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Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Faculdade de Economia, Administração, Contabilidade e Atuária FEA-PUC-SP Campus Perdizes 3ª Lista de Exercícios de Economia Matemática I. Capítulos e seções de referência da bibliografia básica: CHIANG and WAINWRIGTH: Capítulos: 1º 2º 3º 4º 5º Seções: única 2.1 e 2.7 3.1 a 3.5, exceto 3.3 4.1 a 4.6, exceto 4.3 5.1 a 5.8 JEAN WEBER: Capítulos: 7º 8º Seções: 7.1 a 7.5, 7.7 8.3 1. Vimos em sala o Modelo de Insumo e Produto de Leontief em seu formato matricial. Vimos inclusive como é aplicado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE – à análise do encadeamento produtivo na economia brasileira dividida em 12 grandes setores. Vá ao site do IBGE ( www.ibge.gov.br ) e, logo na primeira página, utilizando o campo de busca que aparece no seu canto superior direito, faça uma busca de conteúdo com a expressão “insumo produto”. Depois que o site direcioná-lo à página com esse conteúdo, selecione o material em formato “PDF” relativo ao ano de 2005 e abra: 1) a matriz de coeficientes técnicos inter-setoriais de produção; e 2) a matriz de impacto inter-setorial de Leontief. Responda: a) de acordo com a primeira matriz, qual a participação do setor Agropecuário em cada unidade produzida pela Indústria de Transformação? b) e qual a participação da Agropecuária em cada unidade produzida pelo setor de Atividades Imobiliárias e Aluguel? Na diagonal principal dessa mesma matriz 12 x 12 encontra-se a participação por unidade de produção que cada um dos setores tem em si mesmo. c) qual dos setores é o que apresenta maior participação em si mesmo, por unidade produzida? d) qual deles é o que se mostra ser o mais dependente dos demais 11 setores? De acordo com a segunda matriz, o aumento de uma unidade na demanda final de um produto de setor Agropecuário tem qual efeito de aumento de produção: e) em si mesmo? f) na indústria de transformação? A diagonal da matriz principal dessa segunda matriz 12 x 12 dá o efeito multiplicador que a demanda final adicional de uma unidade de produto tem no próprio setor que o produz. g) de acordo com essa matriz, qual o setor que apresenta a maior capacidade de “reação” quando sua demanda final é aquecida um uma unidade? A soma das colunas dessa segunda matriz dá o efeito multiplicador que cada um dos setores provoca em toda a cadeia produtiva quando sua demanda final é aumentada em uma unidade. h) qual dos setores apresenta o maior efeito multiplicador em toda a economia brasileira? 2. Suponha que o Modelo de Insumo e Produto de Leontief venha a ser aplicado a uma cidade cuja economia é composta somente por dois setores e pelas demandas finais. Suponha que as participações percentuais médias de cada setor em si mesmo e no outro setor sejam, respectivamente, 2,011 a , 2,012 a , 3,021 a e 5,022 a , o que pode ser representado pela seguinte matriz de coeficientes técnicos: 5,03,0 2,02,0 A . O problema do modelo se resume a determinar quais os níveis de produto de cada setor, 1x e 2x capazes de atender exatamente às demandas intermediárias somadas às respectivas demandas finais 1h e 2h , isto é, encontrar a solução do sistema linear a seguir: 2212 1211 5,0 3,0 2,0 2,0 hxxx hxxx ou, em formato matricial, 2 1 2 1 2 1 5,03,0 2,02,0 h h x x x x . Pede-se: a) reescreva o sistema matricial na sua forma reduzida hxAI )( ; b) verifique que a matriz 8,03,0 2,05,0 34,0 1)( 1AI resolve esse sistema; c) suponha que as demandas finais pelos dois produtos sejam, de início, 11 h e 12 h . Determine os níveis de produção 0 1x e 02x que equilibram a economia. d) suponha que a demanda final do produto 1 aumente em uma unidade, isto é, de 11 h para 21 h mas a do segundo produto mantenha-se em 12 h . Quais serão os novos níveis de produto 1 1x e 1 2x resultantes do equilíbrio. Calcule as diferenças 01 1 1 xx e 0 2 1 2 xx e determine qual o efeito multiplicador da mudança em cada setor e na economia como um todo. e) refaça o item anterior considerando que a mudança seja agora de uma unidade em 2h ; f) pela comparação dos dois itens anteriores - (d) e (e) - responda: qual das duas demandas finais, se aumentada em uma unidade, tem o maior efeito multiplicador na Economia? g) na expressão da matriz 1)( AI dada no item (b) distribua o determinante 34,0 dividindo por ele todas as entradas de 8,03,0 2,05,0 e verifique que os elementos resultantes na diagonal principal são todos maiores do que 1. Qual o significado econômico dessa característica numérica da matriz 1)( AI que é chamada de Matriz de Impactos inter-setoriais de Leontieff? 