Apostila IME Servomecanismos - Parte 3 - Propriedades dos Sistemas de Controle

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UD-4
 
PROPRIEDADES DOS SISTE!\tIAS DE CONTROLE 
OBJETIYO 
Apresentar os tipos de sistemas e desenvolver os conceitos de estabilidadc 
c de erro estacionario para sistemas de controlc lincares, continuos c invariantes 
no tern flO. 
SUMARIO ( D' AZZO, CAPITULO 6 ) 
4.1 flltrodu y8.o 
4.2 Criterio de EswbiJidade de Routh 
4.3 Significados Fisico e Matematico 
4.4 Tiros de Sistemas de COlltl"Ole com Rel!"oayJo 
4.5 An~l1ise dos Tipos de Sistemas 
4.6 ConsUlnte de Erro E::tacionjrio 
4.7 Utilidacle dos Constantes de Erro Estacionario 
PR E-R EQ UISITOS 
- U 0-1 a UO-3 
4.1 INTRODUCAO 
S.10 seis as propriecl8dcs de fundamental imporulncia para os sistemas de 
can trolc com retroa<;50 : 
- cstabilidade; 
- crro cm regime permallente, existcncia c valor; 
- clcsemiJenho no lransill)rio; 
- controlahiliclade; 
- observabilid8clc e 
- scnsjbilicl8dc parJmCu-jc3_ 
68
 
4.2 CRITERlO DE ESTABILIDADE DE ROUTH 
A fun<;ao de transfercncia a malha fechada de urn siste1l18 de controlc 
com retroa<;ao ( rclayao de controlc ) possui a forma geral : 
C(s) P(s) P(s) 
--=--= (6.1 )
R(r) 0(5) b b /l - 1 b I./l\ ., ~ /l 5 -I- n _ I 5 + ... -I- 15 -I- )0 
R\s) E\s) Cls) _ 
- Gl s)+
-
~ 
8ls) 
Hls) .... 
fig G.l Diagr:lm:l dc Blocos E1cmcntar. 
Q(s) = a c a equa<;ao caractcristica (6.2). 
A estabiJidade da resposta c(t) ex.ige q lie todas as raizes da eq uayao 
caractcristica ( p610s da rcla<;ao de controlc ) pos5uam parte real neg8(iva. 
o crilcrio dc eSlabllidadc de ROUlh estabelccc lim melodo simples de 
determina<;ao do numero de raizes de Q(s) com pane real pOSiliv<l, scr-. a 
nccessidadc de determinar exprcssamente essas raizcs. 
o crileria de ROUlh indica a ex.islcncia e a quanlidacle de palos cia relayao 
de cOl1trolc ( pc)los de malha fcchada ) situJdos no semiplano direito do plano s. 
o criterio de Routh, portanto, permitc apenas concluir sc 0 sistema C 
csui\cl ou inst3\'el. 
Se 0 (ermo 6 0 for nulo, divide-sepor 5 a expressao ale oblcr lima equa(,:<lo 
na forma (0.2). 
0" wcl'icicnlcs hI sao IlLlll1CIOS I'cais, C Ladas 3S pOlcncias dc S, de .\" J 
so, dc\cll1 CSl;lr prcsenlcs na cqua<;Jo caractcrislica. 
69
 
AS eocfieientes bi sao dispostos no algoritmo de Routh da seguinte maneira : 
As eonstantes da tereeira linha, C" C2, C3, cle., sao calculaclas com 0 auxilio 
das duas linhas anteriores, .In e .In-I. 
bn _ I • b n - 2 (6.3) 
/)/I-J 
b n _ I . b /I - 4 - b'I . b n - 5 (6.4) 
! 
b n - J 
b n _ 1 .!J /I -C> - bn . b n - 7 (6.5)b _ 
n 1 
Este procedimento conlinua ::llc que tudos os demais elementos Ci scjum 
nulos. 
As eonstanles d;-t quarLa linha, ell, el2, d3, etc., s50 calculaclas com 0 auxilio 
clas du:.Js linhas Jnteriorcs, .In-I es Jl - 2 . 
/ C1 . h,1- 3 - b,[- I' C-,_ (C).6)(I -__ ('I 
(6.7)
 
Estc procedimento continua ate que todos os demais elementos di sejam 
nu!os. 
o rcstantc das linhas c gerado de maneira analoga. 0 dispositivo 
complcto possui forma triangular. As duas ultimas linhas, SiC sa , possuel11 um 
unico termo cada. 
Criterio de Routh 
" 0 numero de raizes cia equac;:ao caracteristica com parte seal positiva c 
igual ao numero elas mudanc;:as de sinal dos termos da primeira coluna ". 
Estabilidaele do SistemJ de Controlc 
o sistema scr[l estilvcl se toelos as termos da primeira caluna tiverem 0
 
mcsmo sinal.
 
