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Distribuição Normal de Probabilidade

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1
Distribuição Normal de Probabilidade
1 Aspectos Gerais
2 A Distribuição Normal Padronizada
3 Determinação de Probabilidades
4 Cálculo de Valores
5 Teorema Central do Limite
2
Aspectos Gerais1
™ Variável aleatória contínua
™ Distribuição Normal
A curva tem forma de um 
sino e é simétrica
µ
Valor
Figura 5-1
x - µ 21
2 σe
σ 2 π
( )
y =Fórmula 5-1
3
2
Distribuição Normal 
Padronizada
4
Definições
™Curva de Densidade (ou função 
densidade de probabilidade) 
gráfico de uma distribuição contínua de 
probabilidade 
1, A área total sob a curva deve ser 1,
2, Todo ponto da curva deve ter uma altura 
vertical não inferior a 0, 
5
Como a área total sob a curva 
de densidade é igual a 1, há 
uma correspondência entre 
área e probabilidade,
6
Alturas de mulheres e homens adultos
Mulheres:
µ = 1,615
σ = 0,0635 Homens:
µ = 1,753
σ = 0,0711
1,615
Alturas (m)
Figura 5-4 1,753
7
Definição
Distribuição Normal Padronizada
uma distribuição normal de probabilidades que 
tem média 0 e desvio-padrão 1
Área lida 
na Tabela
0,4429
0 1 2 3-1-2-3
Área = 0,3413
z = 1,580
Escore (z )
Figura 5-6Figura 5-5
8
Tabela A-2 
Distribuição Normal Padrão
µ = 0 σ = 1
0 x 
z
9
Tabela A-2 Distribuição Normal Padrão (z)
,0239
,0636
,1026
,1406
,1772
,2123
,2454
,2764
,3051
,3315
,3554
,3770
,3962
,4131
,4279
,4406
,4515
,4608
,4686
,4750
,4803
,4846
,4881
,4909
,4931
,4948
,4961
,4971
,4979
,4985
,4989
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
,0000
,0398
,0793
,1179
,1554
,1915
,2257
,2580
,2881
,3159
,3413
,3643
,3849
,4032
,4192
,4332
,4452
,4554
,4641
,4713
,4772
,4821
,4861
,4893
,4918
,4938
,4953
,4965
,4974
,4981
,4987
,0040
,0438
,0832
,1217
,1591
,1950
,2291
,2611
,2910
,3186
,3438
,3665
,3869
,4049
,4207
,4345
,4463
,4564
,4649
,4719
,4778
,4826
,4864
,4896
,4920
,4940
,4955
,4966
,4975
,4982
,4987
,0080
,0478
,0871
,1255
,1628
,1985
,2324
,2642
,2939
,3212
,3461
,3686
,3888
,4066
,4222
,4357
,4474
,4573
,4656
,4726
,4783
,4830
,4868
,4898
,4922
,4941
,4956
,4967
,4976
,4982
,4987
,0120
,0517
,0910
,1293
,1664
,2019
,2357
,2673
,2967
,3238
,3485
,3708
,3907
,4082
,4236
,4370
,4484
,4582
,4664
,4732
,4788
,4834
,4871
,4901
,4925
,4943
,4957
,4968
,4977
,4983
,4988
,0160
,0557
,0948
,1331
,1700
,2054
,2389
,2704
,2995
,3264
,3508
,3729
,3925
,4099
,4251
,4382
,4495
,4591
,4671
,4738
,4793
,4838
,4875
,4904
,4927
,4945
,4959
,4969
,4977
,4984
,4988
,0199
,0596
,0987
,1368
,1736
,2088
,2422
,2734
,3023
,3289
,3531
,3749
,3944
,4115
,4265
,4394
,4505
,4599
,4678
,4744
,4798
,4842
,4878
,4906
,4929
,4946
,4960
,4970
,4978
,4984
,4989
,0279
,0675
,1064
,1443
,1808
,2157
,2486
,2794
,3078
,3340
,3577
,3790
,3980
,4147
,4292
,4418
,4525
,4616
,4693
,4756
,4808
,4850
,4884
,4911
,4932
,4949
,4962
,4972
,4979
,4985
,4989
,0319
,0714
,1103
,1480
,1844
,2190
,2517
,2823
,3106
,3365
,3599
,3810
,3997
,4162
,4306
,4429
,4535
,4625
,4699
,4761
,4812
,4854
,4887
,4913
,4934
,4951 
,4963
,4973
,4980
,4986
,4990
,0359
,0753
,1141
,1517
,1879
,2224
,2549
,2852
,3133
,3389
,3621
,3830
,4015
,4177
,4319
,4441
,4545
,4633
,4706
,4767
,4817
,4857
,4890
,4916
,4936
,4952
,4964
,4974
,4981
,4986
,4990
,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09z
10
Exemplo: A vida média de uma marca e de um tipo 
de bateria (para determinado equipamento em uso 
contínuo) é 20 horas, com desvio-padrão de 0,5 h, Qual a 
probabilidade de que essa bateria não dure mais do que 21 
horas?
