4◦V (3.33)
b) Como Eˆaf = Eaf δ, temos Eaf = 278, 8. Sabendo que
Eaf =
we · Laf · if√
2
(3.34)
então o valor da indutância mútua Laf entre o campo e a armadura é
dado por:
Laf =
√
2 · Eaf
we · if =
√
2 · 278, 8
2pi · 60 · 47 = 22, 3mH (3.35)
c)
P3φ = 3 · Va · Ia · cosφ = 3 · 460√
3
· 120 · 0, 95 = 90, 8kW (3.36)
�
62 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
3.2 Característica a Vazio e de Curto-Circuito
As características fundamentais de uma máquina síncrona podem ser de-
terminadas por dois ensaios:
ˆ terminais de armadura a vazio (circuito aberto);
ˆ terminais de armadura em curto-circuito.
O que será discutido sobre estes ensaios se aplica tanto para máquinas de
polos lisos quanto de polos salientes.
3.2.1 Curva de saturação a vazio (CAV)
1) Aciona-se a máquina até a velocidade síncrona mecanicamente com
uma força externa;
2) Mede-se Va para diferentes valores de If .
Relembre-se de que Φp ∝∼ If e
eaf = −we · ka · nfases · Φp · sen(wet) (3.37)
+
-
+
-
Va
If
linha de
entreferro
CAV
Iˆa = 0
VˆaEˆaf
Ra jXs
Figura 3.4: Característica a vazio (CAV), linha de entreferro e circuito equi-
valente do ensaio.
Notando que Vˆa = Eˆaf com a máquina em circuito aberto, a curva pode
ser vista como uma relação entre Eaf e If e portanto, pode ser usada para
3.2. CARACTERÍSTICA A VAZIO E DE CURTO-CIRCUITO 63
formar uma medida direta da indutância mútua entre armadura e campo
(Laf ).
Laf =
√
2 · Eaf
we · If (3.38)
Exemplo 6 ([1, p.250]) Um ensaio a vazio em um gerador síncrono trifá-
sico de 60 Hz mostra uma tensão nominal a vazio de 13,8 kV é produzida
por uma corrente de campo de 318 A. Extrapolando a linha de entreferro a
partir de um conjunto de medidas feitas na máquina, pode-se mostrar que a
corrente de campo correspondente de 13,8 kV sobre a linha de entreferro é
263 A.
Calcule os valores saturados e não saturados de Laf .
Solução:
Para o cálculo da saturada, realiza-se o seguinte cálculo:
Laf =
√
2
(
13, 8× 103√
3
)
(2pi · 60) · 318 = 94mH (3.39)
E para determinação do valor não saturado, faz-se:
Laf =
√
2
(
13, 8× 103√
3
)
(2pi · 60) · 263 = 114mH (3.40)
64 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
Va [kV]
If [A]
linha de
entreferro
CAV
13, 8√
3
26
3
31
8
Figura 3.5: Característica a vazio (CAV) para o Exemplo 6.
�
3.2.2 Separação das perdas rotacionais
Com a máquina síncrona sem excitação (If = 0) não há perdas no núcleo,
portanto, mudando-se a potência aplicada externamente ao eixo para mantê-
la girando na velocidade síncrona, tem-se:
Patrito = Peixo (3.41)
Então, as perdas no núcleo podem ser determinadas quando If 6= 0 sub-
traindo as perdas por atrito (agora conhecidas) da potência aplicada ao eixo,
que será maior quanto maior for If .
Pnucleo = Peixo − Patrito (3.42)
3.2.3 Característica de curto-circuito (CCC)
Realiza-se um curto-circuito trifásico (conectando-se os terminais das três
fases em um mesmo ponto). Em seguida, varia-se If e mede-se Ia.
3.2. CARACTERÍSTICA A VAZIO E DE CURTO-CIRCUITO 65
+
-
ia
If
CCC
Iˆa
Vˆ
a
=
0
Eˆaf
Ra jXs
Figura 3.6: Característica de curto-circuito (CCC) e circuito equivalente do
ensaio.
Plotando-se a CAV e a CCC em um mesmo gráfico, tomando o cuidado
de analisar cada curva em sua respectiva coordenada de grandeza, tem-se a
Figura 3.7.
Va [V]
If [A]
Ia [A]
linha de
entreferro
CAV
CCC
V ′a
Vanom
Ianom
I ′a
C
C
C
C
C
C
A
V
Figura 3.7: Curvas características plotadas em conjunto.
Na Figura 3.7, a Corrente de Campo a Vazio (CCAV) e a Corrente de
Campo de Curto-Circuito (CCCC) denotam os valores de If que resultam,
respectivamente, em Vanom no ensaio a vazio e em Ianom no ensaio de curto-
circuito.
66 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
Lembrando que Vˆa = 0 no ensaio de curto-circuito, tem-se:
Eˆaf = Ia(Ra + jXs) (3.43)
e como tipicamente Xs � Ra, então Ra ≈ 0 e
Xs
(não saturada)
=
V ′a
Ianom
. (3.44)
Mas como usualmente a máquina opera na região saturada (onde fica
Vanom), assume-se que a máquina seja equivalente neste ponto a uma máquina
não saturada com a linha de entreferro passando pelo Vanom da CAV. Então,
para a saturada tem-se:
Xs
(saturada)
=
Vanom
I ′a
(3.45)
Este método de considerar um único valor da reatância síncrona na re-
gião saturada dá resultados suficientemente satisfatórios desde que não seja
necessária grande precisão.
Exemplo 7 ([1, p.255]) Os seguintes dados foram tomados das caracterís-
ticas a vazio e de curto-circuito de uma máquina síncrona trifásica de 45
kVA, 220 V, 6 polos e 60 Hz.
Da característica a vazio, tem-se:
tensão de linha 220 V
corrente de campo 2, 84 A
Da característica de curto-circuito, tem-se dois pontos:
corrente de armadura 118 A 152 A
corrente de campo 2, 20 A 2, 84 A
Da linha de entreferro, tem-se:
tensão de linha 202 V
corrente de campo 2, 20 A
Calcule o valor não saturado da reatância síncronae seu valor saturado
na tensão nominal.
3.3. CARACTERÍSTICA DE ÂNGULO DE CARGA EM REGIME 67
Solução:
Ianom =
S1φ
Vanom
=
45×103/3
220/
√
3
= 118A (3.46)
Va [V]
If [A]
Ia [A]
linha de
entreferro
CAV
CCC(V ′a)
202√
3
(Vanom)
220√
3
118 (Ianom)
152 (I ′a)
2,
20
2,
84
Figura 3.8: Curvas características plotadas em conjunto para o Exemplo 7.
Reatância síncrona não saturada:
Xs
(não saturada)
=
V ′a
Ianom
=
202/
√
3
118
= 0, 987 Ω/fase (3.47)
Reatância síncrona saturada:
Xs
(saturada)
=
Vanom
I ′a
=
220/
√
3
152
= 0, 836 Ω/fase (3.48)
�
3.3 Característica de Ângulo de Carga em Re-
gime
Considere o circuito da Figura 3.9, cujo diagrama fasorial é apresentado
na Figura 3.10.
68 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
+
-
+
-
P1 P2
Iˆ
Eˆ1 Eˆ2
R jX
Figura 3.9: Duas fontes de tensão conectadas através de uma impedância.
δ
φ
Iˆ
Eˆ1
Eˆ2
RIˆ
jXIˆ
Figura 3.10: Diagrama fasorial genérico para o circuito da Figura 3.9.
A potência ativa P2 entregue a fonte Eˆ2 do lado da carga é:
P2 = E2 · I · cos(φ) (3.49)
A corrente fasorial é:
Iˆ =
Eˆ1 − Eˆ2
Z
(3.50)
onde Z = R + jX. Representando as variáveis na forma polar
Eˆ1 = E1e
jδ
(3.51)
3.3. CARACTERÍSTICA DE ÂNGULO DE CARGA EM REGIME 69
Eˆ2 = E2 (3.52)
Z = R + jX = |Z|ejφz (3.53)
φz = tg
−1
(
X
R
)
(3.54)
e substituindo na Equação (3.49), tem-se:
Iˆ = Iejφ =
E1e
jδ − E2
|Z|ejφz (3.55)
Iejφ =
E1
|Z| · e
j(δ−φz) − E2|Z| · e
j(−φz)
(3.56)
Sabendo que ejφ = cosφ+ j senφ, podemos reescrever (3.56) como
I · (cos(φ) + j sen(φ)) = E1|Z| · (cos(δ − φz) + j sen(δ − φz))
− E2|Z| · (cos(−φz) + j sen(−φz)) (3.57)
de onde, tomando apenas a parte real, tem-se:
I · cosφ = E1|Z| · cos(δ − φz)−
E2
|Z| · cos(−φz) (3.58)
Observe que cos(−φz) = cos(φz) = R|Z| . Com isso, substituindo a Equa-
ção (3.58) em (3.49) tem-se:
P2 =
E1 · E2
|Z| cos(δ − φz)−
E22 ·R
|Z|2 (3.59)
Considere a variável auxiliar
αz = 90
◦ − φz. (3.60)
Então, pode-se substituir
cos(δ − φz) = cos(δ + αz − 90◦) = sen(δ + αz) (3.61)
70 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
em (3.59). Assim,
P2 =
E1 · E2
|Z| sen(δ + αz)−
E22 ·R
|Z|2 . (3.62)
De maneira similar, a potência ativa saindo de Eˆ2 é dada por
P1 =
E1 · E2
|Z| sen(δ − αz) +
E21 ·R
|Z|2 . (3.63)
Como frequentemente é o caso em máquinas síncronas, R é desprezível,
então R ≈ 0, |Z| ≈ X, αz ≈ 0, o que resulta em:
P1 = P2 =
E1E2
X
sen(δ) (3.64)
A equação anterior é chamada de característica do ângulo de potência (δ)
e sua curva é apresentada na Figura 3.11. Note que esta curva é semelhante
à de conjugado da Figura 2.27, pois P = ωsT com a máquina girando na
velocidade síncrona. Além disso, note na Equação (3.64) que a potência
máxima ocorre quando δ = 90◦, ou seja:
Pmax =
E1E2
X
(3.65)
δ
Motor
Gerador
P
Pmax
−Pmax
−90◦ 90◦
Figura 3.11: Fluxo de potência de uma máquina síncrona trifásica em função
do ângulo de carga δ.
3.3. CARACTERÍSTICA DE ÂNGULO DE CARGA EM REGIME 71
As equações anteriores são válidas para quaisquer fontes de tensão se-
paradas por uma impedância indutiva. Por exemplo, na conexão com um
sistema externo (e.g barramento infinito), tem-se o circuito da Figura 3.12.
+
-
+
-
+
-
Iˆa P
VˆeqEˆaf Vˆa
jXs jXeq
Figura 3.12: Circuito equivalente da máquina síncrona na representação tipo
gerador.
Portanto, a máxima potência que pode ser enviada à rede por fase é
Pmax =
Eaf · Veq
Xs +Xeq
(3.66)
e a máxima potência total trifásica é 3Pmax.
Observação:
ˆ é perigoso se aproximar de δ = 90◦;
ˆ δ é alterado variando-se o torque externo aplicado;
ˆ Eaf ∝ If , portanto aumentando If pode-se aumentar a potência até os
limites de refrigeração da máquina.
Exemplo 8 (adaptado de [1, p.261]) Um gerador síncrono trifásico de
75 MVA e 13,8 kV, com uma reatância saturada de Xs = 3, 428 Ω e uma
não saturada de Xs = 3, 961 Ω é ligado à um sistema externo cuja reatância
equivalente é Xeq = 0, 584 Ω e cuja tensão é Veq = 13, 8 kV . O gerador
atinge a tensão nominal de circuito aberto com uma corrente de campo de
297 A.
72 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
a) Encontre a potência máxima (em MW) que pode ser fornecida ao sis-
tema externo se a tensão interna do gerador for mantida igual à 13, 8 kV .
b) Determine uma equação para Vˆa em função do ângulo de carga δ. Em
seguida plote a tensão do terminal do gerador quando a potência de
saída do gerador é variada desde 0 até Pmax.
Solução:
a)
Pmax3φ =
3Eaf · Veq
Xs +Xeq
(3.67)
A máquina opera na região de tensão nominal, com isso, utiliza-se Xs
saturada no cálculo da potência máxima.
