Lista2_Equilíbrio e elasticidade

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Universidade de Brasília
Instituto de Física
Segunda Lista de Exercícios de Física II
Questão 1
Um pêndulo está em equilíbrio em algum ponto durante a sua
oscilação?
Solução
A condição necessária e suficiente para que um ponto material esteja
em equilíbrio é que a resultante das forças que agem sobre ele seja
nula. ∑
~F = 0
Caso a condição seja satisfeita o ponto material ou está parado (equi-
líbrio estatico) ou está se deslocando em movimento retilíneo uni-
forme (equilíbrio dinâmico).
Para θ 6= 0 vemos da figura acima que sempre existe uma com-
ponente do peso na direção da trajetória e portanto não pode ser
anulada pela tração. Para θ = 0, peso e tração estão alinhados
porém não se anulam, pois nesse ponto a velocidade não é nula.
T − P = mv
2
L
Logo, durante a oscilação não há nenhum ponto em que o pêndulo
esteja em equilíbrio.
Questão 2
Uma roda, girando com uma velocidade angular constante ω
em torno de um eixo fixo, está em equilábrio porque nenhuma
força ou torque externo atua sobre ela. Entretanto, as partícu-
las que compõem a roda sofrem uma aceleração centrípeta ~a
na direção do eixo. Já que ~a e diferente de zero, como pode a
roda estar em equilíbrio?
Solução
A condição necessária e suficiente para que um corpo rígido esteja
em equilíbrio é que a resultante das forças e torques externos que
agem sobre ele sejam nulos.∑
~Fext = 0
A equação garante o equilíbrio de translação (momento linear do
sistema é constante).
∑
~τext = 0
A equação garante o equilíbrio de rotação (momento angular do
sistema é constante).
Somente forças ou torques externos podem mudar o estado de movi-
mento de um corpo rígido. Por esse motivo, a roda, como um todo,
está em equilíbrio. Contudo, as partes que a compõem exercem força
uma sobre as outras (forças internas a roda) e por esse motivo não
estão em equilíbrio.
Questão 3
Dois amigos estão subindo cuidadosamente um lance de de-
graus carregando uma caixa de 200kg. As dimensões da caixa
bem como a inclinação da escada estão dadas na Figura 2. As-
sumindo que a força exercida pelos homens esteja na vertical,
qual a magnitude da força exercida por cada um deles? (con-
sidere que a caixa sobe com velocidade constante e sem girar.)
fig_q3.png
Solução
O diagrama das forças que atuam na caixa está ilustrado na figura
seguinte:
onde w representa o peso da caixa.
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Como a caixa se desloca com velocidade constante (equilíbrio
dinâmico), temos, pela condição de equilíbrio das forças que
F1 + F2 = w ⇒ F1 + F2 = 1960 N.
Da condição de equilibrio dos torques, temos
F2(1, 25 cos45
o)− w(0, 375 cos45o) = 0⇒ F2 = 588 N.
Logo, F1 = 1372 N . Assim, a pessoa que está embaixo é quem faz
maior esforço.
Questão 4
Na figura 4, um homem está tentando tirar o seu carro da lama
no acostamento de uma estrada. Ele amarra firmemente um
extremo de uma corda ao pára-choque dianteiro do carro e o
outro extremo ele prende em torno de um poste, a 12 m de
distância. Ele então puxa lateralmente o meio da corda com
uma força de 500 N, deslocando o centro da corda 0,5 m em
relação a sua posição anterior e o carro quase não se mexe.
Que força a corda exerce sobre o carro? (A corda se distende
um pouco.)
Solução
A figura ilustra o diagrama de forças no ponto da corda sujeito a
aplicação da força
~F .
Por semelhança de triângulos, temos
T
F/2
=
√
122 + 0, 52
6
⇒ T ≈ 499, 6N
Questão 5†
Uma esfera uniforme de peso
~P e raio r é mantida no lugar
por uma corda presa a uma parede, sem atrito, situada a uma
distância L acima do centro da esfera. Encontre (a) a tensão
na corda e (b) a força
~F exercida pela parede sobre a esfera.
