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Apostila Máquinas Elétricas Rotativas

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Prévia do material em texto

Universidade do Estado de Santa Catarina
Departamento de Engenharia Elétrica
Máquinas Elétricas Rotativas
Autor:
Tiago Dezuo
Colaborador:
Lucas de Lacerda
28 de março de 2019
2
Prefácio
Este documento pretende ser uma apostila para a disciplina de Máquinas
Elétricas Rotativas (MAE0001) do curso de graduação em Engenharia Elé-
trica da Universidade do Estado de Santa Catarina (UDESC). A ideia básica
da apostila é apresentar o conteúdo da disciplina de maneira simplificada,
propor exercícios e um conjunto de referências bibliográficas que permitam
ao aluno avançar de forma orientada nos temas em questão.
O material aqui apresentado não contém novos resultados científicos,
tendo apenas caráter didático, e foi criado com base na literatura pré-existente
e notas de aula. Vale ressaltar que o conteúdo deste documento é a primeira
versão de um trabalho e que certamente necessita de melhoramentos. Por
isso, esta apostila está sob constante atualização, sendo a data da versão
mais recente indicada em sua capa.
Gostaria de agradecer ao Lucas M. de Lacerda pela colaboração na edição
deste material e também aos meus alunos Alessandra Schroeder, Jonas O.
Foyth e Alectusa F. Barfknecht por gentilmente cederem suas notas de aula
para auxiliar no preparo de seu conteúdo.
Joinville, 28 de março de 2019.
Prof. Tiago J. M. Dezuo
3
4
Lista de Acrônimos
CA Corrente Alternada
CAV Característica a Vazio
CC Corrente Contínua
CCAV Corrente de Campo a Vazio
CCC Característica de Curto-Circuito
CCCC Corrente de Campo de Curto-Circuito
GIF Graphics Interchange Format
IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers
FCEM Força Contra-Eletromotriz
FEM Força Eletromotriz
FMM Força Magnetomotriz
FP Fator de Potência
NEMA National Electric Manufacturers Association
RCC Relação de Curto-Circuito
TDH Taxa de Distorção Harmônica
5
6
Lista de Figuras
1.1 Conversão de energia em máquinas elétricas rotativas. . . . . . 14
1.2 Classificação das máquinas elétricas rotativas. . . . . . . . . . 15
2.1 Nomenclatura base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Partes fundamentais de uma máquina usual (vista em corte
transversal ao eixo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Campo magnético produzido por (a) imãs permanentes e (b)
enrolamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Localização e tipo de cada enrolamento. . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Tipos de polos do rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Máquina síncrona elementar de polos lisos. As setas repre-
sentam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do
campo (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7 Máquina síncrona elementar de polos salientes. As setas re-
presentam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e
do campo (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8 Máquina síncrona de quatro polos. . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9 Instalação do rotor de polos salientes da usina hidrelétrica
Itaipu. Fonte: [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10 Máquina síncrona trifásica. As setas representam os eixos
magnéticos de cada fase da armadura (em vermelho, verde
e amarelo) e do campo (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.11 Máquina CC elementar de polos salientes. As setas repre-
sentam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do
campo (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7
8 LISTA DE FIGURAS
2.12 Tipos de distribuição dos enrolamentos. . . . . . . . . . . . . . 28
2.13 Tipos de camada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.14 Tipos de passo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.15 Corte transversal da máquina para o Exercício 1. . . . . . . . 31
2.16 Analogia entre FMM em um circuito magnético e FEM em
um circuito elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.17 Distribuição da FMM em uma máquina elementar. . . . . . . 32
2.18 Distribuição planificada da FMM em uma máquina elementar
(em azul) e sua respectiva harmônica fundamental (em verde
tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.19 Máquina com enrolamento distribuído, camada dupla e passo
pleno para análise da FMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.20 Distribuição planificada da FMM da máquina da Figura 2.19
(em azul) e sua respectiva harmônica fundamental (em verde
tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.21 Enrolamento distribuído para o Exercício 2. As bobinas em
azul claro têm 6 espiras e as bobinas em azul escuro têm 8
espiras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.22 Rotor com enrolamento distribuído. . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.23 Onda girante em máquinas CA trifásicas. A direção de pico
da FMM pulsante de cada fase e a resultante trifásica girante
são mostradas à esquerda e as respectivas correntes aplicadas
à direita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.24 Máquina elementar para dedução da tensão induzida. . . . . . 42
2.25 Representação de um polo de um rotor elementar (metade do
cilindro no caso de dois polos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.26 Representação alternativa simplificada. . . . . . . . . . . . . . 47
2.27 Torque produzido em máquina síncrona trifásica em função do
ângulo de carga δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1 Fluxo principal φ0 e de dispersão φl (leakage) em analogia com
transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Circuito equivalente da máquina síncrona na representação
tipo motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Circuito equivalente da máquina síncrona na representação
tipo gerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Característica a vazio (CAV), linha de entreferro e circuito
equivalente do ensaio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
LISTA DE FIGURAS 9
3.5 Característica a vazio (CAV) para o Exemplo 6. . . . . . . . . 64
3.6 Característica de curto-circuito (CCC) e circuito equivalente
do ensaio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7 Curvas características plotadas em conjunto. . . . . . . . . . . 65
3.8 Curvas características plotadas em conjunto para o Exemplo 7. 67
3.9 Duas fontes de tensão conectadas através de uma impedância. 68
3.10 Diagrama fasorial genérico para o circuito da Figura 3.9. . . . 68
3.11 Fluxo de potência de uma máquina síncrona trifásica em fun-
ção do ângulo de carga δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.12 Circuito equivalente da máquina síncrona na representação
tipo gerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.13 Circuito de conexão à rede do Exemplo 8. . . . . . . . . . . . 72
3.14 Comportamento de Va sob mudanças em δ para o Exemplo 8. 73
3.15 Curva composta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.16 Curva V para diversos níveis de potência expressos em PU
(Por Unidade). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.17 Curva V completa (como gerador e motor). . . . . . . . . . . . 76
3.18 Curva de capacidade. O ponto de operação nominal da má-
quina está marcado pelo símbolo ?. . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.19 Curva de capacidade completa com todos os limites. A área
de operação segura está destacada em cor cinza. . . . . . . . . 78
3.20 Eixo direto (d) e eixo em quadratura (q) na máquina síncrona
de polos salientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.21 Reação da armadura para o caso de 90◦ entre Iˆa e Eˆaf. . . . . 80
3.22 Reação da armadura para o caso de 0◦ entre Iˆa e Eˆaf . . . . . . 81
3.23 Diagrama fasorial com coordenadas dq. . . . . . . . . . . . . . 82
3.24 Semelhança de triângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.25 Diagrama fasorial com coordenadas dq modificado. . . . . . . 83
3.26 Potência de uma máquina síncrona trifásica de polos salientes
em função do ângulo de carga δ (curva em vermelho). As
curvas em azul e em verde representam, respectivamente, o
primeiro e segundo termos da Equação (3.81). . . . . . . . . . 84
4.1 Evolução do motor trifásico (relação peso/potência). . . . . . . 92
4.2 Curva típica de conjugado versus velocidade (ou escorrega-
mento) de máquinas de indução. . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Ponto de operação da máquina de indução com carga. . . . . . 95
10 LISTA DE FIGURAS
4.4 Campo girante aplicado no estator (vermelho) e campo girante
induzido no rotor (azul). O ponto • é fixo no rotor para indicar
sua posição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5 Circuito equivalente do primário (estator) da máquina de in-
dução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.6 Rotor na frequência de escorregamento. . . . . . . . . . . . . . 99
4.7 Circuito equivalente completo da máquina de indução. . . . . 100
4.8 Circuito equivalente alternativo para análise do fluxo de po-
tências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.9 Circuito equivalente simplificado (desconsiderando as perdas
no núcleo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.10 Equivalente de Thévenin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.11 Circuito equivalente simplificado (desconsiderando as perdas
no núcleo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.12 Curva de conjugado para a máquina do Exemplo 11. . . . . . 108
4.13 Corrente no rotor para a máquina do Exemplo 11. . . . . . . . 109
4.14 Regiões de operação da máquina de indução. . . . . . . . . . . 110
4.15 Efeito da variação de R2 nas curvas (a) de conjugado e (b) de
corrente de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.16 Gaiola (a) simples e (b) dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.17 Torque produzido por cada gaiola e o total da máquina de
gaiola dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.18 Formas de conjugado produzido por cada classe de máquina. . 120
4.19 Interconexão entre máquinas de indução e síncrona para o Pro-
blema (3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1 Vista axial de uma máquina CC. . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Sumário
1 Introdução 13
2 Conceitos Elementares de Máquinas 17
2.1 Estrutura Básica das Máquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Máquinas Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Máquinas CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Máquina CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Outras características construtivas . . . . . . . . . . . 28
2.3 FMM de Enrolamentos Concentrados e Distribuídos . . . . . . 29
2.3.1 FMM do enrolamento do rotor . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Ondas Girantes em Máquinas CA . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Caso monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.2 Caso trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Tensão Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Conjugado Eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.1 Conjugado em máquinas trifásicas . . . . . . . . . . . . 49
2.6.2 Perdas de eficiência em máquinas . . . . . . . . . . . . 52
Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Máquinas Síncronas 55
3.1 Modelagem e Circuito Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Característica a Vazio e de Curto-Circuito . . . . . . . . . . . 62
3.2.1 Curva de saturação a vazio (CAV) . . . . . . . . . . . . 62
3.2.2 Separação das perdas rotacionais . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3 Característica de curto-circuito (CCC) . . . . . . . . . 64
11
12 SUMÁRIO
3.3 Característica de Ângulo de Carga em Regime . . . . . . . . . 67
3.4 Características de Operação em Regime . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Efeito dos Polos Salientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.1 Característica de ângulo de carga . . . . . . . . . . . . 83
Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Máquinas de Indução 91
4.1 Princípio de Funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.1 Velocidade síncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.2 Escorregamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2 Circuito Equivalente do Motor de Indução . . . . . . . . . . . 97
4.2.1 Estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.2 Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3 Análise do Circuito Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4 Conjugado e Potência pelo Teorema de Thévenin . . . . . . . 104
4.4.1 Regiões de operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5 Ensaios a Vazio e Rotor Bloqueado . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 Efeitos da Resistência do Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6.1 Maneiras de evitar o compromisso . . . . . . . . . . . . 117
4.6.2 Classes de máquinas de indução . . . . . . . . . . . . . 118
Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5 Máquinas de Corrente Contínua 127
5.1 Modelo Matemático Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2 Equações da Máquina CC em Regime Permanente . . . . . . . 130
Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Referências Bibliográficas 135
Solução dos problemas propostos 137
Capı´tulo1
Introdução
Máquinas podem ser definidas como dispositivos que realizam trabalho
ou, em outras palavras, que convertem energia de uma forma para outra.
