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1 PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 4º BIMESTRE Willians Freire Pires AULA 13 – EXERCÍCIO 3: Calcule o volume do sólido entre o plano-𝑥𝑦 e a superfície dada por 𝑧 = 𝑥 𝑥2 + 𝑦 e limitada ao retângulo 𝑅 = 0,1 × 0,1 . i) Resolvendo a integral 𝑥 𝑥2 + 𝑦𝑑𝑥 1 0 . Fazendo 𝑢 = 𝑥2 + 𝑦, 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥. Quando 𝑥 = 0 ⇒ 𝑢 = 𝑦 e 𝑥 = 1 ⇒ 𝑢 = 𝑦 + 1. 𝑥 𝑥2 + 𝑦𝑑𝑥 1 0 = 1 2 𝑥2 + 𝑦 2𝑥𝑑𝑥 1 0 = 1 2 𝑢𝑑𝑢 1 0 = 1 2 𝑢 3 2 3 2 𝑢=𝑦 𝑢=𝑦+1 = 1 3 𝑢 3 2 𝑢=𝑦 𝑢=𝑦+1 = 1 3 𝑦 + 1 3 2 − 𝑦 3 2 ii) Resolvendo a integral 𝑦 + 1 3 2 1 0 𝑑𝑦 Fazendo 𝑢 = 𝑦 + 1, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦. Quando 𝑦 = 0 ⇒ 𝑢 = 1 e 𝑦 = 1 ⇒ 𝑢 = 2. 𝑦 + 1 3 2 1 0 𝑑𝑦 = 𝑢 3 2 2 1 𝑑𝑢 = 𝑢 5 2 5 2 1 2 = 2 5 𝑢 5 2 1 2 = 2 5 2 5 2 − 1 5 2 = 2 5 4 2 − 1 iii) Resolvendo a integral 𝑦 3 2 1 0 𝑑𝑦 𝑦 3 2 1 0 𝑑𝑦 = 𝑦 5 2 5 2 0 1 = 2 5 𝑦 5 2 0 1 = 2 5 1 5 2 − 0 5 2 = 2 5 Calculando o volume: 𝑥 𝑥2 + 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 = 𝑥 𝑥2 + 𝑦𝑑𝑥 1 0 𝑑𝑦 1 0 = (𝑖) 1 3 𝑦 + 1 3 2 − 𝑦 3 2 1 0 𝑑𝑦 = 1 3 𝑦 + 1 3 2 1 0 𝑑𝑦 − 1 3 𝑦 3 2 1 0 𝑑𝑦 = 𝑖𝑖 𝑒 𝑖𝑖𝑖 1 3 2 5 4 2 − 1 − 2 5 = 1 3 2 5 4 2 − 1 − 1 = 2 15 4 2 − 2 = 4 15 2 2 − 1 Portanto, o volume do sólido é 4 15 2 2 − 1 . 2 PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 4º BIMESTRE Willians Freire Pires AULA 14 – EXERCÍCIO 3: Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e pelos planos 𝜋1:𝑥 = 0, 𝜋2: 𝑧 = 0, 𝜋3:𝑦 = 𝑧, no primeiro octante. Sobre o plano-xy temos a região D onde x varia de 0 a 1 e 𝑦 varia dependendo de 𝑥 de 0 a 1 − 𝑥2. Como 𝑧 = 𝑦, para determinar o volume devemos calcular a seguinte integral dupla: 𝑦𝑑𝑦 1−𝑥2 0 𝑑𝑥 1 0 = 𝑦2 2 0 1−𝑥2 𝑑𝑥 1 0 = 1 − 𝑥2 2 2 − 02 2 𝑑𝑥 1 0 = 1 − 𝑥2 2 𝑑𝑥 1 0 = 1 2 𝑑𝑥 1 0 − 𝑥2𝑑𝑥 1 0 = 1 2 𝑥 𝑥=0 𝑥=1 − 𝑥3 3 𝑥=0 𝑥=1 = 1 2 1 − 0 − 1 3 − 0 = 1 2 . 1 − 1 3 = 1 2 . 2 3 = 1 3 Portanto o volume do sólido é 1 3 . 1 𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝐷 1 𝑥 𝑦 3 PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 4º BIMESTRE Willians Freire Pires AULA 15 – EXERCÍCIO 3: Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido compreendido acima do cone 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e abaixo da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1. A intersecção entre o cone e a esfera é: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2 + 𝑦2 2 = 1 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 = 1 2 Resolvendo a integral por coordenadas polares 1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝐴 𝑥2+𝑦2≤ 1 2 = 1 − 𝑟2 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 2 2 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 = 𝑑𝜃 2𝜋 0 1 − 𝑟2 − 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 2 0 = 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟 1 − 𝑟2𝑑𝑟 2 2 0 − 𝑟2𝑑𝑟 2 2 0 = 𝜃 𝜃=0 𝜃=2𝜋 − 1 3 1 − 𝑟2 3 2 𝑟=0 𝑟= 2 2 − 𝑟3 3 𝑟=0 𝑟= 2 2 = 2𝜋 − 0 − 1 3 1 − 1 2 3 2 − 1 − 0 3 2 − 2 12 − 0 = 2𝜋 − 1 3 1 2 2 − 1 − 2 12 = − 2𝜋 3 1 2 2 − 1 + 2 4 = − 2𝜋 3 2 4 − 1 + 2 4 = − 2𝜋 3 2 2 − 1 = − 𝜋 3 2 − 2 = 𝜋 3 2 − 2 4 PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 4º BIMESTRE Willians Freire Pires AULA 16 – EXERCÍCIO 3: Uma placa ocupa a parte do disco 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 do primeiro quadrante. Determine o centro de massa, se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo-𝑥, isto é, 𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝐾𝑦, com constante 𝐾. 𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑦 = 𝑘𝑟 sen 𝜃 𝑚 = 𝑘𝑟2 sen 𝜃 𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 𝑘 sen 𝜃 𝑟3 3 𝑟=0 𝑟=1 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 1 3 𝑘 sen 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 1 3 𝑘 − cos 𝜃 𝜃=0 𝜃= 𝜋 2 = 1 3 𝑘 −0 − −1 = 𝑘 3 𝑀𝑦 = 𝑘𝑟 3 sen 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 𝑘 sen 𝜃 cos 𝜃 𝑟4 4 𝑟=0 𝑟=1 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 1 4 𝑘 sen 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 1 4 𝑘 1 2 sen 2𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 1 8 𝑘 − 1 2 cos 2𝜃 𝜃=0 𝜃= 𝜋 2 = 𝑘 8 𝑀𝑥 = 𝑘𝑟 3 sen2 𝜃 𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 𝑘 sen2 𝜃 𝑟4 4 𝑟=0 𝑟=1 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 1 4 𝑘 sen2 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 1 4 𝑘 𝜃 2 + sen 2𝜃 4 𝜃=0 𝜃= 𝜋 2 = 1 4 𝑘 𝜋 4 = 𝑘𝜋 16 𝑥 = 𝑀𝑦 𝑚 = 𝑘 8 𝑘 3 = 3 8 𝑦 = 𝑀𝑥 𝑚 = 𝑘𝜋 16 𝑘 3 = 3𝜋 16 Portanto, o centro de massa é 3 8 , 3𝜋 16 .
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