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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO – NOTAS DE AULA CAPÍTULO 12 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS PROFESSOR FLAVIO RIBEIRO 12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ARCOS E ÂNGULOS ARCOS: Cada uma das partes em uma circunferência fica dividida por dois quaisquer de seus pontos chama-se arcos da circunferência. Dada um circunferência e dois pontos sobre ela (A e B), então tem-se: , que representa o arco que tem extremidades em A e em B e também que representa a medida de do arco que tem extremidades em A e em B. Posteriormente, inserir imagens relacionadas. GRAU: Seja um arco de uma circunferência, tal qual, da circunferência. Assim definido é denominado grau. Denota-se um grau, com “ ”. Posteriormente, inserir imagens relacionadas. RADIANO: Seja um arco de uma circunferência, tal qual, da circunferência. Assim definido é denominado radiano. Denota-se um radiano, com “ ”. Posteriormente, inserir imagens relacionadas. O CICLO TRIGONOMÉTRICO Qualquer circunferência na qual se adota um sentido anti de percurso para os arcos denominando- se circunferência orientada. Convenciona-se o sentido anti-horário como positivo. O ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada, de raio unitário, à qual se associa um sistema de coordenadas cartesianas. O centro da circunferência coincide com a origem do sistema de coordenadas cartesianas. O ciclo trigonométrico fica dividido em quatro regiões iguais, denominadas quadrantes, contados sempre no sentido anti-horário, a partir do ponto A. O comprimento de uma circunferência é dado pela expressão , como a circunferência tem raio unitário (igual a 1), o comprimento da ciclo trigonométrico é . MEDIDA DE ARCOS E DE ÂNGULOS Há uma relação entre os graus e os radianos: A ciclo trigonométrico mede ou, como vimos . A tabela a seguir, mostra algumas correspondências entre a medida dos ângulos em grau e em radiano: GRAU 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° RADIANO FUNÇÃO SENO Definição: A função seno é a função que associa cada número real a um único , ou seja, . Gráfico: Confecciona-se o gráfico da função , com base em uma tabela de valores para . Sem perda de generalidade, considera-se e associa-se a imagem de cada elemento verificado. 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° A curva obtida no intervalo repete-se para e , então, diz-se que o período da função é . Ainda sobre a função , chamado senóide, é válido: Domínio: . Imagem: , função limitada. Função ímpar, afinal . FUNÇÃO COSSSENO Definição: A função cosseno é a função que associa cada número real a um único , ou seja, . Gráfico: Confecciona-se o gráfico da função , com base em uma tabela de valores para . Sem perda de generalidade, considera-se e associa-se a imagem de cada elemento verificado. 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° A curva obtida no intervalo repete-se para e , então, diz-se que o período da função é . Ainda sobre a função , chamado cossenóide, é válido: Domínio: . Imagem: , função limitada. Função par, afinal . FUNÇÃO TANGENTE Define-se a tangente de um ângulo e denota-se por a razão , sendo assim, o valor de não é definido quando ocorre , ou seja, para . Definição: A função é a função que associa cada número real a um único , ou seja, . Gráfico: Confecciona-se o gráfico da função , com base em uma tabela de valores para . Sem perda de generalidade, considera-se e associa-se a imagem de cada elemento verificado. 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° A curva obtida no intervalo – repete-se para e – , então, diz-se que o período da função é . Ainda sobre a função , é válido: Domínio: . Imagem: , função ilimitada. Função impar, afinal . As retas verticais que passam pelos pontos de abscissa , são denominadas assíntotas, ou seja, não podem coincidir com a curva, a distância desse ponto à assíntota se aproxima de zero. FUNÇÃO COTANGENTE Define-se a cotangente de um ângulo e denota-se por a razão (ou , sendo assim, o valor de não é definido quando ocorre , ou seja, para . Definição: A função é a função que associa cada número real a um único , ou seja, . Gráfico: Confecciona-se o gráfico da função com base em uma tabela de valores para . Sem perda de generalidade, considera-se e associa-se a imagem de cada elemento verificado. 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° A curva obtida no intervalo repete-se para e , então, diz-se que o período da função é . Ainda sobre a função , é válido: Domínio: Imagem: , função ilimitada. Função impar, afinal . As retas verticais que passam pelos pontos de abscissa , são denominadas assíntotas, ou seja, não podem coincidir com a curva, a distância desse ponto à assíntota se aproxima de zero. FUNÇÃO SECANTE Define-se a secante de um ângulo e denota-se por a razão , sendo assim, o valor de não é definido quando ocorre , ou seja, para . Definição: A função é a função que associa cada número real a um único , ou seja, . Gráfico: Confecciona-se o gráfico da função com base em uma tabela de valores para . Sem perda de generalidade, considera-se e associa-se a imagem de cada elemento verificado. 