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Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Prof. Fa´bio Nakagomi UDF - Centro Universita´rio 1 de abril de 2013 Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Suma´rio 1 Centro de Massa 2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas 3 Momento Linear 4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas 5 Colisa˜o e Impulso 6 Conservac¸a˜o do Momento Linear 7 Sistema de Massa Varia´vel Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa Suma´rio 1 Centro de Massa 2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas 3 Momento Linear 4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas 5 Colisa˜o e Impulso 6 Conservac¸a˜o do Momento Linear 7 Sistema de Massa Varia´vel Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa Introduc¸a˜o Definic¸a˜o O Centro de Massa de um sistema de part´ıculas e´ o ponto que se move como se: 1 Toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto. 2 Todas as forc¸as externas estivessem aplicadas nesse ponto. 3 Centro de Massa = Centro de Gravidade. Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa Se as part´ıculas esta˜o distribu´ıdas em treˆs dimenso˜es, a posic¸a˜o do Centro de Massa deve ser especificada por treˆs pontos: Coordenadas do Centro de Massa XCentro de Massa = 1 M n∑ i=1 mixi YCentro de Massa = 1 M n∑ i=1 miyi ZCentro de Massa = 1 M n∑ i=1 mizi (1.1) Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa O vetor posic¸a˜o do Centro de Massa: ~rCM = XCM~i + YCM~j + ZCM~k (1.2) Podemos utilizar uma u´nica equac¸a˜o vetorial: ~rCM = 1 M n∑ i=1 mi~ri (1.3) Sendo o vetor posic¸a˜o de cada massa i e´ dado por ~ri Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa Para uma distribuic¸a˜o cont´ınua de massa: Coordenadas do Centro de Massa XCentro de Massa = 1 M ∫ xdm YCentro de Massa = 1 M ∫ ydm ZCentro de Massa = 1 M ∫ zdm (1.4) Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa Se considerarmos apenas objetos uniformes, temos que: Massa Espec´ıfica ρ = dm dV = M V (1.5) Coordenadas do Centro de Massa XCentro de Massa = 1 V ∫ xdV YCentro de Massa = 1 V ∫ ydV ZCentro de Massa = 1 V ∫ zdV (1.6) Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas Suma´rio 1 Centro de Massa 2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas 3 Momento Linear 4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas 5 Colisa˜o e Impulso 6 Conservac¸a˜o do Momento Linear 7 Sistema de Massa Varia´vel Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas O movimento do Centro de Massa de qualquer sistema de part´ıculas e´ expresso pela equac¸a˜o: Segunda Lei de Newton ~Fres = M~acm (2.1) ~Fres - Forc¸a resultante de todas as forc¸as externas que agem sobre o sistema. M - Massa total do sistema. ~acm - Acelerac¸a˜o do Centro de Massa do sistema. Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear Suma´rio 1 Centro de Massa 2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas 3 Momento Linear 4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas 5 Colisa˜o e Impulso 6 Conservac¸a˜o do Momento Linear 7 Sistema de Massa Varia´vel Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear O Momento Linear de uma part´ıcula e´ uma grandeza vetorial ~p definida como: Momento Linear ~p = m~v (3.1) ~p - Momento linear da part´ıcula. m - Massa da part´ıcula. ~v - Velocidade da part´ıcula. Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear Segunda Lei de Newton Newton expressou originalmente a sua Segunda Lei em termos de momento: Segunda Lei A taxa de variac¸a˜o com o tempo do momento de uma part´ıcula e´ igual a` forc¸a resultante que atua sobre a part´ıcula e tem a mesma orientac¸a˜o que essa forc¸a. Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear Em forma de equac¸a˜o, isso significa o seguinte: Segunda Lei ~Fres = d~p dt (3.2) Demonstrac¸a˜o: ~Fres = d~p dt = d dt (m~v) = m d~v dt = m~a (3.3) Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas Suma´rio 1 Centro de Massa 2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas 3 Momento Linear 4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas 5 Colisa˜o e Impulso 6 Conservac¸a˜o do Momento Linear 7 Sistema de Massa Varia´vel Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas Vamos estender a definic¸a˜o de momento linear para um sitema de part´ıculas. Considere um sistema de n part´ıculas, cada um com sua pro´pria massa, velocidade e momento linear. O sistema como um todo tem um momento linear total ~P, que e´ definido como a soma vetorial dos momentos lineares de todas as part´ıculas. ~P = ~p1 + ~p2 + · · · + ~pn = m1~v1 + m2~v2 + · · · + mn~vn = M~vC.M. (4.1) Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas Momento Linear para um sistema de part´ıculas O momento linear de um sistema de part´ıculas e´ igual ao produto da massa total do sistema pela velocidade do centro de massa. A Segunda Lei para um sistema de part´ıculas: ~Fres = d~P dt (4.2) Onde ~Fres e´ a forc¸a externa resultante que age sobre o sistema. Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Colisa˜o e Impulso Suma´rio 1 Centro de Massa 2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas 3 Momento Linear 4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas 5 Colisa˜o e Impulso 6 Conservac¸a˜o do Momento Linear 7 Sistema de Massa Varia´vel Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Colisa˜o e Impulso Colisa˜o O momento ~p de qualquer corpo que se comporta como uma part´ıcula na˜o pode variar, a menos que uma forc¸a externa atue sobre o corpo. Colisa˜o Em uma colisa˜o, a forc¸a exercida sobre o corpo e´ de curta durac¸a˜o, tem um mo´dulo elevado e muda bruscamente o momento do corpo. Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Colisa˜o e Impulso Temos que a Segunda Lei: ~F (t) = d~p dt d~p = ~F (t)dt (5.1) Podemos determinar a variac¸a˜o total do momento integrando ambos os membros da equac¸a˜o de um instante ti imediatamente antes da colisa˜o ate´ um instante tf imediatamente apo´s a colisa˜o: Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Colisa˜o e Impulso ∫ tf ti d~p = ∫ tf ti ~F (t)dt ~pf − ~pi = ∫ tf ti ~F (t)dt ∆~p = ∫ tf ti ~F (t)dt (5.2) O lado direito, que e´ uma medida tanto da intensidade quanto da durac¸a˜o da forc¸a da colisa˜o, e´ chamadode impulso: Impulso ~J = ∫ tf ti ~F (t)dt (5.3) Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Colisa˜o e Impulso A aplicac¸a˜o da Segunda Lei de Newton a um corpo que se comporta como uma part´ıcula envolvido em uma colisa˜o leva ao teorema do impulso e momento linear: Teorema do Impulso e Momento Linear ~pf − ~pi = ∆~p = ~J (5.4) Se considerarmos apenas a me´dia de ~F (t) durante a colisa˜o e ∆t como sendo a durac¸a˜o da colisa˜o, para um movimento unidimensional temos: J = Fmed∆t (5.5) Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Colisa˜o e Impulso Coliso˜es em Se´rie Quando uma se´rie de proje´teis de massa m e velocidade v colide com um corpo fixo, a forc¸a me´dia que age sobre o corpo fixo e´ dada por: Fmed = J ∆t (5.6) Figura 1 : Coliso˜es em Se´rie. Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Colisa˜o e Impulso A variac¸a˜o total do momento linear de n proje´teis durante o intevalo ∆t vale n∆p. O impulso resultante J a que e´ submetido o alvo no intervalo ∆t pode ser escrito como: J = −n∆p (5.7) Onde o sinal negativo indica que J e ∆p teˆm sentidos opostos. Temos que: Fmed = J ∆t = − n ∆t ∆p = − n ∆t m∆v (5.8) Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Colisa˜o e Impulso A equac¸a˜o 5.8 expressa Fmed em termos de n/∆, a taxa com a qual os proje´teis colidem com o alvo, e ∆v , representa a variac¸a˜o de velocidade dos proje´teis. Se os proje´teis param apo´s o choque: ∆v = vf − vi = 0 − v = −v . Se os proje´teis ricocheteiam sem mudanc¸a na velocidade escalar: ∆v = vf − vi = −v − v = −2v . No intervalo ∆t, uma quantidade de massa ∆m = nm colide com o alvo, podemos escrever: Fmed = −∆m ∆t ∆v (5.9) Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Conservac¸a˜o do Momento Linear Suma´rio 1 Centro de Massa 2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas 3 Momento Linear 4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas 5 Colisa˜o e Impulso 6 Conservac¸a˜o do Momento Linear 7 Sistema de Massa Varia´vel Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Conservac¸a˜o do Momento Linear Se um sistema esta´ isolado de tal forma que nenhuma forc¸a resultante externa atua sobre ele, o momento linear ~P do sistema permanece constante: Conservac¸a˜o do Momento Linear ~P = constante (6.1) Esta equac¸a˜o tambe´m pode ser escrita na forma: Conservac¸a˜o do Momento Linear ~Pf = ~Pi (6.2) Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa e Momento Linear Sistema de Massa Varia´vel Suma´rio 1 Centro de Massa 2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas 3 Momento Linear 4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas 5 Colisa˜o e Impulso 6 Conservac¸a˜o do Momento Linear 7 Sistema de Massa Varia´vel Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas Momento Linear Momento Linear de um Sistema de Partículas Colisão e Impulso Conservação do Momento Linear Sistema de Massa Variável
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