DIFERENCIAL E INTEGRAL - FUNÇÕES LOGARÍTMICAS - PROFESSOR FLAVIO RIBEIRO

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO – NOTAS DE AULA 
CAPÍTULO 11 – FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
PROFESSOR FLAVIO RIBEIRO 
 
 
 
EXERCICIOS RESOLVIDOS 
QUESTÃO 01 (FGV – SP): Na equação , será igual a 8 quando for igual a: 
a) 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
Resolução: 
Na equação , se , então: 
 
 
 
Pela definição principal de logaritmos, tem-se: 
 
 
 
Resposta: Alternativa E. 
QUESTÃO 02 (ITA – SP): é igual a: 
a) 
 
 
. 
b) 
 
 
. 
c) 
 
 
. 
d) . 
e) . 
 
Resolução: 
Para o cálculo de , tem-se: 
 . 
 
 
Logo, . 
Para o cálculo de , tem-se: 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
. 
Retomando a proposta imposta pelo enunciado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Alternativa B. 
QUESTÃO 03 (UCS – RS): O valor de 
 
 é: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) −1. 
e) 
 
 
. 
Resolução: 
Inicialmente, para o cálculo de , tem-se: 
 
 
Assim sendo, a expressão 
 
 tem um novo dado inserido: 
 
 
 
 
Para o cálculo de 
 
 , tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 . 
Resposta: Alternativa D. 
QUESTÃO 04 (PUC – RS): O conjunto solução da equação , em , é: 
a) . 
b) −2}. 
 
 
c) . 
d) . 
e) . 
Resolução: 
Pela definição de logaritmos para a equação , tem-se: 
 
Pela condição de existência, segue que a base deverá se maior que zero e diferente de um e que o 
logaritmando deverá ser maior que zero. 
Assim sendo e e 
 
 
. 
Analisando-se os resultados obtidos anteriormente, conclui-se que e . 
Como os resultados para foram , descarta-se pelo fato, de . 
Portanto, a solução é . 
Resposta: Alternativa C. 
QUESTÃO 05 (UNESP – RS): O valor de na equação 
 
 é: 
a) 
 
. 
b) 
 
. 
c) 
 
 
 . 
d) 
 
e) . 
Resolução: 
Pela definição de logaritmos para a equação 
 
 , tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Alternativa E. 
QUESTÃO 06 (UFMG): Considerando-se , , pode-se afirmar que é: 
a) . 
 
 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
Resolução: 
Inicialmente, fatora-se da seguinte forma , e aplica-se o logaritmo do produto: 
 
Resposta: Alternativa D. 
QUESTÃO 07 (FUVEST – SP): Se , o quociente 
 
 vale: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
Resolução: 
Aplicando-se o logaritmo do quociente ao logaritmo dado tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Alternativa B. 
QUESTÃO 08 (UFCE): Seja um número real maior que . Se e , então o valor de 
 é igual a: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
Resolução: 
Rearranjando algebricamente os valores de e em função do valor de tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Aplicando-se o logaritmo da potência ao logaritmo dado tem-se: 
 
 
 
 
 
Seja 
 
 
 
 , então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Alternativa E. 
QUESTÃO 09 (MACKENZIE –SP): Determine o valor de . 
Resolução: 
Aplicando-se a mudança de base nos logaritmos dados, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
 
. 
QUESTÃO 09 (UFRGS – 2003): Na figura abaixo está representado o gráfico da função 
 . 
 
 
A área da região sombreada é: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
Resolução: 
 
 
Verificando-se o gráfico, identificam-se dois pontos e seus respectivos pares ordenados. Com este, 
será possível calcular o valor de na função . 
Como o par ordenado concluí-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim a função tem um novo significado: . 
Voltando o olhar à proposta inicial do enunciado (o cálculo da área sombreada), conclui-se que a 
base do retângulo é unidades de medida e para o cálculo da altura tem-se: 
 
Portanto, a altura é unidade de medida. 
Finalmente, para o cálculo da área sombreada, tem-se: 
 
Resposta: Alternativa A. 
QUESTÃO 10 (UFRGS): A solução da equação esta no intervalo: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
Resolução: 
A equação logarítmica tem como solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verificando também as condições de existência junto aos logaritmos dados, tem-se: 
 
 
 
 
O valor encontrado 
 
 
 atende as duas condições impostas. 
Resposta: Alternativa C. 
QUESTÃO 11 (FUVEST – SP): O conjunto dos números reais que satisfazem a inequação 
 é o intervalo: 
a) 
 
 
 . 
b) 
 
 
 . 
c) 
 
 
 . 
d) 
 
 
 
 
 
 . 
e) 
 
 
 . 
 