Diversos são os tipos de máquinas, dependendo do tipo de energia envolvida
na conversão. No caso das máquinas elétricas, estas ainda podem se dividir
em estacionárias (e.g. transformadores), lineares (e.g. trilhos) e rotativas
(e.g. motores e geradores).
Máquinas

térmicas
mecânicas
.
.
.
elétricas

estacionárias
lineares
rotativas
Neste curso serão estudadas as máquinas elétricas rotativas, que realizam
a conversão entre energia elétrica e mecânica girante. Mais especificamente
será adotada a seguinte nomenclatura:
ˆ Motores: convertem energia elétrica em mecânica;
ˆ Geradores: convertem energia mecânica em elétrica.
Neste tipo de máquina, a conversão entre energia elétrica e mecânica
ocorre através de um campo magnético, vide Figura 1.1, através do qual a
13
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
sistema
elétrico
campo
magnético
sistema
mecânico
I, V T , ω
motor
gerador
Figura 1.1: Conversão de energia em máquinas elétricas rotativas.
energia ora presente em forma de correntes e tensões elétricas (I, V ) é con-
vertida em energia mecânica sob a forma de torque e velocidade (T , ω) e
vice-versa. Por isso, durante este curso estaremos interessados em estabe-
lecer relações matemáticas para tais variáveis de modo a poder analisar a
performance da máquina como um todo.
A classe de máquinas elétricas rotativas é ainda subdividida em uma
grande variedade de tipos de máquinas, como pode ser visto na Figura 1.2.
Cada tipo de máquina possui alguma característica única que a diferencia das
demais, geralmente com relação aos seus aspectos construtivos ou princípio
de operação. Neste curso serão abordadas com detalhes as máquinas de
maior utilizaçãoatualmente: as máquinas síncronas, de indução (também
conhecidas como máquinas assíncronas) e máquinas de corrente contínua
(CC).
O curso é dividido em quatro partes:
1) Conceitos elementares de máquinas: apresenta uma visão geral sobre as
características construtivas de cada máquina abordada e características
de funcionamento comuns a todas;
2) Máquinas síncronas: trata das características de funcionamento e mo-
delagem específicas das máquinas síncronas;
3) Máquinas de indução: contém as características de funcionamento e
modelagem específicas das máquinas de indução;
4) Máquinas de corrente contínua: trata da modelagem e identificação
15
paramétrica específicas das máquinas CC.
CA
Universal
CC
monofásica
polifásica
indução
síncrona
linear
indução
síncrona
gaiola de
esquilo
rotor bobinado
rotor maciço
split-phase
capac. de partida
capac. perman.
polos sombreados
capac. 2 valores
repulsão
histerese
relutância
imãs permanentes
indução
imãs permanentes
de gaiola
rotor bobinado
imãs permanentes
relutância
polos lisos
polos salientes
excit. série
excit. paralela
excit. mista
excit. independ.
imãs permanentes
Figura 1.2: Classificação das máquinas elétricas rotativas.
16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Capı´tulo2
Conceitos Elementares de Máquinas
Máquinas a serem estudadas:
ˆ Máquina síncrona (CA);
ˆ Máquina assíncrona ou de indução (CA);
ˆ Máquina de corrente contínua (CC).
A notação base adotada neste documento pode ser vista na Figura 2.1:
a palavra condutor refere-se a um material condutor qualquer não necessa-
riamente disposto em um formato específico; espira refere-se a um condutor
enrolado com apenas uma volta; bobina refere-se a um grupo de espiras;
enrolamento refere-se a um grupo de bobinas; e fases refere-se a diferentes
enrolamentos não conectados entre si.
condutor espira bobina enrolamento
Figura 2.1: Nomenclatura base.
17
18 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
2.1 Estrutura Básica das Máquinas
Toda máquina rotativa possui duas partes principais, como pode ser visto
na Figura 2.2:
1) Estator: é a parte estacionária e geralmente fica na parte mais externa;
2) Rotor: é a parte móvel, geralmente acoplada ao eixo da máquina.
Estator
Rotor
Entreferro
Eixo
Figura 2.2: Partes fundamentais de uma máquina usual (vista em corte trans-
versal ao eixo).
Tanto no estator quanto no rotor deve haver uma maneira de se produ-
zir e/ou induzir campo magnético. São utilizadas duas formas principais,
dependendo do tipo de máquina:
1) Imãs permanentes: apenas produzem um campo magnético constante,
como na Figura 2.3(a);
2) Enrolamentos: condutores que produzem campo magnético proporci-
onal à corrente que flui por estes, como na Figura 2.3(b), ou onde é
induzida corrente quando submetido a um campo variante.
Os enrolamentos, por sua vez, são divididos em duas classes principais:
2.1. ESTRUTURA BÁSICA DAS MÁQUINAS 19
N
S
N
S
(a) (b)
φ φ(i)
i
Figura 2.3: Campo magnético produzido por (a) imãs permanentes e (b)
enrolamento.
1) Enrolamento de armadura: grupo de bobinas que conduz corrente al-
ternada (CA). É por onde flui maior potência elétrica e portanto tem
os condutores maior dimensionados (não contém imãs).
a) Nas máquinas síncronas a armadura fica no estator;
b) Nas máquinas de corrente contínua a armadura fica no rotor (pro-
blema 1 da máquina CC).
2) Enrolamento de campo: grupo de bobinas que conduz corrente contí-
nua (CC) para produzir um fluxo constante. Pode ser menor dimen-
sionado em geral. Este é o enrolamento que pode ser substituído por
imãs permanentes.
a) Nas máquinas síncronas o campo fica no rotor;
b) Nas máquinas de corrente contínua o campo fica no estator.
E quanto às máquinas de indução?
Devido à operação diferenciada da máquina de indução, onde um enro-
lamento produz fluxo e causa o surgimento de corrente no outro (induzindo
também o surgimento de fluxo produzido por este secundário), não se usa
a terminologia de armadura/campo, mas sim de enrolamento primário (no
20 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
estator) e secundário (no rotor). De certo modo, a máquina de indução pode
ser vista como um transformador cujo secundário gira.
A Figura 2.4 resume a localização dos tipos de enrolamentos para cada
máquina e também o tipo de corrente
1
que esta conduz.
(a) síncrona (b) CC (c) de indução
campo armadura secundário
armadura campo primário
Conduz CC
Conduz CA
Figura 2.4: Localização e tipo de cada enrolamento.
(a) polos salientes (b) polos lisos
Figura 2.5: Tipos de polos do rotor.
Quanto aos tipos de rotor temos os dois principais tipos de construção,
apresentados na Figura 2.5:
1
Lembre-se que corrente contínua (CC) não é o mesmo que corrente constante. Uma
corrente variável, mas que não muda de direção (sinal) é CC.
2.2. MÁQUINAS ELEMENTARES 21
1) Polos salientes: máquinas com polos salientes são usadas para baixas
velocidades e máquinas de grande diâmetro (e.g. hidrelétricas), por
dois motivos principais:
a) O formato irregular causa maior atrito com o ar, aumentando as
perdas de energia e o ruído sonoro;
b) É mais difícil contruí-las de modo a suportar o stress de altas
velocidades.
2) Polos lisos: usados em velocidades mais altas e eixo de menor diâmetro
(e.g. turbinas a gás).
a) Robustez mecânica e pouco ruído;
b) Distribuição do fluxo mais próxima de senoidal;
c) Porém, mais difícil de realizar bobinagem em máquinas muito
grandes.
2.2 Máquinas Elementares
Máquina elementar é o nome dado à configuração mais simples possível
de uma máquina elétrica. Muitas vezes podemos desenvolver equações que
representam o comportamento de uma máquina elementar e adaptá-las facil-
mente para máquinas mais complexas. Em geral, máquinas elementares não
são encontradas na prática.
2.2.1 Máquinas CA
Nas figuras a seguir são apresentadas uma máquina síncrona elementar de
polos lisos (Figura 2.6) e também máquinas com complexidade aumentada
em alguma de suas características (Figuras 2.7-2.10). Junto de cada máquina
apresenta-se a distribuição aproximada de fluxo (B) no entreferro ao redor do
eixo, devido à alimentação do enrolamento de campo com corrente contínua,
e a respectiva tensão induzida nos terminais do enrolamento de armadura
(ea).
Para exemplificar o funcionamento da máquina, assuma que está sendo
operada como gerador, ou seja, uma força externa é aplicada ao eixo. Supo-
nha também que esta força externa mantém o eixo girando com uma veloci-
dade constante (n, em rpm).
22 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
θa
B [T]
0 pi 2pi
θa [rad]
ea [V]
0
60
2n
60/n
t [s]
• Polos lisos
• Dois polos
• Monofásica
Figura 2.6: Máquina síncrona elementar de polos lisos. As setas representam
os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do campo (em azul).
Embora a densidade de fluxo apresentada na Figura 2.6 está com sua
distribuição como uma onda quadrada com relação a θa, o fluxo concatenado
pela fase do estator (λ) varia cossenoidalmente com relação ao tempo t a
medida que o eixo gira. Assim pela lei de Faraday, temos ea = dλ/dt senoidal.
A Figura 2.7 apresenta a máquina síncrona elementar com o rotor subs-
tituído por um de polos salientes. Note que se as faces dos polos não cobrem
totalmente o rotor, a densidade de fluxo B que corta as espiras do enrola-
mento de armadura apresenta partes constantes, o que leva a uma deformação
na tensão induzida ea.
A extensão para uma máquina de quatro polos é mostrada na Figura 2.8.
Perceba que a cada meia volta do rotor, a máquina volta a estar idêntica à
sua configuração inicial. Emoutras palavras, com meia volta mecânica tem-
se uma volta elétrica completa. De maneira mais genérica, considerando um
2.2. MÁQUINAS ELEMENTARES 23
θa
B [T]
0 pi 2pi
θa [rad]
ea [V]
0
60
2n
60/n
t [s]
• Polos salientes
• Dois polos
• Monofásica
Figura 2.7: Máquina síncrona elementar de polos salientes. As setas repre-
sentam os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do campo (em
azul).
número qualquer de polos temos a relação entre o ângulo elétrico (θe [rad]) e
o ângulo mecânico (θa [rad]) dada por
θe =
(
polos
2
)
θa (2.1)
e de maneira similar, temos a relação entre velocidade (frequência) angular
elétrica (ωe [rad/s]) e a velocidade angular mecânica (ωm [rad/s]) dada por
ωe =
(
polos
2
)
ωm. (2.2)
Como usualmente expressamos as frequências elétricas (f) em Hz e as
velocidades mecânicas (n) em rpm, podemos incluir a conversão de unidades
24 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
θa
B [T]
0 pi 2pi
θa [rad]
ciclo elétrico
ciclo mecânico
ea [V]
0
60
2n
60/n
t [s]
• Polos lisos
• Quatro polos
• Monofásica
Figura 2.8: Máquina síncrona de quatro polos.
na relação (2.2), obtendo
n =
(
120
polos
)
f. (2.3)
A Equação (2.3) implica que se a máquina tem mais polos, ela pode girar
mais devagar para produzir uma mesma frequência elétrica.