Solução
Seja θ o ângulo formado entre o fio e a vertical, pela condição de
equilíbrio das forças obtemos
T. cos θ = mg ⇒ T = mg.r
2 + L2
L
e
T. sin θ = F ⇒ F = mg r
L
.
Questão 6
Na figura abaixo, a massa esferica M pende de um fio de com-
primento l mas está solicitada para a esquerda por uma força
~F que a mantem apoiada contra uma parede vertical P , sem
atrito. Determine os valores de
~F e de ~R(reação da parede).
(O raio da esfera�l)
Solução
Seja θ o ângulo formado entre o fio e a vertical, entâo
sin θ =
2d
l
e cos θ =
√
1− 4d
2
l2
Da condição de equilíbrio para a esfera, obtemos
Na vertical: T. cos θ = Mg ⇒ T = Mg(1− 4d2
l2
)−
1
2
Na horizontal: R = T. sin θ ⇒ R = 2d
l
T
R =
2Mgd√
l2 − 4d2
Como o ponto da corda em que a força
~F está sendo aplicada tam-
bém está em equilíbrio, temos a seguinte equação:
F = 2T. sin θ =
4d
l
T = 2R
F =
4Mgd√
l2 − 4d2
Questão 7
Um atleta matém-se suspenso em equilibrio, forçando as
mãos contra duas paredes verticais, perpendiculares entre si,
dispondo seu corpo simetricamente em relação ao canto e man-
tendo seus braços horizontalmente alinhados, como mostra a
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figura. Sendo m a massa do corpo do atleta e µ o coeficiente
de atrito estático interveniente, calcule o modulo mínimo da
força exercida pelo atleta em cada parede.
Solução
As forças que agem no ponto de contato entre a mão do atleta e a
parede estão ilustradas pela figura abaixo:
Pela geometria da Figura 9, vemos que fat2 = F2. Dessa forma, as
forças restantes formam um polígono fechado.
Concluimos da Figura 10 que fat1 = N , logo
F1 =
√
2N.
Da condição de equilíbrio do atleta na vertical obtemos que,
2fat2 = P ⇒ F2 = P
2
Logo,
|fat|2 =
√
|fat1|2 + |fat2|2 =
√
N2 +
P 2
4
= µN
N =
P
2
√
µ2 − 1 ⇒ F1 =
√
2P
2
√
µ2 − 1
Das equações, temos que a força que o atleta exerce sobre uma
parede é
F =
√
F1
2 + F2
2 =
P
2
√
µ2 + 1
µ2 − 1 .
Questão 8
Um lavador de janelas de 75kg usa uma escada de 10kg que
tem 5, 0m de comprimento. Ele coloca uma extremidade da
escada no chao a 2, 5m da parede e apoia o extremo superior
numa janela rachada, e sobe a escada. Ele sobe 3, 0m da es-
cada e entao a janela se quebra. Desprezando o atrito entre a
escada e a janela e supondo que a base da escada não escorre-
gou, encontre (a) a força exercida pela escada sobre a janela,
pouco antes dela se quebrar e (b) a magnitude da força exer-
cida pelo chão sobre a escada, pouco antes da janela se quebrar.
Solução
a) A figura abaixo representa o diagrama das forças que atuam sobre
a escada.
Com os dados do enunciado obtém-se θ = 60o. Tomando o ponto em
que a escada está em contato com o chão como pivô, pela condição
de equilíbrio dos torques, temos
5 F1 sin 60
o − 3 P1 cos 60o − 2, 5 P2 cos 60o = 0
F1 ≈ 28, 9 N
b) A magnitude da força exercida pelo chão sobre a escada pode
ser obtida pela condição de equilíbrio das forças, representada pela
figura abaixo.
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Pelo teorema de Pitágoras obtemos | ~F2| = 89, 8N .
Questão 9
Sobre uma barra homogênea, de secção transversal constante
e peso 800N , uma criança pedala de A para B. A barra tem
10m de comprimento e está apoiada em A e B. O gráfico da
figura mostra a variação da reação no apoio B em função da
distância x. Qual a massa do criança? (considere que x é a
distância do ponto A até o centro de gravidade do conjunto
criança bicicleta.)
