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AP2 MetDet I 2015 1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.0 pts) : Sabe-se que os pontos
(
2
3
, 1
)
e
(
3 , −2
5
)
pertencem a uma reta l.
a) (1.5 pt) Encontre a equac¸a˜o da reta l.
b) (0.5 pt) Esboce a reta l no plano cartesiano.
Soluc¸a˜o:
a) A equac¸a˜o de uma reta e´ da forma y = ax+ b. Como o ponto
(
2
3
, 1
)
pertence a` reta l, vamos
substituir x =
2
3
e y = 1 em y = ax+ b. Desta forma, encontramos que
1 = a · 2
3
+ b.
Da mesma forma, como o ponto
(
3 , −2
5
)
tambe´m pertence a` reta l, vamos substituir x = 3 e
y = −2
5
em y = ax+ b. Desta forma, encontramos que
−2
5
= a · 3 + b.
Temos assim que resolver o sistema
a · 2
3
+ b = 1 (1)
a · 3 + b = −2
5
(2)
Multiplicando a equac¸a˜o (2) por −1 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e. fazendo (1)-(2),
temos 
a · 2
3
+ b = 1
−a · 3− b = −
(
−2
5
)
+ (
2
3
− 3
)
a = 1 +
2
5
Me´todos Determin´ısticos I AP2 2
Encontramos enta˜o que(
2
3
− 3
)
a = 1 +
2
5
⇔
(
2
3
− 9
3
)
a =
5
5
+
2
5
⇔ −7
3
a =
7
5
⇔ a = −7
5
· 3
7
⇔ a = −3
5
.
Substituindo agora a = −3
5
em (1), chegamos a
−3
5
· 2
3
+ b = 1 ⇔ −2
5
+ b = 1
⇔ b = 1 + 2
5
⇔ b = 5
5
+
2
5
⇔ b = 7
5
.
Conclu´ımos portanto que
a = −3
5
e b =
7
5
.
Desta forma, a equac¸a˜o da reta l e´:
y = −3
5
x+
7
5
.
b) Observe que uma vez encontrada a equac¸a˜o da reta l: y = −3
5
x+
7
5
, voceˆ pode fazer seu esboc¸o
no plano cartesiano encontrado as intersec¸o˜es com os eixos coordenados.
Intersec¸a˜o com o eixo x:
−3
5
x+
7
5
= 0 ⇔ −3
5
x = −7
5
⇔ x = −7
3
.
Intersec¸a˜o com o eixo y:
y = −3
5
.0 +
7
5
⇔ y = 7
5
.
Entretanto, uma outra opc¸a˜o, ate´ mais imediata, seria marcar os pontos
(
2
3
, 1
)
e
(
3 , −2
5
)
no plano cartesiano e liga´-los.
Esboc¸o da reta
y = −3
5
x+
7
5
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
2
3 3
x
-
2
5
1
y
Questa˜o 2 (2.0 pt) : O nu´mero p de barris de petro´leo produzidos em um certo per´ıodo varia de
acordo com a seguinte desigualdade
|p− 2.250.000| ≤ 125.000.
Resolva esta inequac¸a˜o e determine os valores de p que representam a menor e a maior produc¸a˜o
verificadas no per´ıodo considerado.
Soluc¸a˜o: Para resolver a inequac¸a˜o |p− 2.250.000| ≤ 125.000, vamos utilizar que: |y| ≤ a ⇔
−a ≤ y ≤ a, para todo y, a ∈ R. Desta forma, tomando y = p− 2.250.000 e a = 125.000. Temos
enta˜o, que
|p− 2.250.000| ≤ 125.000 ⇔ −125.000 ≤ p− 2.250.000 ≤ 125.000
⇔ −125.000 + 2.250.000 ≤ p ≤ 125.000 + 2.250.000
⇔ 2.125.000 ≤ p ≤ 2.375.000
Conclusa˜o: |p− 2.250.000| ≤ 125.000 ⇔ 2.125.000 ≤ p ≤ 2.375.000. Desta forma, a
produc¸a˜o mais baixa e´ de 2.125.000 barris de petro´leo e a produc¸a˜o mais alta e´ de 2.375.000 barris
de petro´leo.
Questa˜o 3 (2.2 pts) : Considere a func¸a˜o P dada abaixo.
P(x) =
√
−x2 + 16x− 55.
a) (1.5 pt) Determine, na forma de intervalo, o dom´ınio da func¸a˜o P .
b) (0.7 pt) Determine, na forma de intervalo, para que valores de x ∈ Dom(P), temos que
(P(x))2 ≥ −x|x|+ 57.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
Soluc¸a˜o:
a) Como a func¸a˜o P e´ definida a partir de uma raiz quadrada, seu radicando deve ser maior ou igual
a zero, i.e. devemos ter −x2 + 16x− 55 ≥ 0.
