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taxas relacionadas e derivação implicita (apenas um capitulo)

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Cap´ıtulo 14
Derivac¸a˜o Impl´ıcita e Taxas Relacionadas
14.1 Introduc¸a˜o
A maioria das func¸o˜es com as quais trabalhamos ate´ agora e´ da forma y = f(x), em que y e´ dado diretamente ou,
explicitamente, por meio de uma expressa˜o definida em termos de x. No entanto, na resoluc¸a˜o de problemas pra´ticos,
frequ¨entemente a relac¸a˜o entre y e x e´ determinada por uma equac¸a˜o da forma F(x, y) = 0, que na˜o esta´ resolvida
para y.
Pode ser que na˜o exista nenhum ponto (x,y) do plano que satisfac¸a a equac¸a˜o
F(x, y) = 0. Neste caso, esta equac¸a˜o representa um conjunto vazio. Caso contra´rio, uma equac¸a˜o do tipo acima
representa uma curva no plano que pode ser o gra´fico de uma ou de va´rias func¸o˜es da forma y = f(x). Isto acontece
porque uma equac¸a˜o em duas varia´veis x e y pode ter uma ou mais soluc¸o˜es para y em termos de x ou para x em
termos de y. Dizemos, enta˜o, que estas soluc¸o˜es sa˜o func¸o˜es definidas implicitamente pela equac¸a˜o F(x, y) = 0.
14.1.1 Exemplos
Exemplo 1
Uma hipe´rbole equila´tera pode ser representada pela equac¸a˜o xy = 1, obtido usando-se o comando implicitplot
do pacote plots do Maple.
> implicitplot(x*y=1,x=-5..5,y=-5..5);
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
Esta equac¸a˜o simples determina uma func¸a˜o impl´ıcita de x, que pode ser expressa explicitamente como y = 1x .
Exemplo 2
A circunfereˆncia de centro na origem e raio 1 e´ representada no plano xy pela equac¸a˜o x2 + y2 = 1. Tal equac¸a˜o
define implicitamente 4 func¸o˜es cont´ınuas: duas func¸o˜es de y em relac¸a˜o a x, a saber
y =
√
1− x2 e y = −√1− x2, para x em [−1, 1]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
x
e duas func¸o˜es de x em relac¸a˜o a y, a saber
x =
√
1− y2 e x = −
√
1− y2, para y em [−1, 1],
185
186 Cap. 14. Derivac¸a˜o Impl´ıcita e Taxas Relacionadas
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
–1–0.8 –0.4
x
Os gra´ficos das duas primeiras se sobrepo˜em para formar a circunfereˆncia unita´ria, o mesmo acontecendo com o
gra´fico das duas u´ltimas func¸o˜es.
Exemplo 3
A equac¸a˜o x3 + y3 − 4 xy = 0 representa uma curva chamada de folium de Descartes. Com a ajuda do Maple
podemos trac¸ar seu gra´fico.
> plots[implicitplot](x^3+y^3-4*x*y=0,x=-2..3,y=-2..3,numpoints=2000);
–2
–1
0
1
2
y
–2 –1 1 2x
Embora o problema de resolver, explicitamente, esta equac¸a˜o em termos de y seja muito complicado, podemos
notar que existem retas verticais que interceptam o gra´fico acima em 3 pontos. Isso indica que podem existir 3 func¸o˜es
definidas implicitamente por esta equac¸a˜o. O mesmo vale para determinadas retas horizontais. Por exemplo, fazendo
x = 1 na expressa˜o x3 + y3 − 4 xy = 0 e resolvendo a equac¸a˜o resultante para y, obtemos:
> s:=subs({x=1},x^3+y^3-4*x*y=0);
s := 1 + y3 − 4 y = 0
> s1:=fsolve(s,y);
s1 := −2.114907541, .2541016884, 1.860805853
Neste caso particular, para x = 1 existem treˆs valores correspondentes para y, o que mostra que a equac¸a˜o dada
define, pelo menos, treˆs func¸o˜es impl´ıcitas de x.
Exemplo 4
Nem toda equac¸a˜o F(x, y) = 0 define implicitamente y como func¸a˜o de x ou x como func¸a˜o de y. Por exemplo,
a equac¸a˜o x2 + y2 + 4 = 0 na˜o define func¸a˜o alguma, pois esta equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o real (x, y) . Ela representa
apenas o conjunto vazio.
14.2 Derivac¸a˜o impl´ıcita
Nem todas as func¸o˜es definidas implicitamente sa˜o deriva´veis em todos os pontos do seu domı´nio. As func¸o˜es que
aparecem no Exemplo 2 na˜o sa˜o deriva´veis nos pontos extremos dos intervalos onde elas esta˜o definidas. Exatamente
nestes pontos, as retas tangentes a`s curvas sa˜o verticais. Em um curso de Ca´lculo avanc¸ado se estudam condic¸o˜es que
garantem quando uma func¸a˜o definida implicitamente e´ deriva´vel. Aqui, procederemos como se as func¸o˜es definidas
implicitamente fossem deriva´veis em quase todos os pontos de seu domı´nio.
