Mudança de coordenadas Matrizes

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Mudanc¸as de Coordenadas
Mudanc¸a de Coordenadas
A origem O = (0, 0, 0) e os vetores i, j, k da base canoˆnica de R3 determinam um sistema de coordenadas:
se as coordenadas de um ponto no espac¸o sa˜o (x, y, z), enta˜o
−−→
OP = xi+ yj + zk.
Se considerarmos outro ponto O′ de R3 como origem e considerarmos outra base U1, U2, U3 de R3, o
mesmo ponto P sera´ representado por outras coordenadas neste novo sistema. De fato, com relac¸a˜o a`
base {U1, U2, U3} o vetor
−−→
O′P se escreve como
−−→
O′P = x′U1 + y′U2 + z′U3.
As novas coordenadas de P neste outro sistema de coordenadas para R3 sa˜o (x′, y′, z′).
x
y
z
P
O
O'
x'
y'
z'
k
j
i
U
U
U
1
2
3
1
Exemplo 1. Seja P =
(
−
√
2
2
,−3
√
2
2
,−√2
)
um ponto de R3, em coordenadas canoˆnicas. Determine as
coordenadas de P no sistema de coordenadas {O′, U1, U2, U3}que tem como origem o ponto O′ =(√
2,
√
2,
√
2
)
e como base os vetores
U1 =
(√
2
2
,−
√
2
2
, 0
)
,
U2 =
(√
6
6
,
√
6
6
,−
√
6
3
)
,
U3 =
(√
3
3
,
√
3
3
,
√
3
3
)
.
Soluc¸a˜o: Temos
O′P = P −O′ =
(
−
√
2
2
,−3
√
2
2
,−
√
2
)
−
(√
2,
√
2,
√
2
)
=
(
−3
√
2
2
,−5
√
2
2
,−2
√
2
)
=
(√
2
2
,−
√
2
2
, 0
)
+ 0
(√
6
6
,
√
6
6
,−
√
6
3
)
− 2
√
6
(√
3
3
,
√
3
3
,
√
3
3
)
logo
P = (1, 0,−2
√
6)
neste sistema de coordenadas. ¥
A questa˜o que imediatamente surge em mente e´ a seguinte: se um ponto P tem coordenadas (x, y, z) em
um certo sistema de coordenadas (O,E1, E2, E3), como encontrar as coordenadas (x′, y′, z′) deste ponto em
relac¸a˜o ao sistema (O′, U1, U2, U3)?
Para responder a esta pergunta, consideremos por simplicidade o caso em que O = O′. Enta˜o, temos
−−→
OP = xE1 + yE2 + zE3
e precisamos escrever
−−→
OP em func¸a˜o de U1, U2, U3. Para fazer isso, e´ primeiro necessa´rio saber escrever
E1, E2, E3 em func¸a˜o de U1, U2, U3. De fato, se
E1 = a11U1 + a21U2 + a31U3,
E2 = a12U1 + a22U2 + a32U3,
E3 = a13U1 + a23U2 + a33U3,
segue que
−−→
OP = x(a11U1 + a21U2 + a31U3) + y(a12U1 + a22U2 + a32U3) + z(a13U1 + a23U2 + a33U3)
= (xa11 + ya12 + za13)U1 + (xa21 + ya22 + za23)U2 + (xa31 + ya32 + za33)U3,
ou  x′y′
z′
 =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 xy
z
 .
2
AmatrizA = (aij) que obtivemos e´ chamada dematriz de mudanc¸a de coordenadas da base {E1, E2, E3}
para a base {U1, U2, U3}. Observe que as colunas de A sa˜o exatamente as coordenadas dos vetores E1, E2, E3
na base {U1, U2, U3}.
Portanto, para obter a matriz de mudanc¸a de coordenadas A do sistema antigo de coordenadas para
o novo sistema de coordenadas, e´ preciso antes de mais nada obter as coordenadas dos vetores E1, E2, E3
que formam a base do antigo sistema de coordenadas em relac¸a˜o a` base {U1, U2, U3} do novo sistema de
coordenadas. Em geral, a situac¸a˜o e´ a seguinte: escolhe-se por algum motivo treˆs vetores U1, U2, U3 no
sistema de coordenadas original (em geral, porque existe alguma simetria no problema que faz com que
ele seja mais facil e simplesmente descrito em relac¸a˜o a`s direc¸o˜es dadas por estes treˆs vetores), ou seja, as
coordenadas de U1, U2, U3 sa˜o conhecidas em relac¸a˜o a` base {E1, E2, E3}, digamos
U1 = (a′11, a
′
21, a
′
31) = a
′
11E1 + a
′
21E2 + a
′
31E3,
U2 = (a′12, a
′
22, a
′
32) = a
′
12E1 + a
′
22E2 + a
′
32E3,
U3 = (a′13, a
′
23, a
′
33) = a
′
13E1 + a
′
23E2 + a
′
33E3.
