lista6 - Bases Matemáticas - Funções I
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
Lista 6
Bases Matema´ticas
Func¸o\u2dces I
1 \u2014 Dados A e B conjuntos, defina rigorosamente o conceito de func¸a\u2dco de A em B.
2 \u2014 Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, diga qual das relac¸o\u2dces abaixo
definem uma func¸a\u2dco f : A\u2192 B.
a) R = {(e, 1), (o, 2)}
b) R = {(a, 1), (e, 1), (i, 1), (o, 2), (u, 2)}
c) R = {(a, 1), (e, 2), (i, 3), (o, 4), (u, 5)}
d) R = {(a, 1), (e, 1), (e, 2), (i, 1), (u, 2), (u, 5)}
e) R = {(a, 3), (e, 3), (i, 3), (o, 3), (u, 3)}
f) R = {(a, 1), (e, 3), (i, 3), (o, 2), (u, 2)}
g) R = {(a, 2), (e, 1), (i, 4), (o, 5), (u, 3)}
3 \u2014 Para cada func¸a\u2dco que aparece no exerc´\u131cio acima, diga se e´ injetora, sobrejetora e/ou
bijetora.
4 \u2014 Calcule o dom\u131´nio ma´ximo D das seguintes func¸o\u2dces (veja observac¸a\u2dco, ao final da lista,
sobre a notac¸a\u2dco usada neste exerc´\u131cio):
a) f : D \u2282 N\u2192 R, f(n) = 1
n(n+4)(3n+1)
b) f : D \u2282 R\u2192 R, f(x) = 1
x(x+4)(3x+1)
c) f : D \u2282 R\u2192 R, f(x) = 1\u221a
x2\u22121
d) f : D \u2282 R\u2192 R, f(x) = 1\u221a
x(x2\u22124)
e) f : D \u2282 R\u2192 R, f(x) =\u221a\u221a1+ x\u2212 x
f) f : D \u2282 R\u2192 R, f(x) =\u221a|1+ x|\u2212|x2|
g) f : D \u2282 N\u2192 R, f(n) =\u221a|1+ n|\u2212|n2|
h) f : D \u2282 R\u2192 R, f(x) = 3\u221a1+\u221a|x|\u2212 3
5 \u2014 Defina func¸a\u2dco injetora, sobrejetora e bijetora e a partir dessa definic¸a\u2dco, para cada uma
das seguintes func¸o\u2dces, prove ou de\u2c6 contra-exemplos que elas sa\u2dco injetoras, sobrejetoras ou
bijetoras.
a) Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e f : A\u2192 A dada por:
f(x) =
{
x, se x e´ \u131´mpar
x
2
, se x e´ par
b) Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e g : A\u2192 A dada por:
f(x) =
{
x+ 1, se x 6= 7
f(7) = 1 se x = 7.
c) f : N\u2192 N, f(n) = 3n+ 1.
d) f : Z\u2192 Z, f(n) = n\u2212 |n|.
e) f : R\u2192 R, f(x) = ax+ b com a 6= 0.
f) f : R\u2192 R, f(x) = 2x2 .
g) f : (0,\u221e)\u2192 R, f(x) = 1
x
.
h) f : R\u2217 \u2192 R, f(x) = 1
x2
.
i) f : [0,\u221e)\u2192 R, f(x) = \u221ax.
j) f : R\u2192 R× R, f(x) = (x, x).
k) f : R\u2192 R× R, f(x) = (x, |x|).
l) f : R× R\u2192 R, f(x, y) = x\u2212 |y|.
m) f : R× R\u2192 R× R, f(x, y) = (x, y3).
6 \u2014 Determine o conjunto imagem da func¸a\u2dco f : N\u2192 Z dada por
f(n) = (\u22121)nn.
7 \u2014 Considerando a func¸a\u2dco f do exerc´\u131cio anterior, determine o conjunto imagem da func¸a\u2dco
g : N\u2192 Z dada por g(n) = f(n) + f(n+ 1).
8 \u2014 Para cada uma das seguintes func¸o\u2dces, calcule f\u22121({0}), f\u22121({1}), f\u22121({2})
a) f : N\u2192 N, f(n) = 3n+ 1.
b) f : R\u2192 R, f(x) = x\u2212 |(x+ 2)2 \u2212 1|.
c) f : [0,\u221e)\u2192 R, f(x) = \u221ax+ 1\u2212\u221ax.
d) f : R× R\u2192 R, f(x, y) = x\u2212 |y|.
Exerc´\u131cios Complementares
9 \u2014 Seja dada uma func¸a\u2dco f : A\u2192 B. Se X e Y sa\u2dco subconjuntos do dom\u131´nio A e se V e W
sa\u2dco subconjuntos do contradom\u131´nio B, mostre que:
a) f(X \u222a Y) = f(X) \u222a f(Y).
b) f(X \u2229 Y) \u2282 f(X) \u2229 f(Y).
c) f\u22121(V \u222aW) = f\u22121(V) \u222a f\u22121(W).
d) f\u22121(V \u2229W) = f\u22121(V) \u2229 f\u22121(W).
e) Se X \u2282 Y enta\u2dco f(X) \u2282 f(Y).