Admitindo que a func¸a˜o y = f(x ), definida implicitamente pela equac¸a˜o F(x, y) = 0, seja deriva´vel, podemos
calcular a derivada dydx sem ser necessa´rio primeiro resolver a equac¸a˜o F(x, y) = 0, para y. O processo consiste em,
utilizando a regra da cadeia, derivar ambos os lados desta equac¸a˜o, considerando x como a varia´vel independente e
y, sempre que esta varia´vel aparecer, como uma func¸a˜o de x. Resolvemos, enta˜o, a equac¸a˜o resultante em relac¸a˜o a`
derivada f ′(x). Este processo e´ chamado de derivac¸a˜o impl´ıcita.
Exemplo 1
W.Bianchini, A.R.Santos 187
Supondo que a func¸a˜o y = f(x), definida implicitamente pela equac¸a˜o x2 + y2 = 1, seja deriva´vel, podemos usar a
regra da cadeia para obter f ′(x). Assim, substituindo y por f(x) na equac¸a˜o dada, obtemos
x2 + (f(x))2 = 1.
Derivando ambos os lados da equac¸a˜o acima em relac¸a˜o a x, obtemos:
2x+ 2 f(x) f ′(x) = 0
que e´ equivalente a
2x+ 2 y
dy
dx
= 0.
Para completar o processo, resolvemos esta u´ltima equac¸a˜o considerando dydx como a inco´gnita. Neste exemplo, temos
que
dy
dx
= −x
y
Parece estranho vermos uma derivada de y com respeito a x contendo em sua expressa˜o tanto x como y, mas esta
fo´rmula pode ser ta˜o u´til quanto qualquer outra. Podemos, por exemplo, usa´-la para calcular o coeficiente angular da
reta tangente ao c´ırculo x2 + y2 = 1 no ponto ( 35 , − 45 ) e obter
dy
dx
∣∣∣∣
(x, y)=( 35 ,− 45 )
= −x
y
∣∣∣∣
(x, y)=( 35 ,− 45 )
= − 3−4 =
3
4
.
Lembramos que o resultado obtido e´ va´lido, qualquer que seja a func¸a˜o y = f(x) definida implicitamente pela
equac¸a˜o x2 + y2 = 1. Neste exemplo espec´ıfico, e´ fa´cil concluir que existem duas func¸o˜es cont´ınuas definidas a partir
da equac¸a˜o dada: y =
√
1− x2 e y = −√1− x2. No primeiro caso,
dy
dx
= − x√
1− x2 = −
x
y
;
e, no segundo,
dy
dx
=
x√
1− x2 = −
x
y
.
o que confirma o resultado encontrado pelo processo de derivac¸a˜o impl´ıcita.
Exemplo 2
Vamos agora determinar a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico do folium de Descartes
x3 + y3 = 4 xy
no ponto (2, 2). Supondo que y = y(x ), podemos usar a regra da cadeia para derivar ambos os lados da equac¸a˜o
acima. Assim, temos que
3x2 + 3 y2 y′ = 4 y + 4x y′
Resolvendo esta equac¸a˜o para y′, vem que
y′ =
4 y − 3x2
3 y2 − 4x .
Calculando o valor da expressa˜o acima no ponto (2, 2), obtemos que y′ = −1. Este resultado fornece a declividade
da reta tangente a` curva no ponto dado. Logo, a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x3 + y3 = 4 xy no ponto (2, 2) e´
dada por y − 2 = −(x− 2), ou x+ y − 4 = 0.
Observac¸a˜o Voceˆ pode conferir os ca´lculos feitos acima atrave´s do comando implicitdiff do Maple, usado para
calcular derivadas impl´ıcitas, como fazemos a seguir:
> dydx:=implicitdiff(x^3+y^3=4*x*y,y,x);
dydx :=
3x2 − 4 y
−3 y2 + 4x
> subs({x=2,y=2},dydx);
−1
188 Cap. 14. Derivac¸a˜o Impl´ıcita e Taxas Relacionadas
Exemplo 3
O me´todo descrito nesta sec¸a˜o tambe´m se aplica ao ca´lculo de derivadas de ordem superior de func¸o˜es definidas
implicitamente. Para ilustrar o procedimento adotado nestes casos, vamos calcular a derivada segunda da func¸a˜o
y = y(x), definida implicitamente pela equac¸a˜o x2 − xy + y2 = 16 . Derivando esta equac¸a˜o implicitamente com re-
speito a x, obtemos:
2x− y − x (dy
dx
) + 2 y (
dy
dx
) = 0 ,
que e´ equivalente a
dy
dx
=
y − 2x
2 y − x.
Para obter a derivada segunda de y em relac¸a˜o a x, isto e´ d
2 y
d x2 , derivamos, outra vez, a expressa˜o obtida acima,
implicitamente, com relac¸a˜o a x. Para isso, aplicamos a regra do quociente como se segue:
d2 x
dx2
=
(dydx − 2) (2 y − x)− (y − 2x) (2 (dydx )− 1)
(2 y − x)2 =
3x (dydx )− 3 y
(2 y − x)2 .
Para

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