LISTA Cálculo 3

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Universidade Federal de Itajuba´
LISTA 1 - MAT003
1. Estude a atuac¸a˜o da transformac¸a˜o entre R2 e R2 dada por
f(u, v) = (u2 − v2, uv), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.
2. Seja f(u, v) = (u+ v, u− v). Desenhe f(B) em cada item.
(a) B e´ a reta v = 0;
(b) B e´ o quadrado 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.
3. Mostre que a f do exerc´ıcio anterior transforma
u2 + v2 ≤ r2 em x2 + y2 ≤ 2r2.
4. Mostre que f(u, v) = (u+ v, u, v) transforma R2 no plano x− y − z = 0.
5. Trace o gra´fico da curva representado pela intersecc¸a˜o do semi-elipso´ide
x2
12
+
y2
24
+
z2
4
= 1, z ≥ 0
com o cilindro parabo´lico y = x2. A seguir, encontre uma func¸a˜o a valores
vetorias que represente o gra´fico.
6. Seja a transformac¸a˜o f(u, v) = (u, v, 1 − u − v), u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 1.
Desenhe a imagem de f .
7. Seja a transformac¸a˜o ϕ(θ, ρ) = (ρ cos θ, ρ senθ). Desenhe o conjunto ϕ(R),
onde
R = {(θ, ρ) ∈ R2 : 1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2pi}.
8. Seja f(u, v) = (u cos v, u senv, u), u ≥ 0.
(a) Mostre que f transforma u = u0 (u0 6= 0) numa circunfereˆncia.
(b) Mostre que f transforma v = v0(v0 6= 0) numa reta em R3 passando pela
origem.
(c) Desenhe f(B), onde B e´ o retaˆnculo de ve´rtices (0, 0), (0, 2pi), (1, 0) e
(1, 2pi).
1
9. Reconhec¸a a imagem da transformac¸a˜o f(u, v) = (u cos v, u sen v, u2), u ≥ 0 e
0 ≤ v ≤ 2pi.
10. Seja f(ρ, ϕ, θ) = (ρ senϕ cos θ, ρ senϕ senθ, ρ cosϕ), ρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ pi e 0 ≤
θ ≤ 2pi. Esboce f(B) quando:
(a) ρ = 2.
(b) ϕ = pi/2.
(c) ϕ = pi/4 e ρ = 2.
11. Reconhec¸a a imagem da transformac¸a˜o f(u, v) = (cos v, sen v, u), 0 ≤ u ≤ 1 e
0 ≤ v ≤ 2pi.
12. Desenhe a imagem de u = 1 pela transformac¸a˜o f(u, v) = (2u cos v, u sen v),
u ≥ 0 e 0 ≤ v ≤ 2pi.
13. Desenhe a imagem de 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2pi pela transformac¸a˜o f(u, v) =
(2u cos v, u sen v).
14. Reconhec¸a a imagem da transformac¸a˜o f(u, v, w) = (u cos v, u sen v, w), 0 ≤
u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2pi e w = 1.
15. Desenhe a imagem de f(u, v) = (u, v,
√
1− u2 − v2), u2 + v2 ≤ 1.
16. Exiba uma transformac¸a˜o que leve o c´ırculo u2 + v2 ≤ r2 na regia˜o el´ıptica
x2
4
+
y2
9
≤ 1.
17. Deˆ uma representac¸a˜o geome´trica para cada campo vetorial:
(a) ~v(x, y) = x2~j
(b) ~v(x, y) =~i+~j
(c) ~v(x, y) = −y~i+ x~j
(d) ~v(x, y) = (1− x2)~j, |x| < 1
(e) ~v(x, y) = x√
x2+y2
~i+ y√
x2+y2
~j
(f) ~v(x, y) = − y√
x2+y2
~i+ x√
x2+y2
~j
(g) ~v(x, y) = xy2
~i+ x
2
4
~j
2
18. Seja ~F (x, y) =~i+ (x− y)~j. Desenhe o campo ~F nos pontos da reta
(a) y = x
(b) y = x− 1
(c) y = x− 2
19. Desenhe ~F (x, y) =~i+ xy~j nos pontos da curva xy = 1, x > 0.
20. Seja ~F = ∇f , onde f(x, y) = x+ 2y. Desenhe ~F (x, y) quando x+ 2y = 1.
21. Seja ~F = ∇f , onde f(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Desenhe ~F (x, y, z) quando
x2 + y2 + z2 = 1, x > 0, y > 0 e z > 0.
