Bases Matemáticas - Livro
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Bases Matemáticas - Livro


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)n\u22121(
1+
1
n
)
>
(
1\u2212
n\u2212 1
n2
)(
1+
1
n
)
= 1+
1
n3
> 1
Logo a seque\u2c6ncia e´ crescente. \ufffd
8.1.2 Seque\u2c6ncias Limitadas
Para algumas seque\u2c6ncias o conjunto imagem Im(an) \u2282 R e´ um conjunto limitado supe-
riormente ou inferiormente, classificaremos as seque\u2c6ncias em relac¸a\u2dco as propriedades de
limitac¸a\u2dco da sua imagem como:
Definic¸a\u2dco 8.8
\u2022 Uma seque\u2c6ncia (an) e´ dita limitada superiormente se o conjunto {an : n \u2208 N\u2217} for
limitado superiormente como subconjunto dos nu´meros reais, i.e, se existir M tal
que an 6M para todo n \u2208 N\u2217.
\u2022 Uma seque\u2c6ncia (an) e´ dita limitada inferiormente se o conjunto {an : n \u2208 N\u2217} for
limitado inferiormente como subconjunto dos nu´meros reais, i.e, se existir M tal
que an >M para todo n \u2208 N\u2217.
\u2022 Uma seque\u2c6ncia (an) e´ dita limitada se o conjunto {an : n \u2208 N\u2217} for limitado
superiormente e inferiormente. Ou de modo equivalente se existirM tal que |an| 6
M para todo n \u2208 N\u2217.
\u2022 Uma seque\u2c6ncia que na\u2dco e´ limitada e´ dita ilimitada
Exerc\u131´cio Resolvido 8.9 A seque\u2c6ncia (an) =
1
n+1
e´ limitada pois
\u2223\u2223\u2223\u2223 1n+ 1
\u2223\u2223\u2223\u2223 < 2 para todo
n \u2208 N\u2217.
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Soluc¸a\u2dco: Vamos provar que
\u2223\u2223\u2223\u2223 1n+ 1
\u2223\u2223\u2223\u2223 < 2 resolvendo essa desigualdade
\u2223\u2223\u2223\u2223 1n+ 1
\u2223\u2223\u2223\u2223 = 1n+ 1 < 2
\u21d4 1 < 2n+ 2\u21d4 \u22121
2
< n
O conjunto soluc¸a\u2dco da desigualdade anterior e´ N\u2217, ou seja, mostramos que para todo
n: \u2223\u2223\u2223\u2223 1n+ 1
\u2223\u2223\u2223\u2223 < 2
e deste modo a seque\u2c6ncia e´ limitada. \ufffd
Exemplos 8.10
1. Do mesmo modo que o exemplo anterior pode-se mostrar que a seque\u2c6ncia an =
\u22121/n2 e´ limitada superiormente pelo 0, e limitada inferiormente por 1, sendo assim
limitada.
2. A seque\u2c6ncia (bn) = n como veremos abaixo na\u2dco e´ limitada superiormente, mas e´
limitada inferiormente. Uma cota inferior nesse caso e´ 0.
Como observamos no exemplo anterior seque\u2c6ncia an = n e´ na\u2dco limitada, ou seja,o
conjunto dos nu´meros naturais na\u2dco e´ limitado superiormente. Esse fato de extrema im-
porta\u2c6ncia e´ conhecido como propriedade Arquimediana dos nu´meros reais.
Propriedade Arquimediana dos Nu´meros Reais
Para todo nu´mero real r existe um nu´mero natural n tal que n > r.
Demonstrac¸a\u2dco: Suponha que exista r tal que para todo n, n < r. Isto implicaria que
os naturais sa\u2dco um conjunto limitado e logo teriam um supremo, digamos s. O nu´mero
s\u2212 1 sendo menor que s na\u2dco e´ cota superior para N\u2217, ou seja existe um natural n0 tal
que n0 > s\u2212 1, mas isto implicaria que n0 + 1 > s, o que contradiz o fato de s ser cota
superior para N\u2217. \ufffd
Uma conseque\u2c6ncia desse teorema e´ que dados x,y > 0 dois nu´meros reais arbitra´rios
enta\u2dco existe um natural tal que nx > y. Esse pode ser provado se tomarmos r = y/x no
teorema anterior. A importa\u2c6ncia geome´trica desse fato e´ que qualquer segmento real de
tamanho y pode ser coberta com um nu´mero finito de segmentos de tamanho x.
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Exerc\u131´cio Resolvido 8.11 A seque\u2c6ncia en =
(
1+ 1n
)n
e´ limitada superiormente.
Soluc¸a\u2dco: Primeiro, usando a expansa\u2dco binomial temos:(
1+
1
n
)n
= 1+
n
1
1
n
+
n(n\u2212 1
2!
(
1
n
)2
+
n(n\u2212 1)(n\u2212 2)
3!
(
1
n
)3
+ · · ·+ n!
n!
(
1
n
)n
= 1+ 1+
1
2!
n(n\u2212 1)
n ·n +
1
3!
n(n\u2212 1)(n\u2212 2)
n ·n ·n +
1
n!
n(n\u2212 1)(n\u2212 2) · · ·n
n ·n · · ·n
= 1+ 1+ 12!
(
1\u2212 1n
)
+ 13!
(
1\u2212 1n
) (
1\u2212 2n
)
+ 1n!
(
1\u2212 1n
) (
1\u2212 2n
) · · · (1\u2212 n\u22121n )
Utilizando que 0 <
(
1\u2212
m
n
)
< 1 sempre que m < n, podemos majorar a soma anterior,
obtendo:(
1+
1
n
)n
6 1+ 1+
1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
n!