JExempla I : Q(s) = 55 + S4 + IOs3 + 72s2 + I52s + 240 = 0 (6.9) 
.'1 5 10 152
 
S4 72 240
 
S3 
-62 -88
 
S2 70,6 240
 
Sl 122,6 
sa 2'-10 
Hj (luas Illudanps de sin~ll na primeira colunC1. H~l, partanto, eluas raizc::> 
Ja cquac;ao car8cteristica no ::icmiplano s cia dircita. 
o "istC!ll~l C, pOl'tanto. inst~l\cl. 
71 
Este algoritmo nao fornece os valorcs das raizes, nem distinguc se sao 
reais ou complexas. 
Fatorando Q(s) obtcm-se as cinco raizes : 
5 2,3 = - 1 ± j j3 54,5 = + 2 + j4 
eorema 1 - Divisao de uma linha 
II
 Os coeficientes de qualquer linha podem ser lllultipJicaclos Oll divididos 
par um numcro positivo scm que haja troca de sinais na primeirc caluna ". . 
Excmplo 2 : Q(5) = 56 + 355 + 254 + 95 3 + SS2 + 125 + 20 = 0 (6.10) 
2 5 20
 
3 9 12 dividindo por 3
 
.1 3 4
 
54 
-I 20
 
S3 4 24 dividindo pOl' 4
 
6
 
52 7 20
 
51 3,14 multiplicando par 7
 
22
 
SO 20
 
72
 
~ 
rimeira coluna 
J 
II Quando 0 primeiro termo de uma linha c igual a zero e os demais n50 
sao todos nulos, as seguintes mctodos podem scr utilizados : 
I)	 Fazer na equac;iio original 5 = Ilx c resolver para as raizes de x com parte real 
positiva. a nUl11ero de raizcs x com parte real positiva sera 0 meSI110 que 0 de 
raizes 5 com parte real positiva. 
2)	 Multiplicar Q(s) par (s + I), que introduz uma raiz adicional negativa. 
Formar, entao, 0 algoritmo de Routh para 0 novo polinomio". 
Exemplo 3 : Q(5) = S4 + 53 + 2.1'2 + 25 + 5 = 0	 (6.1 [) 
S4 
S3 
S2 
51 
I1)	 s - ­ X 
x 4 
x 3 
x 2 
Xl 
XO 
2 5 
2 
0 5 
') 
Q(x) - 5x4 + 2x 3 + 2x2 + X + I = 0	 (6.12) 
_.\1.	 \ 
I~."-1 _ 
­5	 2 ~ ~ )~ ~ -
-
rl£. )- =+-)
1'-;(, 
f'.I~ll	 
- !... 
2 - ~ 
" , .~ ~ " ..., 
-2	 \:7-c) -- ~ 
I. 
-I 
I
" 
,~	 be.- zt ~)~ ()!...5	 ... 
­\ i-l;.. 
2	 Hj d LIas trocas de sinal na primeira coluna. 
Q(s) tCI11, portanto, duas raizcs com parte rca] positiv:l. 
a sistema c insulvel. 
(,	 j . ,))\) l -( Il	 . ) -=- ,./-)\-1- -+ l 
i ~ Y::-- +- ' i.L 4- 'l ~:):)(~	 :L ,.. .::L1,	 
-\-L +
73 
\ 
--
+
--.Q 
I I':C '3 ) / ~ 
~ 3 7 
2 4 5 
2 9 
-10 10 
51 I I
 
10 Conclusoes idcnticas as de I).
 
Teorerha 3 - Ocorrencia de uma linl~ 
I -; 
~7 
/ "Quando todos os coeficiel1tes de uma linha sao iguais a zero, procedc-sc 
cIa forma seguinte : 
I) Formar uma equa~ao auxiliar a partir da linha que precedc a linha nub. 
2) Complctar a tabela de Routh substituindo os coeficientes nulos pelos da 
dcri\'ad~ da equa~ao auxiliar". 
As ralzes cIa equa~ao auxiliar sao tal11bcl11 ralzes da equa~ao original. 
Ocorrcm aos pares c sao sil11ctricas em re\ayao <[ origem. 
/ 
Exem plo 4 : Q( 5 ) = 54 + 25 3 + 115 2 + 185 + 18 = 0 (6.13) 
II 18 
2 18 
9 
2 18 
9 Lin ha precedel1 tc ( 52) 
o Linha nula (5 I) 
2 
EqUJyJO auxiliar S2 + 9 = 0 
DerivJcJa cia CQUCly80 Juxiliar 25 = 0 
74
 