22. Calcule o rotacional.
(a) ~F (x, y, z) = −y~i+ x~j + z~k.
(b) ~F (x, y, z) = arctan
(
x
y
)
~i+ ln
√
x2 + y2~j + ~k
(c) ~F (x, y, z) = yzy−z~i+
xz
x−z~j +
xy
x−y
~k
(d) ~F (x, y, z) = sen(x− y)~i+ sen(y − z)~j + sen(z − x)~k
(e) ~F (x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2(~i+~j + ~k).
23. Seja f : A ⊂ R2 → R, A aberto e f de classe C2. Verifique que o campo
vetorial ~F = ∇f e´ irrotacional.
24. Esboce um exemplo de campo ~F (x, y) = Q(x, y)~j, (x, y) ∈ Ω satisfazendo as
seguintes condic¸o˜es:
Q > 0,
∂Q
∂y
> 0, (x, y) ∈ Ω = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} × {−3,−1, 3}.
O campo esboc¸ado e´ irrotacional? O divergente dele e´ nulo?
25. Considere o escoamento
~F (x, y, z) = − y
(x2 + y2)α
~i+
x
(x2 + y2)α
~j,
onde α > 0 e´ uma constante. Verifique que rot ~F 6= ~0 quando α 6= 1.
26. Calcule o divergente do campo vetorial dado.
(a) ~F (x, y, z) = (x2 − y2)~i+ sen (x2 + y2)~j + arctan z~k
(b) ~F (x, y, z) = (x2 + y2 + z2) arctan(x2 + y2 + z2)~k.
3
27. Seja g(x, y) = f(x/y), y > 0, onde f(u) e´ uma func¸a˜o real de varia´vel real e
deriva´vel ate´ a 2a ordem. Suponha que ∇2g = 0.
(a) Mostre que (1 + u2)f ′′(u) + 2uf ′ = 0.
(b) Determine uma func¸a˜o f para que se tenha ∇2g = 0.
Sugesta˜o: Suponha que f ′(u) > 0 e derive ln f ′(u).
28. Seja ~F (x, y) = 5ϕ(x, y), onde ϕ(x, y) = y − x2, (x, y) ∈ R2. Represente o
campo vetorial (Ω, ~F ) nos pontos
{(−3, 9), (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)} ⊂ R2.
29. Seja ~F (x, y) = 5ϕ(x, y), onde ϕ(x, y) = y − x2, (x, y) ∈ R2. Represente o
campo vetorial (Ω, ~F ) nos pontos
{(−3,−27), (−2,−8), (−1,−1), (0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27)} ⊂ R2.
30. Considere o campo (Ω, ~v), onde Ω = R2 e ~v = P (x, y)~i+Q(x, y)~j e´ um campo
velocidade de um fluido em escoamento bidimensional. Em poucas palavras,
fale sobre o significado f´ısico dos seguintes entes:
(a) rot~v(x, y).
(b) div~v(x, y).
31. Esboce um exemplo do campo ~F (x, y) = Q(x, y)~j, (x, y) ∈ Ω satisfazendo as
seguintes condic¸o˜es:
Q < 0,
∂Q
∂x
> 0, (x, y) ∈ {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} × {−4,−2, 0, 2, 4} ⊂ Ω.
O campo esboc¸ado e´ irrotacional? O divergente e´ nulo?
