Bases Matemáticas - Livro
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Bases Matemáticas - Livro


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outras palavras, podemos aproximar o valor real de r com o erro que quisermos, i.e.
um erro ta\u2dco pequeno quanto desejarmos.
Nesse sentido, pode-se ler a representac¸a\u2dco decimal como um \u201dprocesso de aproximac¸a\u2dco\u201d
de nu´mero real r. Como veremos no momento oportuno, essa interpretac¸a\u2dco na\u2dco esta´
longe daquela formalmente mais correta.
Outra dificuldade que se encontra quando lidamos com representac¸a\u2dco decimal de um
nu´mero real esta´ relacionada com a seguinte questa\u2dco: os nu´meros
1 e 0, 999999999999....
8 Quando falamos em representac¸a\u2dco decimal, as operac¸o\u2dces de soma e multiplicac¸a\u2dco (logo, de subtrac¸a\u2dco e
quociente) seguem os algoritmos cla´ssicos para operar com nu´meros inteiros. Similarmente, a relac¸a\u2dco de
ordem tambe´m deriva da ordem natural entre inteiros.
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sa\u2dco diferentes?
Por um lado, na\u2dco ha´ du´vidas quanto ao fato de que as representac¸o\u2dces decimais acima
sa\u2dco diferentes. Mas isso pode levar o leitor incauto a afirmar que os nu´meros que tais
expresso\u2dces representam tambe´m sa\u2dco diferentes. Sera´ que sa\u2dco mesmo? Usando mais uma
vez uma linguagem informal (deixando a resposta formal para quando tratarmos das
se´ries nume´ricas), podemos comparar o nu´mero 1 com os nu´meros
0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 . . .
Esses u´ltimos, no sentido que vimos acima, representam aproximac¸o\u2dces cada vez mel-
hores do nu´mero 0, 999..... Assim, se observarmos as diferenc¸as entre 1 e esses valores
truncados de 0, 999..., podemos chegar a` resposta correta da questa\u2dco acima. Pois bem,
tais diferenc¸as sa\u2dco
0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 . . .
Conforme nos aproximamos do valor real de 0, 999..., a diferenc¸a com o nu´mero 1 vai se
aproximando de zero. Assim, somos obrigados a concluir que tais representac¸o\u2dces deci-
mais, apesar de diferentes, referem-se, na verdade, ao mesmo nu´mero real (i.e. o nu´mero
1)9.
Representac¸a\u2dco geome´trica de R: a reta real
A representac¸a\u2dco geome´trica de R consiste na identificac¸a\u2dco da reta geome´trica com o
conjunto dos nu´meros reais. Em uma reta r tomemos dois pontos distintos O e A (o
segmento OA sera´ usado como unidade de medida). Por simplicidade, diremos que um
ponto P da reta r (distinto de O) esta´ a` direita de O, se P e A esta\u2dco do mesmo lado relati-
vamente ao ponto O. Caso contra´rio, diremos que P esta´ a` esquerda de O.
O ponto O e´ identificado ao nu´mero real 0. Um ponto P a` direita de O e´ identificado com
o nu´mero real positivo x tal que
x =
OP
OA
Um ponto P a` esquerda de O e´ identificado com o nu´mero real negativo x tal que
x = \u2212
OP
OA
9 Uma outra maneira de perceber isso, um tanto inge\u2c6nua mas funcional, e´ a seguinte: se tais nu´meros fos-
sem diferentes, seria poss\u131´vel encontrarmos um outro nu´mero real que estivesse entre eles. Voce\u2c6 consegue
escrever na forma decimal tal nu´mero?
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Desse modo, todo ponto da reta geome´trica r esta´ associado a um u´nico nu´mero real e
vice-versa (omitiremos aqui a demonstrac¸a\u2dco dessa afirmac¸a\u2dco). Essa identificac¸a\u2dco, pore´m,
na\u2dco esgota a representac¸a\u2dco de R. Como ja´ observamos acima, e´ necessa´rio definir operac¸o\u2dces
de soma e multiplicac¸a\u2dco na reta geome´trica r, assim como uma relac¸a\u2dco de ordem total,
de modo a satisfazer os axiomas dos nu´meros reais. A relac¸a\u2dco de ordem e´ bastante nat-
ural (esta´, na verdade, embutida nas expresso\u2dces \u201da` direita de O\u201d e \u201da` esquerda de O\u201d),
assim como a operac¸a\u2dco de soma (que se traduz, essencialmente, em somar comprimentos
de segmentos). Na\u2dco nos parece necessa´rio entrar em maiores detalhes nesses casos. Ja´ a
operac¸a\u2dco de multiplicac¸a\u2dco na\u2dco e´ ta\u2dco natural como os demais elementos da representac¸a\u2dco.
Como efetuar a multiplicac¸a\u2dco na reta geome´trica?