Para conhecer as coordenadas de E1, E2, E3 em relac¸a˜o a` base {U1, U2, U3} temos, portanto, que resolver os
treˆs sistemas lineares
(1, 0, 0) = a11(a′11, a
′
21, a
′
31) + a21(a
′
12, a
′
22, a
′
32) + a31(a
′
13, a
′
23, a
′
33),
(0, 1, 0) = a12(a′11, a
′
21, a
′
31) + a22(a
′
12, a
′
22, a
′
32) + a32(a
′
13, a
′
23, a
′
33),
(0, 0, 1) = a13(a′11, a
′
21, a
′
31) + a23(a
′
12, a
′
22, a
′
32) + a33(a
′
13, a
′
23, a
′
33).
Estes treˆs sistemas lineares tem a mesma matriz de coeficentes
A′ =
 a′11 a′12 a′13a′21 a′22 a′23
a′31 a
′
32 a
′
33
 ;
eles diferem apenas em suas matrizes de coeficientes independentes. De fato, os treˆs sistemas lineares sa˜o 10
0
 =
 a′11 a′12 a′13a′21 a′22 a′23
a′31 a
′
32 a
′
33
 a11a21
a31
 ,
 01
0
 =
 a′11 a′12 a′13a′21 a′22 a′23
a′31 a
′
32 a
′
33
 a12a22
a32
 ,
 00
1
 =
 a′11 a′12 a′13a′21 a′22 a′23
a′31 a
′
32 a
′
33
 a13a23
a33

Como sabemos, a melhor estrate´gia para resolver va´rios sistemas lineares que teˆm uma matriz de coeficientes
comum e´ calcular a inversa desta matriz. Mais ainda no nosso caso, no´s vemos que 1 0 00 1 0
0 0 1
 =
 a′11 a′12 a′13a′21 a′22 a′23
a′31 a
′
32 a
′
33
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

donde  a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
 a′11 a′12 a′13a′21 a′22 a′23
a′31 a
′
32 a
′
33
−1 ,
isto e´,
A = [A′]−1.
3
Este resultado era de se esperar, pois a matriz A′ e´ a matriz de mudanc¸a de coordenadas da base {U1, U2, U3}
para a base {E1, E2, E3}.
Exemplo 2. Encontre as coordenadas do ponto P = (4, 3,−1) em relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas
cuja origem coincide com a origem (0, 0, 0) e cuja base e´ dada pelos vetores (1, 2,−1), (3, 0, 4) e (0,−1, 1).
Soluc¸a˜o: Formando a matriz A′ cujas colunas sa˜o dadas pelas coordenadas dos vetores da base do
novo sistema de coordenadas
A′ =
 1 3 02 0 −1
−1 4 1
 ,
sabemos que a matriz A de mudanc¸a de coordenadas do sistema {i, j, k} para o novo sistema de
coordenadas e´ a inversa desta matriz. Logo, usando qualquer um dos me´todos que aprendemos para
calcular a inversa de uma matriz, obtemos
A =
 1 3 02 0 −1
−1 4 1
−1 =
 4 −3 −3−1 1 1
8 −7 −6
 .
Assim, as coordenadas de P no novo sistema de coordenadas sa˜o 4 −3 −3−1 1 1
8 −7 −6
 43
−1
 =
 10−2
17
 ,
isto e´, (10,−2, 17). ¥
A situac¸a˜o e´ muito mais simples quando a base {U1, U2, U3} do novo sistema de coordenadas e´ uma base
ortonormal, pois neste caso temos
Ei · Uj = ajiUj · Uj = aji,
de modo que obtemos a matriz de mudanc¸a de coordenadas sem precisar de calcular a inversa de uma matriz:
A =
 E1 · U1 E2 · U1 E3 · U1E1 · U2 E2 · U2 E3 · U2
E1 · U3 E2 · U3 E3 · U3
 .
Exemplo 3. Encontre as coordenadas do ponto P = (4, 3,−1) em relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas
cuja origem coincide com a origem (0, 0, 0) e cuja base e´ dada pelos vetores ortonormais
U1 =
(√
2
2
,−
√
2
2
, 0
)
,
U2 =
(√
6
6
,
√
6
6
,−
√
6
3
)
,
U3 =
(√
3
3
,
√
3
3
,
√
3
3
)
.
Soluc¸a˜o: A matriz A de mudanc¸a de coordenadas do sistema {i, j, k} para o novo sistema de coorde-
nadas e´ dada por
A =
 i · U1 j · U1 k · U1i · U2 j · U2 k · U2
i · U3 j · U3 k · U3
 =

√
2
2 −
√
2
2 0√
6
6
√
6
6 −
√
6
3√
3
3
√
3
3
√
3
3
 .