32. Seja ϕ(x, y) = f(x2 + y2), onde f(u) e´ uma func¸a˜o real de varia´vel real e
deriva´vel ate´ a 2a ordem. Suponha que ∇2ϕ = 0.
(a) Mostre que uf ′′(u) = −f ′, u > 0.
(b) Determine uma func¸a˜o f na˜o-constante para que se tenha ∇2g = 0.
33. Considere um campo ~F (x, y) = Q(x, y)~j, (x, y) ∈ Ω ⊂ R2. Esboce, pelo
menos, um exemplo do campo (Ω, ~F ) satisfazendo as condic¸o˜es em cada caso
a seguir. Em cada caso calcule o divergente e o rotacional e responda se o
4
campo esboc¸ado e´ irrotacional.
(a) Q > 0 e ∂Q∂x < 0 para (x, y) ∈ Ω = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} × {−3, 0, 3}.
(b) Q < 0 e ∂Q∂x = 0 para (x, y) ∈ Ω = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} × {−2, 1, 3}.
(c) Q < 0 e ∂Q∂x > 0 para (x, y) ∈ Ω = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} × {−3, 0, 4}.
(d) Q < 0 e ∂Q∂x < 0 para (x, y) ∈ Ω = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} × {−3,−1, 3}.
(e) Q > 0 e ∂Q∂y > 0 para (x, y) ∈ Ω = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} × {−3, 0, 3}.
(f) Q < 0 e ∂Q∂y = 0 para (x, y) ∈ Ω = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} × {−2, 1, 3}.
34. Sejam ~u,~v : Ω ⊂ R3 → R2 dois campos vetoriais da forma ~u = P~i + Q~j + R~k
e ~v = P1~i + Q1~j + R1~k. Assuma que ϕ : Ω → R um campo escalar. Em
cada caso, encontre hipo´teses adequadas sobre ϕ, ~u e ~v para que as igualdades
valham:
(a) rot(~u+ ~v) = rot~u+ rot~v.
(b) div(~u+ ~v) = div~u+ div~v.
(c) div(ϕ~u) = ϕ div~u+ 〈∇ϕ, ~u〉.
(d) rot(ϕ~u) = ϕ rot~u+∇ϕ× ~u.
(e) div(~u) = 0.
35. Sejam ~F = P~i+Q~j um campo vetorial em R2, onde P e Q sa˜o diferencia´veis.
Sejam ~u = cosα~i+ senα~j e ~v = −senα~i+ cosα~j, onde α 6= 0. Sejam s e t as
componentes de x~i+ y~j na base {~u,~v}.
(a) Verifique que
~F (x, y) = [P (x, y) cosα +Q(x, y) senα]~u+ [Q(x, y) cosα− P (x, y) senα]~v.
(b) Seja
P1(s, t) = P (x, y) cosα+Q(x, y) senα e Q1(x, y) = Q(x, y) cosα−P (x, y) senα.
Verifique e interprete a igualdade
∂Q1
∂s
(s, t)− ∂P1
∂t
(s, t) =
∂Q
∂x
(x, y)− ∂P
∂y
(x, y).
(c) Verifique e interprete a igualdade
∂P1
∂s
(s, t) +
∂Q1
∂t
(s, t) =
∂P
∂x
(x, y) +
∂Q
∂y
(x, y).
5
36. Sejam F = (F1, . . . , Fm) e L = (L1, . . . , Lm). Prove que
lim
X→P
F (X) = L⇔ lim
X→P
Fj(X) = Lj, j = 1, . . . ,m.
37. Use integrac¸a˜o dupla para calcular a a´rea da regia˜o plana delimitada pelas
curvas em cada caso:
(a) y = x e y2 = x.
(b) y = x2 + 1 e y = 2x2 − 3.
(c) y = x2 + 1 e y = 9− x2.
(d) y = x2 e y = 2/(1 + x2).
38. Use integrac¸a˜o dupla para calcular o volume do so´lido delimitado pelas su-
perf´ıcies em cada caso:
(a) z = x2 + y2, y = x, x = 0, z = 0 e x+ y = 2.