Solução
Sejam Pc e Pb os pesos da criança e da barra reespectivamente e Rb
a reação do apoia na barra, conforme ilustrado na figura abaixo:
Escolhendo o pivô no ponto A e tomando positivos os torques
horários, temos que
Pcx+ Pb5−Rb10 = 0⇒ Rb(x) = mg
10
x+ 400
Da figura vemos que o coeficiente angular do gráfico Rb×x é 40N/m.
Assim, da equação acima temos que
mg
10
= 30⇒ m ≈ 40, 8Kg
Questão 10†Na figura abaixo, uma esfera A de dimensões desprezíveis e
peso P , está presa a um fio ideal, de comprimento L. A pe-
quena esfera está em equilíbrio apoiada numa esfera maior de
raio R. A distância entre os ponto B e C ilustrados na figura
é a. Calcule em termos de a, R, L e P (a) a tração no fio e (b)
a reação da esfera maior sobre a menor.
Solução
A figura abaixo ilustra o diagrama das forças que atuam na esfera
menor.
onde
~F e a força de reação da esfera maior sobre a menor.
Por semelhança de triângulos temos
T
L
=
P
a+R
⇒ T = L
a+R
P
F
L
=
P
a+R
⇒ F = L
a+R
P
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Questão 11
Na física e geometria, a catenária e a curva que uma corda
com extremidades fixas assume quando está sujeita somente ao
seu peso. A figura abaixo corresponde a um colar de pérolas
sujeito somente à força do próprio peso. Seja m a massa de
cada perola e considerando desprezível a massa do fio que as
une, mostre que ângulos θi consecutivos estão relacionados por
meio da equação
tan θi − tan θi+1 = mg
T. cos θ0
onde T e a tração no fio que une a extremidade fixa é primeira
perola.
Solução
A figura abaixo ilustra as forçaas que atuam na i-ésima pérola
Temos então:
Na horizontal:Ti cos θi = Ti+1 cos θi+1
Na vertical:Ti sin θi = mg + Ti+1 sin θi+1
Então
Ti cos θi = T cos θ0 = cte para i=1,2...,N-1
Dividindo a equação da horizontal por T cos θ0 obtemos o resultado
do enunciado
tan θi − tan θi+1 = mg
T cos θ0
Questão 12
A figura abaixo ilustra um aro circular de raio R, rígido, fino
e liso, fixo em posição vertical. Ao ponto mais elevado do aro
B prende-se um fio leve e flexível em cuja outra extremidade
A está preso um anel pequeno e de peso P , que pode deslizar
ao longo do aro. O fio forma com a vertical um ângulo θ.
Determine as forças exercidas no anel pelo fio e pelo aro.
Solução
As forças aplicadas no anel obedecem ao esquema seguinte:
Da figura acima vemos que a intensidade da tração é
T = 2P cos θ
As componentes da tração são
Tx = T. cos
(pi
2
− θ
)
⇒ Tx = T. sin θTy = T. sin
(pi
2
− θ
)
⇒ Ty = cos θ
Logo, o vetor unitario Tˆ na direção de ~T é dado por
Tˆ =
~T
T
⇒ Tˆ = Tx iˆ+ Ty jˆ
T
= sin θiˆ+ cos θjˆ
e portanto a tração é obtida simplesmente multiplicando o vetor
unitário em hatT pelo escalar em T ,isto é,
~T = 2P cos θ(sin θiˆ+ cos θjˆ).
Como sabemos que o peso e dado por
~P = −P jˆ, entao, da figura
acima, vemos que a reação
~N do aro no anel é dada por
~N = −~T − ~P
Usando a identidade cos2 θ = 1 + cos 2θ obtemos
~N = −P (sin 2θiˆ+ cos 2θjˆ)
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Questão 13†
Calcule a magnitude da força
~F horizontal que é preciso aplicar
na parte superior de uma roda de massa m e raio r, para fazer
com que ela suba um degrau de altura h < r.
