Integral indefinida
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Integral indefinida


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Ca´lculo I - Integral Indefinida
Prof. Josinaldo Menezes
Escola de Cie\u2c6ncias e Tecnologia - UFRN
16 de maio de 2013
Prof. Josinaldo Menezes (Escola de Cie\u2c6ncias e Tecnologia - UFRN)Ca´lculo I - Integral Indefinida 16 de maio de 2013 1 / 27
Primitivas Determinando Primitivas
Determinando Primitivas
Uma func¸a\u2dco F (x) e´ uma primitiva de f(x) em um intervalo I se F \u2032(x) = f(x)
para qualquer x em I.
Encontrar F (x) a partir de f(x) chama-se primitivac¸a\u2dco ou antiderivac¸a\u2dco.
Exemplo: Se f(x) = 2x, enta\u2dco pode ser F (x) = x2.
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Primitivas Determinando Primitivas
Se F e´ uma primitiva de f em um intervalo I, enta\u2dco a primitiva mais geral de f
em I e´
F (x) + C (1)
onde C e´ uma constante arbitra´ria.
A fam´\u131lia de func¸o\u2dces F (x) + C sa\u2dco gra´ficos onde cada um e´ uma translac¸a\u2dco
vertical do outro.
Exemplo: Se f(x) = 2x, a resposta completa e´ que F (x) = x2 + C.
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Primitivas Determinando Primitivas
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Primitivas Exerc´\u131cios
Exerc´\u131cios
1 Determinar a primitiva de:
a) f(x) = x5
b) g(x) = 1\u221a
x
c) h(x) = sen(2x)
d) i(x) = cos
(
x
2
)
e) j(x) = e\u22123x
f) k(x) = 2x
2 Escrever a primitiva mais geral de f(x) = 3\u221a
x
+ sen(2x).
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Primitivas Regras de Linearidade para Primitivas
Regras de Linearidade para Primitivas
Se F (x) + C e G(x) + C sa\u2dco as primitivas de f(x) e g(x), respectivamente,
temos que
Regra da Multiplicac¸a\u2dco: A derivada de kf(x), sendo k uma constante, e´
kF (x) + C
Regra da Oposta: A derivada de \u2212f(x), e´
\u2212F (x) + C
Regra da Soma ou da Diferenc¸a: A derivada de f(x)± g(x) e´
F (x)±G(x) + C
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Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o\u2dces Diferenciais
Problema de Valor Inicial e Equac¸o\u2dces Diferenciais
Encontrar uma primitiva y(x) de uma func¸a\u2dco f(x) e´ resolver a equac¸a\u2dco
dy
dx
= f(x) (2)
que e´ uma equac¸a\u2dco diferencial.
Para encontrar a constante da primitiva, especificamos uma condic¸a\u2dco inicial,
y(x0) = y0.
A equac¸a\u2dco diferencial junto com a condic¸a\u2dco inicial e´ um problema de valor
inicial.
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Primitivas Problema de Valor Inicial e Equac¸o\u2dces Diferenciais
Exemplo: a primitiva de f(x) = senx que satisfac¸a F (0) = 3 e´
encontramos a primitiva geral
F (x) = \u2212 cosx+ C
aplicamos a condic¸a\u2dco inicial
F (0) = \u2212 cos 0 + C = 3
ou seja C = 4.
A primitiva desejada e´
F (x) = \u2212 cosx+ 4
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Primitivas Exerc´\u131cios
Exerc´\u131cios
1 Determinar a curva cujo coeficiente angular no ponto (x, y) e´ 3x2 sabendo
que ela deve passar pelo ponto (1,\u22121).
2 Um bala\u2dco que sobe a uma taxa de 12pe´s/s, esta´ a uma altura de 80pe´s aima
do solo quando um pacote e´ jogado. Quanto tempo o pacote demora para
chegar ao solo?
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Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco Integral Indefinida
Integral Indefinida
O conjunto de todas as primitivas de f e´ a integral indefinida de f em relac¸a\u2dco a
x, denotada por \u222b
f(x) dx (3)
\u222b
e´ o s´\u131mbolo da integral
A func¸a\u2dco f e´ o integrando da integral e x e´ a varia´vel de integrac¸a\u2dco.
A integral
\u222b
(x2 \u2212 2x+ 5)dx e´\u222b
(x2 \u2212 2x+ 5)dx = x
3
3
\u2212 x2 + 5x+ C (4)
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Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco Integral Indefinida
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Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas
Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas
Alguns procedimentos sa\u2dco utilizados para adequar integrais a fo´rmulas ba´sica
Fazer uma substituic¸a\u2dco.
