ESTADO PLANO DE TENSÃO

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

ESTADO PLANO DE TENSÃO
Introdução a análise de tensão
Estado plano de tensão 
- Transformação de tensão no plano
- Equações Gerais
Círculo de Mohr
Tensões principais e planos principais.
INDICE
Definição de Tensão
 O conceito de tensão se origina do conceito elementar de pressão, como, por exemplo, a hidrostática que consiste numa força normal por unidade de área. Por tensão, entende-se uma extensão dessa idéia para os casos em que a força por unidade de área pode não ser, necessariamente, normal.
 Como ilustração do conceito de tensão, considera-se um corpo sólido, em equilíbrio, sujeito a um certo número de ações (forças externas), conforme a Fig. 1.
INTRODUÇÃO
Fig. 1 - Sólido em equilíbrio
Isolando-se uma parte deste sólido, conforme a Fig. 2, o equilíbrio é garantido pelo princípio da ação e reação (Lei de Newton), por se tratar de uma parte de um sólido em equilíbrio. 
Fig. 2 - Ação e reação no sólido
De maneira geral, pode-se dizer que uma área elementar dS é responsável por uma parcela dF daquelas forças transmitidas (ação e reação). Na Fig. 3 é mostrada a parcela df segundo suas componentes nos eixos x, y, z, com "origem" no centro da área do elemento dS. O sistema Oxyz é cartesiano.
Fig. 3 - Decomposição de força
Dividindo-se as componentes da força pela área elementar dS, definem-se as seguintes grandezas:
Como pode ser ilustrada na figura 4.
Fig.4 - Tensões num sistema de referência.
Convém observar que, as definições expressas por (1) são colocadas na forma de um processo limite, e essa colocação parte da suposição da existência de continuidade do corpo sólido. Outro fato é que dF pode variar de direção e de sentido ao longo da área S, porém, na passagem ao limite tais características ficam definidas no ponto em consideração (continuidade).
A grandeza σz é chamada tensão normal e as grandezas tzx e t zy são chamadas tensões tangenciais (cisalhantes). Nota-se que nestas grandezas os índices tem o seguinte significado:
 t ij onde,
i = indica o plano normal (tensão normal)
j = indica o eixo (sentido) da tensão tangencial.
Uma força horizontal P de 150lb é aplicada na extremidade D da alavanca ABD. Determine:
 (a) as tensões normal e de cisalhamento em um elemento no ponto H, possuindo lados paralelos aos eixos x e y;
 (b) os planos principais e as tensões principais no ponto H.
Exemplo 
10
Solução:
Determinar uma força equivalente no sistema no centro da seção transversal passando por H
 Tensões normais e de cisalhamento em H:
11
 Determinação dos planos principais e das tensões principais.
 Planos Principais:
12
Transformação de Tensão no Plano
Estado geral de tensão:
O estado geral de tensão em um ponto, é caracterizado por seis componentes indepen-dentes da tensão normal e de cisalhamento que agem nas faces de um material localizado no ponto.
Imagem 01 – Estado Geral de Tensão
Transformação de Tensão no Plano
Imagem 02 – Estado Plano de Tensão
O estado plano de tensão em um ponto é representado exclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento que tenha uma orientação específica neste ponto.
Para transformar as componentes de tensão de um elemento com determinada orientação em um elemento que tenha uma orientação diferente é necessário:
Seccionar o elemento; Desenhar o diagrama de corpo livre do segmento, mostrando as forças que atuam sobre o elemento; aplicar as equações de equilíbrio de forças nas direções x’ e y’ para obter as componentes de tensão desconhecidas.
Transformação de Tensão no Plano
Equações Gerais de transformação de tensão no plano
Exemplo:
O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na figura. Determine o estado de tensão no elemento orientado a 25º no sentido horário.
Solução:
A solução do problema consiste em encontramos as novas componentes de tensão de acordo com o ângulo submetido a esse elemento estrutural, em um ponto do quadrado infinitesimal. Em conformidade com isto, teremos três passos básicos:
1) Adaptar as componentes de tensão para o modelo convencionado;
2) Anotar as componentes de tensão já adaptadas ao modelo;
3) Cálculo das equações gerais de tensão no plano.
Solução
Solução:
3) Cálculo das equações gerais de transformação no plano:
Solução:
O traçado do denominado círculo de Mohr é um método gráfico que pode ser utilizado para determinar as tensões normais e de cisalhamento que atuam num plano genérico, cuja normal faz um ângulo θ com a direção X, 
Ciclo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
22
 Define-se o elemento com as tensões ,x, y e xy ;
 Adota-se o sistema de eixos ( ;  ) paralelos aos eixos xy;
 Marcam-se no sistema os pontos X = (x ; - xy ) e Y = (y ; xy ) ;
 Unem-se os dois pontos por uma reta que vai cortar o eixo σ no ponto C;
 
