FUNÇÕES TRIGONOMETRICAS - PROFESSOR FLAVIO RIBEIRO

Prévia do material em texto

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO – NOTAS DE AULA 
CAPÍTULO 12 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
PROFESSOR FLAVIO RIBEIRO 
 
12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 ARCOS E ÂNGULOS 
ARCOS: Cada uma das partes em uma circunferência fica dividida por dois quaisquer de seus 
pontos chama-se arcos da circunferência. 
Dada um circunferência e dois pontos sobre ela (A e B), então tem-se: , que representa o arco 
que tem extremidades em A e em B e também que representa a medida de do arco 
que tem extremidades em A e em B. 
Posteriormente, inserir imagens relacionadas. 
GRAU: Seja um arco de uma circunferência, tal qual, 
 
 
 da circunferência. Assim 
definido é denominado grau. 
Denota-se um grau, com “ ”. 
Posteriormente, inserir imagens relacionadas. 
RADIANO: Seja um arco de uma circunferência, tal qual, 
 da circunferência. Assim definido é denominado 
radiano. 
Denota-se um radiano, com “ ”. 
Posteriormente, inserir imagens relacionadas. 
 
 O CICLO TRIGONOMÉTRICO 
Qualquer circunferência na qual se adota um sentido anti de percurso para os arcos denominando-
se circunferência orientada. 
Convenciona-se o sentido anti-horário como positivo. 
O ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada, de raio unitário, à qual se associa um sistema 
de coordenadas cartesianas. 
O centro da circunferência coincide com a origem do sistema de coordenadas cartesianas. O ciclo 
trigonométrico fica dividido em quatro regiões iguais, denominadas quadrantes, contados sempre no 
sentido anti-horário, a partir do ponto A. 
O comprimento de uma circunferência é dado pela expressão , como a circunferência tem 
raio unitário (igual a 1), o comprimento da ciclo trigonométrico é . 
 
 MEDIDA DE ARCOS E DE ÂNGULOS 
Há uma relação entre os graus e os radianos: 
A ciclo trigonométrico mede ou, como vimos . 
A tabela a seguir, mostra algumas correspondências entre a medida dos ângulos em grau e em 
radiano: 
 
GRAU 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° 
RADIANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FUNÇÃO SENO 
Definição: A função seno é a função que associa cada número real a um único , ou 
seja, . 
Gráfico: Confecciona-se o gráfico da função , com base em uma tabela de valores para 
 . Sem perda de generalidade, considera-se e associa-se a imagem de cada elemento 
verificado. 
 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva obtida no intervalo repete-se para e , então, diz-se que o período da 
função é . Ainda sobre a função , chamado senóide, é válido: 
 Domínio: . 
 Imagem: , função limitada. 
 Função ímpar, afinal . 
 
 
 
 FUNÇÃO COSSSENO 
Definição: A função cosseno é a função que associa cada número real a um único , 
ou seja, . 
Gráfico: Confecciona-se o gráfico da função , com base em uma tabela de valores para 
 . Sem perda de generalidade, considera-se e associa-se a imagem de cada elemento 
verificado. 
 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva obtida no intervalo repete-se para e , então, diz-se que o período da 
função é . Ainda sobre a função , chamado cossenóide, é válido: 
 Domínio: . 
 Imagem: , função limitada. 
 Função par, afinal . 
 
 FUNÇÃO TANGENTE 
Define-se a tangente de um ângulo e denota-se por a razão 
 
 
, sendo assim, o valor 
de não é definido quando ocorre , ou seja, para 
 
 
 . 
Definição: A função é a função 
 
 
 que associa cada número real a 
um único , ou seja, . 
Gráfico: Confecciona-se o gráfico da função , com base em uma tabela de valores para 
 . Sem perda de generalidade, considera-se e associa-se a imagem de cada elemento 
verificado. 
 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva obtida no intervalo –
 
 
 
 
 
 repete-se para 
 
 
 e –
 
 
, então, diz-se que o período da 
função é . Ainda sobre a função , é válido: 
 Domínio: 
 
 
 . 
 Imagem: , função ilimitada. 
 Função impar, afinal . 
 As retas verticais que passam pelos pontos de abscissa 
 
 
 , são denominadas 
assíntotas, ou seja, não podem coincidir com a curva, a distância desse ponto à assíntota se 
aproxima de zero. 
 