4
Portanto, 
√
2
2 −
√
2
2 0√
6
6
√
6
6 −
√
6
3√
3
3
√
3
3
√
3
3

 43
−1
 =

√
2
2
3
√
6
2
2
√
3
 ,
e as coordenadas de P no novo sistema de coordenadas sa˜o
(√
2
2 ,
3
√
6
2 , 2
√
3
)
. ¥
Observe neste u´ltimo exemplo que a matriz A de mudanc¸a de coordenadas do sistema {i, j, k} para
o sistema {U1, U2, U3} e´ exatamente a transposta da matriz A′ de mudanc¸a de coordenadas do sistema
{U1, U2, U3} para o sistema {i, j, k}. De fato, esta u´ltima e´ simplesmente, como vimos acima, a matriz cujas
colunas sa˜o as coordenadas dos vetores U1, U2, U3 na base {i, j, k}. Como A = [A′]−1, segue que
√2
2
√
6
6
√
3
3
−
√
2
2
√
6
6
√
3
3
0 −
√
6
3
√
3
3

−1
=

√
2
2 −
√
2
2 0√
6
6
√
6
6 −
√
6
3√
3
3
√
3
3
√
3
3
 ,
ou seja, a inversa de A′ e´ a sua transposta A. Isto na˜o e´ coincideˆncia. Sempre que as colunas de uma matriz
formam uma base ortonormal de vetores para Rn, a inversa desta matriz e´ a sua transposta. Isso na˜o e´ dif´ıcil
de ver: segue da pro´pria definic¸a˜o do produto de matrizes, onde cada elemento da matriz produto pode ser
visto como o produto escalar de um vetor-linha da primeira matriz por um vetor-coluna da segunda.
Proposic¸a˜o 1. Seja {U1, ..., Un} uma base de vetores ortonormais para Rn. Considere a matriz P =
[U1...Un] cujas colunas sa˜o formadas pelas coordenadas destes vetores. Enta˜o P−1 = P t.
Prova: Temos
P tP =

U1
U2
...
Un
 [ U1 U2 . . . Un ] =

U1 · U1 U1 · U2 . . . U1 · Un
U2 · U1 U2 · U2 . . . U2 · Un
...
...
. . .
...
Un · U1 Un · U2 . . . Un · Un
 =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
 .
¥
Matrizes que satisfazem esta propriedade, isto e´, cuja inversa e´ a sua pro´pria transposta, sa˜o chamadas
matrizes ortogonais.
Um sistema de coordenadas {O,U1, U2, U3} em que os vetores U1, U2, U3 sa˜o ortonormais e´ chamado um
sistema de coordenadas ortogonal. Como vimos no Exemplo 3, e´ muito fa´cil obter a matriz de mudanc¸a
de coordenadas da base {i, j, k} para um sistema de coordenadas ortogonal
Proposic¸a˜o 2. Sejam U1, U2, U3 vetores ortonormais para R3. Enta˜o a matriz de mudanc¸a de coordenadas
do sistema de coordenadas canoˆnico para o sistema {O,U1, U2, U3} e´ simplesmente a matriz cujas linhas
sa˜o os vetores U1, U2, U3.
Mudanc¸a de Coordenadas atrave´s de uma Translac¸a˜o no Plano
Existem duas maneiras equivalentes de se enxergar uma translac¸a˜o (e o mesmo vale para uma rotac¸a˜o) como
uma mudanc¸a de coordenadas. Na primeira, imaginamos que a transformac¸a˜o e´ efetuada no sistema de
eixos coordenados, isto e´, os pontos do plano sa˜o considerados imo´veis enquanto que os eixos de coordenadas
se movem ate´ atingir uma posic¸a˜o final onde sa˜o considerados eixos coordenados de um novo sistema de
coordenadas, de maneira que um mesmo ponto do plano passa a ser representado por coordenadas diferentes
no novo sistema de eixos coordenados. Na segunda, imaginamos que os eixos coordenados esta˜o fixados e
a transformac¸a˜o e´ realizada em todos os pontos do plano, isto e´, eles passam a ocupar novas coordenadas
5
em relac¸a˜o a`s coordenadas que ocupavam anteriormente (como se fisicamente fossem transportados para
novas posic¸o˜es); quando atingem a sua posic¸a˜o final em cada ponto eles tem novas coordenadas, os eixos
coordenados que na˜o se moveram sa˜o considerados eixos de um novo sistema de coordenadas.
Ambas as maneiras de enxergar sa˜o va´lidas e u´teis. Ale´m disso elas sa˜o completamente equivalentes em
termos matema´ticos: tudo o que e´ realizado por uma tambe´m e´ realizado pela outra. Qual delas escolhemos
vai depender do problema tratado e principalmente da maneira de raciocinar do estudante, ou seja, com qual
modo de pensar ele se sente mais conforta´vel e veˆ as coisas com mais clareza.