Resolução: 
Rearranjando-se a inequação logarítmica, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É neste momento que se estuda a base do logaritmo que é e com efeito , temos que a 
desigualdade é mantida. Assim sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se um quociente de funções polinomiais de primeiro, com efeito, seja e 
 . 
O estudo do sinal da função e da função e o quociente é: 
 
Resposta: Alternativa D. 
VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM –TESTES DE VESTIBULARES – FUNÇÕES 
LOGARITMICAS 
EQUAÇÕES LOGARITMICAS 
QUESTÃO 01 (MACKENZIE – SP): Considerando que e que 
 
, o valor de 
 
 é: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
QUESTÃO 02 (UNIFOR – CE): Se e são números reais positivos tais que , então é 
igual a: 
a) 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
 
e) 
QUESTÃO 03 (UEMG): O valor da expressão 
 
 
 
 é: 
a) 01 
b) – 2 
c) – 4 
d) 02 
e) – 1 
QUESTÃO 04 (U. CATÓL. SALVADOR – BA): Sendo e , então 
 
 
 é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 05 (UFPB): Sabe-se que e que , . Assim, o valor 
correto de corresponde a: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 9 
e) 5 
INEQUAÇÕES LOGARITMICAS 
QUESTÃO 06 (F.M. ITAJUBÁ – SP): Resolvendo a inequação a abaixo, encontramos:a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 07 (UFSE): Se é o conjunto solução da inequação , então: 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
QUESTÃO 08 (FUVEST – SP): Se , então: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 09 (OSEC – SP): O conjunto solução da inequação é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 10 (UFMG): O conjunto de valores que satisfazem a inequação é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
FUNÇÕES LOGARITMICAS 
QUESTÃO 11 (UFR – RJ): Esboce o gráfico da função e verifique, dentre as 
representações abaixo, o que melhor representa a função é: 
 
 
QUESTÃO 12 (PUC – RS): Se , então 
 
 
 é igual a: 
 
 
a) 10. 
b) 
c) – . 
d) . 
e) 0. 
QUESTÃO 13 (PUC – RS): A solução real para a equação 
 
 
 , com , e e , é 
dada por: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 14 (UFMS – MODIFICADA): Dada a função 
 . Como 
relação ao(s) zero(s) da função. São corretas as afirmações; 
a) ( ) Não são reais; 
b) ( ) São potências de dez; 
c) ( ) São números inteiros consecutivos; 
d) ( ) Sâo opostas; 
e) ( ) O quociente da maior raiz pela menor raiz é igual a dez. 
QUESTÃO 15 (PUC – SP): O domínio da função é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 16 (FUVEST): Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função , com (figura 
abaixo). Supondo que , e Então o 
valor de x, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do 
triângulo ABE, é: 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
e) 
 
 
 
QUESTÃO 17 (UNIFESP): Uma das raízes da equação é .A outra raiz é: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
QUESTÃO 18 (UDESC): Sabendo que e que 
 , pode-se afirmar que 
 
 é igual á: 
a) 6. 
b) 2. 
c) 4. 
d) – 2. 
e) – 4. 
QUESTÃO 19 (FGV): A população de uma cidade cresce aproximadamente 4,166...% ao ano, ou seja 
 
 
 ao 
ano. Após quantos anos (aproximadamente) o número de habitantes dessa cidade será o dobro da sua 
população atual? 
São dados: , e o crescimento em questão é dado por: 
 
 
 
 
. 
a) 11 anos. 
b) 15 anos. 
c) 19 anos. 
d) 23 anos. 
e) 27 anos. 
QUESTÃO 20 (UEM – PR): Para a função de uma variável real definida por , em 
que a e b são números reais, a , sabe-se que e . Sobre o exposto, é 
correto afirmar que: 
a) . 
b) . 
 
 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 21 (UDESC): O conjunto solução da desigualdade abaixo é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) – . 
b) – . 
c) – . 
d) – . 
e) . 
QUESTÃO 22 (UDESC): Considere as afirmações dadas abaixo, referentes a funções exponenciais e 
logarítmicas. 
I. A função 
 
 é decrescente e seu gráfico intercepta o eixo das abscissas no 
ponto P(6,0). 
II. A função 
 
 
 
 
 é decrescente e seu gráfico não intercepta o eixo das ordenadas. 
III. A função 
 
 
 
 
 é a inversa da função 
 
 . 
A alternativa correta é (você deverá fundamentar suas respostas com seus cálculos): 
a) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
c) Somente a afirmativa III é verdadeira. 
d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
QUESTÃO 23 (UDESC): Na figura abaixo, está representado o gráfico da função 
 
 
 . 
Qual é o valor de ? 
a) – 1. 
b) – 1,5. 
c) – 2. 
d) – 2,5. 
e) – 3. 
 
 
QUESTÃO 24 (VUNESP – SP): Se e são raízes da equação a seguir: 
 
 
 
 
 , com 
 , então é igual a: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
QUESTÃO 25 (UEM – PR): Assinale a(s) alternativa(s) verdadeira(s). 
a) Se , então: 
 
 
 . 
b) Se e , então 
 
 
. 
c) Se , então . 
d) Se , então 
 
 
. 
e) Se 
 
 , então .