Pmax3φ =
3(13,8/
√
3) · (13,8/√3)
3, 428 + 0, 584
= 47, 5MW (3.68)
b)
Iˆa =
Eˆaf − Veq
j(Xs +Xeq)
=
Veq δ − Veq
j(Xs +Xeq)
(3.69)
+
-
+
-
Iˆa
VˆeqVˆa
jXeq
Figura 3.13: Circuito de conexão à rede do Exemplo 8.
Vˆa = Veq + jXeq · Iˆa (3.70)
3.4. CARACTERÍSTICAS DE OPERAÇÃO EM REGIME 73
Vˆa = Veq + jXeq
[
Veq δ − Veq
j(Xs +Xeq)
]
(3.71)
Vˆa = Veq +XeqVeq
(
1 δ − 1
Xs +Xeq
)
(3.72)
Vˆa = Veq ·
[
1 +
Xeq(1 δ − 1)
Xs +Xeq
]
(3.73)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
Va [kV]
δ [◦]
(P = 0) (P = Pmax)
11,8/
√
3
13,8/
√
3
Figura 3.14: Comportamento de Va sob mudanças em δ para o Exemplo 8.
�
3.4 Características de Operação em Regime
As principais características de funcionamento de uma máquina síncrona
em regime permanente são descritas pelas relações entre:
ˆ tensão de terminal (Va);
74 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
ˆ corrente de campo (If );
ˆ fator de potência (cosφ);
ˆ rendimento (η).
1) Curva composta
Considere:
ˆ geração síncrona fornecendo potência à frequência constante e ten-
são de terminal nominal;
ˆ carga com fator de potência constante.
Carga [kVA] ou corrente de armadura [A]
I f
n
e
c
e
s
s
á
r
i
a
p
a
r
a
m
a
n
t
e
r
V
a
n
o
m
Carga
nominal
FP = 0, 8
(indutivo)
FP = 1, 0
FP = 0, 8
(capacitivo)
Figura 3.15: Curva composta.
Aplicação em sistemas de regulação de tensão: baseado na curva com-
posta, controla-se a corrente de campo em função na tensão medida
nos terminais.
2) Curva V
Curva que mostra a relação entre a corrente de armadura e a corrente
de campo para tensão de terminal e potência ativa constante.
3.4. CARACTERÍSTICAS DE OPERAÇÃO EM REGIME 75
0 1
0
.2
5
0
.5
0
.7
5
Ia [A]
If [A]
Potência de saída
(em PU)
F
P
i
n
d
u
t
i
v
o
F
P
u
n
i
t
á
r
i
o
F
P
c
a
p
a
c
i
t
i
v
o
Figura 3.16: Curva V para diversos níveis de potência expressos em PU (Por
Unidade).
ˆ A corrente de armadura é mínima para potência de saída com FP
unitário (pois não está fornecendo reativos);
ˆ Controlando a corrente de campo pode-se passar a funcionar como
compensador de reativo (alterando-se o FP);
ˆ Note que uma máquina usada como compensador também pode
ser usada para fornecer potência ativa (simultaneamente).
O caso mais completo da máquina operando como motor também pode
ser visto na Figura 3.17.
ˆ adotando o sentido gerador (correntes ou potências positivas quando
saem da máquina).
3) Curva de capacidade
76 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
Ia [A]
If [A]
FP unitário
P > 0
P < 0
Q > 0Q < 0
Figura 3.17: Curva V completa (como gerador e motor).
Mostram o máximo de carregamento reativo correspondente a carre-
gamentos ativos (ou vice-versa) para operação com tensão de terminal
constante. Ou seja, tem-se a região P e Q onde a máquina pode operardentro de seus limites máximos. Considerando-se os limites de aqueci-
mento da armadura e do campo apenas, de um gerador, tem-se como
exemplo a figura a seguir.
Obtenção das curvas de capacidade
a) Para o limite de aquecimento do enrolamento de armadura tem-se
a equação a seguir, que é a equação de um circuito de raio Va · Ia
centrado na origem dos eixos P e Q.
S =
√
P 2 +Q2 = Va · Ia (3.74)
b) Para o limite de aquecimento do enrolamento de campo, tem-se:
3.4. CARACTERÍSTICAS DE OPERAÇÃO EM REGIME 77
{
P − jQ = Vˆa · Iˆa
Eˆaf = Vˆa + jXs · Iˆa (3.75)
Esse conjunto de equações representam os fasores de triângulo
de potência e (Ra ≈ 0), respectivamente. Pode-se resolver as
equações e expressar em módulo pela equação a seguir, no qual é
um círculo de raio
Va·Eaf/Xs centrado em Q = −V 2a/Xs.
0
.7
5
0.
80
0.
85
0.9
0
0.9
5
Q [VAr]
P [W]
FP
?
Limite de
aquecimento
do campo
Limite de
aquecimento
da armadura
Figura 3.18: Curva de capacidade. O ponto de operação nominal da máquina
está marcado pelo símbolo ?.
P 2 +
(
Q+
V 2a
Xs
)2
=
(
Va · Eaf
Xs
)2
(3.76)
c) Para a curva de capacidade completa, deve-se considerar todos os
limites de operação da máquina, sendo:
(i) limite de aquecimento da armadura;
(ii) limite de aquecimento do campo;
(iii) limite de potência mecânica recebida;
78 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
(iv) limite de potência mecânica aplicada (carga);
(v) limite de estabilidade δ < 90◦ (com margem de segurança).
Q
P
δ
−V
2
a
Xs
0
I a
V a
V
a E
af
X
s
(i)
(ii)
(iii)(iv)
(v)
Figura 3.19: Curva de capacidade completa com todos os limites. A área de
operação segura está destacada em cor cinza.
3.5. EFEITO DOS POLOS SALIENTES 79
3.5 Efeito dos Polos Salientes
Nesta seção é abordado de maneira sucinta o efeito dos polos salientes
(entreferro não-uniforme). Note que a direção da magnetização predominante
é determinada pelas saliências dos polos do campo.
q d
φ
Eˆaf
90◦
elétricos!
Figura 3.20: Eixo direto (d) e eixo em quadratura (q) na máquina síncrona
de polos salientes.
A relutância ao longo do eixo direto é menor se comparada a relutância
do eixo em quadratura (tamanho do entreferro em cada). O enrolamento de
campo produz um fluxo que está orientado segundo o eixo direto do rotor,
assim como a FMM produzida por este enrolamento.
Como a tensão induzida é proporcional à derivada do fluxo, o fasor de
tensão induzida está 90◦ (elétricos) adiantado. Logo, o fasor Eˆaf está ao
longo do eixo em quadratura.
Portanto, a base de análise é decompor as tensões e correntes em suas
componentes de eixo direto e de eixo em quadratura. Além disso, cada eixo
terá sua própria reatância: Xd no eixo direto e Xq no eixo em quadratura.
A influência dos polos salientes na FMM gerada se dá em função do ângulo
entre a corrente de armadura Iˆa e a tensão induzida Eˆaf .
Se Iˆa tem um ângulo de 90
◦
com relação à Eˆaf , ou seja, Iˆa está sobre o
eixo direto, então o fluxo de reação da armadura tem um formato bastante
80 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
próximo da senoide fundamental, como pode ser visto na Figura 3.21.
q d
φ
armadura
campo
distribuição real de φ
1a harmônica
reação da armadura
(formato de eaf )
Figura 3.21: Reação da armadura para o caso de 90◦ entre Iˆa e Eˆaf .
Mas a medida que o vetor Iˆa se aproxima do eixo em quadratura, as
diferenças entre as indutâncias dos eixos (Xa > Xq) causa o surgimento
evidente da influência da terceira harmônica no fluxo de reação da armadura
e consequentemente na forma da tensão induzida, como pode ser visto na
Figura 3.22 para o caso extremo de 0◦ entre Iˆa e Eˆaf .
Na análise do circuito em coordenadas de eixo direto e de quadratura,
considera-se que para cada uma das componentes da corrente Iˆa há uma
queda de tensão nas reatâncias síncronas de cada eixo: jXdIˆd e jXq Iˆq, res-
pectivamente.
As reatânciasXd eXq são chamadas de reatâncias síncronas de eixo direto
e de quadratura, respectivamente, e tipicamente:
0, 6Xd < Xq < 0, 7Xd (3.77)
No diagrama fasorial do gerador, mostrado na Figura 3.23, a tensão ge-
rada Eaf é igual a soma da tensão terminal Vˆa com a queda RaIˆa na resistên-
cia de armadura, e as quedas jXdIˆd + jXq Iˆq nas componentes da reatância
síncrona.
3.5. EFEITO DOS POLOS SALIENTES 81
q d
φ
armadura
campo
distribuição real de φ
1a harmônica
reação da armadura
(formato de eaf )
3a
1a
Figura 3.22: Reação da armadura para o caso de 0◦ entre Iˆa e Eˆaf .
Eˆaf = Vˆa +Ra · Iˆa + jXdIˆd + jXdIˆq (3.78)
No diagrama anterior, a constante imaginária �j � adianta o produto em
90◦ e Ra continua tipicamente desprezível. Normalmente se conhece explici-
tamente o ângulo φ do fator de potência nos terminais da máquina (medindo
Vˆa e Iˆa). Entretanto, não se conhece o ângulo de carga δ e consequentemente
não se sabe as posições dos eixos direto e em quadratura. Isso é necessário
para se calcular Id e Iq, pois são dados por:
Id = Ia · cos(φ+ δ) (3.79)
Iq = Ia · sen(φ+ δ) (3.80)
Procedimento para determinação da direção de Eˆaf (localização do eixo
q ou δ):
1) Observa-se que jXdIˆd não influencia o ângulo de Eˆaf , apenas sua am-
plitude, portanto, ignora-se este termo por hora;
2) Considere a semelhança triangular:
82 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
δ
φ
Iˆa
Vˆa
Eˆaf
RaIˆa
jXdIˆd
jXq Iˆq
d
q
Iˆd
Iˆq
Figura 3.23: Diagrama fasorial com coordenadas dq.
Iˆa
Iˆd
Iˆq
Xq Iˆa·Xq
==⇒
Xq Iˆd
Xq Iˆq
·j
=⇒
jXq Iˆa
jXq Iˆd
jXq Iˆq
a
b
Figura 3.24: Semelhança de triângulos.
3) Observa-se no diagrama fasorial da Figura 3.23 que jXq Iˆq é perpendi-
cular a Eˆaf , então encaixa-se o triângulo (3) com o ponto �a� no término
de RaIa, resultando no diagrama da Figura 3.25;
3.5. EFEITO DOS POLOS SALIENTES 83
δ
φ
Iˆa
Vˆa
Eˆaf
jXq Iˆa
RaIˆa
jXq Iˆd
jXq Iˆq
d
q
b
Iˆd Iˆq
Figura 3.25: Diagrama fasorial com coordenadas dq modificado.
4) Observa-se que o ponto �b� coincide com a direção por onde Eˆaf passa.
Portanto, a soma fasorial Vˆa +RaIˆa + jXq Iˆa fornece a posição angular
de Eˆaf .
5) Conhecidos δ e as posições dos eixos d e q, pode-se calcular Eˆaf através
da Equação (3.78), pois agora Iˆd e Iˆq são conhecidas.
3.5.1 Característica de ângulo de carga
Desenvolvendo-se de maneira semelhante, tem-se:
P =
Eaf · Veq
Xd +Xeq
· sen(δ) + V
2
eq · (Xd −Xq)
2(Xd +Xeq)(Xq +Xeq)
· sen(2δ) (3.81)
84 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
δ
P
Pmax
−Pmax
−90◦
90◦
Figura 3.26: Potência de uma máquina síncrona trifásica de polos salientes
em função do ângulo de carga δ (curva em vermelho). As curvas em azul
e em verde representam, respectivamente, o primeiro e segundo termos da
Equação (3.81).
Note na Figura 3.26 que Pmax é maior do que no caso da máquina de
polos lisos (representada pela curva em cor azul), o que a torna mais atraente
para unidades geradoras. Entretanto, note também que o valor do máximo,
e consequentemente o ponto de perda de sincronismo, ocorre para valores
menores de δ. Portanto, uma maior margem de segurança deve ser imposta.
Problemas propostos
Os problemas propostos a seguir foram extraídos/adaptados dos proble-
mas do Capítulo 5 do livro [1].
