lista7 - Bases Matemáticas - Funções II
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
Lista 7
Bases Matema´ticas
Func¸o\u2dces II
1 \u2014 Dadas as func¸o\u2dces f(x) = sen x e g(x) =
piJxK, determine os dom\u131´nios e as imagens das
func¸o\u2dces compostas f \u25e6 g e g \u25e6 f.
2 \u2014 Denotando por \u131 a func¸a\u2dco identidade,
mostre que para toda func¸a\u2dco f vale que:
a) \u131 \u25e6 f = f e f \u25e6 \u131 = f
b) Se f e´ invers´\u131vel, enta\u2dco f \u25e6 f\u22121 = \u131 e
f\u22121 \u25e6 f = \u131
Em tempo, isso significa que a func¸a\u2dco iden-
tidade cumpre o papel de elemento neutro
da operac¸a\u2dco de composic¸a\u2dco de func¸o\u2dces.
3 \u2014 Para as func¸o\u2dces abaixo encontre f(x+ 2),
f(\u2212x), f(x + h) e f(x+h)\u2212f(x)
h
, sendo h 6= 0:
a) x
b) 3x+ 4
c) x2
d) 5x2 + 1
e) x2 \u2212 x
f) x3 + x2
4 \u2014
a) Como o gra´fico de f(|x|) esta´ relacionado
como o gra´fico de f(x)?
b) Esboce o gra´fico de |x|3.
c) Esboce o gra´fico de \u2212|x|5.
d) Esboce o gra´fico de sen(|x|)
e) Esboce o gra´fico de cos(|x|)
5 \u2014 Encontre uma expressa\u2dco para a
func¸a\u2dco cujo gra´fico e´ a curva abaixo:
1
2
3
4
\u22121
1 2 3 4 5 6 7\u22121\u22122\u22123
b
B
b
D
b
E
b
A
6 \u2014 Para cada par de func¸o\u2dces f : A \u2282 R \u2192 R
e g : B \u2282 R \u2192 R abaixo, determine os dom\u131´nios
ma´ximo de definic¸a\u2dco de f(x), g(x),(f + g)(x),
f(x)g(x), f(x)
g(x)
, (f \u25e6 g)(x) e (g \u25e6 f)(x) e finalmente
as expresso\u2dces para (f \u25e6 g)(x) e (g \u25e6 f)(x):
a)f(x) =
\u221a
(x + 2) e g(x) = |x|
b)f(x) = 1
x(x\u22122)
e g(x) = x2
c)f(x) = 1
x(x\u22122)
e g(x) =
\u221a
x
d)f(x) =
5
\u221a
x3 e g : 2\u2212x
7 \u2014 Sejam f : R\u2192 R e g : R\u2192 R duas func¸o\u2dces
cujos gra´ficos esta\u2dco apresentados a seguir
2
4
6
\u22122
2 4 6 8 10\u22122
Gráfico de f(x)
2
4
6
\u22122
2 4 6 8 10\u22122
Gráfico de g(x)
A partir desses gra´ficos, esboce o gra´fico das
seguintes func¸o\u2dces:
a) 2f(x)
b) 2g(x)
c) \u2212f(x)
d) \u2212g(x)
e) f(\u2212x)
f) g(\u2212x)
g) f(|x|)
h) g(|x|
i) f(\u2212|x|)
j) 12g(x) + 1
k) \u2212 12g(x) + 1
l) \u2212 12 |g(x)|+ 1
m) f(1
2
x)
n) ||f(x)| \u2212 1|
o) (f+ g)(x)
p) (f\u2212 g)(x)
q) (f+ g)(|x|)
8 \u2014 Esboce o gra´fico das seguintes func¸o\u2dces,
utilizando o gra´fico de uma func¸a\u2dco mais simples
e aplicando as transformac¸o\u2dces apropriadas. Para
cada uma dessas func¸o\u2dces indique as intersecc¸o\u2dces
com os eixos x e y, as regio\u2dces nas quais as func¸o\u2dces
sa\u2dco positivas, negativas, crescentes, decrescentes
e os pontos de ma´ximo e m\u131´nimo local se exis-
tirem.
