Bases Matemáticas - Livro
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Bases Matemáticas - Livro


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com mais detalhes e cuidados numa sec¸a\u2dco poste-
rior, mas antes disso apresentaremos alguns exemplos de seque\u2c6ncias especificadas dessa
forma.
Uma seque\u2c6ncia pode ser definida atrave´s das seguintes regras:
a1 =
\u221a
2 e an =
\u221a
2an\u22121
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n an
1 1.41421
2 1.68179
3 1.83401
4 1.91521
5 1.95714
Para ilustrar como que as regras acima especificam uma seque\u2c6ncia vamos calcular os
primeiros termos dessa seque\u2c6ncia. Como o primeiro termo ja´ nos e´ fornecido nas regras
acima, calculemos o segundo termo dessa seque\u2c6ncia. Para esse fim e´ suficiente notarmos
que: a2 =
\u221a
2a1 =
\u221a
2
\u221a
2. Para calcularmos o terceiro termo, notemos que a3 =
\u221a
2a2
e assim a3 =
\u221a
2
\u221a
2
\u221a
2, de modo geral o termo an tera´ a forma:
an =
\u221a
2 · · ·
\u221a
2
\u221a
2\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
n ra\u131´zes
.
Observe que a definic¸a\u2dco da seque\u2c6ncia anterior, consta de duas partes, a primeira define
o primeiro termo e a segunda que define o termo an em func¸a\u2dco do termo an\u22121. Essa e´ a
estrutura geral de uma definic¸a\u2dco recursiva: definimos alguns casos iniciais, e definimos
enta\u2dco os seguintes como func¸a\u2dco destes. Claramente, esse procedimento se assemelha a
estrutura da demonstrac¸a\u2dco por induc¸a\u2dco.
A tabela abaixo conte´m o valor aproximado dos primeiros termos dessa seque\u2c6ncia.
E o gra´fico dessa seque\u2c6ncia constru\u131´do utilizando essa tabela e´ apresentado abaixo.
Veja que o gra´fico sugere que essa seque\u2c6ncia e´ crescente e limitada superiormente por 2.
E que conforme os valores de n crescem o termo an se aproxima do valor 2.
0.5
1.0
1.5
2.0
1 2 3 4 5 6 7\u22121
b
a1
b
a2
b
a3 b
a4 b a5 b a6 b
a7
Figura 8.4: Gra´fico da seque\u2c6ncia definida recursivamente: a1 =
\u221a
2 e an =
\u221a
2
\u221a
an\u22121
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Outra seque\u2c6ncia que pode ser definida recursivamente e´ a seque\u2c6ncia de Fibonacci,
definida pelas regras recursivas:
f1 = 1 f2 = 1 fn+1 = fn + fn\u22121
Claramente, os primeiros termos dessa seque\u2c6ncia sa\u2dco:
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, . . . )
A seque\u2c6ncia anterior foi descrita primeiramente pelo matema´tico italiano Fibonacci
(1175-1250), como soluc¸a\u2dco ao seguinte problema sobre o crescimento de uma populac¸a\u2dco
de coelhos:
\u201cUm homem tem um casal de coelhos. Desejamos saber quantos casais de
coelhos podem ser gerados deste par, se a cada me\u2c6s um casal fe´rtil gera um
novo casal e cada casal novo se torna fe´rtil quando completa dois meses de
vida.\u201d
A seque\u2c6ncia de Fibonacci (fn) descreve o nu´mero de casais de coelhos apo´s n meses se
eles se multiplicarem como descrito.
10
20
30
40
50
2 4 6 8 10
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
Figura 8.5: Gra´fico da seque\u2c6ncia de Fibonacci
Por u´ltimo considere a seque\u2c6ncia (sn) especificada recursivamente como
s1 = 1 e sn = sn\u22121 +
1
2n\u22121
.
Os primeiros termos dessa seque\u2c6ncia sa\u2dco:
s1 = 1 s2 = 1+ 1/2 = 3/2, s3 = 1+ 1/2+ 1/4 = 7/4
O termo geral tera´ enta\u2dco a forma:
sn = 1+ 1/2+ 1/4+ · · ·+ 1/2n\u22121 = 1\u2212
1/2n
1\u2212 1/2
= 2 (1\u2212 1/2n) .
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Note que o termo geral da seque\u2c6ncia anterior, sn, e´ a soma dos n primeiros termos da
seque\u2c6ncia 1/2n\u22121. Uma seque\u2c6ncia dessa forma e´ dita se´rie.
Exerc\u131´cios.
Ex. 8.1 \u2014 Fac¸a os gra´ficos das seguintes seque\u2c6ncias:
a) an = n
1
n
b) an =
1
1+
\u221a
n
c) an =
n4
n!