As raizes da equayao auxiliar, que tambem anulam a equa9ao original, 
sao: 
s = ±j3 
Como nao hOU\fe troca de sinal na primeira coluna, entao nao ha raizes 
de Q(s) = a no semiplano dircito. 0 sistema C, portanto, esulvel. 
Eg uUyao caracteristica incluindo ganho K 
A fun9ao de transfercncia a malha fechada ( rcla9llo de controle ) pode 
nao apresentar urn denominador fatorado explicitamente. 
Exemplo: 
C(s) K(s +2) 
.., (6.16) R(s) s (s + S) (s- + 2 s + 5) + K ( s + 2) 
o valor de K determina a localizaryao dos palos da rclaryao de controlc 
(raizes da equaryao caracterlstica ) e, em COl1scq i.icncia, a estabilidade do sistem::. 
A faixa de valores de K para a qual 0 sistema c estavcl pode ser obtida 
com 0 emprego do algoritlTIo (Ie Routh. 
Exemplo 5: Q(sr~s4 + 7s 3 + !5s 2 + (2S + K)s + 2K = a (6.17) 
15 2K 
7 
80 - K 14K 
2S + K 
(SO - K.) (25 + K) 
80 - K 
- 98[( 
14K 
s' 
14K> a 
80 - K > 0 
P( [() = (80 K) (2S + K) 
K > 0 
K < 80 
98K = - 1\./2 - 43K + 2000 
P(K) o Ullzes: K1 28,12 e K2 - 71,12 
75 
---P-.~ 
d P( K) = _ 2K _ 43 = 0 K = 21,5
dK 
P( - 21,5) = 2462 => f(= 21,5 cponto de maxima. 
Portanto, K < 28,12 
Para 0 sistema scr esutvel: 0 < f( < 28,12 
4.3 SIGNIFICADOS FisICO E MATEMATICO 
Entradas Paclronizadas 
TIPO DE ENTRADA r( t) R(s) 
DEGRAU Ro U_I(t) Ro - s 
RAMPA R1 t 1'-1 (t) R1-52 I 
~ 
PARABOLA t
2 
U-l(t)R,­
-2 
R2
-53 I 
J 
As trcs cntradas padronizadas : 
- aproximam J. maioria dos sinais de comando; 
- constituelll-sc em meio de compara<;ao do descmpenho de 
difetentes sistemas; 
- sao de faciJ gera<;ao e 
- S30 suficicntell1ente severas rara testar 0 sistema. 
Em diferentes sistemas ;1 \ariavel controlada C(l) pode significar posi<;Jo, 
Yclocidacle, temperatura, gradicnlc de tempcratura, p['cssao, vl.1zao, acelera<;ao :Ja 
vaz30, tens30, corren te, nivel, ctc. 
76
 
f" 
Geralmente as grandezas importantcs sao: 
- variavel controlada c(t) 
dc(t) 
- sua derivada primeira 
dt 
tflc( t) 
- sua dcrivada segunda 
dt 2 
Cada uma dessas func;6es matematicas apresehta urn significado fisico 
prcciso. 
Uma vcz relacionados os blocos dos diagramas as func;6es de 
transfercnCia correspondentcs torna-se irrc!cvante, do ponto de vista da analise, 
q llal C 0 significado fisico da variavcl con trolada. 
4.4 TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROLE COM RETROACAO 
c (s)R( s) E(s) G (s) 
Cts) 
Func;ao dc transfercncia a malha aberta : G(s) 
Formas dc G(s) : 
Ko (I + T1 s ) (I + T2 s ) . G(s) (6.18)([ + T s ) (1 + Tb S ) .a 
K[ (1 + T[s)(1 + T2 s) ... qG(s) = (6 .L) 
s (1 + Tn S ) (I + TIJ s ) .,. 
K2 (1 + T, s) (1 + T2 S ) .,.G(s) - (6.20) 
S2 (! + TQ S ) (I + Tb S ) .. 
Forma gencralizada de G(5) : 
fig 6.4 Sistema de Conlrole com Reiroa~ao Unil:iria. 
C(s) 
£(s) 
v (I 'I -L I 21\lIt T .ItS, ')2 5 + 
C(S) = K", C' (5) I 
77 
Grau do denominador: n = m + u ~ w + 1 
aJ , a2. ... coeficien tes constan tes . 
. b l ,b2 • .•. - coeficientes constantes. 
m - constante de ganho de G(5).K·
m = 0, 1,2, ... = tipo da fun~ao de transfercncia.
 