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° A curva obtida no intervalo – repete-se para – e , então, diz-se que o período da função é . Ainda sobre a função , é válido: Domínio: Imagem: , função ilimitada. Função impar, afinal . As retas verticais que passam pelos pontos de abscissa são denominadas assíntotas, ou seja, não podem coincidir com a curva, a distância desse ponto à assíntota se aproxima de zero. FUNÇÃO COSSECANTEDefine-se a cosecante de um ângulo e denota-se por a razão , sendo assim, o valor de não é definido quando ocorre , ou seja, para . Definição: A função é a função que associa cada número real a um único , ou seja, . Gráfico: Confecciona-se o gráfico da função com base em uma tabela de valores para . Sem perda de generalidade, considera-se e associa-se a imagem de cada elemento verificado. 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° A curva obtida no intervalo repete-se para e , então, diz-se que o período da função é . Ainda sobre a função , é válido: Domínio: Imagem: , função ilimitada. Função impar, afinal . As retas verticais que passam pelos pontos de abscissa , são denominadas assíntotas, ou seja, não podem coincidir com a curva, a distância desse ponto à assíntota se aproxima de zero. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS QUESTÃO 01 (PUC – RS): O valor numérico da expressão é: a) . b) . c) . d) . e) . Resolução: Para o valor da expressão, tem-se: Resposta: Alternativa C. QUESTÃO 02 (FATEC – SP): Se , então é igual a: a) . b) . c) . d) . e) . Resolução: Para o valor da expressão, tem-se: Resposta: Alternativa E. QUESTÃO 03 (ACAFE – SP): O valor numérico da expressão é: a) . b) . c) . d) . e) . Resolução: Para o valor da expressão, tem-se: Resposta: Alternativa E. ARCOS E CICLO QUESTÃO 01 (UFRS): Considere as seguintes afirmações para arcos medidos em radianos: I. . II. . III. . Quais são verdadeiras? a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas III é verdadeira. d) São verdadeiras apenas I e II. e) São verdadeiras I, II e III. QUESTÃO 02 (UF - LAVRAS): A figura MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo. Se a medida do arco AM é , as medidas dos arcos AN e AP, em radianos, respectivamente, são: a) e . b) e . c) e d) e . e) e . QUESTÃO 03 (UEL): Se e x é um arco do 2° quadrante, então é igual a: a) 1 b) ¾ c) ½ d) - ½ e) - ¾ QUESTÃO 04 (UFAL): Analise as afirmativas abaixo, nas quais x é um número real. Marque a(s) alternativa(s) verdadeira(s). a) b) . c) . d) A equação não tem solução. e) Para tem-se . EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS QUESTÃO 05 (UFSCAR): O valor de x, , tal que é. a) . b) . c) . d) . e) 0. QUESTÃO 06 (CESGRANRIO): O número de soluções da equação , no intervalo , é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 QUESTÃO 07 (UCSAL – BA): Se a equação tem duas soluções reais e distintas e . Sabendo que , é verdade que; a) a = 3b. b) a = 2b. c) a + b = d) a + b = e) a – b = INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS QUESTÃO 08 (UNESP): O conjunto solução de , para , é definido por: a) ou . b) ou . c) e . d) e . e) ou . QUESTÃO 09 (MACK): Quando resolvida no intervalo real , o número de quadrantes nos quais a desigualdade apresenta soluções é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 QUESTÃO 10 (UNIRIO): Resolva a sentença , sendo . a) ou . b) ou . c) . d) . e) . FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS QUESTÃO 11 (PUC): Seja f a função de IR em IR definida por . O conjunto solução da inequação , no universo é: a) b) c) d) e) QUESTÃO 12 (UFRS): Se como mostra o gráfico então: a) e . b) e . c) e . d) e . e) e . QUESTÃO 13 (UNB): Supondo que, em determinada região, a temperatura média semanal T (em °C) e a quantidade de energia solar média semana Q que atinge a região (em kcal/cm²) possam ser expressas em função do tempo t, em semanas, por meio das funções: Julgue os itens a seguir. I. A maior temperatura semanal média é 22°C. II. Na 50° semana, a quantidade de energia média semanal é mínima. III. Quando a quantidade de energia sola média é máxima a temperatura média semanal também é máxima. a) Apenas o item I está correto. b) Apenas o item II está correto. c) Apenas o item III está correto. d) Apenas os itens II e III estão corretos. e) Os itens I, II e III estão corretos. QUESTÃO 14 (UFPR): O período da função definida por é: a) . b) . c) . d) . e) . QUESTÃO 15 (UFES): O período e a imagem da função , , são respectivamente: a) e . b) e . c) e . d) e . e) e . QUESTÃO 16 (FGV– SP): O período da função dada por é: a) 2 1 b) 2 c) 2 d) 1 e) 4 QUESTÃO 17 (PUC – RS): A expressão é igual a: a) b) c) d) e) QUESTÃO 18 (UFES): O período da função é: a) b) c) d) e) QUESTÃO 19 (UFRGS): O gráfico na figura é o da função definida por: a) b) 3 x c) 2 x d) e) QUESTÃO 20 (SANTA CASA – SP): Seja a função f, de IR em IR definida por . O conjunto imagem dessa função é o intervalo: a) b) c) d) e) QUESTÃO 21 (PUC – SP): A figura acima é parte do gráfico da função: a) b) c) d) e) QUESTÃO 22 (FGV – RJ): A função trigonométrica equivalente a é: a) b) c) d) e) QUESTÃO 23 (UFSE): A função cujo gráfico está representadona figura abaixo é definido por: a) . b) 2 x . c) 2 x . d) 2 x . e) . QUESTÃO 24 (UFSE): A função cujo gráfico está representado na figura abaixo é definido por: a) . b) . c) 2 x . d) 2 x . e) . QUESTÃO 25 (UFRGS): A função real representada no gráfico é . O valor de é: a) . b) . c) . d) . e) .
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