Exemplo 1 Na usina hidrelétrica de Itaipu, tem-se 20 máquinas síncronas
ao todo (cujo rotor está exemplificado na Figura 2.9). Entretanto, as 10
máquinas do lado paraguaio geram tensão em 50Hz e tem 66 polos, enquanto
as do lado brasileiro geram 60Hz com 78 polos. Com que velocidade (em
rpm) giram as máquinas de cada país?
Solução: Basta utilizar a fórmula da Equação (2.3), resultando em
nPY =
(
120
66
)
50 = 90, 9 rpm, (2.4)
2.2. MÁQUINAS ELEMENTARES 25
Figura 2.9: Instalação do rotor de polos salientes da usina hidrelétrica Itaipu.
Fonte: [3].
nBR =
(
120
78
)
60 = 92, 3 rpm. (2.5)
�
Finalmente temos o caso da máquina síncrona trifásica, apresentado na
Figura 2.10. Note que a diferença principal com o caso elementar é a presença
de enrolamentos independentes defasados espacialmente de 120
◦
elétricos en-
tre si. De maneira genérica para uma máquina polifásica qualquer com um
número de fases igual a nfases, tem-se uma defasagem elétrica de 360
◦/nfases
entre fases adjacentes.
Observe também na Figura 2.10 que as tensões geradas em cada fase
estão defasadas temporalmente de 120
◦
elétricos entre si. Como será visto
mais adiante, esta característica de defasagem tanto espacial quanto temporal
26 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
simultaneamente é fundamental para o funcionamento da máquina polifásica
como motor.
θa
B [T]
0 pi 2pi
θa [rad]
[V]
ea eb ec
0 60/n
t [s]
• Polos lisos
• Dois polos
• Trifásica
Figura 2.10: Máquina síncrona trifásica. As setas representam os eixos mag-
néticos de cada fase da armadura (em vermelho, verde e amarelo) e do campo
(em azul).
2.2. MÁQUINAS ELEMENTARES 27
2.2.2 Máquina CC
Ao contrário da máquina síncrona, a geração do campo é fixada na car-
caça (estator). Para que a máquina gire sem parar (como motor) usando
corrente contínua é necessário o uso de um comutador. O comutador é ape-
nas uma estratégia de conexão entre o enrolamento do rotor e sua fonte
de alimentação de modo a inverter o sentido da corrente no rotor automa-
ticamente durante a rotação. Além disso, quando a máquina opera como
gerador, a tensão induzida internamente na armadura (rotor) é alternada,
mas o mesmo comutador faz com que a polaridade disponível externamente
seja contínua (funciona como um retificador).
θa
B [T]
0 pi 2pi
θa [rad]
ea [V] (interna)
0
60
2n
60/n
t [s]
• Polos salientes
• Dois polos
• Monofásica (CC)
Figura 2.11: Máquina CC elementar de polos salientes. As setas representam
os eixos magnéticos da armadura (em vermelho) e do campo (em azul).
Note na Figura 2.11 que a tensão induzida (internamente) na armadura
da máquina CC elementar é a mesma induzida na armadura da máquina
síncrona elementar, pois ambas têm o mesmo movimento relativo entre ar-
28 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
madura e campo e portanto concatenam o mesmo fluxo. Mais detalhes sobre
a máquina CC são apresentados no Capítulo 5.
2.2.3 Outras características construtivas
A seguir algumas características que também aumentam o grau de com-
plexidade de uma máquina real com relação à máquina elementar.
1) Distribuição do enrolamento: o enrolamento pode ser concentrado ou
distribuído, como na Figura 2.12. Com o enrolamento distribuído
obtém-se uma distribuição mais senoidal da densidade de fluxo ao longo
do entreferro. Também com este intuito, a distribuição pode ser feita
com um número diferente de bobinas em cada ranhura (mais bobinas
no centro da fase geram uma distribuição mais senoidal da densidade
de fluxo).
(a) concentrado (b) distribuído
Figura 2.12: Tipos de distribuição dos enrolamentos.
2) Nível de camada: pode ser camada simples ou dupla, de acordo com
a quantidade de diferentes bobinas alocadas na mesma ranhura. Com
a camada dupla, mostrada na Figura 2.13, tem-se flexibilidade para
montagem e possibilidade de fazer passo encurtado (vide próximo item).
3) Tamanho de passo: o passo pode ser pleno, quando as bobinas têm seus
lados colocados em ranhuras dispostas a 180◦ elétricos uma da outra,
2.3. FMMDE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS29
(a) simples (b) dupla
Figura 2.13: Tipos de camada.
ou encurtado, quando os lados das bobinas estão em ranhuras mais pró-
ximas entre si, como ilustrado na Figura 2.14. Com o encurtamento do
passo, também pode-se obter uma distribuição mais senoidal da densi-
dade de fluxo. No caso de máquinas polifásicas, é possível realizar passo
encurtado sobrepondo diferentes fases utilizando-se camada dupla. A
camada dupla também é necessária para manter simetria espacial do
enrolamento. O tamanho do encurtamento do passo pode ser referido
como sendo de x graus ou de n ranhuras, com x ou n substituído por
seu valor correspondente.
Exercício 1 Preencha as características pedidas da máquina na Figura 2.15.
�
2.3 FMM de Enrolamentos Concentrados e Dis-
tribuídos
Visando obter mais adiante uma equação para a tensão induzida em um
gerador ou para o torque eletromagnético produzido por um motor, um dos
caminhos é conhecer a Força MagnetoMotriz (FMM) presente no entreferro
da máquina. Lembrando que a FMM em um circuito magnético é análoga
30 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
(a) pleno (b) encurtado
Figura 2.14: Tipos de passo.
à Força EletroMotriz (FEM) em um circuito elétrico, como mostrado na
Figura 2.16.
Primeiramente, analisaremos o caso da máquina elementar (enrolamento
concentrado, dois polos, passo pleno, monofásica) da Figura 2.17. Sabe-se
que a FMM (F ) produzida por uma bobina de N espiras conduzindo uma
corrente i tem amplitude dada por
F = N · i. (2.6)
Portanto, observando um caminho de fluxo da Figura 2.17 podemos ver que
a FMM (2.6) se divide entre os dois trechos em que a linha de fluxo corta
o entreferro. Note que este enrolamento pode ser apresentado de maneira
planificada como na Figura 2.18, onde também é mostrada a distribuição da
FMM ao longo do entreferro.
Decompondo a onda quadrada em série, temos
F = F1 + F3 + F5 + F7 + · · · (harmônicas ímpares) (2.7)
onde apenas as harmônicas de ordem ímpar compõem a FMM pois as de
ordem par se cancelam em ondas alternadas simétricas. Lembrando que
cada harmônica possui uma amplitude e frequência diferente das demais, a
FMM decomposta apresenta elevado grau de complexidade para tratamentomatemático.
2.3. FMMDE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS31
• Tipo:
• N◦ de ranhuras:
• N◦ de polos:
• Tipo de polos:
• Distribuição:
• Camada:
• Passo:
• N◦ de fases:
Figura 2.15: Corte transversal da máquina para o Exercício 1.
Como já mencionado anteriormente, uma máquina com maior grau de
complexidade em seus aspectos construtivos implica em uma distribuição
mais próxima de senoidal da densidade de fluxo e, consequentemente, da
FMM. Além de uma distribuição mais senoidal da FMM resultar em uma
máquina que opere mais suavemente e gere tensões menos ruidosas, isso
torna possível assumir que a FMM pode ser aproximada pela 1
a
harmônica
(fundamental), isto é,
F ≈ F1 = 4
pi
Ni
2
cos (θa). (2.8)
A harmônica fundamental para o caso da máquina elementar também é mos-
trada na Figura 2.18. Note que para a máquina elementar, a harmônica
fundamental não é uma boa aproximação
2
da FMM real (quadrada).
Considere agora o caso de uma máquina mais complexa, como a ilustrada
na Figura 2.19. Assuma que todas as 8 bobinas da máquina da Figura 2.19
tenham N espiras.
2
O quão próximo um sinal está de sua componente fundamental pode ser mensurado
calculando-se sua Taxa de Distorção Harmônica (TDH). Quanto menor a TDH, melhor.
Para o caso de uma onda quadrada, tem-se uma TDH de 48.4%.
32 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
+
-
+
-
FMM
φ
R FEM
i
R
Figura 2.16: Analogia entre FMM em um circuito magnético e FEM em um
circuito elétrico.
θa
eixo magnético
da fase a
Figura 2.17: Distribuição da FMM em uma máquina elementar.
Na Figura 2.18 pode ser vista a distribuição planificada do enrolamento e
a sua respectiva FMM total. Note que a FMM total é simplesmente a soma
das FMMs de cada bobina.
Além disso, é possível verificar que apenas distribuindo melhor o enrola-
mento, já obtém-se uma FMM mais próxima da senoidal. Perceba que há
uma longa parte plana próxima aos picos na FMM real devido ao grande es-
paço entre os lados positivo e negativo das bobinas da fase. Esse efeito pode
ser mitigado com o encurtamento de passo. Finalmente, com um número
maior de espiras nas bobinas que ficam mais no centro da distribuição, do
que o número de espiras nas bobinas mais externas, também obtém-se uma
FMM mais senoidal.
De maneira genérica, para a fase a de uma máquina polifásica, de múlti-
plos polos, com Nfase espiras ao todo na fase, percorrida por uma corrente
2.3. FMMDE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS33
F
4
pi
N ·i
2
N ·i
2
−N ·i
2
θa [rad]
2pipi0−pi
Figura 2.18: Distribuição planificada da FMM em uma máquina elementar
(em azul) e sua respectiva harmônica fundamental (em verde tracejado).
θa
eixo magnético
da fase a
+a
−a
Figura 2.19: Máquina com enrolamento distribuído, camada dupla e passo
pleno para análise da FMM.
