1a lista vetores e geometria analítica

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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Instituto de Matema´tica
Professora: Ana Paula Cruz de Freitas
1a Lista de Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. Deˆ um exemplo geome´trico de vetores na˜o-nulos #–u e #–v tais que
‖ #–u + #–v ‖2 = ‖ #–u‖2 + ‖ #–v ‖2 .
Exerc´ıcio 2. Deˆ um exemplo geome´trico de vetores na˜o-nulos #–u e #–v tais que
‖ #–u + #–v ‖2 < ‖ #–u‖2 + ‖ #–v ‖2 .
Exerc´ıcio 3. Deˆ um exemplo geome´trico de vetores na˜o-nulos #–u e #–v tais que
‖ #–u + #–v ‖2 > ‖ #–u‖2 + ‖ #–v ‖2 .
Exerc´ıcio 4. Sejam #–u e #–v vetores representados na figura abaixo. Represente o vetor soma #–u + #–v
e o vetor diferenc¸a #–u − #–v por flechas de origem O.
O
#–u
#–v
Exerc´ıcio 5. Sejam #–u , #–v e #–w vetores representados na figura abaixo. Represente o vetor #–u + #–v − #–w
por uma flecha de origem O.
O
#–u
#–v
#–w
1
Exerc´ıcio 6. Nas figuras abaixo ABCD e´ um tetraedro. Obtenha a soma dos vetores indicados em
cada figura.
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
Exerc´ıcio 7. Nas figuras abaixo ABCDEF e´ um hexa´gono regular. Obtenha a soma dos vetores
indicados em cada figura.
O
A
BC
D
E F
O
A
BC
D
E F
O
A
BC
D
E F
O
A
BC
D
E F
Exerc´ıcio 8. Dado um vetor na˜o-nulo #–u , determine um vetor #–v de norma igual a 5 tal que #–u e #–v
sejam paralelos e de mesmo sentido.
Resp: −→v = 5
−→u
‖−→u ‖
Exerc´ıcio 9. Dado um vetor na˜o-nulo #–u , determine um vetor #–w de norma igual a 9 tal que #–u e #–w
sejam paralelos e de sentidos opostos.
Resp: −→v = − 9
−→u
‖−→u ‖
Exerc´ıcio 10. Resolva, na inco´gnita #–x , a equac¸a˜o 2 #–x − 3 #–u = 10( #–x + #–v ).
Resp: x = −3
8
−→u − 10
8
−→v .
2
Exerc´ıcio 11. Resolva, nas inco´gnitas #–x e #–y , os sistemas de equac¸o˜es.{
#–x + 2 #–y = #–u
3 #–x − #–y = 2 #–u + #–va)
{
#–x + #–y = #–u − 2 #–v
#–x − #–y = 3 #–ub)
Resp:
a) x =
5
7
−→u + 2
7
−→v e y = 1
7
−→u − 1
7
−→v .
b) x = 2−→u −−→v e y = −−→u −−→v .
Exerc´ıcio 12. Resolva, nas inco´gnitas #–x , #–y e #–z , o sistema de equac¸o˜es
#–x + #–y − #–z = #–u + #–v
#–x − #–y + #–z = #–u − #–v
− #–x + #–y + #–z = #–0
.
Resp: x = −→u , y = 1
2
−→u + 1
2
−→v , z = 1
2
−→u − 1
2
−→v .
Exerc´ıcio 13. Sejam #–u =
# –
PA, #–v =
# –
PB e #–w =
# –
PC vetores.
Prove que P , A, B e C sa˜o coplanares se, e somente se, #–u , #–v e #–w sa˜o LD.a)
Prove que P , A e B sa˜o colineares se, e somente se, #–u e #–v sa˜o LD.b)
Exerc´ıcio 14. Sejam #–u , #–v e #–w vetores LD. Verifique quais das afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras e
quais sa˜o falsas, e justifique.
( ) Um dos vetores e´ nulo. Resp: Falso. ( Pensar num exemplo!)a)
( ) Se #–u 6= #–0 , enta˜o #–v e #–w sa˜o paralelos. Resp: Falso. ( Pensar num exemplo!)b)
( ) Se #–u , #–v e #–w sa˜o na˜o-nulos, enta˜o dois deles sa˜o paralelos. Resp: Falso. ( Pensar num
exemplo!)
c)
Exerc´ıcio 15. Sejam #–u , #–v e #–w vetores.