G' (5) = Fun~ao de transfercncia clo canal cJireto com ganho unitario.
 
A partir do momenta em que 0 sistema fisico c cxpresso 
matematicamente, a analise feita em 4.5 e 4.6 independc de sua natureza. 
Os tipos mais frequentes de sistema de contrale com retroa~ao se 
enq uadram nas tres categorias expressas pelas eq ua~6es (6.18) a (6.20). 
Os diversos tipos de sistema de cont[~ole aprescntam a propriedade de 
responder a uma excitac;ao constante com: 
- Tipo 0 - valor constantc ( posi~ao constantc ) da variavel controlada; 
- Tipo 1 - taxa de varia~ilo constante ( vclocidaclc constantc ) cia varia.vel 
controlada; 
Tipo' 2 - segunda dcrivada constante ( acelcrac;ao constante ) da vari:\vel 
con trolada. 
A classificac;:ao acima, pOl' si mesma, conduz it identificac;:ao do sistema a 
. partir cia func;:ilo de transfcrcllcia do canal dircto. 
4.5 ANALISE DOS TIPOS DE SISTEMAS 
Lembretes : 
1) Tcorema do valor final 
lim f(t) = lim s F(s) (6.22) 
{->ex> 5->0 
2) Tcorcma da derivac;ao 
dm c(t) } 
SOl C(5) (6. ~3) 
d t m 
(condi~6cs iniciais l1ulas) 
A func;ao de transferencia do canal c1ireto, que define 0 tipo de sistema 
com retroac;ao uniuiria, pode scI' expressa sob a forma fatorada segundo as 
constantcs de tempo ligadas aos polos e zeros do canal dircto : 
C(s) KJn (1 + T l s) (1 + T2 s) . (6.24)C(s)	 ­£(s) snl( 1 + T s ) (1 + Tb s) .a 
Relayao entre a derivada cia res posta e 0 eno e:.tacionario : 
(6.25)
 
Aplicando os teorcmas clo valor final e cla derivac;ao : 
e(t) ss lim e(t) = lim [s £(s) ] = 
[--;.;:;.0 5- 0 
S (I + To s ) (I + Tb s) ... ( ) ] lim -	 srnC s 
s ~ 0	 [ Km (I + TJ s ) ( I + T2 s) ...
 
lim s [ sm C(s) ] = l~ lim s F(s) =
 Krn	 S -. 0 l\.m S ~ 0 
d"'c(t)1 rlim j(t) = K	 1mKm	 r -)oc.o m ' -~oo dr' 
dJnc(t)ss ( ss "steacly state" )	 (6.28)
Kill dt m 
dill c( t)ss (6.29)
dt lil 
Quando a derivJda for constante em (6.29), tem-se :
 
