taxas relacionadas e derivação implicita (apenas um capitulo)

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Cap´ıtulo 14
Derivac¸a˜o Impl´ıcita e Taxas Relacionadas
14.1 Introduc¸a˜o
A maioria das func¸o˜es com as quais trabalhamos ate´ agora e´ da forma y = f(x), em que y e´ dado diretamente ou,
explicitamente, por meio de uma expressa˜o definida em termos de x. No entanto, na resoluc¸a˜o de problemas pra´ticos,
frequ¨entemente a relac¸a˜o entre y e x e´ determinada por uma equac¸a˜o da forma F(x, y) = 0, que na˜o esta´ resolvida
para y.
Pode ser que na˜o exista nenhum ponto (x,y) do plano que satisfac¸a a equac¸a˜o
F(x, y) = 0. Neste caso, esta equac¸a˜o representa um conjunto vazio. Caso contra´rio, uma equac¸a˜o do tipo acima
representa uma curva no plano que pode ser o gra´fico de uma ou de va´rias func¸o˜es da forma y = f(x). Isto acontece
porque uma equac¸a˜o em duas varia´veis x e y pode ter uma ou mais soluc¸o˜es para y em termos de x ou para x em
termos de y. Dizemos, enta˜o, que estas soluc¸o˜es sa˜o func¸o˜es definidas implicitamente pela equac¸a˜o F(x, y) = 0.
14.1.1 Exemplos
Exemplo 1
Uma hipe´rbole equila´tera pode ser representada pela equac¸a˜o xy = 1, obtido usando-se o comando implicitplot
do pacote plots do Maple.
> implicitplot(x*y=1,x=-5..5,y=-5..5);
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
Esta equac¸a˜o simples determina uma func¸a˜o impl´ıcita de x, que pode ser expressa explicitamente como y = 1x .
Exemplo 2
A circunfereˆncia de centro na origem e raio 1 e´ representada no plano xy pela equac¸a˜o x2 + y2 = 1. Tal equac¸a˜o
define implicitamente 4 func¸o˜es cont´ınuas: duas func¸o˜es de y em relac¸a˜o a x, a saber
y =
√
1− x2 e y = −√1− x2, para x em [−1, 1]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
x
e duas func¸o˜es de x em relac¸a˜o a y, a saber
x =
√
1− y2 e x = −
√
1− y2, para y em [−1, 1],
185
186 Cap. 14. Derivac¸a˜o Impl´ıcita e Taxas Relacionadas
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
–1–0.8 –0.4
x
Os gra´ficos das duas primeiras se sobrepo˜em para formar a circunfereˆncia unita´ria, o mesmo acontecendo com o
gra´fico das duas u´ltimas func¸o˜es.
Exemplo 3
A equac¸a˜o x3 + y3 − 4 xy = 0 representa uma curva chamada de folium de Descartes. Com a ajuda do Maple
podemos trac¸ar seu gra´fico.
> plots[implicitplot](x^3+y^3-4*x*y=0,x=-2..3,y=-2..3,numpoints=2000);
–2
–1
0
1
2
y
–2 –1 1 2x
Embora o problema de resolver, explicitamente, esta equac¸a˜o em termos de y seja muito complicado, podemos
notar que existem retas verticais que interceptam o gra´fico acima em 3 pontos. Isso indica que podem existir 3 func¸o˜es
definidas implicitamente por esta equac¸a˜o. O mesmo vale para determinadas retas horizontais. Por exemplo, fazendo
x = 1 na expressa˜o x3 + y3 − 4 xy = 0 e resolvendo a equac¸a˜o resultante para y, obtemos:
> s:=subs({x=1},x^3+y^3-4*x*y=0);
s := 1 + y3 − 4 y = 0
> s1:=fsolve(s,y);
s1 := −2.114907541, .2541016884, 1.860805853
Neste caso particular, para x = 1 existem treˆs valores correspondentes para y, o que mostra que a equac¸a˜o dada
define, pelo menos, treˆs func¸o˜es impl´ıcitas de x.
