Funções hiperbolicas

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Ca´lculo I - Func¸o˜es Hiperbo´licas
Prof. Dr. Josinaldo Menezes
EC&T- UFRN
16 de maio de 2013
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T- UFRN) Ca´lculo I - Func¸o˜es Hiperbo´licas 16 de maio de 2013 1 / 18
Func¸o˜es Hiperbo´licas
Func¸o˜es Hiperbo´licas
Toda func¸a˜o f que seja definida em um intervalo centrado na origem pode
ser escrita como a soma de uma func¸a˜o par e de uma func¸a˜o ı´mpar:
f(x) =
f(x) + f(−x)
2
+
f(x)− f(−x)
2
(1)
Se considerarmos f(x) = ex, teremos
ex =
ex + e−x
2
+
ex − e−x
2
(2)
onde definimos:
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Func¸o˜es Hiperbo´licas
1 Func¸a˜o Cosseno Hiperbo´lico e´ parte par da func¸a˜o exponencial:
coshx =
ex + e−x
2
(3)
2 Func¸a˜o Seno Hiperbo´lico e´ parte ı´mpar da func¸a˜o exponencial:
senhx =
ex − e−x
2
(4)
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Func¸o˜es Hiperbo´licas
1 Func¸a˜o Tangente Hiperbo´lico:
tghx =
senhx
coshx
=
ex − e−x
ex + e−x
(5)
2 Func¸a˜o Cotangente Hiperbo´lico:
cotghx =
coshx
senhx
=
ex + e−x
ex − e−x (6)
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Func¸o˜es Hiperbo´licas
1 Func¸a˜o Secante Hiperbo´lico:
secx =
1
coshx
=
2
ex + e−x
(7)
2 Func¸a˜o Cossecante Hiperbo´lico:
cosecx =
1
senhx
=
2
ex − e−x (8)
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Func¸o˜es Hiperbo´licas
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Func¸o˜es Hiperbo´licas Identidades Satisfeitas pelas Func¸o˜es Hiperbo´licas
Identidades Satisfeitas pelas Func¸o˜es Hiperbo´licas
1
cosh2 x− senh 2x = 1 (9)
2
senh (2x) = 2senhx coshx (10)
3
cosh(2x) = 2 cosh2 x+ senh 2x (11)
4
cosh2 x =
cosh(2x) + 1
2
(12)
5
tgh 2x = 1− sech 2x (13)
6
cotgh 2x = 1 + cosech 2x (14)
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Func¸o˜es Hiperbo´licas Identidades Satisfeitas pelas Func¸o˜es Hiperbo´licas
Para provar, substituimos as definic¸o˜es das func¸o˜es seno e cosseno hiperbo´licos.
Por exemplo, a primeira identidade e´ encontrada fazendo-se
cosh2 x+ senh 2x =
(
ex + e−x
2
)2
−
(
ex − e−x
2
)2
(15)
=
1
4
(
e2x + 2 ex e−x + e−2x (16)
− e2x + 2 ex e−x − e−2x) (17)
=
1
4
(
4 ex e−x
)
(18)
= 1. (19)
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Func¸o˜es Hiperbo´licas Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas
Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas
As derivadas e integrais das func¸o˜es hiperbo´licas sa˜o obtidas utilizando as regras
ja´ conhecidas. Por exemplo,
Seja f = senhx, enta˜o
d
dx
(senhx) =
d
dx
(
ex − e−x
2
)
(20)
=
1
2
(
ex + e−x
)
(21)
= coshx. (22)
Da mesma forma para f = cosechx, temos
d
dx
(cosecx) =
d
dx
(
1
senhx
)
(23)
= − coshx
senh 2x
(24)
= −cosechx cotg x. (25)
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Func¸o˜es Hiperbo´licas Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas
Exemplo 1: Calcule ddt
(
tgh (
√
1 + t2)
)
.
d
dt
(
tgh (
√
1 + t2)
)
= sech 2(
√
1 + t2)
1√
1 + t2
. (26)
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Func¸o˜es Hiperbo´licas Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas
Exemplo 2: Calcule
∫
cotg(5x) dx.∫
cotg(5x) dx =
∫
coshx
senhx
dx (27)
Utilizando a substituic¸a˜o u = senh (5x) e du = 5 cosh(5x) dx, temos∫
1
5
u−1 du =
1
5
ln |u|+ C = 1
5
ln |senh (5x)|+ C. (28)
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Func¸o˜es Hiperbo´licas Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas
Exemplo 3: Calcule
∫ 1
0
senh 2x dx.
∫ 1
0
senh 2x dx =
∫ 1
0
cosh(2x)− 1
2
dx (29)
=
1
2
∫ 1
0
[cosh(2x)− 1] dx (30)
=
1
2
[
senh (2x)
2
− x
]1
0
(31)
=
senh (2)
4
− 1
2
≈ 0, 40672. (32)
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Func¸o˜es Hiperbo´licas Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas
Exemplo 4: Calcule
∫ ln 2
0
ex senhx dx.
∫ ln 2
0
ex senhx dx =
∫ ln 2
0
4 ex
(
ex − e−x
2
)
dx (33)
= 2
∫ ln 2
0
(e2x − 1) dx (34)
=
[
e2x − 2x]ln 2
0
(35)
= 4− 2 ln 2− 1 (36)
= 3− 2 ln 2 ≈ 1, 6137. (37)
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Func¸o˜es Hiperbo´licas Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas Inversas
Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas Inversas
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Func¸o˜es Hiperbo´licas Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas Inversas
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Func¸o˜es Hiperbo´licas Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas Inversas
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Func¸o˜es Hiperbo´licas Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas Inversas
Exemplo 5: Calcule
∫ 1
0
2x dx√
3+4 x2
.
Se tomarmos u = 2x, a =
√
3 e du = 2 dx, teremos∫
2x dx√
3 + 4x2
=
∫
du√
a2 + u2
. (38)
Utilizando a derivada da func¸a˜o hiperbo´lica inversa f(x) = senh−1 x,
podemos escrever ∫
du√
a2 + u2
= senh−1
(u
a
)
+ C (39)
= senh−1
(
2x√
3
)
+ C (40)
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Func¸o˜es Hiperbo´licas Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas Inversas
Aplicando os limites da integral inicial∫ 1
0
2x dx√
3 + 4x2
=
[
senh−1
(
2x√
3
)]1
0
(41)
= senh−1
(
2√
3
)
− senh−1(0) (42)
Ou seja, ∫ 1
0
2x dx√
3 + 4x2
≈ 0, 9865. (43)
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