Suponha que temos coordenadas cartesianas xy no plano. O que isso significa? Em primeiro lugar,
escolhemos um ponto arbitra´rio do plano e chamamos este ponto de origem do nosso sistema de coordenadas.
Usualmente denotamos ele por O. Em seguida, a partir dele, trac¸amos duas retas perpendiculares (ou seja,
escolhemos duas retas perpendiculares que se interceptam em O). Estas retas sera˜o chamadas os eixos
coordenados do nosso sistema de coordenadas. Chamamos uma das retas de eixo x e a outra reta e´
chamada de eixo y. Sabemos medir distaˆncias no plano, logo sabemos dizer qual e´ a distaˆncia de qualquer
ponto em cada eixo coordenado ate´ a origem. Em cada eixo coordenado existem exatamente dois pontos
que esta˜o a` mesma distaˆncia da origem. De fato, a origem O divide cada uma das retas perpendiculares em
duas semi-retas; em outras palavras, divide os dois eixos em dois semi-eixos. Pontos de um dos semi-eixos
x recebem coordenadas (−a, 0), enquanto que pontos do outro semi-eixo x recebem coordenadas (a, 0), onde
a e´ a distaˆncia do ponto no eixo ate´ a origem; o primeiro e´ chamado o semi-eixo x positivo e o segundo
e´ o semi-eixo x negativo. Analogamente, pontos de um dos semi-eixos y recebem coordenadas (0,−a),
enquanto que pontos do outro semi-eixo y recebem coordenadas (0, a), onde novamente a e´ a distaˆncia do
ponto no eixo ate´ a origem; o primeiro e´ chamado o semi-eixo y positivo e o segundo e´ o semi-eixo y
negativo. Como e´ feita a escolha de qual semi-eixo e´ o semi-eixo positivo e qual e´ o semi-eixo negativo? A
escolha dos semi-eixos positivos e negativos, chamada orientac¸a˜o dos eixos ou do sistema de coordenadas, e´
feita de tal modo que quando giramos o eixo x no sentido anti-hora´rio de um aˆngulo de 90 graus para coincidir
com o eixo y, pontos com coordenadas positivas (a, 0) coincidem com pontos com coordenadas positivas (0, a)
e pontos com coordenadas negativas (−a, 0) coincidem com pontos com coordenadas negativas (0,−a); outro
modo de dizer isso e´ que o semi-eixo x positivo coincide com o semi-eixo y positivo, e o semi-eixo x negativo
coincide com o semi-eixo y negativo.
Um ponto P do plano tem coordenadas x, y se, quando trac¸amos por este ponto a reta perpendicular
ao eixo x, ela vai interceptar este eixo em um ponto com coordenadas (x, 0), e quando trac¸amos por este
ponto a reta perpendicular ao eixo y, ela vai interceptar este eixo em um ponto com coordenadas (0, y).
Desta forma, a cada ponto do plano sa˜o atribu´ıdas coordenadas de maneira u´nica (i. e., diferentes pontos
teˆm coordenadas diferentes e dadas as coordenadas podemos localizar no plano o ponto que teˆm exatamente
estas coordenadas).
O que acontece quando transladamos (deslocamos) o sistema de coordenadas xy pelo vetor (a, b)? Obte-
mos um novo sistema de coordenadas x′y′ cujos eixos sa˜o paralelos e na mesma orientac¸a˜o dos eixos do
sistema original xy, e cuja origem O′ ocupa o ponto que tem coordenadas (a, b) no sistema de coordenadas
original xy.
Observe que a u´nica coisa que movemos aqui foram os eixos coordenados. Os pontos do plano na˜o foram
movidos. Em outras palavras, tudo o que fizemos foi escolher outro ponto do plano como origem O′ de um
novo sistema de coordenadas; escolhemos como origem O′ o ponto do plano que ocupava as coordenadas (a, b)
no sistema de coordenadas original. A partir desta nova origem, trac¸amos novos eixos coordenados, ou seja
escolhemos duas retas perpendiculares, e escolhemos elas paralelas aos eixos coordenados do sistema original
e com a mesma orientac¸a˜o. O plano em si (o espac¸o ambiente) na˜o sofreu nenhuma alterac¸a˜o. Assim, um
mesmo ponto P no plano pode ser representado em coordenadas em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas xy
ou em coordenadas em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas x′y′. Estas coordenadas sera˜o diferentes quando
passamos de um sistema de coordenadas para outro.
Se conhecemos as coordenadas de um ponto P em relac¸a˜o a um dos sistemas de coordenadas, podemos
obter as coordenadas de P em relac¸a˜o ao outro sistema de coordenadas. Observe a figura a seguir:
6
.