Solução
A figura abaixo ilustra a geometria e as forças que atuam no sistema.
Escolhendo o pivê no ponto P , temos que o torque da força de
reação do degrau na roda e nulo. Assim, a equação para o equilirio
dos torques e dada por
F (2r − h)−mgd = 0.
Da Figura 22a vemos que a distância d é dada por
d =
√
r2 − (r − h)2 =
√
2rh− h2
Substituindo a primeira equação na segunda, temos
F (2r − h)−mg
√
2rh− h2 = 0
F =
mg
√
2rh− h2
2r − h
Questão 14
Um bíceps relaxado requer uma força de 25, 0N para uma
elongação de 3, 0cm; o mesmo músculo contraído requer uma
forçaa de 500N para a mesma elongação. Encontre o modulo
de Young do músculo em ambas situações e determine quantas
vezes é mais difícil esticar um musculo que esta contraído.
Solução
Sabemos que a pressao a que um material está submetido e sua
deformação estão relacionados por meio da seguinte equação:
F
A
= Y
∆l
l0
Para o músculo relaxado temos:
25.0N
50cm2
= Yr
3.0cm
20.0cm
⇒ Yr = 3.33 · 104 Pa
Para o músculo contraído temos:
500N
50cm2
= Yc
3.0cm
20.0cm
⇒ Yc = 6.67 · 105 Pa
A razão entre os módulos de Young é
Yc
Yr
≈ 20
que nos permite concluir que esticar um musculo contraído é cerca
de 20 vezes mais dificil.
Questão 15
A resistência à compressão dos nossos ossos é importante em
nosso dia-a-dia. O módulo de Young de um osso e cerca de
1.4× 1010Pa. Sabendo que um osso pode sofrer uma variação
de ate 1, 0% em seu comprimento antes de quebrar calcule (a)
qual a força máxima que pode ser aplicada a um osso cuja área
mínima da seção transversal é 3cm2? (Essa area corresponde a
um osso como a tíbia por exemplo.) (b) Estime a altura máx-
ima da qual um homem de 70kg pode pular e não fraturar a
tíbia. Considere que o intervalo de tempo entre o instante que
ele toca o chão até o momento que ele para seja ∆t = 0, 030s,
e assuma que a tensão seja a mesma em cada perna.
Solução
a) Com os dados do enunciado temos que
F = AY
∆l
l0
⇒ F = 4.2× 104N
b) Podemos visualizar a força de reação R do chão no homem com-
posta por dois termos,
R(v) = mg − F (v)
onde F (v) = 0 para v = 0. O primeiro termo do segundo membro
da equação do item a) equilibra o peso do homem enquanto que o
segundo e responsavel por desacelerá-lo. A notação utilizada indica
que a magnitude da força de reação so depende da velocidade do
homem no momento imediatamente antes de tocar o solo.
A desaceleração é dada por
a =
F (v)
m
=
R(v)−mg
m
Sabemos que para que o homem não frature a tibia após o salto, a
força de reação não deve exceder o dobro do valor calculado no item
a). Assim o valor máximo para a desaceleração é
amax =
Rmax −mg
m
=
8.4× 104 − 70 · 9.8
70
amax = 1.19× 103ms−2
Considerando uma desaceleração constante, temos
amax =
∆v
∆t
= − v
0.03
⇒ |v| = 35.7m/s
Logo, pela Equação de Torricelli, a altura maxima que o homem
pode pular sem fraturar a tíbia é
v2 = 2gh⇒ h = 65m
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Questão 16
A figura abaixo mostra a curva tensão-deformação específica
para o quartzito. Quais são (a) o módulo de Young e (b) a
resistência ao escoamento aproximada para este material? (A
escala da tensão é 106Pa)
Solução
a) Sabemos que
p =
F
A
= Y
∆l
l0
Logo, Y representa o coeficiente angular do grafico p por ∆l
l0
que no
exemplo do quartzito vale
Y = 7.5× 1010Pa
b) Como a relação entre pressão e deformação relativa só é linear
para pressões inferiores a 2.9× 108Pa, então esse valor corresponde
a resistência do material ao escoamento. Para pressões superiores a
esse valor camadas que compõem o material começam a fluir.
