lista10 - Bases Matemáticas - Sequências II
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
Lista 10 - Bases Matema´ticas
Seque\u2c6ncias II
1 \u2014 Para cada uma das seguintes seque\u2c6ncias
diga se ela e´ crescente, decrescente ou nenhuma
dessas duas. Prove suas afirmac¸o\u2dces:
a) an = n
2 + n
b) an = n
2 \u2212 7n
c) an =
2n \u2212 6
3n + 4
d) an =
\u221a
n
n+ 3
e) A seque\u2c6ncia definida recursivamente por
a1 =
\u221a
2 e an =
\u221a
2an\u22121
2 \u2014 Para cada uma das seguintes seque\u2c6ncias
diga se ela e´ limitada superiormente e inferior-
mente. Prove suas afirmac¸o\u2dces:
a) an = n
2 + n
b) an = n
2 \u2212 7n
c) an = n
2 \u2212 n2
d) an =
1
n2
e) an =
(\u22121)n
n3
f) A seque\u2c6ncia definida recursivamente por
a1 =
\u221a
2 e an =
\u221a
2an\u22121
3 \u2014 Prove por induc¸a\u2dco que se lim
n\u2192\u221e
an = a
enta\u2dco
lim
n\u2192\u221e
(an)
k = ak,
para todo k \u2208 N\u2217.
4 \u2014 Calcule os seguintes limites:
a) lim
n\u2192\u221e
4 sen
(
1
n
)
+ 2 cos
(
1
n
)
b) lim
n\u2192\u221e
3+ 2 sen
(
1
n
)
7+ 2 cos
(
1
n
)
c) lim
n\u2192\u221e
3n + 1
n+ 1
d) lim
n\u2192\u221e
\u221a
2n2
3n2 + 1
e) lim
n\u2192\u221e
n
8n2 + n + 3
f) lim
n\u2192\u221e
\u221a
5+
2
n
g) lim
n\u2192\u221e
9n3
4n4 + 3n3
h) lim
n\u2192\u221e
9n9 + 3n \u2212 2
4n9 + 4n8
i) lim
n\u2192\u221e
\u221a
9n9+3n\u22122
4n9+4n8
j) lim
n\u2192\u221e
sen(1/6n)
sen(1/4n)
k) lim
n\u2192\u221e
tan(1/7n)
tan(1/3n)
l) lim
n\u2192\u221e
n tan( 1n)
m) lim
n\u2192\u221e
n\u2212
\u221a
n2 + 2
n) lim
n\u2192\u221e
(
3+ 1
n
)2
\u2212 32
1
n
o) lim
n\u2192\u221e
(\u221a
4+ 1
n
\u2212
\u221a
4
)
n
p) lim
n\u2192\u221e
(\u221a
4\u2212 1n \u2212
\u221a
4
)
n
5 \u2014 Mostre usando o teorema do confronto
que se an \u2192 0 enta\u2dco:
lim
n\u2192\u221e
sen(an) = 0
Conclua enta\u2dco que se an \u2192 0 enta\u2dco
lim
n\u2192\u221e
cos(an) = 1.
6 \u2014 Mostre que lim
n\u2192\u221e
cos
(
n3
)
n5
= 0
7 \u2014 Mostre que lim
n\u2192\u221e
2cos(n
2+2n)
\u221a
n
= 0
8 \u2014 Usando as formulas para cos(a +
b) e sen(a + b) e o exerc´\u131cio 5, mostre que se
an \u2192 0 enta\u2dco:
a) lim
n\u2192\u221e
sen(x+ an) = sen(x)
b) lim
n\u2192\u221e
cos(x+ an) = cos(x).