Exemplo 4
Nem toda equac¸a˜o F(x, y) = 0 define implicitamente y como func¸a˜o de x ou x como func¸a˜o de y. Por exemplo,
a equac¸a˜o x2 + y2 + 4 = 0 na˜o define func¸a˜o alguma, pois esta equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o real (x, y) . Ela representa
apenas o conjunto vazio.
14.2 Derivac¸a˜o impl´ıcita
Nem todas as func¸o˜es definidas implicitamente sa˜o deriva´veis em todos os pontos do seu domı´nio. As func¸o˜es que
aparecem no Exemplo 2 na˜o sa˜o deriva´veis nos pontos extremos dos intervalos onde elas esta˜o definidas. Exatamente
nestes pontos, as retas tangentes a`s curvas sa˜o verticais. Em um curso de Ca´lculo avanc¸ado se estudam condic¸o˜es que
garantem quando uma func¸a˜o definida implicitamente e´ deriva´vel. Aqui, procederemos como se as func¸o˜es definidas
implicitamente fossem deriva´veis em quase todos os pontos de seu domı´nio.
Admitindo que a func¸a˜o y = f(x ), definida implicitamente pela equac¸a˜o F(x, y) = 0, seja deriva´vel, podemos
calcular a derivada dydx sem ser necessa´rio primeiro resolver a equac¸a˜o F(x, y) = 0, para y. O processo consiste em,
utilizando a regra da cadeia, derivar ambos os lados desta equac¸a˜o, considerando x como a varia´vel independente e
y, sempre que esta varia´vel aparecer, como uma func¸a˜o de x. Resolvemos, enta˜o, a equac¸a˜o resultante em relac¸a˜o a`
derivada f ′(x). Este processo e´ chamado de derivac¸a˜o impl´ıcita.
Exemplo 1
W.Bianchini, A.R.Santos 187
Supondo que a func¸a˜o y = f(x), definida implicitamente pela equac¸a˜o x2 + y2 = 1, seja deriva´vel, podemos usar a
regra da cadeia para obter f ′(x). Assim, substituindo y por f(x) na equac¸a˜o dada, obtemos
x2 + (f(x))2 = 1.
Derivando ambos os lados da equac¸a˜o acima em relac¸a˜o a x, obtemos:
2x+ 2 f(x) f ′(x) = 0
que e´ equivalente a
2x+ 2 y
dy
dx
= 0.
Para completar o processo, resolvemos esta u´ltima equac¸a˜o considerando dydx como a inco´gnita. Neste exemplo, temos
que
dy
dx
= −x
y
Parece estranho vermos uma derivada de y com respeito a x contendo em sua expressa˜o tanto x como y, mas esta
fo´rmula pode ser ta˜o u´til quanto qualquer outra. Podemos, por exemplo, usa´-la para calcular o coeficiente angular da
reta tangente ao c´ırculo x2 + y2 = 1 no ponto ( 35 , − 45 ) e obter
dy
dx
∣∣∣∣
(x, y)=( 35 ,− 45 )
= −x
y
∣∣∣∣
(x, y)=( 35 ,− 45 )
= − 3−4 =
3
4
.
Lembramos que o resultado obtido e´ va´lido, qualquer que seja a func¸a˜o y = f(x) definida implicitamente pela
equac¸a˜o x2 + y2 = 1. Neste exemplo espec´ıfico, e´ fa´cil concluir que existem duas func¸o˜es cont´ınuas definidas a partir
da equac¸a˜o dada: y =
√
1− x2 e y = −√1− x2. No primeiro caso,
dy
dx
= − x√
1− x2 = −
x
y
;
e, no segundo,
dy
dx
=
x√
1− x2 = −
x
y
.
o que confirma o resultado encontrado pelo processo de derivac¸a˜o impl´ıcita.
Exemplo 2
Vamos agora determinar a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico do folium de Descartes
x3 + y3 = 4 xy
no ponto (2, 2). Supondo que y = y(x ), podemos usar a regra da cadeia para derivar ambos os lados da equac¸a˜o
acima. Assim, temos que
3x2 + 3 y2 y′ = 4 y + 4x y′
Resolvendo esta equac¸a˜o para y′, vem que
y′ =
4 y − 3x2
3 y2 − 4x .