d) an =
sen(n)\u221a
n
e) an =
n sen(n)
n2+1
f) an =
1
1 +
1
2 + · · ·+ 1n
g) an =
1
12
+ 1
22
+ · · ·+ 1
n2
h) A seque\u2c6ncia definida recursivamente por a1 =
\u221a
2 e an =
\u221a
2an\u22121
i) A seque\u2c6ncia definida recursivamente por: an = n
an\u22121 e a1 = 1
j) A seque\u2c6ncia definida recursivamente por: an =
1
1+an\u22121
e a1 = 1
Ex. 8.2 \u2014 Fac¸a os gra´ficos das seguintes seque\u2c6ncias utilizando-se do fato que elas prove\u2c6m
de restric¸o\u2dces de func¸o\u2dces reais:
a) an = n
5
b) an = (n+ 2)
5
c) an =
1\u221a
n+2
d) an = |sen(x) + 1|+ 2
e) an = 1+
1
(n+1)2
f) an =
3 cos(3n)
2
g) an =
3 cos(3n)
n
8.1.1 Seque\u2c6ncias Crescentes e Decrescentes
De modo ana´logo a`s func¸o\u2dces reais, as seque\u2c6ncias podem ser classificadas em relac¸a\u2dco ao
seu crescimento e/ou decrescimento, ou seja, o estudo do (de)crescimento dos termos
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da seque\u2c6ncia em relac¸a\u2dco a sua posic¸a\u2dco na seque\u2c6ncia. Assim, dada uma seque\u2c6ncia (an)
dizemos que:
\u2022 (an) e´ crescente se, para todo n,m \u2208 N\u2217 com n < m, resulta an < am.
\u2022 (an) e´ na\u2dco-decrescente para todo n,m \u2208 N\u2217 com n < m, resulta an 6 am.
\u2022 (an) e´ decrescente para todo n,m \u2208 N\u2217 com n < m, resulta an > am.
\u2022 (an) e´ na\u2dco-crescente para todo n,m \u2208 N\u2217 com n < m, resulta an > am.
Em qualquer um dos casos acima, dizemos que a func¸a\u2dco e´ mono´tona1. Em particular,
quando a func¸a\u2dco e´ crescente ou decrescente, dizemos que e´ estritamente mono´tona.
As definic¸o\u2dces anteriores sa\u2dco as ana´logas diretas das definic¸o\u2dces reais. No caso de seque\u2c6ncia
elas admitem as seguintes simplificac¸o\u2dces u´teis:
Definic¸a\u2dco 8.4
\u2022 (an) e´ crescente se, para todo n \u2208 N\u2217 temos que an < an+1.
\u2022 (an) e´ na\u2dco-decrescente se para todo n \u2208 N\u2217 temos que an 6 an+1.
\u2022 (an) e´ decrescente se para todo n \u2208 N\u2217 temos que an > an+1).
\u2022 (an) e´ na\u2dco-crescente se para todo n \u2208 N\u2217 temos que an > an+1.
Exerc\u131´cio Resolvido 8.5 A seque\u2c6ncia (an) =
1
n+ 1
e´ decrescente pois para todo n \u2208 N\u2217
temos que
1
n
>
1
n+ 1
.
Soluc¸a\u2dco: Vamos provar que a seque\u2c6ncia e´ decrescente resolvendo a desigualdade na
varia´vel n que segue:
1
n
>
1
n+ 1
Essa desigualdade e´ equivalente a` n+ 1 > n, que e´ equivalente a` 1 > 0. O conjunto
soluc¸a\u2dco da u´ltima desigualdade e´ N\u2217, ou seja para todo n \u2208 N\u2217 vale a desigualdade
1
n
>
1
n+ 1
1 E´ tambe´m usual na literatura o termo monoto\u2c6nica.
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e assim a seque\u2c6ncia e´ decrescente. \ufffd
Exerc\u131´cio Resolvido 8.6 A seque\u2c6ncia
n
n2 + 1
e´ na\u2dco-crescente.
Soluc¸a\u2dco: Demonstraremos esse fato resolvendo a desigualdade:
n
n2 + 1
>
n+ 1
(n+ 1)2 + 1
A desigualdade anterior claramente e´ equivalente a` :
(n+ 1)(n2 + 1) < n((n+ 1)2 + 1)
\u21d4 n3 +n2 +n+ 1 < n3 + 2n2 + 2n
\u21d4 1 < n2 + n
Agora claramente se n > 1 enta\u2dco n2 + n > 1, ou seja, o conjunto soluc¸a\u2dco e´ os naturais e
a seque\u2c6ncia e´ decrescente.
(Se o leitor julgar necessa´rio, ele pode provar que n2 +n > 1, para todo n > 1 atrave´s
de uma induc¸a\u2dco sobre n.) \ufffd
Exerc\u131´cio Resolvido 8.7 A seque\u2c6ncia
(
1+ 1n
)n
e´ crescente.
Soluc¸a\u2dco: Vamos demonstrar que essa seque\u2c6ncia e´ estritamente crescente, mostrando que
o quociente de dois termos consecutivos e´ maior que 1. Dividindo dois termos consecu-
tivos da seque\u2c6ncia temos:(
1+
1
n
)n
(
1+
1
n\u2212 1
)n\u22121 =
(
1+
1
n
)n\u22121(
1+
1
n
)
(
1+
1
n\u2212 1
)n\u22121
=
(
1+ 1n
1+ 1n\u22121
)n\u22121(
1+
1
n
)
=
(
1\u2212
1
n2
)n\u22121(
1+
1
n
)
(8.1)
Para mostrar que
(
1\u2212
1
n2
)n\u22121(
1+
1
n
)
e´ maior que 1, vamos usar a seguinte de-
sigualdade: (1+ x)n > 1+ nx para todo x (vide exerc\u131´cio 8.6). Usando essa estimativa
temos que:
(
1\u2212
1
n2
)n\u22121
> 1\u2212
n\u2212 1
n2
.
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E assim por 8.1 temos
(
1+
1
n
)n
(
1+
1
n\u2212 1
)n\u22121 =
(
1\u2212
1
n2