2
f) Se f e´ injetora enta\u2dco f(X \u2229 Y) = f(X) \u2229 f(Y).
g) Se V \u2282W enta\u2dco f\u22121(V) \u2282 f\u22121(W).
h) X \u2282 f\u22121(f(X)).
i) Se f e´ injetora enta\u2dco X = f\u22121(f(X)).
* 10 \u2014 Seja A um conjunto (na\u2dco vazio) com n elementos e seja B um conjunto qualquer.
Mostre cada uma das seguintes afirmac¸o\u2dces:
a) Se existe uma func¸a\u2dco injetora f : A\u2192 B, enta\u2dco B possui pelo menos n elementos.
b) Se existe uma func¸a\u2dco sobrejetora f : A\u2192 B, enta\u2dco B possui no ma´ximo n elementos.
Conclua, das afirmac¸o\u2dces acima, a seguinte propriedade: dois conjuntos finitos possuem
o mesmo nu´mero de elementos se, e somente se, existe uma func¸a\u2dco bijetora entre tais
conjuntos.
Soluc¸o\u2dces da Lista 6
1. Ver Notas de Aula
2. (a) na\u2dco;(b) sim;(c) sim;(d) na\u2dco;(e) sim;(f) sim;(g) sim
3. (b) nada;(c) bijetora;(e) nada;(f) nada;(g) bijetora
4. (a) D = N\u2217;
(b) D = R\{\u22124,\u22121/3, 0};
(c) D = (\u2212\u221e,\u22121) \u222a (1,+\u221e);
(d) (\u22122, 0) \u222a (2,+\u221e);
(e) D =
[
1\u2212
\u221a
5
2
, 1+
\u221a
5
2
]
;
(f) D =
[
1\u2212
\u221a
5
2
, 1+
\u221a
5
2
]
;
(g) D = {0, 1};
(h) D = (\u2212\u221e,\u22123] \u222a [3,+\u221e)
5. (Para as definic¸o\u2dces, ver Notas de Aula)
(a) nada; (b) bijetora; (c) injetora; (d) nada; (e) bijetora; (f) nada; (g) injetora; (h) nada;
(i) injetora; (j) injetora; (k) injetora; (l) sobrejetora; (m) bijetora
Resoluc¸a\u2dco de alguns itens do exerc´\u131cio 5:
c.) A func¸a\u2dco f : N\u2192 N, f(n) = 3n+ 1 e´ injetora pois se
f(n \u2032) = f(n)\u21d2 3n \u2032 + 1 = 3n+ 1\u21d2 n = n \u2032
A func¸a\u2dco f : N \u2192 N, f(n) = 3n + 1 na\u2dco e´ sobrejetora pois 5 pertence ao contradom\u131´nio,
mas na\u2dco existe n \u2208 N tal que
f(n) = 5
pois isso implicaria que 3n + 1 = 5 \u21d2 3n = 4 e claramente na\u2dco existe nenhum natural
com essa propriedade.
e.) A func¸a\u2dco f : R\u2192 R, f(x) = ax+ b com a 6= 0 e´ injetora pois;
3
f(x \u2032) = f(x)\u21d2 ax+ b = ax \u2032 + b\u21d2 ax \u2032 = ax
e como a 6= 0 temos que x = x \u2032 e logo a func¸a\u2dco e´ injetora.
A func¸a\u2dco f : R\u2192 R, f(x) = ax+ b com a 6= 0 e´ sobrejetora pois dado y \u2208 R enta\u2dco
f(x) = y\u21d2 ax+ b = y\u21d2 x = y\u2212 b
a
e f(y\u2212b
a
) = y logo e´ sobrejetora.
j.) A func¸a\u2dco f : R \u2192 R × R, f(x) = (x, x) na\u2dco e´ sobrejetora, pois (1,0) pertence ao
contradom\u131´nio mas na\u2dco existe x \u2208 R tal que:
f(x) = (1, 0)
pois se isso ocorresse ter´\u131amos:
(x, x) = (1, 0)
e logo x = 1 e x = 0, o que e´ um absurdo.