Calculando o valor da expressa˜o acima no ponto (2, 2), obtemos que y′ = −1. Este resultado fornece a declividade
da reta tangente a` curva no ponto dado. Logo, a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x3 + y3 = 4 xy no ponto (2, 2) e´
dada por y − 2 = −(x− 2), ou x+ y − 4 = 0.
Observac¸a˜o Voceˆ pode conferir os ca´lculos feitos acima atrave´s do comando implicitdiff do Maple, usado para
calcular derivadas impl´ıcitas, como fazemos a seguir:
> dydx:=implicitdiff(x^3+y^3=4*x*y,y,x);
dydx :=
3x2 − 4 y
−3 y2 + 4x
> subs({x=2,y=2},dydx);
−1
188 Cap. 14. Derivac¸a˜o Impl´ıcita e Taxas Relacionadas
Exemplo 3
O me´todo descrito nesta sec¸a˜o tambe´m se aplica ao ca´lculo de derivadas de ordem superior de func¸o˜es definidas
implicitamente. Para ilustrar o procedimento adotado nestes casos, vamos calcular a derivada segunda da func¸a˜o
y = y(x), definida implicitamente pela equac¸a˜o x2 − xy + y2 = 16 . Derivando esta equac¸a˜o implicitamente com re-
speito a x, obtemos:
2x− y − x (dy
dx
) + 2 y (
dy
dx
) = 0 ,
que e´ equivalente a
dy
dx
=
y − 2x
2 y − x.
Para obter a derivada segunda de y em relac¸a˜o a x, isto e´ d
2 y
d x2 , derivamos, outra vez, a expressa˜o obtida acima,
implicitamente, com relac¸a˜o a x. Para isso, aplicamos a regra do quociente como se segue:
d2 x
dx2
=
(dydx − 2) (2 y − x)− (y − 2x) (2 (dydx )− 1)
(2 y − x)2 =
3x (dydx )− 3 y
(2 y − x)2 .
Parafinalizar, substituimos, nesta u´ltima expressa˜o, o valor encontrado no primeiro passo, para dydx . Assim,
d2 x
dx2
=
3x [y−2 x2 y−x ]− 3 y
(2 y − x)2 = −
6 (x2 − xy + y2)
(2 y − x)3 .
Observando que x2 − xy + y2 = 16, podemos simplificar ainda mais a expressa˜o acima e concluir, finalmente, que
d2 x
dx2
= − 96
(2 y − x)3 .
O resultado obtido acima pode ser conferido com a ajuda do Maple:
> implicitdiff(x^2-x*y+y^2=16,y,x,x);
6
x2 − x y + y2
x3 − 6x2 y + 12x y2 − 8 y3 .
Como 2x3 − 6x2 y + 12x y2 − 8 y3 = (x− 2 y)3 e x2 − xy + y2 = 16 este resultado confere com aquele que obtive-
mos acima.
14.3 Taxas relacionadas
14.3.1 Motivac¸a˜o
Um radar da pol´ıcia rodovia´ria esta´ colocado atra´s de uma a´rvore que fica a 12 metros de uma rodovia, que segue em
linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais pro´ximo do radar da pol´ıcia, esta´ um telefone
de emergeˆncia. O policial mira o canha˜o do radar no telefone de emergeˆncia. Um carro passa pelo telefone e, naquele
momento, o radar indica que a distaˆncia entre o policial e o carro esta´ aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite
de velocidade naquele trecho da rodovia e´ de 80km/h. O policial deve ou na˜o multar o motorista?
z y
x=12 metros
telefone
radar
W.Bianchini, A.R.Santos 189
Neste problema, as distaˆncias z do policial ao automo´vel e y do automo´vel em relac¸a˜o ao ponto da rodovia mais
pro´ximo da a´rvore variam com o tempo. O radar marca a velocidade do automo´vel em relac¸a˜o ao policial, isto e´, dzdt
quando y = 16 m. Para saber se o motorista deve ou na˜o ser multado, precisamos determinar dydt , isto e´, a velocidade
desenvolvida pelo automo´vel no trecho reto da rodovia, na hora da leitura do radar (quando ele passa pelo telefone).