Prove que se #–u e #–v sa˜o LD, enta˜o #–u , #–v e #–w sa˜o LD.a)
Prove que se #–u , #–v e #–w sa˜o LI, enta˜o #–u e #–v sa˜o LI.b)
Prove que se #–u e #–v sa˜o LD, enta˜o #–u + #–v e #–u − #–v sa˜o LD.c)
Exerc´ıcio 16. Sejam #–u , #–v e #–w vetores. Verifique quais das afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras e quais
sa˜o falsas, e justifique.
( ) Se #–u , #–v e #–w sa˜o LD, enta˜o #–u e #–v sa˜o LD. Resp: Falso. ( Pensar num exemplo!)a)
( ) Se #–u e #–v sa˜o LI, enta˜o #–u , #–v e #–w sa˜o LI. Resp: Falso. ( Pensar num exemplo!)b)
( ) Se #–u , #–v e #–w sa˜o LI, enta˜o #–u e #–v sa˜o LD. Resp: Falso. ( Pensar num exemplo!)c)
( ) Se #–u , #–v e #–w sa˜o LD, enta˜o #–u e #–v tanto pode ser LD como LI.
Resp. Verdadeiro ( Pensar nos exemplos!)
d)
( ) Se #–u e #–v sa˜o LI, enta˜o #–u , #–v e #–w tanto pode ser LD como LI.
Resp. Verdadeiro ( Pensar nos exemplos!)
e)
3
Exerc´ıcio 17. Sejam #–u , #–v e #–w vetores. Prove que #–u , #–v e #–w sa˜o LI se, e somente se, #–u + #–v , #–u + #–w
e #–v + #–w sa˜o LI.
Feito em sala.
Exerc´ıcio 18. Sejam #–u , #–v e #–w vetores. Prove que #–u , #–v e #–w sa˜o LI se, e somente se, #–u + #–v + #–w,
#–u − #–v e 3 #–v sa˜o LI.
Mesmos procedimentos da questa˜o anterior.
Exerc´ıcio 19. Determine a, b ∈ R sabendo que #–u e #–v sa˜o vetores LI e que (a − 1) #–u + b #–v = b #–u −
(a+ b) #–v .
Resp: a =
2
3
, b = −1
3
.
Exerc´ıcio 20. Sejam E uma base, #–u = (1,−1, 3)E , #–v = (2, 1, 3)E e #–w = (−1,−1, 4)E . Determine as
coordenadas dos vetores.
#–u + #–v Resp: (3, 0, 6)a) #–u−2 #–v Resp: (−3,−3,−3)b) #–u+2 #–v−3 #–w Resp: (8, 4,−3)c)
Exerc´ıcio 21. Seja E uma base. Escreva o vetor #–x = (4, 0, 13)E como combinac¸a˜o linear dos vetores
#–u = (1,−1, 3)E , #–v = (2, 1, 3)E e #–w = (−1,−1, 4)E .
Resp: −→x = (1,−1, 3) + 2(2, 1, 3) + (−1,−1, 4)
Exerc´ıcio 22. Seja E uma base. Verifique se os vetores #–u e #–v sa˜o LD ou LI.
#–u = (0, 1, 0)E ,
#–v = (1, 0, 1)E Resp: LIa)
#–u = (0, 11, 1)E ,
#–v = (0,−22,−2)E
Resp: LD
b)
#–u = (0, 1, 1)E ,
#–v = (0, 3, 1)EResp: LIc)
#–u = (1,−3, 14)E , #–v = (1/14,−3/14, 1)E
Resp: LD
d)
Exerc´ıcio 23. Seja E uma base. Determine m,n ∈ R sabendo que #–u = (1,m, n + 1)E e
#–v = (m,n, 10)E sa˜o LD.
Resp: m = 2 e n = 4
Exerc´ıcio 24. Seja E uma base. Verifique se os vetores #–u , #–v e #–w sa˜o LD ou LI.