(1) Uma máquina síncrona trifásica de dois polos, 50 Hz, 750 kVA e 2300 V
tem uma reatância síncrona de 7,75 Ω e atinge a tensão nominal de
terminal a vazio com uma corrente de campo de 120 A.
a) Calcule a indutância mútua entre a armadura e o campo;
b) A máquina deve operar como um motor que alimenta uma carga
de 600 kW na sua tensão nominal de terminal. Calcule a tensão
3.5. EFEITO DOS POLOS SALIENTES 85interna Eaf e a corrente de campo correspondente se o motor
estiver operando com um fator de potência unitário;
c) Para uma potência de carga constante, escreva um script de Ma-
tlab (ou use outro software de sua preferência) que plote a corrente
de terminal em função da corrente de campo. Na sua plotagem,
faça com que a corrente de campo varie entre um valor mínimo,
correspondente a uma carga de máquina de 750 kVA, com um fa-
tor de potência capacitivo, e um valor máximo, correspondente
a uma carga de máquina de 750 kVA, com um fator de potência
indutivo. Que valor de corrente de campo produz a corrente de
terminal mínima? Por que?
(2) As seguintes leituras foram obtidas dos resultados de ensaios a vazio e
em curto-circuito realizados em um motor síncrono trifásico de quatro
polos, 5000 kW, 4160 V e 1800 rpm, operando na velocidade nominal:
Tabela 3.1: Resultados de ensaios a vazio e em curto circuito da máquina
para o Problema (2).
Corrente de campo [A] 169 192
Corrente de armadura do ensaio de curto-circuito [A] 694 790
Tensão de linha da característica a vazio [V] 3920 4160
Tensão de linha da linha de entreferro [V] 4640 5270
A resistência de armadura é 11 mΩ/fase. A reatância de dispersão da
armadura foi estimada em 0,4152 Ω, tendo como base as especificações
nominais do motor. Encontre:
a) a relação de curto-circuito
1
;
1
A relação de curto-circuito (RCC) é definida como sendo a razão entre a corrente de
campo necessária para se gerar a tensão nominal a vazio (CCAV - Corrente de Campo A
Vazio) e a corrente de campo necessária para se gerar a corrente de armadura nominal em
curto-circuito (CCCC - Corrente de Campo em Curto-Circuito). Isso é,
RCC =
CCAV
CCCC
.
86 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
b) o valor não saturado da reatância síncrona em ohms por fase;
c) a reatância síncrona saturada em ohms por fase.
(3) Os dados seguintes referem-se às perdas do mesmo motor do Problema
(2):
Tabela 3.2: Perdas da máquina para o Problema (3).
Perdas a vazio no núcleo e 4160 V = 37 kW
Perdas por atrito e ventilação = 46 kW
Resistência do enrolamento de campo a 75
◦
C = 0,279 Ω
Calcule a potência de saída e o rendimento quando o motor está fun-
cionando na potência de entrada nominal, fator de potência unitário e
tensão nominal. Assuma que o enrolamento de campo esteja operando
a uma temperatura
2
de 125
◦
C.
(4) Os seguintes dados foram obtidos de ensaios realizados em um gerador
hidrelétrico trifásico de 72 polos, 145 MVA, 13,8 kV e 60 Hz.
Característica a vazio:
Tabela 3.3: Característica a vazio da máquina para o Problema (4).
If [A] 100 200 300 400 500 600 700 775 800
Va [kV] 2,27 4,44 6,68 8,67 10,4 11,9 13,4 14,3 14,5
Característica de curto-circuito:
If = 710 A, Ia = 6070 A
2
Para condutores de cobre,
RT
Rt
=
234, 5 + T
234, 5 + t
onde RT e Rt são as resistências nas temperaturas T e t, respectivamente, em graus
Celsius.
3.5. EFEITO DOS POLOS SALIENTES 87
a) Desenhe (ou plote com Matlab ou outro software) a curva de sa-
turação a vazio, a linha de entreferro e a característica de curto-
circuito.
b) Encontre CCAV e CCCC. (Observe que se você utilizar o Matlab
na parte (a), você poderá utilizar a função polyfit do Matlab
para ajustar um polinômio de segundo grau à curva de saturação à
vazio. Então, você poderá usar esse polinômio para obter CCAV.)
c) Encontre:
i) a relação de curto-circuito;
ii) o valor não saturado da reatância síncrona em ohms por fase;
iii) a reatância síncrona saturada em ohms por fase.
(5) Uma máquina síncrona de 25 MVA e 11,5 kV está operando como
um compensador síncrono, como está discutido no Apêndice D (Seção
D.4.1) do livro [1]. A relação de curto-circuito do gerador é 1,68 e a
corrente de campo na tensão nominal a vazio é 420 A. Assuma que o
gerador esteja ligado diretamente a uma fonte de 11,5 kV.
a) Qual é, em ohms por fase, a reatância síncrona saturada do gera-
dor?
Considere agora que a corrente de campo do gerador é ajustada
para 150 A.
b) Desenhe um diagrama fasorial, indicando a tensão de terminal, a
tensão interna e a corrente de armadura.
c) Calcule o módulo da corrente de armadura (em ampères) e o seu
ângulo de fase relativo à tensão de terminal.
d) Sob essas condições, o compensador síncrono parece indutivo ou
capacitivo para o sistema de 11,5 kV?
e) Repita as partes (b) até (d) para uma corrente de campo de 700 A.
(6) Uma máquina síncrona com reatância síncrona de 1,28 Ω/fase está
operando como um gerador cuja potência ativa de carga é de 0,6 MW e
que foi ligado a um sistema por uma reatância em série de 0,07 Ω/fase.
88 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
Observa-se que um aumento em sua corrente de campo causa uma
diminuição na corrente de armadura.
a) Antes do aumento, o gerador estava fornecendo ou absorvendo
potência reativa do sistema de potência? Justifique.
b) Como resultado desse aumento de excitação, a tensão de terminal
do gerador aumentou ou diminuiu? Justifique.
(7) O gerador hidrelétrico de 145 MW do Problema (4) está operando em
um sistema de potência de 13,8 kV. Em condições normais de operação,
o gerador funciona submetido a uma regulação automática de tensão
para manter constante sua tensão de terminal em 13,8 kV. Neste pro-
blema, você irá investigar quais seriam as possíveis consequências caso
o operador esquecesse de passar para o modo de regulação automática
de tensão e, ao invés disso, deixasse constante a excitação de campo
no valor de CCAV
3
, o valor correspondente à tensão nominal a vazio.
Para os propósitos deste problema, despreze os efeitos das saliências e
assuma que o gerador possa ser representado pela reatância síncrona
saturada encontrada no Problema (4).
a) Se o sistema de potência for representado simplesmente por um
barramento infinito de 13,8 kV (ignorando os efeitos de qualquer
impedância equivalente), a carga do gerador pode ser aumentada
até atingir a carga total? Se sim, qual é o ângulo de potência δ
correspondente à carga total? Se não, qual é a carga máxima que
pode ser conseguida?
b) Repita a parte (a) com o sistema de potência representado agora
por um barramento infinito de 13,8 kV em série com uma impe-
dância reativa de j0, 14 Ω.
(8) Repita o Problema (7) assumindo que a indutância síncrona saturada,
de eixo direto Xd seja igual à encontrada no Problema (4) e que a
reatância síncrona saturada, de eixo em quadratura Xq seja igual a 75
por cento desse valor.
(9) Um gerador síncrono trifásico de imã permanente e 5 kW produz uma
tensão de linha a vazio de 208 V e 60 Hz, quando está sendo acionado
3
Corrente de Campo A Vazio.
3.5. EFEITO DOS POLOS SALIENTES 89
a uma velocidade de 1800 rpm. Quando está operando na velocidade
nominal e alimentando uma carga resistiva, observa-se que a sua tensão
de linha de terminal é 192 V, para uma potência de saída de 4,5 kW.
a) Calcule a corrente por fase do gerador sob essas condições de fun-
cionamento.
b) Supondo que a resistência de armadura do gerador seja desprezí-
vel, calcule a reatância síncrona do gerador a 60 Hz.
c) Calcule a tensão de terminal do gerador que é obtida se a carga
do gerador for aumentada para 5 kW (ainda puramente resistiva)
enquanto a velocidade é mantida a 1800 rpm.
90 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
Capı´tulo4
Máquinas de Indução
O motor de indução existe desde 1885, quando foi inventado quase si-
multaneamente por Galileu Ferraris e Nikola Tesla. Atualmente o motor
de indução ou motor assíncrono trifásico tem um campo de aplicação quase
ilimitado e é o mais utilizado na indústria desde frações de cv (cavalo de po-
tência) até milhares de cv. Estima-se que 90% dos motores fabricados sejam
de indução.Um dos motivos foi a evolução da característica peso/potência ao longo do
tempo. Isso foi possível graças ao desenvolvimento dos componentes isolantes
e demais materiais. Outro motivo para o crescimento no uso de máquinas
de indução foi o desenvolvimento dos dispositivos de eletrônica de potência,
que permitiram o controle efetivo dessas máquinas.
4.1 Princípio de Funcionamento
Quando um enrolamento trifásico é alimentado por correntes trifásicas
cria-se um �campo girante� como se houvesse um único par de polos mag-
néticos girantes de intensidade constante. Este campo girante, criado pelo
enrolamento do estator, induz tensões nas barras do rotor (linhas de fluxo
cortam as espiras formandas por barras opostas) as quais geram correntes
e, consequentemente, um campo magnético no rotor de sentido oposto ao
estator.
Como campos opostos se atraem e o campo do estator é girante, o rotor
tende a acompanhar a rotação deste campo, ou seja, surge um conjugado que
91
92 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
8
8
k
g
/
k
W
6
7
k
g
/
k
W
4
2
k
g
/
k
W
2
9
k
g
/
k
W
2
1
k
g
/
k
W
1
9
k
g
/
k
W
1
3
k
g
/
k
W
1
2
k
g
/
k
W
1
1
k
g
/
k
W
7
,
5
k
g
/
k
W
6
,
8
k
g
/
k
W
1
8
9
1
1
8
9
6
1
8
9
9
1
9
0
1
1
9
2
4
1
9
2
6
1
9
3
0
1
9
4
1
1
9
5
4
1
9
6
4
1
9
8
4
Figura 4.1: Evolução do motor trifásico (relação peso/potência).
acelera o rotor.
4.1.1 Velocidade síncrona
A velocidade síncrona do motor é definida pela velocidade de rotação do
campo girante. O campo percorre um par de polos a cada ciclo elétrico.
Assim, a velocidade síncrona é dada pela Equação (4.1).
ns =
(
120
polos
)
· fe (4.1)
4.1.2 Escorregamento
Se o rotor gira a uma velocidade diferente da velocidade de campo girante,
o enrolamento de rotor �corta� as linhas de fluxo do campo girante, e então,
circularão correntes induzidas no rotor. Considere a curva de conjugado por
velocidade do rotor a seguir.
4.1. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO 93
0
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
Tpartida
n [rpm]
ns
s
T [N.m]
Tmax
Figura 4.2: Curva típica de conjugado versus velocidade (ou escorregamento)
de máquinas de indução.
Quanto maior for o torque da carga, maior terá que ser o conjugado
produzido necessário para acioná-la. Para produzir um valor maior de conju-
gado, maior terá que ser a diferença entre a velocidade do rotor e a velocidade
síncrona para que as correntes induzidas sejam maiores. Portanto, à medida
que a carga aumenta a rotação diminui.
Quando a carga é zero (motor a vazio) o motor girará praticamente com
rotação síncrona. A diferença entre a velocidade do motor (n) e a velocidade
síncrona (ns) chama-se escorregamento (s), que pode ser expresso em rpm
ou como uma fração da velocidade síncrona ou como porcentagem desta. As
fórmulas neste documento utilizam o s fracionário dado por:
s =
ns − n
ns

0 ≤ s ≤ 1
n = ns −→ s = 0
n = 0 −→ s = 1
(4.2)
94 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
Exemplo 9 Determine o escorregamento de um motor de indução de 6 po-
los, frequência de 60 Hz no estator, sabendo que a rotação de seu eixo é
1170 rpm.