Pela geometria do problema, usando o teorema de Pita´goras, sabemos que as distaˆncias x, y e z esta˜o relacionadas
pela equac¸a˜o
(1) z2 = 122 + y2.
A partir desta equac¸a˜o o processo de derivac¸a˜o impl´ıcita nos permite encontrar a relac¸a˜o entre a taxa de variac¸a˜o
de z e a taxa de variac¸a˜o de y e enta˜o resolver o problema proposto.
Este problema e´ um exemplo t´ıpico de uma das aplicac¸o˜es elementares do Ca´lculo: a soluc¸a˜o de problemas de taxas
relacionadas. O me´todo de resoluc¸a˜o e´ descrito a seguir.
Derivando implicitamente a equac¸a˜o (1) obtemos
2 z [
dz
dt
] = 2 y [
dy
dt
]
e da´ı,
dy
dt
= [
z
y
] [
dz
dt
] ,
que e´ a relac¸a˜o que procura´vamos.
Quando y = 16m = 0, 016 km, a leitura do radar nos diz que dzdt = 70 km/h, e, usando outra vez o teorema de
Pita´goras, podemos deduzir que, neste momento, z = 20m = 0, 02 km. Usando estes dados, a relac¸a˜o acima nos
permite concluir que, quando o automo´vel passa pelo telefone, sua velocidade na estrada e´ de
> 70*0.02/0.016.;
87.50000000
que ultrapassa o limite de velocidade permitido. Logo, o motorista deve ser multado.
Os exemplos a seguir ilustram este me´todo aplicado a outras situac¸o˜es.
Exemplo
Considere um bala˜o meteorolo´gico a ser lanc¸ado de um ponto a 100 metros de distaˆncia de uma caˆmara de televisa˜o
montada no n´ıvel do cha˜o. A` medida que o bala˜o sobe, aumenta a distaˆncia entre a caˆmera e o bala˜o e o aˆngulo que
a caˆmara faz com o cha˜o. (Veja animac¸a˜o no texto eletroˆnico.)
Se o bala˜o esta´ subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:
(a) Quando o bala˜o estiver a 75 m de altura, qual a velocidade com que o bala˜o se afasta da caˆmara?
(b) Decorridos 5 segundos apo´s o lanc¸amento, com que velocidade a caˆmara estara´ girando, para filmar a subida do
bala˜o?
Vamos denotar por h a altura que o bala˜o esta´ do solo, d a distaˆncia do bala˜o a` caˆmera e por w o aˆngulo que a
caˆmera faz com o solo.
100 metros
w
d h
Todas estas varia´veis sa˜o func¸o˜es do tempo decorrido, isto e´, h = h(t), d = d(t) e w = w(t).
Para resolver o item (a), podemos usar o teorema de Pita´goras a fim de obter uma equac¸a˜o que relacione as
varia´veis d e h. Assim temos que
(1) h2 + 1002 = d2.
Derivando esta equac¸a˜o, implicitamente, com relac¸a˜o ao tempo, obtemos:
(2) 2hh′ = 2dd′
190 Cap. 14. Derivac¸a˜o Impl´ıcita e Taxas Relacionadas
Conhecemos h′ (velocidade com que o bala˜o esta´ subindo) e queremos determinar d′ (velocidade com que o bala˜o
se afasta da caˆmara), no instante em que h = 75, isto e´, quando o bala˜o esta´ a 75 metros de altura. Pela equac¸a˜o (1)
sabemos que d =
√
h2 + 1002. Fazendo h = 75 nesta u´ltima expressa˜o, obtemos que, neste instante, d =
√
752 + 1002
= 125. Substituindo estes valores na equac¸a˜o (1) temos que
(75)(6) = 125d′ ⇒ d′ = 75 6
125
=
18
5
.