Agora, como k! > 2k\u22121 para k > 2, temos:
1+ 1+
1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
n!
6 1+
(
1+
1
2
+
1
4
+ · · ·+ 1
2n\u22121
)
Finalmente, como a expressa\u2dco em parenteses e´ a soma de progressa\u2dco geome´trica de
termo inicial 1 e raza\u2dco 12 , temos que
(
1+
1
2
+
1
4
+ · · ·+ 1
2n\u22121
)
=
1\u2212 1
2n
1\u2212 12
= 2
(
1\u2212
1
2n
)
< 2
para todo n e assim:
(
1+
1
n
)2
6 1+
(
1+
1
2
+
1
4
+ · · ·+ 1
2n\u22121
)
< 1+ 2 = 3
Por outro lado, como essa seque\u2c6ncia e´ crescente todos os seus termos sa\u2dco maiores que
o primeiro termo e1 = 2, ou seja :
2 <
(
1+
1
n
)2
< 3
e logo a seque\u2c6ncia e´ limitada. \ufffd
Um modo fa´cil de mostrar que uma seque\u2c6ncia e´ limitada e compara´-la com outra que ja´
conhecemos. O seguinte teorema nos fornece um modo de realizar essa comparac¸a\u2dco.
Teorema 8.12 Sejam (an), (bn) duas seque\u2c6ncias satisfazendo an 6 bn para todo n > n0.
Enta\u2dco:
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\u2022 se a seque\u2c6ncia an e´ limitada inferiormente, a seque\u2c6ncia bn tambe´m e´ limitada inferiormente.
\u2022 se a seque\u2c6ncia bn e´ limitada superiormente, a seque\u2c6ncia an tambe´m e´ limitada superior-
mente.
Exemplos 8.13
\u2022 A seque\u2c6ncia an = 1/2n e´ limitada superiormente pois 1/2n 6 1/n para todo n \u2208 N.
Essa seque\u2c6ncia tambe´m e´ limitada inferiormente pois 1/2n > 0 para todo n \u2208 N.
\u2022 A seque\u2c6ncia bn = 1/n! e´ limitada superiormente pois 1/n! 6 1/n para todo n \u2208 N.
\u2022 A seque\u2c6ncia cn = (\u22121)n/n3 e´ uma seque\u2c6ncia limitada pois \u22121/n < (\u22121)n/n3 6 1/n
para todo n \u2208 N
Exerc\u131´cios.
Ex. 8.3 \u2014 Liste os 6 primeiros termos das seque\u2c6ncias:
a) an = 1\u2212
1
3+ n
b) an = (1)
n \u2212
1
3n
c) A seque\u2c6ncia definida recursivamente por: an = n · an\u22121 e a1 = 1
d) A seque\u2c6ncia definida recursivamente por: an = n
an\u22121 e a1 = 1
e) A seque\u2c6ncia definida recursivamente por: an =
1
1+an\u22121
e a1 = 1
f) an = 2
sen(n\u3c02 )
Ex. 8.4 \u2014 Para cada uma das seguintes seque\u2c6ncias diga se ela e´ crescente, decrescente
ou nenhuma dessas duas. Prove suas afirmac¸o\u2dces:
a) ann+ 7
b) an = n
2 + n
c) an = n
2 \u2212 7n
d) an = n
2 \u2212 n2
e) an =
n!
2n
f) an =
1
n2
g) an =
(\u22121)n
n3
h) an = 2
n
i) an =
2n\u2212 6
3n+ 4
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j) an =
\u221a
n
n+ 3
k) A seque\u2c6ncia definida recursivamente por a1 =
\u221a
2 e an =
\u221a
2an\u22121
Ex. 8.5 \u2014 Para cada uma das seguintes seque\u2c6ncias diga se ela e´ limitada superiormente
e inferiormente. Prove suas afirmac¸o\u2dces:
a) an = n
2 +n
b) an = n
2 \u2212 7n
c) an = n
2 \u2212 n2
d) an =
n!
2n
e) an =
1
n2
f) an =
(\u22121)n
n3
g) an = 2
n
h) n/n!
i) A seque\u2c6ncia definida recursivamente por a1 =
\u221a
2 e an =
\u221a
2an\u22121.
Ex. 8.6 \u2014 Prove que (1+ x)n > 1+nx para todo x. [Sugesta\u2dco: Use a expansa\u2dco Binomial]
Ex. 8.7 \u2014 a) Usando a propriedade arquimediana, prove que se |x\u2212 y| < 1
n
para
todo n \u2208 N\u2217, enta\u2dco x = y.
b) Usando o item anterior prove que se |x\u2212 y| < \u3b5 para todo \u3b5 > 0, enta\u2dco x = y.
Ex. 8.8 \u2014 Dados x,y \u2208 R com x < y, prove que existe um racional p tal que x < p < y.
8.2 converge\u2c6ncia e limite de seque\u2c6ncias
8.2.1 Intuic¸o\u2dces sobre Converge\u2c6ncia
Para algumas seque\u2c6ncias podemos entender o comportamento de seus termos para \u201cval-
ores grandes\u201d de n. Por exemplo os termos da seque\u2c6ncia an =
1
n
para valores grandes
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de n va\u2dco se aproximando do zero, no sentido que para n cada vez maior, os termos dessa
seque\u2c6ncia va\u2dco se tornando cada vez menores.
O conceito de limite de uma seque\u2c6ncia e´ a formalizac¸a\u2dco dessa ideia intuitiva. Antes
de apresentarmos uma definic¸a\u2dco precisa de limite, vamos entender em que sentido os
termos dessa seque\u2c6ncia se aproximam do zero para valores suficientemente grandes de
n.
Vamos dividir esse problema em duas partes: entender