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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS 
Ciências Exatas e Tecnológicas 
 Álgebra Vetorial e Matricial – Prof. Ms. Suelen Assunção Santos
PROVA DO GRAU B (7,0 pontos) – 2011/2
 
Nome:..................................................................................................................................... 
 
Obs: Para que a questão seja corrigida, é necessário o seu desenvolvimento; marque com 
um X na alternativa correta à caneta nesta mesma folha. 
 
1) Determine a equação geral do plano π, paralelo ao eixo dos z e que contenha os pontos 
A(0,3,4) e B(2,0,-2) 
 
a. – 3x - 2y + 6 = 0 
b. 3x + 2y + 6 = 0 
c. – 3x + 2y – 6 = 0 
d. 3x – 2y – 6 = 0 
 
Desenvolvimento: 
 
Vetores que estão no plano π: 
(2, 3, 6)
(0,0,1)
AB
k


  

 
 
2 3 6 2 3
( 3, 2,0)
0 0 1 0 0
X kAB
   
    Vetor normal ao plano π 
 
Equação geral do plano: ax + by + cz + d = 0 
Substituindo: -3.0 -2.3 + 0.4 + d = 0  - 6 + d = 0  d=6 
 
-3x – 2y + 6 = 0 
 
2) A partir da equação geral da circunferência x² + y² – 8x – 4y – 5 = 0, encontre as 
coordenadas do centro e o raio. 
a. C (2, 4) e R = 5 
b. C (2 , -4) e R = 3 
c. C (4, -2) e R = 25 
d. C (4, 2) e R = 5 
 
Equação reduzida da circunferência: 
(x-xº)² + (y-yº)² = R² 
Comparando: 
x² - 8x + y² - 4y = 5 
(x – 4)² + (y – 2)² = 5 + 16 + 4 
 
(x – 4)² + (y – 2)² = 25 
 
3) Traçar um esboço do gráfico e obter a equação geral da parábola que tem vértice 
V(-2, 3),eixo paralelo ao eixo dos y e que passa pelo ponto P(2, 0). 
a. 3y² - 12y – 16x + 36 = 0 
b. y² - 6y – 10x + 6 = 0 
c. 3x² + 12x + 16y – 36 = 0 
d. 3x² - 12x – 16y – 36 = 0 
 
Eixo de simetria paralelo ao dos y  parábola voltada para cima ou baixo: 
(x – h)² = 2p (y – k) 
(x + 2)² = 2p (y – 3) 
Substituindo o ponto P(2,0) em x e y da equação, tem-se: 
(2 + 2)² = 2p (0 – 3) 
16 = - 6p 
16 8 8
6 3 3
p    
 
 
Substituindo p na equação da parábola temos: 
(x + 2)² = 2p (y – 3) 
(x + 2)² = 2 8
3
  
 
 (y – 3) 
x² + 4x + 4 = 16
3
  
 
(y – 3) 
x² + 4x + 4 = 16
3
y
 + 16 (Desloca o + 16) 
 
x² + 4x - 12 = 16
3
y
 (Desloca o 3) 
3x² + 12x – 36 = - 16y 
3x² + 12x + 16y – 36 = 0 
 
 
4) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
1v

 2i – j + 3k, 2v

 4i + mk e 3v

 -2j + k seja igual a 16. 
a. m = 1 ou m = 5 
b. m = 1 ou m = 9 
c. m = - 5 ou m = 9 
d. m = - 5 ou m = 1 
 
 
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1 3 2 1
, , 4 0 4 0 0 0 24 4 4 0
0 2 1 0 2
, , 20 4
16 | , , |
16 | 20 4 |
1º )16 20 4
2º ) 16 20 4
1º ) 9
2º ) 1
v v v m m
v v v m
Volume v v v
Volume m
m
m
m
m
 
      
 
  
 
   
  
   


 
 
5) Resolva o sistema abaixo, pelo método do escalonamento: 
2 9
2 8
2 7
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
 
a. x=1; y=2; z=3 
b. x=-1; y=2; z=4 
c. x=1; y=3; z=4 
d. x=-1; y=-3; z=3 
 
1 1 2 9 1 1 2 9
1 2 1 8 3 3 2 2 1 2 1 8
2 1 1 7 0 3 1 9
1 1 2 9
2 2 1 0 1 1 1 3 3 3 2
0 3 1 9
1 1 2 9 1 1 2 9
30 1 1 1 3 0 1 1 1
4
0 0 4 12 0 0 1 3
1 1 2 9
2 2 3 0 1 0 2 1 1 2
0 0 1 3
1 0 2 7
L L L
L L L L L L
LL
L L L L L L
   
       
        
 
       
    
   
          
       
 
     
  
1 0 0 1
0 1 0 2 1 1 2 3 0 1 0 2
0 0 1 3 0 0 1 3
L L L
   
       
      