Para resolver o item (b), conhecendo dhdt = 6 m/s, precisamos determinar
dw
dt , quando t = 5 s. Para isto, como
fizemos ao resolver o item (a), e´ necessa´rio obter uma expressa˜o que relacione as func¸o˜es h e w e, depois, derivar a
expressa˜o obtida implicitamente para obter uma relac¸a˜o entre as taxas de variac¸a˜o citadas.
Novamente, observando o diagrama trac¸ado na figura anterior, podemos concluir que
tg(w) =
h
100
.
Derivando implicitamente esta equac¸a˜o obtemos:
(3) (sec2 w)
(
dw
dt
)
=
1
100
dh
dt
.
Precisamos agora determinar sec2 w quando t = 5s. Nesse instante, temos que h = 30 m e da´ı, usando novamente
o teorema de Pita´goras, obtemos
d =
√
1002 + 302 = 10
√
109.
Como sec(w) = d100 , temos que sec
2 w = ( 10
√
109
100 )
2 = 109100 .
De (3) obtemos
dw
dt
=
1
100 sec2 w
dh
dt
.
Assim, substituindo os valores obtidos para sec2 w e dhdt nesta u´ltima expressa˜o, temos que
dw
dt
=
6
109
.
Esta raza˜o representa a velocidade angular com que a caˆmara gira ao acompanhar a ascensa˜o do bala˜o, expressa
em radianos por segundo.
Me´todo de resoluc¸a˜o esquematizado
Os exemplos anteriores ilustram os passos que devemos seguir para resolver problemas de taxa relacionada que
envolvem uma situac¸a˜o geome´trica:
1. Trace um diagrama e defina as diversas grandezas envolvidas no problema, incluindo as varia´veis dependentes e
a varia´vel independente. Explicite claramente quais sa˜o os dados do problema e qual a taxa de variac¸a˜o que se
quer calcular.
2. Use o seu diagrama para determinar uma equac¸a˜o que relacione as varia´veis envolvidas no problema.
3. Derive, implicitamente, esta equac¸a˜o em relac¸a˜o a` varia´vel independente.
4. Na equac¸a˜o obtida apo´s o processo de derivac¸a˜o, substitua os valores nume´ricos dados e resolva a equac¸a˜o
resultante em relac¸a˜o a` inco´gnita do problema.
14.4 Atividades de laborato´rio
Usando um computador e o Maple, fac¸a as atividades propostas no arquivo labimpli.mws, da versa˜o eletroˆnica deste
texto.
W.Bianchini, A.R.Santos 191
14.5 Exerc´ıcios
1. Determine dydx , por derivac¸a˜o impl´ıcita:
(a) xy = 10
(b) 3x2 − 4 y2 = 5
(c)
√
x+
√
y =
√
2
(d) x2 (x− y) = y2 (x+ y)
(e) 3x3 + 5 y3 = 15
(f) x2 + xy + y2 = 9
2. Supondo que y seja definido implicitamente pelas equac¸o˜es dadas, determine dydx e
d2 y
d x2 .
(a) x2 + y2 = 4
(b) 1x +
1
y = 1
(c) sen(y) = x y
(d) x2 + xy + y2 = 3
(e) y3 + x2 + x = 5
3. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da curva definida pela equac¸a˜o dada, no ponto P :
(a) Folium de Descartes: x3 + y3 = 2 xy ; P = (1, 1)
(b) Cardio´ide: x2 + y2 + x =
√
x2 + y2 ; P = ( 425 ,
3
25 )
y
–2 x
(c) Lemniscata de Bernoulli: (x2 + y2)2 = x2 − y2 ; P = ( 2
√
3
5 ,
√
3
5 )
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
(d) Astro´ide: x(
2
3 ) + y(
2
3 ) = 1 ; P = (
√
2
4 , −
√
2
4 )
(e) x3 + 4 y2 = 6 xy ; P = (2, 1)
(f) 4 x
2 y
3 = 5x+ y
2; P = (−1, 3)
(g) x2 y3 = 2 y + x; P = (−1, 1)
4. Encontre os pontos da curva em que a reta tangente e´ horizontal e os pontos emque ela e´ vertical:
(a) x4 + y4 + 2 = 4 xy3 (b) (x2 + y2)
2
= x2 − y2 (c) x3 + y3 = 2 xy
192 Cap. 14. Derivac¸a˜o Impl´ıcita e Taxas Relacionadas
14.6 Problemas propostos
1. Use derivac¸a˜o impl´ıcita para mostrar que qualquer reta tangente em um ponto P (x, y) de uma circunfereˆncia de
centro em C(x0, y0) e´ perpendicular ao raio OP .