9 \u2014 Seja h \u2208 R 6= 0. Usando identidades
trigonome´tricas mostre que:
a) sin(x+h)\u2212sin(x)h =
sin(h/2)
h/2
cos
(
x+ h2
)
b) cos(x+h)\u2212cos(x)
h
= \u2212
sin(h/2)
h/2
sin
(
x+ h
2
)
10 \u2014 Use a identidade do exerc´\u131cio anterior
para mostrar que:
a) lim
n\u2192\u221e
sin(x+ 1
n
) \u2212 sin(x)
1
n
= cos(x)
b) lim
n\u2192\u221e
cos(x+ 1n) \u2212 cos(x)
1
n
= \u2212 sen(x)
11 \u2014 Mostre que se lim
n\u2192\u221e
an = a, enta\u2dco
lim
n\u2192\u221e
|an| = |a|
12 \u2014 Mostre que se an > 0, enta\u2dco lim
n\u2192\u221e
an \u2265 0
13 \u2014 Calcule os seguintes limites
a) lim
n\u2192\u221e
(2n + n)
b) lim
n\u2192\u221e
n\u221a
n2 + 1
c) lim
n\u2192\u221e
2n
3
\u221a
3n3 \u2212 3
d) lim
n\u2192\u221e
(n + 3)2(2n + 3)3(\u2212n + 2)
(n + 7)4(n \u2212 8)
e) lim
n\u2192\u221e
2n
3
\u221a
3n4 \u2212 3
f) lim
n\u2192\u221e
2n
3n
g) lim
n\u2192\u221e
(
n6 + 3n3 + 2
)
h) lim
n\u2192\u221e
(
\u2212n4 + n3 + 2n +
\u221a
n
)
i) lim
n\u2192\u221e
(
n3/2 \u2212 n1/2
)
j) lim
n\u2192\u221e
(
n \u2212
\u221a
2n3 + 4
)
k) lim
n\u2192\u221e
(
1+ 1n
)n2
l) lim
n\u2192\u221e
2n
3
\u221a
3n2 \u2212 3
m) lim
n\u2192\u221e
1
3n + 4n + sen(1/n)
n) lim
n\u2192\u221e
3
cos(1/n) \u2212 1
o) lim
n\u2192\u221e
n2
3n + 2
p) lim
n\u2192\u221e
2n5 + 3n
3n3 + 2
q) lim
n\u2192\u221e
43n7 + 3n
273n7 + 2
r) lim
n\u2192\u221e
n+ 1
n
s) lim
n\u2192\u221e
log2(n
2)
t) lim
n\u2192\u221e
tan
(
pi
2 +
1
n
)
u) lim
n\u2192\u221e
tan
(
pi
2
\u2212 1
n
)
v) lim
n\u2192\u221e
\u221a
n
n+
\u221a
n +
\u221a
n
14 \u2014 Dados dois polino\u2c6mios p(n) = akn
k +
ak\u22121n
k\u22121+· · ·+a0 e q(n) = bmnm+bm\u22121nm\u22121+
· · · + b0. Calcule
lim
n\u2192\u221e
p(n)
q(n)
.
(Dica: Considere os casos k < m,k > m,k = m.)
2
Respostas dos Exerc´\u131cios
1 a.)Crescente
200
20
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b.)A seque\u2c6ncia na\u2dco e´ crescente, nem decrescente.
Essa seque\u2c6ncia e´ crescente para n \u2265 4
50
100
5 10 15
b
b
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
c.)Crescente
d.)A seque\u2c6ncia na\u2dco e´ crescente, nem decrescente.
Essa seque\u2c6ncia e´ decrescente para n \u2265 3
0.2
2 4 6 8 10 12 14
b
b
b b
b
b
b b
b
b b
b b
b b
e.)Crescente. Dica: Demonstre por Induc¸a\u2dco.
2 a.)Ilimitada. Dica: compare com a seque\u2c6ncia
bn = n. b.)Ilimitada. Dica: Mostre que para n
suficientemente grande n2 \u2212 7n > n. Conclua que
se an fosse limitada a seque\u2c6ncia bn = n seria lim-
itada. c.)Ilimitada d.)Limitada. Dica: prove que\u2223\u2223\u2223\u2223 1n2
\u2223\u2223\u2223\u2223 < 2 para todo n e.)Limitada. Dica: prove que\u2223\u2223\u2223\u2223(\u22121)nn3
\u2223\u2223\u2223\u2223 < 2 para todo n f.)Limitada. Dica: prove
por induc¸a\u2dco que |an| < 2
4 a.)2 b.)1/3 c.)3. Dica divida 3n + 1 por n + 1
obtendo 3n + 1 = 3(n + 1) \u2212 2. Use esse fato para
simplificar o limite. d.)
\u221a
2
3
. e.)0 f.)
\u221a
5 h.)9
4
j.)2
3
.
Dica: limite fundamental. k.)3
7
l.)1. Dica: limite
fundamental. m.)0. Dica: Multiplique e divida pelo
conjugado. n.)6 o.)1
4
p.)\u22121
4
13 a.)\u221e b.)1 c.) 2
31/3
d.)\u2212\u221e e.)0 f.)0 g.)\u221e h.)\u2212\u221e
j.)\u2212\u221e k.)\u221e l.)\u221e m.)0 n.)\u2212\u221e o.)\u221e p.)\u221e q.) 43
273
r.)\u221e s.)\u221e t.)\u2212\u221e u.)\u221e
3