a) |2x| + 1
b) (x+ 3)4
c) (x+ 3)4 \u2212 1
d) |(x+ 3)4 \u2212 1|
e) |(x+ 3)4 \u2212 1|\u2212 1
f) |x\u2212 1| + 1
g) cos|x \u2212 1|
h) |2x2 \u2212 1|
i) |2x2 \u2212 1| \u2212 1
j) ||2x2 \u2212 1| \u2212 1| \u2212 2
k) |(x\u2212 4)6 \u2212 2|
l) sen(2x) + 3
m) \u22122|sen(2x) + 3| + 1
n)
\u221a
|x+ 2|
o) 2 cos(3x + pi)
p) 1+ cos(|x \u2212 1|)
q) 2(x\u2212pi)
r) 2(x\u2212pi) \u2212 5
s) 5|x|
t) 5|x+2|
u) |3x \u2212 5|
v) f(x) =
{
x, se x < 0
x
2 + 1, se x \u2265 0
w) f(x) =
{
cos(2x), se x < 1
2 cos(x \u2212 1), se x \u2265 1
x) f(x) =
{
x2 \u2212 5x, se |x2 \u2212 1| + 1 < 0
cos(3x), se |x2 \u2212 1| + 1 \u2265 0
9 \u2014 Para cada par de func¸o\u2dces f, g abaixo en-
contre o dom\u131´nio e as expresso\u2dces de f\u25e6g, f\u25e6f, g\u25e6f
e g \u25e6 g.
a)
f : R\u2192 R, f(x) = x3
g : [1,\u221e)\u2192 R, g(x) = \u221ax\u2212 1
b)
f : R\u2217 \u2192 R, f(x) = \u2212 1x
g : (\u2212\u221e, 2]\u2192 R, g(x) = \u221a2\u2212 x
c)
f : R\u2217 \u2192 R, f(x) = 1x
g : R\{2, 3}\u2192 R, g(x) = 1
(x\u22122)(x\u22123)
d)
f : R\u2192 R, f(x) = sen(x)
g : R+ \u2192 R, g(x) = \u221ax
10 \u2014 Para as seguintes func¸o\u2dces h(x),
decomponha-a como compostas de func¸o\u2dces mais
simples¿
a) h(x) = sin(x2)
b) h(x) = sin(x + x2)
c) h(x) = cosec(cos(x))
d) h(x) = sin( cos(x)x )
e) h(x) = sec((x + 1)2(x+ 2))
f) h(x) = sin((sin7(x7 + 1))7)
g) h(x) = tan(x2 + sin(x2 + (cos2(x))))
h) h(x) =
\u221a
1\u2212 x2
i) h(x) = sin(cos(ax+bcx+d ))
j) h(x) = 1\u221a
1+
\u221a
1+x2
k) h(x) =
\u221a
1+
\u221a
1+ x2
l) h(x) = xx
x
m) h(x) = e2x
n) h(x) = e
\u221a
1+x
o) h(x) = ln(2+ 1x)
p) h(x) = 2ex+1
q) h(x) = tan( 1\u221a
1+x2
)
2
11 \u2014 Dado o seguinte gra´fico:
1
2
3
4
5
\u22121
1 2 3 4 5 6 7\u22121
a) Se soubermos que o gra´fico anterior e´ o
gra´fico de f(x+ 1) + 2 como e´ o gra´fico de
f(x)?
b) Se soubermos que o gra´fico anterior e´ o
gra´fico de |f(x)| + 1 como poderia ser o
gra´fico de f(x)? (Fornec¸a pelo menos duas
respostas distintas)
c) Se soubermos que o gra´fico anterior e´ o
gra´fico de |f(x) + 1| como poderia ser o
gra´fico de f(x)? (Fornec¸a pelo menos duas
respostas distintas)
12 \u2014 Os seguintes gra´ficos foram obtidos a
partir do grafico da func¸a\u2dco f(x) = cos(x) atrave´s
de translac¸o\u2dces, homotetias e mo´dulos. Qual
func¸a\u2dco que representa cada um dos gra´ficos a
seguir:
a)
1
2
\u22121
1 2 3\u22121\u22122\u22123
b)
1
2
1 2 3\u22121\u22122\u22123
c)
1
2
3
1 2 3 4\u22121\u22122\u22123\u22124
13 \u2014 Encontre o dom\u131´nio ma´ximo de definic¸a\u2dco
e esboce o gra´fico das seguintes func¸o\u2dces,, uti-
lizando o gra´fico de uma func¸a\u2dco mais simples e
aplicando as transformac¸o\u2dces apropriadas. Para
cada uma dessas func¸o\u2dces indique as intersecc¸o\u2dces
com os eixos x e y, as regio\u2dces nas quais as func¸o\u2dces
sa\u2dco positivas, negativas, crescentes, decrescentes
e os pontos de ma´ximo e m\u131´nimo local se exis-
tirem.
a) 1x+7
b) 1
x2+4x+4
c) x+2
x2\u22121
.