2. A luz de um farol girato´rio deve acompanhar um navio que se move paralelamente a` costa. Sua posic¸a˜o,
considerada a partir do ponto em que ele e´ perpendicular a` costa, e´ dada por s(t) = t2. Sabendo-se que a
distaˆncia do navio a` costa e´ de 2 km, calcule a velocidade angular do farol, apo´s o in´ıcio do seu movimento.
3. Uma laˆmpada colocada num poste esta´ a 5 m de altura. Se um homem de 2 m de altura caminha afastando-se
do poste a` raza˜o de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua sombra?
4. Um ponto se move ao longo da parte superior da para´bola y =
√
x, de modo que sua abscissa cresce na raza˜o
constante de 3m/s. A projec¸a˜o de P sobre o eixo x e´ M . Com que velocidade varia a a´rea do triaˆngulo OMP ,
onde O e´ a origem, quando a abscissa de P e´ igual a 4 m.
5. Enche-se de ga´s um bala˜o esfe´rico a` raza˜o de 4 m3/min. Com que velocidade cresce o raio do bala˜o no instante
em que mede 1 m?
6. Um bote esta´ sendo puxado para o cais, por meio de uma corda com uma extremidade amarrada ao bote e a
outra, passando por uma roldana fixada no cais, 1,5 m acima do n´ıvel do bote. Se a corda e´ puxada a` raza˜o de
0,5 m/s, com que velocidade o bote se aproxima do cais no instante em que ele esta´ a 3 m da roldana?
7. Acumula-se areia em um monte de forma coˆnica, a` raza˜o de 0,5 m3. O raio da base do monte e´ sempre igual a`
metade da sua altura. Com que velocidade cresce a sua altura quando ela esta´ a 2 m?
8. Uma fonte luminosa aproxima-se perpendicularmente de uma parede com velocidade constante de 2 m/s, pro-
jetando uma imagem circular sobre esta. Sabendo-se que a abertura do facho de luz e´ de pi2 radianos, calcule a
velocidade com que a a´rea iluminada sobre a parede esta´ diminuindo quando a distaˆncia da fonte a` parede e´ de
1 m.
9. Um bala˜o eleva-se verticalmente do solo a` raza˜o de 3 m/s. Quando o bala˜o esta´ a 48 metros do solo, passa,
exatamente sob ele um automo´vel viajando a` velocidade de 20 m/s. Quatro segundos apo´s este instante, com
que velocidade varia a distaˆncia entre eles?
10. Um quadro de 1 metro de altura e´ colocado em uma parede de tal forma que sua base esteja no mesmo n´ıvel dos
olhos de um observador que esta´ se aproximando da parede a uma velocidade de 2 m/s. Com que velocidade a
medida do aˆngulo de visa˜o do quadro estara´ variando quando o observador estiver a 2 metros da parede?
14.7 Um pouco de histo´ria: Um desafio a Fermat
Descartes suspeitou que o sucesso do me´todo das secantes utilizado por Fermat para determinar a equac¸a˜o da tangente
a uma curva dependia da existeˆncia de uma relac¸a˜o expl´ıcita entre y e x, da forma y = f(x) e, enta˜o, desafiou-o a
encontrar tangentes a` curva x3 + y3 = nx y, com n = 1,2,.... Por isso, esta curva ficou conhecida como o Folium de
Descartes. Neste caso, na˜o e´ poss´ıvel explicitar y como func¸a˜o de x, portanto, para resolver o problema e´ preciso
empregar o processo de diferenciac¸a˜o impl´ıcita, como foi feito neste cap´ıtulo.
