Aula - integral indefinida

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Ca´lculo I - Integral Indefinida
Prof. Josinaldo Menezes
Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN
16 de maio de 2013
Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 1 / 27
Primitivas Determinando Primitivas
Determinando Primitivas
Uma func¸a˜o F (x) e´ uma primitiva de f(x) em um intervalo I se F ′(x) = f(x)
para qualquer x em I.
Encontrar F (x) a partir de f(x) chama-se primitivac¸a˜o ou antiderivac¸a˜o.
Exemplo: Se f(x) = 2x, enta˜o pode ser F (x) = x2.
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Primitivas Determinando Primitivas
Se F e´ uma primitiva de f em um intervalo I, enta˜o a primitiva mais geral de f
em I e´
F (x) + C (1)
onde C e´ uma constante arbitra´ria.
A fam´ılia de func¸o˜es F (x) + C sa˜o gra´ficos onde cada um e´ uma translac¸a˜o
vertical do outro.
Exemplo: Se f(x) = 2x, a resposta completa e´ que F (x) = x2 + C.
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Primitivas Determinando Primitivas
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Primitivas Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Determinar a primitiva de:
a) f(x) = x5
b) g(x) = 1√
x
c) h(x) = sen(2x)
d) i(x) = cos
(
x
2
)
e) j(x) = e−3x
f) k(x) = 2x
2 Escrever a primitiva mais geral de f(x) = 3√
x
+ sen(2x).
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Primitivas Regras de Linearidade para Primitivas
Regras de Linearidade para Primitivas
Se F (x) + C e G(x) + C sa˜o as primitivas de f(x) e g(x), respectivamente,
temos que
Regra da Multiplicac¸a˜o: A derivada de kf(x), sendo k uma constante, e´
kF (x) + C
Regra da Oposta: A derivada de −f(x), e´
−F (x) + C
Regra da Soma ou da Diferenc¸a: A derivada de f(x)± g(x) e´
F (x)±G(x) + C
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Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais
Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais
Encontrar uma primitiva y(x) de uma func¸a˜o f(x) e´ resolver a equac¸a˜o
dy
dx
= f(x) (2)
que e´ uma equac¸a˜o diferencial.
Para encontrar a constante da primitiva, especificamos uma condic¸a˜o inicial,
y(x0) = y0.
A equac¸a˜o diferencial junto com a condic¸a˜o inicial e´ um problema de valor
inicial.
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Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais
Exemplo: a primitiva de f(x) = senx que satisfac¸a F (0) = 3 e´
encontramos a primitiva geral
F (x) = − cosx+ C
aplicamos a condic¸a˜o inicial
F (0) = − cos 0 + C = 3
ou seja C = 4.
A primitiva desejada e´
F (x) = − cosx+ 4
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Primitivas Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Determinar a curva cujo coeficiente angular no ponto (x, y) e´ 3x2 sabendo
que ela deve passar pelo ponto (1,−1).
2 Um bala˜o que sobe a uma taxa de 12pe´s/s, esta´ a uma altura de 80pe´s aima
do solo quando um pacote e´ jogado. Quanto tempo o pacote demora para
chegar ao solo?
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida
Integral Indefinida
O conjunto de todas as primitivas de f e´ a integral indefinida de f em relac¸a˜o a
x, denotada por ∫
f(x) dx (3)
∫
e´ o s´ımbolo da integral
A func¸a˜o f e´ o integrando da integral e x e´ a varia´vel de integrac¸a˜o.
A integral
∫
(x2 − 2x+ 5)dx e´∫
(x2 − 2x+ 5)dx = x
3
3
− x2 + 5x+ C (4)
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Integral Indefinida
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas
Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas
Alguns procedimentos sa˜o utilizados para adequar integrais a fo´rmulas ba´sica
Fazer uma substituic¸a˜o.
Completar quadrados.
Usar uma identidade trigonome´trica.
Eliminar uma raiz quadrada.