d)
\u221a
|t \u2212 1|\u2212 1
e) log3(x\u2212 2)
f) log2(|x|)
g) log2(2x \u2212 |x\u2212 1|)
h) tan(x+ pi)
i) tan(\u2212x) + 2
j) |tan(x)|
k) tan(|x|)
l) tan(2x\u2212 |x \u2212 1|)
14 \u2014 Fac¸a os gra´ficos das seguintes func¸o\u2dces
modulares:
a) |x|
b) |x|+ |x \u2212 1|
c) |x|+ |x \u2212 1+ |x\u2212 2||
d)
\u2223
\u2223x2 \u2212 x
\u2223
\u2223+ 3
e)
\u2223
\u2223x2 \u2212 x
\u2223
\u2223+
\u2223
\u2223x2 + 1
\u2223
\u2223
3
Respostas dos Exerc´\u131cios
3 a.)f(x) = x, f(x + 2) = x + 2, f(\u2212x) = \u2212x
e f(x+h)\u2212f(x)
h
= x+h\u2212x
h
= 1 d.)f(x) = 5x2 + 1,
f(x+2) = 5(x+2)2+1, f(\u2212x) = 5(\u2212x)2+1 = 5x2+1
e f(x+h)\u2212f(x)
h
=
5(x+h)2+1\u22125x2\u22121
h
= 5xh+h
2
h
= 5x + h
4 a.)O gra´fico de f(|x|) coincide com o gra´fico de f(x)
para x \u2265 0, isto e´, do lado direito do eixo y. Para
x < 0, o gra´fico de f(|x|) e´ a reflexa\u2dco do gra´fico de f(x)
relativamente ao eixo y.
b.)
1
2
3
4
1 2\u22121\u22122
|x|
3
x3
d.)
\u22122
2 4 6\u22122\u22124\u22126\u22128
sin |x|
sin x
5 O gra´fico corresponde a` func¸a\u2dco
f(x) =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f3
1 se x < \u22121
\u2212x se \u22121 \u2264 x < 0
2x se 0 \u2264 x < 2
\u22122x+16
3 se 2 \u2264 x
6 1. Dom f = [\u22122,+\u221e), Dom g = R, Dom(f+
g) = Dom fg = [\u22122,+\u221e);
Dom f \u25e6 g = R, Dom g \u25e6 f = [\u22122,+\u221e) e
(f \u25e6 g)(x) =
\u221a
|x| + 2; (g \u25e6 f)(x) = \u221ax+ 2
2. Dom f = R\{0, 2}, Dom g = R, Dom(f +
g) = Dom fg = R\{0, 2};
Dom f \u25e6 g = R\{0,\u2212\u221a2,\u221a2}, Dom g \u25e6 f =
R\{0, 2} e
(f \u25e6 g)(x) = 1
x2(x2\u22122)
; (g \u25e6 f)(x) = 1
x2(x\u22122)2
3. Dom f = R\{0, 2}, Dom g = R+, Dom(f +
g) = Dom fg = R+\{0, 2};
Dom f \u25e6 g = R+\{0, 4}, Dom g \u25e6 f = R\u2217 e
(f \u25e6 g)(x) = 1\u221a
x(
\u221a
x\u22122)
; (g \u25e6 f)(x) = 1\u221a
x(x\u22122)
4. Dom f = R, Dom g = R, Dom(f + g) =
Dom fg = R;
Dom f \u25e6 g = R, Dom g \u25e6 f = R e
(f \u25e6 g)(x) = 5
\u221a
2\u2212§; (g \u25e6 f)(x) = 2\u2212 5
\u221a
x3
7 a.)
2
4
6
8
\u22122
2 4 6 8 10\u22122
f(x)
2f(x)
b.)
2
4
\u22122
\u22124
2 4 6 8 10\u22122
f(x)
\u2212f(x)
j.)
2
4
6
\u22122
2 4 6 8 10\u22122
g(x)
1
2
(g(x) + 1
8 a.)
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
\u22120.5
0.5 1.0 1.5 2.0\u22120.5\u22121.0\u22121.5\u22122.0
|2x|
|2x| + 1
b.)
1
2
3
1\u22121\u22122\u22123\u22124
(x+ 3)4 x4
e.)
4
\u22122\u22123\u22124
\u2223
\u2223(x + 3)4 \u2212 1
\u2223
\u2223\u2212 1
j.)
2
\u22122
2\u22122
m.)
\u22122
\u22124
\u22126
\u22128
2 4 6\u22122\u22124\u22126
r.)
5
10
\u22125
5\u22125
u.)
2
4
6
2\u22122\u22124\u22126\u22128\u221210
12 a.)cos(x) + 2)
b.)|cos(x)|+ 1
c.)|2 cos(x) + 1|
13 d.)
5
10 20\u221210\u221220
l.)
5