e(t)" = COl1stantc = Eo
 
tim c(t)ss (6.30) K,lIEu = dt l11 
Rc](lyao entre a excita<;:ao C 0 erro cstacionilrio : 
C(5)	 G(5)£(5)	 I 
C(s) G(s) I + G(5) H(s) R(s) 
79 
(6.32)1£(s)"..',. '. Como: H(s) 1= +G(s) R(s) 
Entrando com (6.24) em (6.32) : 
E(s) = ----'1'-- . R(s) . 
K (1 + T s) (1 + T2 s) ...m J1+ 
sm (1 + To s ) (1 + Tb s) ...E(s) --------------------R(s)
sin (J + To s ) (1 + Tb s) ... + Ie (1 + T j s ) (1 + T2 s ) ... 
(6.33) 
Aplicando 0 teorelTlQ do valor final: 
. [ b s_)_._ ... ] R(s)~--sm-(~I~+-T-a~s)_(_1_+_T_ ..
e(t)ss = lim s 
s ..... 0 sm (1 + Ta s ) (I + Tb s) ... + Km (1 + TIS) (1 + T2 S ) '" 
(6.34) 
o erro estacionario eSUt, agora, relacionado a excita~ao R(s). 
Este erro c a scguir analisaclo para tres tipos de sistema c para as trcs 
entradas padronizadas. 
1) ITl = 0 - sistema tipo zero 
a) Excita~ao em degrau R(s) - Rs
o 
s 
0 
(1 + Ta s)( I + Tb s) ... ]e(t)ss = jim s -0----------------------­
[s ..... 0 S (1 + T s ) (I + Tb s) ... + /(0 (1 + T 1 s) (I + T2 S ) '" a 
Ra (6.35) e(!)ss = K = cOl1stante = Eo =1= 0 
1 + () 
CONCLUSAO: 
Um sistema tipo "0" submeticlo (l cntrada constante proclLIz respo:3t<1 
constante e sinal atuante tambcm constante. 
" (fOc(!);sAplicando (6.30) : 1\.0 Eo = --- = c(t),s = Cod!o 
A cxprcssao acima mostra que em sistcmas tipo "0" c neccss{trio LIm erro 
constantc, Eo ,para que sc produza LIma rcsposta constante desejada, Co. 
so 
Ro 
t -7- KoCo 
KoRoCo 1+ Ko t 
Ko Ro 
+ Ko 
t 
fig 6.5 Rcsposta Estaeion;lria de 11111 Sistcma Tipo "0" a lima Entrada em Dcgrall. 
b) Excitayao em rampa R(5) ­
5° (1 + Tn 5)( 1 -I- Tv 5) ... ] R]
e(t).u = lim s [ 0 
s -·0 s (I + T
a 
5 ) ([ + Tb 5) ... + Ko (I + T 1 s) (I + T2 s ) ... 52 
Ie(I)" ~--=l 
R)C(t) colltcm 0 termo --- I.
+ Ko 
CONCLUSAO: 
Um sistema cio tipo "0" submetido a entrada do tipo rampa produz como 
resposta outra rampa cic menor inclinayao, com erro que aumenta com tempo. 
Urn sistema do tipo "0" nao podc scguir uma entrada em rampa . 
REGIME 
--~~- PERMANENTE 
... 
te(tl~At+B
 
C(tl 
I.L:~ --'~ 
L 
Figllra : Rcsposta Estaciol1:'lria £Ie llm Sistema Ti(lo "0" a lIma Entrada cm Ibmpa. 
81 
c) Excita9ao em pad.bola R(s) 
sO (I + T s)( 1 -I- T s) '" a u
----
_-.-1 R~e(t)ss = Ii~. 
':;" -j.-U 
'.: \.' )\ .1_ !.;'. ('[ -1- T <; \ ( ~ 
_ .. , : 1.:J \ - 1 ... .: \ .... + T2 5) ... J ..,) 
Um sistema do tipo "0" nJo pode seguir uma entr<:lda em parabola. 
e(t)ss 00 
2) m - sistema tiro 
Ro
a) Excitac;ao em dcgrau R(s) - 5 
Um sistema do IIp::: segue UilI<l. cnLr[,da de \<dor COllSUlnte corn erro 
nulo. 
b) Excitac;ao em rampJ R(.\: 
)( < T ,.)s I ( 1 + Tr; S ; \ J +- ~. h ..... ... R[
c(t)ss = lim 5 r I / , 2
.1->0 _L -c' ) ( Il 5 ! I ! :'J S J + Th S) ... + /(1 ( ! + T: s) ( I + T). S) 1 S " -.J 
,-----------------, 
I R. iI c(f:.-- :.o.-=: -;- = constantc = E, =!= 0 (6.42)Ii '-~ K] ~ II
i _____...-1 
Urn sistema (j 
..Em sistemas do tipe 1 C n':':~:>\~lriu Lim erro C0r~:;, .. ; U','__I /...-- - ..' ..... 
produza uma rcspostCl em r~lmpa. 
A 
I __ REGIME . 
~ PERMANENTE 
t 
Fig 6.6 Resposla Estacion:'iria dc Sistcma Tipo I a uma Entrada cm R:ul1pa. 
c) Excita<;ao em parabola R(5) = 
51 ([ + Trz 5)( I + Tb 5) ... ] K) 
e( t).u =PTo 5 [ -5-1-(-[--1--,-T--5-)-(-1-+-T--5-)-.-oo-+-K-[-(-I-+-T-[-5-)-(-1-+-T--5-)-oo.- 5; 
a b 2 
' R2 
e(t) contem 0 termo K t. 
, 
Urn sistema do tipo I nao pode seguir uma entrada em parabola. 
3) ill = 2 - sistema tipo 2 
Ro
a) Excitac;;ao em degrau R(5) 5 
l 52 (1 + Tn 5)( I + Ttl 5) 00. e(t)ss = lim 5 -2--------------------- J _~o s ~ 0 5 (1 + T 5 ) (1 + Tb 5) ... + K2 (I + T[ 5 ) (I + T2 -" ) ...a 
(6.49)
 