Reduzir uma frac¸a˜o impro´pria.
Separar uma frac¸a˜o.
Multiplicar por uma fo´rmula unita´ria.
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o
A regra da substituic¸a˜o e´ dada por∫
f(g(x))g′(x)dx =
∫
f(u)du (5)
onde u = g(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel cuja imagem e´ um intervalo I, e f e´
cont´ınua em I.
Exemplo: Calcular
∫
2x−9√
x2−9x+1dx.
Considerando
u = x2 − 9x+ 1, du = (2x− 9)dx
temos
2x− 9√
x2 − 9x+ 1dx =
∫
du√
u
=
∫
u−
1
2 du
= 2u
1
2 + C = 2
√
x2 − 9x+ 1 + C
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os Quadrados
Calcular
∫
dx√
8x−x2 .
Completamos o quadrado
8x− x2 = −(x2 − 8x) = −(x2 − 8x+ 16)− 16
= 16− (x− 4)2 (6)
(7)
Assim, ∫
dx√
8x− x2 =
∫
dx√
16− (x− 4)2 (8)
Com a = 4 e u = x− 4, temos que du = dx e∫
dx√
16− (x− 4)2 =
∫
du√
a2 − u2 =
= 2 sen−1
(u
a
)
+ C
= sen−1
(
x− 4
4
)
+ C
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade trigonome´trica
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Usando uma identidade
trigonome´trica
Calcular
∫
(secx+ tg x)2dx.
Expandindo o integrando
(secx+ tg x)2 = sec2 x+ 2 secx tg x+ tg2 x
Substituindo a identidade trigonome´trica
tg2 x+ 1 = sec2 x
temos∫
(secx+ tg x)2dx =
∫
(2 sec2 x+ secx tg x− 1)dx
= 2
∫
sec2 xdx+ 2
∫
secx tg xdx−
∫
dx
= 2 tg x+ 2 secx− x+ C. (9)
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Eliminando uma Raiz
Calcular
∫ √
1 + cos(4x)dx
Usamos a identidade trigonome´trica:
cos2 θ =
1 + cos(2θ)
2
→ 1 + cos 4x = 2 cos2(2x).
Reescrevemos a integral∫ √
1 + cos(4x)dx =
∫ √
2 cos2 2xdx =
√
2
∫
| cos 2x|dx.
Quando cos 2x > 0, temos
√
2
∫
| cos 2x|dx =
√
2
∫
cos 2xdx =
√
2
(
sen 2x
2x
)
.
Quando cos 2x < 0, temos
√
2
∫
| cos 2x|dx = −
√
2
∫
cos 2xdx = −
√
2
(
sen 2x
2x
)
.
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria
Calcular
∫
3x2−7
3x+2 dx.
Dividimos a frac¸a˜o para encontrar um quociente mais um resto,
3x2 − 7
3x+ 2
= x+ 3 +
6
3x+ 2
Reescrevemos a integral∫
3x2 − 7x
3x+ 2
dx =
∫ (
x− 3 + 6
3x+ 2
)
dx
=
x2
2
− 3x+ 2 ln |3x+ 2|+ C
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es
Calcular
∫
3x+2√
1−x2 dx.
Separando as frac¸o˜es∫
3x+ 2√
1− x2 dx =
∫
3x√
1− x2 dx+
∫
2√
1− x2 dx
Resolvendo a primeira integral com u = 1− x2 e du = −2xdx,∫
3x√
1− x2 dx = −
3
2
∫
du√
u
= −3
2
∫
u−
1
2 du
= −3
2
(
u
1
2
1
2
)
+ C1 = −3
√
1− x2 + C1
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es
Fazendo a segunda integral,∫
2√
1− x2 dx = 2
∫
dx√
1− x2 = 2 sen
−1 x+ C2
A soluc¸a˜o final e´∫
3x+ 2√
1− x2 dx = −3
√
1− x2 + C1 + 2 sen−1 x+ C2
= −3
√
1− x2 + 2 sen−1 x+ C
onde juntamos as constantes C1 + C2 = C.