 FUNÇÃO COTANGENTE 
Define-se a cotangente de um ângulo e denota-se por a razão 
 
 
 (ou 
 
 
 , 
sendo assim, o valor de não é definido quando ocorre , ou seja, para . 
Definição: A função é a função que associa cada número real a um 
único , ou seja, . 
Gráfico: Confecciona-se o gráfico da função com base em uma tabela de valores para 
 . Sem perda de generalidade, considera-se e associa-se a imagem de cada elemento 
verificado. 
 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva obtida no intervalo repete-se para e , então, diz-se que o período da 
função é . Ainda sobre a função , é válido: 
 Domínio: 
 Imagem: , função ilimitada. 
 Função impar, afinal . 
 As retas verticais que passam pelos pontos de abscissa , são denominadas 
assíntotas, ou seja, não podem coincidir com a curva, a distância desse ponto à assíntota se 
aproxima de zero. 
 
 
 
 FUNÇÃO SECANTE 
Define-se a secante de um ângulo e denota-se por a razão 
 
 
, sendo assim, o valor 
de não é definido quando ocorre , ou seja, para 
 
 
 . 
Definição: A função é a função 
 
 
 que associa cada número real a 
um único , ou seja, . 
Gráfico: Confecciona-se o gráfico da função com base em uma tabela de valores para 
 . Sem perda de generalidade, considera-se e associa-se a imagem de cada elemento 
verificado. 
 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva obtida no intervalo –
 
 
 
 
 
 repete-se para –
 
 
 e 
 
 
, então, diz-se que o período da 
função é . Ainda sobre a função , é válido: 
 Domínio: 
 
 
 
 Imagem: , função ilimitada. 
 Função impar, afinal . 
 As retas verticais que passam pelos pontos de abscissa 
 
 
 são denominadas 
assíntotas, ou seja, não podem coincidir com a curva, a distância desse ponto à assíntota se 
aproxima de zero. 
 
 FUNÇÃO COSSECANTEDefine-se a cosecante de um ângulo e denota-se por a razão 
 
 
, sendo assim, o 
valor de não é definido quando ocorre , ou seja, para . 
Definição: A função é a função que associa cada número real a um 
único , ou seja, . 
Gráfico: Confecciona-se o gráfico da função com base em uma tabela de valores para 
 . Sem perda de generalidade, considera-se e associa-se a imagem de cada elemento 
verificado. 
 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva obtida no intervalo repete-se para e , então, diz-se que o período da 
função é . Ainda sobre a função , é válido: 
 Domínio: 
 Imagem: , função ilimitada. 
 Função impar, afinal . 
 As retas verticais que passam pelos pontos de abscissa , são denominadas 
assíntotas, ou seja, não podem coincidir com a curva, a distância desse ponto à assíntota se 
aproxima de zero. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
QUESTÃO 01 (PUC – RS): O valor numérico da expressão 
 
 
 é: 
a) . 
b) 
 . 
c) . 
d) 
 . 
e) . 
Resolução: 
Para o valor da expressão, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Alternativa C. 
QUESTÃO 02 (FATEC – SP): Se 
 
 
 
 
 
, então 
 
 
 é igual a: 
a) 
 
 
. 
b) 
 
 
. 
c) 
 
 
. 
d) . 
e) . 
Resolução: 
Para o valor da expressão, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Alternativa E. 
 
QUESTÃO 03 (ACAFE – SP): O valor numérico da expressão 
 
 
 
 
 
 é: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
Resolução: 
Para o valor da expressão, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Alternativa E. 
ARCOS E CICLO 
QUESTÃO 01 (UFRS): Considere as seguintes afirmações para arcos medidos em radianos: 
I. . 
II. . 
III. . 
Quais são verdadeiras? 
a) Apenas I é verdadeira. 
b) Apenas II é verdadeira. 
c) Apenas III é verdadeira. 
d) São verdadeiras apenas I e II. 
e) São verdadeiras I, II e III. 
QUESTÃO 02 (UF - LAVRAS): A figura MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo. Se a medida 
do arco AM é , as medidas dos arcos AN e AP, em 
radianos, respectivamente, são: 
a) e 
 
