UNIVESP - Portfólio - Cálculo II - Semana 4

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PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
 
AULA 13 – EXERCÍCIO 3: Calcule o volume do sólido entre o plano-𝑥𝑦 e a 
superfície dada por 𝑧 = 𝑥 𝑥2 + 𝑦 e limitada ao retângulo 𝑅 = 0,1 × 0,1 . 
i) Resolvendo a integral 𝑥 𝑥2 + 𝑦𝑑𝑥
1
0
. 
Fazendo 𝑢 = 𝑥2 + 𝑦, 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥. Quando 𝑥 = 0 ⇒ 𝑢 = 𝑦 e 𝑥 = 1 ⇒ 𝑢 = 𝑦 + 1. 
 𝑥 𝑥2 + 𝑦𝑑𝑥
1
0
=
1
2
 𝑥2 + 𝑦 2𝑥𝑑𝑥 
1
0
=
1
2
 𝑢𝑑𝑢
1
0
 
=
1
2
 
𝑢
3
2
3
2
 
𝑢=𝑦
𝑢=𝑦+1
=
1
3
 𝑢
3
2 
𝑢=𝑦
𝑢=𝑦+1
=
1
3
 𝑦 + 1 
3
2 − 𝑦
3
2 
 
ii) Resolvendo a integral 𝑦 + 1 
3
2
1
0
𝑑𝑦 
Fazendo 𝑢 = 𝑦 + 1, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦. Quando 𝑦 = 0 ⇒ 𝑢 = 1 e 𝑦 = 1 ⇒ 𝑢 = 2. 
 𝑦 + 1 
3
2
1
0
𝑑𝑦 = 𝑢
3
2
2
1
𝑑𝑢 = 
𝑢
5
2
5
2
 
1
2
=
2
5
 𝑢
5
2 
1
2
=
2
5
 2
5
2 − 1
5
2 =
2
5
 4 2 − 1 
 
iii) Resolvendo a integral 𝑦
3
2
1
0
𝑑𝑦 
 𝑦
3
2
1
0
𝑑𝑦 = 
𝑦
5
2
5
2
 
0
1
=
2
5
 𝑦
5
2 
0
1
=
2
5
 1
5
2 − 0
5
2 =
2
5
 
 
Calculando o volume: 
 𝑥 𝑥2 + 𝑦 𝑑𝐴
𝑅
= 𝑥 𝑥2 + 𝑦𝑑𝑥
1
0
𝑑𝑦
1
0
= 
(𝑖) 1
3
 𝑦 + 1 
3
2 − 𝑦
3
2 
1
0
𝑑𝑦 
=
1
3
 𝑦 + 1 
3
2
1
0
𝑑𝑦 −
1
3
 𝑦
3
2
1
0
𝑑𝑦 = 
 𝑖𝑖 𝑒 𝑖𝑖𝑖 1
3
 
2
5
 4 2 − 1 −
2
5
 
=
1
3
 
2
5
 4 2 − 1 − 1 =
2
15
 4 2 − 2 
=
4
15
 2 2 − 1 
Portanto, o volume do sólido é 
4
15
 2 2 − 1 . 
 
 
 
 
2 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
 
AULA 14 – EXERCÍCIO 3: Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 e pelos planos 𝜋1:𝑥 = 0, 𝜋2: 𝑧 = 0, 𝜋3:𝑦 = 𝑧, no primeiro octante. 
 
Sobre o plano-xy temos a região D onde x varia de 0 a 1 
e 𝑦 varia dependendo de 𝑥 de 0 a 1 − 𝑥2. 
Como 𝑧 = 𝑦, para determinar o volume devemos calcular 
a seguinte integral dupla: 
 
 
 
 𝑦𝑑𝑦
 1−𝑥2
0
𝑑𝑥
1
0
= 
𝑦2
2
 
0
 1−𝑥2
𝑑𝑥
1
0
 
= 
 1 − 𝑥2 
2
2
−
02
2
 𝑑𝑥
1
0
 
= 
1 − 𝑥2
2
𝑑𝑥
1
0
 
=
1
2
 𝑑𝑥
1
0
− 𝑥2𝑑𝑥
1
0
 
=
1
2
 𝑥 𝑥=0
𝑥=1 − 
𝑥3
3
 
𝑥=0
𝑥=1
 
=
1
2
 1 − 0 − 
1
3
− 0 
=
1
2
. 1 −
1
3
 
=
1
2
.
2
3
=
1
3
 
Portanto o volume do sólido é 
1
3
. 
 
