1 Vetores

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PROF: Paulo Henrique 
Escola de Ciências e Tecnologia 
UNIDADE 01 
01 – VETORES E OPERAÇÕES COM 
VETORES 
DISCIPLINA: VGA 
2016.2 
PROGRAMAÇÃO 
GRANDEZAS ESCALARES 
 
GRANDEZAS VETORIAIS 
 
SEGMENTOS ORIENTADOS 
 
CONCEITO DE VETOR 
INTRODUÇÃO 
Em Física, Engenharia e Matemática lidamos 
constantemente com um grande número de GRANDEZAS 
que possuem intensidade (unidade) e orientação. 
 
Para aprendê-las, necessitamos de uma linguagem 
matemática especial: 
a linguagem dos VETORES. 
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS 
 Muitas grandezas físicas, para serem completamente 
identificadas, precisam, além da magnitude, da direção e do 
sentido. 
 Por ex.: Velocidade, Força, Deslocamento e Aceleração 
 Estas grandezas são chamadas de 
GRANDEZAS VETORIAIS. 
 Operações entre grandezas vetoriais são realizadas entre 
vetores. 
 
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS 
 Outras grandezas, são completamente definidas por sua 
intensidade (ou magnitude), um número real; acompanhado 
de uma unidade. 
 Por exemplo: Área: 10 cm², 1 m²; Volume: 10 cm³, 1 m³; 
Massa: 100g; 79,6 kg; Temperatura: 30 °C, 100 °F, 1000 K. 
 Estas grandezas são chamadas de 
GRANDEZAS ESCALARES. 
 Operações entre essas grandezas são realizadas entre 
números reais. 
 
EXEMPLO 1 
Problema não resolvido! 
Os irmãos especificaram 
somente a intensidade. 
Problema resolvido! 
Força é uma grandeza vetorial 
É descrita completamente por: 
Intensidade, Direção e Sentido. 
 
EXEMPLO 2 – PÊNDULO 
Diagrama de Corpo Livre mostrando as forças (vetores) que 
atuam no corpo de massa m. 
Força é uma grandeza 
vetorial! 
EXEMPLO 3 – CORPO EM PLANO INCLINADO 
 
 
 
Velocidade é uma grandeza vetorial ! 
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS 
 Então, toda grandeza vetorial tem: 
1) Tamanho (do vetor), chamado de Intensidade. Também 
chamado de: Magnitude, Norma, Módulo ou Comprimento. 
2) Direção 
3) Sentido. 
 Grandezas vetoriais são modeladas por vetores. 
 Geometricamente, vetores são representados por 
segmentos (de reta) orientados no plano ou espaço. 
 
 
 
 
SEGMENTO ORIENTADO 
 É um segmento de reta com sentido fixo que tem um 
ponto de origem (Ponto inicial) e um ponto de 
extremidade (Ponto final). 
 Seja uma reta suporte e A e B dois pontos dela. 
 
 Ao segmento da reta AB podemos associar sentidos: 
1) A→B = 
2) B→A = , sentido oposto de 
 
BA AB
AB
SEGMENTO ORIENTADO 
Todo segmento orientado é fixo e têm: 
1) Direção: direção da reta suporte 
2) Sentido: no nosso exemplo, de A p/ B 
3) Norma: comprimento do segmento 
Direção:
Reta 
suporte 
Sentido de A p/ B 
Comprimento 
SEGMENTOS ORIENTADOS 
 Quando dois segmentos têm: 
1) A mesma direção; 
2) O mesmo sentido; 
3) O mesmo tamanho 
 
 Dizemos que eles são EQUIPOLENTES. Representamos da 
seguinte forma: 
 
 ~ 
 
AB CD
C 
A 
D 
B 
O QUE É UM VETOR? 
VETOR 
• É o conjunto de todos os segmentos orientados que tem 
a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo 
comprimento. 
• Cada segmento orientado é chamado de ‘representante 
do vetor’. 
• Dizemos que um vetor é uma classe de equipolência. 
• Segmentos orientados representando 
o mesmo vetor 
 
VETORES – NOTAÇÃO 
• Para representarmos vetores, usaremos letras minúsculas 
encimadas por uma seta. 
Por exemplo: 𝑣 , 𝑢 𝑒 𝑤 
• Seja 𝐴𝐵 um representante do vetor 𝑣 : 
1) a direção de 𝑣 será a direção de 𝑣 = 𝐴𝐵 
2) O sentido de 𝑣 será o sentido de 𝑣 = 𝐴𝐵 
3) A norma (ou módulo) de 𝑣 é o comprimento de 𝐴𝐵 e 
representaremos assim: 𝑣 = 𝐴𝐵 
 
EXEMPLO 4 
Abaixo temos 20 segmentos orientados no espaço. Quantos 
vetores temos nessa figura? 
EXEMPLO 4 
Abaixo temos 20 segmentos orientados no espaço. Quantos 
vetores temos nessa figura? 
EXEMPLO 4 
Abaixo temos 20 segmentos orientados no espaço. Quantos 
vetores temos nessa figura? 
EXEMPLO 4 
Abaixo temos 20 segmentos orientados no espaço. Quantos 
vetores temos nessa figura? 
EXEMPLO 5 
Abaixo temos 30 segmentos orientados no plano. Quantos 
vetores temos nessa figura? 
EXEMPLO 5 
Abaixo temos 30 segmentos orientados no plano. Quantos 
vetores temos nessa figura? 
EXEMPLO 5 
Abaixo temos 30 segmentos orientados no plano. Quantos 
vetores temos nessa figura? 
EXEMPLO 5 
Abaixo temos 30 segmentos orientados no plano. Quantos 
vetores temos nessa figura? 
EXEMPLO 5 
Abaixo temos 30 segmentos orientados no plano. Quantos 
vetores temos nessa figura? 
VETORES 
• Vetores podem ser usados para representar campos de 
velocidade, como: 
1) correntes oceânicas; 
2) velocidade do vento durante um tornado; 
3) fluxo de ar passando por um aerofólio. 
 
• Campos vetoriais serão estudados em Cálculo III. 
• Os exemplos seguintes servem apenas como ilustração da 
aplicação de vetores. 
VETORES 
Campo de velocidades mostrando aspectos do vento na baía 
de São Francisco, EUA. 
Fluxo de ar passando 
por um aerofólio. 
VETORES 
Correntes oceânicas em 
Nova Scotia. 
Propagação de calor em uma placa metálica aquecida. Como 
o calor flui nela, define um campo de vetores 
VETORES 
Fluido percorrendo um encanamento com fluxo constante.