Lista(1) de Fisica 2 - UnB

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Universidade de Brasília
Instituto de Física
Primeira Lista de Exercícios de Física II
Torque e Momento Angular
Questão 1
Um automóvel que se move a 80km/h possui pneus com 75, 0cm
de diâmetro. (a) Qual é a velocidade angular dos pneus em
relação aos respectivos eixos? (b) Se o carro é freado com
aceleração constante e as rodas descrevem 30 voltas completas
(sem deslizamento), qual é o módulo da aceleração angular das
rodas? (c) Que distância o carro percorre durante a frenagem?
Solução
A velocidade do carro é v = 80,0km/h
3,6
= 22, 2m/s; o raio do pneu é
R = 0,750
2
= 0, 375m. (a) A velocidade do carro é a velocidade do
centro de massa do pneu, portando: ωo = vR =
22,2m/s
0,375m
= 59, 3rad/s.
(b) 30 voltas complestas correspondem a θ = (30, 0)(2.pi) = 188rad,
e ωf = 0, tem-se que: ω2f = ω
2
o + 2.α.θ → |α| = (59,3rad/s)
2
2(188rad)
=
9, 31rad/s2. (c) ∆S = R.θ = (0, 375m)(188rad) = 70, 5m.
Questão 2
Qual fração da energia cinética total é rotacional para os se-
guintes objetos que rolam sem deslizar sobre uma superfície
horizontal? (a) Um cilindro maciço e uniforme; (b) uma esfera
uniforme; (c) uma esfera oca de paredes finas; (d) um cilindro
oco com raio externo R e raio interno R/2.
Solução
A partir da equação K = M.v
2
cm
2
+
I2cm
2
, conclui-se que a fração da
energia cinética total que é rotacional é:
(1/2)Icm.ω
2
(1/2)Icomω2 + (1/2)M.v2cm
=
1
1 +
M.v2cm
I2cm
=
1
1 + M.R
2
Icm
,
sendo que vcm = r.ω para um objeto que rotaciona sem deslizar.
(a) Icm (cilindro) = 12M.R
2; portanto a razão esperada é de 1/3.
(b) I (esfera) = ( 2
5
)M.R2; portanto a razão esperada é de 2
7
.
(c) I (casca esferica) = 2
3
M.R2; portanto a razão esperada é de 2
5
.
(d) I = 5
8
M.R2; portanto, a razão esperada é de 5
13
.
Questão 3
Um fio é enrolado diversas vezes em torno da periferia de um
pequeno aro de raio 8, 0cm e massa 0, 180kg. A extremidade
livre do fio é mantida fixa e o aro é liberado a partir do repouso.
Após o aro cair por 75, 0cm, calcule (a) a velocidade escalar em
seu centro e (b) a velocidade escalar angular do aro em rotação
Solução
(a) Usando conservação da energia mecânica para o centro de massa,
tem-se que:
Ki + Ui = Kf + Uf → 0 +m.g.h = M.v
2
cm
2
+ 0
vcm =
√
g.h =
√
(9, 8m/s2)(0, 75m) = 2, 7m/s
Na expressão acima, o termo rotacional da energia cinética não está
incluído porque o centro de massa não rotaciona.
(b)
ω =
vcm
R
=
2, 7m/s
0, 08m
= 33, 8rad/s
Questão 4
Uma barra fina uniforme com 0, 500m de comprimento e massa
4, 00kg pode girar em um plano horizontal em torno de um eixo
vertical passando pelo centro. A barra está em repouso quando
uma bala de 3, 0g é disparada, no plano de rotação, em direção
a uma de suas extremidades. Vista de cima, a trajetória da
bala faz um ângulo θ = 60, 0o com a haste (ver figura abaixo).
Se a bala se aloja na barra e a velocidade angular da barra é
10rad/s imediatamente após a colisão, qual é a velocidade da
bala imediatamente antes do impacto?
Solução
O eixo de rotação está no centro da barra e é perpendicular à mesma,
cujo raio de rotação é r = 0, 25m. Antes do impacto, o momento an-
gular inicial do sistema (que se refere apenas ao movimento da bala)
é Li = r.m.v(sin θ), cujo m = 0, 003kg, θ = 60o, e cujo sinal é posi-
tivo, porque a bala impõe à barra um torque no sentido anti-horário.