Completar quadrados.
Usar uma identidade trigonome´trica.
Eliminar uma raiz quadrada.
Reduzir uma frac¸a\u2dco impro´pria.
Separar uma frac¸a\u2dco.
Multiplicar por uma fo´rmula unita´ria.
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Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco - A Regra da Substituic¸a\u2dco
Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco - A Regra da Substituic¸a\u2dco
A regra da substituic¸a\u2dco e´ dada por\u222b
f(g(x))g\u2032(x)dx =
\u222b
f(u)du (5)
onde u = g(x) e´ uma func¸a\u2dco deriva´vel cuja imagem e´ um intervalo I, e f e´
cont´\u131nua em I.
Exemplo: Calcular
\u222b
2x\u22129\u221a
x2\u22129x+1dx.
Considerando
u = x2 \u2212 9x+ 1, du = (2x\u2212 9)dx
temos
2x\u2212 9\u221a
x2 \u2212 9x+ 1dx =
\u222b
du\u221a
u
=
\u222b
u\u2212
1
2 du
= 2u
1
2 + C = 2
\u221a
x2 \u2212 9x+ 1 + C
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Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco - Completando os Quadrados
Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco - Completando os Quadrados
Calcular
\u222b
dx\u221a
8x\u2212x2 .
Completamos o quadrado
8x\u2212 x2 = \u2212(x2 \u2212 8x) = \u2212(x2 \u2212 8x+ 16)\u2212 16
= 16\u2212 (x\u2212 4)2 (6)
(7)
Assim, \u222b
dx\u221a
8x\u2212 x2 =
\u222b
dx\u221a
16\u2212 (x\u2212 4)2 (8)
Com a = 4 e u = x\u2212 4, temos que du = dx e\u222b
dx\u221a
16\u2212 (x\u2212 4)2 =
\u222b
du\u221a
a2 \u2212 u2 =
= 2 sen\u22121
(u
a
)
+ C
= sen\u22121
(
x\u2212 4
4
)
+ C
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Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco - Usando uma identidade trigonome´trica
Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco - Usando uma identidade
trigonome´trica
Calcular
\u222b
(secx+ tg x)2dx.
Expandindo o integrando
(secx+ tg x)2 = sec2 x+ 2 secx tg x+ tg2 x
Substituindo a identidade trigonome´trica
tg2 x+ 1 = sec2 x
temos\u222b
(secx+ tg x)2dx =
\u222b
(2 sec2 x+ secx tg x\u2212 1)dx
= 2
\u222b
sec2 xdx+ 2
\u222b
secx tg xdx\u2212
\u222b
dx
= 2 tg x+ 2 secx\u2212 x+ C. (9)
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Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco - Eliminando uma Raiz
Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco - Eliminando uma Raiz
Calcular
\u222b \u221a
1 + cos(4x)dx
Usamos a identidade trigonome´trica:
cos2 \u3b8 =
1 + cos(2\u3b8)
2
\u2192 1 + cos 4x = 2 cos2(2x).
Reescrevemos a integral\u222b \u221a
1 + cos(4x)dx =
\u222b \u221a
2 cos2 2xdx =
\u221a
2
\u222b
| cos 2x|dx.
Quando cos 2x > 0, temos
\u221a
2
\u222b
| cos 2x|dx =
\u221a
2
\u222b
cos 2xdx =
\u221a
2
(
sen 2x
2x
)
.
Quando cos 2x < 0, temos
\u221a
2
\u222b
| cos 2x|dx = \u2212
\u221a
2
\u222b
cos 2xdx = \u2212
\u221a
2
(
sen 2x
2x
)
.
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Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco - Frac¸a\u2dco Impro´pria
Te´cnicas de Integrac¸a\u2dco - Frac¸a\u2dco Impro´pria
Calcular
\u222b
3x2\u22127
3x+2 dx.
Dividimos a frac¸a\u2dco para encontrar um quociente mais um resto,
3x2 \u2212 7
3x+ 2
= x+ 3 +
6
3x+ 2
Reescrevemos a integral\u222b
3x2 \u2212 7x
3x+ 2
dx =
\u222b (
x\u2212 3 + 6
3x+ 2
)
dx
=
x2
2
\u2212 3x+ 2 ln |3x+ 2|+ C
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