34 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
F
4Ni
2Ni
−2Ni
−4Ni
θa [rad]
pi0−pi
Figura 2.20: Distribuição planificada da FMM da máquina da Figura 2.19
(em azul) e sua respectiva harmônica fundamental (em verde tracejado).
ia, tem-se
F ≈ F1 = 4
pi
(
kaNfase
polos
)
· ia · cos
(
polos
2
· θa
)
, (2.9)
onde
ˆ ka é o fator de enrolamento do estator da máquina;
ˆ Nfase é o número total de espiras da fase.
O fator de enrolamento nada mais é do que uma constante de propor-
cionalidade que depende da configuração de construção da máquina (distri-
buição dos enrolamentos e encurtamento do passo). Quanto maior for este
fator, maior a contribuição da harmônica fundamental, com relação às demais
harmônicas (portanto, melhor). Seu valor máximo é 1.
Graças ao fator de enrolamento, podemos simplificar a análise de enrola-
mentos distribuídos e/ou encurtados, como se fosse um enrolamento concen-
trado de passo pleno de kaNfase espiras.
Exemplo 2 ([1, p.190]) O enrolamento da fase a da armadura de dois po-
los da Figura 2.19 consiste em 8 bobinas, de passo pleno e N espiras ligadas
em série com cada ranhura contendo duas bobinas. Há um total de 24 ra-
nhuras e assim cada ranhura está separada por 360◦/24 = 15◦. Supondo que
2.3. FMMDE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS35
o ângulo θa seja medido a partir do eixo magnético da fase a de modo que as
quatro ranhuras do lado �+a� estejam em θa = 67, 5
◦
; 82, 5◦; 97, 5◦; 112, 5◦.
Os lados opostos (−a) estão em −112, 5◦; −97, 5◦; −82, 5◦; −67, 5◦, respec-
tivamente. Assuma que este enrolamento está conduzindo uma corrente ia.
a) Escreva uma expressão para a FMM espacial fundamental produzida
pelas duas bobinas cujos lados estão em θa = 112, 5
◦
e −67, 5◦.
b) Repita o item anterior para as que estão em 67, 5◦ e −112, 5◦.
c) Escreva uma expressão para a FMM fundamental da fase completa.
d) Determine o fator de enrolamento ka para este enrolamento distribuído.
Solução:
a) Primeiramente, o eixo magnético da bobina está em
112, 5◦ − 67, 5◦
2
= 22, 5◦ (2.10)
Portanto, por comparação com a Equação (2.8), notando que o valor
de pico da FMM desta bobina ocorre em 22, 5◦ e que a ranhura contém
2N espiras, temos
F22,5◦ =
4
pi
(
2N
2
)
ia cos (θa − 22, 5◦). (2.11)
b) Neste caso, apenas a localização do eixo magnético da bobina é alterado,
então temos
F−22,5◦ =
4
pi
(
2N
2
)
ia cos (θa + 22, 5
◦). (2.12)
c) A FMM fundamental da fase completa (Fa) é a soma das FMMs indi-
viduais de todas as bobinas, ou seja,
Fa = F22,5◦ + F7,5◦ + F−7,5◦ + F−22,5◦ (2.13)
36 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
Fa =
4
pi
(
2N
2
)
ia [cos (θa − 22, 5◦) + cos (θa − 7, 5◦)
+ cos (θa + 7, 5
◦) + cos (θa + 22, 5◦)] . (2.14)
Sabendo que
cos (a± b) = cos (a) cos (b)∓ sen(a) sen(b), (2.15)
podemos reescrever (2.14) como
Fa =
4
pi
(
2N
2
)
ia [2 cos (22, 5
◦) + 2 cos (7, 5◦)] cos (θa) (2.16)
e finalmente
Fa =
4
pi
(
7, 66N
2
)
ia cos (θa). (2.17)
d) Por comparação entre (2.17) e a fórmula genérica da Equação (2.9),
temos
kaNfase = 7, 66N (2.18)
e lembrando que para esta máquina Nfase = 8N ,
ka =
7, 66N
8N
= 0.958 (2.19)
�
θa
eixo magnético
da fase a
+a
−a
Figura 2.21: Enrolamento distribuído para o Exercício 2. As bobinas em
azul claro têm 6 espiras e as bobinas em azul escuro têm 8 espiras.
2.4. ONDAS GIRANTES EM MÁQUINAS CA 37
Exercício 2 (Adaptado de [1, p.191]) Calcule o fator de enrolamento
para a mesma configuração do Exemplo 2 se o número de espiras nas quatro
bobinas dos dois pares mais externos de ranhuras for igual a 6 e dos dois
pares mais internos for 8, como mostrado na Figura 2.21. �
2.3.1 FMM do enrolamento do rotor
θr
eixo magnético
do rotor
Figura 2.22: Rotor com enrolamento distribuído.
De maneira análoga ao caso anterior, para o enrolamento do rotor apre-
sentado na Figura 2.22 temos sua FMM (Fr) dada por
Ff ≈ 4
pi
(
kfNf
polos
)
· If · cos
(
polos
2
· θr
)
, (2.20)
onde
ˆ kf é o fator de enrolamento do rotor;
ˆ Nf é o número total de espiras do rotor;
ˆ If é a corrente no rotor.
2.4 Ondas Girantes em Máquinas CA
Sabendo que o motor elétrico tem seu princípio de funcionamento base-
ado na atração entre dois campos magnéticos, esta seção tem como objetivo
38 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
mostrar como é feita a criação de um campo magnético girante e de ampli-
tude constante. O campo girante tem como objetivo o movimento contínuo
do rotor e a amplitude constante garante um giro suave sem oscilações na
aceleração angular. A análise a seguir é realizada através do equacionamento
da FMM resultante na máquina e será suposto a partir deste ponto que a
FMM é gerada por enrolamentos bem distribuídos, podendo ser aproximadapela componente fundamental (distribuição senoidal da FMM ao longo do
entreferro).
2.4.1 Caso monofásico
Como visto anteriormente, para o caso monofásico temos a FMM pro-
duzida pela fase (armadura) dada pela Equação (2.9). Considere agora as
situações a seguir.
ˆ Se ia = Im (constante), então a FMM é imóvel ;
ˆ Se ia = Im cos (ωet), então a FMM se torna pulsante.
Fa =
4
pi
(
kaNfase
polos
)
Im︸ ︷︷ ︸
Fpico
· cos (ωet)︸ ︷︷ ︸
varia com
o instante
temporal
· cos
(
polos
2
θa
)
︸ ︷︷ ︸
varia com a
posição espacial
do eixo mag.
, (2.21)
Note que na primeira situação, se há um campo fixo produzido no enro-
lamento de campo, o rotor se alinha com o campo da armadura e a máquina
para.
Na segunda situação, a FMM é pulsante mas ainda não girante, ou seja,
a FMM muda de sentido, mas apenas em uma única direção (o pico da FMM
ocorre sempre no mesmo valor de θa). Caso os campos estejam inicialmente
alinhados, o rotor pode não girar (especialmente pela presença de atrito).
Caso o rotor não esteja alinhado, pode girar (e continuar o giro por inércia)
desde que o sentido seja invertido antes do próximo alinhamento. Entretanto,
o rotor estará sujeito à forças não constantes, oscilação de aceleração e de
velocidade de rotação e a direção da rotação é determinada pela condição
inicial.
2.4. ONDAS GIRANTES EM MÁQUINAS CA 39
Todas as características anteriores são os principais problemas das má-
quinas monofásicas. Por isso, normalmente estas máquinas necessitam de
alguma forma auxiliar de partida e de criação de um campo girante.
2.4.2 Caso trifásico
Para o caso de um enrolamento trifásico, considere as situações a seguir.
ˆ Se θa = θb = θc (não há defasagem espacial entre as fases) e/ou ia =
ib = ic (não há defasagem temporal entre as correntes), então a FMM
resultante é nula;
ˆ Se as defasagens espacial e temporal são distribuídas simetricamente,
ou seja
θb = θa − 120◦
θc = θa + 120
◦ ,
ia = Im cos (ωet)
ib = Im cos (ωet− 120◦)
ic = Im cos (ωet+ 120
◦)
(2.22)
então
Fa = Fpico cos (ωet) cos
(
polos
2
θa
)
, (2.23)
Fb = Fpico cos (ωet− 120◦) cos
(
polos
2
θa − 120◦
)
, (2.24)
Fc = Fpico cos (ωet+ 120
◦) cos
(
polos
2
θa + 120
◦
)
. (2.25)
Lembrando da relação (2.15), a FMM resultante pode ser reescrita
como
Fresultante = Fa + Fb + Fc =
3
2
Fpico cos
(
polos
2
θa − ωet
)
. (2.26)
O campo girante gerado por uma máquina trifásica alimentada com cor-
rentes trifásicas pode ser visto
3
na Figura 2.23.
3
A Figura 2.23 é uma animação do tipo GIF. Pode requerer visualização com o software
Adobe Acrobat atualizado.
40 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
Figura 2.23: Onda girante em máquinas CA trifásicas. A direção de pico da
FMM pulsante de cada fase e a resultante trifásica girante são mostradas à
esquerda e as respectivas correntes aplicadas à direita.
2.5. TENSÃO INDUZIDA 41
Note que o valor de pico resultante
(
3
2
Fpico
)
aparece nos valores de θa tais
que cos
(
polos
2
θa − ωet
)
é unitário, ou seja
θa =
(
2
polos
)
ωet. (2.27)
Isso implica que a direção do pico da FMM resultante varia com o tempo (é
girante) e tem velocidade angular dada por
ωs =
(
2
polos
)
ωe. (2.28)
onde
ˆ ωe é a frequência angular elétrica aplicada;
ˆ ωs é a velocidade angular espacial do pico da FMM resultante ao longo
do entreferro.
Como ωs está sincronizada com ωe através da Equação (2.28), esta é conhe-
cida como velocidade angular síncrona (por isso o subíndice s).
Finalmente, a Equação (2.28) pode ser reescrita como
ns =
(
120
polos
)
fe (2.29)
onde ns é a velocidade síncrona (em rpm) e fe é a frequência elétrica aplicada
(em Hz).
2.5 Tensão Induzida
Nesta seção estamos interessados em deduzir uma equação para a tensão
induzida no enrolamento de uma fase da armadura devido ao movimento de
um campo magnético no enrolamento de campo, vide Figura 2.24.
De acordo com a Equação (2.20), o valor de pico da FMM produzida no
enrolamento de campo é dado por
Ff(pico) =
4
pi
(
kfNf
polos
)
If (2.30)
onde
42 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
θr = ωmt
eixo magnético
do enr. de campo
eixo magnético
da fase a
Figura 2.24: Máquina elementar para dedução da tensão induzida.