Solução:
ns =
(
120
6
)
60 = 1200 rpm (4.3)
s =
1200− 1170
1200
= 0, 025 −→ 2, 5% (4.4)
�
A velocidade do rotor pode ser expressa em termos do escorregamento e
da velocidade síncrona
n = (1− s)ns. (4.5)
O movimento relativo entre o fluxo do estator e os condutores do rotor
induz tensões de frequência fr, sendo chamada como frequência de escorre-
gamento do rotor dada por
fr = s · fe. (4.6)
Assim, o comportamento elétrico de uma máquina de indução é similar ao de
um transformador, mas apresentando a característica adicional da transfor-
mação de frequência produzida pelo movimento relativo. Uma máquina de
indução de rotor bobinado pode ser usada como um conversor de frequência.
A máquina síncrona só produz torque útil (não oscilatório) quando gira
na velocidade síncrona, como visto anteriormente, pois só assim o fluxo ge-
rado pelo enrolamento de campo poderia ter a mesma velocidade do campo
produzido pela armadura para �acompanhá-lo�. Essa é a característica fun-
damental para o surgimento do conjugado em máquinas.
Considerando agora o motor de indução. Na partida, n = 0 portanto
s = 1 e fr = fe, ou seja, o campo do rotor estará girando com a mesma
velocidade do campo do estator. Entao poderá haver conjugado e a máquina
vai acelerar caso este conjugado (conjugado de partida) seja maior que o
conjugado de carga no eixo.
Com o rotor girando no mesmo sentido do campo do estator, a frequência
das correntes do rotor será fr = s · fe, produzindo uma onda de fluxo no
rotor que irá girar com velocidade s · ns em relação ao rotor. Entretanto
4.1. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO 95
0
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
Tpartida
n [rpm]
ponto de
operação
ns
s
T [N.m]
Tcarga
Figura 4.3: Ponto de operação da máquina de indução com carga.
superposta a essa velocidade, está a velocidade de rotação (n). Assim em
relação ao estator a velocidade do fluxo do rotor é:
s · ns + n = s · ns + (1− s) · ns = ns (4.7)
Os fluxos giram juntos, como pode ser visto
1
na Figura 4.4, produzindo
conjugado útil para qualquer velocidade diferente da velocidade síncrona.
Por isso a máquina de indução também é conhecida como máquina as-
síncrona. Sob condições normais de operação o escorregamento é pequeno
(n é próximo de ns) de ordem de 2% a 10% à plena carga na maioria dos
motores gaiola de esquilo. Por isso, a frequência elétrica no rotor é muito
pequena (1 a 6 Hz) em motores de 60 Hz. Neste intervalo a impedância é
portanto na grande maioria resistiva no motor, sendo pouco influenciada pelo
escorregamento (que afeta a frequência e portanto a reatância do rotor).
Por outro lado, a tensão induzida no rotor é proporcional à velocidade
relativa do fluxo do estator que corta as barras do rotor (portanto proporci-
1
A Figura 4.4 é uma animação do tipo GIF. Pode requerer visualização com o software
Adobe Acrobat atualizado.
96 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
Figura 4.4: Campo girante aplicado no estator (vermelho) e campo girante
induzido no rotor (azul). O ponto • é fixo no rotor para indicar sua posição.
onal ao escorregamento). Se a impedância é praticamente resistiva, então as
correntes no rotor também são proporcionais ao escorregamento. Como re-
sultado o conjugado é proporcional às correntes no rotor, será proporcional ao
escorregamento para valores pequenos deste. À medida que o escorregamento
aumenta, a impedância do rotor cresce devido ao aumento da reatância do
rotor. Isso faz com que a corrente seja menos do que proporcional ao escor-
regamento. O resultado é que o conjugado aumenta com o escorregamento
até um máximo e depois volta a decrescer. Observa-se então que o escorre-
gamento para o qual ocorre Tmax é proporcional à resistência do rotor. Em
motores gaiola de esquilo, o escorregamento de Tmax é relativamente pequeno,
como na figura anterior. Por isso, esse motor é utilizado em aplicações com
pouca variação de velocidade.
No caso do rotor bobinado, a resistência do rotor pode ser aumentada
externamente, controlando o escorregamento em que ocorre Tmax.
ˆ Máquinas com rotor bobinado são maiores, mais caras e tem manuten-
ção significativamente mais dispendiosa;
ˆ Máquinas de rotor gaiola de esquilo acionadas com fontes de frequência
constantes são limitadas à aplicações de velocidade constante e sem
mudançade carga.
Por estes motivos, com o acionamento realizado com tensões e frequên-
4.2. CIRCUITO EQUIVALENTE DO MOTOR DE INDUÇÃO 97
cia variáveis (inversor) é possível controlar facilmente e automaticamente a
velocidade da máquina.
4.2 Circuito Equivalente do Motor de Indução
Para o desenvolvimento de um circuito equivalente são feitas as seguintes
considerações:
ˆ enrolamentos polifásicos simétricos;
ˆ enrolamentos excitados por tensões polifásicas equilibradas.
Assim, pode-se deduzir o circuito de uma fase apenas, ficando subenten-
dido que as tensões e correntes nas demais fases estão defasadas em
360◦/nfases.
Tendo em mente a similaridade da máquina de indução a um transformador,
onde tem-se o estator (primário) e o rotor (secundário), será construído um
circuito equivalente todo referenciado ao estator. Como diferença do caso do
transformador, tem-se que levar em consideração o fato do rotor girar com
um determinado escorregamento.
4.2.1 Estator
De modo similar à máquina síncrona, o circuito do estator pode ser des-
crito como:
Vˆ1 = Eˆ2 + Iˆ1 · (R1 + jX1) (4.8)
onde
ˆ Vˆ1 - tensão de fase de terminal do estator;
ˆ Eˆ2 - FCEM (de fase) gerada pelo fluxo de entreferro resultante;
ˆ Iˆ1 - corrente do estator;
ˆ R1 - resistência do estator;
ˆ X1 - reatância do estator.
O fluxo de entreferro resultante é criado pelas FMM's do estator e do
rotor combinadas. Como em um transformador, a corrente do estator (Iˆ1)
pode ser decomposta em duas: a componente de carga e a de magnetização.
98 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
ˆ A componente de carga (Iˆ2) produz uma FMM que corresponde à FMM
de corrente do roto;
ˆ A componente de magnetização é a corrente adicional necessária para
criar o fluxo de entreferro e é uma função da FCEM (Eˆ2). Esta com-
ponente é ainda dividida em:
* Iˆc - gera perdas no núcleo (na resistência Rc);
* Iˆm - componente efetiva de magnetização (na reatância de mag-
netização Xm).
Com isso, tem-se para o estator o circuito equivalente da Figura 4.5.
+
-
+
-
R1 jX1Iˆ1 Iˆ2
Vˆ1 Eˆ2
Iˆc Iˆm
Rc jXm
Figura 4.5: Circuito equivalente do primário (estator) da máquina de indu-
ção.
4.2.2 Rotor
Para completar o circuito equivalente, os efeitos do rotor devem ser con-
siderados. Do ponto de vista do estator (figura anterior) o rotor pode ser
representado por uma impedância equivalente Z2 onde:
Z2 =
Eˆ2
Iˆ2
(4.9)
Deve-se determinar o valor de Zˆ2 que represente as grandezas do rotor
referidas ao estator. Sabendo-se que há uma impedância real Zrotor no enro-
lamento do rotor, esta impedância referida ao estator pode ser escrita pela
4.2. CIRCUITO EQUIVALENTE DO MOTOR DE INDUÇÃO 99
Equação (4.10) onde o subescrito �2s� refere-se às grandezas do rotor refe-
ridas ao estator (sem levar em conta o giro do rotor) e Nef é a relação de
espiras efetivas entre os enrolamentos do estator e do rotor.
Z2s =
Eˆ2s
Iˆ2s
= N2ef ·
(
Eˆrotor
Iˆrotor
)
= N2ef · Zrotor (4.10)
Se o interesse fosse conhecer as tensões e correntes reais do rotor (Eˆrotor e
Iˆrotor), seria necessário conhecer Nef . Entretanto para o propósito de estudo
do motor de indução, visto dos terminais do estator, esta conversão não é
necessária. Isso é especialmente útil no modelo de rotores gaiola, onde a iden-
tificação de �enrolamentos de fase� não é trivial. Levando em consideração
os efeitos do movimento relativo entre o estator e o rotor, tem-se que a im-
pedância do rotor referida ao estator pode ser reescrita pela Equação (4.11).
Z2s =
Eˆ2s
Iˆ2s
= R2 + jsX2 (4.11)
onde
ˆ R2 - resistência do rotor referido ao estator;
ˆ sX2 - reatância do rotor referido na frequência de escorregamento (fr =
s · fe).
+
-
Iˆ2s
R2
jsX2
Eˆ2s
Figura 4.6: Rotor na frequência de escorregamento.
Além disso, tem-se que Iˆ2s = Iˆ2 pois as correntes do rotor e do estator
oscilam em fase nas suas respectivas frequências de modo a gerar FMM's
100 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
girando juntas. Ou seja, do ponto de vista do estator, as correntes induzidas
no rotor tem a mesma frequência do estator. E Eˆ2s = sEˆ2 pois a tensão no
rotor varia com a velocidade que as espiras cortam o fluxo, que é a velocidade
relativa (escorregamento). Então:
Z2s =
Eˆ2s
Iˆ2s
=
sEˆ2
Iˆ2
= R2 + jsX2 (4.12)
Z2 =
Eˆ2
Iˆ2
=
Z2s
s
=
R2
s
+ jX2 (4.13)
Portanto o circuito equivalente completo do motor de indução é dado na
figura a seguir.
+
-
R1 jX1Iˆ1 Iˆ2
Vˆ1
R2
s
IˆmIˆc
Rc
jX2
jXm
Figura 4.7: Circuito equivalente completo da máquina de indução.
4.3 Análise do Circuito Equivalente
A partir do circuito equivalente obtido anteriormente, é possível determi-
nar diversas características de operação da máquina de indução em regime
permanente. Primeiramente, a potência transferida através do entreferro (do
estator para o rotor) é dada pela Equação (4.14) mas dessa potência uma
parte é dissipada no enrolamento do rotor em R2, dada pela Equação (4.15).
Pg = nfases · I22 ·
(
R2
s
)
(4.14)
4.3. ANÁLISE DO CIRCUITO EQUIVALENTE 101
Protor = nfases · I22 ·R2 (4.15)
O restante é a potência eletromagnética convertida em movimento mecâ-
nico, que pode ser determinada subtraindo-se as perdas da potência entregue
ao rotor, dada pelas equações (4.16) e (4.17).
Pmec = Pg − Protor (4.16)
Pmec = nfases · I22 ·R2 ·
(
1− s
s
)
(4.17)
Portanto,
Pmec = (1− s) · Pg (4.18)
Protor = s · Pg (4.19)
Note que as perdas no rotor são proporcionais ao escorregamento, ou seja,
um alto escorregamento torna a máquina menos eficiente. Quando deseja-
se destacar as potências, pode-se redesenhar o circuito equivalente em uma
forma alternativa.
+
-
R1 jX1
Pin Pg
Vˆ1 R2
(
1− s
s
)
Pestator Protor
Pnucleo
Pmec
Rc
jX2 R2
jXm
Figura 4.8: Circuito equivalente alternativo para análise do fluxo de potên-
cias.
Exemplo 10 Observa-se que um motor de indução trifásico de dois polos e
60 Hz está operando com uma velocidade de 3502 rpm, com uma potência
102 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
de entrada de 15,7 kW e corrente de terminal de 22,6 A. A resistência do
enrolamento do estator é 0, 2 Ω/fase. Calcule a potência I2R dissipada no
rotor. Assuma que as perdas por magnetização são desprezíveis.
Solução:
nfases = 3 n = 3502 rpm R1 = 0, 2 Ω/fase
polos = 2 Pin = 15, 7kW Rc =∞ (circ. aberto)
f = 60Hz I1 = 22, 6A
ns =
(
120
polos
)
f =
(
120
2
)
60 = 3600 rpm (4.20)
O escorregamento é calculado pela Equação (4.21).
s =
ns − n
ns
=
3600− 3502
3600
= 0, 0272 (4.21)
Pg = Pin − Pestator −����: 0Pnucleo (4.22)
Pg = Pin − nfases ·R1 · I21 = 15, 7k − 3 · 0, 2 · (22, 6)2 (4.23)
Pg = 15, 4kW (4.24)
Sendo assim, a potência no rotor solicitada no exemplo é calculada pela
Equação (4.15).