Questão 17
Uma barra com área de seção transversal A está sujeita em
suas extremidades a forças de tensão de mesmo módulo porém
em sentidos contrários. Considere um plano através da barra
que forma um ângulo θ com o plano da seção transversal con-
forme ilustra a figura. (a) Qual é a tensão (normal) nesse plano
em termos de F , A, e θ? (b) Qual é a tensão de cisalhamento
(tangencial) nesse plano em termos de F , A, e θ? (c) Para
qual valor de θ a tensão é máxima? (d) Para qual valor de θ a
tensão de cisalhamento e máxima?
Solução
A figura abaixo ilustra uma das metades da barra seccionada pelo
plano.
A área da seção transversal é dada por A = ab. As tensões normal
(pressão) e tangencial (cisalhamento) são dadas reespectivamente
por
P =
Fn
a′ · b =
F cos θ
a
cos θ
b
⇒ P = F cos
2 θ
A
S =
Ft
a′ · b =
F sin θ
a
cos θ
b
⇒ S = F sin 2θ
2A
A pressão é máxima quando cos2 θ = 1, que implica em θ = 0o. Já
a tensão de cisalhamente é máxima quando sin 2θ = 1, que resulta
em θ = 45o.
Questão 18
Um dispositivo para medir compressibilidade consiste de um
cilindro preenchido por um volume Vo de óleo fechado por um
pistão. Um bloco de sódio é imersono óleo, e uma força é
aplicada ao pistão. Calcule a compressibilidade do sódio em
termos da força aplicada F , do deslocamento do pistão x, da
área do pistão A, dos volumes iniciais do óleo e do sódio Vo e
Vs, e da compressibilidade do óleo Ko.
Solução
A compressibilidade do sódio e do óleo são dadas reespectivamente
por
Ks = − ∆Vs
Vs∆p
Ko = − ∆Vo
Vo∆p
o sinal negativo nas equações acima significa simplesmente que
quando aumentamos a pressão (∆p > 0) o volume diminui
(∆Vs < 0).
A variação total do volume é dada por
|∆V | = |∆Vs|+ |∆Vo| = Ax
|∆Vs| = Ax− |∆Vo|
Da equação de compressibilidade do óleo temos |∆Vo| = KoV0∆p.
Assim podemos reescrever a equação variação total do volume da
seguinte forma:
|∆Vs| = Ax−KoVo∆p
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Substituindo a equação acima na de compressibilidade do sódio,
obtemos
Ks =
1
Vs
(
A2x
F
−KoVo
)
Questão 19
A equação de estado para um gás ideal é PV = nRT , onde
n e R são constantes. (a) Mostre que se o gás é comprim-
ido enquanto a temperatura é mantida constante o módulo
de compressibilidade é igual a pressão. (b) Quando um gás
ideal é comprimido sem haver nenhuma transferência de calor
entre o gás e sua vizinhança (compressão adiabática), pressão e
volume relacionam-se por PV γ = cte, onde γ e uma constante
que possui diferentes valores para diferentes gases. Mostre que,
nesse caso, o modulo de compressibilidade é dado por B = γP
Solução
a) Como a temperatura é constante, então
P0V0 = PV ⇒ V
V0
=
P0
P
V − V0
V0
+ 1 =
P0
P
Por outro lado, temos
P − P0 = −BV − V0
V0
⇒ V − V0
V0
=
P0 − P
B
Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos:
B
(
P0
P
− 1
)
= P0 − P
b) Como nao há transferência de calor, os estados inicial e final
estão relacionados por
P0V0
γ = PV γ = cte
Diferenciando a equação acima, temos
d(PV γ) = d(cte) = 0⇒ dP · V γ + P · d(V γ) = 0
V γ
(
dP +
PV γ−1
V
dV
)
= 0
Logo,
P = −V
γ
dP
dV
Como B = −V dP
dV
então
B = γP
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