ˆ kf é o fator de enrolamento do campo da máquina;
ˆ Nf é o número total de espiras do enrolamento de campo;
ˆ If é a corrente de campo (CC).
A densidade de fluxo (B) em uma máquina de múltiplos polos e entreferro
pequeno e uniforme é dada por
B =
µ0
g
· Ff (2.31)
então
Bpico =
4
pi
· µ0
g
(
kfNf
polos
)
· If (2.32)
onde
ˆ µ0 é a permeabilidade magnética do ar (4pi × 10−7);
ˆ g é o comprimento do entreferro.
Assumindo uma distribuição da densidade de fluxo senoidal ao longo do
entreferro:
B = Bpico · cos
(
polos
2
θr
)
. (2.33)
2.5. TENSÃO INDUZIDA 43
Sabendo que a integral da densidade de fluxo ao longo da área do polo é
o próprio fluxo por polo (Φp) [Wb]
Φp =
∫
polo
B · dA (2.34)
dC
dA
l
r
pi
polos
−pi
polos
Figura 2.25: Representação de um polo de um rotor elementar (metade do
cilindro no caso de dois polos).
Analisando o formato do rotor na Figura 2.25, onde está sendo assumido
θr = 0 no centro do polo, temos:
dA = l · dC = l · r · dθr (2.35)
Φp =
∫ pi
polos
−pi
polos
B · r · l · dθr (2.36)
Φp = Bpico · r · l
∫ pi
polos
−pi
polos
cos
(
polos
2
θr
)
dθr (2.37)
Φp = Bpico · r · l ·
(
2
polos
)
·
[
sen
(
polos
2
· θr
)] pi
polos
−pi
polos
(2.38)
Φp =
(
2
polos
)
· 2 ·Bpico · r · l (2.39)
onde Φp é o fluxo produzido por polo no enrolamento de campo. Mas para
a obtenção da expressão da tensão induzida em uma fase do enrolamento
44 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
de armadura é necessário conhecer o fluxo concatenado pela fase (λa fluxo
concatenado pela fase a, por exemplo).
A medida que o rotor gira (devido a uma força externa aplicada) com uma
velocidade angular mecânica ω, o fluxo concatenado do rotor pelo estator
varia senoidalmente.
λpicoa = ka ·Na · Φp (2.40)
λa = ka ·Na · Φp · cos
(
polos
2
ωmt
)
(2.41)
O produto ka ·Na, onde Na é o número total de espiras da fase a, reduz a
análise de um enrolamento distribuído para a de um enrolamento concentrado
de passo pleno. Pela lei de Faraday, a tensão induzida na fase a devido ao
campo f é:
eaf =
dλa
dt
= ka ·Na · Φp · d
dt
[
cos
(
polos
2
ωm︸ ︷︷ ︸
ωe
t
)]
(2.42)
eaf = −ωe · ka ·Na · Φp · sen(ωet) (2.43)
A tensão induzida, apresentada na Equação (2.43), também é conhecida
como Força Contra-Eletromotriz (FCEM).
Exemplo 3 ([1, p.209]) Um gerador de 60 Hz síncrono trifásico de dois
polos ligados em Y e rotor cilíndrico tem um enrolamento de campo com
Nf espiras distribuídas e um fator de enrolamento kf . O enrolamento de
armadura tem Na espiras por fase e fator de enrolamento ka. O comprimento
do entreferro é g, e o raio médio do entreferro é r. O comprimento ativo do
enrolamento de armadura é l. As dimensões e os dados do enrolamento são:
Nf = 68 espiras em série kf = 0, 945
Na = 18 espiras em série/fase ka = 0, 933
r = 0, 53 m g = 4, 5 cm
l = 3, 8 m
O rotor é acionado por uma turbina a vapor a uma velocidade de 3600 rpm.
Para uma corrente contínua de campo de If = 720A, calcule:
2.5. TENSÃO INDUZIDA 45
a) A FMM fundamental de pico Ff(pico) produzida pelo enrolamento de
campo;
b) A densidade de fluxo fundamental de pico Bpico no entreferro;
c) O fluxo fundamental por polo Φp;
d) O valor eficaz da tensão gerada em circuito aberto na armadura.
Solução:a)
Ff(pico) =
4
pi
·
(
kf ·Nf
polos
)
· If (2.44)
Ff(pico) =
4
pi
·
(
0, 945 · 68
2
)
· 720 (2.45)
Ff(pico) = 2, 94× 104 A · espiras/polos (2.46)
b)
Bpico =
µ0
(
Ff(pico)
)
g
=
4pi · 10−7 · 2, 94 · 104
4, 5 · 10−2 = 0, 821T (2.47)
Devido ao efeito das ranhuras que contêm o enrolamento de armadura,
a maioria do fluxo de entreferro está confinada aos dentes do estator. A
densidade de fluxo dos dentes no centro de um polo é mais elevada que
o valor calculado na parte b, provavelmente cerca de duas vezes mais.
Em um projeto detalhado, essa densidade de fluxo deve ser calculada
para se determinar se os dentes estão excessivamente saturados.
c)
Φp = 2 ·Bpico · l · r (2.48)
Φp = 2 · 0, 821 · 3, 8 · 0, 53 (2.49)
Φp = 3, 31 Wb (2.50)
46 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
d) A partir da Equação (2.43) temos que o valor de pico de eaf é dado
por ωe · ka ·Na · Φp. Como é um sinal senoidal, seu valor eficaz é então
dado pelo valor máximo dividido por
√
2, ou seja:
Eaf(fase) =
1√
2
(2pif) · ka ·Na · Φp (2.51)
Eaf(fase) =
1√
2
2pi · 60 · 0, 933 · 18 · 3, 31 (2.52)
Eaf(fase) = 14, 8 kV (valor eficaz) (2.53)
A tensão de linha é, portanto:
Eaf(linha) =
√
3 · 14, 8 kV (2.54)
Eaf(linha) = 25, 7 kV (valor eficaz) (2.55)
�
2.6 Conjugado Eletromagnético
Conjugado (torque) eletromagnético é a força angular que busca fazer dois
campos magnéticos se alinharem. Pode ser obtido através de duas análises:
ˆ do ponto de vista do circuito acoplado;
ˆ do ponto de vista do campo magnético.
Considerando apenas a primeira e supondo que os enrolamentos sejam
substituídos por indutores. O fluxo concatenado por cada indutor depende
de sua indutância própria e da mútua (gerada pelo outro indutor).
2.6. CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO 47
+ -
+
-
ia
if
Va
Vf
LaLf Ra
Rf
Figura 2.26: Representação alternativa simplificada.
A indutância mútua tem seu máximo quando os indutores estão alinhados
(θe = 0 ou θe = 2pi), é zero quando θe = ±pi2 e está com máximo negativo
quando θe = ±pi, ou seja:
Ler(θe) = Ler · cos(θe) (2.56)
Onde Ler é o valor de pico (constante) da indutância mútua Ler(θe) e esta
depende de θe pois a cada ciclo elétrico o circuito volta a se repetir. Além
disso,
Ler(θe) = Lre(θe) (2.57)
É suposto que tem-se:
ˆ Ondas senoidais da FMM;
ˆ Entreferro pequeno e uniforme (polos lisos com enrolamento bem dis-
tribuído e efeito de espraiamento desprezível).
Lembrando que
θe =
(
polos
2
)
θm,
o fluxo concatenado λ e a corrente i que percorre uma bobina (indutor) são
relacionados pelo valor da indutância, segundo
λ = L(θ) · i (2.58)
48 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
Tal relação é válida se as suposições anteriores são satisfeitas. Para a
máquina elementar, os fluxos concatenados no estator e no rotor são:
λe = Lee · ie + Ler(θe) · ir (2.59)
λr = Lrr · ir + Lre(θe) · ie (2.60)
Reescrevendo:
λe = Lee · ie + Ler(θe) · ir · cos(θe) (2.61)
λr = Lrr · ir + Ler(θe) · ie · cos(θe) (2.62)
Pela Lei de Faraday, tem-se:
ve = Re · ie + dλe
dt
(2.63)
vr = Rr · ir + dλr
dt
(2.64)
Observa-se que quando o rotor está girando, θe varia no tempo com velo-
cidade we =
dθe
dt
, então:
ve = Re · ie + Lee · die
dt
+ Ler · cos(θe) · dir
dt
− Ler · ir · sen(θe) · dθe
dt
(2.65)
vr = Rr · ir + Lrr · dir
dt
+ Ler · cos(θe) · die
dt
− Ler · ie · sen(θe) · dθe
dt
(2.66)
dθe
dt
= we =
polos
2
wm (2.67)
O conjugado pode ser obtido derivando-se a energia (ou a co-energia)
armazenada no campo magnético com relação ao ângulo mecânico wm. Lem-
brando que em um sistema magnético linear, a energia e a co-energia são
numericamente iguais.
2.6. CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO 49
1
2
· λ
2
L︸ ︷︷ ︸
Wcampo
(energia)
=
1
2
· Li2︸ ︷︷ ︸
W ′campo
(co-energia)
(2.68)
De maneira genérica, para um sistema com dois enrolamentos, ou seja,
uma máquina monofásica (um enrolamento no estato e um no rotor), a co-
energia é:
W ′campo =
1
2
· L11(θ) · i21 +
1
2
· L22(θ) · i22 + L12(θ) · i2 · i1 (2.69)
Por analogia, tem-se para a máquina monofásica:
W ′campo =
1
2
· Lee · i2e +
1
2
· Lrr(θ) · i2r + Ler · ie · ir · cos(θe) (2.70)
Então, o conjugado pode ser escrito como:
T1φ =
d
dθm
W ′campo (2.71)
T1φ = −
(
polos
2
)
· Ler · ie · ir · sen
(
polos
2
· θm
)
(2.72)
T1φ = −
(
polos
2
)
· Ler · ie · ir · sen(θe) (2.73)
Note na Equação (2.73) que o conjugado em uma máquina monofásica varia
senoidalmente com a posição do rotor. Em outras palavras, não é produzido
conjugado útil que acelere a máquina sempre no mesmo sentido.
2.6.1 Conjugado em máquinas trifásicas
Considerando agora uma máquina com múltiplos enrolamentos no estator
(múltiplas fases). Cada fase tem sua indutância própria, uma indução mútua
entre a fase (estator) e o enrolamento de campo (rotor) e ainda uma mútua
com cada uma das outras fases.
50 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
As únicas indutâncias que não variam em função do ângulo são as indu-
tâncias próprias, de todos os enrolamentos, assim como as mútuas fase-fase
(que estão fixas no espaço uma em relação à outra) são constantes.