(b) z = x2, y = x, z = 0 e y = 2− x2.
(c) x2 + y2 = 1, y2 + z2 = 1, x = 0 e y = 0.
(d) x+ y = 1, z = 1− x2, x = 0, y = 0 e z = 0.
39. Considere o so´lido W no primeiro octante delimitado pelo cilindro x2 + z2 = 1
e pelos planos y = 0 e y = x+ 1. Represente graficamente este so´lido e calcule
o seu volume usando integrais duplas. R.: V = pi/4 + 1/3.
40. Calcule∫ ∫
D
x2
y2
dxdy,
onde D e´ a regia˜o de limitada pelas curvas x = 1, x = 3, xy = 1 e y = x. R.:
16
41. Calcule:
(a)
∫ pi/2
−pi/2
∫ 3 cos θ
0 r
2sen2θdrdθ R.: 12/5
(b)
∫ 2pi
0
∫ 3
a sin θ rdrdθ R.:
pi
2 (18− a2)
(c)
∫ 2
0
∫ 4
0 (x
2 + y)dxdy R.: 152/3
42. Calcular o volume do so´lido do primeiro octante limitado pelos cilindros
x2 + y2 = 4 e x2 + z2 = 4.
R.: 16/3
6
43. Calcular o volume do so´lido limitado pela superf´ıcie z = 4− x2 considerando
que a regia˜o de integrac¸a˜o e´ dada pela intersecc¸a˜o das retas y = x, y = 2 e
x = 0. Interpretar geometricamente a integral obtida. R.: 20/3
44. Achar o volume do so´lido limitado pelo parabolo´ide y2 + z2 = 4x e pelo plano
x = 5. R.: 50pi
45. Achar o volume do corpo delimitado pelas superf´ıcies y =
√
x, y = 2
√
x,
x+ z = 6 e z = 0. R.: 485
√
6
46. Achar o volume do so´lido delimitado no primeiro quadrante pelo cilindro x2 +
y2 = 16 e pelo plano z = 4x. R.: 256/3
47. Calcular ∫ ∫
D
f(x, y)dxdy,
onde D e´ a regia˜o do primeiro quadrante delimitada por 5 ≤ y ≤ 9 − x2 em
cada caso.
(a) f(x, y) = 6 R.: 32
(b) f(x, y) = x+ y R.: 196/5
48. Mude a ordem de integrac¸a˜o.
(a)
∫ 4
0
∫ 32x
3x2 f(x, y)dydx
(b)
∫ 4
−2
∫ y/2+2
y2/4 f(x, y)dxdy
(c)
∫ a
a/2
∫ y/2+2
0 f(x, y)dxdy
(d)
∫ a√2/2
0
∫ x
0 f(x, y)dydx+
∫ a
a
√
2/2
∫ √a2−x2
0 f(x, y)dydx
(e)
∫ 1
0
∫ 1−y√
1−y2 f(x, y)dxdy
(f)
∫ 2a
−2
∫ √4ax√
2ax−x2 f(x, y)dydx.
49.
∫ 2
−2
∫ 4
x2 x
2ydydx R.: 512/21
50.
∫ 1
0
∫ x
x4(x− 1)dydx R.: −2/15
51.
∫ 3
−1
∫ 2x+3
x2 xdydx R.: 32/3
52.
∫ 2
−2
∫ 4−y2
y2−4 ydxdy R.: 0
53.
∫ 2
0
∫ 4x−x2
2x dydx R.: 4/3
7
54.
∫ 1
0
∫ 1
y e
−x2dxdy R.: (e− 1)/2e
55.
∫ pi
0
∫ pi
x
sin y
y dydx R.: 2
56.
∫ √pi
0
∫ √pi
y senx
2dxdy R.: 1
57.
∫ 1
0
∫ 1
x
1
1+x4dydx R.: pi/8
58.
∫ 1
0
∫ pi/4
arctan y secxdxdy R.:
√
2− 1
59.