O
x
y y'
x'
O'
P
OP O'P
OO'
a x'
b
y'
Se sabemos que um ponto P do plano tem coordenadas (x′, y′) no sistema linha (em vermelho), podemos
ver que as coordenadas de P em relac¸a˜o ao sistema xy (em preto) sa˜o:{
x = x′ + a
y = y′ + b
Reciprocamente, se sabemos que um ponto P do plano tem coordenadas (x, y) no sistema xy, podemos ver
que as suas coordenadas em relac¸a˜o ao sistema linha sa˜o:{
x′ = x− a
y′ = y − b
Podemos pensar tambe´m em termos de deslocamentos. Fac¸amos o seguinte racioc´ınio: para sairmosda
origem O e chegarmos ao ponto P podemos ir diretamente (vetor OP ) ou podemos passar pela origem do
sistema de coordenadas linha, ou seja, podemos ir ate´ essa origem (vetor OO′) e, dela, irmos ate´ P (vetor
O′P ). Em outras palavras (regra do triaˆngulo para a soma de vetores):
OP = OO′ +O′P.
Os vetores acima possuem coordenadas dadas por:
OP = (x, y),
OO′ = (a, b),
O′P = (x′, y′).
Logo:
7
(x, y) = (x′, y′) + (a, b).
Conclu´ımos esta sec¸a˜o com a seguinte observac¸a˜o. Ao inve´s de uma mudanc¸a de coordenadas, a translac¸a˜o
pode ser pensada como uma transformac¸a˜o que desloca todos os pontos do plano pelo vetor (a, b), ou seja, a
diferenc¸a entre o ponto final e o ponto inicial do deslocamento e´ exatamente o vetor (a, b). Podemos imaginar
esta translac¸a˜o como uma transformac¸a˜o que pega um ponto que ocupava a posic¸a˜o (x, y) e leva ele para a
posic¸a˜o (x, y)+ (a, b) (os pontos sa˜o portanto deslocados a unidades na direc¸a˜o x e b unidades na direc¸a˜o y).
Em notac¸a˜o funcional ou notac¸a˜o de transformac¸a˜o, o ponto (x, y) e´ levado para a posic¸a˜o T (x, y) dada por
T (x, y) = (x, y) + (a, b).
Se denotarmos
X =
[
x
y
]
e V =
[
a
b
]
,
a transformac¸a˜o de translac¸a˜o pode ser denotada mais sucintamente por
T (X) = X + V.
O vetor V e´ chamado o vetor de translac¸a˜o.
Mudanc¸a de Coordenadas atrave´s de uma Rotac¸a˜o no Plano
Ao inve´s de transladar os eixos coordenados, podemos querer gira´-los em torno da origem. Esta tambe´m
e´ uma mudanc¸a de coordenadas. No caso da translac¸a˜o, a origem do sistema de coordenadas original e´
deslocada para um outro ponto. Os novos eixos coordenados sa˜o paralelos aos eixos coordenados originais.
Ou seja, o eixo x′ e´ paralelo ao x, assim como o eixo y′ e´ paralelo ao eixo y. No caso de uma rotac¸a˜o, a origem
O permanece fixa e os eixos sa˜o girados de um aˆngulo θ, no sentido anti-hora´rio. O sistema de coordenadas
resultante dessa rotac¸a˜o sera´ tambe´m denotado por x′y′. Novamente, apenas os eixos coordenados se movem.
Os pontos restantes do plano permanecem na mesma posic¸a˜o e sa˜o representados por coordenadas diferentes
dependendo a que sistema de coordenadas nos referimos, ao sistema xy ou ao sistema x′y′. E´ como se
simplesmente escolheˆssemos um outro par de retas perpendiculares a partir da mesma origem, um par de
retas fazendo um aˆngulo θ com o par de retas original.
Como vimos no in´ıcio deste texto, quando queremos representar o ponto P em um outro sistema de
coordenadas com a mesma origem, basta escolhermos outros vetores canoˆnicos i′ e j′ geradores do sistema
x′y′, ou seja, vetores unita´rios na direc¸a˜o dos eixos coordenados deste sistema (estamos sempre supondo
que usamos a mesma escala, isto e´, a mesma medida de comprimento nos dois eixos). Ou seja, desta vez
representaremos o vetor OP como uma combinac¸a˜o linear de i′ e j′. Podemos escrever:
OP = xi+ yj = x′i′ + y′j′
Precisamos encontrar a relac¸a˜o entre os vetores i′ e j′ em relac¸a˜o aos vetores i e j, para podermos determinar
x′ e y′ em func¸a˜o de x e y, e vice-versa, como fizemos acima. Observe a figura a seguir:
8
x
y
x'
y'
i
j
i'j'
Como i′ e j′ sa˜o ambos vetores de comprimento 1, vemos facilmente que:
– a componente horizontal de i′ e´ cos θ e a vertical e´ sen θ; assim, podemos escrever:
i′ = cos θi+ sen θj.