#–u = (1, 0, 0)E ,
#–v = (200, 2, 1)E ,
#–w = (300, 1, 2)E Resp: LIa)
#–u = (1, 2, 1)E ,
#–v = (1,−1,−7)E , #–w = (4, 5,−4)E Resp: LDb)
#–u = (1,−1, 2)E , #–v = (−3, 4, 1)E , #–w = (1, 0, 9)E Resp: LDc)
#–u = (7, 6, 1)E ,
#–v = (2, 0, 1)E ,
#–w = (1,−2, 1)E Resp: LId)
Exerc´ıcio 25. Seja E uma base. Determine m ∈ R sabendo que #–u = (1, 2, 2)E e´ gerado pelos vetores
#–v = (m− 1, 1,m− 2)E e #–w = (m+ 1,m− 1, 2)E .
Resp: Na˜o existe m ∈ R tal que #–u seja gerado pelos vetores #–v e #–w .
Exerc´ıcio 26. Seja E = { #–e1, #–e2, #–e3} uma base. Sejam
#–
f1 =
#–e1 +
#–e2 +
#–e3
#–
f2 =
#–e2 +
#–e3
#–
f3 =
#–e3.
Prove que F =
{
#–
f1,
#–
f2,
#–
f3
}
e´ uma base.
4
Exerc´ıcio 27. Seja E = { #–e1, #–e2, #–e3} uma base. Prove que F = {α1 #–e1, α2 #–e2, α3 #–e3} e´ base se, e somente
se, α1, α2 e α3 sa˜o na˜o-nulos.
Exerc´ıcio 28. Seja E uma base ortonormal. Determine t ∈ R de modo que #–u = (t, t + 1, t + 2)E
tenha normal igual a
√
5.
Resp: t = 0 ou t = −2
Exerc´ıcio 29. Sejam E = { #–e1, #–e2, #–e3} e F =
{
#–
f1,
#–
f2,
#–
f3
}
bases tais que
#–
f1 = −3 #–e1 + #–e2 + #–e3
#–
f2 =
#–e1 − 2 #–e2 + #–e3
#–
f3 =
#–e1 + 2
#–e2.
Determine as matrizes mudanc¸a de base ME,F e MF,E .
Resp : ME,F =
 −3 1 11 −2 2
1 1 0
 MF,E = 1
11
 −2 1 42 −1 7
3 4 5

a)
Determine as coordenadas do vetor #–u = (−1, 3, 5)F na base E. Resp: #–u = (11, 3, 2)Eb)
Determine as coordenadas do vetor #–v = (11,−22,−11)E na base F . Resp: #–u = (−4,−7, 6)Fc)
Exerc´ıcio 30. Sejam E = { #–e1, #–e2, #–e3} e F =
{
#–
f1,
#–
f2,
#–
f3
}
bases tais que
#–e1 =
#–
f1 + 2
#–
f2
#–e2 =
#–
f1 +
#–
f2 +
#–
f3
#–e3 = − #–f1 − #–f2 − 2 #–f3.
Determine as matrizes mudanc¸a de base ME,F e MF,E .
Resp : ME,F =
 −1 1 04 −2 −1
2 −1 −1
 MF,E =
 1 1 −12 1 −1
0 1 −2

a)
Determine as coordenadas do vetor #–u = (4, 1, 6)E na base F . Resp:
#–u = (−1, 3,−11)Fb)
Determine as coordenadas do vetor #–v = (1, 2,−5)F na base E. Resp: #–u = (1, 5, 5)Ec)
Exerc´ıcio 31. Sejam E e F bases tais que
MF,E =
 −1 0 a2 1 b
1 0 c
 .
Determine a, b, c ∈ R sabendo que #–u = (1, 1, 2)E = (2, 1, 0)F .
Resp: a =
3
2
, b = −1 e c = −1
2
5
Exerc´ıcio 32. Sejam E = { #–e1, #–e2, #–e3}, F =
{
#–
f1,
#–
f2,
#–
f3
}
e G = { #–g1, #–g2, #–g3} bases tais que
#–e1 =
#–
f1 + 2
#–
f2
#–e2 =
#–
f1 −#–f3
#–e3 =
#–
f2 +
#–
f3
#–g1 =
#–e1 − 2 #–e2
#–g2 =
#–e1 +
#–e3
#–g3 =
#–e2 − #–e3.
Determine as matrizes mudanc¸a de base MF,G e MG,F .
Resp : MF,G =
 −1 1 12 3 −1
2 1 −2
 MG,F =
 −5/3 1 −4/32/3 0 1/3
−4/3 1 −5/3

6