Urn sistema do tipo 2 segue uma entrada de valor constante com erm 
nuto. 
( 
r 
\ 
\! 1'G , 
'­
83 
~ 
b) Excitayao em rampa . R(5) = 
e(t)ss = lim 5 [ i_(_I_+_T_a_5_)(_I_+_Tb_5_)_... :_l _R_~ 
s -+ 0 i (I + T 5 ) (1 + Tb 5) ... + K2 (I + T1 5 ) (1 +. T2 .) ) _.. J 5a 
(6.53)
 
Um sistema do tipo 2 segue uma entrada em rampa com erro nulo. 
c) Excitayao em parabola R(s) = 
S 
2 (1+ Tas) (1 + Tb 5) ... ]
e(t)ss = lim 5 [ 
s -+ 0 52 (I + Ta S ) (1 + Tb s) ,,_ + K2 (1 + T1 s) (1 + T2 s) .. , 
R2 (6.61)e(t)ss = -K = constante 
2 . 
. Urn sistema do tipo 2 submetido a entrada em padbola produz uma 
re~posta em panlbola com sinal atLlante constante (Eo). 
Em sistemas do tipo 2 C neccssario urn erro constante, Eo , para q lle se 
produza uma resposta em parabola. 
rll) 
Fig G.7 Rcsposta Estacion:'lria tic lIlll Sistema Tipo 2 a II IIIa Entrada elll Par:il.Jola. 
\ 
~ ({} ( , I 
Tabela 6.1 (D'AZZO, pag. 176) Propricdades' da rcsposta estacionaria de 
sistemas cst<iveis com retroac;ao unitaria. 
Sistema 
Derivadostipo m 
Dr~Dc~OR.u.,(1) 
K.R, R, Co R,lu.,(t) Dr" Dc1+ K. I + Co 1+ K. I - • 
( ... 
R, I 
2( I + K.) I - C,I ­ C. 
o 
R, 
K, 
- C,I ­ C. 
o 
o 
. 0 tJ - 0 
7 tP 7 ,.~ =­ 0\ ..~ t-A~\ 
ly1/ K! + ! - (). N ~ - ~ 1 
-~ =0 c '-::> iZ ~ ~-\. 
/)ll~\ .'. .~. 
K.R. . 
2( I + K.) I" + C,I + C. 
R,I 
RI-B.!. 
, K, 
R,I' _ R, 
2 K, 
R.I'
---:>- + C, I .. C, 
'( \ l 
r 
R.u .,(1) 
R.I'
-r-u ,II) 
R,IU .,(1) 
R,IU ,(I) 
R.I
'yu ,(I) 
R.I'2 u .,(1) 
x 
o Or ~ Dc ~ 0 
R, 
K, Dr =0<' = 1<, 
Dr" Dc 
o Dr=Dc=O 
o C-.- = Dc =R, 
D'r ~ D'e = R, 
Dr = Dc =R,t 
l ! 
\\'. 
85
 
2 
GAYAKWADjSOKOLOFF . 
"ANALOG AND DIGITAL CONTROL SYSTEMS" 
Input 
SY5tem Step Ramp Parabolictype 
en =constnnt 
e -4> 00o is e -+ 00 
11 
en = constant 
ej5 =constant 
Figure 5-6. Graphical characterization of the steady-state error for selected conditions 
of input and system type. 
86 
4.6 CONSTANTE DE ERRO ESTACIONA.RIO
 
Uma importante especificaC;30 de desempenho de sistcma~; de contrale e 
a constante de erro estacionario. 
Ela traduz a capacidadc do sistema para manter a resposta com urn 
determirwdo valor e com erro minimo . 
. E, assim, uma medida de precis50, em regime permancntc, de sistemas 
de contrale estaveis com retraac;ao unitliria. 
As constantes de erro estacionario sao definidas para as trcs formas 
particularc~ de entrada: degrau, rampa, e parabola. 
As deduc;oes a seguir independem de qual seja 0 tipo do sistema. 
a) Constante de eno estacionario ao degrau 
Definic;ao : 
VALOR ESTACIONARIO DA RESPOSTA c(t)ss 
-
VALOR ESTACIONARIO DO SINAL ATUANTE c(t);s 
S6 edefinida para a entrada em degrau r(t) = Ro1L,(t). 
Aplicando 0 teorema do valor final a resposta e ao sinal atuante : 
.., ~ 
. [ G(s) G(s)c(t)jj = lim sC(s) lim s ~o J lim [ Ro]j-+O j-+Oj-+O 1 + G(s) 1 + G(s) 
1 1e( t)jj lim s£(s) lim [5 -Ro] = r1m [ RoJj-+Oj-+O 1 + G(s) 5 j -+ 0 I + G(s) 
G(s)
lim
s->O [ 1 + G(s) RaJ 
K = p [ RoJ1lim 5->0 1 + G(s) 
Kp = lim G(s) (6.7G)s->o 
Partindo de G(s) em (G.24) : 
Sistema tipo 0 
Ko (I + T] s ) (I + T) s) ... K - lim ------------ ­
p s->O sO(I + Tas)(l + Tbs) 
87
 