– a componente horizontal de j′ e´ cos(θ + 90) = − sen θ e a vertical e´ sen(θ + 90) = cos θ; logo, podemos
escrever:
j′ = − sen θi+ cos θj.
Substituindo as expresso˜es encontradas para i′ e j′, obtemos
xi+ yj = x′[cos θi+ sen θj] + y′[− sen θi+ cos θj]
= [x′ cos θ − y′ sen θ]i+ [x′ sen θ + y′ cos θ]j.
Em outras palavras, {
x = x′ cos θ − y′ sen θ
y = x′ sen θ + y′ cos θ
o que da´ as coordenadas x, y em func¸a˜o das coordenadas x′, y′. Isso pode ser escrito em notac¸a˜o matricial
como [
x
y
]
=
[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
] [
x′
y′
]
.
Calculando a inversa da matriz 2 × 2 obtida, podemos obter as novas coordenadas x′, y′ em func¸a˜o das
coordenadas originais x, y. Como esta matriz 2× 2 e´ uma matriz ortogonal, sua inversa e´ a sua transposta,
portanto [
x′
y′
]
=
[
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
] [
x
y
]
.
9
A matriz
R =
[
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
]
e´ chamada a matriz de rotac¸a˜o do sistema de coordenadas x, y para o sistema de coordenadas x′, y′.
Portanto, temos
X ′ = RX e X = R−1X ′.
Ao inve´s de uma mudanc¸a de coordenadas, a rotac¸a˜o pode ser pensada como uma transformac¸a˜o que
gira todos os pontos do plano em torno da origem pelo aˆngulo θ. Neste caso, o sistema de coordenados e´
considerado fixado, na˜o se altera, e RX da´ enta˜o as novas coordenadas do ponto neste mesmo sistema de
coordenadas depois que ele (o ponto) foi girado. Em notac¸a˜o de transformac¸a˜o, o ponto X e´ levado no ponto
T (X) que e´ dado por
T (X) = RX.
Transformac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o. Uma transformac¸a˜o linear de Rn e´ uma func¸a˜o T : Rn → Rn que satisfaz as seguintes
propriedades:
(i) T (v + w) = T (v) + T (w) para todos os vetores v, w ∈ Rn;
(ii) T (αv) = αT (v) para todos os vetores v ∈ Rn e para todos os escalares α ∈ R.
Uma transformac¸a˜o linear de Rn transforma vetores em Rn em outros vetores, de uma maneira “linear”.
Para comec¸ar a entender o que isso quer dizer, note que T transforma a reta que passa pela origem e tem
direc¸a˜o v, na reta que passa pela origem e tem direc¸a˜o T (v). Em geral, T transforma planos em planos e
subespac¸os vetoriais em subespac¸os vetoriais. Os pro´ximos exemplos ilustram algumas das diferentes formas
que uma transformac¸a˜o linear pode assumir.
Exemplos. Considere os seguintes exemplos de transformac¸o˜es lineares.
a) A transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 dada por T (v) = 5v. Ela e´ chamada uma dilatac¸a˜o por
motivos o´bvios: seu efeito e´ transformar qualquer vetor de IR3 em um vetor com a mesma direc¸a˜o e
sentido, mas com cinco vezes o comprimento original. Analogamente, a transformac¸a˜o T : R4 → R4
dada por T (v) = 17v e´ uma transformac¸a˜o linear, chamada uma contrac¸a˜o, ou seja, ela transforma um
vetor de R4 em um vetor com a mesma direc¸a˜o e sentido, mas com apenas um se´timo do comprimento
original. [Em geral, dizemos que uma transformac¸a˜o linear T : Rn → Rn definida por T (v) = λv e´
uma dilatac¸a˜o se λ ≥ 1; se λ ≤ 1, dizemos que T e´ uma contrac¸a˜o.]
b) Considere agora a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 definida por T ((x, y)) = (3x, 12y). Con-
siderando a base {(1, 0), (0, 1)} de R2, note que T ((1, 0)) = 3(1, 0), enquanto que T ((0, 1)) = 12 (0, 1);
ou seja, o efeito de T em vetores que tem a mesma direc¸a˜o de i = (1, 0) e´ um efeito de dilatac¸a˜o, en-
quanto que seu efeito sobre vetores que tem a mesma direc¸a˜o de j = (0, 1) e´ um de contrac¸a˜o; diferente
dos casos analizados em (a), temos dilatac¸a˜o em uma direc¸a˜o e contrac¸a˜o na outra. Geometricamente,
T transforma c´ırculos centrados na origem em elipses centradas na origem, cujos eixos maiores tem a
direc¸a˜o de i, enquanto que seus eixos menores tem a direc¸a˜o de j.