Fermat aceitou o desafio proposto por Descartes e na˜o encontrou dificuldades em resolver este problema.
Usando a ide´ia de que a reta tangente a uma curva qualquer, num ponto (x, y), poder ser obtida como o limite de
retas secantes que passam pelos pontos (x, y) e (x + h, y + k), quando h e k tendem a zero, Fermat calculou o valor
da expressa˜o F (x, y) = 0 no ponto (x+h, y+ k) e “passou o limite”, desprezando todos os termos contendo poteˆncias
de h e k ou seus produtos (repare que se h e k sa˜o nu´meros pequenos, para n ≥ 2, hn, kn e hk sa˜o desprez´ıveis em
relac¸a˜o a` unidade). A declividade da reta tangente seria dada, enta˜o, pela raza˜o kh .
Embora o me´todo por ele empregado fosse mais complicado do que aquele que empregamos hoje e envolvesse um
conceito nebuloso de limites, funcionava em problemas do tipo daquele proposto por Descartes.
14.8 Para voceˆ meditar: Quando as contas na˜o fazem sentido!
Existe esta “curva”?
Considere a seguinte equac¸a˜o x (x+ 6) + y2 − 4 y + 14 = 0. Considerando que esta equac¸a˜o define implicitamente y
como func¸a˜o de x e usando o Maple para calcular a derivada dessa func¸a˜o, obtemos:
> Diff(y,x)=implicitdiff(x*(x+6)+y^2-4*y+14=0,y,x);
W.Bianchini, A.R.Santos 193
∂
∂x y = −
x+ 3
y − 2
(a) Explique por que a expressa˜o acima e´ completamente sem sentido.
Sugesta˜o: Que curva plana e´ definida pela equac¸a˜o x (x+ 6) + y2 − 4 y + 14 = 0?
Derivando equac¸o˜es ou qual o sentido da derivac¸a˜o impl´ıcita?
Considere a equac¸a˜o cu´bica x3 = 3x+ 8. Derivando ambos os membros desta equac¸a˜o em relac¸a˜o a x, obtemos
3x2 = 3. Esta u´ltima equac¸a˜o admite duas soluc¸o˜es, x = 1 e x = −1, mas nenhum destes valores e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o
original.
(a) O que esta´ errado? Afinal, em va´rios exemplos deste cap´ıtulo derivamos ambos os membros de uma equac¸a˜o.
Este procedimento e´ correto ou na˜o? Por que o processo de derivac¸a˜o impl´ıcita e´ va´lido para calcular a derivada
de uma func¸a˜o definida por uma expressa˜o do tipo F(x, y) = 0 e na˜o pode ser aplicado no contexto do exemplo
acima.
Se dy
dx
∣∣
(x0, y0)
= 0 a tangente a` curva F(x, y) = 0 e´ horizontal?
O problema a ser estudado aqui e´ o de calcular os pontos no gra´fico da equac¸a˜o x3 + y3 = 3x y − 1 nos quais a reta
tangente a` curva seja horizontal. Para resolver este problema e´ preciso encontrar os pontos onde dydx = 0. Usando o
processo de derivac¸a˜o impl´ıcita temos
> Diff(y,x)=implicitdiff(x^3+y^3 = 3*x*y-1,y,x);
∂
∂x y =
x2 − y
−y2 + x
Desta u´ltima expressa˜o resulta que dydx = 0 se e somente se y = x
2 e x 6= y2.
(a) O ponto (1, 1) pertence a` curva dada e satisfaz a relac¸a˜o y = x2. Neste ponto a tangente ao gra´fico da curva e´
horizontal?
(b) Mostre que na˜o ha´ pontos no gra´fico da curva x3 + y3 = 3x y − 1 onde a reta tangente seja horizontal.
Sugesta˜o: Use o comando implicitplot do Maple para trac¸ar o gra´fico desta equac¸a˜o.