Notas de aula I - Antiderivada

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Cálculo Diferencial e Integral II (G0136)
Unidade I
Eng. Jorge Manrique
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Antiderivada
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Newton e Leibiniz
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Século XVII
Abordagens
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Objetivos da Aula
Contextualizar o cálculo integral , dando ênfase em sua definição como sendo a operação inversa da diferenciação e estudar algumas propriedades fundamentais.
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Operações inversas
A adição e a subtração são operações inversas
A antiderivada é a operação inversa da diferenciação (derivada)
Também é chamada de antidiferenciação (primitiva)
Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de geometria e física dependem de “derivação para trás” ou da “antiderivação”
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Antiderivada
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Definição
Uma função F é chamada antiderivada (ou primitiva) da função f em um intervalo I se, para todo x em I,
 
F’(x) = f(x)
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Exemplo 1
Se F (antiderivada) for definida por:
 F(x) = 4x3+ x2+ 5, então, F’(x)= f(x) = 12x2+ 2x
Assim, se f for a função definida por: 
f(x) = 12x2+ 2x, logo afirmamos que f é a derivada de F, e que F é uma antiderivada ou primitiva de f. 
Se G for a função definida por:
 G(x) = 4x3+ x2– 17, então G também será uma antiderivada de f, pois G’(x) = 12x2+ 2x
Na realidade, toda função cujos valores funcionais são dados por 4x3+ x2+ C, onde C é uma constante qualquer, é um antiderivada de f.
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Exemplo 2
Se C é uma constante arbitraria, então qualquer função definida por:
sen x + C
Tem a função cos x como derivada
Então, qualquer função deste tipo é uma antiderivada de cos x
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Exercício #1 
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Teoremas 1 e 2
Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se C é uma constante real, a função G(x) = F(x) + C também é uma primitiva de f.
Se F for uma antiderivada particular de f em um intervalo I, então toda antiderivada de f em I será dada por F(x) + C (1) onde C é uma constante arbitrária, e todas as antiderivadas de f em I poderão ser obtidas de (1), atribuindo-se certos valores a c.
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Antidiferenciação ou antiderivação
É o processo de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de uma dada função. O símbolo ∫ denota a operação de antidiferenciação e escrevemos:
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Propriedades da antiderivação
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Teorema 1
Nota: Como a antidiferenciação é a operação inversa da diferenciação, alguns teoremas sobre antidiferenciação podem ser obtidos dos teoremas de diferenciação. Assim sendo, os teoremas a seguir podem ser provados a partir dos teoremas correspondentes da diferenciação
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Teorema 2
Estabelece que a antiderivada do produto de uma constante por uma função é a constante pela antiderivada geral da função.
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Teorema 3
Este teorema estabelece que, para determinar uma antiderivada da soma de duas funções, achamos primeiro a antiderivada de cada uma das funções separadamente e então, somamos os resultados, ficando subentendido que ambas as funções estão definidas no mesmo intervalo.
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Teorema 4
O teorema 3 pode ser estendido a um número qualquer, finito, de funções. Combinando este teorema (3) e o anterior (2), temos o teorema 4.
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Teorema 5
Se n é um número racional, então temos:
Faça a demonstração
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Exemplo 3 e 4
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Exemplo 5
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Teorema 6
Os teoremas para as antiderivadas das funções seno e cosseno se comprovam dos teoremas correspondentes da diferenciação.
Demonstração:
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Teorema 7
Os teoremas para as antiderivadas das funções seno e cosseno se comprovam dos teoremas correspondentes da diferenciação.
Demonstração:
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Teoremas 8 e 9
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Teoremas 10 e 11
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Exemplo 6
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Integral Indefinida
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Introdução
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Definição
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x)+c é chamada integral indefinida da função f, e é denotada por
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Notação
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Implicações da definição
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Tabela de integrais indefinidas
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Outras
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Procedimento recomendado para realizar a integração
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Integral Original
Reescrever
Integrar
Simplificar
Exemplos 7-10
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Exemplo 11
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Exercícios de aula #2
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Exercícios desafios 
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Métodos ou técnicas de integração
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Métodos de integração
Algumas vezes, é possível determinar a integral de uma dada função por meio das fórmulas básicas vistas até o momento
Entretanto, existem situações mais complexas, nas quais não se pode aplicar diretamente uma fórmula básica
Os métodos de integração têm por objetivo transformar problemas de integração complicados em problemas mais simples
Os dois principais a serem vistos a seguir são integração por substituição e integração por partes
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Métodos
Cada método da diferenciação tem um método correspondente na integração.