Protor = s · Pg = 0, 0272 · 15, 4× 103 = 418, 7W (4.25)
�
O conjugado eletromecânico Tmec pode ser obtido a partir das equações
a seguir.
Pmec = ωm · Tmec (4.26)
Como:
s =
ωs − ωm
ωs
(4.27)
4.3. ANÁLISE DO CIRCUITO EQUIVALENTE 103
ωm = (1− s) · ωs (4.28)
Tem-se:
Tmec =
Pmec
ωm
=
XXXX(1− s) · Pg
XXXX(1− s) · ωs =
Pg
ωs
(4.29)
Tmec =
nfases · I22 ·
(
R2
s
)
ωs
(4.30)
Na realidade os valores de Pmec e Tmec das Equações (4.26) e (4.30),
respectivamente, não são os de saída disponíveis no eixo, pois não levou-se
em conta as perdas rotacionais (atrito e núcleo). Então:
Peixo = Pmec − Prot (4.31)
Teixo = Tmec − Trot (4.32)
Em geral, as perdas em Rc são muito pequenas e são desprezadas (ou
assume-se que façam parte das perdas do rotor). Portanto, a partir de agora,
o circuito equivalente pode ser simplificado para o da representação a seguir.
+
-
R1 jX1
Iˆ1 Iˆ2
Vˆ1R2
s
a
b
jX2
jXm
Figura 4.9: Circuito equivalente simplificado (desconsiderando as perdas no
núcleo).
104 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
4.4 Conjugado e Potência pelo Teorema de Thé-
venin
A análise do conjugado e potência pode ser simplificada aplicando-se o
teorema de Thévenin do circuito equivalente do motor de indução.
+
-
Rede elétrica com ele-
mentos de circuitos
lineares e fontes de
tensão complexas (fa-
soriais)
a
b
a
b
Zeq
Vˆeq
Figura 4.10: Equivalente de Thévenin.
Na Figura 4.10 tem-se:
ˆ Vˆeq tensão nos terminais a e b com circuito aberto;
ˆ Zeq impedância da rede com as fontes de tensão internas zeradas.
Na análise do motor de indução, os pontos a e b são tomados imedia-
tamente à direita de jXm (observar o circuito da Figura 4.9) então o cir-
cuito equivalente simplificado pelo teorema de Thévenin é apresentado na
Figura 4.11.
A tensão Vˆ1eq é a tensão que aparece nos terminais a e b (sobre jXm)
portanto basta realizar a divisão da tensão Vˆ1 por Z1 = R1 + jX1 e sobre
jXm, o que resulta na seguinte equação.
Vˆ1eq = Vˆ1 ·
[
jXm
R1 + j(X1 +Xm)
]
(4.33)
A impedância Z1eq é a impedância vista dos terminais a, b com a tensão
Vˆ1 zerada (substituída por um curto-circuito). Portanto tem-se R1 + jX1 em
paralelo com jXm, ou seja:
4.4. CONJUGADO E POTÊNCIA PELO TEOREMA DE THÉVENIN105
+
-
R1eq jX1eq︸ ︷︷ ︸
Z1eq
Iˆ2
Vˆ1eq
R2
s
a
b
jX2
Figura 4.11: Circuito equivalente simplificado (desconsiderando as perdas no
núcleo).
Z1eq =
jXm · (R1 + jX1)
R1 + j(X1 +Xm)
= R1eq + jX1eq (4.34)
Observe que se Rc não for desprezado, basta substituir jXm por (jXm ‖
Rc) nas equações anteriores. Do circuito equivalente tem-se:
Iˆ2 =
Vˆ1eq
Z1eq + jX2 +
R2
s
(4.35)
O conjugado é determinado por:
Tmec =
nfases · I22 ·
(
R2
s
)
ωs
(4.36)
Tmec =
1
ωs
·
 nfases · V
2
1eq ·
(
R2
s
)
(
R1eq +
R2
s
)2
+ (X1eq +X2)2
 (4.37)
O conjugado máximo Tmax ocorre quando a potência entregue a
R2
s
é
máxima. Pode-se demonstrar que isso ocorre quando a impedância
R2
s
for
igual o módulo da impedância R1eq + j(X1eq +X2) que está entre esta e Vˆ1eq.
Ou seja, Tmax ocorre para o escorregamento sTmax para o qual:
106 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
R2
sTmax
=
√
R21eq + (X1eq +X2)
2
(4.38)
sTmax =
R2√
R21eq + (X1eq +X2)
2
(4.39)
o que resulta em
Tmax =
1
ωs
·
 0, 5 · nfases · V 21eq
R1eq +
√
R21eq + (X1eq +X2)
2

(4.40)
Por isso, Tmax não muda com R2, mas sTmax sim. Além disso, na partida
(n = 0) tem-se s = 1 e portanto:
Tpartida =
1
ωs
·
[
nfases · V 21eq ·R2
(R1eq +R2)2 + (X1eq +X2)2
]
(4.41)
Exemplo 11 Considere um motor de indução trifásico ligado em Y, de 6
polos, 220 V, 7,5 kW e que tem os seguintes parâmetros em Ω/fase referidos
ao estator, considere 60 Hz.
R1 = 0, 294 X1 = 0, 503 Xm = 13, 25
R2 = 0, 144 X2 = 0, 209
Supondo condições nominais, determine:
a) A componente de carga I2 da corrente, o conjugado mecânico Tmec e a
potência Pmec para um escorregamento de 3%;
b) O conjugado máximo e a velocidade correspondente;
c) O conjugado de partida e a correspondente de carga I2partida.
Solução:
nfases = 3 polos = 6
V1 = 220/
√
3 = 127 V f = 60 Hz
4.4. CONJUGADO E POTÊNCIA PELO TEOREMA DE THÉVENIN107
a)
V1eq = Vˆ1 ·
[
jXm
R1 + j(X1 +Xm)
]
= 122, 3 V (4.42)
Z1eq =
jXm · (R1 + jX1)
R1 + j(X1 +Xm)
= 0, 273︸ ︷︷ ︸
R1eq
+j 0, 495︸ ︷︷ ︸
X1eq
(4.43)
I2 =
V1eq√
(R1eq + R2/s)2 + (X1eq +X2)2
= 23, 9 A (4.44)
Tmec =
nfases · I22 · (R2/s)
ωs
= 65, 4 N.m (4.45)
onde
ωs =
(
2
polos
)
· ωe = 125, 7 rad/s (4.46)
Pmec = nfases · I22 ·
(
R2
s
)
· (1− s) = 7980 W (4.47)
b)
sTmax =
R2√
R21eq + (X1eq +X2)
2
= 0, 192 (4.48)
n = (1− s)ns = (1− 0, 192) · 1200 = 970 rpm (4.49)
ns =
(
120
polos
)
f = 1200 rpm (4.50)
Tmax =
1
ωs
·
 0, 5 · nfases · V 21eq
R1eq +
√
R21eq + (X1eq +X2)
2
 = 175 N.m (4.51)
c)
I2partida =
V1eq√
(R1eq +R2)2 + (X1eq +X2)2
= 150A (4.52)
Tpartida = Tmec|s=1 = nfases · I22partida ·R2 = 77 N.m (4.53)
�
108 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
0
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
77
65,4
175
1200970
n [rpm]
ponto de
operação
s
T [N.m]
Figura 4.12: Curva de conjugado para a máquina do Exemplo 11.
4.4.1 Regiões de operação
Considerando uma máquina de indução alimentada por uma fonte de
tensão e frequência constantes, a Equação (4.37) resulta em geral a seguinte
forma completa apresentada na Figura 4.14.
Região como motor: Durante o funcionamento normal do motor, o ro-
tor gira no sentido de rotação do campo magnético produzido pelas correntes
do estator, com velocidade entre 0 e ns (ou escorregamento entre 1 e 0).
Região de frenagem: O motor é acionado em sentido contrário ao do
campo magnético. A principal utilização é parar o motor por uma técnica
chamada �frenagem por inversão de fases�, onde um escorregamento próximo
de 0 passa a ser instantaneamente próximo de 2.
Região como gerador: O estator é alimentado por uma fonte de ten-
são trifásica normalmente, mas o rotor é acionado por uma força mecânica
externa acima da velocidade síncrona (escorregamento negativo).
Note na Figura 4.14 que nos quadrantes II e IV, o produto entre Tmec e
n é negativo, o que implica no fluxo de potência entrando na máquina (do
lado mecânico para o elétrico). Por isso, costuma-se chamar a frenagem de
4.5. ENSAIOS A VAZIO E ROTOR BLOQUEADO 109
0
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
23,9
150
1200 n [rpm]
ponto de
operação
s
I2 [A]
Figura 4.13: Corrente no rotor para a máquina do Exemplo 11.
regenerativa.
4.5 Ensaios a Vazio e Rotor Bloqueado
Os parâmetros do motor de indução podem ser determinados a partir dos
resultados dos seguintes ensaios:
ˆ medida da resistência CC;
ˆ ensaio a vazio (sem carga);
ˆ ensaio de rotor bloqueado.
A seguir são apresentados os procedimentos para cada um dos ensaios.
1) Medida da resistência CC
Mede-se R1 diretamente. Como nos demais ensaios R1 é utilizado nos
cálculos das demais grandezas, sua medida deve ser realizada nas tem-
peraturas dos ensaios ou R1 deve ter seu valor corrigido.
110 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
-2-1012
-100 0 100 200 300
0
III
III IV
n [em % de ns]
região de
frenagem
região como
motor
região como
gerador
s
Tmec [N.m]
Figura 4.14: Regiões de operação da máquina de indução.
2) Ensaio a vazio
Aplica-se tensão polifásicas equilibradas de frequência nominal nos ter-
minais do estator. Mede-se:
ˆ V1vz - tensão de fase [V];
ˆ I1vz - corrente de armadura [A];
ˆ Pvz - potência elétrica total de entrada [W].
Com a máquina a vazio, a corrente é a mínima necessária para produzir
conjugado suficiente para superar as perdas associadas à rotação (atrito
e ventilação). Desprezando-se as perdas I2 · R do rotor, as perdas
rotacionais são:
Prot = Pvz − nfases · I2vz ·R1 (4.54)
Como o escorregamento a vazio svz é muito pequeno, a resistência do
rotor refletida ao primário (
R2/svz) é muito elevada. Como jXm está
4.5. ENSAIOS A VAZIO E ROTOR BLOQUEADO 111
em paralelo com (
R2/svz + jX2), que é uma impedância muito elevada,
a reatância aparente vista nos terminais do estator a vazio é aproxima-
damente:
Xvz ≈ X1 +Xm (4.55)
Além disso, a potência reativa a vazio nos terminais do estator pode
ser determinada da Equação (4.56).
Qvz =
√
S2vz − P 2vz =
√
(nfases · V1vz · I1vz)2 − P 2vz (4.56)
Com isso a reatância a vazio pode ser calculada pela Equação (4.57).
Xvz =
Qvz
nfases · I21vz
(4.57)
Usualmente, a vazio Qvz � Pvz, o que torna Xvz ≈ V1vzI1vz ,ou seja, a
reatância é praticamente toda a impedância.
3) Ensaio do rotor bloqueado
Mede-se:
ˆ V1bl - tensão de fase [V];
ˆ I1bl - corrente de armadura [A];
ˆ Pbl - potência elétrica polifásica total de entrada [W];
ˆ fbl - frequência utilizada no ensaio [Hz].
Realiza-se o ensaio de rotor bloqueado sob condições em que a corrente
e a frequência no rotor são aproximadamente as mesmas da máquina
operando nas condições de interesse de desempenho. Por exemplo:
ˆ Se o interesse é para escorregamento próximos da unidade, utiliza-
se tensão e frequência nominais para obter correntes de rotor com
amplitude e frequência próximas as de partida;
ˆ Se o interesse é na operação normal (na região próxima às de
condições normais), reduz-se a tensão para resultar em aproxi-
madamente a corrente nominal. A frequência aplicada também
deve ser reduzida para resultar em frequências no rotor próximas
112 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
às que surgem em operação nominal, uma vez que a impedância
efetiva do rotor pode diferir consideravelmente de seus valores em
frequência nominal. A norma IEEE 112 [2] sugere uma frequência
de ensaio de 25% da frequência nominal.
Calcula-se a potência reativa de rotor bloqueado utilizando a Equa-
ção (4.58).