3. Considere que a atividade econômica de determinada cidade possa ser modelada de forma simplificada pelos fluxos de produto entre três setores produtivos bem como desses setores para o consumo final, de tal forma que sua matriz de coeficientes técnicos no modelo insumo- produto de Leontief seja 5,00,03,0 2,04,00,0 0,03,01,0 . Representado o vetor de demanda final dos três produtos por 3 2 1 h h h H determine o produto de equilíbrio da economia dessa cidade em função desse vetor H. Suponha, por fim, que a prefeitura da cidade resolva gerar renda estimulando a produção pela atuação direta na demanda final de um desses três produtos: em qual das demandas finais a prefeitura deveria intervir para conseguir, ao final, o maior efeito multiplicador? De quanto seria esse efeito multiplicador? 4. Suponha que, tal como analisado em sala de aula, a população de uma cidade possa escolher por uma dentre 3 tecnologias alternativas para desempenhar uma mesma tarefa: A, B e C. Considere que, a cada mês, 25% dos usuários da tecnologia A mantenham-se fiéis a ela, 25% passem a utilizar a tecnologia B e 50%, a tecnologia C. Dos usuários de B, metade se mantém fiel a ela, 40% mudam-se para A e 10% para B. Finalmente, dos usuários de C, 30% mantém-se fiéis a C, 40% mudam-se para B e 30% mudam-se para A. Assim, representadas as quantidades de usuários de cada uma dessas tecnologias, no mês t, por tA , tB e tC , tem-se, em formato matricial, o seguinte sistema dinâmico: t t t t t t C B A C B A 30,010,050,0 40,050,025,0 30,040,025,0 1 1 1 Suponha que hoje, aproximadamente, dos 20000 habitantes da cidade, 8000 deles utilizem a tecnologia A, 5000 utilizem a B e 7000 utilizem a C. Pede-se: a) quantos serão os usuários da tecnologia A, no mês que vem, aproximadamente? b) e daqui a dois meses? Representem-se por A , B e C as quantidades de usuários de cada tecnologia tais que, uma vez atingidas não mais se modifiquem, isto é, as quantidades de equilíbrio do sistema. Nesse caso, inclusa a restrição da quantidade total de clientes, o sistema pode ser reescrito, no equilíbrio, como segue: 20000 0 0 111 40,050,025,0 30,040,075,0 C B A . Nesse caso, determine os valores A , B e C que representam o tamanho de equilíbrio das empresas. 5. As seguradoras de veículos têm por prática diferenciarseus segurados de acordo com variados níveis de bônus a que eles têm direito, e que se convertem em descontos nos valores que pagam por suas apólices. Considere que sejam três os tipos de clientes de cada seguradora, a depender do bônus a que têm direito: segurado tipo A – nenhum desconto; segurado tipo B – desconto de 10%; e segurado tipo C – desconto de 20%. Se um segurado fica determinado período sem bater seu carro, ele passa a receber um bônus maior, isto é, se é do tipo A, passa a ser do tipo B e se é do tipo B, passa a ser do tipo C. Mas nunca acontece de um segurado do tipo A “pular” diretamente para a categoria C. Por outro lado, se um segurado bate seu carro, ele perde todo o seu bônus e cai necessariamente para a categoria A, quer esteja na B, quer na C. Suponha que para determinada seguradora em particular, ano a ano, 70% dos segurados do tipo A mantenham-se nessa categoria, 60% do tipo B caiam para a categoria A, assim como 30% da categoria C também caiam para a A, o que leva à seguinte equação de ajuste anual: At+1 = 0,7At + 0,6Bt + 0,3Ct. Suponha ainda que, também ano a ano, 30% dos clientes da categoria B mantenham-se assim e 30% dos clientes da categoria A subam para a B, o que leva à equação: Bt+1 = 0,3At + 0,3Bt. Finalmente, 10% dos clientes de B subam para a categoria C e 70% da categoria C mantenham-se assim, o que leva a Ct+1 = 0,1Bt + 0,7Ct. Na forma matricial, esse sistema se reduz a t t t t t t C B A C B A 7,01,00 03,03,0 3,06,07,0 1 1 1 a) se a seguradora tem, neste mês, At = 10000 segurados na categoria A, Bt = 7000 segurados na categoria B e Ct = 3000 segurados na categoria C, quantos segurados ela terá na categoria A, no mês que vem? Considere que, depois de um período de ajuste, o sistema atinja o equilíbrio, de tal forma que a quantidade de clientes em cada categoria mantenha-se inalterada, ano a ano. Determine o valor de equilíbrio de A, B e C que indicam a quantidade de segurados que estarão em cada uma das três categorias de bônus, depois de atingido o equilíbrio.
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