Após a colisão, o momento de inércia do sistema é I = Ibarra+m.r.2,
sendo que Ibarra = ML212 , cujo M = 4, 0kg e L = 0, 5m. A conserva-
ção do momento angular implica que (ω = 10rad/s):
Li = Lf → r.m.v(sin θ) =
(
M.L2
12
+m.r2
)
ω → v =
(
M.L2
12
+m.r2
)
ω
r.m(sin θ)
=
(
(4,0)(0,5)2
12
+ (0.003)(0.25)2
)
10
(0, 25)(0, 003) sin 60o
→ v = 1, 3.103m/s
Questão 5
Na figura abaixo, uma bala de 1, 0g é disparada em um bloco
de 0, 50kg preso à extremidade de uma barra não uniforme de
0, 70m de comprimento e uma massa de 0, 50kg. O sistema
bloco-barra-bala passa a girar no plano do papel, em torno de
um eixo fixo que passa por A. O momento de inércia da barra
em relação a esse eixo é 0, 060kg.m2. Trate o bloco como uma
partícula. (a) Qual é o momento de inércia do sistema bloco-
haste-bala em relação ao eixo que passa pelo ponto A? (b) Se
a velocidade angular do sistema em relação ao eixo que passa
por A imediatamente após o impacto é 4, 0rad/s, qual é a ve-
locidade da bala imediatamente antes do impacto?
Universidade de Brasília - Física 1 - Primeira Lista de Exercícios
Solução
(a) Com r (comprimento da barra) = 0, 70m,
Ib (momento de inercia da barra em relacao ao eixo ortogonal ao
papel que passa por A) = 0, 060kg.m2, e m (massa do bloco) =
0, 50kg, tem-se que:
I = Ib +m.r
2 = 0, 060 + (0, 50)(0, 70)2 = 0, 305kg.m2.
(b) Usando conservação do momento angular, sendo que
mb(massa da bala) = 0, 001kg, r(comprimento da barra) = 0, 70m,
I (momento de inercia do sistema) = 0, 305kg.m2, e ω = 4, 0rad/s,
tem-se que:
Li = Lf → mb.vo.r = I.ω → (0, 001)Vo(0, 70) = (0, 305)(4, 0)
vo = 1, 74.10
3m/s
†Questão 6
Um disco com momento de inércia I1 = 1, 5kg · m2 gira em
torno de um eixo vertical sem atrito com velocidade angular
ωi = 20 rad/s. Um segundo disco, que tem momento de inér-
cia I2 = 0, 5kg ·m2, está inicialmente em repouso e cai sobre
o disco que se encontrava rodando. Devido ao atrito entre as
superfícies, os discos passam a girar com a mesma velocidade
angular ωf . Calcule ωf . Calcule a variação na energia cinética
do sistema. Suas respostas devem ser apresentadas em termos
das variáveis do enunciado, ou seja, I1, I2, ωi e ωf .
Solução
(a) Usando conservação do momento angular, sendo que I1 =
1, 5kg ·m2, ωi = 10 rad/s, e I2 = 0, 5kg ·m2 , tem-se que:
Li = Lf → I1ωi = (I1 + I2)ωf → (1, 5) · (20) = (0, 5 + 1, 5)(ωf )
ωf = 15 rad/s
(b) Neste caso, a energia cinética não se conserva por se tratar de
uma colisão inelástica. Podemos verificar tal fato, uma vez que:
Ki =
1
2
I1ω
2
i → 1
2
(1, 5)(20)2 = 300J
Kf =
1
2
(I1 + I2)ω
2
f → 1
2
(1, 5 + 0, 5)(15)2 = 225J
Sendo assim,
Kf −K1 = 225− 300 = −75J
Questão 7
Na figura abaixo, uma força horizontal constante ~Fap de mó-
dulo 10N é aplicada a uma roda de massa 10Kg e raio 0, 30m.
A roda rola suavemente na superfície horizontal, e o módulo
da aceleração do centro de massa é 0, 60m/s2. (a) Em termos
dos vetores unitários, qual é a força de atrito que age sobre a
roda? (b) Qual é o momento de inércia da roda em relação ao
eixo de rotação que passa pelo centro de massa?
Solução
Com ~Fac = (10N )ˆi, podemos resolver a questão da seguinte maneira:
(a) Segunda lei de Newton para o eixo x: Fac − fs = m.a ⇒ fs =
10N − (10kg)(0, 60m/s2) = 4, 0N
~fs = (−4, 0N )ˆi
(b) Com R = 0, 30m, encontramos a magnitude da aceleração an-
gular: |α| = |a|
R
= 2, 0rad/s2. A única força que produz torque é a
força de atrito, temos: |Torque| = I|α| = I(2, 0rad/s2). Usando o
centro de rotação da roda, temos que I = 0, 60Kg.m2.