Qbl =
√
S2bl − P 2bl =
√
(nfases · V1bl · I1bl)2 − P 2bl (4.58)
Sendo assim, a reatância do rotor bloqueado corrigida para a frequência
nominal é determinada pela Equação (4.59).
Xbl =
fnom
fbl
· Qbl
nfases · I21bl
(4.59)
A resistência de rotor bloqueado é determinada pela Equação (4.60)
onde Zbl = Rbl + jXbl é a impedância vista nos terminais durante o
ensaio.
Rbl =
Pbl
nfases · I21bl
(4.60)
Analisando-se o circuito equivalente do motor com rotor bloqueado
(s = 1), tem-se:
Zbl = R1 + jX1 + [ jXm ‖ (R2 + jX2)] (4.61)
Zbl = R1 +R2
(
X2m
R22 + (Xm +X2)
2
)
︸ ︷︷ ︸
Rbl
+j
(
X1 +
Xm(R
2
2 +X2(Xm +X2))
R22 + (Xm +X2)
2
)
︸ ︷︷ ︸
Xbl
(4.62)
Para simplificar pode-se supor a aproximação a seguir, sabendo que
R2 � Xm.
Rbl = R1 +R2
(
Xm
X2 +Xm
)2
(4.63)
4.5. ENSAIOS A VAZIO E ROTOR BLOQUEADO 113
Xbl = X1 +X2
(
Xm
X2 +Xm
)
(4.64)
Isolando R2 e X2:
R2 = (Rbl −R1)
(
X2 +Xm
Xm
)2
(4.65)
X2 = (Xbl −X1)
(
Xm
Xm +X1 −Xbl
)
(4.66)
Substituindo Xm = Xvz −X1 na equação anterior, obtém-se:
X2 = (Xbl −X1)
(
Xvz −X1
Xvz −Xbl
)
(4.67)
Problema: Não é possível realizar uma medida adicional que desacople
X1 e X2 para determiná-los de maneira única e independente. Felizmente,
o desempenho do motor é pouco afetado pelo modo que as reatâncias são
distribuídas entre X1 e X2. A norma IEEE 112 recomenda a distribuição
empírica apresentada na Tabela 4.1.
Tabela 4.1: Razão entre X1 e X2 para as classes do motor de indução
Classe do Motor Descrição
X1/X2
A
Conjugado de partida normal,
corrente de partida normal
1
B
Conjugado de partida normal,
corrente de partida baixa
4/6
C
Conjugado de partida elevado,
corrente de partida baixa
3/7
D
Conjugado de partida elevado,
escorregamento elevado
1
Rotor bobinado
O desempenho varia segundo
a resistência externa
1
Sendo assim, é possível encontrar X2 com a Equação (4.68), X1 utilizando
a Tabela 4.1, Xm com a Equação (4.55) e por fim R2.
114 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
X2 = (Xbl −X1)
(
Xvz −X1
Xvz −Xbl
)
(4.68)
R2 = (Rbl −R1)
(
X2 +Xm
Xm
)2
(4.69)
Exemplo 12 Os seguintes dados referem-se a um motor de indução trifá-
sico de 4 polos conectado em Y, 7, 5 HP, 220V , 19A e 60Hz com um rotor
de dupla gaiola da classe C de projeto.
Ensaio 1: a vazio em 60Hz
tensão de linha aplicada: 219V
corrente de fase: I1vz = 5, 7A
potência: Pvz = 380W
Ensaio 2: rotor bloqueado em 15Hz
tensão de linha aplicada: 26, 5V
corrente de fase: I1bl = 18, 57A
potência: Pbl = 675W
Ensaio 3: resistência CC do estator por fase (medida logo após o Ensaio 2)
resistência: R1 = 0, 262 Ω
Calcule:
a) as perdas rotacionais a vazio;
b) os parâmetros do circuito equivalente que se aplicam às condições no-
minais de operação. Suponha que a temperatura seja a do ensaio 3.
Solução:
4.5. ENSAIOS A VAZIO E ROTOR BLOQUEADO 115
a) Para o cálculo das perdas rotacionais a vazio utiliza-se a Equação (4.54).
Prot = Pvz − nfases · I21vz ·R1 (4.70)
Prot = 380− 3 · 5, 72 · 0, 262 (4.71)
Prot = 354W (4.72)
b) Para o cálculo dos parâmetros do circuito equivalente utiliza-se as equa-
ções a seguir.
V1vz =
219√
3
= 126, 4V (4.73)
Qvz =
√
(nfases · V1vz · I1vz)2 − P 2vz = 2128 V Ar (4.74)
Xvz =
Qvz
nfases · I2vz
= 21, 8 Ω (4.75)
V1bl =
26, 5√
3
= 15, 3V (4.76)
Qbl =
√
(nfases · V1bl · I1bl)2 − P 2bl = 520 V Ar (4.77)
Xbl =
fnom
fbl
· Qb1
nfases · I21bl
= 2, 01 Ω (4.78)
Para motor de classe C, segundo a Tabela 4.1, X1 corresponde a apro-
ximadamente 30% da soma X1 +X2, ou seja:
X1
X2
=
3
7
(4.79)
Usando a Equação (4.68):
0, 184 ·X22 − 30, 29 ·X2 + 44, 22 = 0 (4.80)
116 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
que tem duas soluções, mas apenas uma leva a um significado físico
correto de todos os parâmetros:
X2 =
{
1, 48 Ω
���
��XXXXX163, 1 Ω
pois X2 < Xvz
Sendo assim
X1 =
3
7
· 1, 48 = 0, 633 Ω (4.81)
Xm = Xvz −X1 = 21, 17 Ω (4.82)
Para determinar R2
Rbl =
Pbl
nfases · I21bl
= 0, 652 Ω (4.83)
R2 = (Rbl −R1) ·
(
X2 +Xm
Xm
2)
= 0, 447 Ω (4.84)
�
4.6 Efeitos da Resistência do Rotor
O efeitos de diferentes resistências de rotor nas curvas de conjugado e
corrente pode ser visto na Figura 4.15. Note que o valor de Tmax não muda,
apenas o seu respectivo valor de escorregamento sTmax .
i) R2 elevado: proporciona boas condições de partida (conjugado ele-
vado e corrente baixa), mas pobre desempenho à plena carga (alto
escorregamento).
ii) R2 baixo: correntes de partida mais severas, mas um bom rendimento
à plena carga.
O projeto de uma máquina de indução deve ter um compromisso entre
essas características.
4.6. EFEITOS DA RESISTÊNCIA DO ROTOR 117
0
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
T ′′partida
T ′partida
I ′′2partida
I ′2partida
n n
ns nss′′Tmax s
′
Tmax ss
T I2
Tcarga
I2carga
Tmax R
′′
2 > R
′
2
(a) (b)
Figura 4.15: Efeito da variação de R2 nas curvas (a) de conjugado e (b) de
corrente de carga.
4.6.1 Maneiras de evitar o compromisso
ˆ uso de sistema de acionamento (inversor) para controlar a amplitude e
frequência da tensão aplicada;
ˆ rotor bobinado com resistências aumentadas externamente durante a
partida;
ˆ auto-transformadores de partida;
ˆ partida estrela-triângulo.
Além dessas formas, é possível construir um motor de rotor gaiola cuja
resistência do rotor �varie� com o escorregamento, ou seja, com a velocidade.
Este é o motor de indução de dupla gaiola.
Motor de indução de gaiola dupla
No tipo gaiola dupla, tem-se dois tipos de barras (em paralelo):
ˆ Externas: construídas com área de seção menor e material mais resis-
tivo (geralmente bronze);
ˆ Internas: seção maior e material menos resistivo (cobre).
118 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
(a) (b)
Figura 4.16: Gaiola (a) simples e (b) dupla.
Por causa da maneira como as linhas de fluxo cortam as barras, tem-se
que as mais internas tem uma maior indutância de dispersão. Para n = 0
(s = 1), onde fr = fe, as correntes induzidas nas mais internas são pequenas
devido a alta reatância. A resistência efetiva do rotor é praticamente igual a
resistência das mais externas (alta). Para velocidades maiores, a frequência
do rotor diminui até se aproximar de zero (na velocidade síncrona) então a
reatância interna se torna desprezível e então a resistência efetiva se aproximaà das duas barras em paralelo (baixa).
4.6.2 Classes de máquinas de indução
De acordo com suas características construtivas, as máquinas de indução
se dividem em quatro classes
2
:
A

• baixo torque de partida
• gaiola única
• uso geral
B

• baixo torque de partida
• menores correntes do que a classe A (≈75%)
• gaiola dupla
• uso geral
2
De acordo com a National Electric Manufacturers Association (NEMA).
4.6. EFEITOS DA RESISTÊNCIA DO ROTOR 119
0
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
n
gaiola
dupla
e
x
t
e
r
n
a
i
n
t
e
r
n
a
ns
s
T
Figura 4.17: Torque produzido por cada gaiola e o total da máquina de gaiola
dupla.
C

• alto torque e baixa corrente
• gaiola dupla com resistência maior
• aplicações principais: compressores, transportadoras industriais
(esteiras e outras que exigem partida forte)
D

• alto torque com máximo escorregamento elevado
• baixa eficiência à altas velocidades
• elevada resistência
• aplicações em cargas que necessitam partida forte
e muitas vezes consecutivas: prensas, perfuradoras e máquinas de
corte de chapas metálicas
A forma típica do conjugado produzido por cada uma das classes é apre-
sentada na Figura 4.18.
120 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
0
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
50
100
150
200
250
300
n
A
B
C
D
ns
s
T [em % de Tnom]
Figura 4.18: Formas de conjugado produzido por cada classe de máquina.
Problemas propostos
Os problemas propostos a seguir foram extraídos/adaptados dos proble-
mas do Capítulo 6 do livro [1].
(1) A placa de um motor de indução de quatro polos, 460 V, 50 HP e 60 Hz
indica que sua velocidade com carga nominal é 1755 rpm. Suponha que
o motor esteja operando com a carga nominal.
a) Qual é o escorregamento do motor?
b) Qual é a frequência das correntes do rotor?
c) Qual é a velocidade angular da onda de fluxo produzida pelo es-
tator no entreferro em relação ao estator? E em relação ao rotor?
d) Qual é a velocidade angular da onda de fluxo produzida pelo rotor
no entreferro em relação ao estator? E em relação ao rotor?
(2) Um motor de indução trifásico funciona na velocidade de aproximada-
mente 1198 rpm a vazio e 1112 rpm a plena carga, quando alimentado
por uma fonte trifásica de 60 Hz.
4.6. EFEITOS DA RESISTÊNCIA DO ROTOR 121
a) Quantos polos este motor deve ter?
b) Qual é o escorregamento em porcentagem a plena carga?
c) Qual é a correspondente frequência das correntes do rotor?
d) Qual é a correspondente velocidade do campo do rotor em relação
ao rotor? E em relação ao estator?
(3) Um sistema como o mostrado na Figura 4.19 é usado para converter
tensões equilibradas de 50 Hz em outras frequências. O motor síncrono
tem quatro polos e aciona o eixo de acoplamento no sentido horário.
A máquina de indução tem seis polos e seus enrolamentos de estator
são conectados à fonte de modo a produzir um campo que gira em
sentido anti-horário (no sentido oposto à rotação do motor síncrono).
A máquina tem um rotor bobinado cujos terminais são levados para
fora por anéis deslizantes.
Máquina
síncrona
Aneis
deslizantes
eixo
Fonte
trifásica
Terminais
do rotor
Máquina
de indução
Figura 4.19: Interconexão entre máquinas de indução e síncrona para o Pro-
blema (3).
a) Com que velocidade o eixo gira?
122 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
b) Qual é a frequência das tensões produzidas nos anéis deslizantes
do motor de indução?
c) Qual será a frequência das tensões produzidas nos anéis deslizantes
do motor de indução se dois terminais do estator do motor de
indução forem trocados entre si, invertendo o sentido de rotação
do campo girante resultante?