Para a obtenção do conjugado basta usar a co-energia de todos os campos
magnéticos somados.
Exemplo 4 ([1, p.216]) Considere uma máquina síncrona trifásica com
um entreferro uniforme. Suponha que as indutâncias próprias e mútuas do
enrolamento de armadura sejam constantes:
Laa = Lbb = Lcc , Lab = Lbc = Lca. (2.74)
Do mesmo modo, suponha que a indutância própria Lff do enrolamento
de campo seja constante. Já as indutâncias mútuas entre o campo e a arma-
dura variam com o ângulo entre os eixos magnéticos campo-fase.
Laf (θm) = Lef · cos
(
polos
2
· θm
)
(2.75)
Lbf (θm) = Lef · cos
(
polos
2
· θm − 120◦
)
(2.76)
Lcf (θm) = Lef · cos
(
polos
2
· θm + 120◦
)
(2.77)
Mostre que quando o campo é excitado com a corrente constante If e a
armadura é excitada com correntes trifásicas equilibradas da forma:
ia = Im · cos(wet+ δ) (2.78)
ib = Im · cos(wet− 120◦ + δ) (2.79)
ic = Im · cos(wet+ 120◦ + δ) (2.80)
Então o conjugado será constante se o rotor girar com velocidade síncrona.
Solução: Calculando a co-energia:
W ′campo =
W ′cte︷ ︸︸ ︷
1
2
Lff i
2
f +
1
2
Laai
2
a +
1
2
Lbbi
2
b +
1
2
Lcci
2
c + Labiaib + Lbcibic + Lcaicia
+ Laf (θm) · iaif + Lbf (θm) · ibif + Lcf (θm) · icif (2.81)
2.6. CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO 51
W ′campo = W
′
cte + LefIfIm
[
cos
(
polos
2
θm
)
cos(wet+ δ)
+ cos
(
polos
2
θm − 120◦
)
cos(wet− 120◦ + δ)
+ cos
(
polos
2
θm + 120
◦
)
cos(wet+ 120
◦ − δ)
]
(2.82)
Usando a simplificação (2.15), tem-se:
W ′campo = W
′
cte + 3LefImIf cos
(
polos
2
θm − wet− δ
)
(2.83)
Calculando o conjugado:
T3φ =
d
dθm
·W ′campo (2.84)
T3φ = −3
2
·
(
polos
2
)
· LefImIf sen
(
polos
2
θm − wet− δ
)
(2.85)
Se o rotor girar na velocidade síncrona (velocidade mecânica respectiva à
velocidade elétrica a aplicada pelas correntes), então
ws =
(
2
polos
)
we. (2.86)
Para wm = ws, tem-se:
θm = wst =
(
2
polos
)
wet (2.87)
Portanto,
T3φ =
3
2
·
(
polos
2
)
· LefImIf sen(δ) (2.88)
onde nota-se que T3φ é constante se δ é constante. A curva de T3φ versus δ
é apresentada na Figura 2.27. �
52 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
δ
Motor
Gerador
T
Tmax
−Tmax
−90◦ 90◦
Figura 2.27: Torque produzido em máquina síncrona trifásica em função do
ângulo de carga δ.
2.6.2 Perdas de eficiência em máquinas
Em máquinas elétricas temos perdaselétricas, mecânicas e magnéticas
normalmente divididas nas seguintes categorias:
1) Perdas elétricas (ou no cobre):
ˆ perdas no enrolamento de armadura: Rai
2
a;
ˆ perdas no enrolamento de campo (se houver): Rf i
2
f .
2) Perdas rotacionais:
(a) Perdas mecânicas (atrito):
ˆ atrito nos mancais;
ˆ atrito nas escovas;
ˆ atrito com o ar.
(b) Perdas no núcleo (laminado como em transformadores):
ˆ perdas por histerese (aumenta com f);
ˆ correntes parasitas.
2.6. CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO 53
Em máquinas CA, onde a corrente é senoidal, as perdas são dadas por
Rai
2
arms . Se a máquina é trifásica balanceada (Ra = Rb = Rc e ia = ib = ic)
então basta somar as perdas nas fases, ou seja, 3Rai
2
arms .∑
perdas = Pcu + Pmec + Pnucleo (2.89)
A eficiência é dada por:
η =
Psaida
Pentrada
=
Psaida
Psaida +
∑
perdas
(2.90)
Em um motor tem-se:
Psaida = Peixo = T · wm (2.91)
Em um gerador tem-se:
Pentrada = Peixo = T · wm (2.92)
Problemas propostos
Os problemas propostos a seguir foram extraídos/adaptados dos proble-
mas do Capítulo 4 do livro [1].
(1) Uma máquina síncrona de 6 polos e 60 Hz tem um enrolamento de rotor
com um total de 138 espiras em série e um fator de enrolamento kr =
0, 935. O comprimento do rotor é 1,97 m, o raio do rotor é 58 cm e o
comprimento do entreferro é igual a 3,15 cm.
a) Qual é a velocidade nominal de operação em rpm?
b) Calcule a corrente no enrolamento do rotor que é necessária para
se obter uma componente fundamental de pico de 1,23 T de den-
sidade de fluxo no entreferro?
c) Calcule o fluxo correspondente por polo.
(2) A máquina do Problema (1) tem um enrolamento trifásico com 45 es-
piras em série por fase e um fator de enrolamento de kenr = 0, 928
(armadura). Para as condições de fluxo e velocidade nominal do Pro-
blema (1), calcule a tensão eficaz gerada por fase.
54 CAPÍTULO 2. CONCEITOS ELEMENTARES DE MÁQUINAS
(3) A máquina síncrona trifásica do Problema (1) deve ser transferida para
uma aplicação onde é necessário que a frequência de operação seja
reduzida de 60 para 50 Hz. Essa aplicação requer que, para as condições
de operação consideradas no Problema (1), a tensão eficaz de linha
gerada seja de 13,0 kV. Como resultado, os enrolamentos da armadura
da máquina devem ser refeitos com um número diferente de espiras.
Supondo um fator de enrolamento de kenr = 0, 928, calcule o número
necessário de espiras em série por fase.
(4) Um gerador síncrono trifásico de dois polos e 60 Hz, tem um raio de
rotor de 5,71 cm, um comprimento de rotor de 18,0 cm e um compri-
mento de entreferro de 0,25 mm. O enrolamento de campo do rotor
consiste em 264 espiras com um fator de enrolamento de kr = 0, 95.
O enrolamento de armadura, ligado em Y, consiste em 45 espiras por
fase, com um fator de enrolamento de kenr = 0, 93.
a) Calcule o fluxo por polo e a componente fundamental da densidade
de fluxo de pico no entreferro do qual resultará uma tensão de
armadura, em circuito aberto, de 60 Hz e uma tensão eficaz de
fase de 120 V por fase.
b) Calcule a corrente CC de campo necessária para se obter as con-
dições de operação da parte (a).
c) Calcule o valor de pico da indutância mútua entre o enrolamento
de campo e o enrolamento de fase da armadura.
(5) Um gerador síncrono de 4 polos e 60 Hz tem um comprimento de rotor
de 5,2 m, um diâmetro de 1,24 m e um comprimento de entreferro de
5,9 cm. O enrolamento do rotor consiste em uma conexão em série de
63 espiras por polo com um fator de enrolamento de kr = 0, 91. O
valor de pico da fundamental da densidade de fluxo no entreferro está
limitada a 1,1 T e a corrente de enrolamento do rotor, a 2700 A. Calcule
os valores máximos do conjugado (N.m) e da saída de potência (MW)
que podem ser fornecidos por essa máquina.
Capı´tulo3
Máquinas Síncronas
Como visto anteriormente, as seguintes equações são válidas para a má-
quina síncrona:
eaf = −we · ka · nfases · Φp · sen(wet) (3.1)
fe =
(
polos
2
)
n
60
(3.2)
T3φ =
3
2
·
(
polos
2
)
· Laf · Im · If · sen(δ) (3.3)
cuja curva de conjugado versus ângulo de carga é apresentada na Figura 2.27.
Note na Equação (3.1) que a frequência da tensão gerada pode ser controlada
alterando-se a velocidade de rotação e a amplitude pode ser ajustada através
de If , que afeta o fluxo por polo Φp. Além disso, na Equação (3.3) o torque
máximo pode ser aumentado aumentando-se Im (amplitude das correntes
trifásicas) e If até os limites de aquecimento da máquina.
Geradores síncronos podem ser conectados em paralelo. Em um sistema
com muitos geradores síncronos, um único gerador não consegue fazer alte-
rações significativas na tensão e na frequência. Esse barramento com tensão
e frequência constantes é conhecido como �barramento infinito�.
No caso do gerador, se o torque no eixo aumentar, é necessário aumentar
o ângulo δ entre os eixos magnéticos do estator (girante) e do rotor (que
gira com o movimento do rotor), mas o rotor continua a girar na velocidade
síncrona. Se chegar a 90◦, qualquer conjugado extra aplicado é maior que o
55
56 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
conjugado máximo que pode ser gerado para uma dada corrente de campo
If , então a máquina acelera indefinidamente (perde o sincronismo). Para
evitar danos, o gerador deve ser rapidamente desconectado do sistema elétrico
pela operação automática de disjuntores, além disso, a força motriz deve ser
rapidamente desativada para evitar velocidades perigosamente elevadas.
No caso do motor, a perda de sincronismo ocorre em −90◦ e acarreta na
desaceleração da máquina, levando-a a parar.
3.1 Modelagem e Circuito Equivalente
Primeiramente, determina-se as indutâncias presentes na máquina. Lem-
brando que os fluxos concatenados nas fases (sub-índices a, b, c) e no enrola-
mento de campo (sub-índice f) podem ser expressos como:
λa = Laa · ia + Lab · ib + Lac · ic + Laf · if (3.4)
λb = Lba · ia + Lbb · ib + Lbc · ic + Lbf · if (3.5)
λc = Lca · ia + Lcb · ib + Lcc · ic + Lcf · if (3.6)
λf = Lfa · ia + Lfb · ib + Lfc · ic + Lff · if (3.7)
onde:
ˆ Laa (sub-índices iguais) representam indutâncias próprias;
ˆ Lab (sub-índices diferentes) representam indutâncias mútuas;
ˆ O caractere L (caligráfico) indica que as indutâncias podem variar com
o ângulo do rotor (θm).
A partir deste ponto, a análise é simplificada assumindo a máquina com
rotor cilíndrico (polos lisos).