Questão 8
A figura abaixo mostra a velocidade escalar v em função do
tempo t para um objeto de 0, 500Kg e 6, 00cm de raio que rola
suavemente para baixo em uma rampa de 30o. A escala do eixo
das velocidades é definida por vs = 4, 0m/s. Qual é o momento
de inércia do objeto?
Solução
Temos, a partir da inclinação da reta, que a = −3, 5m/s2. O ân-
gulo é de 30o, M = 0, 50Kg e R = 0, 060m na equação 11 − 10 do
Halliday. Encontramos I = 7, 2.10−4kg.m2.
†Questão 9
Universidade de Brasília - Física 1 - Primeira Lista de Exercícios
Em termos dos vetores unitários, qual é o torque resultante em
relação à origem a que está submetida uma pulga localizada nas
coordenadas (0,−4, 0m; 5, 0m) quando as forças ~F1 = (3, 0N)kˆ
e ~F2 = (−2, 0N)jˆ agem sobre a pulga?
Solução
Se escrevermos ~r = xiˆ+ y~j + z~k. Usando a equação 3− 30 do Hal-
liday, encontramos ~r× ~F igual a: (y.Fz − z.Fy )ˆi+ (z.Fx − x.Fz)jˆ +
(x.Fy − y.Fx)kˆ. Usando o SI, temos que x = 0, y = −4, 0, z =
5, 0, Fx = 0, Fy = −2, 0 e Fz = 3, 0, a expressão acima se torna:
~torque = ~r × ~F = (−2, 0N.m)ˆi
Questão 10
Na figura, uma bola de 0, 400kg é lançada verticalmente para
cima com uma velocidadeinicial de 40, 0m/s. Qual é o seu
momento angular em relação a P , um ponto a uma distância
horizontal de 2, 00m do ponto de lançamento, quando a bola
está (a) na altura máxima e (b) na metade do caminho de volta
ao chão? Qual é o torque em relação a P a que a bola é sub-
metida devido à força gravitacional quando esta (c) na altura
máxima e (d) na metade do caminho de volta ao chão?
Solução
(a) Já que a velocidade é, momentaneamente, igual à zero, quando
atingimos a altura máxima, o momento angular é igual a zero.
(b) Usando a convenção de que o sentido horário é o negativo,
temos: L = −rperpendicular.m.v, onde rperpendicular = 2, 00m,
m = 0, 400Kg, e v é dada pelas relações de queda livre. Especifica-
mente, ymax é determinado pela equação 2 − 16 com a velocidade
na altura máxima igual a zero; encontramos ymax =
v2o
2.g
, onde
vo = 40, 0m/s. Então, com y = 12ymax, temos (equação 2 − 16)
v = vo√
2
. Assim, temos que L = −22.6kgm2/s.
(c) Torque = −rperpendicular.F , com a força F sendo igual à m.g.
Então torque = −7, 84Nm.
(d) Pelo modo que definimos rperpendicular , a altura não altera o
resultado. A resposta é a mesma do item (c), torque = −7, 84Nm.
†Questão 11
Se um torque de 32N.m exercido sobre uma roda produz uma
aceleração angular de 25rad/s2, qual é o momento de inércia
da roda?
Solução
T = I.a⇒ I = T
a
⇒ I = 1, 28kg.m2
Questão 12
Na figura abaixo o bloco 1 tem massam1 = 460g, o bloco 2 tem
massa m2 = 500g e a polia que está montada em um eixo hori-
zontal com atrito desprezível, tem um raio R = 5cm. Quando
o sistema é liberado a partir do repouso o bloco 2 cai 75cm em
5s sem que a corda deslize na borda da polia. (a) Qual é o
módulo da aceleração dos blocos? Qual é o valor: (b) da ten-
são T2 e (c) da tensão T1? (d) Qual é o módulo da aceleração
angular da polia? (e) Qual é o momento de inércia da polia?
Solução
(a) Considerando a aceleração constante. Se o sentido de descida
for tomado como positivo e a é a aceleração do bloco mais pesado
m2, temos que a coordenada é dada por y = 12a.t
2. Então, o bloco
1 tem a aceleração de 6.10−2m/s2.
