4° LISTA DE EXERCÍCIOS - DERIVADAS PARCIAIS

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Faculdade Esta´cio do Recife
C A´ L C U L O D I F E R E N C I A L
E I N T E G R A L I I
P r o f. S e´ r g i o B a r r e t o
L I S T A D E E X E R C I´ C I O S - D E R I V A D A S P A R C I A I S
1. Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
e
∂f
∂y
da func¸o˜es a seguir nos pontos indicados:
(a) f(x, y) = 7x− y2, no ponto (0, 1).
(b) f(x, y) = 1− 3x y, no ponto (1, 2).
(c) f(x, y) = x2 + 2x3 y7, no ponto (1, 0).
(d) f(x, y) = 7x y2 − 7x2 y3, no ponto (1, 1).
(e) f(x, y) = ln
(
x+
√
x2 + y2
)
, no ponto (3, 4).
(f) f(x, y, z) =
x
x+ y + z
, no ponto (2, 1,−1).
(g) f(x, y, z) =
√
sen2(x) + Sen2(y) + Sen2(z), no ponto
(
0, 0,
pi
4
)
.
2. Calcule as derivadas parciais
∂ f
∂ x
e
∂ f
∂ y
de primeira ordem das func¸o˜es apresentadas abaixo:
(a) f(x, y) = x2 y3
(b) f(x, y) = y5 − 3x y
(c) f(x, y) = x4 y3 + 8x2 y
(d) f(x, y) =
(
2x+ 3 y
)10
(e) f(x, y) =
x(
x+ y
)2
(f) f(x, y) =
5x+ 4 y
−2x+ 3 y
(g) f(x, y) =
(
x2 y − y3)5
(h) f(x, y) =
x
y
(i) f(x, y) =
ey
x+ y2
(j) f(x, y) =
√
x ln(y)
(k) f(x, y) = e−y Cos (pi x)
(l) f(x, y) = Tg (x y)
(m) f(x, y) = Sen (x) Cos (y)
(n) f(x, y) =
(
x
√
y
)
Sen (x y )
(o) f(x, y) = xy
1
3. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das func¸o˜es apresentadas abaixo:
(a) f(x, y) = x y2 − x3 y
(b) f(x, y) = x3 y5 + 2x4 y
(c) f(x, y) =
√
x2 + y2
(d) f(x, y) =
x+ y
1− x y
(e) f(x, y) =
x
x+ y2
(f) f(x, y) = x4 y3 − y4
(g) f(x, y) = ex y Sen(y)
(h) f(x, y) = ln (x+ 2y)
(i) f(x, y) = Sen2
(
mx+ n y
)
(j) f(x, y) = Tg
(
x+ y
1− x y
)
(k) f(x, y) = ex e
y
(l) f(x, y) =
x y
x− y
(m) f(x, y) = ex y
2
(n) f(x, y) =
√
1 + x y
(o) f(x, y) = Cos
(
x2 y
)
4. Verifique se a conclusa˜o do Teorema de Clairaut e´ va´lida, isto e´,
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
.
(a) f (x, y) = x4 y3 − y4;
(b) f (x, y) = ex y Sen(y);
(c) f (x, y) = Cos
(
x2 y
)
;
(d) f (x, y) = ln (x+ 2y).
2