1) Indutância própria do rotor
Lff = Lff = Lff0 + Lfl (3.8)
onde
3.1. MODELAGEM E CIRCUITO EQUIVALENTE 57
ˆ Lff0 - indutância responsável pela componente harmônica funda-
mental do fluxo que atravessa o entreferro;
ˆ Lfl - responsável pelo fluxo de dispersão (leakage) do enrolamento
de campo.
As interpretações do fluxo principal e do fluxo de dispersão podem ser
obtidas da analogia com o transformador, como na Figura 3.1.
φ0
φl
ia
fluxo de dispersão
Figura 3.1: Fluxo principal φ0 e de dispersão φl (leakage) em analogia com
transformador.
2) Indutâncias mútuas entre estator (armadura) e rotor (campo)
Laf = Lfa = Laf · cos(θm) (3.9)
Considere o rotor girando na velocidade síncrona wm = ws. O ângulo
mecânico (espacial) do rotor varia segundo:
θm = wst+ δ0 (3.10)
Como
θe =
(
polos
2
)
θm (3.11)
we =
(
polos
2
)
wm (3.12)
58 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
tem-se que:
θe = wet+ δe0. (3.13)
Então, pode-se reescrever a indutância mútua como:
Laf = Lfa = Laf · cos(wet+ δe0) (3.14)
3) Indutâncias próprias das fases do estator
Laa = Lbb = Lcc = Laa = Laa0 + Lal (3.15)
4) Indutâncias mútuas entre fases do estator
Lab = Lba = Lac = Lbc = −1
2
· Laa0 (3.16)
Substituindo (3.8), (3.15) e (3.16) na equação de λa, tem-se:
λa = (Laa0 + Lal) · ia − 1
2
Laa0 · (ib + ic) + Laf · if (3.17)Em um sistema trifásico balanceado, tem-se:
ia + ib + ic = 0 (3.18)
ib + ic = −ia (3.19)
Então:
λa =
(
3
2
Laa0 + Lal
)
︸ ︷︷ ︸
Ls
ia + Laf · if (3.20)
Ou seja, λa = Lsia + Laf · if onde Ls é chamada de indutância síncrona
e é a indutância efetiva vista nos terminais de uma fase com a máquina em
regime permanente trifásica equilibrada.
Para a determinação do circuito equivalente, a tensão induzida na fase
�a� pelo campo �f�, em circuito aberto, é:
3.1. MODELAGEM E CIRCUITO EQUIVALENTE 59
eaf =
dλa
dt
=
d
dt
(Laf · if ) (3.21)
eaf = −we · Laf · if · sen(wet+ δeo) (3.22)
Supondo nula a corrente na armadura (circuito aberto):
Eaf =
we · Laf · if√
2
(3.23)
Mas com a corrente ia, a tensão nos terminais da máquina pode ser ex-
pressa como:
va = Ra · ia + dλa
dt
(3.24)
va = Ra · ia + Ls · dia
dt
+ eaf (3.25)
Essa equação pode ser representada em variáveis complexas (módulo e
ângulo) como
Vˆa = Ra · Iˆa + jXs · Iˆa + Eˆaf (3.26)
onde:
ˆ Xs = weLs é a reatância síncrona;
ˆ Eˆaf = Eaf δe0.
+
-
+
-
Iˆa
VˆaEˆaf
Ra jXs
Figura 3.2: Circuito equivalente da máquina síncrona na representação tipo
motor.
60 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
A Equação (3.26) e a figura anterior apresentam o modelo da máquina no
referencial do tipo �motor�, onde correntes Ia positivas entram na máquina,
como na Figura 3.2.
No referencial do tipo �gerador� que será adotado a partir de agora, por
ser geralmente mais utilizado, tem-se as correntes Ia positivas saindo da
máquina, como na Figura 3.3. Ou seja:
Vˆa = −Ra · Iˆa − jXs · Iˆa + Eˆaf (3.27)
+
-
+
-
Iˆa
VˆaEˆaf
Ra jXs
Figura 3.3: Circuito equivalente da máquina síncrona na representação tipo
gerador.
Como o modelo é por fase, as tensões são de fase e a potência é
1/3 da
potência total da máquina.
Exemplo 5 ([1, p.247]) Observa-se que um motor síncrono trifásico de 60
Hz tem uma tensão de linha de 460 V nos terminais e uma corrente de
terminal de 120 A com um fator de potência (FP) de 0,95 indutivo. Nessas
condições de operação a corrente de campo é de 47 A. A reatância síncrona
da máquina é igual a 1,68 Ω. Suponha que a resistência de armadura seja
desprezível.
Calcule:
a) A tensão gerada Eaf em volts;
b) O valor da indutância mútua Laf entre o campo e a armadura;
3.1. MODELAGEM E CIRCUITO EQUIVALENTE 61
c) A potência elétrica do motor em kW.
Solução:
a)
Vˆa =
460√
3
0◦ (referência adotada) (3.28)
cos(φ) = FP (3.29)
φ = cos−1(FP ) = cos−1(0, 95) = −18, 2◦ (indutivo) (3.30)
Iˆa = 120 −18, 2◦A (3.31)
Por fim, a tensão gerada Eˆaf é:
Eˆaf = Vˆa − jXs · Iˆa = 460√
3
− j1, 68 · 120 −18, 2◦ (3.32)
Eˆaf = 278, 8 −43, 4◦V (3.33)
b) Como Eˆaf = Eaf δ, temos Eaf = 278, 8. Sabendo que
Eaf =
we · Laf · if√
2
(3.34)
então o valor da indutância mútua Laf entre o campo e a armadura é
dado por:
Laf =
√
2 · Eaf
we · if =
√
2 · 278, 8
2pi · 60 · 47 = 22, 3mH (3.35)
c)
P3φ = 3 · Va · Ia · cosφ = 3 · 460√
3
· 120 · 0, 95 = 90, 8kW (3.36)
�
62 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
3.2 Característica a Vazio e de Curto-Circuito
As características fundamentais de uma máquina síncrona podem ser de-
terminadas por dois ensaios:
ˆ terminais de armadura a vazio (circuito aberto);
ˆ terminais de armadura em curto-circuito.
O que será discutido sobre estes ensaios se aplica tanto para máquinas de
polos lisos quanto de polos salientes.
3.2.1 Curva de saturação a vazio (CAV)
1) Aciona-se a máquina até a velocidade síncrona mecanicamente com
uma força externa;
2) Mede-se Va para diferentes valores de If .
Relembre-se de que Φp ∝∼ If e
eaf = −we · ka · nfases · Φp · sen(wet) (3.37)
+
-
+
-
Va
If
linha de
entreferro
CAV
Iˆa = 0
VˆaEˆaf
Ra jXs
Figura 3.4: Característica a vazio (CAV), linha de entreferro e circuito equi-
valente do ensaio.
Notando que Vˆa = Eˆaf com a máquina em circuito aberto, a curva pode
ser vista como uma relação entre Eaf e If e portanto, pode ser usada para
3.2. CARACTERÍSTICA A VAZIO E DE CURTO-CIRCUITO 63
formar uma medida direta da indutância mútua entre armadura e campo
(Laf ).
Laf =
√
2 · Eaf
we · If (3.38)
Exemplo 6 ([1, p.250]) Um ensaio a vazio em um gerador síncrono trifá-
sico de 60 Hz mostra uma tensão nominal a vazio de 13,8 kV é produzida
por uma corrente de campo de 318 A. Extrapolando a linha de entreferro a
partir de um conjunto de medidas feitas na máquina, pode-se mostrar que a
corrente de campo correspondente de 13,8 kV sobre a linha de entreferro é
263 A.
Calcule os valores saturados e não saturados de Laf .
Solução:
Para o cálculo da saturada, realiza-se o seguinte cálculo:
Laf =
√
2
(
13, 8× 103√
3
)
(2pi · 60) · 318 = 94mH (3.39)
E para determinação do valor não saturado, faz-se:
Laf =
√
2
(
13, 8× 103√
3
)
(2pi · 60) · 263 = 114mH (3.40)
64 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
Va [kV]
If [A]
linha de
entreferro
CAV
13, 8√
3
26
3
31
8
Figura 3.5: Característica a vazio (CAV) para o Exemplo 6.
�
3.2.2 Separação das perdas rotacionais
Com a máquina síncrona sem excitação (If = 0) não há perdas no núcleo,
portanto, mudando-se a potência aplicada externamente ao eixo para mantê-
la girando na velocidade síncrona, tem-se:
Patrito = Peixo (3.41)
Então, as perdas no núcleo podem ser determinadas quando If 6= 0 sub-
traindo as perdas por atrito (agora conhecidas) da potência aplicada ao eixo,
que será maior quanto maior for If .
Pnucleo = Peixo − Patrito (3.42)
3.2.3 Característica de curto-circuito (CCC)
Realiza-se um curto-circuito trifásico (conectando-se os terminais das três
fases em um mesmo ponto). Em seguida, varia-se If e mede-se Ia.
3.2. CARACTERÍSTICA A VAZIO E DE CURTO-CIRCUITO 65
+
-
ia
If
CCC
Iˆa
Vˆ
a
=
0
Eˆaf
Ra jXs
Figura 3.6: Característica de curto-circuito (CCC) e circuito equivalente do
ensaio.
Plotando-se a CAV e a CCC em um mesmo gráfico, tomando o cuidado
de analisar cada curva em sua respectiva coordenada de grandeza, tem-se a
Figura 3.7.
Va [V]
If [A]
Ia [A]
linha de
entreferro
CAV
CCC
V ′a
Vanom
Ianom
I ′a
C
C
C
C
C
C
A
V
Figura 3.7: Curvas características plotadas em conjunto.
Na Figura 3.7, a Corrente de Campo a Vazio (CCAV) e a Corrente de
Campo de Curto-Circuito (CCCC) denotam os valores de If que resultam,
respectivamente, em Vanom no ensaio a vazio e em Ianom no ensaio de curto-
circuito.
66 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
Lembrando que Vˆa = 0 no ensaio de curto-circuito, tem-se:
Eˆaf = Ia(Ra + jXs) (3.43)
e como tipicamente Xs � Ra, então Ra ≈ 0 e
Xs
(não saturada)
=
V ′a
Ianom
. (3.44)
Mas como usualmente a máquina opera na região saturada (onde fica
Vanom), assume-se que a máquina seja equivalente neste ponto a uma máquina
não saturada com a linha de entreferro passando pelo Vanom da CAV. Então,
para a saturada tem-se:
Xs
(saturada)
=
Vanom
I ′a
(3.45)
Este método de considerar um único valor da reatância síncrona na re-
gião saturada dá resultados suficientemente satisfatórios desde que não seja
necessária grande precisão.