(b) A segunda lei de Newton para o bloco 2 é m2.g − T2 = m2.a,
onde m2 é a massa e T2 é a força de tensão no bloco. Então,
T2 = m2(g − a) = 4, 87N .
(c) Segunda lei de Newton para o bloco 1 ém1.g−T1 = −m1.a, onde
T1 é a força de tensão no bloco. Então T1 = m1(g + a) = 4, 54N .
(d) Desde que a corda não escorregue na polia, a aceleração tan-
gencial no ponto de contato com a polia deve ser o mesmo que a
aceleração do bloco, logo: α = a
R
= 1, 20rad/s2.
(e) O conjunto de torques atuando τ = (T2 − T1)R. Resolvendo a
equação nós resolvemos para a rotação inercial: I = (T2 − T1)Rα =
1, 38.10−2kg.m2.
Questão 13
Uma polia, com um momento de inércia de 1.103kg.m2 em re-
lação ao seu eixo e um raio de 10cm, é submetida a uma força
aplicada tangencialmente a sua borda. O módulo da força va-
ria no tempo de acordo com a equação F = 0, 5.t+0, 3.t2, com
F em newtons e t em segundos. A polia está inicialmente em
repouso. Em T = 3s quais são (a) sua aceleração angular e (b)
sua velocidade angular?
Solução
Já que a força age tangencial então r = 0, 1m, a aceleração angular
(consideremos ela positiva) é:
α =
τ
I
=
Fr
I
= 50.t+ 30.t2emunidadesdoSI.
(a) Em t = 3s, a expressão nos dá que α = 4, 2.102rad/s2.
(b) Nós integramos a expressão acima de 0 até 3s (considerando
que a velocidade angular inicial é zero), obtemos que a velocidade
angular é de 5.102rad/s.
Questão 14
O comprimento do braço do pedal de uma bicicleta é de 0, 152m
, e uma força de 111N é aplicada ao pedal pelo ciclista. Qual
é o módulo do torque em relação ao eixo do braço do pedal
quando o braço faz um ângulo de (a) 30o (b) 90o e (c)180o com
a vertical?
Solução
Considerando a equação: τ = r.F. sinφ ,substituímos φ pelos valo-
res 30o, 90o e 180o e encontramos os valores: 8, 4N.m ; 17N.m; 0
respectivamente.
Questão 15
Uma pequena bola de massa 0, 75kg está presa a uma das ex-
tremidades de uma barra de 1.25m de comprimento e massa
desprezível. A outra extremidade da barra está pendurada em
um eixo. Quando o pêndulo assim formado faz uma ângulo de
30o com a vertical, qual é o módulo do torque exercido pela
força gravitacional em relação ao eixo?
Universidade de Brasília - Física 1 - Primeira Lista de Exercícios
Solução
Duas forças agem na bola, a força da barra e a força da gravidade.
Nenhum torque age no eixo de rotação já que o raio é 0. Temos
então, que :
T = m.g.l. sinφ = 0, 75.9, 8.1, 25. sin 30o = 4, 6N.m
Considerando como sentido positivo o sentido anti-horário.
Questão 16
A figura mostra uma estrutura rígida formada por um aro de
raio R e massa m e um quadrado de lado R e massa m. A
estrutura gira com velocidade constante em torno de um eixo
vertical, com um período de rotação de 2, 5s. Supondo que
R = 0, 5m em = 2, 0kg, calcule (a) o momento de inércia da
estrutura em relação ao eixo (b) o momento angular da estru-
tura em relação ao eixo.
Solução
(a) Calcularemos os momentos de inércia em relação ao eixo das
duas estruturas separadamente:
1) Quadrado: Estudaremos essa estrutura isolando seus lados: La-
dos perpendiculares ao eixo tem o mesmo momento de inércia I1
I1 =
M.R2
3
Lados paralelos ao eixo, o lado que contem o eixo tem I2 nulo, pois
sua espessura é desprezível, e o lado mais distante tem, pelo teorema
dos eixos paralelos:
I = I2 +M.h
2
Onde h = R, logo o Iquadrado é:
Iquadrado = 2I1 + I = 2
2.0, 52
3
+ 2.0, 52 = 0, 83kg.m2
2) Aro: Sabendo que o I do aro é 1
2
M.R2, usaremos o teorema
dos eixos paralelos para determinar o momento de inércia desse aro
específico:
Iaro =
M.R2
2
+M.h2
Onde h = R, logo:
Iaro =
2.0, 52
2
+ 2.0, 52 = 0, 75kg.m2
Então,
Itotal = Iaro + Iquadrado = 1, 58kg.m
2
(b) O momento angular L = I.ω, logo:
ω =
2.pi
2, 5
= 2, 51rad/s
L = 1, 58.2, 51 = 3, 97kg.m2.rad/s
†Questão 17
Um disco de polimento de momento de inércia 1, 2.10−3kg.m2
está preso a uma broca elétrica cujo motor produz um torque
de módulo 16N.m em relação ao eixo central do disco. Com o
torque aplicado durante 33ms, qual é o módulo (a) da veloci-
dade angular do disco e (b) do momento angular do disco em
relação a esse eixo?