l.) A func¸a\u2dco f : R× R\u2192 R, f(x, y) = x\u2212 |y| na\u2dco e´ injetora pois:
f((0, 1)) = 1 = f((0,\u22121))
6. Im f = {2n |n \u2208 N} \u222a {\u2212(2n+ 1) |n \u2208 N}
7. Im f = {\u22121, 1}
8. (a) f\u22121({0}) = \u2205; f\u22121({1}) = {0}; f\u22121({2}) = \u2205;
(b) f\u22121({0}) = \u2205; f\u22121({1}) = \u2205; f\u22121({2}) = \u2205;
(c) f\u22121({0}) = \u2205; f\u22121({1}) = {0}; f\u22121({2}) = \u2205;
(d) f\u22121({0}) = {(x, y) \u2208 R2 | x \u2265 0 e y = ±x};
f\u22121({1}) = {(x, y) \u2208 R2 | x \u2265 1 e y = ±(x\u2212 1)};
f\u22121({2}) = {(x, y) \u2208 R2 | x \u2265 2 e y = ±(x\u2212 2)}
9. Demonstrac¸a\u2dco de alguns itens:
(a) Se X\u222a Y = \u2205, a afirmac¸a\u2dco e´ trivial. Caso contra´rio, seja a \u2208 f(X\u222a Y). Enta\u2dco existe
b \u2208 X \u222a Y tal que f(b) = a. Como b \u2208 X ou b \u2208 Y, enta\u2dco a \u2208 f(X) ou a \u2208 f(Y).
Assim f(X\u222aY) \u2282 f(X)\u222a f(Y). Por outro lado, se a \u2208 f(X)\u222a f(Y), enta\u2dco existe b \u2208 X
ou b \u2208 Y tal que f(b) = a. Em qualquer um dos casos, existe b \u2208 X \u222a Y tal que
f(b) = a. Logo, f(X \u222a Y) = f(X) \u222a f(Y).
(d) Se V \u2229W = \u2205, enta\u2dco a inclusa\u2dco f\u22121(V \u2229W) \u2282 f\u22121(V) \u2229 f\u22121(W) e´ trivial. Sena\u2dco,
seja x \u2208 f\u22121(V \u2229W). Como f(x) \u2208 V \u2229W, enta\u2dco f(x) \u2208 V e f(x) \u2208 W, e assim
resulta x \u2208 f\u22121(V)\u2229 f\u22121(W). Logo, vale f\u22121(V \u2229W) \u2282 f\u22121(V)\u2229 f\u22121(W). Vice-versa,
se f\u22121(V)\u2229 f\u22121(W) = \u2205, a inclusa\u2dco f\u22121(V)\u2229 f\u22121(W) \u2282 f\u22121(V \u2229W) e´ trivial. Sena\u2dco,
seja x \u2208 f\u22121(V)\u2229 f\u22121(W). Enta\u2dco f(x) \u2208 V e f(x) \u2208W, ou seja, f(x) \u2208 V \u2229W. Logo,
x \u2208 f\u22121(V \u2229W), o que prova a inclusa\u2dco f\u22121(V) \u2229 f\u22121(W) \u2282 f\u22121(V \u2229W).
(f) A inclusa\u2dco f(X\u2229Y) \u2282 f(X)\u2229f(Y) e´ objeto do item (b). Mostremos somente a inclusa\u2dco
f(X) \u2229 f(Y) \u2282 f(X \u2229 Y). Se f(X) \u2229 f(Y) = \u2205, a inclusa\u2dco e´ trivial. Sena\u2dco, seja dado
a \u2208 f(X) \u2229 f(Y). Enta\u2dco existem b \u2208 X e c \u2208 Y tais que f(b) = a e f(c) = a. Como
a func¸a\u2dco f e´ injetora (hipo´tese do exerc´\u131cio), deve resultar b = c. Assim, b \u2208 X \u2229 Y
e portanto a \u2208 f(X \u2229 Y).
4
10. Vamos provar as afirmac¸o\u2dces por induc¸a\u2dco sobre o nu´mero n de elementos do conjunto A.
Denotaremos o nu´mero de elementos de um conjunto X por |X|.
(a) P(n) : se um conjunto A tem n elementos e se existe uma func¸a\u2dco injetora f : A\u2192 B,
enta\u2dco o conjunto B possui ao menos n elementos. Usaremos a primeira versa\u2dco do
PIF.
Se n = 1, enta\u2dco o conjunto B deve possuir ao menos a imagem de tal elemento.
Logo |B| \u2265 1 e P(1) e´ verdadeira. Agora, assumamos que, para um certo natural
k \u2265 1, vale a propriedade P(k), isto e´: se |A| = k e se existe uma func¸a\u2dco injetora
f : A \u2192 B, enta\u2dco |B| \u2265 k. Provemos que vale P(k + 1). Para isso, seja dado um
conjunto de k + 1 elementos A = {a1, a2, . . . , ak+1} e seja f : A \u2192 B uma func¸a\u2dco
injetora. Considere os conjuntos A \u2032 = A\{ak+1} e B \u2032 = B\{f(ak+1)} e tome a func¸a\u2dco
g : A \u2032 \u2192 B \u2032 dada por g(x) = f(x). Note que a func¸a\u2dco g esta´ bem definida e ainda e´
injetora, pois f e´ injetora, e note que o conjunto A \u2032 tem k elementos. Pela hipo´tese
indutiva, B \u2032 possui ao menos k elementos. Por como foi constru´\u131do B \u2032, conclu´\u131mos
que B possui ao menos k+1 elementos, provando P(k+1). Pelo PIF, P(n) vale para
todo n \u2265 1.
(b) P(n) : se um conjunto A tem n elementos e se existe uma