∫ √2
0
∫ 2
y2 ye
−x2dxdy R.: 1−e
−4
4
60.
∫ 3
0
∫ 3
x
√
y2 + 16 dydx R.: 61/3
61. Seja
I =
∫ 1
0
∫ y
0
(x2 + y2)dxdy +
∫ 2
1
∫ 2−y
0
(x2 + y2)dxdy.
Represente graficamente a regia˜o de integrac¸a˜o, mude a ordem de integrac¸a˜o
e resolva a integral obtida. R.: 4/3
62. Calcular
∫ 1
0
∫ 1
x e
−3y2dydx. R.: 16(1− e−3)
63. Calcular
∫ 1
0
∫ 1√
y
√
1− x3dxdy. R.: 29
64. Calcular
∫ ∫
D xdxdy, onde D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − x ≤ 0 e y ≥ 0}.
R.: pi16
65. Calcular ∫ ∫
D
1
x2 + y2
dxdy,
onde D e´ a regia˜o do primeiro quadrante delimitada pelas circunfereˆncias x2 +
y2 = 1 e x2 + y2 = 4. R.: pi2 ln 2
66. Calcular
∫ 1
0
∫ x
0 x
√
x2 + 3y2dxdy.
67. Calcular ∫ ∫
D
ex
2+y2dydx,
onde D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4,−x ≤ y ≤ x e x ≥ 0}. R.:
pi
4 (e
4 − e)
8
68. Calcular ∫ ∫
D
(x− y)dxdy,
onde D e´ delimitada pelas retas y = x+1, y = x−3, 3y = 7−x e 3y = 15−x.
R.: 8
69. Calcular ∫ ∫
D
(5y + 3x)dxdy,
onde D e´ delimitada pelas retas y = 2x + 9, y = 2x − 4, 5y = 10 − 3x e
5y = 20− 3x. R.: 150
70. Calcular ∫ 3
0
∫ √9−y2
0
(1 +
√
x2 + y2)1/2dxdy.
R.: 58pi15
71. Usando coordenadas polares, calcule a a´rea plana delimitada pelas curvas x2+
y2 = 2x, x2 + y2 = 4x, y = x e y = 0. R.: 3pi4 +
3
2
72. Calcule o volume do so´lido do primeiro quadrante delimitado pelo cilindro
x2 + y2 = 4 e pelo parabolo´ide 2z = x2 + y2. R.: pi
73. Calcular ∫ ∫
D
√
x2 + y2dxdy,
onde D e´ a regia˜o plana dada por 1±
√
1− y2 ≤ x ≤ 2±
√
4− y2 e y ≥ 0.
R.: 1129
74. Calcule o volume do so´lido limitado superiormente por z =
√
4a2 − x2 − y2,
lateralmente por x2 + y2 = a2 e inferiormente por z = 0. R.: 2pi3 (8− 3
√
3)a3
75. Usando integrais duplas, calcular o volume do corpo delimitado pelas su-
perf´ıcies x2 + y2 = 2ax, z = mx e z = nx, onde m > n > 0. R.:
pia3(m− n)
76. Calcular e interpretar geometricamente a integral∫ 1
0
∫ 3
0
∫ √4−x2
0
dzdydx
9
R.: pi + 3
√
3
2
77. Calcular, usando integral tripla, o volume do so´lido W limitado pelo cilindro
parabo´lico z = 9− x2 e pelos planos y + z = 4, y = 0 e y = 4. R.: 6485 − 40
√
5
3
78. Calcular o volume do so´lido W limitado no primeiro octante pelo cilindro
x2 + z2 = 9 e pelos planos y = x e y = 3x. R.: 18
79. Considere o so´lido W delimitado no primeiro octante pelos planos x = 1,
x = 3, y = 3/2 e y = 3 e pelo cindro y2 + z2 = 9. Calcule seu volume. R.:
3pi − 9
√
3
4
80. Calcule o volume do so´lido W limitado superiormente pelo cilindro parabo´lico
x2 + z = 4, inferiormente pelo plano x + z = 2 e lateralmente pelos planos
y = 0 e y = 3. R.: 272
81. Calcular, usando integral tripla, o volume do so´lido W limitado inferiormente
parabolo´ide z = x2 + y2 e superiormente pelo plano z = 2x. R.: pi2
82. Calcular, usando integral tripla, o volume do so´lido W limitado no primeiro
octante pelo cilindro 1 = x2 + z2 e pelos planos y = 0 e y = x+ 1. R.: pi4 +
1
3
83. Calcular o volume do so´lido W limitado pelos parabolo´ides z = 8 − x2 − 4y2
e z = x2 + 4y2. R.: 8pi
84. Sejam a, b e c positivos. Calcular, usando integral tripla, o volume do tetraedro
de ve´tices (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c). R.: abc6
85. Calcular o volume do so´lido W limitado superiormente pela esfera x2+y2+z2 =
4z e inferiormente pelo cone z2 = x2 + y2.