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma Unita´ria
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma Forma
Unita´ria
Calcular
∫
secxdx.
Multiplicando o integrando por uma forma unita´ria,∫
secxdx =
∫
secx.1dx =
∫
secx
secx+ tg x
secx+ tg x
dx
=
∫
sec2 x+ secx tg x
secx+ tg x
dx
Utilizando u = tg x+ secx e du = (sec2 x+ secx tg x)dx, temos∫
sec2 x+ secx tg x
secx+ tg x
dx =
∫
du
u
= ln |u|+ C
= ln | secx+ tg x|+ C.
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria
Calcular
∫
3x2−7
3x+2 dx.
Dividimos a frac¸a˜o para encontrar um quociente mais um resto,
3x2 − 7
3x+ 2
= x+ 3 +
6
3x+ 2
Reescrevemos a integral∫
3x2 − 7x
3x+ 2
dx =
∫ (
x− 3 + 6
3x+ 2
)
dx
=
x2
2
− 3x+ 2 ln |3x+ 2|+ C
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es
Calcular
∫
3x+2√
1−x2 dx.
Separando as frac¸o˜es∫
3x+ 2√
1− x2 dx =
∫
3x√
1− x2 dx+
∫
2√
1− x2 dx
Resolvendo a primeira integral com u = 1− x2 e du = −2xdx,∫
3x√
1− x2 dx = −
3
2
∫
du√
u
= −3
2
∫
u−
1
2 du
= −3
2
(
u
1
2
1
2
)
+ C1 = −3
√
1− x2 + C1
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Separando Frac¸o˜es
Fazendo a segunda integral,∫
2√
1− x2 dx = 2
∫
dx√
1− x2 = 2 sen
−1 x+ C2
A soluc¸a˜o final e´∫
3x+ 2√
1− x2 dx = −3
√
1− x2 + C1 + 2 sen−1 x+ C2
= −3
√
1− x2 + 2 sen−1 x+ C
onde juntamos as constantes C1 + C2 = C.
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Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes
Se f e g sa˜o func¸o˜es deriva´veis de x, a regra do produto diz que
d
dx
[f(x)g(x)] = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)
que fazemos ∫
d
dx
[f(x)g(x)] =
∫
[f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)] dx
=
∫
f ′(x)g(x)dx+
∫
f(x)g′(x)dx
Ou seja, ∫
f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−
∫
g(x)f ′(x)dx
A fo´rmula geral para a integrac¸a˜o por partes e´∫
u dv = u v −
∫
v du
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Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes
Exemplo 1: Determinar
∫
x cosxdx.
Com u = x e dv = cosxdx temos
v = senx du = dx.
Integrando por partes∫
x cosxdx = x senx−
∫
senxdx
= x senx+ cosx+ C. (10)
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Integrac¸a˜o por Partes Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Integrac¸a˜o por Partes
Exemplo 2: Outras opc¸o˜es da aplicac¸a˜o da integrac¸a˜o por partes para a integral∫
x cosxdx.
1 Assumir u = 1 e dv = x cosxdx na˜o serve pois na˜o sabemos encontrar v.
2 Tomar u = x cosx e dv = dx leva-nos a
du = (cosx− x senx)dx v = x
Assim, ∫
x cosxdx = x2 cosx−
∫
(x cosx− x2 senx)dx
sendo a integral final mais complicada que a inicial.
3 Finalmente, considerar u = cosx e dv = xdx nos da´
du = − senxdx v = x
2
2
resultando em ∫
x cosxdx =
x2
2
cosx−
∫
x2
2
senxdx
que tambe´m e´ um problema pior que o inicial.
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Integrac¸a˜o por Partes Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
Calcule as seguintes integrais:
1
∫
lnxdx
2
∫
x2exdx
3
∫
ex cosxdx
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