Area = 0,4772
P ( x > 2,00 ) = 0,0228
0 2,00
Há 2,28% de baterias que duram mais de 21 horas, 
logo, 97,72% que não duram mais de 21 horas,
11
Utilização da Simetria para Achar a Área 
à Esquerda da Média
NOTA: Embora um escore z possa ser negativo, a área 
sob a curva (ou a probabilidade correspondente)
nunca pode ser negativa,
(a) (b)
Pela simetria, estas áreas são iguais,
Distâncias iguais a contar de 0
0,4925 0,4925
0 0
z = 2,43z = - 2,43
Figura 5-7
12
A Regra Empírica
Distribuição Normal Padrão: µ = 0 e σ = 1
x - 3s x - 2s x - s x x + 2s x + 3sx + s
68% estão 
dentro de 1 desvio-padrão
34% 34%
95% estão 
dentro de 2 desvios-padrão
99,7% dos dados estão dentro de 3 desvios-padrão a contar da média
0,1% 0,1%
2,4% 2,4%
13,5% 13,5%
13
Determinação da Área à Direita de z = 1,27
0,3980
Valor lido
na Tabela A-2
Esta área é 
0,5 – 0,3980 = 0,1020
z = 1,270
Figura 5-8
14
P(a < z < b) 
denota a probabilidade de o valor de z estar 
entre a e b
P(z > a)
denota a probabilidade de o valor de z ser
maior do que a
P (z < a)
denota a probabilidade de o valor de z ser 
menor do que a
Notação
15
Figura 5-10 Interpretação Correta das Áreas
Adicionar a
0,5
0,5
‘maior do que x’
‘pelo menos x’
‘mais do que x’
‘não menos do 
que x’
Subtrair
de 0,5
x1 x2
Somar
‘menos do que x’
‘no máximo x’
‘não mais do que x’
‘não maior do que x’
Somar a
0,5
0,5
x
Subtrair
de 0,5
x
x x
A B
Tomar
A = C - B
x1 x2
C
‘entre x1 e x2’
16
0,450,50
5% ou 0,05
Determinação dos Escores z
(Dadas as Probabilidades)
95% 5%
0 z = 
FIGURA 5-11 Determinação do 95º percentil
(valor de z será positivo )
1,645
17
Determinação dos Escores z
(Dadas as Probabilidades)
0
0,40
-1,28
0,10
10% inferiores
(O valor de z será negativo)
z = 
90%10%
FIGURA 5-12 Determinação do 10º percentil
18
Outras Distribuições Normais
Se µ ≠ 0 ou σ ≠ 1 (ou ambos), os valores 
são convertidos para os valores padronizados 
através da expressão abaixo (Fórmula 5-2), 
Podendo utilizar então os mesmos procedimentos 
tomados com a distribuição normal padrão,
x - µ
σz =Fórmula 5-2
19
Convertendo na Distribuição Normal 
Padrão
x 0µ z
x - µ
σz =
(a) (b)
P P
Figura 5-13
20
Probabilidade de Peso 
entre 64,9 kg e 91,2 kg
64,9 91,2
z
0 2,00
x = 64,9
Figura 5-14
Há uma probabilidade de 
0,4772 de escolher ao acaso 
uma mulher com peso entre 
64,9 e 91,2 kg, ou 47,72% 
das mulheres têm peso entre 
64,9 e 91,2 kg
Peso
s = 13,15
0,4772
Valor lido na Tabela
21
Definição
Distribuição Amostral da Média:
é a distribuição de probabilidade 
das médias amostrais, com todas 
as amostras de mesmo tamanho n, 
da mesma população,
22
Teorema Central do Limite
Dado:
1, A variável aleatória x tem distribuição (que 
pode ser normal, ou não) com média µ e desvio-
padrão σ,
2, Amostras de tamanho n são extraídas 
aleatoriamente dessa população,
23
Teorema Central do Limite
Conclusões:
1, Na medida que o tamanho da amostra 
aumenta, a distribuição das médias 
amostrais x tende para uma distribuição 
normal,
2, A média das médias amostrais será a média 
populacional µ,
3, O desvio-padrão das médias amostrais será 
σ/ . n
24
Regras Práticas de Uso Comum:
1, Para amostras de tamanho n > 30, a distribuição das 
médias amostrais pode ser aproximada satisfatoriamente 
por uma distribuição normal, A aproximação melhora na 
medida em que aumenta o tamanho da amostra n,
2, Se a própria distribuição original tem distribuição normal, 
então as médias amostrais terão distribuição normal para 
qualquer tamanho amostral qualquer tamanhoamostral n
(não apenas para os valores de n > 30), 
25
Notação
média das médias amostrais
desvio-padrão das médias amostrais
 
(comumente chamado erro-padrão da média)
µx = µ
σx = σn
26
Distribuição de 50 Médias 
Amostrais de 50 Estudantes
0
10
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
5
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Figura 5-20
27
Exemplo: Certa população de mulheres tem pesos 
normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desvio-
padrão de 13,15 kg, 
a,) se uma mulher é escolhida aleatoriamente, determine a 
probabilidade de seu peso ser maior que 68,0 kg,
0,0948
0,5 – 0,0948 = 0,4052 
z = 68,0 – 64,9 = 0,24
13,15
68,0µ = 64,9
σ = 29
0 0,24
28
Exemplo: Certa população de mulheres tem pesos 
normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desvio-
padrão de 13,15 kg, 
b,) se 36 mulheres diferentes forem escolhidas ao acaso, 
determine a probabilidade de seu peso médio ser maior que 
68,0 kg,
0,4265
0,5 – 0,4265 = 0,0735 
z = 68,0-64,9 = 1,45
13,15
36
µx = 64,9 68,0
σx = 2,1917
0 1,45
29
Exemplo: Certa população de mulheres tem pesos 
normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desvio-
padrão de 13,15 kg,
a,) se uma mulher é escolhida aleatoriamente, determine a 
probabilidade de seu peso ser maior que 68,0 kg,
P(x > 150) = 0,4052
b,) se 36 mulheres diferentes forem escolhidas ao acaso, 
determine a probabilidade de seu peso médio ser maior 
que 68,0 kg,
P(x > 150) = 0,0735
É muito mais fácil um elemento se desviar da média que 
para um grupo de 36 se desviar da média,
	Distribuição Normal de Probabilidade
	2
	Como a área total sob a curva de densidade é igual a 1, há uma correspondência entre área e probabilidade,
	Alturas de mulheres e homens adultos
	Definição
	Tabela A-2 Distribuição Normal Padrão
	Exemplo: A vida média de uma marca e de um tipo de bateria (para determinado equipamento em uso contínuo) é 20 horas, com des
	Utilização da Simetria para Achar a Área à Esquerda da Média
	Determinação da Área à Direita de z = 1,27
	Figura 5-10 Interpretação Correta das Áreas
	Outras Distribuições Normais
	Convertendo na Distribuição Normal Padrão
	Probabilidade de Peso entre 64,9 kg e 91,2 kg
	Teorema Central do Limite
	Teorema Central do Limite
	Regras Práticas de Uso Comum:
	Notação
	Exemplo: Certa população de mulheres tem pesos normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desvio-padrão de 13,15 kg, a,
	Exemplo: Certa população de mulheres tem pesos normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desvio-padrão de 13,15 kg, b,
	Exemplo: Certa população de mulheres tem pesos normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desvio-padrão de 13,15 kg,

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