c) Defina T : R2 → R2 por T ((x, y)) = (x, 0). O efeito de T e´ colapsar vetores na direc¸a˜o j ate´ o
vetor nulo, enquanto vetores na direc¸a˜o de i na˜o sa˜o tocados. Em outras palavras, T faz desaparecer a
componente y do vetor, levando todo o espac¸o R2 sobre o eixo x. T e´ um exemplo de uma projec¸a˜o.
d) Considere a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 definida por T ((x, y)) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ +
y cos θ). T e´ uma rotac¸a˜o (anti-hora´ria) do plano R2 de um aˆngulo θ. Por exemplo, o vetor i =
(1, 0) e´ transformado no vetor (cos θ, sin θ), enquanto que o vetor j = (0, 1) e´ transformado no vetor
(− sin θ, cos θ) Veja a figura. A transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 definida por T ((x, y, z)) = (x cos θ−
10
y sin θ, x sin θ + y cos θ, z) e´ uma rotac¸a˜o do plano xy em IR3 deum aˆngulo θ em torno do eixo z.
Note que uma rotac¸a˜o na˜o causa dilatac¸a˜o ou contrac¸a˜o em nenhuma direc¸a˜o; e´ um exemplo de uma
transformac¸a˜o linear que conserva comprimentos e distaˆncias entre pontos (por isso e´ chamada uma
isometria).
e) A transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 definida por T ((x, y)) = (x,−y) e´ uma reflexa˜o do plano R2
em relac¸a˜o ao eixo x. A transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 definida por T ((x, y, z)) = (x, y,−z) e´ uma
reflexa˜o de R3 em relac¸a˜o ao plano xy. Reflexo˜es sa˜o outros exemplos de transformac¸o˜es lineares que
conservam comprimentos e distaˆncias (ou seja, sa˜o tambe´m isometrias).
Os exemplos acima da˜o uma ide´ia dos efeitos de uma transformac¸a˜o linear em Rn: em geral uma trans-
formac¸a˜o linear e´ uma combinac¸a˜o de dilatac¸o˜es, contrac¸o˜es, rotac¸o˜es e reflexo˜es. Ou seja, alguns subespac¸os
podem ser dilatados, outros contra´ıdos, outros apenas girados com relac¸a˜o a algum eixo de rotac¸a˜o, enquanto
que outros sa˜o simplesmente refletidos.
Da mesma maneira que um subespac¸o e´ completamente especificado uma vez que conhecemos uma base
para ele (pois todo vetor do subespac¸o se escreve, de maneira u´nica, como uma combinac¸a˜o linear dos vetores
da base), da mesma forma uma transformac¸a˜o linear e´ completamente conhecida uma vez que os seus efeitos
sobre os vetores da base sa˜o conhecidos.
Para entender isso, dada uma transformac¸a˜o linear T : Rn → Rn, escolha uma base {e1, e2, ..., en} para
Rn. Todo vetor v ∈ Rn se escreve de maneira u´nica na forma v = x1e1 + x2e2 + ... + xnen para alguns
escalares determinados x1, ..., xn. Enta˜o, usando as propriedades definidoras de uma transformac¸a˜o linear,
temos que
T (v) = T (x1e1 + x2e2 + ...+ xnen)
= T (x1e1) + T (x2e2) + ...+ T (xnen)
= x1T (e1) + x2T (e2) + ...+ xnT (en).
Portanto, dado v, para saber o que e´ T (v) basta saber o que sa˜o T (e1), T (e2), ..., T (en).
A utilidade desta observac¸a˜o fica ainda mais clara uma vez que empregarmos notac¸a˜o matricial. Note
que T (e1), T (e2), ..., T (en) sa˜o vetores de Rn, logo eles tambe´m se escrevem como combinac¸a˜o linear dos
vetores e1, e2, ..., en da base. Assim, devem existir escalares aij tais que
T (e1) = a11e1 + a21e2 + ...+ an1en,
T (e2) = a12e1 + a22e2 + ...+ an2en,
...
T (en) = a1ne1 + a2ne2 + ...+ annen.
Lembrando que podemos identificar vetores (x1, x2, ..., xn) de Rn com matrizes-coluna
x1
x2
...
xn
 ,
segue que T (v) = T ((x1, x2, ..., xn)) e´ dada atrave´s da multiplicac¸a˜o da matriz A = (aij) e a matriz coluna
(x1, x2, ..., xn):
T (v) = Av =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann


x1
x2
...
xn
 .
11
Em outras palavras, dada uma base {e1, e2, ..., en} de Rn, podemos identificar uma transformac¸o˜es linear de
Rn com uma matriz n×n. Note que as colunas de A sa˜o exatamente as coordenadas de T (e1), T (e2), ..., T (en)
na base {e1, e2, ..., en}.