−x2 + 16x− 55 ≥ 0 ⇐⇒ x2 − 16x+ 55 ≤ 0
⇐⇒ x2 − 16x+ 55 ≤ 0
⇐⇒ 5 ≤ x ≤ 11.
Portanto, chamando de Dom(P) o dom´ınio da func¸a˜o P , temos que
Dom(P) = {x ∈ R | 5 ≤ x ≤ 11} = [5, 11].
b) Observe que
(P(x))2 = −x2 + 16x− 55, x ∈ [5, 11].
Para determinar os valores de x ∈ [5, 11] que satisfazem a desigualdade
(P(x))2 ≥ −x|x|+ 57,
devemos, portanto, resolver a inequac¸a˜o
−x2 + 16x− 55 ≥ −x|x|+ 57, x ∈ [5, 11].
Uma vez que x ∈ [5, 11], temos que |x| = x. Desta forma,
(P(x))2 ≥ −x|x|+ 57, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ −x2 + 16x− 55 ≥ −x2 + 57, x ∈ [5, 11]
−x2 + 16x− 55 ≥ −x|x|+ 57, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ −x2 + 16x− 55 ≥ −x2 + 57, x ∈ [5, 11]
16x ≥ 57 + 55, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ 16x ≥ 112, x ∈ [5, 11]
x ≥ 112
16
, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ x ≥ 7, x ∈ [5, 11]
⇐⇒ x ∈ [7,∞) ∩ x ∈ [5, 11]
⇐⇒ x ∈ [7, 11]
Temos assim, que (P(x))2 ≥ −x|x|+ 57 se x ∈ [7, 11].
Questa˜o 4 (3.8 pts) : Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado
produto sa˜o dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 16P − 15 e Q(P ) = 4P + 5, 3 ≤ P ≤ 15
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, por
unidades de medida.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
a) (0.5 pt) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$1,20?
b) (0.8 pt) Determine o prec¸o do produto para o qual a demanda e´ ma´xima? Qual e´ este valor
ma´ximo da demanda?
c) (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Quais sa˜o os valores da demanda e
da oferta referentes a este prec¸o?
d) (1.5 pt) Num mesmo sistema de eixos coordenados, esboce os gra´ficos das curvas de demanda
e de oferta deste produto, marcando os pontos encontrados nos itens anteriores (b) e (c).
Soluc¸a˜o:
a) Vamos substituir P = 1, 2 na func¸a˜o demanda, D. Neste caso, temos que
D(1, 2) = −(1, 2)2 + 16.(1, 2)− 15 = 2, 76
= −1, 44 + 19, 2− 15
= 2, 76
Resposta: 2,76 unidades de medida.
b) O gra´fico da func¸a˜o demanda, D, e´ a para´bola y = −P 2+16P − 15. Observe que esta para´bola
possui concavidade voltada para baixo, pois a = −1 < 0. Desta forma, a demanda e´ ma´xima no
ve´rtice da para´bola. O prec¸o pedido e´ portanto o P do ve´rtice, que chamaremos de Pv. Temos
assim que
Pv = − b
2a
= − 16−2 = 8.
Por outro lado, o valor ma´ximo da demanda, D, e´ o y do ve´rtice, que chamaremos de yv. Temos
assim que
yv = −∆
4a
= −(16)
2 − 4.15
4
= −256
60
=
196
4
= 49.
Desta forma, temos que a demanda ma´xima e´ de 49 unidades de medida e ela ocorre quando o
prec¸o do produto e´ de R$8,00.
c) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda, D, e oferta, Q.
−P 2 + 16P − 15 = 4P + 5 ⇔ −P 2 + 16P − 15− P − 5 = 0⇔ −P 2 + 12P − 20 = 0
⇔ P 2 − 12P + 20 = 0⇔ P = 12±
√
(12)2 − 4.20
2
⇔ P = 12±
√
144− 80
2
⇔ P = 12±
√
64
2
⇔ P = 12± 8
2
⇔ P = 2 ou P = 10.
Como 3 ≤ P ≤ 15, devemos descartar P = 2 e ficar apenas com P = 10.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
Quando P = 10, temos que
D(10) = P(10) = 4 · 10 + 5 = 45.
Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio para este produto e´ de R$10,00. E a demanda e a oferta e´ de 45
unidades de medida para este prec¸o.
d) Gra´ficos:
D
QV HvérticeL
3 8 10 15
x
13
45
49
y
Boa Prova!
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

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