 
 
 
1 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 
𝐷 
1 
𝑥 
𝑦 
 
 
 
 
3 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
 
AULA 15 – EXERCÍCIO 3: Utilize coordenadas polares para determinar o 
volume do sólido compreendido acima do cone 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e abaixo da 
esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1. 
A intersecção entre o cone e a esfera é: 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2 + 𝑦2 
2
= 1 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 =
1
2
 
Resolvendo a integral por coordenadas polares 
 1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝐴
𝑥2+𝑦2≤
1
2
 
= 1 − 𝑟2 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟
 2
2
0
𝑑𝜃
2𝜋
0
 
= 𝑑𝜃
2𝜋
0
 1 − 𝑟2 − 𝑟 𝑟𝑑𝑟
 2
2
0
 
= 𝑑𝜃
2𝜋
0
 
 
 
 
 
 𝑟 1 − 𝑟2𝑑𝑟
 2
2
0
− 𝑟2𝑑𝑟
 2
2
0
 
 
 
 
 
 
= 𝜃 𝜃=0
𝜃=2𝜋 −
1
3
 1 − 𝑟2 
3
2 
𝑟=0
𝑟= 
2
2
− 
𝑟3
3
 
𝑟=0
𝑟= 
2
2
 
= 2𝜋 − 0 −
1
3
 1 −
1
2
 
3
2
− 1 − 0 
3
2 − 
 2
12
− 0 
= 2𝜋 −
1
3
 
1
2 2
− 1 −
 2
12
 = −
2𝜋
3
 
1
2 2
− 1 +
 2
4
 
= −
2𝜋
3
 
 2
4
− 1 +
 2
4
 = −
2𝜋
3
 
 2
2
− 1 = −
𝜋
3
 2 − 2 =
𝜋
3
 2 − 2 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
AULA 16 – EXERCÍCIO 3: Uma placa ocupa a parte do disco 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 do 
primeiro quadrante. Determine o centro de massa, se a densidade em qualquer 
ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo-𝑥, isto é, 𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝐾𝑦, com 
constante 𝐾. 
𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑦 = 𝑘𝑟 sen 𝜃 
 
𝑚 = 𝑘𝑟2 sen 𝜃 𝑑𝑟
1
0
𝑑𝜃
𝜋
2
0
= 𝑘 sen 𝜃 
𝑟3
3
 
𝑟=0
𝑟=1
𝑑𝜃
𝜋
2
0
= 
1
3
𝑘 sen 𝜃 𝑑𝜃
𝜋
2
0
 
=
1
3
𝑘 − cos 𝜃 𝜃=0
𝜃=
𝜋
2 =
1
3
𝑘 −0 − −1 =
𝑘
3
 
 
𝑀𝑦 = 𝑘𝑟
3 sen 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝑟
1
0
𝑑𝜃
𝜋
2
0
= 𝑘 sen 𝜃 cos 𝜃 
𝑟4
4
 
𝑟=0
𝑟=1
𝑑𝜃
𝜋
2
0
= 
1
4
𝑘 sen 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃
𝜋
2
0
 
=
1
4
𝑘 
1
2
sen 2𝜃 𝑑𝜃
𝜋
2
0
=
1
8
𝑘 −
1
2
cos 2𝜃 
𝜃=0
𝜃=
𝜋
2
=
𝑘
8
 
 
𝑀𝑥 = 𝑘𝑟
3 sen2 𝜃 𝑑𝑟
1
0
𝑑𝜃
𝜋
2
0
= 𝑘 sen2 𝜃 
𝑟4
4
 
𝑟=0
𝑟=1
𝑑𝜃
𝜋
2
0
= 
1
4
𝑘 sen2 𝜃 𝑑𝜃
𝜋
2
0
 
=
1
4
𝑘 
𝜃
2
+
sen 2𝜃
4
 
𝜃=0
𝜃=
𝜋
2
=
1
4
𝑘
𝜋
4
=
𝑘𝜋
16
 
 
𝑥 =
𝑀𝑦
𝑚
=
𝑘
8
𝑘
3
=
3
8
 
 
𝑦 =
𝑀𝑥
𝑚
=
𝑘𝜋
16
𝑘
3
=
3𝜋
16
 
 
Portanto, o centro de massa é 
3
8
,
3𝜋
16
 .