 Desenha-se o círculo de centro C e diâmetro XY. 
Para a construção do círculo de Mohr segue-se o seguinte roteiro básico: 


(x , -xy )
(y ; xy )


(x , -xy )
(y ; xy )
C


(x , -xy )
(y ; xy )
C
23
centro = ( méd ; 0)
24
Informações obtidas apartir do traçado do Círculo de Mohr 
Planos Principais e Tensões Principais
Normais:
Cisalhamento:
25
Com o Círculo de Mohr definido, outros estados de tensões em outras orientações podem ser descrito.
Para o estado de tensões um ângulo  com relação aos eixos xy, constrói-se um novo diâmetro x’y’ com ângulo de 2 com os eixos xy. 
As tensões normal e de cisalhamento são obtidas das coordenadas X’Y’.
26
Círculo de Mohr para carregamento concêntrico axial
Círculo de Mohr para carregamento de torção
27
Para o estado de tensão mostrado, determine:
 a) o plano principal; 
b) a tensão principal; 
c) a tensão de cisalhamento e a correspondente tensão normal.
Exemplo 03
28
Tensões principais
Planos principais
SOLUÇÃO:
Construção do círculo de Mohr
29
Tensão máxima de cisalhamento
30
Tensões Principais e Prática da Engenharia: é importante determinar a orientação dos planos que fazem a tensão normal chegar ao máximo e ao mínimo, bem como a orientação dos planos que fazem a tensão de cisalhamento chegar ao máximo.
Observações:
1- Posição Principal: Posição para a qual as tensões tangenciais nas faces do paralelepípedo elementar são todas nulas, restando apenas tensões normais.
Estado Triplo de Tensões - Direções principais - Direções 1 -2-3
Tensões Principais -> σ 1 −σ 2 −σ 3
Planos Principais-> Planos 1-2-3
Estado Plano de Tensões - Direções principais - Direções 1 -2
Tensões Principais -> σ 1 −σ 2
Planos Principais-> Planos 1-2
Tensões Principais e tensão de cisalhamento máxima no Plano.
Tensões Principais no Plano
Determinação da tensão normal máxima e mínima.
Lembrando que:
Dessa forma, de (5) e (6) tem-se:
Nos planos em que agem os valores máximo e mínimo das tensões normais, a tensão de cisalhamento é nula.
Importante:
1- Tensões Principais - Tensões normais máxima e mínima
 σ max = σ1
 σ min = σ2
2- Planos Principais – Planos de atuação das tensões principais
3- Direções Principais – Definem os planos principais
Posição dos Planos Principais
Resolvendo a eq. (5), obtemos a orientação θ =θ p dos planos de tensões normais máxima e mínima.
θ p - ângulo que define o plano de tensão normal extrema.
Solução : Duas raízes θ p1 e θ p2 . Os valores de 2θ p1 e 2θ p2 estão defasados de 180º. θ p1 e θ p2estarão defasados de 90º.
Para calcularmos as tensões principais devemos substituir os valores de sen2θ p1 e cos 2θ p1 , nas equações (1) e (3). Dessa forma, encontraram-se os valores do seno e co-seno a partir do triângulos apresentados na Figura.
Supondo-se que τ xy e σ x −σ y são quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos:
Para θ p1
Para
θ p2
Substituindo-se um dos conjuntos de equações teremos:
A equação nos dá a tensão normal máxima ou mínima no plano a qual atua sobre um ponto em que σ 1 ≥σ 2 .
As trincas na viga de concreto da Figura 10 foram provocadas por tensões de tração, apesar de ela está submetida tanto a momento interno como a cisalhamento. As equações de transformação de tensão são usadas para prever a direção das trincas, bem como as tensões normais principais que as provocaram.
Para calcularmos as tensões de cisalhamento máximas devemos substituir os valores de sen2θ c e cos 2θ c , na equação (2). Dessa forma, encontram-se os valores do seno e co-seno a partir do triângulos apresentados na Figura 11. A montagem dos triângulos da figura se baseia na equação de tensão. O ângulo θs.
Supondo-se que τ xy e σ x −σ y são quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos:
 Tensão de cisalhamento máxima do plano
τ max é chamada de tensão máxima no plano, por que atua sobre o elemento no plano x-y.
Substituindo-se os valores de sen2θ c e cos 2θ c , na equação (1), verificamos que há uma tensão normal nos planos da tensão de cisalhamento máximo dada por:
Como no caso das equações de transformação de tensão, é conveniente programar as equações anteriores de tal forma que sejam usadas numa calculadora de bolso.
Para o estado de tensão mostrado, determine:
Calcular:
a) o plano principal;
 b) a tensão principal;
c) a tensão de cisalhamento e a correspondente tensão normal.
Exemplo 
Solução:
Encontrar a orientação do elemento das tensões principal, 
Determinar as tensões principais
41
Cálculo de tensão de cisalhamento máxima
A correspondência tensão normal é,
42
Referências 
BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 2008.
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.