Exemplos. Vamos encontrar as matrizes das transformac¸o˜es lineares dos exemplos acima com relac¸a˜o a`s
bases-padra˜o de Rn.
a) A transformac¸a˜o linear T : R3 → R3, T (v) = 5v, com relac¸a˜o a` base {i, j, k} e´ representada pela
matriz diagonal
A =
 5 0 00 5 0
0 0 5
 .
Assim, se quisermos encontrar as coordenadas de T ((1, 2, 3)), ou seja, as coordenadas do vetor de R3
em que o vetor (1, 2, 3) e´ transformado atrave´s de T , basta calcular
T ((1, 2, 3)) =
 5 0 00 5 0
0 0 5
 12
3
 =
 510
15
 .
Similarmente, a transformac¸a˜o T : R4 → R4, T (v) = 17v, e´ representada na base{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} pela matriz diagonal
A =

1
7 0 0 0
0 17 0 0
0 0 17 0
0 0 0 17
 .
b) A transformac¸a˜o linear T : R2 → R2, T ((x, y)) = (3x, 12y), e´ representada na base {i, j} pela matriz
diagonal
A =
(
3 0
0 12
)
.
c) T :IR2 →IR2, T ((x, y)) = (x, 0), e representada na base {i, j} pela matriz diagonal
A =
(
1 0
0 0
)
.
d) A rotac¸a˜o T : R2 → R2, T ((x, y)) = (x cos θ− y sin θ, x sin θ+ y cos θ), e´ representada na base {i, j}
pela matriz
A =
(
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)
.
Por exemplo, se θ = pi/3 (rotac¸a˜o anti-hora´ria por um aˆngulo de 60◦), a matriz de rotac¸a˜o e´
A =
(
1
2 −
√
3
2√
3
2
1
2
)
,
e
T ((1, 2)) =
(
1
2 −
√
3
2√
3
2
1
2
)(
1
2
)
=
(
1
2 −
√
3√
3
2 + 1
)
.
12
A rotac¸a˜o T : R3 → R3, T ((x, y, z)) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ, z), e´ representada na base
{i, j, k} por
A =
 cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0
0 0 1
 .
e) T : R2 → R2, T ((x, y)) = (x,−y), e´ representada na base {i, j} pela matriz
A =
(
1 0
0 −1
)
.
A transformac¸a˜o linear T : R3 → R3, T ((x, y, z)) = (x, y,−z), e´ representada na base {i, j, k} por
A =
 1 0 00 1 0
0 0 −1
 .
A escolha da base e´ fundamental. A mesma transformac¸a˜o linear tera´ evidentemente diferentes repre-
sentac¸o˜es matriciais para diferentes escolhas de base. Conforme a escolha da base, a matriz pode assumir
uma forma mais simples ou mais complicada.
Exemplo. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 definida por
T ((x, y, z)) =
(
3
8
x− 13
4
y +
27
8
z,
1
2
x+ 3y +
1
2
z,
21
8
x+
21
4
y − 3
8
z
)
Esta transformac¸a˜o linear e´ representada na base {i, j, k} pela matriz
A =
 38 − 134 2781
2 3
1
2
21
8
21
4 − 38
 .
Mas, se tomarmos os vetores V1 = (1, 2, 3), V2 = (1, 0,−1) e V3 = (−2, 1, 0), notamos o seguinte:
TV1 = A
 12
3
 =
 48
12
 = 4
 12
3
 = 4V1,
TV2 = A
 10
−1
 =
 −30
3
 = −3
 10
−1
− 3V2,
TV3 = A
 −21
0
 =
 −42
0
 = 2
 −21
0
 = 2V3.
Note que os vetores V1, V2, V3 sa˜o L. I., logo eles tambe´m formam uma base para R3. De acordo com
os ca´lculos que fizemos acima, a transformac¸a˜o linear T e´ representada com relac¸a˜o a` base {V1, V2, V3}
pela matriz
B =
 4 0 00 −3 0
0 0 2
 ,
uma matriz diagonal!
13
Portanto, dada uma transformac¸a˜o linear, e´ uma tarefa importante encontrar um sistema de coordenadas
em que ela e´ representada na forma mais simples poss´ıvel. Esta forma simples imediatamente nos da´
informac¸o˜es que caracterizam a transformac¸a˜o linear dada. No exemplo dado acima, um simples olhar
em B nos diz que a transformac¸a˜o e´ uma dilatac¸a˜o em duas direc¸o˜es (com coeficientes de dilatac¸a˜o 4 e 2,
respectivamente) e uma reflexa˜o seguida de dilatac¸a˜o (com coeficiente 3) na terceira direc¸a˜o; ja´ da forma de
A por si so´, na˜o e´ poss´ıvel obter nenhuma informac¸a˜o u´til.
14