Exemplo 7 ([1, p.255]) Os seguintes dados foram tomados das caracterís-
ticas a vazio e de curto-circuito de uma máquina síncrona trifásica de 45
kVA, 220 V, 6 polos e 60 Hz.
Da característica a vazio, tem-se:
tensão de linha 220 V
corrente de campo 2, 84 A
Da característica de curto-circuito, tem-se dois pontos:
corrente de armadura 118 A 152 A
corrente de campo 2, 20 A 2, 84 A
Da linha de entreferro, tem-se:
tensão de linha 202 V
corrente de campo 2, 20 A
Calcule o valor não saturado da reatância síncronae seu valor saturado
na tensão nominal.
3.3. CARACTERÍSTICA DE ÂNGULO DE CARGA EM REGIME 67
Solução:
Ianom =
S1φ
Vanom
=
45×103/3
220/
√
3
= 118A (3.46)
Va [V]
If [A]
Ia [A]
linha de
entreferro
CAV
CCC(V ′a)
202√
3
(Vanom)
220√
3
118 (Ianom)
152 (I ′a)
2,
20
2,
84
Figura 3.8: Curvas características plotadas em conjunto para o Exemplo 7.
Reatância síncrona não saturada:
Xs
(não saturada)
=
V ′a
Ianom
=
202/
√
3
118
= 0, 987 Ω/fase (3.47)
Reatância síncrona saturada:
Xs
(saturada)
=
Vanom
I ′a
=
220/
√
3
152
= 0, 836 Ω/fase (3.48)
�
3.3 Característica de Ângulo de Carga em Re-
gime
Considere o circuito da Figura 3.9, cujo diagrama fasorial é apresentado
na Figura 3.10.
68 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
+
-
+
-
P1 P2
Iˆ
Eˆ1 Eˆ2
R jX
Figura 3.9: Duas fontes de tensão conectadas através de uma impedância.
δ
φ
Iˆ
Eˆ1
Eˆ2
RIˆ
jXIˆ
Figura 3.10: Diagrama fasorial genérico para o circuito da Figura 3.9.
A potência ativa P2 entregue a fonte Eˆ2 do lado da carga é:
P2 = E2 · I · cos(φ) (3.49)
A corrente fasorial é:
Iˆ =
Eˆ1 − Eˆ2
Z
(3.50)
onde Z = R + jX. Representando as variáveis na forma polar
Eˆ1 = E1e
jδ
(3.51)
3.3. CARACTERÍSTICA DE ÂNGULO DE CARGA EM REGIME 69
Eˆ2 = E2 (3.52)
Z = R + jX = |Z|ejφz (3.53)
φz = tg
−1
(
X
R
)
(3.54)
e substituindo na Equação (3.49), tem-se:
Iˆ = Iejφ =
E1e
jδ − E2
|Z|ejφz (3.55)
Iejφ =
E1
|Z| · e
j(δ−φz) − E2|Z| · e
j(−φz)
(3.56)
Sabendo que ejφ = cosφ+ j senφ, podemos reescrever (3.56) como
I · (cos(φ) + j sen(φ)) = E1|Z| · (cos(δ − φz) + j sen(δ − φz))
− E2|Z| · (cos(−φz) + j sen(−φz)) (3.57)
de onde, tomando apenas a parte real, tem-se:
I · cosφ = E1|Z| · cos(δ − φz)−
E2
|Z| · cos(−φz) (3.58)
Observe que cos(−φz) = cos(φz) = R|Z| . Com isso, substituindo a Equa-
ção (3.58) em (3.49) tem-se:
P2 =
E1 · E2
|Z| cos(δ − φz)−
E22 ·R
|Z|2 (3.59)
Considere a variável auxiliar
αz = 90
◦ − φz. (3.60)
Então, pode-se substituir
cos(δ − φz) = cos(δ + αz − 90◦) = sen(δ + αz) (3.61)
70 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
em (3.59). Assim,
P2 =
E1 · E2
|Z| sen(δ + αz)−
E22 ·R
|Z|2 . (3.62)
De maneira similar, a potência ativa saindo de Eˆ2 é dada por
P1 =
E1 · E2
|Z| sen(δ − αz) +
E21 ·R
|Z|2 . (3.63)
Como frequentemente é o caso em máquinas síncronas, R é desprezível,
então R ≈ 0, |Z| ≈ X, αz ≈ 0, o que resulta em:
P1 = P2 =
E1E2
X
sen(δ) (3.64)
A equação anterior é chamada de característica do ângulo de potência (δ)
e sua curva é apresentada na Figura 3.11. Note que esta curva é semelhante
à de conjugado da Figura 2.27, pois P = ωsT com a máquina girando na
velocidade síncrona. Além disso, note na Equação (3.64) que a potência
máxima ocorre quando δ = 90◦, ou seja:
Pmax =
E1E2
X
(3.65)
δ
Motor
Gerador
P
Pmax
−Pmax
−90◦ 90◦
Figura 3.11: Fluxo de potência de uma máquina síncrona trifásica em função
do ângulo de carga δ.
3.3. CARACTERÍSTICA DE ÂNGULO DE CARGA EM REGIME 71
As equações anteriores são válidas para quaisquer fontes de tensão se-
paradas por uma impedância indutiva. Por exemplo, na conexão com um
sistema externo (e.g barramento infinito), tem-se o circuito da Figura 3.12.
+
-
+
-
+
-
Iˆa P
VˆeqEˆaf Vˆa
jXs jXeq
Figura 3.12: Circuito equivalente da máquina síncrona na representação tipo
gerador.
Portanto, a máxima potência que pode ser enviada à rede por fase é
Pmax =
Eaf · Veq
Xs +Xeq
(3.66)
e a máxima potência total trifásica é 3Pmax.
Observação:
ˆ é perigoso se aproximar de δ = 90◦;
ˆ δ é alterado variando-se o torque externo aplicado;
ˆ Eaf ∝ If , portanto aumentando If pode-se aumentar a potência até os
limites de refrigeração da máquina.
Exemplo 8 (adaptado de [1, p.261]) Um gerador síncrono trifásico de
75 MVA e 13,8 kV, com uma reatância saturada de Xs = 3, 428 Ω e uma
não saturada de Xs = 3, 961 Ω é ligado à um sistema externo cuja reatância
equivalente é Xeq = 0, 584 Ω e cuja tensão é Veq = 13, 8 kV . O gerador
atinge a tensão nominal de circuito aberto com uma corrente de campo de
297 A.
72 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
a) Encontre a potência máxima (em MW) que pode ser fornecida ao sis-
tema externo se a tensão interna do gerador for mantida igual à 13, 8 kV .
b) Determine uma equação para Vˆa em função do ângulo de carga δ. Em
seguida plote a tensão do terminal do gerador quando a potência de
saída do gerador é variada desde 0 até Pmax.
Solução:
a)
Pmax3φ =
3Eaf · Veq
Xs +Xeq
(3.67)
A máquina opera na região de tensão nominal, com isso, utiliza-se Xs
saturada no cálculo da potência máxima.
Pmax3φ =
3(13,8/
√
3) · (13,8/√3)
3, 428 + 0, 584
= 47, 5MW (3.68)
b)
Iˆa =
Eˆaf − Veq
j(Xs +Xeq)
=
Veq δ − Veq
j(Xs +Xeq)
(3.69)
+
-
+
-
Iˆa
VˆeqVˆa
jXeq
Figura 3.13: Circuito de conexão à rede do Exemplo 8.
Vˆa = Veq + jXeq · Iˆa (3.70)
3.4. CARACTERÍSTICAS DE OPERAÇÃO EM REGIME 73
Vˆa = Veq + jXeq
[
Veq δ − Veq
j(Xs +Xeq)
]
(3.71)
Vˆa = Veq +XeqVeq
(
1 δ − 1
Xs +Xeq
)
(3.72)
Vˆa = Veq ·
[
1 +
Xeq(1 δ − 1)
Xs +Xeq
]
(3.73)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
Va [kV]
δ [◦]
(P = 0) (P = Pmax)
11,8/
√
3
13,8/
√
3
Figura 3.14: Comportamento de Va sob mudanças em δ para o Exemplo 8.
�
3.4 Características de Operação em Regime
As principais características de funcionamento de uma máquina síncrona
em regime permanente são descritas pelas relações entre:
ˆ tensão de terminal (Va);
74 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
ˆ corrente de campo (If );
ˆ fator de potência (cosφ);
ˆ rendimento (η).
1) Curva composta
Considere:
ˆ geração síncrona fornecendo potência à frequência constante e ten-
são de terminal nominal;
ˆ carga com fator de potência constante.
Carga [kVA] ou corrente de armadura [A]
I f
n
e
c
e
s
s
á
r
i
a
p
a
r
a
m
a
n
t
e
r
V
a
n
o
m
Carga
nominal
FP = 0, 8
(indutivo)
FP = 1, 0
FP = 0, 8
(capacitivo)
Figura 3.15: Curva composta.
Aplicação em sistemas de regulação de tensão: baseado na curva com-
posta, controla-se a corrente de campo em função na tensão medida
nos terminais.
2) Curva V
Curva que mostra a relação entre a corrente de armadura e a corrente
de campo para tensão de terminal e potência ativa constante.
3.4. CARACTERÍSTICAS DE OPERAÇÃO EM REGIME 75
0 1
0
.2
5
0
.5
0
.7
5
Ia [A]
If [A]
Potência de saída
(em PU)
F
P
i
n
d
u
t
i
v
o
F
P
u
n
i
t
á
r
i
o
F
P
c
a
p
a
c
i
t
i
v
o
Figura 3.16: Curva V para diversos níveis de potência expressos em PU (Por
Unidade).
ˆ A corrente de armadura é mínima para potência de saída com FP
unitário (pois não está fornecendo reativos);
ˆ Controlando a corrente de campo pode-se passar a funcionar como
compensador de reativo (alterando-se o FP);
ˆ Note que uma máquina usada como compensador também pode
ser usada para fornecer potência ativa (simultaneamente).
O caso mais completo da máquina operando como motor também pode
ser visto na Figura 3.17.
ˆ adotando o sentido gerador (correntes ou potências positivas quando
saem da máquina).
3) Curva de capacidade
76 CAPÍTULO 3. MÁQUINAS SÍNCRONAS
Ia [A]
If [A]
FP unitário
P > 0
P < 0
Q > 0Q < 0
Figura 3.17: Curva V completa (como gerador e motor).
Mostram o máximo de carregamento reativo correspondente a carre-
gamentos ativos (ou vice-versa) para operação com tensão de terminal
constante. Ou seja, tem-se a região P e Q onde a máquina pode operar

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