Sistema tipo I 
K1 (I + T1 5) (I + T2 5) '" K = lim -----~----- K=oop 
p s -> 0 s\ I + T a s)(I + Tb 5) ... 
Sistema tipo 2 
K2 (I + T1 5) (I + T2 s) '" /(p - lim ---------- ­ /(=00
s -> 0 52( I + T 5 ) (1 5) ... p a + Tb 
b) Constantc de crro cstacionario it ramra 
Dcfiniyiio : 
K = VALOR ESTACIONARIO DA DERIVADA DA RESPOST-\ 
v VALOR ESTACIONARIO DO SINAL ATUANTE 
'-- ..-1 
de(t)ss 
dtK = (G.80)v 
S6 C dcfinida para a entrada em rampa ret) = R1tu_l(t). 
A transformada de Laplace cia primeira derivada da rcsposUl C : 
-de(!) ] G(5) 
g; --;;r = 5 C(5) = 5 1 + G(s) R(s) (6.81)l 
Aplicando 0 teorema do valor final obtcm-se 0 valor em reg 1111 C 
pcrmancnte da dcrivada da resposta e do sinal atuante : 
dC(~;'u = lim s[sC(s)J = lim [52 G(s) R;] = lim [ G(s)
 
5 ..... 0 5->0 1 +G(s) 5- 5 ..... 0 1+ G(s)
 
e(t)S5 = lim 5£(5) lim [5 R~ ]= lim [ I R'] (6.~:J) 
5 ..... 0 5 ..... 0 1+ G(s) Sk 5 ..... 0 1+ C(s) .\ 
lim. r G(s) R ] 
5 ..... 0'- I +G(s) I 
K = v 
lim r 1 2]
5 ..... oL 1 + G(s) 5 
88
 
(6.84)K = lim sG(s)y 
5-+0 
Sistema tipo a 
Ko (1 --I- 1'1 s) (1 --I- 1'2 s) ... K = lim 5 ----------- [( = av 
v 5 -+ 0 sO(1 --I- 1' s ) (I --I- l'b s) ... 
a 
Sistema tipo 1 
[(1 (1 --I- 1', s) (1 --I- 1'2 s) ... 
K = lim 5 ----------­
y s -+ 0 s\ 1 --I- 1' s) (1 --I- 5) ... 
a 
Tb 
Sistema tipo 2 
. [(2 (1 --I- T1 s) (1 --I- 1'2 5) ... K = 11m s -2---------- K=cov 
5-+0 5 (I --I- Tas)(l --I- Tbs) ... v 
c) Constante de erra estacionaria ;:'\ parabola 
Defini<;iio : 
VALOR ESTACIONARIO ,DA SEG. DERIV. DA REsrOST0 
VALOR ESTACIONARIO DO SINAL ATUANTE ~ I 
dr
")
K = (().~9) n 
S6 Cdefinida para (1 entrada eIll parclbola r(t) 
A transformaua de Laplace cia segllncl~l (Icrivacla da rcsposL! C : 
~,(~~( \ 
" lrn\\t~, '" 
t 
Aplicando 0 teorema do valor final obtem-se 0 valor de regime 
permanente da segunda derivada da resposta e do sinal atuante : 
2 
d c(t).u [? ] [3 G(s) R2 ] __ 11'm [G(S) ]
--- = lim 5 s-C(s) = lim 5 ---- R2dt2 5->0 5->0 1+ G(s) 53 5->0 1+ G(s) 
1 J
e( t)ss - lim sEes) = lim [5 -R'] = 1"1m [ R, ] s->O s -) 0 I + G(s) 53 s -) 0 1 + G(s) 52 
Ka 
Sistema tiro a 
2 Ko ( I Ka lim s
 5->0 soC I
 