Por exemplo 
o método da cadeia (regra da cadeia) tem seu equivalente na integração como o método da Integração por substituição (regra da substituição)
O método da regra do produto da diferenciação tem o seu método corresponde chamado de regra de integração por partes.
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Integração por substituição
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Regra da substituição
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Solução
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Integração por substituição
O método de substituição trabalha, por essência, com mudança de variáveis
Este processo é análogo à regra da cadeia utilizada na derivação
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F’(x) = f(x)
Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio de F
Neste caso, podemos considerar a composta F ◦ g
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Regra
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Integração por substituição
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Exemplo 13
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Exemplo 14
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Exemplo 15
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Exemplo 16
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Exercícios de aula #3
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Calcule as integrais a seguir usando uma substituição apropriada
Integração por partes
Nesta parta vamos estudar uma técnica de integração importante chamada integração por partes. 
Esta técnica pode ser aplicada a uma grande variedade de funções e é particularmente útil para integrias que envolvam produtos de funções algébricas e transcendentais.
O método de integração por partes olha para o integrando em partes separadas.
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Integração por partes
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Fundamentação
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Teorema da integração por partes
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Exemplo 17
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Orientações para a integração por partes
Tente deixar ser dv a parte mais complicada do integrando que se encaixa em uma regra de integração básica. Em seguida u será o fator restante do integrando.
Tente deixar u ser a porção do integrando cuja derivada é uma função mais simples do que u. Então dv será o fator restante do integrando.
Note que dv sempre inclui o dx do integrando original
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Exemplo 18
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Exemplo 19
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Exercícios para aula #4
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Integrais trigonométricas
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Usando as identidades trigonométricas
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Exemplo 20
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Identidades que podem ser usadas
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Exemplo 21
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Orientações para solução de integrais envolvendo potencias de seno e cosseno
Se a potencia da função seno e impar e positiva, guardar um fator da função seno e converter o sobrante em uma função cosseno. Depois expanda a integral.
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Orientações para solução de integrais envolvendo potencias de seno e cosseno
Se a potencia da função cosseno e impar e positiva, guardar um fator da função cosseno e converter o sobrante em uma função seno. Depois expanda a integral.
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Orientações para solução de integrais envolvendo potencias de seno e cosseno
Se a potencia da ambas funções são pares e positivas, empregar de forma recorrente as seguintes identidades.
Para converter o integrando em potencias impares da função cosseno, então proceda como a orientação 2
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Exemplo 22
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Exemplo 23
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Exemplo 24
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Integrais que contêm potencias de secante e tangente
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Orientações para solução de integrais envolvendo potencias de secante e tangente
Se a potencia da função secante e par e positiva, guardar um fator da função secante ao quadrado e converter o sobrante em uma função tangente. Depois expanda a integral.
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Orientações para solução de integrais envolvendo potencias de secante e tangente
Se a potencia da função tangente e impar e positiva, guardar um fator da função secante-tangente e converter o sobrante em uma função secante. Depois expanda a integral.
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Orientações para solução de integrais envolvendo
potencias de secante e tangente
Se não existir um fator secante e a potencia da tangente é par e positiva, converter o fator tangente ao quadrado em um fator secante ao quadrado, expanda e repete se for necessário
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Orientações para solução de integrais envolvendo potencias de secante e tangente
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Identidades trigonométricas básicas
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Funções trigonométricas inversas
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Exemplo 25
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Exemplo 26
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Exemplo 27
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Exemplo 28
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Observação
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Exemplo 29
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Exemplo 30
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Integrais do produto de seno e cosseno que tem diferentes ângulos
Integrais neste formato que são produtos de seno e cosseno e cada um tem um ângulo diferente usaremos a seguintes identidades (produto a soma)
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Exemplo 31
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Exercícios
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Exercícios
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