 . 
b) e . 
c) e 
d) e 
 
 . 
e) e 
 
 . 
QUESTÃO 03 (UEL): Se 
 
 
 e x é um arco do 2° quadrante, então é igual a: 
a) 1 
b) ¾ 
c) ½ 
d) - ½ 
e) - ¾ 
QUESTÃO 04 (UFAL): Analise as afirmativas abaixo, nas quais x é um número real. Marque a(s) 
alternativa(s) verdadeira(s). 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 . 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
d) A equação não tem solução. 
e) Para 
 
 
 tem-se . 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
QUESTÃO 05 (UFSCAR): O valor de x, 
 
 
, tal que é. 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) 0. 
QUESTÃO 06 (CESGRANRIO): O número de soluções da equação , no intervalo 
 , é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
QUESTÃO 07 (UCSAL – BA): Se a equação tem duas soluções reais e 
distintas e . Sabendo que , é verdade que; 
a) a = 3b. 
b) a = 2b. 
c) a + b = 
d) a + b = 
e) a – b = 
 
INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
QUESTÃO 08 (UNESP): O conjunto solução de 
 
 
, para , é definido por: 
a) 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 . 
b) 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 . 
c) 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 . 
d) 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 . 
e) 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 . 
QUESTÃO 09 (MACK): Quando resolvida no intervalo real , o número de quadrantes nos 
quais a desigualdade apresenta soluções é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
QUESTÃO 10 (UNIRIO): Resolva a sentença , sendo . 
a) ou 
 
 . 
b) ou 
 
 . 
c) . 
d) . 
e) . 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
QUESTÃO 11 (PUC): Seja f a função de IR em IR definida por . O conjunto solução da 
inequação , no universo é: 
a) 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 12 (UFRS): Se 
como mostra o gráfico então: 
a) e . 
b) e . 
c) e . 
d) e . 
e) e . 
 
QUESTÃO 13 (UNB): Supondo que, em determinada região, a temperatura média semanal T (em 
°C) e a quantidade de energia solar média semana Q que atinge a região (em kcal/cm²) possam ser 
expressas em função do tempo t, em semanas, por meio das funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Julgue os itens a seguir. 
I. A maior temperatura semanal média é 22°C. 
II. Na 50° semana, a quantidade de energia média semanal é mínima. 
III. Quando a quantidade de energia sola média é máxima a temperatura média semanal também 
é máxima. 
a) Apenas o item I está correto. 
b) Apenas o item II está correto. 
c) Apenas o item III está correto. 
d) Apenas os itens II e III estão corretos. 
e) Os itens I, II e III estão corretos. 
QUESTÃO 14 (UFPR): O período da função definida por 
 
 
 é: 
a) . 
b) 
 
 
. 
c) 
 
 
. 
d) . 
e) 
 
 
. 
QUESTÃO 15 (UFES): O período e a imagem da função 
 
 
 , , são 
respectivamente: 
a) e . 
b) e . 
c) e . 
d) e . 
e) e . 
QUESTÃO 16 (FGV– SP): O período da função dada por 
 
 
 é: 
a) 
2
1
 
b) 
2

 
c) 2 
d) 1 
e) 
4

 
QUESTÃO 17 (PUC – RS): A expressão 
 
 
 
 
 
 é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 18 (UFES): O período da função 
 
 
 é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 19 (UFRGS): O gráfico na figura é o da função definida por: 
a) 
b) 
3
x
 
c) 
2
x
 
d) 
e) 
 
QUESTÃO 20 (SANTA CASA – SP): Seja a função f, de IR em IR definida por . 
O conjunto imagem dessa função é o intervalo: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 21 (PUC – SP): 
 
A figura acima é parte do gráfico da função: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 22 (FGV – RJ): A função trigonométrica equivalente a 
 
 
 é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 23 (UFSE): A função cujo gráfico está representadona figura abaixo é definido por: 
 
 
 
 
 
a) . 
b) 
2
x
. 
c) 
2
x
. 
d) 
2
x
 . 
e) . 
QUESTÃO 24 (UFSE): A função cujo gráfico está representado na figura abaixo é definido por: 
a) . 
b) 
 
 
. 
c) 
2
x
. 
d) 
2
x
. 
e) . 
QUESTÃO 25 (UFRGS): A função real representada no gráfico é . 
O valor de é: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) .