(4) Um motor de indução trifásico, ligado em Y, quatro polos, 460 V (ten-
são de linha), 25 kW e 60 Hz tem os seguintes parâmetros de circuito
equivalente em ohms por fase, referidos ao estator:
R1 = 0, 103 R2 = 0, 225 X1 = 1, 10 X2 = 1, 13 Xm = 59, 4
As perdas totais por atrito e ventilação podem ser consideradas cons-
tantes sendo de 265 W, e as perdas no núcleo podem ser consideradas
iguais a 220 W à vazio. Com o motor ligado diretamente a uma fonte
de 460 V, calcule a velocidade, o conjugado e a potência de saída no
eixo, a potência de entrada, o fator de potência e o rendimento para
escorregamentos de 1, 2 e 3 por cento. Você pode escolher entre repre-
sentar as perdas no núcleo por uma resistência ligada diretamente aos
terminais do motor, ou pela resistência Rc ligada em paralelo com a
reatância de magnetização Xm. Por fim, crie uma tabela com os valores
pedidos para cada valor de escorregamento.
(5) Um motor de indução de gaiola de esquilo, trifásico, quatro polos,
15 kW, 230 V, 60 Hz e ligado em Y desenvolve, a plena carga, um
conjugado interno com escorregamento de 3,5 por cento, quando está
funcionando em tensão e frequência nominais. Para os propósitos deste
problema, as perdas no núcleo e as rotacionais podem ser desprezadas.
Os seguintes parâmetros do motor, em ohms por fase, foram obtidos:
R1 = 0, 21 X1 = X2 = 0, 26 Xm = 10, 1
Determine o conjugado interno máximo na tensão e frequência nomi-
nais, o escorregamento para o conjugado máximo, e o conjugado interno
de partida com tensão e frequência nominais.
(6) Omotor de indução do Problema (5) é energizado a partir de uma fonte
de 230 V, por meio de um alimentador de impedância Zf = 0, 05+j0, 14
ohms. Encontre o escorregamento do motor e a tensão de terminal,
quando ele está fornecendo a carga nominal.
4.6. EFEITOS DA RESISTÊNCIA DO ROTOR 123
(7) Um motor de indução trifásico, operando com tensão e frequência no-
minais, tem um conjugado de partida de 135 por cento e um conjugado
máximo de 220 por cento, ambos relativos a seu conjugado de carga
nominal. Desprezando os efeitos da resistência de estator e das perdas
rotacionais, e assumindo uma resistência de rotor constante, determine:
a) O escorregamento para o conjugado máximo;
b) O escorregamento para a carga nominal;
c) A corrente do rotor na partida (como porcentagem da corrente de
rotor para carga nominal).
(8) Quando está funcionando em tensão e frequência nominais, um motor
trifásico de indução de gaiola de esquilo (classificado como sendo do
tipo de escorregamento alto) apresenta, a plena carga, um escorrega-
mento de 8,7 por cento, além de desenvolver um conjugado máximo
de 230 por cento da carga plena com um escorregamento de 55 por
cento. Despreze as perdas rotacionais e as de núcleo, assumindo que a
resistência do rotor e a indutância permaneçam constantes, não depen-
dendo do escorregamento. Determine, na tensão e frequência nominais,
a razão entre o conjugado de partida e o seu valor a plena carga.
(9) Uma máquina de indução de quatro polos, 500 kW, 2400 V e 60 Hz
tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente, em ohms por fase,
referidos ao estator:
R1 = 0, 122 R2 = 0, 317 X1 = 1, 364 X2 = 1, 32 Xm = 45, 8
Esta máquina atinge a saída nominal no eixo quando o escorregamento
é de 3,35 por cento, com um rendimento de 94,0 por cento. A máquina
deve ser usada como gerador, impulsionado por uma turbina eólica e
será ligada a um sistema de distribuição que pode ser representado por
um barramento infinito de 2400 V.
a) A partir dos dados fornecidos, calcule as perdas rotacionais e no
núcleo na situação de carga nominal;
b) Com a turbina eólica girando a máquina de indução com um es-
corregamento de −3.2 por cento, calcule:
i) a potência elétrica de saída em kW;
124 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
ii) o rendimento (potência de saída no eixo pela potência de en-
trada);
iii) o fator de potência medido nos terminais da máquina.c) O sistema real de distribuição ao qual o gerador está conectado
tem uma impedância efetiva de 0, 18 + j0, 41 Ω/fase. Para um es-
corregamento de -3,2 por cento, calcule a potência elétrica medida
nos seguintes pontos:
i) No barramento infinito;
ii) Nos terminais da máquina.
(10) Para um motor de indução trifásico de gaiola de esquilo de 25 kW,
230 V, 60 Hz, operando com tensão e frequência nominais, as perdas
I2R na condição de máximo conjugado são 9,0 vezes a do caso de
conjugado a plena carga, e o escorregamento a plena carga é 0,023. A
resistência do estator e as perdas rotacionais podem ser desprezadas
e assume-se que a resistência e a indutância do rotor são constantes.
Expressando o conjugado como uma razão do conjugado a plena carga,
determine:
a) O escorregamento para o conjugado máximo;
b) A razão entre o conjugado máximo e o de plena carga;
c) A razão entre o conjugado de partida e o de plena carga.
(11) Os dados a seguir se referem a um motor de indução trifásico de gaiola
de esquilo de 125 kW, 2300 V, quatro polos, 60 Hz:
Resistência do estator entre os terminais de uma fase = 2, 23 Ω
Ensaio à vazio com tensão e frequência nominais:
Corrente de linha = 7, 7 A Potência trifásica = 2870 W
Ensaio de rotor bloqueado em 15 Hz:
Tensão de fase = 268 V Corrente de linha = 50, 3 A
Potência trifásica = 18, 2 kW
4.6. EFEITOS DA RESISTÊNCIA DO ROTOR 125
a) Calcule as perdas rotacionais;
b) Calcule os parâmetros do circuito equivalente em ohms. Assuma
que X1 = X2;
c) Calcule a corrente de estator, a potência de entrada com o fa-
tor de potência, a potência de saída e o rendimento, quando esse
motor está operando em tensão e frequência nominais, com um
escorregamento de 2,95 por cento.
(12) Um motor de indução de gaiola, trifásico, seis polos, 230 V e 60 Hz
desenvolve um conjugado interno máximo de 288 por cento, com um
escorregamento de 15 por cento, quando está funcionando em tensão
e frequência nominais. Se o efeito da resistência de estator for des-
prezado, determine a razão entre o conjugado interno máximo que esse
motor iria desenvolver se fosse operado a 190 V e 50 Hz e o conjugado a
plena carga. Sob essas condições, em que velocidade seria desenvolvido
o conjugado máximo?
(13) Um motor de indução de rotor bobinado, trifásico, quatro polos, 75 kW,
50 Hz e 460 V desenvolve conjugado de plena carga a 1438 rpm, com o
rotor curto-circuitado. Uma resistência externa não indutiva de 1,1 Ω
é colocada em série com cada fase do rotor. A seguir, observa-se
que o motor desenvolve o seu conjugado nominal para a velocidade
de 1405 rpm. Calcule a resistência do rotor, por fase, deste motor.
(14) Um motor de indução de rotor bobinado, trifásico, seis polos, 100 kW,
60 Hz e 460 V desenvolve a potência de plena carga na velocidade de
1158 rpm, quando está funcionando em tensão e frequência nominais e
com o rotor curto-circuitado diretamente nos seus anéis deslizantes. O
conjugado máximo, que pode ser desenvolvido quando está funcionando
em tensão e frequência nominais, é 310 por cento do conjugado de plena
carga. A resistência do enrolamento do rotor é 0,17 Ω/fase Y. Despreze
quaisquer efeitos de perdas rotacionais e suplementares, e da resistência
do estator.
a) Calcule as perdas I2R do rotor a plena carga;
b) Calcule a velocidade no conjugado máximo em rpm;
126 CAPÍTULO 4. MÁQUINAS DE INDUÇÃO
c) Qual valor de resistência deve ser inserido em série com os enro-
lamentos do rotor para produzir o conjugado máximo de partida;
Com os enrolamentos de rotor curto-circuitados, o motor opera
agora a partir de uma fonte de 50 Hz cuja tensão aplicada é ajus-
tada de modo que a onda de fluxo no entreferro seja essencialmente
igual à de operação em 60 Hz.
d) Calcule a tensão aplicada de 50 Hz.
e) Calcule a velocidade na qual o motor irá desenvolver um conjugado
igual ao de 60 Hz, com seus anéis deslizantes curto-circuitados.
Capı´tulo5
Máquinas de Corrente Contínua
Em geral, a vantagem mais marcante das máquinas CC, cuja representa-
ção axial e seus principais componentes podem ser vistos na Figura 5.1, é sua
flexibilidade e versatilidade. Antes da ampla disponibilidade atual de siste-
mas de acionamento de motores CA, as máquinas CC eram essencialmente a
única escolha disponível para muitas aplicações que necessitavam de um alto
nível de controle. Suas principais desvantagens decorrem da complexidade
associada ao enrolamento de armadura (no rotor) e do sistema comutador/es-
covas. Essa complexidade adicional não apenas eleva os custos como também
a necessidade de manutenção e reduz potencialmente a confiabilidade dessas
máquinas. Mesmo assim, as vantagens dos motores CC continuam mantendo
uma forte posição competitiva tanto em grandes aplicações industriais quanto
em uma ampla variedade de pequenas aplicações.
A versatilidade dos motores CC decorre principalmente das diversas for-
mas como seus enrolamentos de campo e de armadura podem ser conectados
entre si e a uma fonte de tensão externa (série, paralelo, excitação indepen-
dente, imãs permanentes, dentre outras). As características dos principais
tipos de conexão são descritas a seguir. O motor série opera com uma notável
queda de velocidade quando cargas são adicionadas, e a velocidade sem carga
costuma ser proibitivamente alta; o conjugado é proporcional à praticamente
o quadrado da corrente de armadura com baixos níveis de fluxo e proporcio-
nal à alguma potência entre 1 e 2 a medida que a saturação do fluxo aumenta.
O motor paralelo (ou shunt) para uma corrente de campo constante opera
com uma pequena queda, mas com a velocidade praticamente constante à
medida que cargas são adicionadas, o conjugado é praticamente proporcio-
127
128 CAPÍTULO 5. MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA
armadura
interpolo
escovas
campo
comutador
Figura 5.1: Vista axial de uma máquina CC.
nal à corrente de armadura e a velocidade pode ser facilmente controlada
para uma ampla escala de valores. A máquina com excitação independente
permite um maior controle, misturando as características dos tipos anterio-
res ao custo de uma maior complexidade. Em compensação, a máquina CC
com imãs permanentes no estator apresenta maior simplicidade, mas não há
controle do fluxo de campo.
Em uma extensa variedade de aplicações de baixa potência, com siste-
mas que opera a partir de uma fonte CC (aplicações automotivas, eletrônica
portátil, etc.), as máquinas CC são a opção mais efetiva em custo. Essas
máquinas CC são construídas com umas larga faixa de configurações e mui-
tas delas baseiam-se na excitação com imã permanente (que é equivalente à
conexão com excitação independente fixando-se a tensão aplicada ao enrola-
mento de campo). Apesar da ampla variedade de máquinas CC que podem
ser encontradas nessas diversas aplicações, os seus desempenhos podem ser
facilmente determinados usando-se modelos matemáticos simples para sua
dinâmica no tempo ou em regime permanente. Para mais informações sobre
máquinas CC sugere-se a Referência [1, Capítulo 7].
5.1. MODELO MATEMÁTICO DINÂMICO 129
5.1 Modelo Matemático Dinâmico
As equações diferenciais apresentadas a seguir são gerais para todos os
tipos de máquinas CC e foram determinadas basicamente através do equa-
cionamento de malhas utilizando as Leis de Kirchhoff nos circuitos elétricos
e a Lei de Newton do somatório das forças (conjugados, neste caso) no eixo
para o movimento mecânico.