A operac¸a\u2dco de multiplicac¸a\u2dco e´ baseada no cla´ssico Teorema de Tales. Sejam dados dois
nu´meros reais x e y (podemos supor que sejam ambos positivos, e´ fa´cil adaptar a
construc¸a\u2dco abaixo aos outros casos). Na reta r, marque o ponto X, correspondente ao
nu´mero real x. Para auxiliar a construc¸a\u2dco, tome uma reta s que intercepte a reta r no
ponto O. Nesta reta, marque o ponto A, correspondente a` mesma \u201dunidade de medida\u201d
usada para a reta r, e marque tambe´m o ponto Y, correspondente ao nu´mero real y. Trace
pelo ponto Y a reta paralela ao segmento AX e obtenha o ponto P de intersecc¸a\u2dco dessa
reta com a reta r. O Teorema de Tales garante que o ponto P corresponde ao nu´mero real
xy. A figura abaixo ilustra essa construc¸a\u2dco.
b
b
b
b
r
s
A
X
Y
P
3.3.4 Valor absoluto de um nu´mero real
E´ comum identificar o mo´dulo de um nu´mero real como sendo um \u201dnu´mero sem sinal\u201d.
Essa caracterizac¸a\u2dco, ale´m de ser imprecisa, e´ tambe´m pouco u´til em problemas que en-
volvem direta ou indiretamente o conceito de mo´dulo. De modo mais apropriado, temos
a seguinte definic¸a\u2dco:
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Definic¸a\u2dco 3.10 O valor absoluto de um nu´mero real x, tambe´m chamado de mo´dulo de
x, e´ denotado por |x| e dado por
|x| :=
{
x se x > 0
\u2212x se x < 0
Uma primeira leitura da definic¸a\u2dco acima corrobora a interpretac¸a\u2dco inge\u2c6nua do mo´dulo
como sendo um \u201dnu´mero sem sinal\u201d. Afinal, tem-se, por exemplo: |2| = 2 e | \u2212 2| =
\u2212(\u22122) = 2. Enquanto lidamos com quantidades conhecidas, como no exemplo anterior,
na\u2dco ha´ problema nenhum em adotar essa visa\u2dco inge\u2c6nua. Mas quando ha´ quantidades
inco´gnitas ou varia´veis envolvidas, essa concepc¸a\u2dco e´ insuficiente e pode ate´ levar a come-
ter deslizes do tipo \u201do mo´dulo de x e \u2212x e´ sempre x\u201d.
Uma leitura mais adequada da definic¸a\u2dco acima leva a ter em mente que ela abre, em
geral, dois casos a serem analisados, dependendo do sinal da quantidade encerrada den-
tro do mo´dulo. Vejamos como se da´ essa leitura atrave´s de alguns exemplos.
Problema: Determine os nu´meros reais que satisfazem a igualdade abaixo
|x+ 1| = 3
Soluc¸a\u2dco: Note que na\u2dco se pode determinar a priori se o nu´mero x+ 1 e´ ou na\u2dco negativo.
Isso significa que devemos considerar ambas as possibilidades. Seguindo a definic¸a\u2dco
acima, consideremos, separadamente, os casos: (i) x+ 1 > 0; (ii) x+ 1 < 0.
Caso (i): suponha x+ 1 > 0. Enta\u2dco |x+ 1| = x+ 1. Logo, a equac¸a\u2dco que queremos estudar
se torna
x+ 1 = 3
Note, pore´m, que agora buscamos uma soluc¸a\u2dco para essa equac¸a\u2dco somente dentre os
nu´meros reais que satisfazem a condic¸a\u2dco x+ 1 > 0. E encontramos a soluc¸a\u2dco x = 2.
Caso (ii): suponha agora x+ 1 < 0. Nesse caso, tem-se |x+ 1| = \u2212(x+ 1) = \u2212x\u2212 1. Assim,
a equac¸a\u2dco original torna-se
\u2212x\u2212 1 = 3
A soluc¸a\u2dco para essa equac¸a\u2dco (procurada no conjunto dos nu´meros reais que satisfazem
a condic¸a\u2dco x+ 1 < 0) e´ x = \u22124.
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Dos dois casos analisados, obtemos o conjunto-soluc¸a\u2dco S = {\u22124, 2}. \ufffd
Problema: Determine os nu´meros reais que satisfazem a desigualdade
|x+ 2| 6 2x+ 3
Soluc¸a\u2dco: Mais uma vez, seguindo a definic¸a\u2dco de valor absoluto, consideraremos dois
casos, dependendo do sinal de x+ 2.
Caso (i): suponha x+ 2 > 0. Tem-se, enta\u2dco, |x+ 2| = x+ 2 e a desigualdade assume a
forma
x+ 2 6 2x+ 3
As soluc¸o\u2dces que nos interessam, portanto, devem satisfazer tanto a condic¸a\u2dco x+ 2 > 0
quanto a desigualdade x+ 2 6 2x+ 3. Encontramos o conjunto-soluc¸a\u2dco {x \u2208 R | x > \u22121}.
Caso (ii): suponha agora x+ 2 < 0. Enta\u2dco |x+ 2| = \u2212x\u2212 2 e a desigualdade passa a ser
\u2212x\u2212 2 6 2x+ 3
Para que um nu´mero x satisfac¸a essa u´ltima desigualdade, deveria valer x > \u22125/3. En-
tretanto, para tal