Solução
(a) Como τ = I.α, aceleração angular é:
α =
τ
I
=
16
1, 2
.103 = 13, 3.103rad/s2
Logo:
ω = ωo + α.t = 13, 3.10
3.33.10−3 = 439, 9rad/s
(b)
L = I.ω = 1, 2.10−3.439, 9 = 0, 527kg.m2.rad/s
Questão 18
A figura mostre três discos uniformes acoplados por correias.
Uma passa pelas bordas dos discos A e C; a outra passa por
um cubo do disco A e pela borda do disco B. As correias se
movem suavemente, sem deslizar nas bordas e no eixo central.
O disco A tem raio R e seu cubo tem raio 0, 5.R; o disco B
tem raio 0, 25.R; o disco C tem raio 2R. Os discos B e C têm
a mesma massa específica. Qual é a razão entre o módulo do
momento angular do disco C e o módulo do momento angular
do disco B?
Solução
Para resolver esse exercício vamos obter as massas e as velocidades
angulares dos discos em função dos parâmetros dados, lembrando
que as velocidades das correias são costantes.
Para correia maior: Velocidade da correia maior (VCG)
VCG : constante
VCG = VCG
ωA.RA = ωC .RC , ωC = ωA.
RA
RC
mC = pi.R
2
C .µ
IC =
mC .R
2
C
2
LC = IC .ωC
Para correia menor:
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ωA.RA′ = ωB .RB , ωB = ωA.
RA′
RB
mB = pi.R
2
B .µ
IB =
mB .R
2
B
2
LB = IB .ωB
Logo:
LC
LB
=
mC .R
2
C
2
.ωA.
RA
RC
mB .R
2
B
2
.ωA.
RA′
RB
=
pi.R2C .µ.R
2
C
2
.ωA.
RA
RC
pi.R2
B
.µ.R2
B
2
.ωA.
RA′
RB
=
R3C .RA
R3B .R
′
A
=
8.R3.R
0, 15625.R3.0, 5R
= 1024
†Questão 19
Na figura, três partículas de massa m = 23g estão presas a
três barras de comprimento d = 12cm e massa desprezível. O
conjunto gira em torno do ponto O com velocidade angular
ω = 0, 85rad/s. Em relação ao ponto O, quais são (a) o mo-
mento de inércia do conjunto, (b) o módulo do momento angu-
lar da partícula do meio e (c) o módulo do momento angular
do conjunto?
Solução
(a) O momento de inércia do conjunto éigual a soma do momento
de inércia das partículas, logo:
Itotal = I1 + I2 + I3 = m.d
2 +m.4.d2 +m.8.d2
= 0, 023.0, 144 + 0, 023.4.0, 0144 + 0, 023.8.0, 0144
= 0, 0043kg.m2
(b) O momento angular da partícula do meio é dado por : L2 = I2.ω
L2 = m.4.d
2.ω = 0, 0112kg.m2.rad/s
(c) O momento angular do conjunto é igual a soma do momento
angular das particulas, logo:
Ltotal = L1 + L2 + L3 = m.d
2.ω +m.4.d2.ω +m.8.d2.ω = ω.Itotal
0, 003655kg.m2.rad/s
Questão 20
A figura mostra o torque t que age sobre um disco inicialmente
estacionário que pode girar em torno do seu centro como um
carrossel em função do tempo. Qual é o momento angular do
disco em relação ao eixo de rotação nos intentes (a) t = 7, 0s e
(b) t = 20s?
Solução
dL = τ.dt→
∫
dL =
∫
τ.dt , entao :
L =
∫
τ.dt = Area
(a)
L =
∫ 7
0
τ.dt = 48kg.m2.rad/s
(b)
L =
∫ 20
0
τ.dt =
∫ 9
0
τ.dt−
∫ 20
9
τ.dt
= 54− 51 = 3kg.m2.rad/s
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