Lista de Exercícios calculo

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Lista de Exercícios 10 
Assunto: A Derivada como Taxa de Variação 
Prof. Elienai Alves 
Nota: Muitos dos exercícios aqui propostos são casos que possivelmente serão vistos nas disciplinas de 
Física. Por isso é importante que vocês treinem estas questões a fim de assimilar os conceitos e as técnicas 
envolvidas. 
Ao final da lista temos alguns exemplos resolvidos. Resolvam-os e depois confiram com a resolução, isto lhes 
dará maior habilidade para resolver esta lista. 
Questão 01 – Um ponto move-se ao longo da curva 𝑦 − 𝑥ଷ + 4𝑥 = 1 de tal modo que sua abscissa x varia a 
uma velocidade constante de 3 cm/s. Quando x = 2, qual é a velocidade da ordenada y? 
Resposta: 24 cm/s 
 
Questão 02 – Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80 km/h. 
Um segundo trem deixa a estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de 95 km/h. Determine a taxa 
na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois do segundo trem deixar a estação. 
Resposta: 119,09 km/h 
 
Questão 03 – O raio de luz de um farol, que está situado a 3 km de uma praia reta, faz 8 rpm (rotações por 
minuto). Considere a altura do farol desprezível em relação a sua distância até a praia. Ache a velocidade da 
extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ângulo de 45º com a linha da praia. 
Resposta:  96π  km/min. 
 
Questão 04 – Uma priscina está sendo drenada para que seja feito um reparo. Se o seu volume de água inicial 
era 90000 litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2 500 t² litros, determinar: 
a) O tempo necessário para o esvaziamento da piscina; 
b) A taxa média de escoamento no intervalo [2, 5]; 
c) A taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo. 
Resposta: a) t=6 horas b) -17500 l/h c) -10000 l/h 
 
Questão 05 – Uma escada de 10 m está encostada em uma parede. A base da escada escorrega afastando-se 
da parede com uma velocidade de 1 cm/seg. Calcule a velocidade em que o topo da escada cai, no momento 
em que a base está a 6 m da parede. 
Resposta: ଷସ  𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔. 
Questão 06 – O volume de um cilindro circular reto está variando na medida em que variam o raio r da base e 
a sua altura h. Num certo instante t = 0, essas grandezas medem exatamente 10 cm (t = 0 Î r = h = 10cm). A 
taxa de variação do raio é ௗ௧ௗ௧ = 0,25  𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛 e da altura é 
ௗ௛
ௗ௧ = 1,0  𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛 (centímetros por minuto). 
Determine a taxa de variação do volume 𝑉 = 𝜋𝑟ଶℎ no instante em que a altura do cilindro for igual ao 
diâmetro da base. 
Resposta:ௗ௏ௗ௧ = 450𝜋  𝑐𝑚
ଷ/𝑚𝑖𝑛 
 
Questão 07 – Num determinado instante, um controlador de tráfego aéreo vê dois aviões na mesma altura 
voando a velocidades constantes, em trajetórias ortogonais que se cruzam num ponto P. Neste instante, um 
dos aviões está a 150 milhas do ponto P e se aproxima à 450 milhas por hora, enquanto o outro está a 200 
milhas do ponto P e se movendo à 600 milhas por hora, também em direção ao ponto P. 
a) Antes do ponto P, a distância entre os aviões está diminuindo? A que taxa? 
b) Os aviões correm risco de choque? Em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem para fazer 
com que um dos aviões mude a sua trajetória? 
Resposta: a) Diminui 750 mi/h (milhas por hora). b) Sim. O controlador tem 20 minutos (que é 1/3 de hora) 
 
Questão 08 – Um tanque cilíndrico contém inicialmente 400 litros de água. Suponha que uma torneira 
existente na base do tanque é aberta no instante t = 0. Suponha ainda que o volume V de água no tanque, após 
t minutos, seja dado por 𝑉(𝑡) = ଵସ (40 − 𝑡
ଶ) litros. Sabendo que este tanque leva 40 minutos para esvaziar 
completamente após a torneira ser aberta calcule: 
a) A taxa média de escoamento da água do tanque durante os 10 minutos, entre os instantes t = 10 e t = 
20 minutos. 
b) A taxa instantânea segundo a qual a água está escoando do tanque nos instantes t = 10 e t = 20. 
Respostas: 
a) -12,5 l/min. A taxa negativa significa que o volume da água no tanque está diminuindo, ou seja, a 
água está escoando a uma velocidade média de 12,5 l/min. 
b) V’(10)  =  -15  l³/min  e  V’(20)  =  -10 l³/min. 
 
Questão 09 – Sob certo conjunto de condições de controle, o tamanho da população de cultura de certa 
bactéria durante um tempo t (em minutos) é descrito pela função 𝑃 = 𝑓(𝑡) = 3𝑡ଶ + 2𝑡 + 1. Encontre a taxa 
de crescimento da população no tempo t = 10 minutos. 
Resposta: 62 bactérias por minuto. 
 
Questão 10 – O raio de uma esfera está mudando a uma taxa de (1 + 𝑟ଶ)ିଵ cm/min. Determine a taxa de 
variação do volume da esfera quanto r = 3 cm. 
Resposta: Aproximadamente 11,30973355. 
 
Questão 11 – Um retângulo está sendo expandido de tal forma que seu comprimento é sempre o dobro de sua 
altura. Sabendo que a taxa de expansão do perímetro do retângulo é 3 cm/min, determine a taxa de variação de 
sua área quando esta é de 24 cm. 
Resposta: 4√3 
 
Questão 12 – Uma partícula está percorrendo a curva definida por 𝑥ଶ + 4𝑦ଶ = 8. Sabemos que ௗ௫ௗ௬ = 3 no 
instante em que a partícula passa o ponto (-2, 1). Determine ௗ௬ௗ௧ neste exato instante. 
Resposta: ଷଶ 
 
Questão 13 – A equação 𝑥ଶ − 3𝑥𝑦 + 𝑦ଶ = 5 define y como uma função de x nas vizinhanças do ponto (-1, 
1). Calcule ௗ௬ௗ௫ em termos de y e x. Calcule a equação da reta tangente a curva definida pela equação no ponto 
(-1,1). 
Resposta: ௗ௬ௗ௫ =
ଷ௬ିଶ௫
ଷ௬మିଷ௫ . Equação da reta tangente: 𝑦 =
ହ
଺ 𝑥 +
ଵଵ
଺ . 
 
Questão 14 – Um cubo se expande de tal maneira que seu lado varia a uma razão de 1cm/min. Determine a 
taxa de variação de seu volume no instante em que seu lado mede 3 cm de comprimento. 
Resposta: 27 cm³/min.