R.: 8pi
86. Calcule
∫ ∫
W
∫
(x2+y2+z2)dxdydz, ondeW e´ o so´lido limitado pelos parabolo´ides
z = ±
√
4− x2 − y2 R.: 64pi
87. Calcule as integrais:
I =
∫ ∫
W
∫
1√
x2 + y2
dxdydz, W :

0 ≤ x ≤ 3
0 ≤ y ≤ √9− x2
0 ≤ z ≤ 2
10
R.: 3pi
I =
∫ ∫
W
∫
z√
x2 + y2
dxdydz, W :

0 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ √4− x2
0 ≤ z ≤ x2+y22
R.: 2pi/5
88. Calcular o volume da calota esfe´rica obtida pela intersecc¸a˜o do plano z = k
com a esfera de centro na origem e raio igual a r, onde 0 ≤ k < r. R.:
pi
3 (2r
3 + k3 − 3r2k)
89. Calcular o volume do so´lido W dado por x2 + y2 + z2 ≤ 4z e z ≥ 3. R.: 5pi/3
90. Use coordenadas cil´ındricas para calcular o volume do so´lido W do primeiro
octante que e´ parte do cilindro x2+y2 = 2y, compreendido entre o parabolo´ide
x2 + y2 = 2z e o plano z = 0.
91. Calcular a massa do so´lido W limitado pelas esferas x2 + y2 + z2 = 2z e
x2 + y2 + z2 = 4z, sabendo que δ(x, y, z) = 5
√
x2 + y2 + z2. R.: 120pi e´ a
sua densidade em cada ponto.
92. Usando coordenadas esfe´ricas, calcule o valor da integral:
I =
∫ ∫
W
∫ √
x2 + y2 + z2)dxdydz, W :

0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ x ≤
√
1− y2√
3(x2 + y2) ≤ z ≤
√
4− x2 − y2
R.: pi(2−√3)
93. Calcular J =
∫ ∫
W
∫
(z2 +
√
x2 + y2)dxdydz, onde W e´ o so´lido esfe´rico de
centro na origem e raio unita´rio. R.: pi
2
4 +
4pi
15
94. Calcule o volume do so´lido limitado pelos planos z = 1, z = 4, x + y = 1,
x+ y = 3, x− y = 2 e x− y = 5. R.: 9
95. Calcular.
I =
∫ ∫
W
∫
(x2 + y2)dxdydz, W :

−R ≤ x ≤ R
−√R2 − x2 ≤ y ≤ √R2 − x2
0 ≤ z ≤
√
R2 − x2 − y2
11
R.: 4piR
5
15
96. Calcular
I =
∫ ∫
W
∫
sen (x+ y − z)
x+ 2y + z
dxdydz,
onde W e´ o paralelep´ıpedo 1 ≤ x+2y+z ≤ 2, 0 ≤ x+y−z ≤ pi/4 e 0 ≤ z ≤ 1.
R.:
(
1−
√
2
2
)
ln 2
12