rotacao e eixo central

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CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS FIGURAS PLANAS.
Rotação de Eixos
(Nóbrega, 1980)(Almeida,1993)
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Determinemos os momentos e produtos de inércia em relação a novos eixos rodados OU e OV, aos momentos e produtos de inércia em relação aos eixos primitivos OX e OY e o ângulo de giro (.
Da figura temos:
u = x.cos( + y.sen(
v = -x.sen( + y.cos(
O momento de inércia em relação ao eixo OU é:
IU = ( v2dA
Substituindo a equação da coordenada v em IU, temos:
IU = ((-x.sen( + y.cos()2.dA ( portanto:
IU = cos2(.(y2.dA +sen2(.(x2.dA - 2.sen(.cos(.(x.y.dA
onde:
IU = Ix. cos2( + Iy. sen2( - 2.sen(.cos(.Ixy ( lembrar que: sen2( = 2.sen(.cos(
Logo:
IU = Ix. cos2( + Iy. sen2( - sen2(.Ixy
Analogamente:
IV = Ix. sen2( + Iy. cos2( + sen2(.Ixy
O cálculo do Produto de Inércia IUV, será:
IUV = (Ix - Iy).sen(.cos( +Ixy.cos2.(
Simplificando a equação: IUV = (Ix - Iy).sen2(/2 +Ixy.cos2.(
Somando as equações IU e IV temos:
IU + IV = Ix + Iy
(Válido também para os eixos baricêntricos.
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Exemplo 20:
(Prova RM1, 1997)
Calcule o momento de inércia em relação ao eixo A (IA).
Resposta:
IA = 92,44x10-8 m4
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Exercício 20:
(Lista de mecânica geral, 1998)
Calcular o momento de inércia para o eixo AA da figura:
Resposta:
Ix = 28,33 cm4
Iy = 200,21 cm4
�Ixy = -64,14 cm4
IA = 101,34 cm4
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Eixos Centrais de Inércia (Demonstração)
(Nóbrega, 1980)
Da equação da rotação de eixos IU, utilizaremos para os eixos baricêntricos:
IU = Ixg.cos2( + Iyg.sen2( - Ixgyg.sen2(
Das relações trigonométricas sen2( = (1 - cos2()/2 e cos2( = (1 + cos2()/2 ( A equação de IU transforma-se:
IU = {(Ixg +Iyg)/2} + {[(Ixg - Iyg).cos2(]/2} - Ixgyg.sen2(
Eixos Centrais de Inércia são eixos em relação ao quais os momentos de inércia são máximos e mínimos (momentos principais de inércia).
Aplicando a derivada em função de (, determinaremos os extremos.
dIU/d( = (Iyg - Ixg).sen2( - 2.Ixgyg.cos2( = 0
onde: tg2( = 2.Ixgyg/(Iyg-Ixg)
Dessa equação de obtêm: 2(2 - 2(1 =( e (2 - (1 = (/2
Portanto duas direções perpendiculares entre si. Substituindo a equação de tg2( na equação de IU obtêm-se os valores extremos:
I = [(Ixg + Iyg)/2] + [(Ixg - Iyg).cos2(/2] - [(2.Ixgyg.cos2()/(Iyg - Ixg)]
onde: I = [(Ixg + Iyg)/2] - {[(Ixg - Iyg)2 + 4.Ixgyg2]/2.(Iyg - Ixg)}.cos2(
mas: cos2( = ( 1/(1+tg2()1/2 = (Iyg-Ixg)/[(Iyg-Ixg)2+4.Ixgyg2]1/2
Substituindo na equação anterior:
I = [(Ixg+Iyg)/2]({[(Ixg-Iyg)2+4.Ixgyg2]/2.[(Iyg-Ixg)2+4.Ixgyg2]1/2
Logo:
I (máx.) = [(Ixg+Iyg)/2]+{[(Ixg-Iyg)/2]2+Ixgyg2}1/2
I (mín.) = [(Ixg+Iyg)/2]-{[(Ixg-Iyg)/2]2+Ixgyg2}1/2
Para as direções principais têm-se, substituindo a equação de tg2( na equação de IUV:
IUV = {[(Ixg-Iyg)/2].[2.Ixgyg/(Iyg-Ixg)].cos2(}+Ixgyg.cos2(
Logo:
IUV = zero
Portanto, em relação aos eixos principais, o produto de inércia é nulo, ou seja, os eixos principais são tais que resulta o produto de inércia o valor zero.
Sendo assim, todo eixo de simetria ser eixo principal de inércia; a recíproca não é verdadeira.
Logo: Imáx+Imín = Ixg+Iyg
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Eixos Centrais de Inércia (formulário)
Dada a figura plana: (Murat, S.D.)
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O Momento de Inércia Iu , ver definição no capítulo Rotação de Eixos, é variável em função de (, atingindo um valor máximo I1 e mínimo I2, para (1 e (2 respectivamente.
Como demonstrado anteriormente, apresentaremos os valores dos Momentos de Inércia I1 e I2 e a posição em relação ao eixo baricêntrico XG, calculados da seguinte forma:
�I1 = IXG + IYG + ( (IXG - IYG)2 + (IXGYG)2
	 2				4
�I2 = IXG + IYG - ( (IXG - IYG)2 + (IXGYG)2
	 2				4
Posição dos Eixos Centrais (1 e (2 :
tg(1 = IXG - I1				(1 = arctg IXG - I1
	 IXGYG							 IXGYG
tg(2 = IXG - I2				(2 = arctg IXG - I2
	 IXGYG							 IXGYG
�
Relações Importantes:
I1 + I2 = IXG + IYG
(2 + (1 = 90º
Sendo esta somatória em módulo, porque, ora (1 ou (2 pode ser negativo
I1,2 = Zero (0)
O Produto de Inércia dos Eixos Centrais de Inércia será Zero.
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�
Exercício 21:
( P1 - 1º semestre, 1998)
A figura abaixo representa uma chapa de aço de apoio de uma coluna. Calcular, os momentos de máxima e mínima inércia.
							São conhecidos:
O diâmetro dos círculos são de 1” = 2,54 x 10-2 m.
A medida de c = 5 x 10-2 m.
As respostas devem ser escritas no Sistema Internacional de Unidades.
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Cálculo do Ponto de Baricentro:	G = ( 0 ; 15 x 10-2) m
Cálculo da Área da figura: 		A = 579,73 x 10-4 m².
Cálculo do Produto de Inércia Ixgyg: 	Ixgyg = 0 (zero).
Cálculo de Ixg: 	Ixg = 42.964,998 x 10-8 m4 
Importante Ixg é igual ao Momento Máximo de Inércia I1
Visto que, (1 = 0 (zero) e (2 = 90º
Logo Iyg é igual ao Momento Mínimo de Inércia I2
Cálculo de Iyg:	Iyg = 19.485,12 x 10-8 m4
�
Exemplo 21:
(Almeida, 1993)
�Calcular os momentos de máxima e mínima inércia da figura abaixo, posicione estes eixos.
Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º _____ - Data ___/____/______
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Página nº 
45º
Y
X
6 x 10-2 m
120º
3 cm
3 cm
(
XG
(2
(1
XG
2
1
c
c
5 x 10-2 m
5 x 10-2 m
20 x 10-2 m
c
c
Y
X
3 cm
Y
X
3 cm
9 cm
9 cm