Sistema tipo 1 
2K lim 5a 5->0 51 ( I 
Sistema tipo 2 
2 K2 ( I Ka = lim 5 ?5 ..... 0 
:JryY\(V\(~(;'N\ r\: ,
 
f> ~ t)~
 
},.{I' 
(6.94)Ka = lim s2G(s) 5->0 
. [ C;(5) 
R2]IlIn 
.1'->0 1 + G(s) 
- ~; ]1" [ 11m 5->0 I+G(s) 
+ T( 5) ( 1 + T2 5) Ka a 
+ T 5 ) ( 1 + Tv s)a 
KtC 1 + TIs) ( 1 + T2 5) K 0a 
+ Ta .s ) ( I + Tv 5) 
+ TIs) ( 1 + K(I = K2 
5-( 1 + T .s ) ( 1 +a 
1\ 
1. '1 
90 
Tabcla 6.4 Constantcs de crro estacionilrio para sistemas csu'lveis, H(s) = 1. 
TIPO DE 
SISTEMA 
0 
AO DEGRAU 
f(p 
/(0 
A RAMPA 
/(" 
0 
APARABOU\ 
K,J 
() 
-I 
i 
I 
1 00 K, 0 
') 
"-­ 00 00 /(2 
Tabela 6.3 Dcfini<;50 das constantcs de erro estacionario para ~ist('mas C'stclvcis 
com retroa<;~o uniuiria. 
CONSTANTE 
DE ERRO AO: DEGRAU RAMPA PARABOLJ., 
---. 
constante de eno 
de ( designa<;ao 
convencional ) : posi<;ao velociclade 3cclera<;Jo 
slm bolo /(p Kv /«, 
dcfini<;Jo cla 
constante de eno 
c(t)ss 
-­
e( t)55 
dc( t)55 
dl 
e( t)55 
,,':c(t)ss 
-­
dt 2 
e(t)" 
valor dJ COl1stante 
de erro lim C(s) 
J -. 0 
lim 5C(S)
; ., 0 
lim .1:(7(5) 
.' .. II 
~4 , 
_K17 tf\0­~ h-<> ~~ 
"'- .... 
! 
,
, 
• )
- t( \((\1 tl .W ~ l 
" 
- 1 
I , 
-\
 
4.7 UTILIZACAO DAS CONSTANTES DE ERRO ESTACIONARIO 
EXEMPLO: 
Seja urn sistema de controle com retroayao unitaria do tipo 1. 
Dc acordo com (6.30), pagina 79 : 
de(t)ss 
CONSTANTE - emdt 
CONCLUSOES :
 
a) Quanta maior K1 ,menor sera 0 sinal atuante Eo para mant..:r constante UIr.1
 
taxa de variac;uo da resposta. 
b) Aumentar K, implica mclhorar a sensibilidade do sistema. ' 
c) Aumentar K, acarreta maior velocidadc de resposta do sistema a um 
dctcrminado sinal atuante e(t). 
d) K, C, tambcm, uma caracteristica padronizada de descmpenl10 de sistemas (!c 
controlc. 
OBSERVA<:;OES:
 
a) 0 valor de K1 Climitado por considerayoes de cstabilidade.
 
b) A constante de erro ao degrau Kp Cinfinita.
 
c) 0 erro estacionario c(t)ss correspondente c.l entrada em degrau c nulo.
 
d) 0 valor de regime permanente da resposta c(t)ss eigual aexcitayao r(t), quando
 
r(t) = constante ( entrada do tipo degrau ). 
Conelusocs e observayoes analogas as apresentadas podcm ser obtidas 
para sistemas de controle dos tipos 0 e 2 C0111 sellS par5metros 
Ko , ~)' Ka , K2 , e(t)ss, c(t)ss e r(t). 
EXCITAGAO POLINOMIAL 
Seja um sistema de controle com 'retroac;ao unitaria do tipo Ill. 
a) Excitay.1o da forma tin - I 
e(t)ss = 0 
',. 
1~1J )\) \\ 0 :; 1.. 
~O 
i'J. Q 
, j -:- t 
pode ser seguida co 
92 
( 
IV"('
- t;;­
b) Excitayao da formatm pode scr scguida com crro cstacion<lrio constantc. 
e(t)ss = constantc 
c) Excitayao da forma tm + I nao podc scr scguida porquc 0 crro cstacionci.rio tcndc 
a infinito. 
e(t)ss = 00 
I\L~ 
\F( 
o l...