Va(t) = Raia(t) + La
dia(t)
dt
+ Ea(t) (5.1)
Vf (t) = Rf if (t) + Lf
dif (t)
dt
(5.2)
Te(t) = J
dωm(t)
dt
+Bωm(t) + TL(t) (5.3)
onde
Ea(t) = Laf if (t)ωm(t) (5.4)
Te(t) = Laf if (t)ia(t) (5.5)
e
ˆ Va - Tensão aplicada nos terminais do enrolamento de armadura [V];
ˆ Vf- Tensão aplicada nos terminais do enrolamento de campo [V];
ˆ Ea - Força contra-eletromotriz induzida [V];
ˆ ia - Corrente no enrolamento de armadura [A];
ˆ if - Corrente no enrolamento de campo [A];
ˆ Ra - Resistência do enrolamento de armadura [Ω];
ˆ Rf - Resistência do enrolamento de campo [Ω];
ˆ La - Indutância própria do enrolamento de armadura [H];
ˆ Lf - Indutância própria do enrolamento de campo [H];
130 CAPÍTULO 5. MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA
ˆ Laf - Indutância mútua armadura-campo [H];
ˆ ωm - Velocidade angular mecânica do rotor [rad/s];
ˆ J - Momento de inércia [kg.m2];
ˆ B - Coeficiente de atrito [N.m.s/rad];
ˆ Te - Conjugado eletromagnético total produzido pela máquina [N.m];
ˆ TL - Conjugado de carga [N.m];
O comportamento da máquina CC é dependente do tipo de conexão utili-
zado. Para o caso de conexão em paralelo aplica-se a mesma tensão contínua
nos enrolamentos de campo e de armadura (Vf = Va); para o caso da má-
quina série os enrolamentos são conectados em série (portanto if = ia); e
para o caso de excitação independente (Vf 6= Va e if 6= ia) a máquina pode
ser controlada tanto regulando-se Vf quanto Va, mantendo a outra tensão
constante.
5.2 Equações da Máquina CC em Regime Per-
manente
Em regime permanente, o transitório da máquina já cessou e portanto
as derivadas em (5.1)-(5.3) são nulas. Assim obtém-se as equações de re-
gime permanente apresentadas para os três principais tipos de conexão na
Tabela 5.1. Para o caso da máquina de imãs permanentes, as equações são
as mesmas que a do caso de excitação independente, entretanto, não há cor-
rente de campo, por isso, o produto Laf if é substituído por um valor kf
denominado constante de fluxo
1
.
1
Uma máquina de imãs permanentes é matematicamente idêntica a uma máquina de
excitação independente com uma corrente if que produz o mesmo fluxo que os imãs per-
manentes.
5.2. EQUAÇÕES DA MÁQUINA CC EM REGIME PERMANENTE 131
Tabela 5.1: Equações de regime permanente da máquina CC.
Conexão série Conexão paralelo
Excitação
independente
Vf 6= Va Vf = Va Vf 6= Va
if = ia if 6= ia if 6= ia
ia =
Va − Ea
Ra +Rf
ia =
Va − Ea
Ra
ia =
Va − Ea
Ra
− if = Vf
Rf
=
Va
Rf
if =
Vf
Rf
Ea = Laf ifωm
= Laf iaωm
Ea = Laf ifωm Ea = Laf ifωm
Te = Laf if ia
= Laf i
2
a
Te = Laf if ia Te = Laf if ia
Pentrada = Vaia
Pentrada = Vaia + Vf if
= Va(ia + if )
Pentrada = Vaia + Vf if
Psaida = ωmTe Psaida = ωmTe Psaida = ωmTe
Te = Bωm + TL Te = Bωm + TL Te = Bωm + TL
132 CAPÍTULO 5. MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA
Problemas propostos
(1) Os parâmetros de uma máquina CC em paralelo são: Rf = 240 Ω, Lf =
120 H, Laf = 1, 8 H, Ra = 0, 6 Ω, La = 0. O torque de carga é 5 N.m e
Va = Vf = 240 V. Calcule a velocidade do rotor em regime permanente.
Considere o torque ocasionado por atrito desprezível, comparado ao
torque de carga.
(2) Um motor CC com excitação independente tem os seguintes parâme-
tros: Ra = 8 Ω e Laf = 0, 01 H. A carga no eixo do motor é aproximada
por TL = D.ωm, com D = 5 × 10−6 N.m.s/rad. A tensão aplicada é
6 V e o coeficiente de atrito é nulo. Calcule a velocidade em regime
permanente, em rad/s.
(3) Um motor CC em paralelo de 600 rpm, 200 HP (valores nominais) está
operando com potência (mecânica) e velocidade nominais. O torque
ocasionado por atrito pode ser considerado desprezível. Sendo Rf =
12 Ω, Laf = 0, 18 H e Ra = 0, 012 Ω:
a) Sabendo que Pout = TL · ωm e 1 HP equivale a 745, 7 W, calcule
a tensão que deve ser aplicada nos terminais da máquina para
atingir tal condição de carga e velocidade;
b) Calcule as perdas ôhmicas com carga nominal e determine a efici-
ência.
(4) Um motor CC série tem os seguintes parâmetros: TL = 100 N.m,
Laf = 0, 6 H, Ra = 2 Ω, Rf = 3 Ω, B = 0. A tensão aplicada
nos terminais do motor é 200 V (motor de grande porte). Calcule a
velocidade e a corrente (a corrente de armadura é a mesma do campo)
em regime permanente.
(5) Um motor CC série é conectado a uma fonte de 500 V. A potência
de saída do motor (torque de carga vezes velocidade) é de 10 kW a
1200 rpm. A eficiência do motor é 92%. Desprezando as perdas por
atrito, determine o torque de carga e a corrente.
(6) Seja um motor CC shunt com os seguintes parâmetros: Rf = 60 Ω,
Laf = 0, 1 H. Com tensão de armadura Vf = Va = 60 V, tal motor
aciona uma carga que pode ser aproximada por TL = 1×10−3 ·ωm, com
5.2. EQUAÇÕES DA MÁQUINA CC EM REGIME PERMANENTE 133
corrente de armadura ia = 3 A em regime permanente. O coeficiente
de atrito é B = 5× 10−4 N.m.s/rad.
a) Calcule a velocidade em rad/s e em rotações/min em regime per-
manente;
b) Calcule a resistência de armadura;
c) Calcule o torque total gerado no eixo do motor em regime perma-
nente;
d) Calcule a velocidade e a corrente de armadura caso a carga seja
substituída por outra com valor constante de 0, 3 N.m e a tensão
de entrada seja também mantida constante em 60 V.
(7) Ummotor CC de ímãs permanentes é acionado com tensão de armadura
Va = 20 V. A resistência de armadura é Ra = 1 Ω e a constante de fluxo
é kf = 0, 2 V.s/rad. Sabendo que a velocidade ωm é maior que 50 rad/s,
calcule o torque de carga e a velocidade ωm para que a potência de saída
seja igual a 8 W. Despreze o coeficiente de atrito.
134 CAPÍTULO 5. MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA
Referências Bibliográficas
[1] A. E. Fitzgerald, C. Kingsley, and S. D. Umans. Máquinas Elétricas.
Bookman, 2006.
[2] IEEE. IEEE standard test procedure for polyphase induction motors and
generators. IEEE Std 112-2017 (Revision of IEEE Std 112-2004), pages
1�115, Fevereiro 2018.
[3] Jornal de Itaipu Eletrônico (JIE). Instalação do rotor na casa de máqui-
nas. Disponível em: http://jie.itaipu.gov.br, Outubro 2013.
135
136 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Solução dos Problemas Propostos
A seguir são apresentadas as respostas de alguns dos problemas propostos
ao longo deste material.
Capítulo 2
Problema (1): (a) 1200 rpm; (b) 1126 A; (c) 0,937 Wb.
Problema (2): 10,4 kV.
Problema (3): 39 espiras.
Problema (4): (a) 10,8 mWb; 0,525 T (b) 0,65 A; (c) 0,69 H.
Problema (5): 4, 39× 106 N.m; 828 MW.
Capítulo 3
Problema (1): (a) 49,8 mH; (b) 1, 77× 103 −41, 3◦ V; 160 A.
Problema (2): (a) 1,14; (b) 3,85 Ω/fase; (c) 3,04 Ω/fase.
Problema (3): 4880 kW; 97,6%.
Problema (4): (b) 733 A; 710 A; (c) i) 1,03; ii) 1,533 Ω/fase; iii) 1,27 Ω/fase.
Problema (5): (a) 3,15 Ω/fase; (b) 2,35 90◦ kA; (c) 2,43 −90◦ kA.
Problema (6): (a) - ; (b) - .
Falta aqui a resposta do
Problema (6)
Falta aqui a resposta do
Problema (6)
Problema (7): (a) 75,2
◦
; 150 MW; (b) 135 MW.
Problema (8): (a) 157 MW; 54,0
◦
; (b) 140 MW.
Problema (9): (a) 13,53 A; (b) 3,4 Ω; (c) 108 V (fase-neutro).
137
138 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Capítulo 4
Problema (1): (a) 2,5%; (b) 1,5 Hz; (c) 1800 rpm; 45 rpm; (d) 1800 rpm;
45 rpm.
Problema (2): (a) 6 polos; (b) 7,33%; (c) 4,4 Hz; (d) 88 rpm; 1200 rpm.
Problema (3): (a) 1500 rpm; (b) 125 Hz; (c) 25 Hz.
Problema (4):
s [%] 1 2 3
n [rpm] 1782 1764 1746
Teixo [N.m] 44,61 88,40 126,86
Peixo [kW] 8,324 16,329 23,195
Pentrada [kW] 8,948 17,330 24,772
FP 0,90 0,93 0,92
η [%] 93,03 94,23 93,64
Problema (5): 177 N.m; 17,2%; 71,6 N.m.
Problema (6): 3,87%; 221,3 V (tensão de linha).
Problema (7): (a) 34,3%; (b) 8,24%; (c) 405%.
Problema (8): (a) 208%.
Problema (9): (a) 3,16 kW; 4,24 kW; (b) i) 516,58kW; ii) 95,13%; iii)
0,89; (c) i) 502,87 kW; ii) 581,53 kW.
Problema (10): (a) 9,48%; (b) 2,18; (c) 0,41.
Problema (11): (a) 2473 W; (b) R1 = 2, 23 Ω; R2 = 0, 19 Ω; X1 =
9, 79 Ω; X2 = 9, 79 Ω; Xm = 161, 9 Ω; (c) Pentrada = 96, 67 kW; FP=0,38;
Psaida = 67, 37 kW; η = 69, 69%.
Problema (12): 0,983; 820 rpm.
Problema (13): 2,07 Ω.
Problema (14): (a)3,63 kW; (b) 947 rpm; (c) 0,635 Ω; (d) 383 V (tensão
de linha); (e) 958 rpm.
Capítulo 5
Problema (1): 132,4rad/s.
Problema (2): 428,57rad/s.
Problema (3): (a) 180,99 V; (b) 11,91 kW; 92,6%.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 139
Problema (4): 17,49 rad/s; 12,91 A.
Problema (5): 79,58 N.m; 21,74 A.
Problema (6): (a) 200 rad/s; 1909,86 rpm; (b) 10,33 Ω; (c) 0,3 N.m; (d)
120 rad/s; 3,6 A.
Problema (7): 81,67×10−3 N.m; 97,96 rad/s.
	Introdução
	Conceitos Elementares de Máquinas
	Estrutura Básica das Máquinas
	Máquinas Elementares
	Máquinas CA
	Máquina CC
	Outras características construtivas
	FMM de Enrolamentos Concentrados e Distribuídos
	FMM do enrolamento do rotor
	Ondas Girantes em Máquinas CA
	Caso monofásico
	Caso trifásico
	Tensão Induzida
	Conjugado Eletromagnético
	Conjugado em máquinas trifásicas
	Perdas de eficiência em máquinas
	Problemas propostos
	Máquinas Síncronas
	Modelagem e Circuito Equivalente
	Característica a Vazio e de Curto-Circuito
	Curva de saturação a vazio (CAV)
	Separação das perdas rotacionais
	Característica de curto-circuito (CCC)
	Característica de Ângulo de Carga em Regime
	Características de Operação em Regime
	Efeito dos Polos Salientes
	Característica de ângulo de carga
	Problemas propostos
	Máquinas de Indução
	Princípio de Funcionamento
	Velocidade síncrona
	Escorregamento
	Circuito Equivalente do Motor de Indução
	Estator
	Rotor
	Análise do Circuito Equivalente
	Conjugado e Potência pelo Teorema de Thévenin
	Regiões de operação
	Ensaios a Vazio e Rotor Bloqueado
	Efeitos da Resistência do Rotor
	Maneiras de evitar o compromisso
	Classes de máquinas de indução
	Problemas propostos
	Máquinas de Corrente Contínua
	Modelo Matemático Dinâmico
	Equações da Máquina CC em Regime Permanente
	Problemas propostos
	Referências Bibliográficas
	Solução dos problemas propostos